00 onsoz 12 snf MAT_Mizanpaj 1

6×Q×I
MATEMA7Ĉ.
0HKPHWû$+ú1
www.mehmetsahinkitaplari.org
0(% TDOLPYH THUEL\H.XUXOX
QXQJQYHVD\×O×NDUDU×LOH
|ùUHWLP\×O×QGDQLWLEDUHQX\JXODQDFDNSURJUDPDJ|UHKD]×UODQP×üW×r.
5('$.6ú<21
1XUGDQ<DOo×QND\D$OSHU<×OG×]úSHN(WoLRùOX
PALME YAYINCILIK
Ankara 2012
I
PALME YAYINLARI: 726
12 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin
Yayına Hazırlama
: PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi
Yayın Editörü
: Cemil AYAN
Palme Yayıncılık © 2012
Yayıncı Sertifika No
: 14142
ISBN
: 978-605-355-095-2
%DVNÕ
%DVNÕ7DULKL
6HUWL¿ND1R
:7XQD0DWEDDFÕOÕN6DQYH7LF$ù
:(\OO
:
Bu kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı
dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PALME YAYINCILIĞA aittir. Bu kitapta kullanılan sistem yayın evinin izni
olmadan kullanılamaz.
G ENEL D AĞITIM
YAZIT Yayın-Dağıtım
Sağlık Sokak 17/30 Sıhhiye-ANKARA
Tel 0312-433 63 85-433 56 65 Faks 0312-433 73 17
II
Denebilir ki, hic¸bir s¸eye muhtac¸ deg˘iliz. Yalniz bir tek s¸eye ihtiyacimiz var: C¸alis¸kan
olmak!
Tu¨rkiyenin c¸ocuklari, Batinin teknolojisinin harac¸ gu¨zari olarak deg˘il, kendi icat ettikleri tekniklerle deg˘erlerimizi yeryu¨zu¨ne c¸ikarmali du¨nyaya duyurmalidir
Ku¨c¸u¨k hanimlar, ku¨c¸u¨k beyler! Sizler hepiniz geleceg˘in bir gu¨lu¨, yildizi, ikbal nurusunuz.
Yurdu asil nura gark edecek sizsiniz. Kendinizin ne kadar mu¨him ve kiymetli oldug˘unuzu
du¨s¸u¨nerek ona go¨re c¸alis¸iniz. Sizlerden c¸ok s¸ey bekliyoruz.
Mustafa Kemal Atatu¨rk
III
EDİTÖR
Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının
ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı esas almasıdır. Bu yaklaşımla, soyut gibi algılanan birçok kavram gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu yaklaşım
okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve
analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle yetişen
genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme yetileri gelişecek; kendini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler olacaktır.
Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış
açısı çerçevesinde oluşturulmuştur. Ayrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine
(YGS–LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kapsamı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır.
Bu kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Yayıncılık'ın genel müdürü sayın İlhan Budak'a teşekkür ederim.
Palme Yayıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve onların gelişimine bir katkı sağlaması dileğiyle.....
Cemil AYAN
Ağustos 2012
Ankara
IV
ÖNSÖZ
Sevgili Öğrenciler,
2009 – 2010 Eğitim–Öğretim döneminde 9. sınıflara ilk kez uygulanan yeni geometri müfredatı önemli değişiklikler içermektedir. Elinizdeki kitap Milli Eğitim Bakanlığı
Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı'nın son kararına göre hazırlanmıştır. Başkanlığın istediği kazanımlara göre hazırlanan bu kitapta her ünite etkinliklerle başlamaktadır. Ünite
içindeki testlerin bulunduğu sayfaların sol kısmında bulunan Bilgi sütununda o sayfadaki soruları çözmenize yardımcı olabilecek kavram, özellik ya da örnekler bulunmaktadır.
Bu kitap,
Orta öğretim başarımızı yükseltmek,
Üniversiteye giriş sınavında yüksek başarı elde etmenizi sağlamak
amacıyla 4 yıllık lise müfredatına uygun olarak hazırlanmıştır.
Kitaptaki her etkinlik, her test sorusu yeni müfredata uygun olarak hazırlanmıştır.
Her ünitede testleri oluşturan sorular kolaydan daha çok bilgi içeren soru tiplerine
doğru sıralanmıştır.
Kitabımızın öğrencilerimize yararlı olması bizleri mutlu edecektir.
Sağlık ve başarı dileklerimizle...
Mehmet ŞAHİN
V
ÇNDEKLER
Sayfa No
ÜNİTE
1
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
y
Özel Tanımlı Fonksiyonlar............................................................................. 9
1
Fonksiyon .................................................................................................... 9
π
2
0
π
3π
2
x
2π
Bir Fonksiyonun Grafiği ................................................................................ 16
y=sinx
–1
Periyodik Fonksiyon ..................................................................................... 25
Fonksiyon Çeşitleri ...................................................................................... 31
Bir Fonksiyonun Tersi ................................................................................... 36
Fonksiyon Sayısı ......................................................................................... 39
Bileşke Fonksiyon ........................................................................................ 40
Artan ve Azalan Fonksiyonlar ...................................................................... 42
Tek ve Çift Fonksiyonlar ............................................................................... 47
Bir Fonksiyonun En Geniş Tanım Kümesi .................................................... 59
Parçalı Fonksiyonlar .................................................................................... 62
Parçalı Fonksiyonun Tersi ............................................................................ 64
Parçalı Fonksiyonlarda Bileşke .................................................................... 65
Grafik Çizimi – Öteleme – Simetri ................................................................ 68
Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler ....................................................... 74
Mutlak Değer Fonksiyonu ............................................................................ 80
Bağıntı Grafikleri .......................................................................................... 90
ÜNİTE
Bir Fonksiyonun Limiti .................................................................................. 119
π
0
–
LİMİT VE SÜREKLİLİK
Limit ve Süreklilik ......................................................................................... 118
y
1
–π
2
π
2
1
π
2
kök
2π
3π
2
x
Özel Tanımlı Fonksiyonların Limiti ............................................................... 133
Limit Özellikleri ............................................................................................. 143
–1
Genişletilmiş Gerçel Sayılar Kümesinde Limit ............................................. 152
Belirsizlikler .................................................................................................. 158
Bir Dizinin Limiti ........................................................................................... 195
Seriler
.................................................................................................. 203
Süreklilik
................................................................................................. 225
Fonksiyonlarda Süreklilik ............................................................................. 225
Sürekli Fonksiyonların Özellikleri ................................................................. 233
Sınırlı Fonksiyonlar ...................................................................................... 239
VI
Sayfa No
ÜNİTE
y
c4
Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki .................................................................... 258
c3
Diferansiyel Kavramı ................................................................................................. 261
c2
c1
a1
a2
TÜREV KAVRAMI
Türev ile Hız Arasındaki İlişki ..................................................................................... 253
c5
y=f(x)
3
a3
a4
x
a5
Türevin Tanımı .......................................................................................................... 262
Türev Alma Kuralları ................................................................................................. 272
Türevin Limit Hesabında Kullanılması ...................................................................... 310
Türevin Geometrik Anlamı ........................................................................................ 317
ÜNİTE
4
İNTEGRAL
y
y=f(x)
Belirsiz İntegral ............................................................................................. 415
İntegral Alma Yöntemleri .............................................................................. 425
Riemann Toplamı Olarak Belirli İntegral ....................................................... 466
Belirli İntegral ............................................................................................... 469
a=x0
x1
x2
x3
...
xn–2 xn–1 b=xn
x
VII
1
ÖZEL TANIMLI
FONKSİYONLAR
Özel Tanımlı Fonksiyonlar ............................................................................................9
Fonksiyon .................................................................................................................... 9
Bir Fonksiyonun Grafiği .............................................................................................. 16
Periyodik Fonksiyon ................................................................................................... 25
Fonksiyon Çeşitleri .................................................................................................... 31
Bir Fonksiyonun Tersi ................................................................................................ 36
Fonksiyon Sayısı ....................................................................................................... 39
Bileşke Fonksiyon ...................................................................................................... 40
Artan ve Azalan Fonksiyonlar .................................................................................... 42
Tek ve Çift Fonksiyonlar ............................................................................................. 47
Bir Fonksiyonun En Geniş Tanım Kümesi ................................................................. 59
Parçalı Fonksiyonlar .................................................................................................. 62
Parçalı Fonksiyonun Tersi .......................................................................................... 64
Parçalı Fonksiyonlarda Bileşke .................................................................................. 65
Grafik Çizimi – Öteleme – Simetri .............................................................................. 68
Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler ..................................................................... 74
Mutlak Değer Fonksiyonu .......................................................................................... 80
Bağıntı Grafikleri ........................................................................................................ 90
A
f
B
1
1
2
2
3
4
3
4
5
A
y
1
0
–1
π
2
π
3π
2
2π
y=sinx
x
f
B
a
1
b
2
c
3
4
f içine fonksiyon
f(A)
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
9. sınıf Matematik dersinde bağıntı ve fonksiyon kavramlarını öğrenmiştiniz.
Bu ünitede bazı özellikleri tekrar ele alacağız.
Fonksiyonu bir makine gibi düşünebilirsiniz.
FONKSİYON
x
TANIM
f
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A nın her elemanını B nin yalnız bir tek elemanına eşleyen bağıntıya A dan B ye bir fonksiyon denir.
f(x)
x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere A dan B ye bir f fonksiyonu
f
f: A → B, A → B
Makineye gönderilen her x, makineden f(x)
olarak çıkıyor.
ya da
x → y = f(x) biçiminde gösterilir.
f: A → B fonksiyonunda A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B küme-
Örneğin
sine fonksiyonun değer kümesi ve f(A) kümesine görüntü kümesi denir.
x
f
UYARI
f(x) = 3x + 1
şeklinde olsun. Bu durumda
f : A → B bağıntısının fonksiyon olması için A nın her elemanının B de yalnız
bir tane görüntüsü olmalıdır.
( )
4
Aşağıdaki bağıntıları inceleyiniz.
f
f
A
f(4) = 3.4+1
= 13
B
f
A
B
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
f fonksiyon
f fonksiyon
9
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÖNEMLİ UYARILAR
1. Tanımdan ve örneklerden anlaşılabileceği
gibi A dan B ye bir bağıntının fonksiyon
f
A
B
f
A
B
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
d
4
d
4
olması durumunda, A nın her elemanı
eşlenmekte; fakat A daki bir eleman B de
ancak bir elemana eşlenebilmektedir. Ancak
f fonksiyon de€il,
b eleman› efllenmemifl.
f fonksiyon de€il,
d eleman›, hem 3 ile
hem de 4 ile efllenmifl.
B deki bir elemanın A daki birkaç elemanın
görüntüsü olması veya B deki bazı elemanların A nın hiç bir elemanının görüntüsü
olmaması bağıntının fonksiyon olmasını
bozmaz.
2. f: A → B fonksiyonunda f ile f(x) birbirinden
farklıdır.
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için tanım kümesindeki x değerleri için y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğruların her biri grafiği bir tek noktada kesiyorsa
verilen bağıntı bir fonksiyondur.
f, fonksiyonu; f(x) ise f fonksiyonunun x için
aldığı değerini veya x in B deki görüntüsünü
gösterir.
y
y
f
4
f
E TKİNLİK
y
x
0
–4
0
x
4
2
–2
2
0
x
f:R → R
f fonksiyondur.
f:R → R
f fonksiyondur
–2
y
Şekilde grafiği verilen bağıntı bir fonksiyon
y
f
mudur? Neden?
f
0
f:R → R
f fonksiyon de€il, ba€ıntıdır.
10
x
0
f:R → R
f fonksiyon de€ildir.
x
1.
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d} kümeleri veriliyor. A dan
B ye f, g, h, k bağıntılarından hangileri bir fonksiyondur?
A
f
g
B
A
1
a
1
a
2
b
2
b
3
c
3
c
4
d
4
d
B
A
1
a
1
a
2
b
2
b
3
c
3
c
4
d
4
d
A
h
k
5.
β = {(x, y} : y2 = x2, x, y ∈ R} bağıntısı bir fonksiyon mudur?
Çözüm
x ∈ R için y nin farklı iki değeri olur. Örneğin x = 2 için y = 2 ya
da y = –2 dir. Yani 2 nin 2 ve –2 gibi iki tane görüntüsü vardır.
Bu nedenle β fonksiyon değildir.
B
B
6.
f: R → R, f(x) = x2 + 2x ise f(3) kaçtır?
Çözüm
f(3) = 32 + 2.3 = 9 + 6 = 15 tir.
Çözüm
Yukarıdaki bağıntılardan f fonksiyondur. Çünkü A nın her elemanı B nin yalnız bir elemanı ile eşlenmiştir. f fonksiyonunun
tanım kümesi A = {1, 2, 3, 4}, değer kümesi B = {a, b, c, d} ve
A nın görüntü kümesi f(A) = {a, b, c} dir.
Burada f(1) = b, f(2) = c, f(3) = a, f(4) = c dir. g fonksiyon değildir. Çünkü 2 ∈ A nın görüntüsü B de yoktur. h fonksiyon
değildir. Çünkü 2 ∈ A nın farklı iki görüntüsü vardır. Ayrıca
3 ∈ A nın görüntüsü B de yoktur. Bu ise fonksiyon tanımına
aykırıdır. k fonksiyondur. Çünkü A nın her elemanı B nin yalnız bir elemanı ile eşlenmiştir. Burada k(1) = a, k(2) = c,
k(3) = b, k(4) = d dir.
7.
f ve g fonksiyonları için f2(x) = g2(x) + 3x ve f(2) + g(2) = 2 ise,
f(2) – g(2) kaçtır?
Çözüm
f 2(x) = g2(x) + 3x ise f 2(x) – g2(x) = 3x
⇒ [f(x) – g(x)] . [f(x) + g(x)] = 3x
x = 2 için ⇒ [f(2) – g(2)] . [f(2) + g(2)] = 3. 2
2.
f(2) + g(2) = 2 ⇒ [f(2) – g(2)] . 2 = 6
f = {(1, 1), (2, 1), (3, 1)} fonksiyonunun tanım ve görüntü
kümesini yazınız.
f(2) – g(2) =
Çözüm
6
= 3 olur.
2
Sıralı ikililerin birinci bileşeni f nin tanım kümesinin, ikinci bileşeni görüntü kümesinin elemanıdır. O halde f nin tanım
kümesi {1, 2, 3}, görüntü kümesi = {1} dir.
8.
3.
f = {(1, 1), (1, 2), (4, 3)} bağıntısı fonksiyon mudur?
Çözüm
(1, 1) ve (1, 2) ikililerinin birinci bileşenleri 1 olduğundan
f(1) = 1 ve f(1) = 2 olur. Bu ise fonksiyon tanımına aykırıdır.
4.
β = {(x, y) : y = ax + b, x, y, a, b ∈ R} bağıntısı bir fonksiyon
mudur?
m ∈ R olmak üzere f : R → R, f(x) = mx fonksiyonuna doğrusal homojen fonksiyon denir.
a, b ∈ R olduğuna göre f fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç
tanesi doğrudur?
I.
f(a. b) = a. f(b)
II.
f(a + b) = f(a) + f(b)
III. f(a. b) = f(a) . f(b)
Çözüm
IV. f ^
∀x ∈ R için ax + b ∈ R olduğundan bu bağıntı bir fonksiyondur.
V.
f (a)
a
h = f (b)
b
f(a + b) = f(a) . f(b)
11
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
Çözüm
11.
I.
f(a. b) = m. (a. b) = a.(m.b) = a. f(b) olup doğrudur.
II.
f(a + b) = m. (a + b) = m. a + m. b = f(a) + f(b) olup
doğrudur.
Grafiği yanda verilen
y = f(x) bağıntısı bir fonksiyon mudur?
y
y = f(x)
III. f(a. b) = m. (a. b) ! (m. a) . (m. b) = f(a) . f(b) olup
x
0
yanlıştır.
IV. f ^
V.
f (a)
a
m.a
h = m ^ ba h ! m.b
=
olup yanlıştır.
b
f (b)
Çözüm
Grafiği kesen ve y – eksenine paralel olan bir doğru çizildiğinde bu doğru grafiği
1 den çok noktada (2 noktada) kestiğinden y = f(x) bağıntısı bir fonksiyon değildir.
f(a + b) = m. (a + b) = m. a + m. b
! (m. a) . (m. b) = f(a) . f(b)
olup yanlıştır. O halde iki tanesi doğrudur.
9.
Grafiği yanda verilen
y = f(x) bağıntısı bir
fonksiyon mudur?
y
12.
y
1
x
0
x2+y2=1
y
y = f(x)
x
0
Şekilde x2 + y2 = 1 bağıntısının grafiği veriliyor. Bu bağıntı bir fonksiyon mudur?
y = f(x)
–1
0
1
x
Çözüm
–1
Grafiği kesen ve y eksenine paralel olan doğruların her biri
grafiği bir tek noktada kestiğinden y = f(x) bağıntısı bir fonksiyondur.
10.
y
y = f(x)
0
Çözüm
y
Grafiği kesen ve y eksenine
paralel olarak çizilen doğru
grafiği 1 den çok noktada (2
noktada) kestiğinden bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
Grafiği yanda verilen y = f(x)
bağıntısı bir fonksiyon
mudur?
–1
0
1
–1
x
13.
Çözüm
Grafiği yanda verilen
y = f(x) bağıntısı bir
fonksiyon mudur?
y
y
y = f(x)
Grafiği kesen ve y eksenine
paralel olan doğrular çizildiğinde her doğru grafiği bir tek
noktada kestiğinden y = f(x)
bağıntısı bir fonksiyondur.
12
1
0
0
x
y = f(x)
x
x
Çözüm
16. A = {–1, 0, 1, 2}, B = {–6, –5, –2, 1, 4, 5}
y
f : A ⎯→ B, f(x) = 1–3x olduğuna göre, f(A) görüntü kümesini
bulalım.
Grafiği kesen ve y eksenine
paralel olan doğru grafikle
çakışacağından grafiği sonsuz çoklukta noktada keser.
y = f(x) bağıntısı bir fonksiyon değildir.
x
0
Çözüm
f(x) = 1– 3x ve A = {–1, 0, 1, 2} olup
y = f(x)
x = –1 ⇒ f(–1) = 1 – 3.(–1) = 4
x = 0 ⇒ f(0) = 1 – 3. 0 = 1
x = 1 ⇒ f(1) = 1 – 3. 1 = –2
x = 2 ⇒ f(2) = 1 – 3. 2 = – 5
olduğundan f(A) = {–5, –2, 1, 4} olur.
A
14.
y = f(x)
0
–1
–5
0
–2
1
1
2
x
Görüntü
Kümesi
4
5
Tanım Kümesi
Çözüm
Grafiği kesen ve y eksenine paralel olan doğruların her biri grafiği bir
tek noktada kestiğinden
bağıntı bir fonksiyondur.
(sabit fonksiyon)
B
–6
Grafiği yanda verilen
y = f(x) bağıntısı bir
fonksiyon mudur?
y
f
De€er Kümesi
y
y = f(x)
0
x
17. A ⊂ R, B ⊂ R olmak üzere
f : A ⎯→ B fonksiyonunun
grafiği x ⎯→ y = f(x) veriliyor. f nin tanım kümesini ve
f(A) görüntü kümesini bulunuz.
y
2
3
–4
x
0
–1
y = f(x)
15. f : A ⎯→ B, f(x) = x + 2 fonksiyonu için f(A) = {1, 4, 7} olduğuna
göre, f nin tanım kümesini bulunuz.
Çözüm
x + 2 = 1 ⇒ x = –1
x+2=4⇒x=2
x+2=7⇒x=5
Çözüm
–4 ≤ x ≤ 3 olduğundan f fonksiyonunun tanım kümesi
A = [–4, 3] aralığıdır.
–1 ≤ y ≤ 2 olduğundan f(A) görüntü kümesi f(A) = [–1, 2]
aralığıdır.
olduğundan f nin tanım kümesi A = {–1, 2, 5} kümesidir.
13
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
1.
A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c} kümeleri veriliyor.
f
I.
A
f
B
1
II.
a
2
b
3
c
4
A
1
2
3
4
A
B
1
a
2
b
3
c
f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} şeklinde verilen f fonksiyonunun
tanım kümesini bulunuz.
4
f
III.
3.
B
a
b
c
IV.
A
1
2
3
f
B
a
{a, b, c, d}
b
c
4
Yukarıda verilen bağıntıların hangileri bir fonksiyondur?
4.
β = {(x, y): y2 = 2x2, x, y ∈ R} bağıntısı bir fonksiyon mudur?
I – III – IV
Değildir
2.
A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, 3, 4} kümeleri ve f = {(a, 1), (b, 2),
(c, 3), (d, 3)} fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonu için f(A) görüntü
kümesini bulunuz.
{1, 2, 3}
14
5.
f : R ⎯→ R, f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 5 ise, f(x – 1) in eşiti nedir?
x3 + 4
6.
f : R ⎯→ R
f(x + 2) = x2 + 4 olduğuna göre, f(x + 3) ün eşitini bulunuz.
7.
f : A ⎯→ B, f(x) = 5 – x ve f(A) = {2, 5, 7} olduğuna göre, f nin
tanım kümesini bulunuz.
x2 + 2x + 5
8.
Aşağıda grafiği verilen bağıntılardan hangileri bir fonksiyondur?
I.
y
II.
y = f(x)
y
y = f(x)
x
0
III.
0
IV.
y
x
{–2, 0, 3}
9.
A ⊂ R, B ⊂ R
olmak üzere
f : A ⎯→ B
x ⎯→ y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. f
fonksiyonunun tanım kümesini ve f(A) görüntü
kümesini bulunuz.
y
3
2
1
–6
0
–2
4
x
y = f(x)
y
y = f(x)
2
0
y = f(x)
x
–2
0
x
–2
A = [–6, 4]
f(A) = [–2, 3]
II – III
15
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
ETKİNLİK
f : A ⎯→ B,
Bir P düzlemi içinde L doğrusu ve L doğrusu dışında bir K noktası veriliyor. P nin K dışındaki
bütün noktalarının kümesi A = P – {K} olsun. A
x ⎯→ y = f(x) fonksiyonu verildiğinde Gf = {(x, y) : y = f(x), x ∈ A, y ∈ B} kümesine
koordinat düzleminde karşılık gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği
denir.
Gf ⊂ A x B dir.
dan L ye bir f bağıntısı
"(x, y) ∈ f , x K
doğrusunun L yi kestiği nokta y dir" şeklinde tanımlıdır. Buna göre, f:A → L nin bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
ÖZEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
1
x1
f : R ⎯→ R, f(x) = ax + b, (a ≠ 0) Fonksiyonunun Grafiği
x
a ≠ 0, a, b ∈ R olmak üzere f(x) = ax + b fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir.
x2
y
L
K
y = ax + b fonksiyonunun grafiğini çizmek için
x = 0 için y = b & A(0, b)
y = 0 için x = –
6x ! A için y ! L vardır. Çünkü 6x ! A
yı K ye birleştiren doğru L yi, y de keser. Kesişen
b
b
& B a – , 0 k noktaları bulunur. Grafik, bu iki noktadan geçen
a
a
doğrudur.
iki doğrunun yalnız bir ortak noktası olduğundan
"A daki her nokta L de yalnız bir noktaya eşleneceği" için f: A → L fonksiyondur.
y = f(x) ve
y
x
+ = 1 ise f fonksiyonunun grafiği A(a, 0) ve
a
b
B(0, b) noktalarından geçen doğrudur.
ETKİNLİK
f: [–1, 3] → R
f (x) =
y
a>0
b>0
(x + 1)
+3
2
0
y
a>0
b<0
b
a
x
a
0
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b
y
a<0
b>0
0
y
a<0
b<0
b
a
x
a
x
0
b
16
x
1.
f : R ⎯→ R, f(x) = x + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
y
4.
Çözüm
y = x+3
y=x+3
A (0, 3)
B
y = 0 için 0 = x + 3 ⇒ x = –3,
B(–3, 0) olduğundan grafik
A(0, 3) ve B(–3, 0) noktalarından geçen doğrudur.
B
y = 5 – ax
y
3) → A
( –3
0) → B
Çözüm
O halde y = 5 –3x
x = 0 için y = 5 – 3. 0
y = 5,
y
y
5) → A
0) → B
A(0, 5)
3x = 5
1 A
x = 0 için y = –3. 0 + 1
B
y = 1, A(0, 1)
0
1
3x = 1 ⇒ x = ,
3
⇒ x=
x
1
3
y = 0 için 0 = –3x + 1
3
x
(0
(5
3
x
y = 0 için 0 = 5 – 3x
y = –3x + 1
a 1, 0k
5
3
a = 5 – 2 ⇒ a = 3 olur.
f : R ⎯→ R, f(x) = –3x +1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
B
0
2 = 5 – a. 1
x
(0
doğrusunun grafiğini çizmeliyiz.
2.
5 A
x = 1 için y = 2 olup
x
0
–3
y
y = f(x) in grafiği A(1, 2) noktasından geçtiğinden
A 3
x = 0 için y = 0 + 3 = 3,
f : R ⎯→ R, f(x) = 5 – ax fonksiyonunun grafiği A(1, 2) noktasından geçtiğine göre, f nin grafiğini çiziniz.
x y
(0
1) → A
( 1 0) → B
3
5
, B
3
a 5 , 0k
3
grafik A(0, 5) ve B
a 5 , 0k
f: R ⎯→ R, f(x) =
x
– 1,
2
3
olup
noktalarından geçen doğrudur.
olduğundan grafik
1
A(0, 1) ve B a , 0 k noktalarından geçen doğrudur.
3
5.
g: R ⎯→ R, g(x) =
x
+1
3
fonksiyonlarının grafiklerinin kesim noktasının düzlemin hangi
bölgesinde olduğunu bulunuz.
3.
f : R ⎯→ R, f(x) = 2x – 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
f(x) = g(x) koşulunu sağlayan x değerini bulmalıyız.
y
y = 2x – 3
x
x
x x
– 1= + 1 & – = 1+ 1
2
3
2 3
x = 0 için y = 2. 0 – 3
B
y = –3, A(0, –3)
0
y = 0 için 0 = 2x – 3
2x = 3 ⇒ x =
3
2
3 A
3
2
,
3
B a , 0 k olup
2
x y
(0 –3) → A
( 3 0) → B
2
3
A(0, –3) ve B a , 0 k noktalarından geçen doğru
2
x
&
3x – 2x
=2
6
&
x
=2
6
& x = 12 olup
x = 12 için y = f(12) =
12
– 1 = 5 tir.
2
f ve g fonksiyonlarının grafikleri K(12, 5)
noktasında kesişir. K(12, 5) noktası koordinat düzleminde
I. bölgededir.
y = 2x – 3 doğrusunun grafiğidir.
17
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
f : R ⎯→ R, y = f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiği
2
ÖNEMLİ UYARILAR
y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğine parabol denildiğini ve grafiğinin
çizimini 10. Sınıf Matematik dersinde öğrenmiştiniz.
