6. bölüm - akademi vizyon

MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
Permütasyon – Kombinasyon
Binom - Olasılık
6.
BÖLÜM
TEMEL SAYMA KURALLARI
alınarak oluşturulan birbirinden farklı sıralı n lilerin sayısı,
1. TOPLAM A YOLUYLA SAYM A
k1 . k2 . k3 ………..kn tanedir.
A ve B kümeleri sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere
Yani n tane işin sıralı gerçekleşmesi için k1. k2…….kn
AB nin eleman sayısı s(AB) = s(A) + s(B) dir. İki
tane farklı yol vardır.
kümenin birleşimlerinin eleman sayısını bu yolla bulmaya toplama yoluyla sayma denir.
ÖRNEK
Farklı renkte 5 gömleği ve 7 kravatı olan bir kişi 1
ÖRNEK
gömlek ve 1 kravatı kaç farklı yolla seçebilir?
Bir torbada 5 sarı, 7 lacivert top vardır. Bu torbadan
bir sarı veya bir lacivert top kaç yolla alınabilir?
A) 12
B) 35
C) 45
D) 70
E) 140
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
5 sarı top içerisinden 1 sarı top 5 yolla, 7 lacivert top
Gömleklerin kümesi G = {g1, g2, g3, g4, g5,} kravatların
içerisinden 1 lacivert top 7 yolla alınabilir.
kümesi K = {k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7}
O halde 5 + 7 = 12 yolla alınabilir.
s(G x K) = s(G). s(K) = 5.7= 35
değişik yolla seçme işlemi yapılabilir.
Cevap B’dir.
2. ÇARPM A YOLUYLA SAYM A:
İkişer ikişer ayrık ve her biri sonlu olan a elemanlı b tane
ÖRNEK
kümenin eleman sayısı a. b dir.
Bu kümelerin birleşiminin eleman sayısını bu yolla bul-
3 kişi 5 sandalyeye kaç değişik biçimde oturabilir?
maya çarpma yoluyla sayma denir.
A) 8
B) 15
C) 60
D) 90
E) 120
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Bir kolinin içinde 10 tane kutu ve her bir kutunun
Birinci kişi 5 sandalyeden birine, ikincisi kalan 4 sandal-
içinde 12 tane kalem olduğuna göre kolinin içinde
yeden birine, üçüncüsü ise 3 sandalyeden birine otura-
kaç kalem vardır?
bilir. O halde 3 kişi 5 sandalyeye
5.4.3 = 60 değişik şekilde oturabilir.
A) 10
B) 20
C) 40
D) 60
E) 120
Cevap C’dir.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
10 kişiden oluşan bir şirketin yönetim kuruluna bir
Her kutuda 12 kalem olduğundan toplam 10 .12 = 120
başkan bir de başkan yardımcısı kaç değişik şekilde
kalem vardır.
seçilebilir?
Cevap E’dir.
A) 10
3. SAYM ANI N TEM EL İ LKESİ
B) 20
C) 40
D) 70
E) 90
ÇÖZÜM
S(A1)=k1, s(A2) = k2, …….., s(An) = k n elemanlı sonlu
10 kişiden biri başkan seçilir. Kalan 9 kişiden biride
kümeler olsun. Bu kümelerden birinci elemanı A1 den,
başkan yardımcısı seçilir.
ikinci elemanı A2 den ve n inci elemanı An kümesinden
10 9 = 90 değişik biçimde seçim yapılır.
Cevap E’dir.
www.akademivizyon.com.tr
1
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
ÖRNEK
e) İçerisinde e nin bulunmadığı sözcüklerin sayısı
10 soruluk bir testte her sorunun 4 seçeneği vardır.
4 3
Bu testin cevap anahtarı kaç değişik şekilde hazırla-
İçerisinde b nin bulunmadığı sözcüklerin sayısı
nabilir?
A) 410
B) 45
C) 44
D) 40
2 = 24
3 2
E) 10
1 =6
24 – 6 = 18  b nin bulunup e nin bulunmadığı
sözcüklerin sayısı
ÇÖZÜM
Her soru için 4 seçenek vardır.
ÖRNEK
10
 
