λ β α λ β α - Yıldız Teknik Üniversitesi

Journal of Engineering and Natural Sciences
Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi
Sigma
Vol./Cilt 26
Issue/Sayı 3
Araştırma Makalesi / Research Article
ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH MATRIX COEFFICIENT
WHICH HAS SPECTRAL PARAMETER IN BOUNDARY CONDITION
Fatma AYDIN AKGÜN*, Mehmet BAYRAMOĞLU
Yıldız Teknik Üniversitesi, Kimya-Metaluji Fakültesi, Matematik Mühendisliği Bölümü, Esenler-İSTANBUL
Geliş/Received: 11.03.2008 Kabul/Accepted: 11.08.2008
ABSTRACT
In this paper following boundary value problem is considered.
− y '' + Q( x) y = λR( x) y
,
a< x<b
y ( x) = 0
'
β 1 y (b) − β 2 y ' (b) = λα y (b)
Here Q ( x ), R ( x ) is n × n self-adjoint matrix functions, R (x ) is positive matrix , α , β 1 , β 2 are
constants satisfy some conditions and λ is a spectral parameter.The spectrum of considered boundary value
problem is investigated and the expansion formulas according to eigenvalues are obtained.
Keywords: Self-adjoint operator, spectral parameter, eigenvalue, eigenfunction.
SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN MATRİS KATSAYILI SINIR DEĞER
PROBLEMİ ÜZERİNE
ÖZET
Bu çalışmada aşağıdaki sınır değer problemi ele alınmıştır.
− y '' + Q ( x ) y = λ R ( x ) y
y ' ( x) = 0
,
a< x<b
β 1 y (b) − β 2 y ' (b) = λα y (b)
Burada
Q( x), R( x) n × n
boyutlu kendine eş matrisler,
R(x) pozitif matris α , β1 , β 2
bazı
koşulları sağlayan sabit sayılar, λ spektral parametredir. Ele alınan sınır değer probleminin spektrumu
incelenmiş, özfonksiyonlara göre açılım formülleri elde edilmiştir.
Anahtar Sözcükler: Kendine-eş operatör, spektral parametre, özdeğer, özfonksiyon.
*
Sorumlu Yazar/Corresponding Author: e-mail/e-ileti: [email protected], tel: (212) 383 46 16
175
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
1. GİRİŞ
Fizikte sınır koşulunda spektral parametre bulunan diferansiyel denklemler için sınır değer
problemine sık sık rastlanır[3].
Poisson bir mekanik problemini sınır koşulunda spektral parametre bulunan
− y '' = λ y , a < x < b
y (0) = 0 , y ' (b) = λy (b)
şeklinde sınır değer probleminin incelenmesine indirgemiştir. Bu çalışmadan günümüze kadar
sınır koşulunda spektral parametre bulunan birçok sınır değer problemi incelenmiştir. Bu
çalışmalara örnek olarak sırasıyla [1],[7], [8],[9],[10],[18],[20],[22] çalışmaları gösterilebilir.
Katsayıları nxn boyutlu matrisler olmak üzere göz önüne alınan bu çalışma, ek
koşullarla , [7] çalışmasının devamıdır.
Bu çalışmada
l ( y ) = − y '' + Q ( x ) y = λ R ( x ) y
a< x<b
,
(1.1)
y ' (a) = 0
(1.2)
U α ( y ) = α y (b)
U β ( y ) = β1 y (b) − β 2 y ' (b)
olmak üzere
− U β ( y ) = λ (U α ) y
(1.3)
sınır değer probleminin
incelenecektir.Burada
⎛ q11 ( x)
⎜
⎜ .
Q( x) = ⎜
.
⎜
⎜ q ( x)
⎝ n1
spektrumu
ve
özfonksiyonlara
. . q1n ( x) ⎞
⎛ r11 ( x)
⎟
⎜
. .
. ⎟
⎜ .
, R( x) =
⎟
⎜ .
. .
.
⎟
⎜
⎜ r ( x)
. . q nn ( x) ⎟⎠
⎝ n1
elemanları reel değerli sürekli fonksiyon olan kendine-eş
matris ve
α , β1 , β 2
ise
αβ 1 < 0
ve
αβ 2 = 1
n×n
göre
açılım
formülleri
. . r1n ( x) ⎞
⎟
. .
. ⎟
. .
. ⎟
⎟
. . rnn ( x) ⎟⎠
boyutlu matrisler,
R(x) pozitif
koşullarını sağlayan reel sayılardır.
λ
⎛ y1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ . ⎟
kompleks parametredir. y ( x ) =
⎜ . ⎟ ∈ L2 [a, b] elemanları [a, b] de tanımlı kompleks
⎜
⎟
⎜ y ( x) ⎟
⎝ n ⎠
değerli fonksiyon olan
n
bileşenli vektör fonksiyonudur. Q (x ) ’in sürekliliği basitlik için kabul
176
F. Aydın Akgün, M. Bayramoğlu
Sigma Vol./Cilt 26 Issue/Sayı 3
b
edilmiştir. Genelde
Q(x) ’in
elemanlarının ölçülebilirliği ve
∫ Q( x) dx < ∞
olması
a
yeterlidir.
L2, R [a, b] ile her bileşeni ölçülebilir, kompleks değerli ve
b
∫ (R( x) y( x), y( x))dx < ∞
a
koşulunu
y ( x) = ( y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) )
sağlayan
vektörlerinin
kümesini
gösterilmektedir.