Parabol ile ilgili temel kavramları tekrar edelim.
x2 = 2py veya
y = ax2 + bx + c biçimindeki paraboller birer
fonksiyondur. Ancak y2 = 2px veya
x = ay2 + by + c biçimindeki paraboller bir
f(x) = ax2 + bx + c
fonksiyonunun:
Tepe noktası
Tb–
Simetri ekseni
r= –
bağıntıdır.
y
b
2a
doğrusudur.
a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğru,
y
x
0
b ,
b
f (–
) l dır.
2a
2a
a < 0 ise grafiğin kolları aşağı doğrudur.
0
x
Grafiği çizmek için
x2 = 2py
p>0
x2 = 2py
p<0
x = 0 için
y = c ve eğer varsa
y = 0 için x eksenini kestiği noktalar bulunur.
y
y
Özel Durumlar
x
0
0
x
1) y = ax2 parabolünün grafiği:
Tepe noktası T(0, 0) olup grafik aşağıdaki gibidir.
y2 = 2px
p<0
y2 = 2px
p>0
y
y = ax2
y
0
y = ax2 + bx + c
a > 0, ∆ > 0
c<0
(a > 0)
y
x
0
x
0
x
x = ay2 + by + c
∆>0
c>0
y = ax2
(a < 0)
2) y = ax2 + c parabolünün grafiği:
Tepe noktası T(0, c) olduğundan grafik aşağıdaki gibi olur.
y
a>0
c>0
y
y = ax2 + c
a>0
c<0
y = ax2 + c
c
0
x
x
0
c
18
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
3) y = a(x – r)2 + k parabolünün grafiği:
Tepe noktası T(r, k) dır.
ETKİNLİK
y = 3(x – 2)2 – 1 parabolünün grafiği:
y = mx2 + 1 parabolü ile y = mx doğrusu teğet
y
olduğuna göre m kaçtır?
Parabol ve doğru denklemleri ortak çözülür.
11
mx2 + 1 = mx
mx2
– mx + 1 = 0 dır.
Doğru ile parabolün teğet olması için elde edilen
son denklem de Δ = 0 olmalıdır.
2
Δ = m2 – 4.m = 0
0
m = 0 veya m = 4
x
Tepe noktası: T(2, –1)
–1
Grafiği inceleyiniz.
T
m ≠ 0 olacağından m = 4 olmalıdır.
y
y = –2(1 – x)2 + 1 parabolünün grafiği:
y=4x
y=4x2+1
y
0
x
1
0
–1
T
1
x
Tepe noktası: T(1, 1)
ETKİNLİK
Grafiği inceleyiniz.
y
x
0
0 < m < n < p olmak üzere
y = mx2 , y = nx2 , y = px2 fonksiyonlarının grafikleri aynı
koordinat düzleminde aşağıdaki gibi çizilir.
y3 y
2 y1
y
Şekilde y1 = ax2 , y2 = bx2 ve y3 = cx3
olduğuna göre a, b, c arasındaki sıralamayı
y = px2
y = nx2
y = mx2
bulunuz.
0
x
x2 nin katsayısı büyüdükçe parabollerin kolları y eksenine
yaklaşır.
19
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
1.
y = –3x2 parabolünün grafiğini çiziniz.
5.
Çözüm
f : R → R,
çiziniz.
y = f(x) = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini
y
Çözüm
–3x2
y =
parabolünün
tepe noktası T(0, 0) dır.
–3 < 0 olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur.
0
r=–
x
b
–4
=–
=2
2a
2.1
f(r) = f(2) = 22 – 4.2 + 3 = –1
y = –3x2
olup parabolün tepe noktası, T(2, –1) dir.
Parabolün y eksenini kestiği nokta:
x = 0 için y = 02 – 4.0 + 3 & y = 3
olup
A(0, 3) noktasından geçer.
2.
y = x2 + 2 parabolünün grafiğini çiziniz.
Parabolün x eksenini kestiği noktalar:
Çözüm
y = 0 için x2 – 4x + 3 = 0
y
y = x2 + 2
Parabolün tepe noktası
T(0, 2) dir. a = 1 > 0
olduğundan parabolün
kolları yukarı doğrudur.
(x – 1)(x – 3) = 0 & x = 1 veya x = 3
olup B(1, 0) , C(3, 0) noktalarından geçer.
2
Grafik:
x
0
y
3 A
B 2 C
0
1
3
–1
3.
T(2, –1)
y = 4 – x2 parabolünün grafiğini çiziniz.
Çözüm
y = 4 – x2 parabolünün
tepe noktası T(0, 4) noktasıdır. a = –1 < 0 olduğundan parabolün kolları
aşağı doğrudur.
x
y
6.
4 T
0
–2
x
2
y = 4 – x2
Şekilde y = mx2, y = nx2
ve y = px2 parabollerinin
grafikleri aynı koordinat
düzleminde çizilmiştir.
y
0
x
Buna göre m, n, p arasındaki
sıralamayı bulunuz.
y = mx2
4.
y = 3(x + 1)2 – 4 parabolünün grafiğini çiziniz.
Çözüm
y = 3(x + 1)2 – 4 parabolünün tepe noktası
T(–1, –4) noktasıdır.
a = 3 > 0 olduğundan
parabolün kolları yukarı
doğrudur.
y
y = 3(x+1)2 –4
–1
0
T
x
Çözüm
Parabollerin kolları aşağı
doğru olduğundan
m, n ve p reel sayıları
negatiftir.
x = 1 için y = m.12 = m
y
0
1
x
m
–1
–4
y = n.12 = n
n
y = p.12 = p
p
dir. Grafik incelenirse
p<n<m
20
y = nx2
y = px2
olacaktır.
y = mx2
y = nx2
y = px2
1.
y = 2(1 – x2) parabolünün grafiğini çiziniz.
4.
y = –3x2 + 3 parabolünün grafiğini çiziniz.
y
y
3
2
0
–1
1
x
0
–1
2.
5.
y = x2 + 2x parabolünün grafiğini çiziniz.
x
1
y = –x2 – 5x + 6 parabolünün grafiğini çiziniz.
y
T
y
x
0
–2
6.
0
5
2
–6
x
1
y = 2(x + 2)2 – 8 parabolünün grafiğini çiziniz.
y
3.
y = (x – 2)2 parabolünün grafiğini çiziniz.
y = 2(x+2)2 – 8
–2
–4
0
x
y
4
0
2
x
–8
T
21
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
3
ETKİNLİK
3x
= x + 2
denkleminin köklerinin sayısını
f : R ⎯→ R, f(x) = ax Fonksiyonunun Grafiği
f(x) = ax fonksiyonuna üstel fonksiyon denir. Üstel fonksiyon ile ilgili ayrıntılı bilgileri
11. sınıf Matematik dersinde öğrenmiştiniz.
bulalım.
y
Grafikle çözüm yapacağız. y = 3x eğrisi ile
y
y = ax
y = x + 2 doğrusunun grafiklerinin kesim noktalarının sayısı, 3x = x + 2 denkleminin köklerinin
sayısı ile aynıdır.
1
y
0
a>1
2
A
x
y = ax
x
0
y=x+2
B
3
1
0<a<1
1
–2 –1
0
1
x
Grafiklerden görüldüğü gibi eğri ve doğru A ve
B gibi iki noktada kesişiyor. O halde
3x = x + 2 denkleminin iki kökü vardır.
4
f : R+ ⎯→ R, f(x) = logax Fonksiyonunun Grafiği
f : R+ → R, f(x) = logax fonksiyonuna a tabanına göre logaritma fonksiyonu denir.
Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur.
y
y
y = logax
0
1
a>1
ETKİNLİK
a, b, s, t reel sayılar ve a > 0, b > 0 ise
as.at = as+t, (as)t = ast
(ab)s = as.bs , 1s = 1
a –s =
1
1
=bal
as
a0 = 1
22
E TKİNLİK
a > 0 , a ≠ 1 olmak üzere
f(x) = ax ise her x ∈ R için
s
f (x + 1)
=a
f (x)
olduğunu gösteriniz.
x
0
x
1
0<a<1
y = logax
1.
a) f : [–1, 2] → R,
f(x) = 3x
b) f : [–2, 1] → R,
f(x) = 2–x
2.
f : R → R, f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
y
fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
a = 3 > 0 olduğundan
Çözüm
y = 3x fonksiyonun grafiği
yandaki gibidir.
a) f : [–1, 2] → R,
y = 3x
1
x
0
3x
fonksiyonunda a = 3 > 0 olduğundan f nin artan
f(x) =
olduğunu öğrenmiştiniz.
–1 ≤ x ≤ 2 & 3–1 ≤ 3x ≤ 32 olup
1
≤ f (x) ≤ 9 dur.
3
Yani f (x) ! :
y
9
1,
9 D dur.
3
3.
y = 3x
f(0) = 30 = 1 olduğundan
grafik yandaki gibidir.
1
–1
f : [1, 9] → R , f(x) = log3x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
y
f(1) = log31 = 0
1
3
0
f(9) = log39 = log332 = 2log33
2
2
f(9) = 2
0
ve a = 3 > 1 olduğundan
x
9
1
grafik yandaki gibidir.
1 x
b) f : [–2, 1] → R, f(x) = 2–x fonksiyonunu f(x) = b l şeklinde
2
yazalım.
a=
1
2
ve
4.
f::
1
, 4 D $ R, f (x) = 2 log 1 x fonksiyonunun grafiğini
2
2
çiziniz.
0<
1
1
< 1 olduğundan f(x) = b l
2
2
x
fonksiyonu-
Çözüm
1
1
f b l = 2 log 1 = 2
2
2
nun azalan olduğunu öğrenmiştiniz.
2
1 1
1 x
1 –2
–2 ≤ x ≤ 1 & b l ≤ b l ≤ b l
2
2
2
1 –2
1
f (4) = 2 log 1 4 = 2 log 1 b l = –4 log 1 = –4 tür.
2
2 2
2
2
1
≤ f (x) ≤ 4
2
y
f (1) = 2 log 1 1 = 0 dır.
1
olup f (x) ! : , 4 D
2
a=
1 0
f (0) = b l = 1 olduğundan
2
1
1
ve 0 < < 1 olduğun2
2
dan grafik yandaki gibidir.
grafik yandaki gibidir.
–2
1
2
0
y
2
4
1
1
2
4
0 1 1
2
x
x
–4
23
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
1.
f(x) = 3–x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4.
f(x) = log2x fonksiyonunun grafiğini [2, 8] aralığında çiziniz.
y
y
y = log2x
3
y=3–x
1
1
3
0
2.
1
x
1
0
5.
y = 22x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f ::
1
, 3 D $ R,
3
1
2
x
8
f (x) = log 1 x fonksiyonunun grafiğini
3
çiziniz.
y
y = 22x
4
y
y = log 1 x
1
1
0
3
x
1
1
0
3
1
3
x
–1
3.
f(x) = 2x.3–x fonksiyonunun grafiğini [1, 2] aralığında çiziniz.
6.
f : [2, 4] $ R,
f (x) = log 1 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4
y
y
2
3
4
9
0
24
0
1
2
x
1
2
–1
2
4
x
PERİYODİK FONKSİYON
ETKİNLİK
f: R → R – {3} olmak üzere T > 0 ve
6x ! R için
f(x + T) =
f (x) – 5
koşulunu sağlayan f fonksif (x) – 3
yonunun periyodik olduğunu gösteriniz.
f (x + 2T) =
=
f (x + 3T) =
=
f (x + T) – 5
f (x + T) – 3
TANIM
A ⊂ R olmak üzere f : A → R fonksiyonunda n ∈ N+ için
f(x) = f(x + t) = f(x + 2t) = ... = f(x + nt)
eşitliğini sağlayan t ∈ R sayısı varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon denir.
f(x) = f(x + t) koşulunu sağlayan en küçük pozitif t reel sayısına f fonksiyonunun
periyodu denir. f periyodik bir fonksiyon ise f(x + t) – f(x) = 0
(x + t) – x = t
dir.
2f (x) – 5
f (x) – 2
2f (x + T) – 5
f (x + T) – 2
ÖRNEK – 1
y
3f (x) – 5
f (x) – 1
3
f (x + 4T) =
3.f (x + T) – 5
f (x + T) – 1
–2
= f (x) olacaktır.
O halde f nin periyodu 4T dir.
ETKİNLİK
f: R → R
f fonksiyonunun periyodu 6 ise,
3
g(x) = f a x + 5 k fonksiyonunun periyodunu
2
bulunuz.
0
2
4
6
8
x
R den R ye tanımlı f fonksiyonunun grafiğinin bir kısmı verilmiştir.
a)
f fonksiyonunun periyodik olduğunu gösteriniz ve periyodunu bulunuz.
b)
f nin görüntü kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM
a)
f (x) = f(x + 2) = f(x + 2.2) = ... = f(x + n.2) olup f periyodik bir fonksiyondur.
(x + 4) – (x + 2) = t & t = 2 dir.
b)
x ∈ [–2, 0] & f(x) ∈ [0, 3]
x ∈ [0, 2] & f(x) ∈ [0, 3]
x ∈ [2, 4] & f(x) ∈ [0, 3]
x ∈ [4, 6] & f(x) ∈ [0, 3]
x ∈ [6, 8] & f(x) ∈ [0, 3]
olup f(R) = [0, 3] tür. O halde f nin görüntü kümesi [0, 3] kümesidir.
25
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
ÖRNEK – 2
f: R → R
f ve g , R den R ye tanımlı iki periyodik fonksiyondur.
bire bir olmayan bir fonksiyon ve
f(x) = f(x + 6) = f(x + 12) = f(x + 18) = ... ve
g: R x R → R, 6x, y ! R için
g(x) = f b
4x
+ 10 l ise g(x) fonksiyonun periyodunu bulunuz.
3
f(x + y) = g(f(x), y) olsun.
f nin periyodik fonksiyon olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM
f bire bir olmadığından α, β ∈ R ve α ! β için
f(α) = f(β) diyebiliriz.
x yerine α ve f(α) yerine f(β) yazalım.
Yani
f(α + y) = g(f(α), y)
= g(f(β), y)
4
4
g(x + t) = g(x) & f b (x + t) + 10 l = f b x + 10 l
3
3
fc
4x
4t
4
+ 10 + m = f c x + 10 m
3
3
3
ve f nin periyodu 6 olduğundan
O halde g(x) in periyodu
f(α + y) = f(β + y) olur.
4t
18 9
=6 & t=
=
3
4
2
bulunur.
9
dir.
2
α + y = z denilirse y = z – α olup
f(z) = f(β + z – α) & f(z) = f(z + β – α)
olur. O halde β – α f için bir periyottur.
Böylece f nin periyodik fonksiyon olduğu gösterilmiş oldu.
ÖRNEK – 3
Reel sayılarda tanımlı f(x) fonksiyonunun periyodu 16 ise
ETKİNLİK
f: R → R , g: R → R
g(x) = f b
4x – 3
l + 4 fonksiyonunun periyodu kaçtır?
5
ÇÖZÜM
iki fonksiyon ve f periyodik bir fonksiyon olsun.
f nin periyodu T ve g(x) = f2(x + T) ise,
g fonksiyonu periyodik midir? Neden?
T ∈ R+ olmak üzere, g(x + T) = g(x) olmalı
g(x + T) = f c
= fb
4 (x + T) – 3
m+4
5
4x – 3 4T
+
l + 4 = g (x)
5
5
& fb
& fb
4x – 3 4T
4x – 3
+
l + 4 = fb
l+4
5
5
5
4x – 3 4T
4x – 3
+
l = fb
l
5
5
5
ve f nin periyodu 16 ise
26
4T
= 16 & T = 20
5
dir.
Trigonometrik ve Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
ETKİNLİK
Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini çizmek için verilen fonksiyonun önce tanım
y = sin c 2x +
2r
x
m eğrisi ile y = 5 doğrusunun
3
[0, 2π) aralığında kaç noktada kesiştiğini bulu-
ve değer kümeleri belirlenir. Fonksiyonun periyodu bulunur.
Fonksiyonun değişim tablosu yapılarak periyot genişliğindeki aralıkta grafik çizimi
yapılır.
nuz.
10. sınıfta öğrenmiş olduğunuz aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
r r
sin: 9 – , C
2 2
y
1
3
2
B
y=
7π
6
17π
12
A
0
π
6
5π
12
2π
3
11π
12
6 –1, 1 @ , x $ sin x
9 – r2 , r2 C , x $ arcsin x
1–1
örten
& arcsin: 6 –1, 1 @
x
5
C
1–1
örten
y
x
y
y=sinx
π/2
y=arcsinx
1
–1
–π/2
x
2r
doğrusu ile y = sin c 2x +
m eğrisinin
5
3
grafikleri çizildiğinde bu iki grafiğin A, B, C gibi üç
0
x
1
–1
y=
noktada kesiştiği görülür. Bu noktalar yaklaşık
–1
x
π/2
0
–π/2
cos : 6 0, r @
1–1
örten
6 –1, 1 @ ,
x $ cos x &
arccos: 6 –1, 1 @
1–1
örten
6 0, r @ ,
x $ arc cos x
olarak (hesap makinesi ile)
y
y
x = 0,48 , x = 2,34 ve x = 3, 30 dur.
π
y=cosx
1
π/2
π/2
π
0
–1
tan: a –
r r
k
,
2 2
–1
1 –1
örten
ETKİNLİK
R, x $ tan x &
y
arctan: R
1 –1
örten
0
y
y=tanx
π/2
b) g(x) = tan2 (πx + 1)
c) h(x) =
3π
b x + 1l
5
–π/2
x
π/2
0
x
1
a – r , r k, x $ arctan x
2 2
π
a) f(x) = sin3 a x + k
3
cos4
y=arccosx
x
y=arctanx
x
0
–π/2
fonksiyonlarının periyotlarını bulunuz.
cot : ^ 0, rh
1 –1
örten
R , x $ cot x & arc cot: R
y
1–1
örten
^ 0, rh , x $ arc cot x
y
y=cotx
π
0
π/2
π
π/2
x
y=arccotx
0
x
27
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
1.
Çözüm
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların grafiklerini
çiziniz.
a) f(x) = sinx periyodik bir fonksiyon ve periyodu T = 2π dir.
a) f : [0, 2π] → R , f(x) = cosx
b) f : [0, 2π] → R , f(x) = 1 – cosx
x
0
π
2
π
3π
2
2π
sinx
0
1
0
–1
0
Çözüm
y
a) f(x) = cosx fonksiyonu periyodik bir fonksiyon ve periyodu
T = 2π dir.
x
0
π
2
cosx
1
0
π
3π
2
2π
–1
0
1
1
π
2
0
π
3π
2
–1
x
2π
y=sinx
y
f(x)=cosx
b) f(x) = 2sinx – 1 fonksiyonunun periyodu T = 2π dir.
1
π
2
0
π
3π
2
x
2π
–1
x
0
π
2
π
3π
2
2sinx–1
–1
1
–1
–3
2π
–1
y
b) f(x) = 1 – cosx fonksiyonunun periyodu T = 2π dir.
1
x
0
π
2
1 – cosx
0
1
π
3π
2
2π
2
1
0
0
π
2
π
3π
2
2π
x
–1
y=2sinx–1
y
–3
y=1–cosx
2
1
0
2.
π
2
π
3π
2
2π
x
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların grafiklerini
çiziniz.
3.
Aşağıda verilen trigonometrik fonksiyonların grafiklerini
çiziniz.
a) f : [0, 2π] → R , f(x) = sinx
a) f : [0, π] → R , f(x) = tanx
b) f : [0, 2π] → R , f(x) = 2sinx – 1
b) f : (0, π) → R , f(x) = cotx
28
Çözüm
4.
a) f(x) = tanx fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur ve periyodu T = π dir.
x
0
π
4
π
3
tanx
0
1
3
π
2
2π
3
3π
4
π
– 3
–1
0
f: (0, 3π) $ R, f(x) = 2.cot 3x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
x
x
= 0 & x = 0 , = π & x = 3π
3
3
Periyot T =
+∞ –∞
y
π
= 3π dir.
1
3
0
x
2cot x
3
3π
4
3π
2
9π
4
2
0
–2
3π
Tanımsız
Tanımsız
3
y
1
Tanımsız
π
3
π
4
0
–1
π
2
2π
3
x
π
3π
4
2
3π
2
– 3
9π
4
0 3π π
4
x
3π
–2
5.
b) f(x) = cotx fonksiyonu periyodik ve periyodu T = π dir.
x
π
4
0
1
cotx
π
3
π
2
2π
3
3π
4
3
3
0
– 3
3
–1
π π
, k " R, f (x) = –3 tan 2x
4 4
çiziniz.
f: a –
fonksiyonunun grafiğini
Çözüm
2x = –
π
2x =
π
–π
& x=
2
4
π
π
& x=
2
4
Periyot T =
π
2
dir.
y
x
–π
4
–3tan2x
–π
8
0
π
8
3
0
–3
Tanımsız
1
Tanımsız
y
3
3
–
3
3
π
4
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
π
x
3
–1
–π
4
–π 0
8
π
8
π
4
x
–3
29
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
1.
f(x) = 2cosx fonksiyonunun [0, 2π] aralığında grafiğini çiziniz.
3.
f(x) = 2 + tanx fonksiyonunun a –
r,r
k aralığında grafiğini
2 2
çiziniz.
y
2
y
π
2
0
π
3π 2π
2
x
2
π
2
–2
2.
f(x) = 1 – 2sinx fonksiyonunun [0, 2π] aralığında grafiğini
çiziniz.
4.
0
x
π
2
f(x) = 1 – cotx fonksiyonunun (0, π) aralığında grafiğini
çiziniz.
y
y
3
2
1
1
0
–1
30
π
2
0
π
3π
2
2π
x
π π
4 2
3π
4
π
x
ETKİNLİK
f: A → B bir fonksiyon
P(A), A nın kuvvet kümesi
P(A) = {x | x ⊆ A} olmak üzere
F: P(A) → P(B) fonksiyonu
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1
İÇİNE FONKSİYON
f : A ⎯→ B fonksiyonu için f(A) ⊂ B ve f(A) ≠ B ise f ye içine fonksiyon denir.
F(x) = { f(x): x ∈ A } şeklinde tanımlansın.
f
A
f örten fonksiyon ise F nin de örten olduğunu
gösteriniz.
F örten + 6n ! P (B) için 7m ! P (A) ,
g
B
A
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
4
d
4
F(m) = n önermesinin doğru olduğunu göster-
f(A)
B
meliyiz.
g(A) = B
g içine fonksiyon de€il
f içine fonksiyon
6n ! P (B) olsun.
n ! P (B) & n 3 B
dir. n = Q ise m = Q için F(m) = n olacaktır.
n ! Q ise k ∈ N olacak şekilde en az bir k
elemanı vardır.
k ∈ n ve n 3 B & k ! B dir.
Hipotezden f örten olup k ∈ B için f(t) = k
2
ÖRTEN FONKSİYON
f : A ⎯→ B fonksiyonu için f(A) = B ise f ye örten fonksiyon denir.
olacak şekilde 7t ! A vardır. Bu t elemanlarının oluşturduğu kümeye m denilirse F(m) = n
olacaktır.
ÖRNEK – 1
O halde F örten bir fonksiyondur.
A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3} ve f: A → B, f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2 biçiminde
tanımlı f fonksiyonu örten midir?
ÇÖZÜM
f(A) = {1, 2, 3} = B olduğundan f örtendir.
E TKİNLİK
f: R → R
a) f(x) = x3 + 1
ÖRNEK – 2
b) g(x) = x2 – x + 1
c) h(x) = sinx
B = {1, 5, 9), f:A → B, f(x) = 4x – 3 fonksiyonu örten olduğuna göre A kümesi nedir?
fonksiyonlarının örten olup olmadığını araştırınız.
ÇÖZÜM
4x – 3 = 1 & 4x = 4 & x = 1
A
4x – 3 = 5 & 4x = 8 & x = 2
4x – 3 = 9 & 4x = 12 & x = 3
f
B
1
1
2
5
3
9
olup A = {1, 2, 3} olur.
31
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
3
f: A → B , g: C → D bire bir fonksiyonlar olsun.
h: A x C → B x D
(a, c) → (f(a), g(c))
şeklinde tanımlı h fonksi-
yonunun bire bir olduğunu gösteriniz.
h bire bir + 6x, y ! A x C için
BİRE BİR FONKSİYON
f : A ⎯→ B fonksiyonu için x1, x2 ∈ A ve
x1 ≠ x2 & f(x1) ≠ f(x2) ise ya da buna denk olarak
f(x1) = f(x2) & x1 = x2
ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir.
h(x) = h(y) & x = y
önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
ÖRNEK – 1
6x ! A x C , x = (a 1, c 1)
y ∈ A x C , y = (a2, c2) olsun.
A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3} olmak üzere f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3 biçiminde tanımlı
h(x) = h(g) & h(a1, c1) = h(a2, c2)
f fonksiyonu bire bir midir?
& ^ f (a 1), g (c 1)h = ^ f (a 2), g (c 2)h
& f(a1) = f(a2) ve g(c1) = g(c2)
ÇÖZÜM
& a1 = a2 ve c1 = c2 & x = y
olup h fonksiyonu bire birdir.
A nın farklı iki elemanının görüntüleri de farklı olduğundan f fonksiyonu bire birdir.
ÖRNEK – 2
f : R → R, f(x) = ax + b, (a > 0) fonksiyonu bire bir midir?
ÇÖZÜM
ETKİNLİK
R → R ye
f(x1) = ax1 + b ve
f(x2) = ax2 + b olup
a) f(x) = x2
f(x1) = f(x2) + ax1 + b = ax2 + b
b) g(x) = cosx
& ax1 = ax2 (a > 0)
c) h(x) = x3 + x
fonksiyonlarının bire bir olup olmadıklarını araştırınız.
& x1 = x2 olup f bire birdir.
SONUÇ
1. Hem bire bir hem de örten olan fonksiyona bire bir ve örten fonksiyon denir.
2. Hem bire bir hem de içine olan fonksiyona bire bir ve içine fonksiyon
denir.
32
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK – 3
E TKİNLİK
a) f: X → Y bir fonksiyon olsun.
f : N → N, f(x) = 4x – 3
fonksiyonu bire bir ve örten midir?
"f bire bir değildir" önermesini sembollerle
yazınız.
(f bire bir)
ÇÖZÜM
+ 6 6x 1, x 2 ! X, x 1 ! x 2 & f (x 1) ! f (x 2) @
olduğundan
(f bire bir değildir) +
6 7x 1 , x 2 ! X , x 1 ] x 2 ve f (x 1) = f (x 2) @
f(x1) = 4x1 – 3, f(x2) = 4x2 – 3
f(x1) = f(x2) + 4x1 – 3 = 4x2 – 3
dir.
& 4x1 = 4x2
b) "f örten değildir." önermesini sembollerle
olduğundan f bire birdir.
yazınız.