4  4
 
4    
4  4
0, 1, 2, 4, 5, 7 rakamları kullanılarak
10 tan e
Cevap A’dır.
a) 3 basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
b) 3 basamaklı, rakamları farklı, kaç çift sayı yazılabilir?
ÖRNEK
c) 3 basamaklı 400 den büyük, rakamları farklı kaç
A = {a, b, c, d, e}
sayı yazılabilir?
kümesinin elemanları ile anlamlı veya anlamsız,
d) 4 basamaklı rakamları farklı 2000 ile 7000 arasında
A) 3 harfli
kaç sayı yazılabilir?
B) 3 harfli, harfleri birbirinden farklı
C) Sesli bir harf ile başlayıp, sessizle biten, 3 harfli,
ÇÖZÜM
harfleri birbirinden farklı
a)
D) 4 harfli a ile başlayan
5 6
6 =180
(Her kutu bir basamağı göstermektedir. Birler basamağı
hariç her basamağa 6 rakam gelebilir.)
E) 3 harfli içerisinde b nin bulunup e nin bulunmadığı
harfleri farklı kaç sözcük yazılabilir?
b) Sayının çift olması için birler basamağı çift sayı
olmalıdır. Bu durumda birler basamağına 0, 2, 4 ra-
ÇÖZÜM
kamları gelebilir.
a) Birinci kutuya beş harf, ikinciye beş harf ve üçüncü-
Birler basamağına 0 gelirse
ye beş harf yazılabilir.
1. 2. 3.
5 5 5 = 125 sözcük yazılabilir.
5 4
1 = 20
(0)
Birler basamağına 2, 4 gelirse
4 4
b) Birinci kutuya 5 harf, ikincisine kalan 4 harf, üçüncü-
(2,4)
ye de geriye kalan 3 harf gelebilir.
5 4
3
2 = 32
c) Sayının 400 den büyük olabilmesi için yüzler basa-
= 60 sözcük yazılabilir.
mağına 4, 5, 7 sayılarından biri gelebilir.
3 5
c) Kelime sesli harf ile başlayacağından 1. kutuya a
veya e den birisi, Sessizle biteceğinden 3. kutuya b,
d) Sayının 2000 den büyük 7000 den küçük olması için
c, d den birisi, 1. kutuya 1 harf 3. kutuya 1 harf seçi-
binler basamağı 2, 4, 5 sayılarından biri olabilir.
leceğinden 2. kutuya geriye kalan 3 harften biri yazı-
3 5
lır.
2 3
4 = 60
(4,5,7)
4 3 = 180
(2,4,5)
3 = 18
PERMÜTASYON (SIRALAMA):
r, n  N+ ve i  n olmak üzere n elemanlı bir A kümesi-
d) Birinci kutuda kesinlikle a harfi vardır. Diğer kutulara
nin birbirinden farklı r elemanlı her sıralı r lisine, A kü-
ise 5 harften biri gelir.
1 5
a
mesinin r li permütasyonu denir.
5 5 = 15
MAT EMAT İK-2 K ONU ANL ATIM LI SORU B AN KA SI
r
P(n, r) veya Pn ile gösterilir.
2
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
P(n,r) 
www.akademivizyon.com.tr
ÇÖZÜM
n!
(n  r)!
MMM TTT
veya
P(5,3) P(3,3)
TTT MMM
P(3,3) P(5,3)
Buna göre,
2! . P(5,3) . P(3, 3) = 2. 3. 4. 5. 6 = 720
P(n, n) = n!
Farklı dizilişler permütasyonla çözülebilir.
ÖRNEK
Permütasyonla çözülen her soru saymanın
temel ilkesi ile de çözülebilir.
6 hemşire ile 4 doktor bir sırada oturacaklardır.
a) Kaç farklı şekilde oturabileceklerini
b) Doktorlar yanyana ve hemşirelerde yan yana olmak
ÖRNEK
şartıyla kaç farklı şekilde oturabileceklerini,
A {1, 3, 5, 7, 9}
c) Hemşireler yanyana ve kenarlara birer doktor gele
kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı
cek şekilde kaç farklı şekilde oturabileceklerini bula
rakamları farklı kaç sayı yazılabilir?
lım.
A) 5
B) 25
C) 50
D) 120
E) 125
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
a) 10 kişi bir sıraya P(10 , 10) = 10! şekilde oturabilir.
6!
P(6,3) =
 120 tanedir
(6  3)!
b) Doktorlar kendi aralarında P(4, 4) = 4! ve hemşireler
kendi aralarında P(6,6) = 6! şekilde sıralanır.
Cevap D’dir.
O halde,
4! . 6!. 2! şekilde oturabilirler.
ÖRNEK
c) 4 doktordan ikisi kenarlara P(4,2) si şeklinde sırala
nabilir. Hemşireler yan yana oturacağında 1 eleman
20.(n,3) = P(n.5)
olarak düşünülürse geriye kalan 2 doktorla birlikte 3
eşitliğini sağlayan n kaçtır?
elaman P(3, 3) = 3!, hemşirelerde kendi aralarında
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
P(6, 6) = 6! şeklinde sıralanabilir.
Buna göre,
ÇÖZÜM
P(4, 2). 3! .6! = 51840 farklı şekilde oturabilirler.
20. P(n.3) = P(n.5)
 20 
n!
n!