Bu kümede iki vektörün toplamı
y ( x) + z ( x) = ( y1 ( x) + z1 ( x), y 2 ( x) + z 2 ( x),..., y n ( x) + z n ( x) )
ile bir vektörün skalerle çarpımı
cy ( x) = (cy1 ( x), cy 2 ( x),..., cy n ( x) )
şeklinde tanımlanırsa
L2, R [a, b] kümesi lineer uzay oluşturur.
Eğer iki vektörün iç çarpımı
b
( y, z ) = ∫ (R( x) y ( x), z ( x) )dx
a
şeklinde tanımlanırsa
L2, R [a, b]
uzayı aşağıdaki norma göre tam iç-çarpım uzayı yani Hilbert
uzayı oluşturur.
b
y =
∫ (R( x) y( x), y( x))dx
a
Tanımlanan iç-çarpım ve normla oluşturulan Hilbert uzayı da
gösterilecektir. n
=1
iken ,
(a, b ) de tanımlı fonksiyonlar için ,
L2, R [a, b]
L2, R [a, b]
sembolüyle
bilinen Hilbert
uzayıdır.
Öncelikle (1.1) ifadesiyle oluşturulan maksimal ve minimal operatörlerin tanımları
verilecektir.
D1 , (a, b )
açık aralığının her kapalı alt aralığında kendisi türevinin her bileşeni
y (x) vektör fonksiyonlarının kümesi olsun. Kolayca görülür ki
R ( x)l ( y ) , D1 e ait her y (x) vektör fonksiyonu için tanımlıdır. D1 , L2, R [a, b] de her
mutlak sürekli olan
−1
yerde yoğun olan bir lineer manifolddur.
y (x)
elemanlarının(vektör fonksiyonlarının) kümesi
y ( x) ∈ D1 ∩ L2, R [a, b] ve l ( y ) ∈ L2, R [a, b] iken
177
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
D
ile gösterilsin. Tanım kümesi
D
olan L operatörü
∀y ( x) ∈ D
ve iken
Ly = R −1 ( x)l ( y )
şeklinde tanımlansın.
L : L2, R [a, b] → L2, R [a, b]
operatörüne
oluşturulan maksimal operatör denir [12]. Açıktır ki
(a, b )
gösterilsin.
aralığında sonlu desteye sahip ve
D0' ' , L2, R [a, b] de
operatörü her
y ∈ D0' '
L2, R [a, b]
L bir lineer operatördür.
D ’ye ait fonksiyonların
ile
D0' '
olan
L'0
için aşağıdaki şekilde tanımlansın.
L'0
Kolayca görülür ki
operatörü
D0' '
kümesi
hemen her yerde yoğundur[12].Tanım kümesi
L'0 y = R −1 ( x)l ( y )
L0
R −1 ( x)l ( y ) ile
de
,
'
bir simetrik operatördür. L0 ’ın kapanışı
L2, R [a, b] de R −1 ( x)l ( y )
L0
ile gösterilirse
ile oluşturulan minimal (kapalı) operatördür.
y ( x) ∈ D( L) için y (a), y ' (a), y (b), y ' (b)
{
vardır ve
L0 ’ın tanım kümesi şu şekildedir:
}
D( L0 ) = y ( x) ∈ D( L) : y (a) = y ' (a) = y (b) = y ' (b) = 0
L*0 = L olduğu ve L0 ’ın defekt indisinin (2n,2n ) olduğu bilinmektedir[12].
L2, R [a, b] de T operatörü aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:
{
D (T ) = y ( x ) ∈ L2, R [a, b], y ( x) ve y ' ( x ), [a, b ] ’de mutlak sürekli R( x) −1 l ( y ) ∈ L2, R [a, b]
} ve ∀y( x) ∈ D(T ) için Ty = R
y ' (a ) = 0 , U α ( y ) = 0
Böyle
tanımlanmış
T : L2, R [a, b] → L2, R [a, b]
−1
( x)l ( y )
operatörü
olsun.
kendine
eş
operatördür[12]. Tanımlanan T operatörü daha sonra kullanılacaktır.
(1.1),(1.2),(1.3) probleminde görüldüğü gibi λ
özdeğeri (kompleks spektral
parametre) (1.3) koşulunda bulunmaktadır. Buna göre lineer operatörler teorisinin yöntemleri
doğrudan uygulanamamaktadır. Fakat (1.1)-(1.3) problemi daha geniş uzayda göz önüne alınırsa,
problem olağan sınır değer problemine indirgenebilir.
2. (1.1)-(1.3) PROBLEMİNİN ÖZDEĞER VE ÖZFONKSİYONLARI
(1.1)-(1.3) probleminin özfonksiyonu denildiğinde ;
[a, b] aralığında birinci türevi ve
y ' ( x)
fonksiyonu mutlak sürekli , (1.1) denklemini ve (1.2)-(1.3) koşullarını sağlayan, özdeş olarak
sıfır olmayan ∀y ( x) fonksiyonu anlaşılır ve burada λ sayısı da y ( x ) fonksiyonuna karşılık
gelen özdeğerdir.
λ1 , λ 2 ,(1.1)-(1.3) probleminin kompleks özdeğerleri (kompleks),
sırasıyla bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar (kompleks) olsun.
