LYS Matematik

LYS Matematik
Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların
kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek
Olasılık
Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde
örnek uzayın eleman sayısı
uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir.
s E   2.2.2...2  2n
n tan e
Örnek: Bir zarın atılması deneyinde örnek uzay
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
olduğundan s(E) = 6 dır.
dir.
Uyarı: n tane madeni paranın atılması deneyinin
örnek uzayı ile bir tane madeni paranın arka arkaya
n kez atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır.
Örnek: İki zarın atılması deneyinde örnek uzay
E = {(1, 1), (1, 2), … ,(6, 6)}
olduğundan s(E) = 36 dır.
Tanım: Örnek uzayın her alt kümesine bir olay denir. Boş küme imkânsız ve E örnek uzayı ise kesin
olaydır.
Not: n tane zarın atılması deneyinde örnek uzayın
eleman sayısı
s E   6.6.6...6  6n
n tan e
Örnek: Bir zar atıldığında üst yüzüne çift sayı gelmesi bir olaydır.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
dir.
Tanım: Aynı örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş
Uyarı: n tane zarın atılması deneyinin örnek uzayı
küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir.
ile bir zarın arka arkaya n kez atılması deneyinin
Örnek: İki madeni paranın atılması deneyinin aynı
örnek uzayı aynıdır.
gelmesi olayını A ile farklı gelmesi olayını da B ile
Örnek: Bir madeni paranın atılması deneyinde örnek uzay
E  Y,T
olduğundan s(E)=2 dir.
Örnek: İki madeni paranın atılması deneyinde örnek
uzay
E   Y,Y  ,  Y,T  ,  T,Y  ,  T,T 
olduğundan s(E)=4 tür.
gösterelim. A ile B ayrık olaylardır. Gerçekten
E   Y, Y  ,  Y,T  ,  T, Y  ,  T,T 
A   Y, Y  ,  T,T 
B   Y,T  ,  T, Y 
olduğundan A  B   dir.
Olasılık
LYS Matematik
Tanım: E örnek uzayının bir alt kümesi A olsun.
Aşağıdaki koşulları sağlayan
Örnek: Bir kutuda 3 mavi, 4 kırmızı ve 5 siyah bilye
vardır. Bu kutudan rastgele üç bilye alınıyor.
a) Her üçünün de kırmızı olma olasılığını
P : A  0, 1
b) Üçünün de farklı renkte olma olasılığını bulalım.
fonksiyonuna A üzerinde bir olasılık fonksiyonu
denir. P(A) da A olayının olasılığıdır.
 0  PA  1
 P     0 imkânsız olasılık 
P E   1 ke sin olasılık 
 A, B  E
A  B    P  A  B   P  A   P B 
3 + 4 + 5 = 12 bilyeden 3 ü
 12 
   660 değişik şekilde seçilebileceğinden örnek
3
uzayın eleman sayısı s(E) = 660 tır.
a) Seçilen üç bilyenin üçünün de kırmızı olması olayı
 4
A olsun. 4 kırmızı bilyeden 3 ü    4 farklı şekil3
de seçilebileceğinden s(A) = 4 tür. O halde A olayının olasılığı
Özellikleri
PA 
i) A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) ve gerçekleşmeme olasılığı P(Aı) olmak üzere,
 
P  A   P Aı  P E   1
sA
s E 

4
660

1
165
dir.
ii) A  B    P  A  B   P  A   P B   P  A  B 
iii) A  B  P  A   P B 
Tanım: Tüm sonuçların olasılıkları birbirine eşit olan
örnek uzaylara eş olumlu örnek uzay denir.
E  A1, A 2,..., An
sonlu bir eş olumlu örnek uzay
olsun.
P  A1   P  A 2   ...  P  An 
b) Seçilen üç bilyenin üçünün de farklı olması olayı
3
B olsun. 3 mavi bilyeden 1 i   , 4 kırmızı bilyeden
1 
 4
5
1 i   ve 5 siyah bilyeden 1 i   değişik şekilde
1 
1 
seçilebileceğinden üçü birlikte
3 45
s B        
1  1  1 
 60
değişik şekilde seçilebilir. O halde B olayının olasılığı
 A E
PA 
olarak bulunur.
sA
s E 

İstenen Durumların Sayısı
Tüm Durumların Sayısı
P B  

60
660
1
11
olarak bulunur.
Olasılık
LYS Matematik
Tanım: A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B
Örnek: Ahmet’in bir hedefi vurma olasılığı
olayının gerçekleşmesi halinde A olayının da gerçekleşme olasılığına A nın B ye bağlı koşullu olasılı-
Burak’ın ise aynı hedefi vurma olasılığı
ğı denir ve P(A / B) ile gösterilir.
P  A / B 
P  A  B
P B 
, P B   0 
b) Yalnız Ahmet’in hedefi vurma olasılığını bulalım.
a) P  A  B   P  A   P B   P  A  B 
P  A  B
P B 
s  A  B
s E 

s B 
s E 
A ve B olayları bağımsız olduğundan
P  A  B   P  A   P B   P  A  .P B 
olduğundan
P  A / B 
s  A  B
s B 

1 1 1 1
  .
3 4 3 4

1
2
dir.
olarak bulunur.
Örnek: Bir zar atıldığında üst yüze bir asal sayı
b) Burak’ın hedefi vuramama olasılığı
geldiği bilindiğine göre, bu sayının çift olma olasılığını bulalım.
 