(n  3)! (n  5)!
TEKRARLI PERM ÜTASYON
n1 tanesi birinci cinsten , n2 tanesi ikinci cinsten, n3
tanesi üçüncü cinsten, ……nr tanesi r inci cinsten olsun.
 20.(n  5)!  (n  3)!
n1 + n2 + n3 + ….+nr = n olmak üzere bu n elemanın
 20.(n-5)! = (n – 3). (n – 4). (n – 5)!
dizilişlerinin sayısı,
n!
dir.
n1! n2 ! n3 !  nr !
 20 = n2 – 7 n + 12
 n2 – 7n – 8 = 0
 n = 8 olur
Cevap D’dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
KELEK kelimesindeki harfler ile 5 harfli
5 farklı matematik ve 3 farklı türkçe kitabı bir rafa yan
yana dizilecektir.
Matematik kitaplarının 3 ü ve türkçe kitaplarının
tamamı aynı dersin kitapları bir arada olmak şartıyla
kaç farklı şekilde dizilebilir?
a) Anlamlı veya anlamsız kaç sözcük yazılabileceğini
b) K ile başlayıp E ile biten kaç sözcük yazılabileceğini
bulalım.
ÇÖZÜM
www.akademivizyon.com.tr
3
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
MATEMATİK
a)
www.akademivizyon.com.tr
5!
 30 kelime yazılabilir.
2! 2! 1!
n tane elamanın, bir çember etrafındaki sıralanışlarının
her birine n elemanın dairesel permütasyonu denir.
b) K ile başlayıp E ile biteceğine göre geriye kalan L ,
n elemanın dairesel permütasyonu (n–1)! olur.
E, K bu harflerin arasına sıralanacaktır. Bu üç harfin
sıralanışlarının sayısı,
ÖRNEK
3!
 6 dır.
1! 1! 1!
3 fizik, 2 kimya, 1 biyoloji öğretmeni bir yuvarlak masa
etrafında oturacaktır.
a) Kaç farklı şekilde oturabilirler?
b) Kimyacılar ayrılmamak şartıyla kaç farklı şekilde
oturabilirler?
ÖRNEK
1100444 sayısının rakamları ile 7 basamaklı
ÇÖZÜM
a) Kaç sayı yazılabileceğini,
b) Kaç çift sayı yazılabileceğini bulalım.
a) (6 – 1)! = 5! = 120 farklı şeklide oturabilirler.
b) Kimyacılar biri kişi gibi düşünülürse toplam 5 kişi
olur.
ÇÖZÜM
a)
7!
 210
2! 2! 3!
5 kişi yuvarlak masa etrafında 4! şekilde oturur. Kimyaşekilde sıralanır. Bu sıralanışlar
cılar kendi arasında 2! şekilde oturabilirler. Buna göre
bu öğretmenler 4! . 2! = 48 farklı şekilde otururlar.
içerisinde 0 ile başlayanların sayısını bulalım. 0’ın
sağına geriye kalan 1,1,0,4,4,4 sıralanacaktır.
6!
Buda
 60 dır.
2! 1! 3!
n tane farklı anahtar maskotsuz yuvarlak bir
(n  1)!
anahtarlığa
, maskotlu yuvarlak bir
2
n!
anahtarlığa
şekilde sıralanabilir.
2
Buna göre 210 – 60 = 150 dir.
b) Önce 0 ile biten çift sayıların kaç tane olduğunu
bulalım. 0 ın önüne 1,1,0,4,4,4 sayıları dizilir.
Buna göre
ÖRNEK
6!
 60 tanedir.
3! 2! 1!
7 tane boncuk bir kolyeye kaç değişik biçimde sıra-
0 ile başlayıp 0 ile biten sıralanışların sayısını bulmak
lanabilir?
için iki sıfırın arasına geriye kalan 1, 1, 4, 4, 4 sıralanacaktır.
5!
 10 tanedir.
3! 2!
ÇÖZÜM
Buna göre; 60 – 10 = 50 tane 0 ile biten çift sayı vardır.
çeşitleri oluşur. Bu nedenle (n –1)! in yarısını bulmalıyız.
Şimdide 4 ile biten çift sayıları bulalım 4 ün önüne
(7  1)! 6!