178
y1 ( x), y2 ( x)
ise
F. Aydın Akgün, M. Bayramoğlu
Sigma Vol./Cilt 26 Issue/Sayı 3
− y1'' + Q( x) y1 = λ1 R( x) y1
− U β ( y1 ) = λ1U α ( y1 )
a< x<b
,
(2.1)
(2.2)
y1' (a ) = 0
(2.3)
− y 2'' + Q( x) y 2 = λ 2 R( x) y 2
− U β ( y 2 ) = λ 2U α ( y 2 )
a< x<b
,
(2.4)
(2.5)
y 2' (a) = 0
(2.6)
(2.1) in her iki yanı sağdan
çarpılırsa( C
n
y2
ile ,(2.4)’ ün ise her iki yanı soldan
y1
ile skaler
uzayı anlamında)
(
) (
) (
)
− (y , y )+ (Q( x) y , y ) = λ (R( x) y , y )
− y1'' , y 2 + Q( x) y1 , y 2 = λ1 R( x) y1 , y 2
''
2
1
2
1
2
2
1
elde edilir. Bu iki ifade bir birinden çıkarılıp eşitliğin her iki yanının integrali alınırsa ( R ( x)
kendine eş matris olduğundan);
(
− y1' , y 2
) + (y y ) = ∫ (λ
b
a
'
2
b
1
a
olur.(1.2) koşulundan dolayı
(
b
1
(
)
− λ 2 ) R ( x) y1 , y 2 dx
(2.7)
a
y1' (a) = 0 ve y 2' (a ) = 0
) (
)
dır dolayısıyla (2.7)’den
(
b
)
− y1' (b) , y 2 (b) + y 2' (b), y1 (b) = ∫ (λ1 − λ 2 ) R(x) y1 , y 2 dx
bulunur.
a
(1.3) sınır koşulundan;
y (b) =
U α ( y)
α
iken
U β ( y) = β1
bulunur. Buradan (2.8)’in her iki yanı
α
αU β ( y ) = β 1U α ( y ) − α β 2 y ' (b)
U α ( y)
α
− β 2 y ' (b)
(2.8)
ile çarpılırsa ;
olur. Böylece;
y ' (b) = β1U α ( y ) − αU β ( y )
(2.9)
bulunur. (2.8) ve (2.9) da bulunan ifadeler (2.7) de kullanılırsa
179
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
⎡⎛
U (y ) ⎞ ⎛
U ( y ) ⎞⎤
− ⎢⎜⎜ (β1U α ( y1 ) − αU β ( y1 ) ), α 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ (β1U α ( y 2 ) − αU β ( y 2 ) ), α 1 ⎟⎟⎥
α ⎠ ⎝
α ⎠⎥⎦
⎢⎣⎝
b
=
∫ (λ
1
− λ 2 )( R ( x) y1 , y 2 )dx ,
a
(
) (
)
(
) (
)
β
⎤
⎡β
− ⎢ 1 U α ( y1 ),U α ( y 2 ) − U β ( y1 ),U α ( y 2 ) − 1 U α ( y 2 ),U α ( y1 ) + U β ( y 2 ),U α ( y1 ) ⎥
α
⎦
⎣α
=
(U
β
= − λ1
) (
( y1 ),U α ( y 2 ) − U β ( y 2 ),U α ( y1 )
(U
α
)
)
(
( y1 ),U α ( y 2 ) + λ 2 U α ( y 2 ),U α ( y1 )
)= ∫ (λ
b
1
− λ 2 )( R ( x) y1 , y 2 )dx
a
bulunur. Buradan
⎡b
⎤
(λ1 − λ2 )⎢ ∫ ( R( x) y1 , y 2 )dx + U α ( y1 ),U α ( y 2 ) ⎥ = 0
⎣a
⎦
(
)
(2.10)
elde edilir. (1.1) denkleminin katsayıları, elemanları reel değerli sürekli fonksiyon olan matrisler
olduğundan
y 1 ( x)
Buna göre (2.9)da
fonksiyonuda
y2
yerine
λ1
y1 ( x)
özdeğerine karşılık gelen özvektör olacaktır.
konulursa
⎡b
2⎤
−
λ
1
1 ⎢ ∫ (R ( x ) y1 , y1 )dx + U α ( y1 ) ⎥ = 0
⎣a
⎦
(λ
olur. Buradan
)
y1 ( x) ≠ 0 , R( x)
pozitif matris olduğundan
imλ1 = 0
(2.11)
bulunur. Dolayısıyla λ özdeğeri reeldir. Böylece λ1 keyfi özdeğer olduğundan (1.1)-(1.3) sınır
değer probleminin özdeğerlerinin reel sayılardan oluştuğu sonucuna varılır. Yine ele alınan
problemin katsayıları ve özdeğerleri reel olduğundan dolayı özfonksiyonları da reel değerli
alınabilir. Buna göre bundan sonra (1.1)-(1.3) problemin özfonksiyonlarının
oldukları varsayılacaktır.
ℜn
değerli
3. (1.1)-(1.3) PROBLEMİN UYGUN BİR HİLBERT UZAYINDA BİR KENDİNE-EŞ
OPERATÖRE İNDİRGEYEREK SPEKTRAL ÖZELLİKLERİNİN İNCELENMESİ
Önce
[a, b] aralığında aşağıdaki şekilde bir “ µ
⎧⎪ R( x)dx
µ (m) = ⎨m∫
⎪⎩
1
m ⊂ [a, b )
m = {b}
ölçümü” tanımlanır;
,burada 1
180
n×n
boyutlu matrisdir.