P Bı  1  P B 
Üst yüze asal sayı gelmesi olayı B ve çift sayı gel-
 1
mesi olayı da A olsun.
A  2, 4, 6 ve B  2, 3, 5

olduğundan A  B  2 dir.
P  A / B 


1
3
Tanım: İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gergerçekleşme
olasılığını
etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. A
ve B bağımsız iki olay ise bu durum P  A   P  A / B 
ile gösterilir.
P  A / B 
P  A  B
P B 
3
4

 
P A  Bı  P  A  .P Bı
s B 
diğerinin
1
4
olduğundan yalnız Ahmet’in hedefi vurma olasılığı
s  A  B
çekleşmemesi
1
tür.
4
a) Ahmet veya Burak’ın bu hedefi vurma olasılığını
E örnek uzayı eş olumlu ise
P  A / B 
1
3
 P A
olduğundan P  A  B   P  A  .P B  dir.

1 3
.
3 4

1
4
olarak bulunur.
ve
Olasılık
LYS Matematik
Tekrarlı Denemeler: Bir deney sonlu sayıda tekrar
Sonsuz Örnek Uzay: Sonsuz örnek uzay uzunluk
edilsin.
alan veya hacim gibi bazı sonlu geometrik ölçümlerdir. Seçilen bir A olayının gerçekleşme olasılığı
1. deneyde A1 olayının
PA 
2. deneyde A2 olayının
sA
s E 

A nın ölçüsü
E nin ölçüsü
…………………………………
n. deneyde An olayının
Örnek: Alanı 16 cm2 olan bir karenin iç bölgesinde
gerçekleşme olasılığı
alınan bir noktanın köşelere olan uzaklıklarının 1 cm
P  A1  .P  A 2  ...P  A n 
den küçük olma olasılığını bulalım.
dir.
Örnek: Bir kutuda 4 mavi ve 5 kırmızı kalem vardır.
Bu kutudan arka arkaya 2 kalem alınıyor. Alınan bu
kalemlerden birincisinin mavi ve ikincisinin de kırmızı olma olasılığını bulalım.
4+5=9 kalemden birincinin mavi olma olasılığı
4
ve
9
5
kalan 8 kalemden birinin de kırmızı olma olasılığı
8
olduğundan
4 5
5
. 
9 8 18
olarak bulunur.
Şekilden de görüldüğü gibi karenin iç bölgesinden
alınan bir noktanın köşelere olan uzaklıklarının 1 cm
den küçük olması için bu nokta boyalı bölgelerin
içinde olmalıdır. O halde
PA 


mA
m E 
.12
4
16
4.

16
olarak bulunur.
Olasılık
LYS Matematik
1.
Bir madeni para atıldığında üst yüzüne tura
gelme olasılığı kaçtır?
A)
2.
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
1
E)
6
8
İki madeni para atıldığında üst yüzüne en az
bir kez yazı gelme olasılığı kaçtır?
A)
3.
1
2
1
8
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
32
B)
5
32
C)
7
32
D)
5
7
E)
16
16
Bir zar atıldığında üst yüzüne asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
A)
5.
1
3
E)
2
4
Bir madeni para arka arkaya 5 kez atıldığında iki kez yazı ve üç kez tura gelme olasılığı
kaçtır?
A)
4.
Test 1
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
İki zar atıldığında üst yüze gelen sayıların
aynı olma olasılığı kaçtır?
A)
6.
1
6
1
12
B)
1
9
C)
1
6
D)
2
3
E)
1
2
Bir zar ve bir madeni para birlikte atıldığında
üst yüzüne zarın tek sayı veya paranın da
yazı gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
12
B)
1
4
C)
1
3
D)
3
1
E)
4
2
Olasılık
LYS Matematik
7.
Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca
rastgele sıraya giriyor.
Buna göre, en kısa ve en uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı kaçtır?
A)
8.
1
12
B)
1
6
C)
1
4
D)
Test 1
10. Çekilen iki topun da farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
A)
1
4
B)
1
3
C)
5
12
D)
1
5
E)
2
9
1
1
E)
3
2
Bir düzgün dörtyüzlünün iki yüzünde S, bir
yüzünde K ve bir yüzünde de P harfi vardır.
Bu düzgün dört yüzlü bir kez atıldığında yan
yüzlerinde, sırasına ve yönüne bakılmaksızın
K, P, S harflerinin görülme olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
2
3
E)
3
4
11. Bir grupta 3 erkek ve 2 kız vardır.
Bu gruptan seçilecek olan 2 kişiden en az
birinin erkek olma olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
3
5
C)
7
10
D)
4
9
E)
5
10
9. - 10. soruları aşağıdaki bilgiden
yararlanarak çözünüz.
Bir torbada aynı büyüklükte 4 sarı ve 5 kırmızı top
vardır. Bu torbadan rastgele iki top çekiliyor.
12. Bir zarın bir yüzü sarı, iki yüzü kırmızı, diğer
yüzleri mavi renktedir. Bu zar iki kez atılıyor.
9.
Çekilen iki topun da sarı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
9
B)
1
6
C)
5
36
D)
2
5
E)
9
18
İki atış sonunda zarın bir kez kırmızı, bir kez de
mavi yüzü üzerine düşmesi olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
2
C)
1
3
D)
2
3
E)
5
6
Çözümler
LYS Matematik
1.
E  Y,T , s E   2
istenen olasılık 
4.
1
2
Test 1
2,3,5
PA 
3 1