 360
2
2
Burada kolyeyi ters çevirirsek aynı sıralamaların başka
1,1,0,0,4,4 sıralanır.
6!
 90 tanedir.
2! 2! 2!
ÖRNEK
0 ile başlayıp 4 ile biten sayıların sayısını bulalım. 0 ile 4
ün arasında 0,1,1,4,4 sıralanır.
5!
 30 tane
2! 2! 1!
7 anahtar maskotlu bir anahtarlığa kaç farklı biçimde
Buna göre 90 – 30 = 60 tane 4 ile biten çift sayı vardır.
ÇÖZÜM
Toplamda 50 + 60 = 110 tane çift sayı yazılabilir.
7!
 2520dir
2
takılabilir?
DÖNEL (DAİ RE SEL) PERM ÜTASYON
MAT EMAT İK-2 K ONU ANL ATIM LI SORU B AN KA SI
4
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
KOMB İN ASY ON (G RUPL AMA)
ÇÖZÜM
n, r  N ve 0  r  n olmak üzere n elemanlı A kümesi-
C(0,0) + C(6,3) = 3C(m, m–1)
6!
1
 3m  1  20  3m
3! 3!
 m  7dir
nin r elemanlı alt kümelerinden herbirine bu n elemanın

r li kombinasyonu denir. C(n,r), nr , Crn , K(n, r) sem-
Cevap D’dir.
bolleriyle gösterilebilir.
BİNOM AÇILIMI
nr   (n n!r)! r! dir.
a ve b karmaşık sayılar ve n  N olmak üzere,
(a  b)n  (n0 )  an  b0  (1n )  an1  b1  (n2 )  an2  b 2  ..... 
Kombinasyonda sıranın önemi yoktur. Kombinasyon alt küme olduğundan küme içerisinde
sıranın değişmesi kümeyi değiştirmez.
açılımına Binom açılımı (Binom formülü) denir.
Kombinasyonda seçim söz konusudur.

(nr )  anr  br      (nn )  a0  bn
(a  b)n binom açılımında katsayılar toplamını bulmak için a = b = 1 alınır.
n
n
n
(1  1)n  (n
0 )  (1 )      (n )  2
ÖRNEK
nr  br
(a  b)n açılımından baştan (r+1). terim (n
r )a

8 elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin
sayısı kaçtır?
dır.
n
n1 k
a
k 1
 bn1k dır.
Sondan k ıncı terim,

(a  b)2n açılımında ortadaki terim,

(a  b)n açılımında baştan ve sondan eşit uzaklıkta
ÇÖZÜM
8!
8!
8 

 56 dır.
5
  (8  5)! 5! 3! 5!


 a
2n
n
n
 bn dir.
ki terimlerin katsayıları eşittir.
KOM Bİ NASYONLA İ LGİ Lİ ÖZELLİ KLER
ÖRNEK
1.
     yani,
   xyn
n
r
n
n r
n
x
n
y
(3x – 2)6 ifadesi açıldığında x3 lü terimin katsayısı ne
olur?
veya x  y dir.
2.
A) –420
D) –4320
      1ve
      n dir
n
0
n
n
n
1
n
n 1
(3x – 2)6 açılımında (r +1). terim x3 lü terim olsun
   (3x)
3.
    
4.
               2
n
0
n
r 1
n
1
n1
r
n
2
C) –2080
ÇÖZÜM
6
r
n
r
B) –1040
E) –5060
6 r
 ( 2)r
x3 lü terim sorulduğuna göre
n
n
x 6 r  x 3  6  r  3
r  3 tür
n