(3.1)
F. Aydın Akgün, M. Bayramoğlu
Sigma Vol./Cilt 26 Issue/Sayı 3
µ ’nün tanımından görüldüğü gibi m ⊂ [a, b ) kümesinin ölçümü m ’nin Lebesque ölçümüne
eşittir. L2 , R ([a, b ], µ ) ile [a, b ] de tanımlı µ ölçülebilir ve
b
∫
2
f ( x ) dµ < ∞ ,
a
koşulunu sağlayan her
Burada iç çarpım
x ∈ [a, b] için C n
değerli fonksiyonlar kümesi gösterilsin.
b
( f , g ) = ∫ (R ( x) f ( x), g ( x) )dx + ( f (b), g (b) )
a
(
⎛ n n
= ∫ ⎜⎜ ∑∑ rij ( x) f j ( x) g i ( x)
a ⎝ i =1 j =1
b
)⎞⎟⎟dx + ( f (b), g (b))
⎠
µ
şeklinde tanımlanmıştır. Bu şekilde tanımlanan iç çarpım “
ölçümüne” göre tanımlanmış iççarpım olarak adlandırılacaktır. Bu küme de vektörlerin toplamı ve sayı ile çarpımı işlemlerine
([a, b], µ ) ayrılabilir bir Hilbert uzayı oluşturur[12].
n
Uyarı: µ ölçümünün tanımından görüldüğü gibi u , v ∈ C iken L2 , R ([a, b ], µ ) uzayı
L2, R [a, b] ⊕ C n
göre, bir lineer uzaydır. L2 , R
uzayı ile çakışır.
Burada
,C
n
ise
n
L2, R [a, b] daha önce tanımlanan ve n bileşenli fonksiyonlardan oluşan
boyutlu kompleks vektör uzayıdır. Bir başka deyişle
uzay
∀f ( x) ∈ L2, R ([a, b], µ )
vektörü
⎧⎛ f1 ( x) ⎞ ⎛ f 1 (b) ⎞⎫
⎟⎜
⎟⎪
⎪⎜
⎪⎜ f 2 ( x) ⎟ ⎜ f 2 (b) ⎟⎪
⎪
⎪
f ( x) = { f ( x),U α ( f )} = ⎨⎜ . ⎟, ⎜ . ⎟⎬ şeklinde yazılabilir.
⎜
⎟⎜
⎟
⎪⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟⎪
⎪⎜
⎟⎜
⎟⎪
⎪⎩⎝ f n ( x) ⎠ ⎝ f n (b) ⎠⎪⎭
Sağ taraftaki
göre) tanımlıdır.
f ( x) [a, b )
L2, R ([a, b], µ )
aralığının hemen her noktasında (Lebesque ölçümüne
uzayı
H
harfi ile gösterilsin.(1.1)-(1.3) sınır değer
problemini olağan operatör denkleme indirgemek için aşağıdaki şekilde bir
tanımlanabilir;
A
operatörü
D( A) = {y ( x) ∈ H , y ( x) ve y ' ( x) , (a, b ) açık aralığında mutlak sürekli ve
y ' (a ) = 0 , αy (b) = U α ( y ) ve y ( x) ∈ D( A) iken
}
181
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
−1
⎛ y ( x) ⎞ ⎧⎪ R ( x)l ( y ) x ∈ [a, b )
⎟⎟ = ⎨
A⎜⎜
x = {b}
⎝ αy (b) ⎠ ⎪⎩ − U β ( y )
(3.2)
olsun.
A operatörünün tanımından görüldüğü gibi (1.1)-(1.3) sınır değer probleminin özdeğer
ve özvektörleri A’nın özdeğer ve özvektörleridir. Böylece (1.1)-(1.3) probleminin incelenmesi
A : H → H operatörünün spektral özelliklerinin incelenmesine indirgemiş olur. Bu nedenle
(1.1)-(1.3) problemi yerine A operatörü incelenecektir.
ve esaslı(essential) kendine eş operatördür.
A simetrik, alttan sınırlı, üstten sınırsız
A Simetrik Operatördür;
⎛ R −1 ( x)(− f '' + Q( x) f )⎞
⎟
Af = ⎜⎜
⎟
U
(
f
)
−
β
⎠
⎝
Burada;
⎡ q11 ( x)
⎢ .
Q( x) f = ⎢
⎢ .
⎢
⎣q n1 ( x)
. . q1n ( x) ⎤ ⎡ f 1 ( x) ⎤
. .
. ⎥⎥ ⎢⎢ . ⎥⎥
. .
. ⎥⎢ . ⎥
⎥⎢
⎥
. . q nn ( x)⎦ ⎣ f n ( x)⎦
⎡ f1 (b) ⎤
⎢ . ⎥
⎥− β
ve U β ( f ) = β1 ⎢
2
⎢ . ⎥
⎢
⎥
⎣ f n (b)⎦
⎡ f1' (b)⎤ ⎡U β ( f1 )⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ . ⎥ = ⎢ . ⎥ =U ( f ) .