(f örten) & 6 6y ! Y, 7x ! X f (x) = y @
olduğundan
(f örten değildir) +
f örten midir? Tanım kümesindeki x elemanının değer kümesindeki görüntüsü y
olsun. Yani f(x) = y olsun. f nin örten olması için her y ∈ N için f(x) = y olacak
şekilde en az bir x ∈ N bulunmalıdır.
& 6 7y ! Y, 6x ! X, f (x) ! y @
f(x) = y & 4x – 3 = y & y + 3 = 4x
dir.
&x=
x=
y+3
tür. y = 0 ! N için
4
0+3 3
= g N olup f örten değildir.
4
4
ETKİNLİK
Uygun koşullarda
mx + 3
sabit fonksiyon olduğuna göre m
2x + 9
kaçtır?
f (x) =
4
SABİT FONKSİYON
f : A ⎯→ B fonksiyonu için f(A) görüntü kümesi tek elemanlı ise f fonksiyonuna
f sabit fonksiyon ise f(0) = f(1) olmalıdır.
sabit fonksiyon denir. Yani c ∈ B olmak üzere her x ∈ A için f(x) = c ise f sabit
0+3 1
f (0) =
=
0+9 3
fonksiyondur. Aşağıdaki f fonksiyonu sabit fonksiyondur.
m+ 3 m+ 3
f (1) =
=
2+9
11
1 m+ 3
=
& 3m + 9 = 11
3
11
& 3m = 2
& m=
A
f
B
1
2
a
3
b
4
2
bulunur.
3
f(A) = {f(1), f(2), f(3), f(4)} = {b} dir.
33
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
5
ETKİNLİK
BİRİM (ÖZDEŞ) FONKSİYON
f : A ⎯→ A fonksiyonunda her x ∈ A için f(x) = x ise f fonksiyonuna birim
fonksiyon denir ve I ile gösterilir. Yani her elemanın görüntüsü yine kendisidir.
Uygun koşullarda
f(ax2 + bx + c) = (3a + 2)x2 + (2b – 1)x + 3c
Aşağıdaki f fonksiyonunu birim fonksiyon mudur?
şeklinde verilen f fonksiyonu birim fonksiyon ise,
A
f
B
a + b + c toplamı kaçtır?
1
1
ax2 + bx + c = (3a + 2)x2 + (2b – 1)x + 3c
2
2
olmalıdır. Bu eşitlikten
3
3
a = 3a + 2 & a = –1
4
4
5
b = 2b – 1 & b = 1
c = 3c
& c=0
ve a + b + c = –1 + 1 + 0 = 0 olur.
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4 fakat f(x) = 5 olacak şekilde x = 5 ∉ A dır.
O halde f birim fonksiyon değildir. f nin birim fonksiyon olması için B kümesinde
5 elemanı olmamalıdır.
ÖRNEK – 1
f = {(x, y) : x2 + y2 = a2, x ∈ [–a, a], y ∈ [–a, a]} bağıntısı fonksiyon mudur?
ÇÖZÜM
y
a
f bağıntısının grafiği çizilirse, y eksenine paralel
olacak şekilde çizilen bir doğru grafiği farklı iki
noktada kestiğinden f bağıntısı fonksiyon değildir.
–a
x
a
0
ETKİNLİK
–a
f: R → R,
ÖRNEK – 2
f(x) = (m + n)x + 3m – 2n
birim fonksiyon olduğuna göre, m.n çarpımı
kaçtır?
m + n = 1, 3m – 2n = 0
olmalıdır.
3m + 3n = 3 ve 3m = 2n olduğundan
2n + 3n = 3 & 5n = 3
3
n=
5
3
ve 3m = 2 .
5
m=
2
olur.
5
2 3
6
m.n = . =
bulunur.
5 5 25
f : R → R, f(x) = x2 – 1 fonksiyonu bire bir midir? Örten midir? İçine midir?
ÇÖZÜM
y
f(x)=x2–1
Grafikte de görüldüğü gibi fonksiyonun eğrisi x
eksenini iki farklı noktada kestiğinden f fonksiyonu bire bir değildir. Yani x1 = –1 ve x2 = 1 gibi
–1
0
–1
farklı iki noktanın görüntüleri f(–1) = f(1) = 0 dır.
f fonksiyonu örten değildir.
Çünkü f(R) = [–1, ∞) olup [–1, ∞) ⊂ R dir. f içine fonksiyondur.
34
1
x
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK – 3
ETKİNLİK
f : R+ → R, f(x) = x2 fonksiyonu bire bir midir?
f:R→R
x → f(x) = x3 + 1
fonksiyonunun bire bir ve örten olduğunu göste-
ÇÖZÜM
y
riniz.
f(x)=x2
x eksenine paralel olacak şekilde çizilen herhangi
(f bire bir) + 6 x 1, x 2 ! R ve x 1 ! x 2
bir doğru fonksiyonun grafiğini yalnız bir noktada
için f(x1) ] f(x2) ya da
keseceğinden f fonksiyonu bire birdir.
x
0
p + q / q' + p' olduğundan
f(x1) = f(x2) koşulunu sağlayan
6x 1 , x 2 ! R için x1 = x2 ise f bire birdir.
f(x1) = f(x2) & x 31 + 1 = x 32 + 1
ÖRNEK – 4
Şekilde grafiği verilen f bağıntısı fonksiyon mudur?
& x 31 = x 32
& x1 = x2
ÇÖZÜM
y
olup f bire birdir.
f örten + 6y ! R için 7x ! R , f (x) = y
f bağıntısı fonksiyon değildir. Çünkü 1 noktasının
önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
görüntüsü tanımlanmamıştır.
f: R→ R
1
Eğer f:R – {1} → R biçiminde tanımlansaydı
6y ! R için f (x) = y
x 3 + 1= y & x 3 = y – 1
0
f bağıntısı fonksiyon olurdu.
x
1
&x=3 y –1 ! R
olup f örtendir.
6
PERMÜTASYON FONKSİYON
f : A ⎯→ A bire–bir ve örten fonksiyonlarına A nın bir permütasyonu denir.
s(A) = n ise A nın permütasyonlarının sayısı n! tanedir.
E TKİNLİK
ÖRNEK – 5
A = {1, 2, 3} olmak üzere
f: A → A fonksiyonlarından kaç tanesi
A = {a, b, c} kümesinin permütasyonlarının sayısı kaçtır?
f(a) = f–1(a) koşulunu sağlar? (a ∈ A)
ÇÖZÜM
s(A) = 3 olup 3! = 6 tane permütasyonu vardır.
f1 = c
a b c → 1. satır
m
a c b → 2. satır
1. satıra tanım kümesinin elemanları
2. satıra değer kümesinin elemanları yazılır.
f2 = c
a b c
m
b c a
f3 = c
a b c
m
a b c
f4 = c
a b c
m
b a c
f5 = c
a b c
m
c b a
f6 = c
a b c
m dir.
c a b
35
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
BİR FONKSİYONUN TERSİ
E TKİNLİK
f : R2 → R,
(x1 , x2) → f(x1, x2) = x2 – x1
f : A ⎯→ B, y = f(x) fonksiyonu bire–bir ve örten ise fonksiyonun tersi vardır.
f nin ters fonksiyonu f–1 ile gösterilir. f–1: B → A dır.
f–1(x) kuralının bulunuşu:
fonksiyonu veriliyor.
y = f(x) verildiğinde x ile y nin yerleri değiştirilir ve y çekilirse f–1(x) bulunur.
a) f bire bir midir?
Yani, y = f(x) & x = f(y) & y = h(x) ise f–1(x) = h(x) tir.
f:A → B bire bir ve örten bir fonksiyon ise
b) f örten midir?
A
B
f(a) = b + a = f–1(b)
f
a
c) A = {(x1, x2) : x1, x2 ∈ R ve x1 = x2}
b
f–1
ise, f(A) nedir?
f:A → B, f(x) = y, f–1: B → A, f–1(y) = x idi.
d) B = {0} ise, f–1(B) kümesi nedir?
f yi f–1 in grafikleri arasındaki ilişkiyi aşağıdaki
y
f
şekilde yorumlarız.
y=x
f–1
f yi oluşturan noktalar (x, y) iken
a) (f bire bir)
f–1 i oluşturan noktalar (y, x) tir.
+ 6 6a, b ! R 2 , a ! b & f (a) ! f (b) @
(f bire–bir değildir)
x
0
simetriği olan nokta Pʼ(y, x) tir.
+ 7a, b ! R 2 , a ! b , f (a) = f (b)
olup
P(x, y) noktasının y = x doğrusuna göre
a = (3, 2) b = (5, 4) alınırsa
a ! b olup f(a) = f(3, 2) = 2 – 3 = –1
Bu düşünceden hareketle, bir fonksiyon ile tersi olan fonksiyonun grafikleri
y = x(I. açıortay) doğrusuna göre simetriktir.
f(b) = f(5, 4) = 4 – 5 = –1
ise f(a) = f(b) = –1 olup f bire bir değildir.
ÖRNEK – 1
f : R → R, f(x) = x + 3 fonksiyonu veriliyor. f ile f–1 in y = x doğrusuna göre
b) f :
R2
→ R şeklinde tanımlı olduğundan
simetrik olduğunu gösteriniz.
∀y ∈ R için ∃x ∈ R2 , f(x) = y olacak
ÇÖZÜM
şekilde bulunabiliyorsa
y
f
f örtendir.
f: R → R , f(x) = x + 3 fonksiyonunun grafiğinin
x=c
3y 5y
m alınırsa
,
2
2
y = x doğrusuna göre simetriği, f–1: R → R,
y=x
3
f–1
–3
0
x ∈ R2 olur ve f (x) = f c
3y 5y
m
,
2
2
5y 3y
–
=y
2
2
olacağından f örtendir.
=
c) ve d) yi siz gösteriniz.
f–1(x) = x – 3 fonksiyonunun grafiğidir.
–3
ÖRNEK – 2
f : R+ → R, f(x) = log4x fonksiyonu veriliyor.
a) f nin ters fonksiyonunu bulunuz.
b) f ile f–1 fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
36
3
x
ÇÖZÜM
ETKİNLİK
a) f(x) = log4x & y = log4x (x yerine y, y yerine x yazarsak)
f : A → B bir
x = log4y & 4x = y & f–1(x) = 4x olur.
fonksiyon ve y1, y2 ∈ B olsun.
f–1(y1) = f–1(y2) + y1 = y2 olduğunu gösteriniz.
b) f(x) = log2x in grafiğinin y = x doğrusuna
göre simetriği
f–1(y
1)
f–1(y
2) = x2 olsun.
= x1 ve
f–1(x)
=
2x
y
y=x
fonksiyonunun grafi-
ğidir.
4
f–1(x)=4x
f–1(y1) = f–1(y2) olduğundan
1
0
1
x
4
x1 = f–1(y2) ve fonksiyon tanımına göre
f(x1) elemanı bir tanedir.
f(x1) = y1 ve f(x1) = y2 olup
f(x)=log4x
ÖRNEK – 3
f:R → R, f(x) = 3x + 2 fonksiyonu için f–1(x) neye eşittir?
y1 = y2 dir.
ÇÖZÜM
y = f(x) = 3x + 2 de x ile y nin yerleri değiştirilirse x = 3y + 2 olur. y çekilirse
3y = x – 2 & y =
x–2
x–2
olur. O halde f–1(x) = y =
tür.
3
3
ÖRNEK – 4
ETKİNLİK
f:R → R, f(x + 3) = 2x + 1 ise, f–1(3) nedir?
ÇÖZÜM
f : (–∞, 3) → (4, ∞)
f(x) = x2 – 6x + 13 fonksiyonu için
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
f(x + 3) = 2x – 1 & f–1(2x – 1) = x + 3 olur.
2x – 1 = 3 & 2x = 4 & x = 2 olup f–1(2.2 – 1) = 2 + 3 & f–1(3) = 5 bulunur.
y = f(x) = x2 – 6x + 9 + 4
y = (x – 3)2 + 4
(x – 3)2 = y – 4
ÖRNEK – 5
(x – 3) 2 = y – 4
x +1
x
f:R → R, f–1 b
ise, f(3) kaçtır?
l=
2
2
|x – 3 |= y – 4
x ∈ (–∞, 3) + x < 3
& x – 3 < 0 & (x – 3) = 3 – x
olup 3 – x = y – 4
x=3 –
ÇÖZÜM
f –1 c
x +1
x
m=
2
2
y–4
f –1(x) = 3 –
x–4
bulunur.
x
x +1
& fa k =
2
2
x = 6 & f (3) = 72 olur.
37
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
a) f : R → R,
f(x) = x2 + 3 fonksiyonunun tersinin olup
d
a
f: R – & – c 0 $ R – % c /
olmadığını belirleyiniz.
f (x) =
f(x) = x2 + 3 fonksiyonunda
ax + b
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
cx + d
–dx + b
f –1 (x) = cx – a dir.
–1 ! 1 iken
Örneğin,
f(–1) = (–1)2 + 3 = 4
f: R – & –
f(1) = 12 + 3 = 4
olup f bire bir değildir. f bire bir olmadığın-
f (x) =
5
3
0 $ R–& 0
2
2
3x + 2
–5x + 2
+ f –1 (x) =
2x + 5
2x – 3
dan f–1 ters fonksiyonu yoktur.
olduğunu görebilirsiniz.
b) f : R → R
f(x) = x3 – 2
ÖRNEK – 1
fonksiyonunun tersini bulunuz.
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 3)} fonksiyonu veriliyor. f–1 bir fonksiyon mudur?
f bire birdir.
ÇÖZÜM
Çünkü, f(x1) = f(x2) & x 31 – 2 = x 32 – 2
& x 31 = x 32
f–1 = {(2, 1), (3, 2), (3, 3) bağıntısında 3 ün 2 ve 3 gibi iki tane görüntüsü
vardır. Bu nedenle f–1 fonksiyon değildir.
& x 1 = x 2 dir.
Ayrıca ∀y ∈ R için ∃x ∈ R, f(x) = y olacak
şekilde vardır. Gerçekten,
ÖRNEK – 2
x = 3 y + 2 ! R alınırsa
f : (–∞, –1] → [–3, ∞) , f(x) = x2 + 2x – 2 ise, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
f (x) = f^ 3 y + 2 h = ^ 3 y + 2 h – 2 = y
3
ÇÖZÜM
olup f örtendir. f bire bir ve örten olduğundan f–1 ters fonksiyonu vardır.
y = x2 + 2x – 2 & y = (x + 1)2 – 3
y = x3 – 2 & y + 2 = x3
& x=3 y+2
& f –1 (x) = 3 x + 2
bulunur.
y + 3 = (x + 1)2
&
y + 3 =| x +1 |
dir. x ∈ (–∞, –1] olduğundan x + 1 < 0
dır. O halde |x + 1| = –x – 1 olup
–x – 1= y + 3 & x = –1 –
& f –1(x) = –1 –
38
&
x+3
y+3
bulunur.
ETKİNLİK
1) A = {1, 2, 3, 4}
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
FONKSİYON SAYISI
s(A) = n, s(B) = m olsun.
B = {a, b, c, d, e}
1.
A dan B ye mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
kümeleri veriliyor.
2.
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
a) A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon
m!
, (n ≤ m) dir.
(m – n) !
sayısı kaçtır?
b) A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı kaçtır?
c) A dan A ya bire bir fonksiyon sayısı kaçtır?
d) A dan B ye örten fonksiyon sayısı kaçtır?
3.
A dan A ya bire bir ve örten fonksiyonların sayısı n! dir.
4.
A dan B ye sabit fonksiyonların sayısı m dir.
5.
A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı
e) B den A ya örten fonksiyonların sayısı
2m.n – mn dir.
kaçtır?
6.
A dan A ya içine fonksiyonların sayısı
nn – n! dir.
ÖRNEK
A = {1, 2, 3}, B = {a, b} kümeleri verilsin.
a.
A dan B ye kaç tane fonksiyon tanımlanabilir?
b.
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı kaçtır?
c.
A dan A ya bire bir ve örten fonksiyonların sayısı kaçtır?
d.
A dan B ye sabit fonksiyonların sayısı kaçtır?
e.
A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı kaçtır?
f.
A dan A ya içine fonksiyonların sayısı kaçtır?
g.
A dan B ye üç elemanlı bağıntılardan kaç tanesi fonksiyon değildir?
2) A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
ÇÖZÜM
olmak üzere, f: A → B fonksiyonlarından kaç
tanesi 6a ! A için f(a) = f–1(a) koşulunu
a.
A dan B ye s(B)s(A) = 23 = 8 tane fonksiyon tanımlanabilir.
b.
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı
c.
A dan A ya bire bir ve örten fonksiyon sayısı s(A)! = 3! = 6 dır.
d.
A dan B ye sabit fonksiyon sayısı s(B) = 2 dir.
e.
A dan B ye 23.2 – 23 = 64 – 8 = 56 tane fonksiyon olmayan bağıntı
tanımlanabilir.
f.
A dan A ya içine fonksiyonların sayısı 33 – 3! = 27 – 6 = 21 dir.
g.
6
c m – 2 3 = 20 – 8 = 12
3
sağlar?
3!
3!
= 6 dır.
=
(3 – 2) ! 1!
dir.
39
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
BİLEŞKE FONKSİYON
fog için ok diyagramı
f: A → B, g: B → C olmak üzere gof: A → C, (gof)(x) = g(f(x)) biçiminde tanımlanan gof fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir.
x
f
g
x
A
g(x)
g
f(x)
g(f(x))
B
C
gof
ÖRNEK
f
f: R → R, f(x) = x + 1, g: R → R, g(x) = x2 + 4
fonksiyonları için fog(x) ve
gof(x) fonksiyonlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
f(g(x))
(fog)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4) = x2 + 4 + 1
fog
x
= x2 + 5 ve
f(g(x))
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 + 4
= x2 + 2x + 1 + 4
f
g
= x2 + 2x + 5 bulunur.
g(x)
UYARI
a. (fog)(x) ≠ (gof)(x)
Bir fonksiyonun x noktasındaki değeri diğer
fonksiyonun tanım kümesinde yer alıyorsa iki
fonksiyonun bileşkesi oluşturulabilir. Bileşke
fog ile gösterilir.
b. ho(gof) = (hog)of dir.
• (fog)–1 = g–1of–1
• f–1of = fof–1 = I (I birim fonksiyon)
• fog = h & g = f–1oh, f = hog–1
• f=c
40
a b c
a b c
c a b
m & f –1 = c
m & f –1 = d
n
c a b
a b c
b c a
1.
f:R → R, g:R → R, (gof)(x) = 2x + 3 ve f(x) = x + 1 ise,
4.
g(3) kaçtır?
x = 2 & f(2) = 3 olur.
g(f(2)) = g(3) = 2.2 + 3 = 7
f:R → R, g:R → R fonksiyonları için f(x) = x + 1
g (x) = )
Çözüm
2x 3 , x ≤ 4 ise
x – 4 , x > 4 ise
ise (gof)(x) neye eşittir?
Çözüm
dir.
(gof) (x) = *
2.
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
f:R → R, g:R → R fonksiyonları için f(x) = x + 2,
2.f 3 (x) , f(x) ≤ 4
f (x) – 4 , f(x) > 4
=)
2 (x + 1) 3 , x + 1 ≤ 4
x + 1– 4 , x + 1 > 4
=)
2. (x + 1) 3
x–3
, x≤3
, x>3
(gof)(x) = 3x + 6 ise, g(x) nedir?
bulunur.
Çözüm
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = 3x + 6, g(x + 2) de
x + 2 = p denilirse x = p – 2 olur. O halde
g(p) = 3(p – 2) + 6, g(p) = 3p – 6 + 6 = 3p & g(x) = 3x olur.
5.
f:R → R, (fog)(x) = 3x – 4 ve f(x) = 4x + 2 ise, g(x) nedir?
Çözüm
fog = h & g = f–1oh idi. y = f(x) = 4x + 2
& x = 4y + 2 & y =
x–2
4
f–1(x) = x 4– 2 olur.
O halde g(x) = f–1(h(x)) , (h(x) = 3x – 4)
3.
f:R → R, olmak üzere
g (x) =
x 2 + 1 , x asal sayı ise
f (x) = )
x – 1 , x asal sayı değilse
3x – 4 – 2
3
g (x) = (x – 2) olur.
4
4
fonksiyonu için (fof)(6) + (fof)(3) kaçtır?
Çözüm
x = 6 asal değildir.
(fof)(6) = f(f(6)) = f(6 – 1) = f(5) ve 5 asal olduğundan
f(5) = 52 + 1 = 26 dır. O halde (fof)(6) = 26 dır.
6.
f:R → R, g:R → R, f(x) = ax + b g(x) = a.bx + a + b
1
fonksiyonları veriliyor. a ≠ 0 ise, (f –1 og) b l neye eşittir?
b
Çözüm
x = 3 asal sayı olduğundan
(fof)(3) = f(f(3)) = f(32 + 1) = f(10)
10 asal olmadığından
f –1 (x) =
x–b
a
(f –1 og) (x) =
olup
a.bx + a + b – b
= bx + 1
a
f(10) = 9 dur. O halde (fof)(3) = 9
olup (fof)(6) + (fof)(3) = 26 + 9 = 35 tir.
^ f –1 oghb 1 l = b. 1 + 1 = 1 + 1 = 2 dir.
b
b
41
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
ETKİNLİK
Aşağıdaki fonksiyonların arttığı ve azaldığı
TANIM
f:R → R fonksiyonu ve her x1, x2 ∈ IR için
kümeleri bulalım.
a)
a) y = x2 ,
b) y = x3
1
c) y = x ,
d) y =
e) y =
f) y = x2/3
x ,
x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) ise f ye artan fonksiyon denir.
y
y
f(x2)
f(x2)
1
x2
f(x1)
f(x1)
a
x1 0
x2
x
b
a
x1 < x2 ve f(x1) < f(x2)
a) y = x2 fonksiyonu
x1 0
x2
x
b
x1 < x2 ve f(x1) < f(x2)
0 < x < 3 kümesinde artan
– 3 < x < 0 kümesinde azalandır.
b) x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ise f ye azalan fonksiyon denir.
x = 0 noktası fonksiyonun azalanlıktan
y
y
f(x1)
artanlığa geçtiği noktadır.
f(x1)
f(x2)
f(x2)
b) y = x3 fonksiyonu – 3 < x < 3 kümesinde artandır.
c)
a
1
y = x fonksiyonu R – {0} kümesinde aza-
x1 0
x2
x
b
a
x1 < x2 ve f(x1) > f(x2)
x1 0
x1 < x2 ve f(x1) > f(x2)
landır.
1
fonksiyonu – 3 < x < 0 kümesinde
x2
artan, 0 < x < 3 kümesinde azalandır.
d) y =
c)
x1 < x2 iken f(x1) = f(x2) ise f sabit fonksiyondur.
y
c
e) e) ve f) deki fonksiyonların artan ya da
azalan oldukları kümeyi de siz bulunuz.
x1
0
x2
x
x1 < x2 ve f(x1) = f(x2)
f sabit fonksiyon
f: A → B, y = f(x) bire bir ve örten bir fonksiyon olsun.
a) f artan + f–1 artan
b) f azalan + f–1 azalan
42
x2
b
x
1.
f:R → R, f(x) = 2x – 1
3.
fonksiyonunun grafiğini çizerek artan veya azalan olup olmadığını gösteriniz.
f:R → R, f(x) = 1 – x2 fonksiyonunun grafiğini çizerek artan
veya azalan olduğu kümeleri belirleyiniz.
Çözüm
f(x) = 1 – x2 parabolünün
Çözüm
x = 0 için f(0) = –1
Grafikten x1, x2 ∈ (–∞, 0) iken
1
x=
2
olup grafik şekildeki gibidir.
Grafikten f nin artan olduğu
görülmektedir. Ayrıca, x1 < x2
olsun.
x
0
1
grafiği şekildeki gibidir.
y
y=2x–1
f(x) = 0 için
y
2
0
1
x
1
2
x1 < x2 & x 1 > x 2
1
2
–1
2
2
& –x1 < –x2
2
2
& 1 – x 1 < 1 – x 2 & f (x 1) < f (x 2)
2x1 < 2x2
olur. Bu ise f(x) = 1 – x2 fonksiyonunun (–∞, 0) aralığında
2x1 – 1 < 2x2 – 1
artan olduğunu gösterir.
f(x1) < f(x2)
Grafikten x1, x2 ∈ [0, ∞) iken
olduğundan f(x) = 2x – 1 fonksiyonu artandır.
2
2
x1 < x2 & x 1 < x 2
2
2
& –x 1 > –x 2
& 1 – x 21 > 1 – x 22
& f (x 1) > f (x 2)
olup f fonksiyonu [0,∞) aralığında azalandır.
2.
f:R → R, f(x) = 5 – x fonksiyonunun grafiğini çizerek artan
veya azalan olup olmadığını gösteriniz.
4.
Çözüm
y
f:R → R, f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun artan olduğunu
gösteriniz.
x = 0 için f(0) = 5
5
Çözüm
f(x) = 0 için x = 5
olup grafik şekildeki gibidir.
Grafikten f nin azalan olduğu
görülmektedir.
0
5
Ayrıca f nin azalan olduğu tanımdan da görülebilir.
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) ?
x1 < x2 olsun.
–x1 > –x2
5 – x1 > 5 – x2
f(x1) > f(x2)
olup f azalandır.
y
2x
x
y=2x+1
f(x) =
+ 1 fonksiyonunun
grafiği şekildeki gibidir.
Grafikten fonksiyonun artan olduğu görülmektedir.
2
x
0
Ayrıca f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun artan olduğunu tanımdan hareket ederek de gösterebiliriz.
x1 < x2 & 2x1 < 2x2
& 2x1 + 1< 2x2 + 1
& f (x 1) < f (x 2)
olduğundan f(x) = 2X + 1 fonksiyonu artandır.
43
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
5.
f:R → R, f(x) =
1 x
b l
3
fonksiyonunun azalan olduğunu
7.
gösteriniz.
Çözüm
Çözüm
y
1
Grafikten f(x) = b l
3
1
grafiği şekildeki gibidir.
y=( 1 )x
3
fonksi-
0
3
y=log1 x
1 x
g(x) = b l
3
x 1 < x 2 & –x 1 > –x 2
tersidir.
& 3 –x 1 > 3 –x 2
1
1
&b l >b l
3
3
& f (x 1) > f (x 2)
de azalan olduğundan f(x) = g–1(x) = log 1 x fonksiyonu aza3
landır.
1 x
olduğundan f (x) = b l fonksiyonu azalandır.
3
f:R+ → R, f(x) = log3x fonksiyonunun artan olduğunu
gösteriniz.
Çözüm
f(x) = log3x fonksiyonunun
artan olduğunu gösterelim.
8.
y=log3x
1
0
f:R → R, f(x) = –1 fonksiyonunun artan veya azalan olmadığını, sabit olduğunu gösteriniz.