6 2
Cevap A
2.
Cevap C
E   T,Y  ,  Y,T  ,  T,T  ,  Y,Y 
Hiç yazı gelmeme olasılığı 
1
5.
1
4
1,1, 2,2, 3,3,  4,4, 5,5, 6,6
6
2
6
1 3

4 4

1
6
Cevap C
Cevap E
6.
3.
PA 
1
 zarın tek sayı gelme olasılığı
2
P B  
1
 paranın yazı gelme olasılığı
2
P  A  B   P  A   P B   P  A  .P B 
YYTTT
1 1 1 1
  .
2 2 2 2
1 3
 1 
4 4

5!
120
2!.3!  12  5
32
16
25
Cevap D
Cevap D
Çözümler
LYS Matematik
7.
Test 1
K, -, -, u
2!.2! 1

4!
6
10.
Cevap B
 4 5
 . 
 1   1   20  5
36 9
9
 
 2
Cevap E
8.
Alt yüze S nin gelme durumu 2 1
 
Tüm durum
4 2
Cevap A
11.
 3  2  3
 .    
1  1   2   6  3  9
10
10
5
 
 2
Cevap E
9.
 4
 
2
6
1
PA    

36 6
9
 
 2
12. S, K, K, M, M, M
2 3 1
2. . 
6 6 3
Cevap B
Cevap C
Olasılık
LYS Matematik
1.
Bir kutudaki 9 ampülden 4 ü bozuktur.
Test 2
4.
Bu ampüllerden rastgele seçilen 3 ampülden
üçünün de bozuk olma olasılığı nedir?
A)
1
21
B)
5
84
C)
1
12
D)
2
5
E)
21
42
Yukarıda eş karelerin üzerinde bulunan 9
noktadan rastgele seçilen üç noktanın bir
üçgen oluşturma olasılığı kaçtır?
A)
19
21
B)
77
84
C)
13
14
D)
79
20
E)
84
21
2.
I. Şekil
II. Şekil
5.
9 küçük kareden oluşan I. şeklin her satır ve her
sütununda bir ve yalnız bir küçük kare karalanarak II. şekildeki gibi desenler elde edilmektedir.
Elde edilen bu desenlerden birinin köşegen
üzerinde olma olasılığı nedir?
A)
1
9
B)
2
9
C)
1
6
D)
1
1
E)
3
2
Yukarıdaki şekil bir kenarı 1 br olan eş karelerden oluşmaktadır.
Şekilden rastgele seçilen bir karenin alanının 4 br2 olma olasılığı nedir?
A)
1
20
B)
3
20
C)
1
5
D)
3
1
E)
2
10
3.
Yukarıdaki şekil bir şehrin birbirini dik kesen
sokaklarını göstermektedir.
A noktasından C noktasına en kısa yoldan
gidecek olan bir kimsenin B den geçme olasılığı nedir?
A)
7
35
B)
9
35
C)
12
35
D)
2
18
E)
5
35
6.
3 evli çift yuvarlak bir masa etrafında oturduğunda evli çiftlerin yan yana olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
15
B)
1
10
C)
1
8
D)
1
2
E)
15
5
Olasılık
LYS Matematik
Test 2
10. Bir torbaya eşit sayıda kırmızı ve beyaz bilyeler
konuluyor. Bu torbadan geri konulmamak üzere
art arda çekilen iki bilyenin ikisinin de kırmızı
7.
renkte olma olasılığı
3
tür.
14
Başlangıçta torbada kaç bilye vardır?
Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve
ayrıca B ve C noktaları çember üzerindedir.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12 E) 14
Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki
noktadan yalnız birinin çembere ait olma
olasılığı kaçtır?
A)
8.
1
3
B)
2
3
C)
3
5
D)
4
9
E)
5
10
Bir kutuda 4 tane mavi, 2 tane kırmızı kalem
vardır. Bu kutudan, geri atılmamak koşuluyla iki
kez birer kalem alınıyor.
Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde
de kırmızı kalem çekme olasılığı kaçtır?
A)
9.
1
6
B)
1
5
C)
7
30
D)
Birincisinden bir top alınıp ikincisine ve
sonra da ikincisinden de bir top alınıp birincisine konulduğunda renk bakımından ilk
durumun elde edilme olasılığı kaçtır?
1
2
B)
19
35
C)
39
70
D)
Bu durumda ikinci torbadan rastgele bir top
çekildiğinde bunun siyah olma olasılığı kaçtır?
A)
29
56
B)
15
28
C)
31
56
D)
4
7
E)
5
8
4
3
E)
15
10
İki torbadan birincisinde 3 sarı 4 kırmızı, ikincisinde 4 sarı ve 5 kırmızı bilye vardır.
A)
11. İçerisinde bilye bulunan iki torbadan birincisinde
3 siyah, 4 beyaz ve ikincisinde 4 siyah, 3 beyaz
bilye vardır. Birinci torbadan bir bilye çekilip
rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.
41
70
E)
6
10
12. Bir torbada 3 mavi ve 3 yeşil bilye vardır.
Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
2
B)
3
5
C)
3
4
D)
4
5
E)
9
10
Çözümler
LYS Matematik
1.
 4
 
3
4
1
PA    

84 21
9
 
3
4.
Test 2
9 3
     .8
3
3
76 19
PA      

84 21
9
 
3
Cevap A
Cevap A
2.
5.
PA 
4.3
12
3


4.5  3.4  2.3  1.2 40 10
Cevap D
2
2 1
 
3.2.1 6 3
Cevap D
3.
A dan B ye
4!
6
2!.2!
B den C ye
3!
3
2!.1!
A dan C ye
7!
 35
4!.3!
PA 
6.
6.3 18

35 35
 3  1 !.2!.2!.2! 
Cevap E
5!
2
15
Cevap D
LYS Matematik
7.
Çözümler
Test 2
10.
 2 3
 . 
1  1   6  3
10 5
5
 
 2
x x 1
3
.