β
⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥
⎢ ' ⎥ ⎢
⎥
⎣⎢ f n (b)⎦⎥ ⎣⎢U β ( f n )⎦⎥
b
( Af , g ) = ∫ (R( x) R −1 ( x)(− f '' + Q( x) f ), g )dx − (U β ( f ),U α ( g ) )
a
b
(
b
)
= ∫ − f '' , g dx + ∫ (Q( x) f , g ) dx − (U β ( f ),U α ( g ) )
a
(
( f , g)
'
(
= ( f , g )+ ( f , g ' )
= − f ', g
(
a
'
)
b
a
b
(
)
)
b
+ ∫ f ' , g ' dx + ∫ (Q( x) f , g ) dx − (U β ( f ),U α ( g ) )
a
a
'
f (a) =0 ve Q(x) kendine eş matris)
182
F. Aydın Akgün, M. Bayramoğlu
Sigma Vol./Cilt 26 Issue/Sayı 3
b
b
= (− f (b), g (b) )+ ∫ ( f , g )dx + ∫ ( f , Q( x) g ) dx − (U β ( f ),U α ( g ) )
'
'
'
a
(
a
) (
= − f ' (b), g (b) + f , g '
b
b
) − ∫ ( f , g )dx + ∫ ( f , Q( x) g ) dx − (U
b
a
''
a
β
( f ),U α ( g ) )
a
sınır koşulu (1.2) den;
(
b
) (
) (
b
)
= − f ' (b), g (b) + f (b), g ' (b) − ∫ f , g '' dx + ∫ ( f , Q ( x) g ) dx − (U β ( f ), U α ( g ) )
a
a
bulunur.(2.9) dan
U (g) ⎞ ⎛ Uα ( f )
⎛
⎞
, [β 1U α ( g ) − αU β ( g )]⎟
= ⎜ − [β1U α ( f ) − αU β ( f )], α
⎟+⎜
α ⎠ ⎝ α
⎝
⎠
b
( (
))
+ ∫ f , − g '' + Q( x) g dx − (U β ( f ),U α ( g ) )
a
=−
β1
(U α ( f ),U α ( g ) ) + (U β ( f ),U α ( g ) ) + β1 (U α ( f ),U α ( g ) )
α
α
b
(
(
))
− (U α ( f ),U β ( g ) ) + ∫ f ( x), − g '' + Q( x) g dx − (U β ( f ),U α ( g ) )
.
a
b
=
∫ ( f ( x), Ag ( x))dµ = ( f , Ag )
a
bulunur. Böylece A operatörünün simetrik operatör olduğu gösterilmiştir.
∀ y ∈ D( A)
için
( Ay, y ) ≥ −γ ( y, y)
olacak şekilde sabit
γ
sayısının varlığı
gösterilebilir.
l ( y ) diferansiyel ifadesinin katsayıları ve sınır koşulundaki sayılar reel olduğundan
dolayı A : H → H operatörü reeldir[6].Buna gore L ’nin alttan sınırlı olduğunu göstermek
için ,bu operatörün D ( L) ye ait olan bileşenleri reel değerli fonksiyonlar olan vektörleri için
gösterilmesi yeterlidir.
A operatörü alttan sınırlıdır;
(
⎛ R −1 ( x ) − y ( x ) ' ' + Q ( x ) y ( x )
Ay = ⎜⎜
− U β ( y)
⎝
)⎞⎟
⎟
⎠
,
183
⎛ y ( x) ⎞
⎟⎟
y = ⎜⎜
⎝U α ( y ) ⎠
iken
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
⎛ ⎛ R −1 ( x)(− y ( x) '' + Q( x) y ( x) )⎞ ⎛ y ( x) ⎞ ⎞
⎟,⎜
⎟⎟
⎟ ⎜U ( y ) ⎟ ⎟
−
U
(
y
)
α
β
⎝
⎠⎠
⎠
⎝⎝
( Ay, y ) = ⎜⎜ ⎜⎜
b
(
(
)
)
= ∫ R ( x) R −1 ( x) − y ( x) '' + Q ( x) y ( x) , y ( x) dx − (U β ( y ),U α ( y ) )
a
(
= − y ( x) , y ( x)
'
([
− β 1 y (b) − β 2
b
b
) + ∫ (y( x) , y( x) )dx + ∫ (Q( x) y( x), y( x))dx
y (b)], α y (b) )
b
'
a
'
a
a
'
1
(1.2) koşulundan ;
b
(
) (
b
)
= − y ' (b), y (b) + ∫ y ( x) ' , y ( x) ' dx + ∫ (Q( x) y ( x), y ( x) )dx
a
(
− αβ 1 ( y (b), y (b) ) + αβ 2 y (b), y (b)
olur.
b
'
)
a
αβ 1 < 0 , αβ 2 = 1 olduğundan dolayı yukarıdaki ifadeden
b
b
= ∫ y ( x) ' dx + ∫ (Q( x) y ( x), y ( x) )dx −αβ 1 y (b) ≥ ∫ (Q( x) y ( x), y ( x) )dx
2
a
2
a
a
≥ −γ y
γ = max Q( x) . Böylece ( Ay, y ) ≥ −γ ( y, y )
a ≺ x ≤b
operatörünün alttan − γ sayısı ile sınırlı olduğu gösterilmiştir.
bulunur. Burada
( A − λI ) D( A)
L
[a , b ]
2
≥ −γ y
2
H
bulunmuş dolayısıyla A
her yerde yoğundur;
λ , A ’nın
( A − λI ) D( A)
2
alt
sınırı
−γ
’nın kapanışının
⎛ u1 ⎞
⎛ v1 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ u2 ⎟
⎜v ⎟
u=⎜ ⎟ , v=⎜ 2⎟
.
.
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜u ⎟
⎜v ⎟
⎝ n⎠
⎝ n⎠
’dan
bir
( A − λI ) D( A) = H
olmak üzere
⎛ f ( x) ⎞ ⎛ f ( x) ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟ ∈ D ( A)
⎝U α ( f ) ⎠ ⎝ αf (b) ⎠
küçük
⎛u ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ∈ H
⎝v⎠
sayı
olsun.