Çözüm
y
y
x1 < x2 & f(x1) = –1
f(x2) = –1
1
3
g(x) = 3x fonksiyonu artan bir
fonksiyondur.
g–1(x) = log3x fonksiyonu da artan olacağından
f(x) = log3x artan bir fonksiyondur.
3
fonksiyonunun
1 x
g(x) = b l fonksiyonu azalan ve azalan bir fonksiyonun tersi
3
x2
f(x) = log3x fonksiyonunun
grafiği şekildeki gibidir.
x
1
3
f(x) = log 1 x fonksiyonu
x
0
yonunun azalan olduğu görülmektedir. f nin azalan olduğunu
tanımdan yararlanarak gösterelim.
x1
fonksiyonunun
3
grafiği şekildeki gibidir.
x
y
f(x) = log 1 x
1 x
f(x) = b l fonksiyonunun
3
44
fonksiyonunun azalan olduğunu
3
gösteriniz.
6.
f:R → R, f(x) = log 1 x
x
olup f fonksiyonu artan
veya azalan değildir.
0
–1
x
f(x)=–1
Her x ∈ R için f(x) = –1 olduğundan f fonksiyonu sabit bir
fonksiyondur.
SONUÇLAR
E TKİNLİK
1.
f: R → R, f(x) = ax + b fonksiyonu için
1) Aşağıdaki fonksiyonların artan ya da azalan
oldukları kümeyi bulunuz.
a)
a > 0 ise f artan,
b)
a < 0 ise f azalandır.
a) y – x3
b) y = –
1
x2
2.
1
c) y = – x
d) y =
1
|x |
e)
y=
x3
3
f)
y= x
b
f: R → R, f(x) = ax2 + bx + c parabolü için x = –
= r (tepe noktasının
2a
apsisi) olmak üzere;
a > 0 iken (–∞, r) aralığında f azalan,
a)
( r, +∞) aralığında f artandır.
b)
a < 0 iken (–∞, r) aralığında f artan,
( r, +∞) aralığında f azalandır.
g) y = –x
3.
f: R → R+, f(x) = ax fonksiyonu için
h) y = –2 x
a)
a > 1 ise f artan,
ı)
y =|x|
b)
0 < a < 1 ise f azalandır.
i)
y = –x2
4.
k) y = x4
f: R+ → R, f(x) = logax fonksiyonu için
a)
a > 1 ise f artan,
b)
0 < a < 1 ise f azalandır.
2) Aşağıdaki fonksiyonların (–π, π) aralığında
artan ya da azalan oldukları bölgeleri bulu-
5.
f: R → R, f(x) = c, (c ∈ R) fonksiyonu sabit fonksiyondur.
6.
A, B ⊂ R olmak üzere f: A → B fonksiyonu bire bir ve örten, kesin olarak
artan (veya kesin olarak azalan) ise f–1: B → A fonksiyonu da kesin olarak artan (veya kesin olarak azalandır.)
nuz.
a) f(x) = tanx + 1
b) g(x) = –1 + cotx
c) h(x) = sinx
d) p(x) = cosx
y
y
f
y=x
y=x
f–1
0
x
f
0
x
f–1
f artan ⇔ f–1 artan
f azalan ⇔ f–1 azalan
45
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
1.
f: R → R, f(x) = x2 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu
aralıkları bulunuz.
4.
f: R → R, f(x) = 2x–1 fonksiyonunun artan olduğunu gösteriniz.
5.
f: R → R, f(x) = x2 – 6x + 6 fonksiyonunun artan ve azalan
olduğu aralıkları bulunuz.
(–∞, 0) da azalan
(0, ∞) da artan
2.
f: R → R, f(x) = x3 fonksiyonunun artan olduğunu gösteriniz.
(–∞, 3) da azalan
(3, +∞) da artan
3.
f: R → R, f(x) = 1 – 3x fonksiyonunun azalan olduğunu gösteriniz.
46
6.
f: R+ → R, f(x) = 3log2x + 1 fonksiyonunun artan olduğunu
gösteriniz.
TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR
ETKİNLİK
Aşağıda verilen fonksiyonların tek, çift ya da ne
a) TEK FONKSİYON
tek ne çift olduğunu gösteriniz.
f:A → B fonksiyonunda ∀x ∈ A için –x ∈ A olmak üzere f(–x) = –f(x) ise f ye
a) f(x) = x
tek fonksiyon denir.
b) f(x) = x + 1
y
f(x)
c) f(x) = x2
A
f(x1)
d) f(x) = x2 + 1
B
f(x2)
–x2
a) f(–x) = –x = –f(x) olduğundan
–x1
0
f(x) = x tek fonksiyondur.
f(–x) ! –f(x)
x2
x
f(–x2)
D
b) f(–x) = –x + 1
x1
B
f(–x) ! f(x)
f(–x1)
f(–x)
olduğundan f ne tek ne çift fonksiyondur.
c) f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x) olduğundan
f çift fonksiyondur.
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ R için f(–x) = –f(x) olduğundan
f(x) tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların grafikleri orijine (0, 0)ʼa göre simetriktir.
d) f(–x) = (–x)2 + 1 = x2 + 1
= f(x)
olduğundan f çift fonksiyondur.
Özellikler:
1)
Tek fonksiyonların toplamı tek fonksiyondur.
2) Tek fonksiyonların tek tam sayı kuvvetleri tek, çift tam sayı kuvvetleri çift fonksiyondur.
3)
f tek fonksiyon ise fof tek fonksiyondur.
ÖRNEK – 1
f: R → R, f(x) = x3 fonksiyonu tek fonksiyon mudur?
ETKİNLİK
ÇÖZÜM
f:R→R
6x ! a 0,
r
k için
2
f(sinx) = cosx ise f fonksiyonunun çift fonksiyon
olduğunu gösteriniz.
f(–x) = (–x)3 = –x3 = –f(x) olduğundan f tek fonksiyondur.
ÖRNEK – 2
f: R → R, g: R → R fonksiyonları için f(–x) = –f(x) ve g(x2 – 1) = x2.f(2x – 1) ise,
f (3)
oranı kaçtır?
f (5)
ÇÖZÜM
x = –2 alınırsa g((–2)2 – 1) = (–2)2.f(2.(–2) – 1)
g(3) = 4.f(–5) ve f(5) = –f(5) olduğundan
g(3) = –4.f(5) ..........
1
47
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
x = 2 alınırsa
ETKİNLİK
g(22 – 1) = 22.f(2.2 – 1)
Aşağıdaki fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon
olduğunu gösteriniz.
a) f(x) = cos2x
b) f(x) =
sinx2
c) f(x) = sinx + 1
g(3) = 4.f(3) .......... 2
1 ve 2 den
f (3) g (3) .
4
–c
=
m = –1 dir.
4
f (5)
g (3)
d) f(x) = |cosx|
a) f(–x) = (cos(–x))2
= cos2x = f(x)
olduğundan f çift fonksiyondur.
b) f(–x) =
ÖRNEK – 3
f: [–π, π] → [–1, 1], f(x) = sinx fonksiyonunun tek fonksiyon olduğunu ve grafiğinin
(0, 0) noktasına göre simetrik olduğunu gösteriniz.
sin(–x)2
= sinx2 = f(x)
ÇÖZÜM
olduğundan f çift fonksiyondur.
f(–x) = –f(x) olduğunu gösterelim.
y
c) f(–x) = sin(–x) + 1
= –sinx + 1
f(–x) ! –f(x)
–π
0
C
∀x ∈ R için sin(–x) = –sinx olduğun-
y=sinx
dan tek fonksiyondur.
D
π/2
f(–x) ! f(x) olup f ne tek, ne çift fonksiyondur.
B
1
x
π
π
2
–1
A
d) f(–x) = |cos(–x)|
|cosx| = f(x)
olup f çift fonksiyondur.
y
|OH| = sinx, |OHʼ| = –|OH|
P
H
sin(–x) = –sinx
–sinx
0
x
–x
x
–sinx
H'
ETKİNLİK
P'
b) ÇİFT FONKSİYON
f:A → B fonksiyonunda ∀x ∈ A için –x ∈ A olmak üzere f(–x) = f(x) ise f ye
f : R – {0} $ R
çift fonksiyon denir.
1
f(x) = x.sin x fonksiyonu tek midir? Çift midir?
y
Neden?
f(–x)
B
f(x1)
A
f(x2)
C
–x2
f(x)
–x1
D
0
x1
x2
x
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunda ∀x ∈ R için f(–x) = f(x) olduğundan f(x)
çift fonksiyondur. Çift fonksiyonların grafikleri y– eksenine göre simetriktir.
48
ETKİNLİK
Özellikler:
f : R → R,
1)
Çift iki fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur.
g:R→R
2)
Çift iki fonksiyonun toplamı çift bir fonksiyondur.
olmak üzere f tek, g çift fonksiyondur.
3)
Çift iki fonksiyonun bölümü çift fonksiyondur.
4)
Biri tek, diğeri çift iki fonksiyonun çarpımı veya bölümü tek fonksi-
f(–2) = 3, g(2) = 5 olduğuna göre
3f (2) – 2.g (–2)
f (–2) + g (–2)
ifadesinin değeri kaçtır?
yondur.
5)
Çift fonksiyonların tam sayı olan kuvvetleri çift fonksiyondur.
6)
f veya g den biri çift fonksiyon ise fog ve gof fonksiyonları çift
f tek fonksiyon olduğundan f(–2) = –f(2)
3 = –f(2)
fonksiyondur.
f(2) = –3
7)
g çift fonksiyon olduğundan
f çift fonksiyon ise fof çift fonksiyondur.
g(–2) = g(2) = 5 tir.
O halde
3.f (2) – 2.g (–2) 3. (–3) – 2.5
=
3+5
f (–2) + g (–2)
19
=–
8
ÖRNEK – 1
f: R → R, f(x) = x2 fonksiyonu çift midir?
bulunur.
ÇÖZÜM
f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x) olduğundan f çift fonksiyondur.
ETKİNLİK
f : R – {0} → R,
ÖRNEK – 2
1
a) f(x) = cos x
f: R → R, g: R → R fonksiyonları için f(–x) = f(x) ve g(x) = x.f(x + 1) ise,
1
b) f(x) = sin x
g (–3)
oranı kaçtır?
g (1)
fonksiyonlarının tek veya çift fonksiyon olduğunu
gösteriniz.
ÇÖZÜM
x = –3 için g(–3) = –3.f(–3 + 1)
g(–3) = –3.f(–2) ve f(–2) = f(2) olduğundan
g(–3) = –3.f(2) .....
1
x = 1 için g(1) = f(2) .....
olup
1
ve
2
den
olur.
2
g (–3)
3.f (2)
=–
= –3 tür.
g (1)
f (2)
49
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
1.
2.
f(x) = x + 2, g(x) = ax + 3 ve fog = gof ise, a kaçtır?
4.
f: R → R, f(3x – 1) = 1 – 3x ise, f–1(2) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
(fog)(x) = f(g(x)) = f(ax + 3) = (ax + 3) + 2
f(3x – 1) = 1 – 3x
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 2) = a(x + 2) + 3 ve
ise 1 – 3x = –t olup
(fog)(x) = (gof)(x) & ax + 3 + 2 = ax + 2a + 3
f(t) = –t & f(x) = –x tir.
2 = 2a & a = 1
f–1(x) = –x olup f–1(–2) = –(–2) = 2 dir.
bulunur.
3x – 1 = t
f:R → R, f(x) = ax + b ve (fof)(x) = 4x + 9 ise,
f(1) in alabileceği değerleri bulalım.
Çözüm
f(x) = ax + b & (fof)(x) = a(ax + b) + b
5.
fonksiyonu veriliyor. A kümesini bulunuz.
= a2x + ab + b
(fof)(x) = 4x + 9 = a2x + ab + b
a2 = 4 & a = ±2,
Çözüm
eşitliğinden
B = {1, 3, 5} ve f(x) = 2x + 1
ab + b = 9 dur.
veriliyor. 2x + 1 = 1 & 2x = 0 & x = 0
a = 2 & 2.b + b = 9 & 3b = 9 & b = 3
f(x) = 2x + 3 & f(1) = 2.1 + 3 = 5
B = {1, 3, 5} kümesi ve f: A → B, f(x) = 2x + 1
2x + 1 = 3 & 2x = 2 & x = 1
bulunur.
2x + 1 = 5 & 2x = 4 & x = 2
a = –2 & –2b + b = 9 & –b = 9 & b = –9
olup A = {0, 1, 2} dir.
f(x) = –2x – 9 & f(1) = –2.1 – 9 = –11 bulunur.
3.
f=c
a b c
a b c
m ve g = c
m
a c b
b c a
6.
ise, fog yi bulalım.
Çözüm
f(a) = a,
f: R →R, f (n) =
Çözüm
f(b) = c,
f(c) = b
f (n) =
g(a) = b,
n .
f(n + 1) ve f(4) = 8 ise, f(1) kaçtır?
n+1
g(b) = c,
g(c) = a
olduğundan
n
f (n + 1), f (4) = 8
n+1
veriliyor.
n = 3 & f (3) =
3
3
f (4) & f (3) = .8 = 6
3+1
4
n = 2 & f (2) =
2 .
2
f (3) & f (2) = . 6 = 4
2+1
3
n = 1 & f (1) =
1
1
f (2) & f (1) = .4 = 2
1+1
2
(fog)(a) = f(g(a)) = f(b) = c
(fog)(b) = f(g(b)) = f(c) = b
(fog)(c) = f(g(c)) = f(a) = a dır.
Yani fog = c
50
a b c
m dır.
c b a
& f (1) = 2 dir.
7.
A sonlu elemanlı bir küme ve f: A → A fonksiyonu veriliyor.
Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
f bire birdir.
II.
f örtendir.
–x
10. f (x) = x + a fonksiyonu tanımlı olduğu değerlerde
(fof)(x) =
x
ise a kaçtır?
x+4
Çözüm
III. f bire bir ve örtendir.
–x
x
ise
f (x) = x + a ise (fof) (x) =
x+4
IV. f bire bir ise örtendir.
V.
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
f örten ise bire birdir.
Çözüm
A sonlu elemanlı bir küme ise f:A → A fonksiyonu için bire birlik ve örtenlik denktir. Yani f bire bir ise örtendir. f örten ise
bire bir dir. O halde IV. ve V doğrudur.
–x
k
–a
x
(fof) (x) = –xx + a =
x+4
+
a
x+a
=
x
x
x
x
x+a
=
&
=
ax – x + a 2 x + 4 (a – 1) x + a 2 x + 4
x+a
olur.
(a – 1)x + a2 = X + 4 & a – 1 = 1 & a = 2 bulunur.
8.
f: R → R, g: R → R fonksiyonları için
[g(x)]2 = [f(x)]2 + x2 ve f(3) – g(3) = 3 ise, f(3) + g(3) toplamı
kaçtır?
Çözüm
11. A ! ∅, B ! ∅ olmak üzere f:A → B fonksiyonunun tersinin
[g(x)]2 = [f(x)]2 + x2 ise
olması için gerek ve yeter koşul nedir?
[g(x)]2 – [f(x)]2 = x2
Çözüm
[g(x) – f(x)][g(x) + f(x)] = x2
x = 3 & [g(3) – f(3)].[g(3) + f(3)] =
32
–[f(3) – g(3)].[g(3) + f(3)] = 9
–3.[g(3) + f(3)] = 9
g(3) + f(3) =
A ! ∅, B ! ∅ olmak üzere f: A → B fonksiyonunun f–1 tersinin olması için f nin bire bir ve örten olması gerek ve yeter
koşuldur.
9
= –3 olur.
–3
12. f: R → R, f fonksiyonu için f(x + 1) =
9.
f: R → R fonksiyonu için f(x + 2) = f(x) + 2 ise, f(3) – f(–1)
kaçtır?
2x
ise, f(x) nedir?
x+2
Çözüm
f(x + 1) =
2x
de x + 1 = t diyelim.
x+2
Çözüm
x + 1 = t & x = t – 1 yerine yazılırsa
f(x + 2) = f(x) + 2
x = 1 & f(3) = f(1) + 2 &
f(3) – f(1) = 2
x = –1 & f(1) = f(–1) + 2 &
f(1) – f(–1) = 2
f ( t) =
f(x) =
2 (t – 1) 2 (t – 1)
=
t – 1+ 2
t +1
2 (x – 1)
x +1
olur.
f(3) – f(–1) = 4 olur.
51
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
13. f: R → R, fonksiyonu için f(n + 1) = 2n–1.f(n – 1) ve f(4) = 16
ise, f(0) kaçtır?
16. f (x) =
x
ise, f(x + 1) in f(x) türünden eşiti nedir?
x +1
Çözüm
Çözüm
f(n + 1) = 2n–1.f(n – 1) ve f(4) = 16 veriliyor.
f (x) =
n = 3 & f(3 + 1) = 23–1.f(3 – 1) & f(4) = 22.f(2)
x
x +1
ise f (x + 1) =
x +1
(x + 1) + 1
x +1
x
olur. y = f (x) =
ise
x+2
x +1
16 = 4.f(2) & f(2) = 4
f (x + 1) =
n = 1 & f(2) = 20.f(0) & 4 = f(0) olur.
x = y.(x + 1) & x = xy + y & x – xy = y
& x ( 1 – y) = y & x =
y
f (x)
=
1 – y 1 – f (x)
f (x)
+1
x + 1 1 – f (x)
=
f (x + 1) =
x+2
f (x)
+2
1 – f (x)
14. f(x + 1) = 24x ise,
f (x)
ifadesinin eşiti nedir?
f (x – 1)
Çözüm
f(x + 1) = 24x fonksiyonunda x yerine x – 1 yazılırsa
f(x – 1 + 1) = 24(x–1) & f(x) = 24(x–1)
f (x) + 1 – f (x)
1 – f (x)
f (x + 1) =
f (x) + 2 – 2f (x)
1 – f (x)
f(x + 1) =
1
2 – f (x)
olur.
f(x – 1) = 24(x–1–1) = 24(x–2)
f (x)
2 4 (x–1)
=
= 2 4x–4–4x + 8 = 2 4 = 16 bulunur.
f (x – 1) 2 4 (x–2)
17. f: R → R, f(x) =
x
+ 3 ise, f–1(5) kaçtır?
2
Çözüm
f–1(5) = a diyelim. f(a) = 5 olup
f(a) =
a
a
a
+3=5 &
=5–3 &
= 2 & a = 4 bulunur.
2
2
2
15. f(3x) = 3.f(x) – 6 eşitliğini sağlayan f fonksiyonu için
f(27) = 15 ise, f(3) kaçtır?
18. f: R → R+ fonksiyonu [f(x)]2 = 3.f(x) + 4
dığına göre f(x) nedir?
Çözüm
f(3x) = 3.f(x) – 6 eşitliğinde
x = 9 & f(3.9) = 3.f(9) – 6
Çözüm
f(27) = 3.f(9) – 6
f(27) = 15 & 15 = 3.f(9) – 6
3.f(9) = 15 + 6 & f(9) =
koşulunu sağla-
f:R → R+
[f(x)]2 = 3.f(x) + 4 ise
[f(x)]2 – 3f(x) – 4 = 0 olup [f(x) + 1].[f(x) – 4] = 0
21
=7
3
f(x) + 1 = 0 veya f(x) – 4 = 0
x = 3 & f(3.3) = 3.f(3) – 6
f(x) = –1 veya f(x) = 4 olur.
f(9) = 3.f(3) – 6
f: R → R+ biçiminde tanımlı olduğundan f(x) ! –1 dir.
7 = 3.f(3) – 6 & 3f(3) = 7 + 6 & f(3) =
52
13
bulunur.
3
O halde f(x) = 4 olur. Yani f sabittir.
19. f(x) = ax + b fonksiyonu için f–1(4) = 3 ve
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
f–1(3) = 4
Çözüm
f(x) = ax + b için f–1(4) = 3 & f(3) = 4
f–1(3)
= 4 & f(4) = 3 tür.
b
22. f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu için f(4) = f(5) ise, a oranı
kaçtır?
Çözüm
f(x) = ax2 + bx + c ise
f(4) = a42 + b.4 + c = 16a + 4b + c
O halde f(3) = 3a + b = 4
f(5) = a52 + b.5 + c = 25a + 5b + c
–f(4) = 4a + b = 3
f(4) = f(5) & 16a + 4b + c = 25a + 5b + c
–a = 1 & a = –1
b
& 9a + b = 0 & 9a = –b & a = –9 bulunur.
3.(–1) + b = 4 & b = 4 + 3 = 7 dir.
a + b = –1 + 7 = 6 dır.
20. f(x) = 2x – 1 , g(x) =
2x + 1
ve (g–1of)(x) = 16
x–5
23. f(2x2 + 3x) = (a + 1)x2 + (b – 1)x + 2c + 2
olduğuna göre, x kaçtır?
birim fonksiyon olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm
f(x) = 2x – 1, g(x) =
y = g (x) =
Çözüm
2x + 1
x–5
f birim fonksiyon ise f(2x2 + 3x) = 2x2 + 3x olmalıdır.
2x + 1
& xy – 5y = 2x + 1
x–5
& xy – 2x = 5y + 1 & x(y – 2) = 5y + 1
x=
5y + 1
5x + 1
& g–1(x) =
y–2
x–2
(g–1of)(x) = g–1 (2x – 1) =
(g–1of)(x) =
olur.
5 (2x – 1) + 1
^ 2x – 1h – 2
(a + 1)x2 + (b – 1)x + 2c + 2 = 2x2 + 3x
_
b
b
b – 1= 3 & b = 4 ` a + b + c = 4
b
2c + 2 = 0 & c = –1b
a
a + 1= 2 & a = 1
bulunur.
10x – 5 + 1 10x – 4
=
= 16 ise
2x – 3
2x – 3
10x – 4 = 16.(2x – 3) & 10x – 4 = 32x – 48
& 44 = 22x & x = 2 dir.
24. A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} olduğuna göre, A dan B ye
tanımlanan bağıntılardan kaç tanesi fonksiyon değildir?
21. f(x) = “x in basamaklarındaki rakamların toplamı” olarak tanımlanıyor. Buna göre, f(x) = 3 ise üç basamaklı en küçük x
sayısı kaçtır?
Çözüm
s(A) = 3, s(B) = 2 olup
Çözüm
A dan Bʼye 22.3 = 26 = 64 tane bağıntı vardır.
f(x) = “x in basamaklarındaki rakamların toplamı” fonksiyonunda f(x) = 3 olacak şekilde en küçük üç basamaklı sayı
102 dir. Yani f(102) = 1 + 0 + 2 = 3 tür.
A dan Bʼye 23 = 8 tane fonksiyon tanımlanır.
64 – 8 = 56 bulunur.
53
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
25. f fonksiyonu için f(x + y) = f(x).f(y) ise, f(0) kaçtır?
Çözüm
28. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bir fonksiyon belirtir?
y
A)
y
C)
y
B)
f(x + y) = f(x).f(y) ve x = 0 için
f(y) = f(0).f(y) & f(0) = 1
x
0
dir.
x
0
y
D)
E)
1
–1
1
0
0
1
x
y
x
x
–1
26. f: R– → R, f(x) = 3x + 2 ise,
x + 10
l – 20
3
–1
–1
^ f of h (x)
Çözüm
fb
oranının eşiti nedir?
Çözüm
Grafikleri incelediğimizde x eksenine çizilen dik doğruların
grafiği sadece A seçeneğindeki bağıntı grafiğini bir noktada
kestiğini görünüz.
(fof)(x) = 3.(3x + 2) + 2 = 9x + 8
O halde A şıkkındaki bağıntı fonksiyondur.
(fof)–1(x) = (f–1of–1)(x) =
fc
x–8
bulunur.
9
x + 10
x + 10
m – 20 3 c 3 m + 2 – 20
3
=
x–8
(f –1 of –1) (x)
9
=
x–8
= 9 olur.
x–8
9
29. f(x) = 2x – 3 ise, f–1(29) kaçtır?
Çözüm
f–1(29) = a diyelim
f(a) = 29 & 2a – 3 = 29 & 2a = 32 = 25
& a = 5 olup f–1(29) = 5 tir.
27. f(x) = 2x – 5 ve f–1(x) + f–1(x) = 10 ise, x kaçtır?
30. f(x) = ax + b ise, f(x – 1) + f(x + 1) in f(x) cinsinden eşiti
nedir?
Çözüm
x+5
f(x) = 2x – 5 & f–1(x) =
2
f(x) + f–1(x) = 2x – 5 +
&
x+5
= 10
2
4x – 10 + x + 5
= 10
2
& 5x – 5 = 20 & 5x = 25
& x = 5 bulunur.
Çözüm
f(x) = ax + b & f(x – 1) = a.(x – 1) + b
= ax – a + b
& f(x + 1) = a.(x + 1) + b
= ax + a + b
& f(x – 1) + f(x + 1) = ax – a + b + ax + a + b
= 2ax + 2b = 2(ax + b) = 2f(x) bulunur.
54
31. f: R → R , f(x, y) = 2x.3y ise,
f (y, x)
ifadesinin eşiti
f (y – x, x – y)
nedir?
34. f(3x – 5) =
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
x+2
ise, f–1(1) kaçtır?
6
Çözüm
Çözüm
f(x, y) = 2x.3y & f(y – x, x – y) = 2y–x.3x–y
x+2
x+2
& f –1 b
l = 3x – 5
6
6
x+2
=1 & x = 4
6
f (y, x)
2 y .3 x
= y–x x–y
f (y – x, x – y) 2 .3
f –1 b
2 y .3 x
= y –x x –y
2 .2 .3 .3
=
f(3x – 5) =
4+2
l = 3.4 – 5 & f –1 (1) = 7
6
olur.
2 y .3 x
2 y .3 x .2 –x .3 –y
35. Aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur?
= 2 x .3 y = f (x, y)
bulunur.
I.
Bire bir her fonksiyon örtendir.
II. Örten her fonksiyon bire birdir.
III. Her bağıntı bir fonksiyondur.
IV. Her fonksiyon bir bağıntıdır.
Çözüm
32. f(x) = (3m – 2)x + 5n – 2
I.
Bire bir her fonksiyon örtendir. (Y)
sıfır fonksiyonu ise m + n toplamı kaçtır?
II. Örten her fonksiyon bire birdir. (Y)
Çözüm
III. Her bağıntı bir fonksiyondur. (Y)
f(x) = 0 = 0x + 0 biçiminde olmalıdır.
IV. Her fonksiyon bir bağıntıdır. (D)
(3m – 2)x + 5n – 2 = 0x + 0 eşitliğinde
2_
3m – 2 = 0 & m = b
3b
`
2 b
5n – 2 = 0 & n =
5 b
a
& m+n=
2 2 16
+ =
3 5 15
36. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bire bir fonksiyona aittir?
bulunur.
A)
B)
y
D)
y
f
f
x
0
C)
y
0
E)
y
2
x
–2
f
0 2
x
y
1
f
33. A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, 3} olduğuna göre B den A ya
tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı kaçtır?
x
0
f
0
x
–1
Çözüm
s(A) = 4, s(B) = 3 olup B den A ya
bire bir fonksiyon sayısı
4! = 4! = 24 bulunur.