ÖRNEK
   (3x)
6
3
3
 ( 2)3  20  27  x 3  ( 8)
 –4320x3
Cevap D’dir.
n elemanlı bir kümenin r – li bütün kombinasyonlarının sayısı C(n, r) ile gösterildiğine göre,
ÖRNEK
C(0,0)+C(6,3) = 3 C(m,m–1)
(5x - 4y)58 in açılımındaki katsayılar toplamı nedir?
eşitliğinde m kaç olmalıdır?
A) 4
B) 5
C) 6
www.akademivizyon.com.tr
D) 7
E) 8
A) –2
5
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
ÇÖZÜM
P: S  [0, 1] biçiminde tanımlanan ve aşağıdaki aksi-
x = y = 1 yazarsak
58
(5  4)
58
1
yomları sağlayan P fonksiyonuna S üzerinde olasılık
fonksiyonu denir.
 1dir
A  S ise P(A) reel sayısına A olayının olasılığı denir.
Cevap D’dir.
OLASILIK ( İHTİMAL HESABI)
1.
ÖRNEK UZAY:
2. P(E) = 1 (Kesin olay)
Bir deneyin mümkün olan tüm sonuçlarının kümesine
3. A, B S ve A  B =  ise P(A  B ) = P(A) + P(B)
örnek uzay denir. E ile gösterilir.
 A  S için 0  P(A)  1
dir.
Örnek uzayın herhangi bir elemanınada örnek nokta
denir.
ÖRNEK
ÖRNEK
2 madeni para atıldığında birinin yazı birinin tura
gelme olasılığı kaçtır?
Bir madeni para atıldığında örnek uzay,
E1 = {Y, T}
A)
iki madeni para atıldığında
E2 = {(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}
1
6
B)
1
5
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
ÇÖZÜM
üç madeni para atıldığında
E = {(Y,Y), (Y,T), (T,Y), (T,T)}
E3 = {(YYY), (YYT), (YTY), (YTT), (TYY), (TYT), (TTY),
A = {(Y, T), (T, Y)}
(TTT)} dir.
olduğuna göre P(A) 
Buna göre n tane madeni para atıldığında örnek uzay
2  2  2   2  2n
P(A) 
n tan e
A ya uygun durum
Tüm durumlar
2 1
 dir.
4 2
n tan zarın havaya atılması durumunda ise
Cevap E’dir.
6  6  6  6    6  6n dir.
TEOREM :
n tan e
A ve B, E örnek uzayında iki olay olup, P olasılık fonksi-
OLAY:
yonu olmak üzere,
1) P(A) + P(A )  1
Örnek uzayın alt kümelerinden her birine olay denir.
Boş kümeye imkansız olay, E örnek uzayına da kesin
2) P ( ) = 0
olay denir.
3) A  B  P(A)  P(B)
Bir örnek uzaya ait iki olayın kesişimi boş küme ise bu
4) P(AB)=P(A) + P(B) – P(A B) dir.
olaylar ayrık olaydır.
ÖRNEK
ÖRNEK
5 kız ve 4 erkek arasından seçilen 3 kişiden 2’sinin
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun,
2
2
P(A)  , P(B) 
8
4
kız 1 inin erkek olma olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 10
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
P(A  B) 
1
3
ÇÖZÜM
olduğuna göre P(A  B) kaçtır?
5 kızdan 2 si, 4 erkekten 1 i seçileceğinden,
5!
5
4
 4  40tır.
2  1 
3! 2!
A)
  
Cevap C’dir.
B)
1
8
C)
1
10
D)
1
12
E)
1
14
ÇÖZÜM
P(A   B)  P(A  B)  P(A)
1 2 2
1
 P(A   B)   

3 8 24 12
OLASI LI K FONKSİ YONU
Bir E örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu
küme S olsun
MAT EMAT İK-2 K ONU ANL ATIM LI SORU B AN KA SI
1
6
Cevap D’dir.
6
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
EŞ OLUM LU ÖRNEK UZAY:
ÇÖZÜM
Bir deneyde tüm çıktıların olasılıkları birbirine eşit ise bu
Rastgele çekilen bilyeler B S S, S B S, SSB gibi üç
şekildeki örnek uzaylara eş olumlu örnek uzay denir.
değişik durumda çekilebilir. Buna göre bir olay için bulunan olasılık 3 ile çarpılır.
s(A) istenen durumların sayısı
P(A) 