2x 2x  1 14
x4
Cevap C
Cevap B
11.
8.
4 2
8
4
. 

6 5 30 15
3 5 4 4 31
.  . 
7 8 7 8 56
Cevap D
Cevap C
12.
9.
3 3 3  3
 .     . 
 2  1  1   2   9
10
6
 
3
 
3 5 4 6 39
.  .

7 10 7 10 70
Cevap E
Cevap C
Olasılık
LYS Matematik
1.
Bir kutuda 4 beyaz, 3 kırmızı ve 2 mavi kalem
4.
deneyi bitiriyor.
Buna göre, alınan iki kalemin aynı renkte olma
Buna göre, deneyin Mehmet parayı 5. kez attı-
olasılığı kaçtır?
5
36
B)
1
6
Mehmet bir madeni parayı devamlı atarak bir
deney yapıyor ve toplam 3 kez tura geldiğinde
vardır. Bu kutudan rastgele iki kalem alınıyor.
A)
Test 3
C)
1
4
D)
5
18
E)
ğında bitme olasılığı kaçtır?
5
42
A)
1
8
B)
3
16
C)
1
4
D)
9
32
E)
5
16
x2  bx  c  0
5.
denkleminin b ve c katsayılarını belirlemek için
hilesiz bir zar iki kez atılıyor. Zarın üst yüzüne
ilk atışta gelen sayı b katsayısını, ikinci atışta
gelen sayı c katsayısını belirliyor.
Buna göre, oluşan denklemin köklerinin çakışık
olma olasılığı kaçtır?
2.
Bir torbada 4 kırmızı ve 3 sarı top vardır.
A)
Bu torbadan aynı anda rastgele çekilen iki toptan
1
6
B)
1
9
C)
1
12
D)
1
1
E)
18
36
en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A)
3
7
B)
4
7
C)
5
7
D)
6
7
E)
7
8
6.
Şekilde yarıçapları 1, 2 ve 3 birim olan O merkezli çemberler gösterilmiştir.
O
3.
Hilesiz bir zar art arda iki kez atıldığında üst
yüze gelen sayılar çarpımının 4 olma olasılığı
kaçtır?
1
A)
36
Buna göre, en büyük çemberin iç bölgesinde
rastgele seçilen bir noktanın boyalı bölgede olma olasılığı kaçtır?
1
B)
18
1
C)
12
1
D)
9
1
E)
6
A)
2
3
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
6
E)
1
9
Olasılık
LYS Matematik
7.
Bir kenarı 4 cm olan karenin içerisinden rastge-
10. 1 den 4 e kadar numaralanmış 4 siyah ve 4
le bir nokta işaretleniyor.
beyaz top yan yana diziliyor.
Bu noktanın karenin iç teğet çemberinin içeri-
Buna göre, aynı numaralı topların yan yana
sinde olma olasılığı kaçtır?
gelme olasılığı kaçtır?
A) 
8.
Test 3
B)

2
C)

3
D)

4
E)

16
A)
1
105
B)
1
35
C)
1
15
D)
1
7
E)
1
5
Dart oynayan bir genç 4 atış yapıyor.
3
olduğuna
4
Atışlarda isabet ettirme olasılığı
göre, oyuncunun 3 kez isabet ettirme olasılığı
kaçtır?
3
A)  
4
3
3
B)  
4
4
C)
33
4
4
32
D) 3
4
3
E)  
4
2
11. Bir zar arka arkaya 2 kez atılıyor. Üst yüze en
az bir kez 6 gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
3
B)
5
36
C)
1
6
D)
11
36
E)
13
36
9.
O
3
3
A
B
12. İki kişinin oynadığı yazı-tura oyunun paranın
O merkez
üst yüzüne tura getiren oyunu kazanıyor.
OA  OB  3 birim
Şekildeki daire diliminin iç bölgesinden seçilen
bir noktanın O köşesine olan uzaklığının 1 birimden fazla olma olasılığı kaçtır?
A)
1
9
B)
1
3
C)
2
3
D)
7
9
Buna göre, oyuna ilk başlayanın oyunu kazanma olasılığı kaçtır?
A)
E)
8
9
3
4
B)
2
3
C)
1
2
D)
1
4
E)
1
8
Çözümler
LYS Matematik
1.
4 beyaz, 3 kırmızı ve 2 mavi kalem arasından
9
rastgele iki kalem    36 farklı şekilde seçilebi 2
4.
Test 3
Mehmet madeni parayı attığında 3 kez tura
geldiğinde oyun bitiyor ve 5. kez attığında da
oyun bitecekse ilk 4 atışında 2 tura, 2 yazı ve
son atışında da tura gelmelidir.
lir. Ayrıca alınan iki kalemin de aynı renkte olduğu
 4  3  2
         10 farklı durum olduğundan is 2   2  2
YYTT T
4!
6
2!.2!
10
5