(4 – 3)!
Çözüm
Grafikler incelendiğinde, x eksenine paralel doğrular çizilirse
sadece B seçeneğinde eğriyi çizilen doğrular tek noktalarda
keser. B seçeneğindeki f bağıntısı bire birdir.
55
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
37. f(x + 1) =
x
ise, f(x – 1) in f(x) türünden eşiti nedir?
x+3
Çözüm
f(x + 1) =
x
için x yerine x – 1 yazılırsa
x+3
x
x –1
& f (x) =
dir.
x – 1+ 3
x+2
f(x) de x yerine x – 1 yazılırsa
f(x) = y =
& f(a + b) = (a + b)2 + 2(a + b) = a2 + 2ab + b2 + 2a + 2b
& f(a – b) = (a – b)2 + 2(a – b) = a2 – 2ab + b2 + 2a – 2b
&
f ( a + b) – f ( a – b)
a +1
=
a 2 + 2ab + b 2 + 2a + 2b – a 2 + 2ab – b 2 – 2a + 2b
a +1
=
4ab + 4b 4b (a + 1)
=
= 4b bulunur.
a +1
a +1
x –1
& xy + 2y = x – 1
x+2
–1 – 2y
bu ifade f(x – 1) fonksiyonunda yazılırsa
y –1
–1 –2y
–2
y –1
x–2
f (x – 1) =
=
x + 1 –1 – 2y
+1
y –1
–1 – 2y – 2y + 2
y –1
–4y + 1 4y – 1
=
=
=
–1 –2y + y – 1
–y –2
y+2
y –1
=
f(x) = x2 + 2x
x – 1– 1 x – 2
=
x + 2 – 1 x +1
& x.y – x = –1 – 2y & x (y – 1) = –1 – 2y
&x=
f ( a + b) – f ( a – b)
ifadesinin eşiti nedir?
a +1
Çözüm
f(x – 1 + 1) =
f(x – 1) =
39. f(x) = x2 + 2x ise,
4f (x) – 1
f (x) + 2
olur.
40. f(x) = 3x + 2 ve (fog)(x) =
x +1
ise, g–1(1) kaçtır?
2
Çözüm
g–1(1) = a & g(a) = 1 olur.
x = a & (fog)(a) = a + 1
2
(fog)(a) = f(g(a)) = f(1) = 5
a + 1 = 5 & a = 9 olur.
2
38. b ! 0 olmak üzere f(x) = bx + a ve (fog)(x) = ax + b ise,
g(1) kaçtır?
41. f(x) = 2x + 1 , g(x) = ax + 3
Çözüm
fonksiyonları için (fog)(x) = (gof)(x) ise, a kaçtır?
b ≠ 0 f(x) = bx + a ve (fog)(x) = ax + b
Çözüm
& f(g(x)) = ax + b & f–1(f(g(x))) = f–1(ax + b)
f(x) = 2x + 1 ve g(x) = ax + 3
& g(x) = f–1(ax + b)
x–a
f(x) = bx + a & f–1(x) =
b
g(x) =
56
ax + b – a
a +b – a
& g (1) =
= 1 bulunur.
b
b
& (fog)(x) = 2.(ax + 3) + 1 = 2ax + 7
& (gof)(x) = a(2x + 1) + 3 = 2ax + a + 3
& (fog)(x) = (gof)(x) & 2ax + 7 = 2ax + a + 3
& a=4
bulunur.
44. A = {–1, 0, 1, 2} , f: A → R
42. A = {–2, –1, 0, 1, 2}
f: A → R , f(x) = x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
f(x) = x + 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
Çözüm
y
f: R → R
f: R → R
4
3
f(x) = x + 1 bir doğru
f(x) = x2 nin grafiği bir
parabol belirtir. Ancak
A = {–2, –1, 0, 1, 2} 5 elemanlı bir küme olduğundan
grafik 5 noktadan oluşur.
y
2
denklemidir. f: A → R
1
–2
–1
0
1
2
x
f(–2) = (–2)2 = 4
f(–1) = (–1)2 = 1
f(0) = 02 = 0
1
f(x) = x + 1 fonksiyonunun
tanım kümesi 4 elemanlı olduğundan grafik 4 noktadan
oluşur.
–1
f(–1) = –1 + 1 = 0
f(1) = 1 + 1 = 2
f(0) = 0 + 1 = 1
f(2) = 2 + 1 = 3
0
1
x
2
f(1) = 12 = 1
f(2) = 22 = 4 olup grafik şekildeki gibidir.
45. A = [–1, 1]
f: A → R , f(x) = x2 + 1
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
43. A = {a, b, c, d} ,
B = {1, 2, 3, 4} olmak üzere aşağıdaki
bağıntılardan hangileri A dan B ye bir fonksiyondur?
I.
f1 = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3), (a, 3)}
II.
f2 = {(a, 1), (b, 3), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
III. f3 = {(a, 2), (b, 3), (c, 1), (d, 4)}
IV. f4 = {(d, 1), (a, 3), (c, 2), (b, 2)}
V.
Çözüm
y
f(x) = x2 + 1 parabol denklemidir.
2
Parabolün [–1, 1] aralığındaki
grafiği yandaki gibidir.
1
f(–1) =
(–1)2
+1=2
–1
0
x
1
f(0) = 02 + 1 = 1
f(1) = 12 + 1 = 2 dir.
f5 = {(b, 4), (a, 1), (c, 2), (b, 3)}
Çözüm
f1 bağıntısında a elemanı hem 1 ile hem de 3 ile eşlendi-
46. Aşağıdakilerden hangisi tek fonksiyon değildir?
ğinden f1 fonksiyon değildir.
A) f(x) = 2x3
B) f(x) = x3 + x
f2 bağıntısında b elemanı hem 3 ile hem 2 ile eşlendiğin-
D) f(x) = x
E) f(x) = x5 + x3
den fonksiyon değildir.
Çözüm
f3 bağıntısında tanım kümesinin her elemanı değer kümesini
f(–x) = –f(x) ise f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.
yalnız bir elemanı ile eşlendiğinden f3 fonksiyondur.
f4 bağıntısında tanım kümesinin her elemanı değer kümesinden yalnız bir eleman ile eşlendiğinden f4 fonksiyondur.
f5 bağıntısı da aynı nedenle bir fonksiyondur.
C) f(x) = x2 + x
C seçeneğinde
f(–x) = (–x)2 + (–x) = x2 – x ve f(x) = x2 + x
f(–x) ! –f(x) olup f(x) = x2 + x tek fonksiyon değildir.
57
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
47.
50.
y
y
2
1
–2
–1
0
x
1
0
2
x
–1
–2
Şekilde f: A → B
Şekilde f: R → R fonksiyonun grafiği verilmiştir. f bire bir bir
fonksiyon mudur?
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Çözüm
Buna göre, A → f(A) aşağıdakilerden hangisidir?
Grafiği kesen x eksenine paralel doğrular çizildiğinde her
doğru grafiği yalnızca bir noktada kesiyor. Bu nedenle
f bire bir fonksiyondur.
A) (–2, 1] → (–2, 2]
B) (–2, 1] → (–2, 3]
C) (–2, 1] → (–2, 2] – {0}
D) (–2, 0) ∪ (0, 1) → (–2, 2]
E) (–2, 1] → [–2, 2]
Çözüm
Grafik dikkatle incelenirse xʼe verilen değerler (–2, 1] aralığındadır. Bu değerlerin görüntüleri y ekseninde (–2, 2] kümesindedir. Doğru seçenek A dır.
51. f: R → R, f(x) = (m – 3)x2 + (n + 1)x + m + n sabit bir fonksiyon olduğuna göre, f(10) kaçtır?
Çözüm
f(x) = (m – 3)x2 + (n + 1)x + m + n sabit bir fonksiyon ise
m–3=0
n + 1 = 0 olmalıdır.
48. f: Z → R, f(x) = 2x + 5 fonksiyonu içine fonksiyon mudur?
Çözüm
Buradan, m = 3, n = –1 dir.
O halde fonksiyon f(x) = 3 + (–1) = 2 olup f(10) = 2 dir.
Her x ∈ Z için f(x) = 2x + 5 ∈ Z ve Z ⊂ R olduğundan f içine
fonksiyondur.
49. f: (–∞, 2] → [–1, ∞) f(x) = x2 – 1 fonksiyonu örten midir?
Çözüm
f(x) = x2 – 1 in grafiği şekildeki gibidir.
3
[–1, ∞) değer kümesindeki
her y elemanı (–∞, 2]
tanım kümesindeki en az
bir x in görüntüsüdür.
Başka bir deyişle
f((–∞, 2]) = [–1,
∞) oldu-
ğundan f örten bir fonksiyondur.
58
0
De€erler kümesi
–1
Çözüm
f(x) = x olmalı, 2a – b = 1, b + a – 2 = 0 olacağından
2a – b = 1
1
2
Tanım
kümesi
52. f: R → R, f(x) = (2a – b)x + b + a – 2
birim fonksiyon olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
y
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
x
+
b+a=2
3a = 3 & a = 1 ve 2.1 – b = 1 & 1 = b dir.
O halde a.b = 1.1 = 1 bulunur.
BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ
ETKİNLİK
1)
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım
kümelerini bulunuz.
a) f(x) =
16 – x
b) f(x) =
16 – x 2
c) f(x) =
x + 9–x
IR de tanımlı y = f(x) kuralı ile verilen bir fonksiyonda A ⊂ IR ve her x ∈ A için
f(x) ∈ IR koşulunu sağlayan en geniş A kümesine f fonksiyonunun en geniş tanım
kümesi denir.
1)
a0, a1, a2, ..., an ∈ IR ve n ∈ N olmak üzere,
f(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0 polinom fonksiyonlarının en geniş tanım
kümesi A = IR dir.
d) f(x) = 1 + tanx
2)
P(x) ve Q(x) herhangi iki polinom olmak üzere f (x) =
P (x)
biçimindeki fonkQ (x)
siyonlar Q(x) ≠ 0 için tanımlıdırlar.
3)
P(x) bir polinom ve f(x) =
n
P (x) olsun.
a) n tek ise f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A = IR dir.
b) n çift ise f fonksiyonu P(x) ≥ 0 için tanımlıdır.
4)
2)
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım
P(x) bir polinom ise f(x) = logaP(x) fonksiyonu P(x) > 0 için tanımlıdır.
(a > 0 , a ≠ 1)
kümelerini bulunuz.
a) f(x, y) =
2x + 3y
x2 + y2
x2 + y2
b) f(x, y) = y – x
UYARI
f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A1
g fonksiyonunun en geniş tanım kümesi A2 ise f + g, f – g, f.g,
f
g fonksiyonlarının en geniş tanım kümeleri A1 ∩ A2 dir.
ETKİNLİK
a) f : R2 → R, f(x, y) =
sin x
fonksiyonunun en geniş
3 – cos x
tanım kümesini bulunuz.
3)
x2 + y
2x – y + xy – 2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
f (x) =
b) f : R2 → R, f(x, y) =
xy + 1
y – x2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
59
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
1.
f: A → IR, f(x) = x2 – 5x + 6 fonksiyonunun en geniş tanım
kümesini bulunuz.
4.
f: A → IR, f(x) =
kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
f(x) = x2 – 5x + 6 fonksiyonu bir polinom olduğundan f nin en
geniş tanım kümesi A = IR dir.
4 – x2 ≥ 0 olmalıdır.
x
2.
4 – x2
f: A → IR, f(x) =
–∞
4 – x2
1+ x
fonksiyonunun en geniş tanım
x2 – x – 2
fonksiyonunun en geniş tanım
2
–2
–
+
+∞
–
kümesini bulunuz.
O halde, f nin en geniş tanım kümesi A = [–2, 2] aralığıdır.
Çözüm
1 + x ≥ 0 ve x2 – x – 2 ≠ 0 olmalıdır.
x ≥ – 1 ve (x + 1)(x – 2) ≠ 0
5.
x ≥ –1 ve x ! –1, x ! 2 olmalıdır.
f: A → IR, f(x) =
4
x –1
1– 2 | x |
fonksiyonunun en geniş tanım
kümesini bulunuz.
x –∞
2
–1
+∞
x+1
–
+
+
x2 – x – 2
+
–
+
Çözüm
1– 2 | x | > 0
3 olmalıdır.
x – 1≥ 0
O halde, f nin en geniş tanım kümesi: A = (–1, ∞) – {2} dir.
3.
f: A1 → IR, f(x) =
x
x2 – x
g: A2 → IR, g(x) =
x
olduğuna göre f.g fonksiyonunun
1+ x
6.
en geniş tanım kümesini bulunuz.
f fonksiyonunun her x ∈ IR için tanımlı olması için paydasının kökleri olmamalıdır.
A1 ∩ A2 yi bulmalıyız.
f fonksiyonu x2 – x > 0 için tanımlı olup işareti incelenirse
x
–∞
0
+
x2 – 1
fonksiyonunun tüm reel
x 2 – mx + 3m – 5
sayılarda tanımlı olması için m hangi aralığın elemanı olmalıdır?
f: A → IR, f(x) =
Çözüm
Çözüm
x2 – x
1
1
1
&– <x<
ve
2
2
2
x ≥ 1 olmalıdır. O halde, tanım kümesi ∅ dir.
Buna göre 1 > 2|x| & |x| <
+∞
1
+
–
A1 = (–∞, 0) ∪ (1, ∞) dur.
Yani x2 – mx + 3m – 5 = 0 denkleminde Δ < 0 olmalıdır.
O halde,
Δ = m2 – 4.(3m – 5) < 0
& (m – 2)(m – 10) = 0
A2 = IR – {–1}
g(x) = 1+x x fonksiyonu 1 + x ≠ 0 için tanımlıdır.
1 + x ≠ 0 & x ≠ –1 olmalıdır.
O halde, x ∈ R –{–1} = (–∞, –1) ∪ (–1, +∞) olup
A2 = (–∞, –1) ∪ (–1, +∞) dur.
& m1 = 2 veya m2 = 10 olup
Δ = m2 – 12m + 20 < 0 ın işareti incelenirse
m
x2 –12m + 20
–∞
2
+
O halde f.g' nın en geniş tanım kümesi,
A1 ∩ A2 = [(–∞, 0) ∪ (1, +∞)] ∩ [(–∞, –1) ∪ (–1, +∞)]
= (–∞ , –1) ∪ (–1, 0) ∪ (1, +∞) olur.
60
& m2 – 12m + 20 < 0
çözüm
m ∈ (2, 10) olmalıdır.
+∞
10
–
+
1.
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
a)
f (x) =
3
1+ x
1+ x – 1
2.
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
a)
f (x) = sin x – cos x
[–1, +∞) – {0}
b)
f (x) =
b)
x
1 – sin x
R–{
c)
f (x) =
f (x) =
c)
f (x) =
f (x) = e 1 –
1
}
10
{x: x = 2kπ, k ∈ Z}
d)
1
x
(0, + 3) – {
cos x – 1
1 – sin x
(0, 10)
d)
π
]
2
x –1
1 + log x
3π
+ 2kπ, k ! Z}
2
1
1 – log x
[ 0,
f (x) = 3 – x 2 – 9
[–2 3 , – 6 ] , [ 6 , 2 3 ]
R – {0}
e)
f (x) =
e)
1 – ln (1 – x)
1+ x
f (x) =
1 + 2 ln x
1 – ln x
[ 2 , + 3) – {e}
[1–e, 1) – {–1}
61
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
PARÇALI FONKSİYONLAR
ETKİNLİK
Tanım kümesinin alt kümelerinde farklı birer kuralla tanımlanan fonksiyonlara
parçalı fonksiyonlar denir.
f:R→R
f (x) = '
log x
2,nx
x ≤1
x >1
fonksiyonu için f c
Bir f parçalı fonksiyonu aşağıdaki biçimde tanımlı olsun.
1
m + f (e 3) değeri kaçtır?
100
1
< 1 olduğundan
100
Z
]] g (x) , x ≤ a ise
f (x) = [ h (x) , a < x < b ise
]]
r (x) , b ≤ x ise
\
Bu şekilde tanımlı bir f fonksiyonu için; x = a ve x = b noktalarına kritik noktalar,
g(x), h(x) ve r(x) fonksiyonlarına parçalı fonksiyonun dalları denir.
1
1
fc
m = log
100
100
= log1010–2 = –2 dir.
e3 > 1 olduğundan f(e3) = 2ne3 = 6ne = 6
f: R → R
dır. O halde
fc
ÖRNEK – 1
f (x) = *
1
m + f (e 3) = –2 + 6 = 4 bulunur.
100
1 + x 3 , x ≤ –1 ise
3 – x 3 , x > –1 ise
biçiminde tanımlı parçalı fonksiyonun kritik noktası x = –1 dir.
x ≤ –1 için f(x) = 1 + x3
x > –1 için f(x) = 3 – x3
f nin dallarıdır.
ÖRNEK – 2
f: Z → R
ETKİNLİK
Z3.x
, x / 0 (mod 5)
]]
x
f (x) = [ 5
, x / 1 (mod 4)
]] 2
x + 1 , x / 2 (mod 3)
\
f:R→R
f (x) = )
1 + sin x ,
2. cos x ,
x≤r
fonksiyonu için
x>r
r
3r
f a k + 2f b l
2
2
ifadesinin değerini bulunuz.
4r
fb l
3
Parçalı fonksiyonu için ∀x ∈ Z noktası kritik noktadır.
k ∈ Z için
x = 5.k
için
x = 4k + 1
x = 3k + 1
için
için
_
b
b
` f fonksiyonunun dallarıdır.
f (x) = 5 x
b
f (x) = x 2 + 1b
a
f (x) = 3.x
ÖRNEK – 3
f: R → R
f (x) = *
4x + 3
,
x <1
ise
x2
,
x ≥1
ise
+4
şeklinde tanımlı fonksiyon için f(–2) + f(2) toplamı kaçtır?
62
ÇÖZÜM
ETKİNLİK
f : R → R, g : R → R
f (x) = *
1+ x
x≤2
1+ x 2
x>2
2
g (x) = * x – 1
2x + 1
x<3
x≥3
–2 < 1 olduğundan f(x) = 4x + 3 fonksiyonunda x = –2 yazılır.
f(–2) = 4(–2) + 3 = –5 tir.
2 > 1 olduğundan f(x) = x2 + 4 fonksiyonunda x = 2 yazılır. f(2) = 22 + 4 = 8 dir.
O halde f(–2) + f(2) = –5 + 8 = 3
bulunur.
fonksiyonları veriliyor.
a) (fog)(4)
ÖRNEK – 4
b) (gof)(4)
f: R → R
c) (fof)(0)
f (x) = )
d) (gog)(0)
3x – 1
2x – 1
A = {–1, 0, 1, 2} ve
,
,
x < 2 ise
x ≥ 2 ise
B = (0, 3]
olduğuna göre, f(A) ve f(B) kümelerini
bulalım.
değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
a) (fog)(4) = f(g(4))
A = {–1, 0, 1, 2} ise f(A) = {f(–1), f(0), f(1), f(2)}
= f(2.4 + 1)
= f(9)
= 1 + 92 = 82
–1 < 2 & f(–1) = 3.(–1) – 1 = –4
0 < 2 & f(0) = 3.0 – 1 = –1
1<2 &
f(1) = 3.1 – 1 = 2
2≥2 &
f(2) = 2.2 – 1 = 3
b) (gof)(4) = g(f(4))
= g(1 + 42) = g(17) = 2.17 + 1 = 35
olup
f(A) = {–4, –1, 2, 3} tür.
c) (fof)(0) = f(f(0))
B = (0, 3] & f(B) = f((0, 3]) tür.
= f(1 + 0)
= f(1) = 1 + 1 = 2
B = (0, 3] = (0, 2) ∪ [2, 3] biçiminde yazalım.
x ∈ (0, 2) ∪ [2, 3] & x ∈ (0, 2) veya x ∈ [2, 3]
d) (gog)(0) = g(g(0))
= g(02 – 1)
& 0 < x < 2 veya 2 ≤ x ≤ 3
= g(–1) = (–1)2 – 1
& 3.0 < 3x < 3.2 veya 2.2 ≤ 2x ≤ 2.3
=0
bulunur.
& 0 – 1 < 3x – 1 < 6 – 1 veya 4 – 1 ≤ 2x – 1 ≤ 6 – 1
& –1 < 3x – 1 < 5 veya 3 ≤ 2x – 1 ≤ 5
f(B) = (–1, 5) ∪ [3, 5] = (–1, 5] bulunur.
63
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
Parçalı Fonksiyonun Tersi
ETKİNLİK
Bir parçalı fonksiyonun tersini bulmak için her bir dalın ayrı ayrı tersi bulunur.
1) f : R – {0} → R
1
f (x) = x fonksiyonu için
(fof)(–10) + (fof)(–9) + ... + (fof)(9) + (fof)(10)
toplamının değeri kaçtır?
ÖRNEK – 1
Z 5
, x <1
]] x + 1
f (x) = [
]]
\ 3x + 1 , x ≥ 1
fonksiyonunun tersini bulunuz.
ise
ise
ÇÖZÜM
x < 1 için f: (–∞, 1) → (–∞, 2) olur. Çünkü x < 1 için –∞ < x5 + 1 < 2
y = f(x) = x5 + 1 & x = f–1(y) =
2) f, g : R → R
2 – 3x
f (x) = *
x –1
, x<2
, x≥2
x –1 , x<0
2x – 4 , x ≥ 0
fonksiyonları için
g (x) = *
5
olup
y –1
f–1: (–∞, 2) → (–∞, 1)
5
x → f–1(x) =
x –1
dir.
x ≥ 1 için f: [1, ∞) → [2, ∞) dur.
Çünkü x ≥ 1 için 2 ≤
3x + 1 & x = f –1 (y) =
b) f – g
y = f(x) =
c) f.g
f–1: [2, ∞) → [1, ∞)
fonksiyonlarını bulunuz.
X
∞ dur.
3x + 1 <
a) f + g
y2 – 1
3
olup
x2 – 1
→ f–1(X) =
tür.
3
O halde,
5
f –1 (x) =
x –1
* x2 – 1
3
,
x<2
ise
,
x≥2
ise
olarak bulunur.
ÖRNEK – 2
f : R – {0} → R
2
f (x) = ) x + 5
x +1
x≤2
x>2
şeklinde tanımlanan f fonksiyonu için f–1 ters
f (x) = *
x+2
,
x≤0
ise
x3
,
x>0
ise
+1
olduğuna göre f–1(0) değerini bulalım.
fonksiyonunu bulunuz.
ÇÖZÜM
f–1(0) = a olsun. f(a) = 0 olur.
a > 0 & a3 + 1 = 0 & a = –1 olamaz.
a ≤ 0 & f(a) = a + 2 = 0 & a = –2 olup f–1(0) = a = –2
64
dir.
dir.
Parçalı Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi
ETKİNLİK
Verilen iki ya da daha çok parçalı fonksiyonun bileşkesini bulmak için bu fonksiyon-
1) f : R → R
Zx
]2 +1
]
f (x) = [
]]
\ x –1
ların tanım kümelerinin alt aralıklarının kesişiminde bileşke işlemi uygulanır.
,x <1
,x ≥1
fonksiyonu veriliyor.
f(a) = 2 ise, a değerini bulunuz.
ÖRNEK – 1
f (x) = )
x2 + 1
2x – 3
,
,
x ≤ 0 ise
x > 0 ise
x3 – 1
x2 – 1
,
,
x ≤ 1 ise
x > 1 ise
g (x) = *
olduğuna göre, (fogof)(2) kaçtır?
2) f : R → R
Z
1
] 2
]] x + 3x + 2
f (x) = [
]
1
]] 2
\ x – 3x + 2
,
x≤5
,
x>5
ÇÖZÜM
(fogof)(2) = f(g(f(2))) olup önce f(2) yi bulmalıyız.
x > 0 için f(x) = 2x – 3 olup f(2) = 2.2 – 3 = 1 dir.
şeklinde tanımlı fonksiyon için
g(f(2)) = g(1) ve x ≤ 1 için g(x) = x3 – 1
olduğundan,
f(0) + f(1) + ... + f(10) toplamının değeri kaçtır?
g(1) = 13 – 1 = 0
dır.
f(g(f(2))) = f(g(1)) = f(0) ve x ≤ 0 için,
f(x) = x2 + 1 ve f(0) = 02 + 1 = 1
dir.
O halde, (fogof)(2) = 1 dir.
3) f : R → R
f (x) = )
x +1 , x ≥1
2x + 3 , x < 1
g(x) = x2 + 1 fonksiyonları için fog fonksiyo-
ÖRNEK – 2
nunu bulunuz.
f (x) = *
x2 – 1
x3
g (x) = *
,
,
x2
,
x3 + 1 ,
x≤0
x>0
ise
ise
x ≤ –1 ise
x > –1 ise
olduğuna göre, (fog)(x) fonksiyonunu bulalım.
65
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÇÖZÜM
ETKİNLİK
1) f : [1, 3 ) → R
(fog)(x) = f(g(x))
f (x) = x + 8 + 6 x – 1 + x + 8 – 6 x – 1
x ≤ –1 için g(x) = x2
fonksiyonunun parçalı biçimde
Z6
, 1 ≤ x < 10
]]
f (x) = [
]]
2 x –1
, 10 < x < 3
\
şeklinde yazılabildiğini gösteriniz.
(fog) (x) = f (x 2) = *
f (x 2) = *
x4 – 1
x6
dir.
olup
(x 2) 2 – 1
(x 2) 3
x2 ≤ 0
x2 > 0
,
,
x2 ≤ 0
x2 > 0
,
,
ise
ise
olur. x ≤ –1 için (fog)(x) = x6
–1 < x ≤ 0
dır.
için g(x) = x3 + 1
(fog) (x) = f (x 3 + 1) = *
(x 3
ise
ise
olduğundan,
+ 1) 2
–1 ,
3
3
(x + 1)
,
x 3 + 1 ≤ 0 ise
x 3 + 1 > 0 ise
O halde –1 < x ≤ 0 için (fog)(x) = (x3 + 1)3
olur.
Şimdi son olarak x > 0 için (fog)(x) i bulalım.
x > 0 için g(x) = x3 + 1 olduğundan
(fog) (x) = f (x 3 + 1) = *
2) f : R → R
f (x) = *
x
, x<0
(x 3 + 1) 2 – 1 ,
(x 3 + 1) 3
,
x > 0 için (fog)(x) = (x3 + 1)3
x2 , x ≥ 0
şeklinde tanımlı f fonksiyonunun tersini bulunuz.
x 3 + 1 ≤ 0 ise
x 3 + 1 > 0 ise
tür.
O halde,
(fog) (x) = *
x6
,
(x 3 + 1) 3 ,
x ≤ –1 ise
x > –1 ise
bulunur.