Bu
durumda
olduğunu gösterilebilir.
sabit tutulmuş herhangi bir eleman olsun.
keyfi eleman iken,
184
reel
F. Aydın Akgün, M. Bayramoğlu
Sigma Vol./Cilt 26 Issue/Sayı 3
⎛
⎞ ⎛u ⎞⎞
(R −1 ( x)T − λ ) f
⎛ f ( x) ⎞ ⎛ u ⎞ ⎞ ⎛⎜ ⎛
⎜ ( A − λI )⎜⎜
⎟
⎟, ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
,
⎟
⎜
⎟
'
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ αf (b) ⎠ ⎝ v ⎠ ⎠ ⎜⎝ ⎝ − (β 1 f (b) − β 2 f (b) ) − λαf (b) ⎠ ⎝ v ⎠ ⎟⎠
⎝
b
(
(
) )
(( (
)
) )
= ∫ R( x) R −1 ( x)T − λ f , u dx + − β1 f (b) − β 2 f ' (b) − λαf (b) , v
a
b
( (
(3.3)
) )
= ∫ ((L − λT ( x) ) f , u )dx + − β 1 f (b) − β 2 f ' (b) + λαf (b) , v = 0
a
eşitliğinin sağlandığını varsayılırsa keyfi
(− (β
1
f ∈ D(T )
iken (3.3) de
f (b) − β 2 f ' (b) + λαf (b) ), v )=0
(3.4)
koşulu sağlandığında
∫ ((L − λT ( x)) f , u )dx = 0
b
(3.5)
a
dır.
(L − λR( x) )D(T ) = L2, R [a, b] olduğundan (3.5) e göre
u ( x) = 0
dır.Bu (3.3) te göz önüne alınırsa
(− (β
1
f (b) − β 2 f ' (b) + λαf (b) ), v )=0
⎛ f ( x) ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ∈ D( A) keyfi eleman olduğundan β 1 f (b) − β 2 f ' (b) + λαf (b) ≠ 0
⎝ αf (b) ⎠
olacak şekilde f ( x ) fonksiyonu vardır. Bundan dolayı (3.4) den v = 0 bulunur. Buradan
dır.
( A − λI ) D( A) = H
λ < −γ
iken
olduğu görülür.
( A − λI )−1
simetrik operatörünün sınırlı, H da her yerde yoğun
(
)−1
kümede tanımlı olduğunu dikkate alınırsa bilinen Rellich Teoremine [5] göre A − λI
operatörünün kapanışı kendine eş operatördür. Bu ise A’ nın kapanışının kendine eş olduğunu
kanıtlar. Yani A esaslı (essential) kendine eş operatördür.
4. ÖZFONKSİYONLARA GÖRE AÇILIM
Önce A’nın kendine eş operatör olduğunu gösterilmelidir. Bunun için [14] çalışmasında olduğu
gibi aşağıdaki şekilde
{
A1 operatörünü tanımlanacaktır.
}
D ( A1 ) = y ∈ D (T ) y ' (b − 0) = 0 iken
her
A1 y = l ( y )
185
∀y ∈ D ( A1 )
için
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
ve
L2, R [a, b]
H ’nın y (b) = 0
uzayı
koşulunu sağlayan elemanlarının oluşturduğu
alt uzay ile özdeşleştirilebilir ve buna göre
L2, R [a, b] = {y ∈ H ; y (b) = 0}
olduğu varsayılacaktır.
l ( y)
oluşturulan
diferansiyel ifadesi ve
y ' (a) = 0 , U β ( y ) = 0
koşullarıyla
T : L2, R [a, b] → L2, R [a, b]
operatörü kendine eş operatördür[14]. T operatörünün spektrumu sadece aşağıdaki forma sahip
özdeğerlerden oluştuğu bilinmektedir.
λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ ... ≤ λn ≤ ...
Bu ise
T ’nin
lim λ n = ∞ .
n→∞
esaslı(essential) spektrumunun yani
σ e ( T )’nin
boş küme olduğunu
gösterir.
A ve T operatörleri A1 operatörünün sonlu boyutlu genişlemeleridir. Yani D( A)
ve D (T ) kümeleri D ( A1 ) modülüne göre sonlu boyutludurlar. Başka bir deyişle M 1 , M 2
sonlu boyutlu alt uzaylar olmak üzere D ( A) ve D (T ) sırasıyla
D( A) = D( A1 ) + M 1
D ( A1 ) ∩ M 1 = D (T ) ∩ M 2 = φ (boş küme)
D(T ) = D( A1 ) + M 2
şeklinde gösterilebilir. Bu durumda aşağıdaki bilinen teorem ifade edilebilir.
TEOREM
Kapalı operatörün her sonlu boyutlu genişletilmesi de kapalı operatördür.
İfade edilen teoreme göre A kapalı operatördür. A’nın kapanışının kendine eş olduğunu
gösterilmişti. Böylece A esaslı(essential) kendine-eştir. Weyl Teoremine [16] göre kapalı
operatörün esas spektrumu ile bu operatörün her sonlu boyutlu genişletilmesinin esas spektrumu
çakışır.
Buna göre
σ e ( A) = σ e (T )
dir. σ e (T ) = φ olduğundan
σ e ( A) = φ
olur.