tenen olasılık
dir.
36 18
O halde istenen olasılık
6
5
2
Cevap D

3
dır.
16
Cevap B
2.
Bir torbada bulunan 4 kırmızı ve 3 sarı toptan
7
iki tanesi    21 farklı şekilde seçilebilir. Ay 2
5.
x2  bx  c  0 denkleminin kökleri çakışık ise
b2  4c  0 olmalıdır. Zarın üst yüzüne ilk atış-
ta gelen sayı b ve ikinci atışta gelen sayı c kat-
3
rıca alınan iki topun da sarı olduğu    3
 2
sayısını belirliyor ise b2  4c koşulunu sağlayan  2,1 ve  4, 4  gibi 2 durum vardır. O hal-
farklı durum olduğundan en az birinin kırmızı
3 6

olma olasılığı 1 
dir.
21 7
de istenen olasılık
2
1

dir.
36 18
Cevap D
Cevap D
3.
Hilesiz bir zar iki kez atıldığında örnek uzay
62  36 elemanlıdır. Üst yüze gelen sayılar
çarpımının
1, 4  ,  2,2 
4
olduğu
durumlar
ve  4,1 olduğundan istenen ola-
3
1

sılık
dir.
36 12
6.

olduğundan istenen olasılık
Cevap C

En büyük dairenin alanı .12   32  22  6
6 2

tür.
9 3
Cevap A
Çözümler
LYS Matematik
Test 3
10. 1 den 4 e kadar numaralanmış 4 siyah ve 4 beyaz
7.
top yan yana 8! farklı şekilde dizilebilir.
Aynı numaralı toplar yan yana olacağından bu
diziliş
S1 B1
S2 B2
S3 B3
S4 B4
4!.2!.2!.2!.2!
farklı biçimdedir. O halde istenen olasılık
Karenin iç bölgesinde alınan bir noktanın iç teğet çemberinin içinde olma olasılığı
.2
2
4
2


4
4!.2!.2!.2!.2!
1

8!
105
tir.
tür.
Cevap A
Cevap D
8.
i : isabet etme
k : isabet etmeme
iiik
11. Bir zar arka arkaya 2 kez atıldığında üst yüze 6
1
5
gelme olasılığı
ve 6 gelmeme olasılığı
dır.
6
6
4!
4
3!
O halde üst yüze en az bir kez 6 gelme olasılığı
1 5
1 1 11
. .2! . 
dır.
6 6
6 6 36
olduğundan istenen olasılık
3
3 1
3
 4  . 4 .4   4 
 
 
3
Cevap D
olur.
Cevap A
9.
12. İki kişinin oynadığı yazı – tura oyununda oyuna
ilk başlayanın tura getirme olasılığı
OAB daire diliminin iç bölgesinde alınan bir
noktanın