ÖRNEK – 3
f (4 – 3x) = )
3) f : R → R
f (2x – 1) = )
x2 + 1 ,
3x – 2 ,
x2 – 1
3x + 1
,
,
x ≤ 2 ise
x > 2 ise
biçiminde tanımlı f fonksiyonu için f(–2) ve f(–5) değerlerini bulalım.
x ≤1
x >1
ÇÖZÜM
biçiminde tanımlı f fonksiyonu için
f(5) + f(–5) toplamı kaçtır?
f(–2) değerini bulmak için eşitliğin her iki yanında x = 2 yazalım.
x = 2 & f(4 – 3.2) = 22 – 1 & f(–2) = 3 tür.
f(–5) değerini bulmak için eşitliğin her iki yanına x = 3 yazalım.
x = 3 & f(4 – 3.3) = 3.3 + 1
& f(–5) = 10 bulunur.
66
ETKİNLİK
1) f, g : R → R
Z 2
, x <1
]] x
f (x) = [
]]
1 + 2x , x ≥ 1
\
Z 3
, x ≤ –1
]] x
g (x) = [
]] 2
, x > –1
\ 2x
fonksiyonları veriliyor.
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK – 4
Z tam sayılar kümesinde,
2x – 1 ,
3
,
–2
,
g (x) = )
x+2 ,
f (x) = )
x çift ise
x tek ise
x çift ise
x tek ise
kuralı ile f ve g fonksiyonları tanımlanıyor. (fog)(x) in kuralını bulalım.
ÇÖZÜM
a) (fof)(x)
b) (gog)(x)
(fog) (x) = f (g (x)) = *
2 (–2) – 1
3
,
,
x çift ise
x tek ise
c) (f + g)(x)
& (fog) (x) = )
d) (f.g)(x)
e) (f.f)(x)
f)
–5
3
,
,
x çift ise
x tek ise
olur.
(g.g)(x)
g) (f + 2.g)(x)
fonksiyonlarını bulunuz.
ETKİNLİK
1) f : A → R , g : A → R fonksiyonları verilsin. g(A) 3 A 1 R olmak üzere,
g fonksiyonu periyodik ve periyodu T ise, fog fonksiyonunun periyodunun
T olduğunu gösteriniz.
2) f : R → R
g:R→R
2) f : A → R , fonksiyonunun periyodu T1
iki fonksiyon ve f nin peryodu T = 3 tür.
g: A → R fonksiyonunun periyodu T2 ise m, n ∈ N+ olmak üzere,
g (x) = f b
f + g : A → R fonksiyonunun periyodunun T = mT1 = nT2 koşulunu sağlayan
3x
l olduğuna göre, g fonksiyonunun
4
periyodu kaçtır?
en küçük pozitif T sayısı olduğunu gösteriniz.
67
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
GRAFİK ÇİZİMİ – ÖTELEME VE SİMETRİ
E TKİNLİK
y = f(x) bağıntısının grafiği verilsin k > 0 olmak üzere;
1) f : R → R fonksiyonu veriliyor. a ∈ R olmak
üzere
1)
a) f çift fonksiyon ise a.f nin çift fonksiyon
y – k = f(x) bağıntısının grafiği, y = f(x) in grafiğinin pozitif y– ekseni yönünde
k birim ötelenmiş biçimidir.
Burada (x, y) yerine (x, y – k) geldiğine dikkat edelim.
olduğunu gösteriniz.
b) f tek fonksiyon ise a.f nin tek fonksiyon
ÖRNEK
olduğunu gösteriniz.
y
y
2
1
1
1
0
2
x
y = f(x)
2) f : R → R , g : R → R çift fonksiyonlarıdır.
1
0
2
2+1
x
y = f(x) + 1
(1, 1)
(1, 2)
a) f + g nin çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.
b) f.g nin çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.
c) gof nin çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.
2)
y + k = f(x) bağıntısının grafiği, y = f(x) in grafiğinin negatif y– ekseni yönünde k birim ötelenmiş biçimidir. Burada (x, y) yerine (x, y + k) geldiğine
dikkat ediniz.
ÖRNEK
3)
y
y
f(x)=x2–1
y
2
1
0
x
–1
0
1
x
0
1
–1
f(x) = x2 – 1 fonksiyonunun grafiği veriliyor.
y = f(x)
f(x + 1) + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = f(x) – 2
(1, 2)
68
(1, 0)
x
3)
E TKİNLİK
1) f : R → R , g:R → R tek fonksiyonlardır.
y = f(x – k) bağıntısının grafiği, y = f(x) in grafiğinin pozitif x ekseni yönünde k birim ötelenmiş biçimidir. Burada (x, y) yerine (x – k, y) geldiğine
dikkat edelim.
ÖRNEK
a) f + g nin tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.
b) f.g nin çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.
y
y
c) fog nin tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.
1
1
0
2) f : R → R çift fonksiyon
g : R → R tek fonksiyon olmak üzere
4)
a) f.g nin tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.
1
2
x
0
1
2
y = f(x)
y = f(x – 1)
f(0) = 1
x=1
3
x
f(1 – 1) = f(0) = 1
y = f(x + k) bağıntısının grafiği y = f(x) in grafiğinin negatif x– ekseni yönünde
k birim ötelenmiş biçimidir. Burada (x, y) yerine (x + k, y) geldiğine dikkat
edelim.
ÖRNEK
b) fog nin çift fonksiyon olduğunu gösteriniz.
c) f + g fonksiyonu hakkında ne söyleyebilir-
y
y
siniz?
1
1
0
1
2
x
x
–1 0
–1
y = f(x + 2)
y = f(x)
3)
y
5)
y = f(–x) in grafiği y = f(x) in grafiğinin y– eksenine göre simetriğidir. Burada
(x, y) yerine (–x, y) gelmiştir.
1
0
1
x
ÖRNEK
y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
y
y
y=
f(x
)
Buna göre, f(–x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
0
2
x
–2
0
x
y = f(x)
y = f(–x)
69
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
6)
E TKİNLİK
1) f : R– → R+
y = –f(x) in grafiği, f(x) in grafiğinin x– eksenine göre simetriğidir. Burada
(x, y) yerine (x, –y) gelmiştir.
ÖRNEK
1
f (x) =
2–x
y
g: R+ → R+
g (x) =
1
1+ x
y
1
fonksiyonları veriliyor.
–1 0
1
x
–1
x
0
a) fog fonksiyonunun değer kümesini bulunuz.
–1
y = f(x)
b) gof fonksiyonunun değer kümesini bulunuz.
y = –f(x)
7)
x = f(y) bağıntısının grafiği, y = f(x) in grafiğinin I. açıortaya (y = x) göre
simetriğidir. Burada (x, y) yerine (y, x) gelmiştir.
ÖRNEK
y
y
y=x
x
0
0
x
2) f : R → R , f(x) = 2x + 3x
ve g(x) =
f (3x)
f (x)
y = f(x)
x = f(y)
olduğuna göre, g fonksiyonunun tanım ve değer
kümesini bulunuz.
8)
y = –f(–x) bağıntısının grafiği y = f(x) in grafiğinin orijine göre simetriğidir.
Burada (x, y) yerine (–x, –y) gelmiştir.
ÖRNEK
y
y
1
0
x
x
0
–1
y = f(x)
y = –f(–x)
70
9)
E TKİNLİK
1) y = f(x) fonksiyonunun y = b doğrusuna göre
x = –f(–y) nin grafiği, y = f(x) in grafiğinin II. açıortaya göre simetriğidir.
Burada (x, y) yerine (–y, –x) gelmiştir.
ÖRNEK
simetriği 2b – y = f(x) bağıntısı olduğuna göre,
y
y
y
y=f(x)
2
0
0
–2
x
1
x
1
0
–1
x
x = f(y)
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonunun
y = 3 doğrusuna göre simetriğinin grafiğini
x = –f(–y)
çiziniz.
10) y = f(2a – x) bağıntısının grafiği, y = f(x) in grafiğinin x = a doğrusuna göre
simetriğidir. Burada (x, y) yerine (2a – x, y) gelmiştir.
ÖRNEK
y
y
2
2
1
1
0
2)
x
1
2
3
–1
0
x
1
2
3
y
y = f(x)
–1
0
y = f(2 – x)
x = 1 do€rusuna göre simetri alınır.
x
–1
11) 2b – y = f(2a – x) bağıntısının grafiği, y = f(x) in grafiğinin (a, b) noktasına
göre simetriğidir. Burada (x, y) yerine (2a – x, 2b – y) gelmiştir.
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
ÖRNEK
orijine göre simetriğinin grafiğini çiziniz.
y
y
1
0
y = f(x)
1
x
1
0
x
1
2
2 – y = f(2–x)
71
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
1.
Zx + 1
]
f : R ⎯→ R, f (x) = [ x 2 – 1
]
\x
,
x<2
,
,
x = 2 ise
x > 2 ise
şeklinde tanımlı f fonksiyonu için
4.
ise
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
veriliyor.
y
f(x) = y
y = f(x + 1) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f (–3) + f (3)
kaçtır?
f (2)
0
x
1
–1
Çözüm
–3 < 2 olduğundan f(–3) = –3 + 1 = –2
Çözüm
3 > 2 olduğundan f(3) = 3
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
2 = 2 olduğundan
f(2) =
22
–1=3
f (–3) + f (3) –2 + 3 1
=
=
O halde,
3
3
f (2)
2.
Z 3
]] x
f (x) = [ x 2 + 1
]] x
\2
y
Ox– ekseninin negatif yönünde
1 birim ötelenerek y = f(x + 1)
fonksiyonunun grafiği elde
edilir.
bulunur.
y=f(x+1)
–1
x
0
–1
x ≤ 0 ise
0 < x ≤ 1 ise
x > 1 ise
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
y = x3
y
fonksiyonunun gra-
y=2x
fiği çizilip (–∞, 0] aralığın-
2
daki parçası alınır.
1
y=x2+1
5.
y = x2 + 1 fonksiyonunun
grafiği çizilip (0, 1] aralığındaki parçası alınır.
y = 2x fonksiyonunun gra-
0
1
x
y = f(x) fonksiyonunun
grafiği veriliyor.
y
1
y = f(x – 2) – 2
fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
y = x3
y = f(x)
–1
x
0
fiği çizilip [1, ∞) aralığındaki parçası alınır.
y = 2x fonksiyonunun grafiği çizilip [1, ∞) aralığındaki parçası
alınır.
3.
f(1) = 1
f(2) = 1
1
1
2
3
0
–1
–2
–3
y = f(x – 2) – 2
f(–2) = –1 olup
x
y = f(x – 2) – 2 fonksiyonu için
x = 0 & y = f(–2) – 2 = –1 – 2 = –3
(0, –3)
x = 1 & y = f(–1) – 2 = 0 – 2 = –2
(1, –2)
x = 2 & y = f(0) – 2 = 1 – 2 = –1
(2, –1)
2
x = 3 & y = f(1) – 2 = 1 – 2 = –1
(3, –1)
1
x = 4 & y = f(2) – 2 = 1 – 2 = –1
(4, –1)
y
0
72
f(0) = 1
y
0
Çözüm
f(x) fonksiyonunun grafiği
y– ekseninde 1 birim ötelenerek y = f(x) + 1 fonksiyonunun grafiği elde edilebilir.
y
f(x) fonksiyonu için
f(–1) = 0
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y = f(x) + 1 fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
Çözüm
x
dır. y = f(x – 2) – 2 nin grafiği şekildeki gibidir.
x
6.
y = f(x) fonksiyonunun
grafiği veriliyor.
9.
y
f: R → R, f(x) = maks(x2 + 1, 1 – x) fonksiyonunun grafiğini
çizelim.
1
y = –f(x) fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
Çözüm
–2
x
0
4
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin Ox eksenine
göre simetriği alınarak
y = –f(x) fonksiyonunun
grafiği elde edilmiştir.
y
–2
x
0
4
y = x2 + 1 ve y = 1 – x
fonksiyonunun grafikleri
çizilir. Daha sonra üstte
kalan parçaların birleşimi max(x2 + 1, 1 – x)
fonksiyonunun grafiğini
verir.
y
y=x2+1
1
0
x
1
y=1 – x
–1
7.
y = f(x) fonksiyonunun
grafiği veriliyor.
y
y=f(x)
y = f(–x) + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2
10. f: R → R, f(x) = min(x + 1, 2 – x) fonksiyonunun grafiğini
çizelim.
–2
Çözüm
Çözüm
y = f(–x) + 1 in grafiğini
çizmek için, önce
y = f(x) in grafiğinin Oy
eksenine göre simetriği
alınıp sonra y– ekseninin pozitif yönünde 1
birim ötelenir.
Grafiği inceleyiniz.
8.
x
0
y
y=x + 1
y
–1
x
0
–1
y=f(–x)+1
y = x + 1 ve y = 2 – x
fonksiyonlarının grafikleri aynı analitik düzlemde çizilir. Daha
sonra altta kalan parçalar birleştirilir.
2
1
–1
0
x
2
f(x) = min(x + 1, 2 – x)
fonksiyonunun grafiğini verir.
Z 2
] –x
f : R → R, f (x) = [ x – 1
]
\x
,
,
,
x ≤ 0 ise
0 < x < 2 ise
x ≥ 2 ise
ETKİNLİK
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
f: R → R
Çözüm
g:R→R
y
min(f, g) : R → R fonksiyonu
2
min (f, g) = *
1
0
2
x
–1
y=–x2
x ≤ 0 için f(x) = –x2 nin grafiği
f
g
, f ≤ g ise
, g < f ise
şeklinde tanımlı olduğuna göre,
f(x) = x2 , g(x) = 4
Z
]] 4
min (f, g) (x) = [ x 2
]]
4
\
fonksiyonları için
,
x < –2
, –2 ≤ x ≤ 2
, 2< x
olduğunu gösteriniz.
0 < x < 2 için f(x) = x – 1 in grafiği
x ≥ 2 için f(x) = x in grafiği yukarıda çizilmiştir.
73
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
1) f : R → R , g : R → R fonksiyonları
MUTLAK DEĞERLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
MUTLAK DEĞER
f(x) = x2 – 1 ve g(x) = 2x – 2 ile tanımlıdır.
x ∈ IR verilsin. x in mutlak değeri |x| ile gösterilir. x in mutlak değeri
a) h = |gof|
|x | = )
fonksiyonunu parçalı biçimde yazarak grafiğini çiziniz.
x , x≥0
–x , x < 0
biçiminde tanımlıdır.
ÖRNEK
2 – 1 , e – 3 , 1– r , 2 – 3
b) , = |f| + |g|
fonksiyonunu parçalı biçimde yazarak grafiğini çiziniz.
ifadelerinin değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
2 b 1, 414 olduğundan
2 – 1 > 0 ve
e , 2, 718 ve
3 , 1, 71 olduğundan
e – 3 > 0 ve
e – 3 = e – 3 tür.
2 – 1 = 2 – 1 dir.
π , 3, 14 ve 1 – π < 0 olduğundan
|1 – π| = π – 1 dir.
2 > 3 , 1, 73 olduğundan | 2 – 3 | = 2 – 3
MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ
2) f(x) = |x + a| – |x – a| fonksiyonunun en
küçük ve en büyük değerini araştırınız.
3)
36a
fonksiyonunun en
| x – a | + | x – 2a |
büyük değeri için ne söylenebilir? (a > 0)
f (x) =
x, y ∈ IR ve a ∈ IR+ olsun.
1)
|x| ≥ 0 dır.
2)
|x| = 0 + x = 0
3)
|x| = a + x = a veya x = –a
4)
|x| < a + –a < x < a
5)
|x| > a + x > a veya x < –a
6)
|x.y| = |x|.|y|
|x |
x
y = | y | (y ≠ 0)
7)
8)
|x + y| ≤ |x| + |y|
9)
|x| = |–x|
10) |x| = |y| + x = y veya x = –y
11) |xn| = |x|n
12)
74
n
xn = *
x
, n tek ise
| x | , n çift ise
tür.
1.
f(x) = |x – 4| + | x – 3 | – 2
ise, f(e) kaçtır? (e ≅ 2, 71)
5.
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
|x2 + 4x| = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
|x2 + 4x| = 3 ⇔
f(e) = |e – 4| + | e – 3 | – 2
x2 + 4x = 3
V x2 + 4x = –3
x2 + 4x – 3 = 0 V x2 + 4x +3 = 0
=4–e+|3–e–2|
i)
= 4 – e + e – 1 = 3 tür.
x2 + 4x – 3 = 0 ,
Δ = b2 – 4ac
= 42 – 4.1.(–3)
= 28
2.
x1 =
–b + Δ –4 + 28 –4 + 2 7
=
=
= –2 + 7
2.a
2.1
2
Çözüm
x2 =
–b – Δ –4 – 28 –4 – 2 7
=
=
= –2 – 7
2.a
2.1
2
|2x + 3| = 0 + 2x + 3 = 0 & 2x = –3
Ç 1 = " –2 + 7 , –2 – 7 , dir.
|2x + 3| = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x=–
Çözüm kümesi Ç = & –
3
2
ii)
3
0 dir.
2
x2 + 4x + 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x + 3) = 0
x3 = –1, x4 = –3
Ç2 = {–1, –3} olup
Verilen denklemin çözüm kümesi
Ç = Ç 1 , Ç 2 = " –2 – 7 , –3, –1, –2 + 7 , dir.
3.
|x + 2| ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Her x ∈ R için |x| ≥ 0 olduğundan |x + 2| ≥ 0 dır.
Çözüm kümesi Ç ≡ R dir.
6.
|4x – 7| ≥ 13 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
|4x – 7| ≥ 13
4.
4x – 7 ≥ 13
V 4x – 7 ≤ –13
4x ≥ 20
V 4x ≤ –6
x≥5
V x≤
x ∈ [5, +∞)
V x ∈ (–∞,
|2x – 5| = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
|2x – 5| = 1 ⇔ 2x – 5 = 1 V 2x – 5 = –1
2x = 6
V 2x = 4
x=3
V
–3
2
–3
]
2
olup verilen eşitsizliğin çözüm kümesi
x=2
olup denklemin çözüm kümesi Ç = {2, 3} tür.
3
Ç = (–3, – ] , [5, + 3) dur.
2
75
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
7.
3 ≤ |x2 – 1| ≤ 8
9.
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
+
3 ≤ |x2 – 1| ≤ 8
i)
1+ | x |
x > 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
4 ≤ x2 ≤ 9
3 ≤ x2 – 1 ≤ 8
V
–8 ≤ x2 – 1 ≤ –3
4 ≤ x2 ≤ 9
V
–7 ≤ x2 ≤ –2
2≤x≤3
V
–3 ≤ x ≤ –2
x ∈ [2, 3]
V
x ∈ [–3, –2]
Dikkat edilirse x < 0 olamaz.
1+ | x |
> 3 & 1 + |x| > 3x
x
& |x| > 3x – 1
& x > 3x – 1
Ç1 = [–3, –2] ∪ [2, 3]
ii)
& 1 > 2x
–7 ≤ x2 ≤ –2 & x ∉ R,
& x<
Ç2 = ∅
O halde 3 ≤ |x2 – 1| ≤ 8 eşitsizliğinin çözüm kümesi
Ç = Ç1 ∪ Ç2
Ayrıca x ≠ 0 olacağından çözüm kümesi
0<x<
= [–3, –2] ∪ [2, 3] tür.
1
2
1
1
den Ç = b 0, l aralığıdır.
2
2
10. f (x) = | 3x – 2 | – x ise, f nin tanımlı olduğu IR nin en geniş
alt kümesini bulunuz.
Çözüm
8.
|x + 1| – |x – 2| = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
i)
x
–∞
x+1
–
+
+
x–2
–
–
+
x < –1 ise
+∞
2
–1
|3x – 2| – x ≥ 0 & |3x – 2| ≥ x
x≥
2
& 3x – 2 ≥ x & 2x ≥ 2 & x ≥ 1
3
x<
2
& 2 – 3x ≥ x & 2 ≥ 4x & x ≤ 1
3
2
olup çözüm kümesi Ç = b –3,
1
, [1, 3) dur.
2 @
–x – 1 – 6 – (x – 2) @ = 1
–x –1 + x – 2 = 1
–3 = 1 Ç = ∅
ii)
–1 ≤ x ≤ 2 için x + 1 + x – 2 = 1
& 2x = 2 & x = 1
iii)
x > 2 için
Çözüm
Ç = {1}
x+1–x+2=1
3=1
11. |4x – 5| = |3x + 5| denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
|4x – 5| = |3x + 5| & 4x – 5 = 3x + 5 veya 4x – 5 = –(3x + 5)
& x = 10 veya 7x = 0
Ç=∅
O halde denklemin çözüm kümesi Ç = {1} dir.
& x = 10 veya x = 0
Çözüm kümesi Ç = {0, 10} dur.
76
12. f(x) = x + |1 – 4x| ise, f(x) = 14 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
f(x) = 14
15. |2x – 3| + 2|x – 1| ifadesinin en küçük değerinin 1 olduğunu
gösteriniz.
&
x + |1 – 4x| = 14
|a| + |b| ≥ |a + b| eşitsizliğini kullanacağız.
|2x – 3| + |2x – 2| = |2x – 3| + |2 – 2x|
& |1 – 4x| = 14 – x
≥ |2x – 3 + 2 – 2x| = 1 dir.
& 1 – 4x = 14 – x V 1 – 4x = x – 14
& –13 = 3x
& x =–
V 15 = 5x
13
3
olup çözüm kümesi Ç = & –
V x=3
13
, 3 0 tür.
3
16. k ∈ R olmak üzere
M=
| 2a | + | 2b |
| a + b | + | ka – kb |
ifadesi veriliyor.
M nin alabileceği en küçük değerin k cinsinden eşiti nedir?
4
3
eşitsizliğini sağlayan tam sayılaise f (x) >
8
|x – 1 |
rın toplamı kaçtır?
13. f (x) =
Çözüm
f (x) >
|a + b| ≤ |a| + |b| ve |ka – kb| ≤ |ka| + |kb| olduğundan
M=
| 2a | + | 2b |
2 | a |+ 2 | b |
&M≥
| a + b | + | ka – kb |
| a | + | b | + | ka | + | kb |
M≥
2 (| a | + | b |)
= 2
(| a | + | b |) (1+ | k |) 1+ | k |
3
4
3
&
>
8
|x – 1 | 8
&|x –1|<
–
Çözüm
32
3
32
32
28
35
< x – 1<
& –
<x<
3
3
3
3
olup M nin en küçük değeri
2
olur.
1+ | k |
x = –9, –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1
0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
olup bu tam sayıların toplamı 20 dir.
17. |4x + 3| + |3x – 4| + |2x – 1| fonksiyonunun en küçük
değerini bulalım.
14. 5 ≤ |4x – 3| < 10 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
Çözüm
Çözüm
4x + 3 = 0 & x = – 3
4
5 ≤ |4x – 3| < 10 & 5 ≤ 4x – 3 < 10 veya 5 ≤ –4x + 3 < 10
3x – 4 = 0 & x = 4
3
& 8 ≤ 4x < 13 veya 2 ≤ –4x < 7
& 2≤x<
13
7
–1
veya – < x ≤
4
4
2
Bu eşitsizliği sağlayan tam sayılar –1, 2, 3 olup 3 tanedir.
2x – 1 = 0 & x = 1
2
– 3 < 1 < 3 olup ortadaki değer olan x = 12 de
4 2 4
|4x + 3| + |3x – 4| + |2x – 1| = 4 en büyük değerini alır.
77
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
1.
|x – 2| = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
4.
1 < | 2x + 1 | ≤ 7 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının
oplamı kaçtır?
Ç = {–1, 5}
–3
5.
2.
|4x – 9| = 11 denkleminin çözüm kümesi nedir?
|x + 1| ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Ç = &–
Ç = [–4, 2]
6.
3.
|3x – 2| ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
1
5
Ç = (–3, – ] , [ , + 3)
3
3
78
1
, 50
2
f(x) = |x – 2| + x fonksiyonu için f(a + 2) = 6 olduğuna göre,
a kaçtır?
2
7.
f(x) = x|x + 2| + 3 fonksiyonu için f(m – 1) = 10 olduğuna
göre, m kaçtır?
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
10. x + |x2 – x – 2| = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Ç = {– 3 , 1 – 2 }
2 2
8.
f(x) = x + |x – 1| fonksiyonu için |f(x + 1)| = 7 denkleminin
çözüm kümesini bulunuz.
11.
| x2 – 4 |
= 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x+2
Ç = {2}
Ç = {3}
12. f(x) = x +
9.
|x2 – 3x + 1| = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x
|x |
fonksiyonu veriliyor. |m + f(m – 2)| = 9
denklemini sağlayan m değerlerinin toplamını bulunuz.
Ç = {0, 1, 2, 3}
2
79
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU
ETKİNLİK
TANIM
f:R→R, g:R→R
f(x) = x2 – 4x + 3 ve g(x) = |x| fonksiyonları
veriliyor.
a) (|f| + (fog)) (–1) değerini bulunuz.
f: A ⊂ R → R bir fonksiyon olsun.
| f | : A " R + , {0} , f (x) = *
f (x) , f (x) ≥ 0 ise
–f (x) , f (x) < 0 ise
b) (fog)(x) fonksiyonunu parçalı şekilde yazınız.
biçiminde tanımlanan |f| fonksiyonuna f nin mutlak değer fonksiyonu denir.
a) (|f| + (fog))(–1)
= |f|(–1) + (fog)(–1)
= |f(–1)| + f(g(–1))
ÖRNEK – 1
= |(–1)2 – 4.(–1) + 3| + f(|–1|)
= |8| + f(1)
f: |R → IR
= 8 + 12 – 4.1 + 3
=8
x → y = f(x) = |x| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
bulunur.
b) (fog)(x) = f(g(x))
ÇÖZÜM
= f(|x|)
= |x|2 – 4|x| + 3
f (x) = | x | = )
= x2 – 4|x| + 3
(fog) (x) = *
x 2 + 4x + 3
x 2 – 4x + 3
,
,
bulunur.
x≤0
x>0
x , x≥0
–x , x < 0
olduğundan x ≥ 0 için y = f(x) = x
ve
x < 0 için y = f(x) = –x
fonksiyonlarının grafikleri çizilir.
y
y
y=–x
y=x
ETKİNLİK
0
(f(x) = x, x ≥ 0)
f:R→R
f (x) = *
x
0
x|x|
,
x<0
x3
,
x≥0
(f(x) = –x, x < 0)
Bu iki grafik birleştirilirse;
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
y=–x
y=x
0
y = |x| in grafiği çizilmiş olur.
80
x
x
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK – 2
E TKİNLİK
f : R → R , f(x) = x2 – 4
f: |R → IR
g : R → R , g(x) = x + 2
x → f(x) = |x + 1| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
fonksiyonları veriliyor.
ÇÖZÜM
a) h = |fog| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b) k = |gof| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x + 1 = 0 & x = –1 değeri fonksiyonun kritik noktasıdır. O halde
|x + 1 | = *
a) h(x) = |(fog)(x)|
x +1
,
– (x + 1) ,
= |f(g(x))|
x ≥ –1
x < –1
olup
y
y=x+1
= |f(x + 2)|
= |(x + 2)2 – 4|
= |x2 + 4x|
–1
0
x
y
fog
Grafik şekildeki gibidir.