Esas spektrumu boş küme olan her kendine eş operatörün spektrumu saf
ayrıktır[15].Buna göre alttan sınırlı A operatörünün spektrumu, yığılma noktası sadece artı
sonsuz olan, özdeğerlerden ibarettir. Bu özdeğerleri aşağıdaki şekilde yazılabilir.
µ1 ≤ µ 2 ≤ ... ≤ ... ≤ µ n ≤ ...
186
,
lim µ n = ∞
n →∞
F. Aydın Akgün, M. Bayramoğlu
Sigma Vol./Cilt 26 Issue/Sayı 3
A ’nın
Bu aynı zamanda
üstten sınırsız olduğunu gösterir. µ i
özdeğerlerine karşılık gelen n bileşenli ortanormal özvektörleri
(i = 1,2,..., n..)
⎛ ϕ i1 ( x) ⎞
⎜
⎟
⎜ ϕ i 2 ( x) ⎟
∀ ϕ i ( x) = ⎜
. ⎟
⎜
⎟
⎜ ϕ ( x) ⎟
⎝ in ⎠
ϕ1 ( x), ϕ 2 ( x),..., ϕ n ( x),...
(4.1)
ile gösterilir. Bilinen teoreme göre ([15],[11]) (4.1) vektörler sistemi H uzayının bir bazıdır.
Bununla biz aşağıdaki teoremi ispatlamış oluruz.
Teorem 1:
⎛ f1 ( x) ⎞
⎟
⎜
⎜ f2 (x ⎟
∈H
f ( x) = ⎜
. ⎟
⎟
⎜
⎜ f (x ⎟
⎝ n ⎠
keyfi bir vektör olsun. Bu taktirde
∞
f ( x) = ∑ a k ϕ k
(4.2)
k =1
eşitliği doğrudur. Burada
b
a k = ∫ (R ( x) f ( x), ϕ k ( x) )dx
, k = 1,2,...
a
formülleri ile tanımlanır. (3.2) eşitliğindeki seri
anlamda yakınsar.
b
N
a
k =1
f (x) ’ e µ (x)
ölçümüne göre ortakuadratik
2
lim ∫ f − ∑ a k ϕ k dµ ( x) = 0
N →∞
Bilinenlere dayanarak ([2],[17],[7]) Teorem 1’in özel hali ifade edilebilir.
Teorem 2:
~
u ∈ L2 [a, b] herhangi bir vektör, ϕ k
∞
ise
ϕk
‘nın
[a, b ) ’ye kısıtlaması olsun. Bu taktirde
~
u = ∑ bk ϕ k
(4.3)
n
~ ⎞
⎛ ~
0 = ∑ ⎜ ϕ k ( x), ∑ U α (ϕ ki ) ⎟
k =1 ⎝
i =1
⎠
(4.4)
k =1
∞
187
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
eşitlikleri sağlanır.(4.3) deki
bk
katsayıları;
b
bk = ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx , k = 1,2...
a
formülleri ile tanımlanır.(4.3) serisi
u ( x)' e L2, R [a, b] anlamında yakınsaktır. Ek olarak
2
~ ⎞
⎛ n
⎜ ∑ U α (ϕ ki ) ⎟ = n
∑
k =1 ⎝ i =1
⎠
∞
(4.5)
İspat:
Teoremi ispatlamak için
⎧ u ( x) a ≤ x < b
u=⎨
⎩U α (u ) x = {b}
∞
b
∑ ∫ (u ( x),ϕ
ϕ~
k =1
k
k
ve
( x ) ) dµ ( x )
⎧ R( x)dx a ≤ x < b
⎪∫
µ
=
d
⎨
∫
x = {b}
⎪⎩ 1
serisinin
u (x) ’e , µ (x)
iken
ölçümüne göre ortakuadratik
a
yakınsaması, yani:
b
N
a
k =1
lim ∫ u ( x) − ∑
N →∞
ϕ~
k
2
b
∫ (u( x),ϕ
k
( x) )dµ ( x) dµ ( x) = 0
a
kullanılacaktır. Buradan
2
b
⎧⎪ b
⎫⎪
N
~
lim ⎨∫ u ( x) − ∑ ϕ k ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x) dµ ( x)⎬
N →∞
k =1
a
⎪⎩ a
⎪⎭
2
b
⎧⎪ b
N
N
~
~
= lim ⎨∫ u ( x) − ∑ ϕ k ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx + ∑ ϕ k (U α (u ),U α (ϕ k ) ) dx +
N →∞
k =1
k =1
a
⎪⎩ a
(4.6)
2
b
⎫⎪
~
U α (u ) − ∑ U α (ϕ k ) ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )dµ ( x) ⎬ = 0
k =1
a
⎪⎭
N
olur. u
⎛ u (x) ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎝ 0 ⎠
alınırsa
U α (u ) = 0
olur. Bu durumda (4.6) eşitliğinden
2
b
⎧⎪ b
N
~
lim ⎨ u ( x) − ∑ ϕ k ∫ (R ( x )u ( x), ϕ k ( x ) )dx dx +
N →∞ ∫
k =1
a
⎪⎩ a
elde edilir. Böylece
188
2
b
⎫⎪
~
U α (ϕ k ) ∫ (u ( x ), ϕ k ( x) )dµ ( x ) ⎬ = 0
∑
k =1
a
⎪⎭
N
F. Aydın Akgün, M. Bayramoğlu
N
lim u ( x) − ∑
N →∞
k =1
ϕ~
k
Sigma Vol./Cilt 26 Issue/Sayı 3
b
∫ (R( x)u( x),ϕ
k
( x) )dx
u ( x) = ∑ ϕ~k ∫ (R ( x)u ( x), ϕ k ( x) )dx
k =1
=0
→
a
b
∞
2
a
ve
∞
b
k =1
a
0 = ∑ U α (ϕ~k ) ∫ (u ( x), ϕ k ( x) )d ( x)
bulunmuş olur . Böylece (4.3) gösterilmiştir.