boyalı
. 3  1
2
.3
2
2
8
9
bölgede
olma
olasılığı
1 1 1 1 1 1 1 1 1
 . .  . . . .  ... serisinin toplamı2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
2
na eşit olur. O halde istenen olasılık 2 
1 3
1
4
tür.
dur.
Cevap B
Cevap E
Olasılık
LYS Matematik
1.
İki torbadan birincisinde 4 kırmızı 5 mavi, ikinci-
4.
sinde 5 kırmızı 4 mavi bilye vardır.
Test 4
Bir otobüs firması, yolcularına soğuk veya sıcak
içecek ikram etmektedir. Her soğuk içeceğin
servisi 10 saniye ve her sıcak içeceğin servisi
Birincisinden bir bilye alınıp ikincisine ve sonra
20 saniye sürmektedir.
da ikincisinden bir bilye alınıp birincisine konulduğunda renk bakımından başlangıçtaki duru-
Bu firma ile seyahat eden 45 yolcuya yapılan
mun elde edilme olasılığı kaçtır?
servis 10 dakika sürdüğüne göre, rastgele seçi-
A)
1
2
B)
8
15
C)
49
90
D)
5
9
E)
len bir yolcunun soğuk içecek içmiş olma olası-
2
3
lığı nedir?
A)
5.
1
9
B)
1
5
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
3
5 farklı kişiden 3 üne A, 2 sine de B gazetesi
gönderilmek isteniyor.
Gazeteler, üzerinde bu 5 kişinin isimlerinin yazılı olduğu beş farklı posta kutusuna rastgele
konuyor.
Bu kutulardaki gazetelerin doğru adrese gitme
olasılığı kaçtır?
2.
30 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin 12 si esmer,
A)
kalanı sarışın; 14 ü gözlüksüz kalanı da gözlük-
1
40
B)
1
20
C)
3
20
D)
1
10
E)
3
10
lüdür.
Bu sınıfta 12 gözlüklü sarışın olduğuna göre
rastgele seçilen bir öğrencinin esmer veya gözlüksüz olma olasılığı kaçtır?
A)
1
10
b)
4
15
c)
1
5
D)
2
5
E)
3
5
6.
1 den 30 a kadar numaralanmış 30 top arasından aynı anda 2 top çekiliyor.
Çekilen iki topun numaraları farkının mutlak
değerinin 4 ten küçük olma olasılığı kaçtır?
A)
7.
28
145
B)
1
5
C)
6
29
D)
7
29
E)
2
5
Bir kütüphanedeki her kitaba 1, 2, 3, 4 rakamları ve a, b, c harfleri sadece bir kez kullanılarak
3.
4 erkek ve 5 kız öğrenci arasından 3 kişilik bir
temsilci grubu seçilecektir.
Buna göre, verilen barkod numarasının 1. ve 7.
Buna göre, seçilen temsilci grubunda en az bir
kız bulunma olasılığı kaçtır?
A)
2
3
B)
5
7
C)
5
6
7 haneli bir barkod numarası veriliyor.
hanesinin harf olma olasılığı nedir?
A)
D)
25
28
E)
20
21
1
42
B)
1
7
C)
1
6
D)
2
7
E)
3
7
Olasılık
LYS Matematik
8.
Bir düzgün beşgenin köşe noktaları beyaza,
Test 4
11.
tüm köşegenlerin kesim noktaları da siyaha bo-
B
A
yanıyor.
D
Buna göre, rastgele seçilen bir noktanın beyaz
C
E
F
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
5
1
4
B)
C)
1
3
D)
1
2
E)
2
3
G
H
Birim karelerden oluşmuş yukarıdaki şekilde F,
G ve H noktalarından geçen bir çember çizili-
9.
yor.
A
Buna göre, rastgele seçilen A, B, C, D ve E
noktalarından birinin çember üzerinde olma
olasılığı kaçtır?
3
A)
B
C
6
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 1
AB  3 birim
BC  6 birim
 AB   AC
Şekilde ABC dik üçgeni içinde rastgele bir P
noktası seçiliyor.
Buna göre, PC  PB olma olasılığı kaçtır?
A)
1
3 3
B)
1
C)
3
1
3
D)
2
3
E)
3
2
12.
10. Burak ile Merve’nin tek bir zarla oynadıkları zar
oyunu ile ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.
-
Her biri zarı birer kez atıyor.
-
Zarın üst yüzüne aynı sayı gelirse berabere kalıyorlar.
Zarın üst yüzüne gelen sayılar toplamı çift
-
ise büyük sayı, tek ise küçük sayı atan kazanıyor.
Birim karelerden oluşmuş yukarıdaki şekilden
rastgele seçilen bir karenin 2x2 boyutlarında
olma olasılığı kaçtır?
Burak’ın attığı zar 6 geldiğine göre, Merve’nin
A)
oyunu kazanma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E) 1
1
3
B)
2
3
C)
17
55
D)
17
27
E)
4
9
Çözümler
LYS Matematik
1.
4.
Test 4
Soğuk içecek alan x kişi ise sıcak içecek alan
45 – x kişidir. Her soğuk içeceğin servisi 10sn,
her sıcak içeceğin servisi 20 sn ve yapılan servis 10 dakika sürdüğünden
10x  20  45  x   10.60
Renk bakımından başlangıçtaki durumun elde
900  10x  600
x  30
edilebilmesi için I. torbadan II. torbaya atılan
topun rengi ile II. torbadan I. torbaya atılan topun renginin aynı olması gerekir. O halde iste-
olduğundan istenen olasılık
nen olasılık
4 5  1 5 4  1 49
.
 .

olur.
9 9  1 9 9  1 90
30 2

bulunur.
45 3
Cevap E
Cevap C
5.
5 farklı kişiden 3 üne A ve 2 sine de B gazetesi
5!
 10
3!.2!
2.
30
Gözlüklü
Gözlüksüz
farklı şekilde gönderilebilir. Fakat posta kutula-
Esmer
12 – x
x
rının üzerinde bu beş kişinin isimleri olduğun1
dan istenen olasılık
olur.
10
Sarışın
12
14 – x
12  x  x  12  14  x  30
38  x  30
x8
Cevap D
6.
A : Öğrencinin esmer olma olayı
B : Öğrencinin gözlüksüz olma olayı
P  A  B   P  A   P B   P  A  B 
12 14 8


30 30 30
18

30
3

5

Çekilen iki topun farkının mutlak değerinin 4 ten
küçük olma olasılığı
27.3  2  1
84
28


15.29 145
 30 
 
 2
Cevap E
bulunur.
3.
4 erkek ve 5 kız öğrenci arasından 3 kişilik bir
9
temsilci grubu   farklı biçimde seçilebilir. O
3
halde seçilen temsilci grubunda en az bir kız
bulunma olasılığı
5 4 5 4 5
         
1   2   2  1   3 
9
 
3
Cevap A
7.
Bir kütüphanedeki her kitaba 1, 2, 3, 4 rakamları ve a, b,c harfleri verilerek 7 haneli 7! tane
barkod numarası verilebilir. Verilen barkod numarasının 1. hanesine 3 harften biri 3 farklı şekilde 7. hanesine de kalan 2 harften biri 2 farklı
şekilde ve kalan 1 harf ile 4 rakam kendi arala-
yada
rında 5! şekilde yer değiştirir. O halde istenen
 4
 