–4
x
0
Mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken mutlak değerin içindeki
y
fonksiyonun grafiği çizilir ve x– ekseninin altında kalan parçası varsa, bu
|fog|
–4
0
parçanın x– eksenine göre simetriği alınır.
x
ETKİNLİK
b) k = |(gof)|(x) = |x2 – 2|
fonksiyonunun grafiğini de siz çiziniz.
f : R → R , f(x) = x2
g : R → R , g(x) = x – 2
fonksiyonları veriliyor.
a) (| f | + | g |)(x)
fonksiyonunu parçalı şekilde yazınız.
b) (| f | + | g |)(x) = x
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
81
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
1.
f: R → R, f(x) = |x – 1| fonksiyonunu parçalı şekilde yazıp
grafiğini çizelim.
4.
f: IR → IR, f(x) = |x2 – x| fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
Çözüm
x = 1 kritik noktadır.
f (x) = | x – 1 | = )
x –1
1– x
x
–∞
x2 – x
+
x ≥1
x <1
y
+∞
+
–
& f(x) = x2 – x
x≤0
Pratik olarak önce mutlak
değerin içindeki fonksiyonun grafiğini çizip, sonra
x– ekseninin altında kalan
parça varsa x– eksenine
göre simetriği alınır.
1
0
0 < x < 1 & f(x) = –x2 + x
y=|x–1|
& f(x) = x2 – x olup grafik aşağıdaki gibidir.
x≥1
1
x
0
y
1
y=1–x
–1
y=x2–x
y=x–1
0
2.
f: R → R, f(x) = |9 – x2| fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
y
Önce 9 – x2 nin grafiği çizilir. Sonra x– ekseninin altında kalan
parçanın x– eksenine
göre simetriği alınır.
3.
x
1
9
y=|9–x2|
–3
0
3
x
–2 ≤ x ≤ 2 için f(x) = 3x + 1 ise, f(|x|) in görüntü kümesi nedir?
5.
f(x) fonksiyonu için f(x) = f(|x|) ise f(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
Çözüm
f (| x |) = *
f (x)
f (–x)
B)
y
C)
y
y
, x ≥ 0 ise
, x < 0 ise
0
Yani x ≥ 0
için
f(|x|) = f(x) = 3x + 1
x<0
için
f(|x|) = f(–x) = 3(–x) + 1 = –3x + 1
–2 ≤ x ≤ 2 aralığı parçalanırsa 0 ≤ x ≤ 2 için f(x) = 3x + 1
x
x
0
y
D)
E)
x
0
y
–2 ≤ x < 0 için f(–x) = –3x + 1
y
0
7
x
0
x
1
–2
1 ≤ f(|x|) ≤ 7 olur.
82
0
2
x
Çözüm
f(–x) = f(|–x|) = f(|x|) = f(x) olduğundan f y eksenine göre
simetriktir. Yanıt E dir.
6.
Şekildeki grafik aşağıda
verilen fonksiyonlardan
hangisine aittir?
8.
y
f fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir.
y
2
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
y=x2
y=f(x)
A) y = 2|x – 1| – 1
B) y = 3|x – 1| – 1
0
–1
C) y = 3|x + 1| – 2
1 4
3
x
x
0
D) y = 2|x + 1| – 2
y=x
E) y = 3|x – 1| – 1
Çözüm
Buna göre;
Grafikte verilen koordinat değerleri seçeneklerde verilen fonksiyonlarda yerine yazılarak sağlama yapılır. Sağlamayanlar
elenir.
a) y = |f(x)|
b) y = |f(x) – 1|
c) y = |f(x)| – 1
d) y = |f(x – 1)|
fonksiyonlarının grafiklerini çizelim.
Grafikten
4
f(1) = –1 , f ( ) = 0 , f(0) = 2 olup
3
bu eşitlikleri (B) seçeneğindeki y = 3|x – 1| – 1 fonksiyonu
sağlar.
Çözüm
a)
y = |f(x)| = *
f (x)
–f (x)
, f (x) ≥ 0
, f (x) < 0
olduğundan f(x) in grafiğinin x ekseninin altında kalan kısmının x– eksenine göre simetriği alınır.
y
y=–x
7.
f: [–1, 4] → IR, f(x) = |x2 – 4x| fonksiyonunun görüntü kümesi
nedir?
y=x2
x
0
y = |f(x)| in grafi€i
Çözüm
Önce mutlak değerin içinin grafiği çizilir. Alttaki parçanın
x– eksenine göre simetriği alınır.
y
b) y = |f(x) – 1| = *
4
y=|9–x2|
f (x) – 1 ,
–f (x) + 1 ,
f (x) ≥ 1
f (x) < 1
ise
ise
y
0
2
4
x
1
–4
0
1
x
[–1, 4] için 0 ≤ f(x) ≤ 4 olup f(x) = ([–1, 4]) = [0, 4] tür.
83
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
f (x) = )
x2
x
, x ≥1
, x <1
ise
ise
9.
Çözüm
olduğundan
f (x) – 1 = )
x2 – 1 ,
x
,
| f (x) – 1 | = *
f(x) = |lnx| + 1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
1. Adım: y = lnx fonksiyonunun grafiği çizilir.
x≥0
x<0
| x2
–1| ,
|x – 1 |
,
y
x≥0
x<0
y=lnx
şeklinde düşünülerek de grafik çizilebilir.
c)
y = |f(x)| – 1 in grafiği y = |f(x)| in grafiğinin y– ekseninin
negatif yönünde 1 birim ötelenmesiyle elde edilir.
y
y=–x
x
2. Adım: y = |lnx| fonksiyonunun grafiği çizilir. Bu grafiği çizerken 1. adımdaki grafikte x– ekseninin altında kalan parçanın
x eksenine göre simetriği alınır.
y
y=x2
1
0
y
x
0
y=lnx
x
0
–1
–1
y = |f(x)| in grafi€i
y = |f(x)| – 1 in grafi€i
d) y = |f(x – 1)| in grafiğini çizmek için önce f(x – 1) in grafiğini
çizelim.
f (x) = )
x2
f (x – 1) = )
(x – 1) 2 ,
x –1
,
y
y=|lnx| + 1
x ≥1
x <1
1
y
y
0
1
1
x
0
x
1
–1
y = f(x – 1) in grafi€i
84
3. Adım: y = |lnx| +1 in grafiği çizilir. 2. adımdaki grafik y– ek-
x – 1≥ 0
x – 1< 0
2
| f (x – 1) | = * | (x – 1) | ,
|x – 1 |
,
0
x
seninin pozitif yönünde +1 birim ötelenir.
x≥0
x<0
,
,
x
1
0
y = |f(x – 1)| in grafi€i
1
x
10. f: R → R, f(x) = |x – 2| + |x + 2|
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
11. f: R → R, f(x) = |x + 3| + |x – 1|
fonksiyonunu parçalı biçimde yazıp grafiğini çiziniz.
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
Tablo yapılırsa
f(–3) = |–3 + 3| + |–3 – 1| = 4
f(1) = |1 + 3| + |1– 1| = 4
x
–∞
+∞
2
–2
|x – 2|
–x + 2
–x + 2
x–2
|x + 2|
–x – 2
x+2
x+2
–2x
4
2x
f(x)
4
4
olup f nin en küçük değeri 4 tür.
x = –3
x =1
için (–3, 4)
4 kırılma noktalarıdır.
için (1, 4)
Grafik:
olur.
Z–2x
]
f (x) = [ 4
]
\ 2x
,
,
,
y
x ≤ –2
–2 < x ≤ 2
x>2
4
şeklindedir. Bu fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y
0
–3
x
1
4
0
–2
x
2
y
f(x2)
f(x1)
y
0
x1
x2
x
f: R → R, f(x) = |ax – b| + |cx – d| fonksiyonunun grafiği
a
0
b
x
f: R → R, f(x) = |x – a| + |x – b|
çizilirken
b
d
x1 = a , x2 = c
(x 1 < x 2 )
fonksiyonunun en küçük değeri f(a) = f(b) = |a – b| dir.
(a, f(a)), (b, f(b)) noktaları fonksiyonunun grafiğinin kırılma
noktalarıdır.
f(x) = |x – a| + |x – b| fonksiyonunun grafiği şekildeki gibidir.
olmak üzere f(x) en küçük değeri f(x1) ve f(x2) nin küçük
olanıdır.
(x1, f(x1)) , (x2, f(x2)) noktaları fonksiyonun grafiğinin kırılma
noktalarıdır. Grafik şekildeki gibidir.
85
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
12. f: R → R,
çiziniz.
f(x) = |x – 1| + |3x – 2| fonksiyonunun grafiğini
Çözüm
x – 1 = 0 & x = 1 & f(1) = |1 – 1| + |3 – 2| = 1
3x – 2 = 0 & x =
y
2
2
2
2
1
– 1 + 3. – 2 =
& fb l =
3
3
3
3
3
1
< 1 olduğundan f nin
3
1
en küçük değeri
tür.
3
|b–a|
a
ve
(1, 1) ve b
x
b
y
–|a–b|
3
2 1
, l noktaları
3 3
f nin grafiğinin kırılma noktalarıdır.
f(0) = |0 – 1| + |3.0 – 2| = 3
olduğuna dikkat ediniz.
1
f: R → R, f(x) = |x – a| – |x – b|
1
3
en küçük değeri f(a) = –|a – b|
0
2
3
1
x
en büyük değeri f(b) = |b – a|
fonksiyonunun
dır.
(a, f(a)) , (b, f(b)) noktaları f nin grafiğinin kırılma noktalarıdır. f nin grafiği şekildeki gibidir.
13. f: R → R, f(x) = |x – 2| – |x + 1| fonksiyonunu parçalı biçimde
yazarak grafiğini çiziniz.
Çözüm
Tablo yapılırsa
x
–∞
–x + 2
|x + 1|
f(x)
+∞
2
–1
|x – 2|
–x + 2
x–2
–x – 1
x+1
x+1
3
–2x + 1
14. f: [0, 2π] → R , f(x) = |cosx| + cosx
biçimde yazarak grafiğini çiziniz.
–3
–3
3
olur. Fonksiyonun parçalı şekilde yazılışı
Z3
x ≤ –1
]
f (x) = [ –2x + 1
–1 < x ≤ 2
]
x>2
\ –3
şeklindedir.
Grafik:
y
3
Çözüm
cosx fonksiyonunun bölgelere göre işareti dikkate alınarak
Z
] 2 cos x
]]
f (x) = | cos x | + cos x = [ 0
]
]] 2 cos x
\
olur.
,
,
,
r
2
r
3r
<x≤
2
2
3r
< x ≤ 2r
2
0≤x≤
Grafik:
y
1
2
–1
fonksiyonunu parçalı
0
x
2
–3
f(0) = |0 – 2| – |0 + 1| = 1
olduğuna dikkat ediniz.
86
0
π
2
π
3π
2
2π
x
15. " (x, y) ! IR 2 , y ≤ | x | – 1 , eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.
Çözüm
17. f : R → R
f(x) = (x + 2)3 fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, | f | fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
Çözüm
y
1
–1
x
–1
x
–1
Önce f(x) = (x + 2)3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
f(x) = (x + 2)3 fonksiyonunun grafiği h(x) = x3 fonksiyonunun
x ekseninin negatif yönünde 2 birim ötelenmesiyle elde edilir.
y
y
x3
(x+2)3
8
x ≥ 0 için
x < 0 için
y≤x–1
y ≤ –x – 1
x
0
–2
x
0
Yukarıdaki iki grafik birlikte düşünülürse y ≤ |x| – 1 in grafiği
aşağıdaki gibi olur.
| f |(x) = | f(x) | = |x + 2|3 fonksiyonunun grafiği
y
y
0
–1
1
|f|
8
x
–1
x
0
–2
şeklindedir.
18. {(x, y) : y ≥ 2 |x| , (x, y) ∈ R2}
kümesinin grafiğini çiziniz.
Çözüm
16. f : R → R ,
g:R→R,
f(x) = |x – 1|
g(x) =
x2.|x
– 1|
x ≥ 0 & y ≥ 2x
x < 0 & y ≥ –2x eşitsizliklerinin grafiklerini çizmeliyiz.
y
fonksiyonları veriliyor.
y=2x
h(x) = f(x) + g(x) fonksiyonunu parçalı biçimde yazınız.
Çözüm
0
h(x) = f(x) + g(x)
= |x – 1| + x2.|x – 1|
y
y=2x
x
0
y ≥ 2x
x≥0
x
y ≥ –2x
x<0
Yukarıdaki iki grafik birleştirilirse
= |x – 1|.(1 + x2)
h(x) = |x – 1|.(1 + x2) = 0 ise
y
y=–2x
y=2x
x = 1 dir.
O halde
h (x) = *
dir.
– (x – 1) (1 + x 2) ,
(x – 1) (1 + x 2)
,
x ≤ 1 ise
x > 1 ise
0
x
y ≥ 2|x| eşitsizliğinin grafiği elde edilir.
87
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
1.
y = |x – 1| – |x| + |x + 1| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4.
g(x) = x – | x | + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
y
2
1
1
0
–1
2.
x
1
x
0
y = f(x) = |x| – |x + 1| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
5.
y=
|x | 2 – 1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
y
y
2
1
x
0
–1
–1 0
–1
3.
y=
| x2 – 1 |
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
6.
1
x
f: R → R, f(x) = |log2x| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
y
2
–1
1
0
–1
–2
88
x
1
0 1
2
x
7.
x ∈ [–2π, 2π], f(x) = cosx – |cosx| fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
10.
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
y
y=f(x)
1
–1
–2π –3π –π
2
–π
2
x
1
y
–1
π
2
π 3π
2
2π
x
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonu bulunuz.
–2
8.
y = |x| – 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y=
|x + 1 | – | x – 1 |
2
y
0
1
–1
x
–1
11.
y
–2
x
3
1
–1
9.
y
f: R → R,
(–2, 3)
1
g (x) =
–1
0
x
*
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
f (x) – | f (x) |
2
| f (x) | + 1
, x<0
ise
, x≥0
ise
şeklinde tanımlı g(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonu bulunuz.
y
2
1
–2
1
0
x
3
–1
y=|x+1|–x
89
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
KAVRAMSAL ADIM
BAĞINTI GRAFİKLERİ
ETKİNLİK
|y| = f(x) bağıntısının grafiğini çizmek için önce y = f(x) in grafiği çizilir. Çizilen gra-
β = {(x, y) : y2 = 4x , x, y ∈ R}
fiğin y > 0 olan bölgedeki parçası ile bu parçanın x– eksenine göre simetriğinin bir-
bağıntısının grafiğini çizelim.
leşimi |y| = f(x) bağıntısının grafiğini verir.
∀y ∈ R için y2 ≥ 0 olduğundan
y2 = 4x ≥ 0
y
y
ve x ≥ 0 olmalıdır.
y 2 = 4x
y2 = 4x &
0
a
b
x
c
|y |= 2 x
0
a
b
x
c
y=f(x)
olup y ≥ 0 & y = 2 x
y < 0 & y = –2 x
y = f(x) in grafi€i
|y| = f(x) in grafi€i
y
y
fonksiyonlarının grafiklerinin birleşimi
β bağıntısının grafiğini oluşturur.
y=x3
y
y=2 x
0
x
0
x
0
x
y=x3 ün grafi€i
|y| = x3 ün grafi€i
y= –2 x
|y| = |f(x)| bağıntısının grafiği çizilirken y = f(x) in grafiği ile bu grafiğin x eksenine
göre simetriğinin birleşimi alınır.
ETKİNLİK
y
y
x = cosy – 1
bağıntısının grafiğini çiziniz.
c
a
b
x
0
c
a
b
y = f(x)
y = f(x) in grafi€i
90
|y| = |f(x)| in grafi€i
x
1.
|3y – 2x| = 3 bağıntısının grafiğini çiziniz.
3.
|3y – 2x| ≤ 3 bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
[3y – 2x| = 3 + 3y – 2x = 3
V
|3y – 2x| ≤ 3 + –3 ≤ 3y – 2x ≤ 3
2x
i)
3y – 2x ≤ 3 & y ≤
+1
3
3y – 2x = –3
2x
+1
3
3y – 2x = 3 & y =
i)
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
y
y
1
1
ii)
2x
–1
3
3y – 2x = –3 & y =
x
0
–3
2
–3
2
y
ii)
0
3
2
3y – 2x ≥ – 3 & y ≥
2x
–1
3
x
0
y
x
0
–1
x
3
2
–1
İki grafik birlikte düşünülürse;
y
İki grafik birlikte düşünülürse;
y
1
1
0
–3
2
x
3
2
–3
2
–1
0
x
3
2
–1
olur.
şeklinde olur.
2.
|x| – |y| = 2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
i)
x ≥ 0, y ≥ 0 & d1: x – y = 2
ii)
x ≥ 0, y ≤ 0 & d2: x + y = 2
4.
|y| = x + 1 bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
|y| = x + 1 & y = x + 1
iii) x ≤ 0, y ≥ 0 & d3: –x – y = 2
V
–y = x + 1
y ≥ 0 için y = x + 1 in grafiği:
iv) x ≤ 0, y ≤ 0 & d4: –x + y = 2
y
y
2
d3
1
d1
–1
0
–2
0
x
x
2
d2
d4
–2
olur.
91
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
y < 0 için –y = x + 1 in grafiği;
y < 0 için y = –sinx in grafiği
y
y
–1
x
0
π
2
0
–1
π
3π
2
2π
x
–1
olur. İki grafik birlikte düşünülürse [0, 2π] de
|y| = sinx in grafiği aşağıdaki gibi olur.
İki grafik birlikte düşünülürse |y| = x + 1 bağıntısının grafiği
aşağıdaki gibi olur.
y
1
y
1
0
x
0
–1
π
2
π
2
5
x
–1
–1
6.
y
–3
0
y=f(x)
–1
5.
|y| = sinx bağıntısının grafiğini [0, 2π] aralığında çiziniz.
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor. Buna göre |y| = f(x) in
grafiğini çiziniz.
Çözüm
|y| = sinx eşitliğinde,
Grafiğin y > 0 bölgesindeki (1. ve 2. bölgeler) kısmını alıp
diğer kısımlarını silelim. Aldığımız kısım ile bu kısmın x– eksenine göre simetriğinin birleşimi |y| = f(x) bağıntısının grafiğini verir.
y ≥ 0 için y = sinx in grafiği
y
y
1
0
–1
92
x
π
2
π
3π
2
2π
x
–3
0
2
5
x
7.
β = {(x, y) : |x| + |y| = 2 , (x, y) ∈ R2}
y
bağıntısının grafiğini çiziniz.
1
Çözüm
2
0
x
–1
y
|y| = x – 1
2
Bu iki grafik bir koordinat sisteminde çizilirse yandaki grafik
elde edilir.
x
0
–2
2
–2
x = 0 ve y = 0 kritik noktalardır.
x ≥ 0 , y ≥ 0 için x + y = 2
x ≥ 0 , y < 0 için x – y = 2
9.
x < 0 , y ≥ 0 için –x + y = 2
x < 0 , y < 0 için –x – y = 2
{(x, y) ∈ IR x IR : |x| + |y| = 2x} bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
y
x ≥ 0, y ≥ 0 ise
1
x + y = 2x & y = x
8.
0
" (x, y) ! IR x IR : | y | = x – 1 , bağıntısının grafiğini çiziniz.
x ≥ 0 , y < 0 ise
Çözüm
1
y
x – y = 2x & y = –x
y ≥ 0 için y = x – 1
1
0
y < 0 için –y = x – 1 & y = 1 – x olup
x
x
–1
x < 0 olamayacağından II. ve III. bölgede görüntü yoktur.
y = x – 1 in grafiği çizilip y ≥ 0 daki parçası alınır.
y = 1 – x in grafiği çizilip y < 0 daki parçası alınır.
Bu iki grafik bir koordinat sisteminde çizilirse
y
y
y
2
1
0
1
–1
y ≥ 0 için y = x – 1
x
1
1
2
0
–1
–1
y < 0 için y = 1 – x
x
1
0
–1
x
|x| + |y| = 2x in grafiği şekildeki gibi olur.
93
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
10. β = {(x, y) ∈ R2 : |y| = –x + 1} bağıntısının grafiğini çiziniz.
x<y & x+y–x+y=4 & y=2
b) x ≥ –y ,
& y = 2 için x ≥ –2, x < 2 & –2 ≤ x < 2
Çözüm
olur.
|y| = –x + 1 & y = –x + 1 veya y = –(–x + 1)
c)
y ≥ 0 için y = –x + 1
y < 0 için y = x – 1
olur. Grafik aşağıdaki gibi çizilir.
x < –y , x ≥ y & –x – y + x – y = 4 & y = –2
& y = –2 için x < 2 , x ≥ –2 & –2 ≤ x < 2 olur.
y
d) x < –y , x < y & –x – y – x + y = 4 & x = –2
1
1
x
0
& x = –2 için –2 < –y, –2 < y & –2 < y < 2 olur.
Aşağıdaki kare, bağıntının grafiğidir.
–1
y
2
11. |x + 3| + |y – 2| = 0 bağıntısının grafiğini çiziniz.
–2
y=2
x
2
0
y=–2
–2
Çözüm
x=–2
|x + 3| + |y – 2| = 0 & |x + 3| = 0 K |y – 2| = 0
x=2
x + 3 = 0 K y – 2 = 0 & x = –3 K y = 2 olduğundan
(–3, 2) noktası bağıntının grafiğidir.
y
2
0
–3
13. b = ) (x, y) ! R 2
x
y
x
3 bağıntısının grafiğini çiziniz.
y = x
Çözüm
Verilen bağıntının x = 0 veya y = 0 için tanımsız olduğu açıktır. (0, 0) g β dır. x ≠ 0 , y ≠ 0 için
12. |x + y| + |x – y| = 4 bağıntısının grafiğini çiziniz.
y
x
y = x
&
Çözüm
|x + y | = *
x+y ,
–x – y ,
x ≥ –y ise
x < –y ise
|x – y | = *
x–y ,
–x + y ,
x ≥ y ise
x < y ise
a)
x ≥ –y ,
x≥y & x+y+x–y=4 & x=2
& x = 2 için 2 ≥ –y, 2≥ y & –2 ≤ y ≤ 2 olur.
94
& y = x veya
|x | |y |
=
& |x|2 = |y|2 & |x| = |y|
|y | |x |
y = –x olur.
y
1
–1
1
0
–1
x
14. β = {x, y) ∈ R2 ⎟ x + |x| = y + |y|⎟ bağıntısının grafiğini
çiziniz.
15. |x + 3| + |y – 2| = 4
bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
|x | = )
i)
x,
–x ,
x ≥ 0 ise
x < 0 ise
|y|= *
y,
–y ,
y ≥ 0 ise
y < 0 ise
x < 0, y < 0 için x + |x| = y + |y| ifadesi x – x = y – y şeklini
alır.
O halde x < 0, y < 0 koşuluna uyan tüm (x, y) noktaları
grafiğe aittir.
|x + 3 | = )
x+3 ,
–x – 3 ,
x ≥ –3 ise
x < –3 ise
|y – 2 | = *
y–2 ,
–y + 2 ,
y ≥ 2 ise
y < 2 ise
Z
]x + y + 1 ,
]x – y + 5 ,
& |x + 3|+|y – 2|= [
] –x –y – 1 ,
]y – x – 5 ,
\
x ≥ –3
x ≥ –3
x < –3
x < –3
, y≥2
, y<2
, y<2
, y≥2
ise
ise
ise
ise
Buna göre bağıntı
x ≥ –3 , y ≥ 2 için x + y = 3
ii) x ≥ 0, y < 0 için x + |x| = y + |y| &
x ≥ –3 , y < 2 için x – y = –1
x + x = y – y & 2y = 0 & x = 0 olur.
x < –3 , y ≥ 2 için y – x = 9
O halde y < 0 için x = 0 doğrusu grafiğe aittir.
x < –3 , y < 2 için x + y = –5 olur.
Grafik şekildeki karedir.
y
y–x=9
iii) x < 0 , y ≥ 0 için x + |x| = y + |y| &
x–x=y+y&
2y = 0&
6
y = 0 olur.
y–x=1
3
O halde x < 0 için y = 0 doğrusu grafiğe aittir.
2
0
–3
–9
–7
–1
1
–5
3
–2
iv) x ≥ 0, y ≥ 0 için x + |x| = y + |y| &
x
x+y=3
–5
x + x = y + y & 2x = 2y & y = x olur.
x+y=–5
Demek ki x ≥ 0, y ≥ 0 için y = x doğrusu grafiğe aittir. Bu
sonuçlara göre grafik, koyu çizilmiş ışınlar ile düzlemin 3. bölgesinin birleşimidir.
y
y=x
1
y=0
0
–1
x<0
1
x
16. f : R → R, f(x + y) = f(x) + f(y) biçiminde bir fonksiyon tanımlanıyor.
a) Bu fonksiyonun grafiğinin orijinden geçtiğini gösteriniz.
b) Fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu gösteriniz.
y<0
x=0
95
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
UYGULAMA ADIMI
18. {(x, y) : |x| – |y| = 1 ve x, y ∈ R}
Çözüm
a) f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğinde y = 0 yazalım.
f(x + 0)
= f(x) + f(0) & ise
bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
f(x) = f(x) + f(0) & f(0) = f(x) – f(x)
I. bölgede
x > 0, y > 0 , |x| – |y| = x – y = 1
f(0) = 0 olur ki fonksiyonun orijinden geçtiğini gösterir.
II. bölgede
x < 0, y > 0 , |x| – |y| = –x – y = 1
III. bölgede
x < 0 , y < 0 , |x| – |y| = –x + y = 1
IV. bölgede
x > 0 , y < 0 , |x| – |y| = x + y = 1 dir.
b) f(x + y) = f(x) + f(y) eşitliğinde y = –x yerine yazalım.
& f(x – x) = f(x) + f(–x)
y
f(0) = f(x) + f(–x) & 0 = f(x) + f(–x)
1
–f(x) = f(–x) olup f tek fonksiyondur.
1
x
0
–1
–1
17. Öyle bir fonksiyon bulunuz ki hem tek, hem de çift olsun.
f(x) tek ise f(–x) = –f(x) & –f(–x) = f(x)
f(x) çift ise f(–x) = f(x) olur.
Verilen bağıntının grafiği yukarıdaki gibidir.
Bunları taraf tarafa toplayalım.
f(x) = –f(–x)
+
f(x) = f(–x)
19. {(x, y) : |x + y| ≤ 1 , x, y ∈ R}
bağıntısının grafiğini çiziniz.
2f(x) = 0 & f(x) = 0 fonksiyonu bulunur.
Çözüm
|x + y| = 1 & x + y = 1 veya x + y = –1 dir.