(4.6) da
⎧⎪ b
lim ⎨∫
N →∞
⎪⎩ a
⎛ u ( x) ⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
u ( x) = ⎜⎜
⎝U α (u ) ⎠ ⎝ 1 ⎠
alınırsa (4.6) eşitliği aşağıdaki gibidir.
2
2
N
⎫⎪
~
~
ϕ k (1,U α (ϕ k ) ) dx + 1 − ∑ U α (ϕ k )(1, U α (ϕ k ) ) ⎬ = 0
∑
k =1
k =1
⎪⎭
N
(4.7)
Buradan
∑ ϕ~k ( x)(1,U α (ϕ k )) = 0
⎛
∞
∞
veya
k =1
n
⎞
∑ ϕ~k ( x)⎜ ∑U α (ϕ ki ) ⎟ = 0
⎝ i =1
k =1
⎠
ve
∞
∑U α (ϕ~ )(1,U α (ϕ )) = 1
k =1
k
k
(yani (4.5) eşitliği)
bulunur. (Burada 1:n boyutlu birim vektördür)
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎜0⎟
Özel olarak 1 birim vektörünü 1 = ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜.⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
şeklinde alınırsa bu durumda
(4.4) eşitliği
∞
∑ ϕ~ (U α (ϕ )) = 0
k =1
k
k1
ve (4.5) eşitliği
n
~ )⎛⎜ U (ϕ ) ⎞⎟ = n
U
(
ϕ
∑
α
k1 ⎜ ∑ α
kj ⎟
k =1
⎠
⎝ j =1
∞
şeklinde yazılabilir.
189
(yani (4.4) eşitliği)
On a Boundary Value Problem with Matrix Coefficient …
KAYNAKLAR
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
Poisson S.D., Memoire sur la Maniere d’exprimer hes Fonctions par des Series de
Quantites Periodiques, estur I’usage de cette , Transformation dans La Resolution de
Differens Problems, Journal de I’Ecole Polytechnique, Cah. 18(1820), pp.417-489.
Friedman B., Principles and Techniques of Applied Mathematics, John Wiley & Sons,
London, 1956.
Tychonov A.N. and Samarskii I. I., Equations of Mathematical Physics,New York,1956.
Glazman I.M., Direct Methods of Qualitative Spactrum Analysis of Singular Differential
Operators, Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem, 1965
Hellwig G., Differential Operators of Mathematical Physics, London, 1967.
Naimark M.A.,Linear Differential Operators ,George G.Harrap&Company,LTD, London,
1968.
Walter J.,Regular Eigenvalue Problems with Eigenvalue Parameter in the Boundary
Condition, Math.Z.133, Page: 301-312, 1973.
Russakovskii E.M., Operator Treatment of Boundary Value Problems with Spectral
Parameters Entering via Polynomials in the Boundary Conditions, Functional Analysis
Applications 9 (1975), 358-359.
Fulton C.T., Two-Point Boundary Value Problems with Eigenparameter Contained in the
Boundary Conditions, Proc. R. Soc. Edinburg A77 (1977), 293-308.
Fulton C.T., Singular Eigenvalue Problems with Eigenvalue-parameter Contained in the
Boundary Conditions, Proc. R. Soc. Edinburg A87 (1980), 1-34.
Kato T.,Perturbation Theory for Linear Operators, Springer Verlag, Berlin, New-York,
1980.
Weidmann J., (1980), Linear Operators in Hilbert Spaces, Graduate Texts in Mathematics,
Vol.68, Springer Verlag, New York.
Shkalikov A.A., Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations with
Parameter in the Boundary Conditions, J. Soviet Math. 33 (1986) 1311-1342.
Weidmann J., (1987), Spectral Theory of Ordinary Differential Operator, Springer Verlag,
London.
Akhiezer N.I.,Glazman I.M., Theory of Linear Operators in Hilbert Space, Dover
Publications, INC, New York, (1987).
Birman M.S. and Solonyak M.Z., Spectral Theory of Self Adjoint Operators, DRedidel
Published co Drdrecht, 1987.
Hochstad H., Integral Equations, John Wiley & Sons, New York, 1989.
Binding P.A., Browne P.J., Seddighi K., Sturm-Liouville Problems with Eigenparameter
Dependent Boundary Conditions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 37 (1993),57-72.
Russakovskii E.M., (1996), The Matrix Sturm-Liouville Problem with Spectral Parameter
in the Boundary Conditions, Algebric and Operator Aspectors, Trans. Moscow. Math.
Soc., 159-184.
Amara J.B., Fourth Order Spectral Problem with Eigenvalue in the Boundary Conditions,
Functional Analysis and its Applications, 2004.
Binding P.A., Browne P.J and Watson B.A., Equivalence of Inverse Sturm-Liouville
Problems with Boundary Conditions Rationally Dependent on the Eigenparameter, J.
Math. Analysis Applic. 291(2004), 246-261.
Binding P.A., Browne P.J and Watson B.A., Sturm-Liouville Problems with Reducible
Boundary Conditions, Proceedings of the Edinburg Mathematical Society, (2006) 49,
593-608.
190