3
20
1   
 9  21
 
3
olasılık
3.2.5! 1
 bulunur.
7!
7
bulunur.
Cevap B
Cevap E
Çözümler
LYS Matematik
8.
Test 4
11.
Şekilde görüldüğü 5 köşe beyaza ve köşegenlerin
kesim noktaları olan 5 nokta da siyaha boyandı5 1
 tir.
ğından istenen olasılık
10 2
Şekilde görüldüğü gibi A, B, C, D,E noktalarından sadece biri (B noktası) çember üzerindedir.
O merkezli çemberin yarıçapı 5 birim oldu-
Cevap D
ğundan verilen noktaların çemberin iç yada dış
bölgesinde olduğunu bulabilmek için iki nokta
arasındaki uzaklık da kullanılabilir. O halde is1
tenen olasılık
tir.
5
9.
Cevap A
12.
ABC üçgenin iç bölgesinde alınan bir P noktasının PC  PB koşulunu sağlaması için boyalı bölgede olması gerekir. O halde istenen olasılık
3. 3
1
 2 
A  ABC 3.3 3 3
2
A DEC
Birim karelerden oluşmuş yukarıdaki şekilde
2  4.4  3.3  2.2  1.1   4  1  55 tane kare
bulunur.
Cevap C
vardır. (4+1) ortak olan 1x1 lik 4 kare ve 2x2 lik
1 karedir.
O halde istenen olasılık
10. Burak’ın attığı zar 6 olduğuna göre, Merve’nin
attığı zarın üst yüzüne 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelebilir.
Zarın üst yüzüne gelen sayılar toplamı tek olduğunda küçük atan kazandığından Merve’nin
oyunu kazanabilmesi için attığı zarın üst yüzüne 1, 3 ve 5 sayıları gelmelidir. O halde istenen
3 1
olasılık  dir.
6 2
Cevap C
2.3.3  1 17

55
55
bulunur.
Cevap C
Olasılık
LYS Matematik
1.
Bir apartmanın girişinde numaraları 1, 2 ve 3
Test 5
4.
olan üç posta kutusu vardır. Bu posta kutularıyla ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.
•
Toplam 6 mektup vardır.
•
Her kutuya en az bir mektup konulacaktır.
•
Konulan mektup sayısı, o kutunun numarasından farklı olacaktır.
•
Kutulardaki mektup sayısı birbirine eşit ya
Yukarıdaki dik koordinat düzleminde y eksenine
da farklı olabilir.
teğet ve merkezi (2, 3) noktası olan çember çizilecektir.
Buna göre, 2 ve 3 numaralı posta kutularına
Buna göre, verilen A, B, C, D, E ve F noktala-
eşit sayıda mektup konulma olasılığı kaçtır?
A)
3
5
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
rından rastgele seçilen bir noktanın çember
1
6
içinde olma olasılığı kaçtır?
A)
5.
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
Aşağıda hilesiz bir zar oyununun kuralları verilmiştir.
2.
A  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
kümesinin
elemanları

Oyun tek zar ile oynanmaktadır.
kullanılarak biri 3 elemanlı, diğeri de 4 elemanlı

Zar arka arkaya iki kez atıldığında gelen
sayıların toplamı 8 ise oyun kazanılmakta,
olacak biçimde iki ayrık küme oluşturuluyor.
8 den fazla ise oyun kaybedilmektedir.
Buna göre, 1 ve 2 elemanlarının aynı kümede

bulunmama olasılığı kaçtır?
1
A)
7
2
B)
7
1
C)
5
Zar iki kez atıldığında gelen sayıların toplamı 8 den az ise zar üçüncü ve son kez
3
D)
7
4
E)
7
atılmaktadır.

Bu üç sayının toplamı 8 ise oyun kazanılmakta, 8 den farklı ise oyun kaybedilmektedir.
Birinci atışta 1 gelen bir oyuncunun oyunu
kazanma olasılığı kaçtır?
3.
A)
Her kenarı 1 birim uzunluğundaki 6 kareden
oluşan yukarıdaki şekilde köşeler noktalarla
gösterilmiştir.
Rastgele seçilen iki nokta arasındaki uzaklığın
2 birim olma olasılığı kaçtır?
A)
1
33
B)
2
33
C)
1
11
D)
2
11
E)
3
11
6.
1
12
B)
1
9
C)
5
36
D)
1
6
E)
1
4
Mert A  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 kümesinin üç
elemanlı bir alt kümesini, Güven ise iki elemanlı
bir alt kümesini seçiyor.
Buna göre, Mert ve Güven’in seçtiği alt kümelerin birleşiminin dört elemanlı olma olasılığı kaçtır?
A)
2
7
B)
15
28
C)
3
5
D)
4
7
E)
3
4
Olasılık
LYS Matematik
10.
7.
Test 5
0, 6
aralığı içerisinden rastgele x, y, z reel
sayıları seçiliyor.
Buna göre, 2x  3y  4z  12 olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
18
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
Yukarıdaki şeklin ortasındaki Ö harfinden başlayıp bulunan kareden sağ, sol, yukarı veya
aşağıdaki bir kareye gitmek koşuluyla ÖABT
kelimesi oluşturuluyor.
Buna göre, sadece sağ veya aşağı kareye
giderek ÖABT kelimesini oluşturma olasılığı
11.
kaçtır?
A)
5
32
B)
5
28
C)
1
8
D)
1
4
E)
2
7
ABCD kare, AB  12 birim
Şekilde ABCD karesinin içerisinde alınan bir
8.
A ve B torbalarında 1 den 5 e kadar numaralanmış beşer bilye vardır. Ali A torbasından Bu-
noktanın B ve D köşelerinin her ikisine de
en çok 12 birim uzaklıkta olması olasılığı
rak da B torbasından aynı anda 2 bilye çekiyor.
kaçtır?
Ali ve Burak’ın çektiği bilyelerdeki sayıların
A)
büyük olanının aynı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
20
B)
1
10
C)
3
10
D)
1
5
E)