ETKİNLİK
{(x, y) : |x| + |y| = 2 ve x, y ∈ R}
bağıntısının grafiğini çiziniz.
|x + y| ≤ 1 + –1 ≤ x + y ≤ 1
Bağıntının grafiği x + y = 1 ve x + y = –1 denklemlerinin
oluşturduğu paralel iki doğru arasındaki bölgedir.
y
1
1
–1
0
–1
96
x
1.
Yanda verilen grafik hangi bağıntıya aittir?
y
2
–2
0
2
4.
2|x| + |y| = 2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
x
y
–2
2
–1
x
1
–2
|x| + |y| = 2
5.
2.
2|y| = sinx bağıntısının [0, 2π] aralığında grafiğini çiziniz.
|y| = x + 3 bağıntısının grafiğini çiziniz.
y
1
2
y
0
1
2
3
π
2
π
x
x
0
–3
3.
6.
|x| – |y| = 4 bağıntısının grafiğini çiziniz.
|y| ≤ x – 3 eşitsizliğinin grafiğini çiziniz.
y
y
3
–4
0
4
0
x
x
3
–3
97
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
PEKİŞTİRME ADIMI
7.
x + |y| = x2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
10. |y| ≥ x2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
y
y
0
8.
11. |y| = sin( x –
|y – 1| = x – 1 bağıntısının grafiğini çiziniz.
r
) bağıntısının grafiğini çiziniz.
2
y
y
1
1
0
1
2
x
0
π
2
–1
9.
x
0
x
1
π
2π
2
2π
x
12. |y| – |x| = x2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
|x + 2| = |y| bağıntısının grafiğini çiziniz.
y
y
2
–2
0
–2
98
x
0
x
SINAMA ADIMI
f: A → IR, f(x) =
| x + 1 | –3 şeklinde tanımlanan bir fonk-
4.
siyon için en geniş A kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–4, 2]
B) (–∞, –4] ∪ [2, +∞)
C) (–∞, 2) ∪ [1, +∞)
D) (–∞, –4) ∪ (2, +∞)
|x – 3| = |2x – 9| koşulunu sağlayan x reel sayılarının
çarpımı kaçtır?
A) 12
B) 18
C) 21
D) 24
E) 30
E) (–∞, –2) ∪ (1, +∞)
2.
f(x) = | 2x – 1 | + | x – 2 | – 3 ise, f^ 2 h nin değeri
5.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 + 2
B) 3 2 – 6
D) 2 – 2
E) 2 – 4
3.
A) –
2
2
1
8
B) –
6.
C) –
1
2
D)
1
2
E) 1
Yandaki grafiğin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
y
1
x
0
x
0
1
4
fonksiyonu tek fonksiyon
C) 2 – 2
Yandaki grafiğin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
y
f(x) = x5 + 2kx + 4k + 1
olduğuna göre, k kaçtır?
–1
–2
A) –|x – 2|
B) |x – 2| + 2
D) –|2 – x| – 1
E) |2x – 1|
1. B
2. C
3. A
|x |
A) f (x) = x
B) f (x) =
|x |
D) f (x) = – x
E ) f ( x) = –
C) |2 – x| + 1
4. D
|x |
2x
5. B
C) f (x) =
2|x|
x
2|x|
x
6. D
99
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
1
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
7.
f(x) =
3x + 1
x2 – 2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) R – {–2, 2}
8.
C) R – {–1, 1}
A) 13
B) 12
C) 10
D) 8
E) 5
E) R – { – 2 , 2 }
f(x) = n(ex) fonksiyonu için f(1) + f(2) + f(3) toplamının
eşiti nedir?
12. f (x) = 4 – log 2 x fonksiyonunun en geniş tanım kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 + ln6
B) 4 + 2ln6
D) ln6
9.
11. f fonksiyonunun periyodu 4 ve f(2) = 8 dir. g fonksiyonunun
periyodu 5 ve g(3) = 5 tir.
Buna göre (gof)(10) değeri kaçtır?
B) {–2, 2}
D) R – {2, 3}
1
C) 2 + ln6
A) [2, 32)
E) 3 + ln2
B) [1, 4]
D) [1, 8]
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi tek fonksiyondur?
C) [0, 8]
E) (0, 16]
13. y = x 2 – 4x – 12 fonksiyonunu tam sayı yapan x değer-
I. f(x) = x2 + x
lerinin toplamı kaçtır?
II. f(x) = sinx + x
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
III. f(x) = 1 + 2|x|3
IV. f(x) = x.|x|
V. f(x) = cos3x
A) 1
B) 2
D) 3
D) 4
E) 5
10. 3|x| + 2|y| = 6 bağıntısının grafiği hangi geometrik şekli
gösterir?
14. f (x) =
x2
12
fonksiyonunun alabile– 4x + 5 + x 2 – 4x + 13
A) Dikdörtgen
B) Bir çift doğru
ceği en büyük değer kaçtır?
C) Paralel iki doğru
D) Kare
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Eşkenar dörtgen
100
7. E
8. A
9. B
10. E
11. E
12. E
13. A
14. C
E) 12
SINAMA ADIMI
cos(2arcsinx) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 1 – x 2
B) 1 – x 2
6.
f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x) + 2x = xf(–x) + 3 olduğuna göre, f(2) kaçtır?
C) 1 – 2x 2
A) –3
D) 1 – 2x 2
7.
2.
f (x) =
x+2
1– x
aşağıdakilerden hangisidir?
C) (–1, 1)
B) –1
E) 3
D) 45
E) 48
A, B ⊂ R olmak üzere,
f(18) + f–1(8) toplamı kaçtır?
E) [–2, –1]
A) 36
f(x) = a + x + x2 ve |f(1 – a)| = 2 ise, a nın alabileceği
değerlerin toplamı kaçtır?
A) –2
D) 1
f (x) = x + 7 + | 2x + 1 | ise ,
B) [–2, 1)
D) (1, 2]
3.
C) 0
f: A → B bire bir ve örten fonksiyon ve
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi
A) [–2, 0)
B) –2
E) 2x 2 – 1
C) 0
D) 2
E) 4
8.
fb
B) 41
C) 44
3x + 1
x–2
olduğuna göre,
l=
2x – 4
6x + 2
1
f ( x ) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
4.
x
3
B)
x
2
C)
3x
2
D)
x
4
E)
3x
4
f(x) = ax + 6 ve (fof)(x) = x olduğuna göre, (fofof)(1)
kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
9.
g: Z– → Z+ ,
g(x) = x2 olduğuna göre,
g–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
5.
f bire–bir ve örten fonksiyon ve (fof–1)(4x – 6) = 14
olduğuna göre, x kaçtır?
A) x
B) – x
D) 2x
A) 5
B) 4
1. D
C) 3
2. B
D) 2
3. D
4. E
C) –x + 1
E) –2x + 1
E) 1
5. A
6. D
7. C
8. D
9. B
101
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
2
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
14. f: [–π, π] → R
10. Uygun koşullarda,
f (x) =
mx + 5
3x – 4
2
f(x) = |sinx| + sinx fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
ve
(fof) (x – 2) = x – 2
A)
A) 6
B) 4
C) 2
D) 0
B)
y
olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
y
2
2
E) –2
–π
π
2
0
C)
x
π
–π
D)
y
y
π
2
1
–π
x
π
0
x
π
0
–π
π
0
x
–2
11. f(x) = 4x + 2 ,
g(x) =
x
+ 8 olduğuna göre, (f – 2.g)(8)
4
y
E)
2
kaçtır?
A) 14
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
–π
–
π
2
x
π
0
15. f: R → R,
f(x) = |x + 2| – |x| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
y
A)
y
B)
2
12. f(x) = x2 + 6x fonksiyonu veriliyor.
1
f(1 – 3x) = 7 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
–2
–1
8
A)
3
7
B)
3
5
C)
2
5
D)
3
–1
x
0
x
1
0
11
E)
3
–1
–2
y
C)
y
D)
2
–1
1
0
1
2
x
0
–1
–2
13. f: IR → IR,
y
E)
f(x) = 4x – 3 olduğuna göre,
1
(f + f–1)(1) kaçtır?
2
1
A)
2
1
B)
3
C) 2
D) 4
0
E) 6
–2
102
10. B
11. A
12. A
13. C
14. A
15. A
1
x
1
x
SINAMA ADIMI
f: R → R, f(x) = |x – 3| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
3.
y
3
f: R → R, f(x) = |x – 3| + |x + 1| fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
x
3
D)
y
x
0
–3
C)
4
x
0
–3
y
B)
4
3
0
–1 0
1
y
C)
x
3
x
1
y
3
0
–3
0
x
3
y
D)
4
3
–1
x
0
y
E)
–1
–4
–3
0
x
3
0
x
3
y
E)
3
2.
–1
f: R → R, f(x) = 2x + |x + 1| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
0
–3
x
y
1
–1
0
x
1
0
1
x
–2
–2
C)
4.
D)
y
y
1
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tek fonksiyondur?
A) f(x) = sinx + x2
B) f(x) = |x|
C) f(x) = 2 – |x|
D) f(x) = cosx
E) f(x) = sin3x + x3
1
–1
–2
x
0
x
0
–1
–2
E)
y
5.
1 0
2
–1
x
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi çift fonksiyondur?
A) f(x) = |sinx| + sinx
B) f(x) = tanx + lnx
C) f(x) = 2cosx + x
D) f(x) = x4 – cosx
E) f(x) = x2 + 2x
1. A
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
3
2. C
3. D
4. E
5. D
103
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
6.
f: R → R
8.
f(x) = x.|x| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
3
R2 de β = {(x, y) : |x| + |y| = 1}
dakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
x
1
1
y
y
1
–1
x
0
–1
y
–1
1
–1
x
0
9.
f: R → R ,
f(x) = |1 – x2| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
f: R → R , f(x) = x|x| – x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
1
1
0
–1
x
y
B)
y
B)
0 1
x
1
–1
–1
x
y
E)
A)
1
–1
x
0
x
1
E)
7.
y
D)
1
y
D)
x
–1
–1
x
0
x
1
C)
C)
y
B)
–1
0
bağıntısının grafiği aşağı-
0
–2
2
–1
x
1
x
0
x
0
y
C)
y
2
y
C)
D)
2
–1
–1
x
0 1
0
–2
2
0
x
1
0
x
y
E)
y
E)
–1
0
104
6. D
y
D)
7. A
x
8. C
9. E
0
1
x
x
SINAMA ADIMI
f (x) =
3–|x –2|
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi
x –1
3.
y
aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) [–1, 6] – {1}
B) [–1, 5] – {1}
C) [–1, 5]
D) [–2, 6]
0
2
x
4
E) [0, 6] – {1}
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine
aittir?
A) y = |x – 2| – 2
B) y = |x +2| – 2
C) y = | x – 2 | – 2
D) y = | x – 2 | + 1
E) y = | x – 1 | – 2
2.
y
4.
1
–1
g = {(1, 6), (2, –4), (3, –2)}
f(x)
veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi 3f + 4g fonksiyonunun
elemanıdır?
x
0
f = {(1, 3), (2, 4), (3, –1)}
A) (1, 22)
Şekildeki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
D) (4, 6)
Buna göre, h(x) = f(|x|) – 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
5.
y
B)
0
x
0
C) (–2, –4)
E) (2, 33)
Aşağıdakilerden hangisi bir tek fonksiyonun grafiğidir?
y
A)
1
–1
B) (3, –11)
y
B)
x
–1
x
0
1
0
x
–1
C)
D)
y
y
y
C)
–1
0
x
1
0
y
D)
x
–1
x
0
0
x
–2
y
E)
y
E)
1
0
1. B
2. D
x
0
3. C
4. B
x
5. E
105
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
4
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
6.
f(x) = 256cosx
fonksiyonunun görüntü kümesinde kaç
tam sayı vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
9.
4
f(x) = maks(x2 + 3, x + 3)
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
E) 9
y
A)
y
B)
3
–3
0
x
3
x
0
–3
7.
|y| – |x| = 1
3
y
B)
1
0
1
x
0 1
–1
3
x
0
–1
0
y
E)
y
y
C)
3
2
1
x
x
0
–1
–2
y
E)
10. a ∈ R , f: R → R
1
–1
f(x) = –x2 + 2(a + 1)x – 3a + 2 fonksiyonu veriliyor.
x
1
0
f–1(3) = ∅ olduğuna göre, a için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
–1
A) 1 < a < 2
B) 2 < a < 3
D) –1 < a < 2
8.
f(x) = |x – 3| + 3 ve g(x) = x – 1 fonksiyonları veriliyor.
(fog)(x) = 7 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı
kaçtır?
A) 10
106
x
0
–3
0
x
x
–1
C)
y
D)
3
y
A)
y
C)
bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B) 9
6. E
C) 8
7. C
D) 7
8. C
E) 6
C) –1 < a < 0
E) 3 < a < 4
11. f(x) = sin8x + cos8x + 1 fonksiyonunun periyodu T ise,
faT +
A)
3
2
r
k değeri kaçtır?
4
B)
9. E
5
4
C)
10. D
9
8
11. C
D)
17
16
E)
33
32
SINAMA ADIMI
f(x) = | x – 1 | – 2
fonksiyonunun görüntü kümesi aşağı-
4.
dakilerden hangisidir?
A) R
f(x) = |x + 2|
g(x) = 3x
C) [2, ∞)
B) Q
D) [0, ∞)
fonksiyonları veriliyor.
g(|x|) = f(x)
kaçtır?
E) ∅
A)
2.
Reel sayılarda tanımlı bir f fonksiyonunun grafiği y eksenine
göre simetrik ve her x ∈ R için f(x) = 3x2 – 5x – 6.f(–x) koşulunu sağlıyor.
5.
1
2
f(x) =
A) –3
eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı
B) 1
C)
3
2
D) 2
E) 3
x–m
fonksiyonu sabit fonksiyon ise, m kaçtır?
x +m+2
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
Buna göre, f(5) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
40
3
B)
45
7
C)
40
7
D)
50
7
E)
36
7
6.
Şekildeki grafik aşağıdaki
fonksiyonlardan hangisine
aittir?
y
y=x
0
3.
f(x) = sin
A)
5
3
4rx
fonksiyonunun periyodu kaçtır?
5
B)
2
5
C)
1. D
3
5
2. D
D)
3. E
3
4
E)
5
2
y=x2–x
x
1
A) y = |x2 – x| – x
B) y = maks(x2 – x, x)
C) y = min(x2 – x, x)
D) y = maks(2(x2 – x), x)
E) y = 2|x2 – x| – x
4. A
5. C
6. C
107
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
5
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
7.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
y=f(x)
y
f(x) = (5m + n)x2 + (2m + 1)x + p – 2 fonksiyonu birim fonksiyon ise, m +n + p toplamı kaçtır?
A) 3
Buna göre, y = 2|f(x)| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
9.
y
5
–1
0
1
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
x
y
B)
2
1
–1 0
x
1
–1 0
1
x
10. f(x) = min{x3 + 1, x2 – x} + maks{x + 2, x2 – 3}
y
C)
y
D)
2
fonksiyonu için f(–2) + f(2) toplamı kaçtır?
2
A) –2
–1 0
x
1
–1 0
1
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
x
y
E)
2
–1 0
1
x
11. y = x|2 – x|
hangisidir?
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
y
A)
1
1
2
x
0
0
y
C)
y
B)
1
x
2
y
D)
2
–2
0
8.
f: R → R ,
2
2
fonksiyonu veriliyor.
g(x) = maks(x, f(x)) fonksiyonunun görüntü kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) R
B) (–∞, 1]
7. E
–2
2
0
x
C) (–∞, 2]
E) [1, ∞)
D) [–1, 1]
108
0
y
E)
f(x) = 2|1 – x| + x
2
x
8. E
9. B
10. C
11. B
x
SINAMA ADIMI
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir.
3.
y
y=f(x)
f (x)
h(x) = x –
in grafiği aşağı| f (x) |
–1
dakilerden hangisidir?
y
2
y = |f(x)| + f(x) fonksiyonunun
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x
0
y = f(x) in grafiği yukarıda verilmiştir.
x
2
0
y=f(x)
A)
A)
B)
y
y
B)
y
y
4
2
1
–1
1
–2
x
0
2
0
0
x
x
2
0
2
x
–1
y
C)
y
C)
D)
y
1
–1
x
0
4
2
2
–1
y
D)
0
x
2
x
0
0
–1
2
x
4
–2
y
E)
y
E)
2
1
–1
0
2
0
x
x
2
–2
4.
y
a
a
x
0
–a
2.
f: [–3, 2] → R
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine
aittir?
f(x) = |x2 – 9| fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = |x – a| – x
B) y = |x – a| – |x|
C) y = |x| – |x – a|
D) y = |x|.|x – a|
A) [0, 9]
B) [–3, 0]
D) [0, 5]
1. A
C) [–3, 6]
E) [5, 9]
2. A
E) y = –|x| – |x – a|
3. B
4. B
109
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
6
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
5.
f: R → R
7.
f(x) = |x|.(x – 1) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
y
A)
6
f(x) =
|x |
x + | x | fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
y
A)
B)
B)
y
y
1
1
0
1
x
1
0
1
–1
x
0
y
1
1
x
–1
–1
0
x
1
1
x
0
–1
x
y
E)
1
y
E)
y
1
0
0
x
0
D)
y
y
D)
–1
–1
C)
C)
x
0
x
1
–1
1
0
x
8.
Aşağıdakilerden hangisi y = |–x2 + 2x + 3| fonksiyonunun
grafiğidir?
y
A)
6.
y
–1
0
y
B)
x
3
–3
0
1
x
3
y
–1
y
C)
0
D)
x
1
–1
0
x
3
–3
0
–3
y
Yukarıdaki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine
aittir?
B) f(x) = 4|x2|
A) f(x) = –6x|x|
D) f(x) = –2|x|2
110
5. B
E)
3
C) f(x) = |x| – 6
x
0
E) f(x) = x|3x|
6. E
7. D
8. A
1
x
SINAMA ADIMI
3.
y
f(x) = –|x – 1| – 2x fonksiyonunun parçalı biçimde yazılışı
aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) f (x) = )
–2
x –1 , x ≥0
3x – 1 , x < 0
B) f (x) = )
1 – 3x , x ≥ 1
–x + 1 , x < 1
x
0
C) f (x) = )
–2
1 – 3x , x ≥ 1
–x – 1 , x < 1
E) f (x) = )
Yukarıda grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden
hangisidir?
A) |x – 2| – |x| – 1
B) |x| + |x – 2| + 1
C) |2x| – |x – 2| + 1
D) |x + 2| – |x|
D) f (x) = )
–3x , x ≥ 0
–x – 1 , x < 0
–x – 1 , x ≥ 2
1 – 3x , x < 2
E) |x + 2| + |x|
2.
4.
f: R → R
f(x) = |1 – |x|| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
y
A)
B)
2
y
x
0
1
–1
0
1
x
y
y
C)
D)
1
1
D)
y
y
x
0
0
0
x
1
1
–1
x
0
1
x
0 1
C)
y
B)
1
y
A)
Aşağıdakilerden hangisi y = |x| – x + 1 fonksiyonunun
grafiği olabilir?
x
1
–1
0
1
x
y
E)
1
y
E)
0
x
1
–1
1. D
2. C
0
1
x
3. C
4. C
111
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
7
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
5.
f(x) = x + |–x| ve g(x) = 3x – 1 ise,
7
7.
y
(gof)(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
A)
2
y
B)
1
1
1
2
x
0
–4
x
0
C)
f: R → R y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
D)
|f(x)| – a = 0 denkleminin farklı ve gerçel 6 tane kökü olması için a’nın alabileceği değerler hangi aralıkta olmalıdır?
2
x
0
x
0
–1
A) –3 < a < 1
B) –3 < a < 0
D) 0 < a < 4
y
E)
x
–2
y
y
5
0
C) 0 < a < 2
E) –1 < a < 3
1
x
0
6.
R – [0] → R ye tanımlanan
f(x) = x –
2x
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden han|x |
8.
y = |x – 1| – |–x| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
gisidir?
y
A)
B)
y
A)
y
1
2
2
1
1
x
0
y
B)
–2
0
–1
x
0
–2
x
0
y
y
D)
y
C)
D)
1
2
–2
2
x
0
–2
0
–2
0
2
x
1
x
y
E)
1
0
2
2
–2
0
x
–2
5. D
6. D
1
0
y
E)
112
x
–1
C)
y
1
7. C
8. A
1
x
x
SINAMA ADIMI
5.
f(x) = 2 x 2 – 4x + 4 – | x – 2 |
fonksiyonu için f(x) ≥ 5 koşulunu sağlamayan doğal
sayıların toplamı kaçtır?
A) 19
2.
B) 20
C) 21
D) 22
B) –2
C) 2
D) 3
A) –4
B) –3
C) –2
6.
|x + 1 | – 1 < 2
A) [1, + 3 )
E) 4
eşitsizliğinin çözüm kümesindeki tam
7.
sayıların toplamı kaçtır?
A) –5
B) –4
B) [0, +3 )
f (x) =
x < 0 için
x +1
+x–2
x2 + x – 2
D) 2
E) 1
A) (–1, 0]
8.
| x – 1 | – x – | –x | – 1
B) –x – 2
1. C
fonksiyonu aşağıdaki aralık-
lardan hangisinde tanımlı değildir?
C) –3
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 3x
C) (2, +3 )
E) [3, + 3 )
B) (–2, –1)
3
D) b –2, – l
2
4.
E) 2
y = |x + 2| + |x – 1| fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
D) IR
3.
D) 1
E) 24
| 2x – |x – 1| | = 4 eşitliğini sağlayan x değerlerinin
toplamı kaçtır?
A) –3
|x – 2| + |x| = 5 denklemini sağlayan x ∈ R sayılarının
toplamı kaçtır?
C) x + 2
2. C
D) –x
3. A
4. D
E) [3, + 3 )
Reel sayılarda tanımlı f(x) = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun en
geniş görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) R– – {–1}
E) –2x
C) (1, 5)
D) {–1, 3}
5. E
C) [–1, + 3 )
B) R+ – {1}
6. E
E) R – {1, 3}
7. A
8. C
113
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
8
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
9.
f (x) = x 2 + mx + 1 fonksiyonu her x reel sayısı için tanımlı olduğuna göre m sayısının değer alabileceği en
geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–2, 2)
D) [–1, 4]
10. f (x) =
B) [–2, 2)
11. f (x) =
12. f (x) =
C) 5
D) 6
x2 + x + 1
fonksiyonu sadece bir noktada tanım+ mx + 16
C) 8
2
1
–
+ 2x – 3
x +1 x – 2
114
B) 3
9. E
E) [–1, 6]
14. f (x) = log (–x 2 – 2x + 4)
D) 9
kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
B) –3
C) –4
D) –5
E) –6
15. y = log(x2 – 2x – 3) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) R+ – {1}
E) 12
B) [–1, 3] – {2}
C) R – {–1, 2}
D) R – [–1, 2]
E) R – [–1, 3]
fonksiyonunu tanımsız
C) 4
10. D
fonksiyonunun en geniş tanım
E) 7
16. f (x) = 5 – | 2x – 1 | + x – 3
yapan en büyük pozitif tam sayı değeri kaçtır?
A) 2
C) [6, + 3 )
B) R – [–1, 4]
A) –2
x2
B) 6
A) [–1, 5]
D) [–5, 6]
sız olduğuna göre m’nin pozitif değeri kaçtır?
A) 4
aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
E) [–2, 2]
sayı değeri vardır?
B) 4
13. f (x) = –x 2 + 4x + 5 + x – 1 fonksiyonunun en geniş tanım
C) (–2, 2]
2x + 5
fonksiyonunu tanımsız yapan kaç tam
x 2 – 3x – 4
A) 3
8
D) 5
11. C
12. C
fonksiyonunun tanım küme-
sinde kaç tane tam sayı vardır?
E) 6
A) 4
B) 5
13. A
C) 6
14. D
15. E
D) 7
16. C
E) 8
SINAMA ADIMI
4.
y
|x| + |y – 1| = 3 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
2
–2
–1 0
y
A)
x
y
B)
3
3
3
0
–3
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine
aittir?
A) f(x) = 2|x – 2| + 1
B) f(x) = –2|x + 1| + 2
C) f(x) = |x2 – 2x| + x
D) f(x) = 2|x + 1| – 1
x
0
3
x
–3
–3
y
y
C)
4
D)
4
2
1
E) f(x) = –|x – 1| – x
0
x
0 3
–2
–3
1 2
–2 –1
E)
x
y
2
3
–3
x
0
–1
–3
2.
y
3
–1
0
x
2
5.
Şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisine
aittir?
A) y = |x + 1| – |x – 2| – 1
B) y = |x + 1| + |x – 2| + x
C) y = |x + 1| + |x – 2|
D) y = |x + 1| + x + 1
f: g: R → R, f(x) = x + |x|, g(x) = |x| – 1 olduğuna göre
(gof)(x) in grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
1
2
E) y = |x + 2| + |x – 1| – x
1
0 2
x
0
–1
y
D)
1
0
2
x
E)
B) 6
C) 7
1. B
2. C
D) 8
3. C
0
x
–1
y
1
|f(x)| = –f(x) denklemini sağlayan kaç tane x tam sayısı
vardır?
A) 5
y
–1
2
–1
f(x) = x2 + 2x – 8 fonksiyonu veriliyor.
x
–1
–1
C)
3.
y
x
–1 0
E) 9
4. C
5. A
115
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
1.
9
SINAMA ADIMI
ÜNİTE – 1 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR
6.
x ∈ [–2π, 2π]
9
8.
y
f(x) = sin|x| + sinx fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
y
A)
2
y
B)
–3
2
5
x
0
1
1
3π/2
–2π
π/2 π
0
–1
–2π –3π/2
x
–π –π/2
2π
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
2
3π/2 2π
0
Buna göre, y = |2f(x)| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
D)
–2
–2π
x
–3
y
C)
2π
π/2 π
y
A)
–2π –3π/2
x
–π –π/2
x
0
y
B)
4
5
–2
–2
3
–4
y
E)
4
2 5
x
0
x
0
–3
3
π/2
–2π –π 0
π 3π/2 2π
y
C)
x
y
D)
4
4
–3
–3
0
2
5
B)
y
x
–3
0
2
x
y
1
9.
–1/2
x
0
x
0
f(x) = |x – 2| + a fonksiyonunun grafiği ile 0x ekseninin sınırladığı üçgenin alanı 5 br2 olduğuna göre, a’nın değeri kaçtır?
A) – 6
y
D)
1
0
–1
C) 2
D) – 5
E) 6
x
y
E)
10. 2|x – 8| + 3|y + 6| = 12 bağıntısının sınırladığı kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
2
–1/2
0
6. C
B) – 7
y
x
0
116
5
2
–1/2
C)
2
4
f(x) = x – |x| ve g(x) = 2x + 1 ise, (fog)(x) in grafiği hangisidir?
A)
0
–3
y
E)
7.
x
7. E
x
A) 36
B) 40
8. D
C) 45
9. D
D) 48
10. D
E) 54