 1 B)
2
2
C)


 1 D)
2
4
E) 1 

4
1
4
12. Bir kutuda bulunan 50 kartın her birine 1 den 50
ye kadar olan farklı numaralar veriliyor. Bu 50
karttan rastgele biri seçiliyor.
Çekilen kart numarasının 1 fazlasının karesi 10
ile tam bölünebildiğine göre, kart numarasının
9.
0 ile 4 arasında rastgele iki reel sayı seçiliyor.
3 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır?
Bu iki sayının toplamının 2 den küçük olma
A)
olasılığı kaçtır?
A)
1
16
B)
1
8
C)
3
16
D)
1
4
E)
1
2
1
20
B)
1
10
C)
3
20
D)
1
5
E)
2
5
Çözümler
LYS Matematik
1.
Test 5
4.
Posta Kutularına
konan mektup
sayıları
Posta Kutuları
1
2
3
2
3
1
3
1
2
4
1
1
Şekilde görüldüğü 2 ve 3 numaralı posta kutularına eşit sayıda mektup konulma olasılığı
1
tür.
3
Verilen çember y eksenine teğet ve merkezi
(2, 3) olduğundan yarıçapı 2 birimdir. O halde
2 1
istenen olasılık  tür.
6 3
Cevap B
Cevap B
2.
A  1,2,3,4,5,6,7 kümesinin elemanları kullanı7  4
larak biri 3, diğeri de 4 elemanlı      35 ta3  4
5.
Bir zar üç kez atıldığında birinci atışta 1 geldiğinden örnek uzay 1.6.6 = 36 elemanlıdır.
ne ayrık iki küme oluşturulabilir.
Birinci atışta 1 gelen oyuncunun oyunu kazana-
de bulunduğu
bilmesi
için
zarların
üst
yüzüne
1,1,6  , 1,2,5  , 1,3,4 
1,4,3 1,5,2 1,6,1
1,2,   1,2, 
gelmelidir. O halde istenen olasılık
Bu kümelerde 1 ve 2 elemanlarının aynı küme-
5 3 5  4
          15
 2   3  1   4 
6
1
 dır.
36 6
Cevap D
küme olduğundan istenen olasılık
1
15 4

bulunur.
35 7
6.
Cevap E
3.
A  1,2,3,4,5,6,7,8
kümesinin Mert 3 ele-
manlı bir alt kümesini ve Güven de 2 elemanlı
88
bir alt kümesini     farklı biçimde seçebilir.
3  2
Mert ve Güven’in seçtiği alt kümelerin birleşmesinin 4 elemanlı olabilmesi için seçilen alt
kümelerde ortak bir eleman olmalıdır.
O, , O, 
Şekilde köşegenler üzerindeki karşılıklı noktalar
arasındaki uzaklık 2 birim olduğundan istenen olasılık
6.2
2

bulunur.
 12  11
 
2
(O: Ortak eleman)
875
   
1 2 1
15
O halde istenen olasılık       
28
88
  
3
2
  
bulunur.
Cevap B
Cevap D
Çözümler
LYS Matematik
Test 5
10.
7.
Şeklin ortasındaki Ö harfinden başlayıp sağ,
sol, yukarı ve aşağıdaki bir kareye gitmek koşu2x  3y  4z  12
y  z  0 ise x  6
luyla her köşede 8 tane ÖABT kelimesi oluşturulabilir. Fakat tam ortadaki ÖABT kelimeleri
x  z  0 ise y  4
x  y  0 ise z  3
ikişer kez sayıldığından toplam oluşturulan
ÖABT kelimelerinin sayısı 4.8 – 4 =28 tanedir.
8 2
 dir.
O halde istenen olasılık
28 7
0,6
aralığı içerisinden rastgele seçilen x, y, z
reel sayıları için 2x  3y  4z  12 olma olasılığı
Cevap E
Boyalı bölgenin hacmi
Piramit 
8.
Çekilen Büyük
Numaralı Bilye
5
Diğer Bilyeler
4
1,2,3
3
1,2
2
1
Küpün hacmi
1 6.4
.
.3
1
3
2


6.6.6
18
olur.
1,2,3,4
Cevap A
11.
Ali ile Burak’ın çektiği bilyelerdeki sayıların aynı
olma olasılığı
4.4  3.3  2.2  1.1 30
3


bulunur.
100 10
55
  
 2  2
Cevap C
Şekilde ABCD karesinin içerisinde alınan bir
noktanın B ve D köşelerinin her ikisine de en
çok 12 birim uzaklıkta olma olasılığı
9.
Boyalı Bölgenin Alanı
 2S 
Karenin Alanı
 .122 12.12 
2. 


 4
2 


122

 1
2
bulunur.
0x4
0y4
Cevap A
0 xy 2
0 ile 4 arasında seçilen iki sayının toplamının 2
den küçük olma olasılığı
2.2
A2
1
 2  dir.
A1 4.4 8
12. Çekilen kart numarasının 1 fazlasının karesi 10 ile
tam bölünebiliyorsa bu numaralar 9, 19, 29, 39,
49 dur. Bu numaralardan 9 ve 39 3 ile tam bölü2
nebildiğinden istenen olasılık
tir.
5
Cevap E
Cevap B