s(E)
Tüm durumların sayısı
Bu durumda
6 4 3
3
  3 
olur.
10 9 8
10
Cevap A’dır.
KOŞULLU (ŞARTLI ) OLASI LI K:
A
ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının
ÖRNEK
gerçekleşmesi durumunda A olayının gerçekleşmesi
olasılığı P(A/B) ile gösterilir
Bir madeni para ile bir zar birlikte havaya atılıyor.
Paranın yazı veya zarın üst yüzüne 4 ten büyük bir
P(A  B)
P(A /B) 
dir.
P(B)
sayının gelmesi olasılığı kaçtır?
A)
BAĞIM SI Z OLAY:
İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
ÇÖZÜM
durumu diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa
1
2
bu olaylara bağımsız olaylar denir.
Paranın yazı gelmesi olasılığı P(Y) 
P(A  B)  P(A)  P(B)
Zarın üst yüzüne 4 ten büyük 5 ve 6 gelebilir.
2 1
P(B)  
6 3
ÖRNEK
2
5
1992 – ÖYS
 P(YB) = P(Y) + P(B) – P(YB)
Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye vardır.
Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin beyaz öbürünün
Y ve B olayları bağımsız olay olduğundan,
siyah olma olasılığı kaçtır?
P(YB) =P(Y) + P(B) – P(Y) . P(B)
A)
1
6
B)
1
11
C)
2
11
D)
4
33
E)
5
33
=
1 1 1 1 2
    tür.
2 3 2 3 3
Cevap D’dir.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
İlk çekilen bilyenin beyaz, ikincisinin siyah olma olasılığı,
2 4
2
 
12 11 33
20 kişilik bir sınıfta 12 kişi gözlüklü, 8 kişide gözlüksüz1
dür. Gözlüklü öğrencilerin yarısı, gözlüksüzlerin
ü
4
İlk çekilen bilyenin siyah, ikincisinin beyaz olma olasılığı,
mavi gözlüdür.
4 2
2
 
12 11 33
Bu sınıftan seçilen bir öğrencinin gözlüksüz veya
mavi gözlü olması olasılığı kaçtır?
2
2
4



33 33 33
A)
Cevap D’dir.
ÖRNEK
7
10
C)
8
10
D)
9
10
E) 1
Gözlüksüz olma olayı A ise s(A) = 8, mavi gözlü olma
olayı B ise, s(B) = 6 +2 = 8
 P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) =
8
8
2
7


=
olur.
20 20 20 10
Cevap B’dir.
Bu torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden birinin beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır?
3
10
B)
ÇÖZÜM
Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır.
A)
6
10
B)
3
19
C)
www.akademivizyon.com.tr
4
15
D)
5
14
E)
5
13
7
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
6.
ÇÖZÜMLÜ TEST
A) 18
(n  1)! (n  1)!

(n  1)!
n!
1.
3’ü gözlüklü 6 kişi bir sıraya oturacaktır.
Sıranın kenarlarına gözlüklüler oturmak şartıyla kaç farklı şekilde oturabilirler?
B) 36
C) 60
D) 72
E) 144
işleminin sonucu nedir?
A) n2 + n
D)
B) 
1
n
E)
1
n1
C) n – 1
n
n 1
7.
2.C(n, 2) + C(5, 2) = P(n + 1, 2)
eşitliğindeki n’ nin değeri nedir?
A) 2
2.
B) 15
C) 20
D) 30
E) 10
B) 48
C) 72
D) 80
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları kullanılarak 4’lük
tabanda, 3 basamaklı ve rakamları farklı kaç
sayı yazılabilir?
B) 18
C) 54
D) 180
B) 1260 C) 720
D) 180
C) 560
D) 720
E) 840
10 kişilik bir gruptan 6’sı İstanbul’a, 4’ü Mersin’e
gidecektir.
Bu gruplar kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
A) 420
B) 360
C) 300
D) 210
E) 180
E) 210
10. Bir okulda 7 dersten 2’ si aynı saatte verilmektedir.
“KARABÜK” sözcüğündeki harfleri kullanarak
anlamlı anlamsız kaç tane “KA” harfleri ile başlayan 7 harfli kelime yazılabilir?
A) 7!
B) 400
E) 120
9.
A) 12
8 
 8 

C   C
n 
n  6
olduğuna göre, P(n, 4) ifadesinin değeri nedir?
A) 200
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamlarını kullanarak 4
basamaklı rakamları farklı 10 ile bölünebilen
3400 den büyük kaç sayı yazılabilir?
A) 36
5.
D) 8
E) 60
8.
4.
C) 5
Üç atıcı 5 farklı silahla kaç değişik antrenman
müsabakası yapabilir?
A) 5
3.
B) 4
Bu derslerden 3 tanesini seçmek isteyen bir
kimse kaç farklı şekilde seçebilir?
E) 120
MAT EMAT İK-2 K ONU ANL ATIM LI SORU B AN KA SI
A) 35
8
B) 30
C) 25
D) 20
E) 15
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
11.
A)
1
2
www.akademivizyon.com.tr
İki madeni para ile bir zar birlikte havaya atılı
15.
İki torbadan birincisinde 4 kırımızı, 5 beyaz,
yor.
ikicisinde ise 3 kırmızı, 2 beyaz top vardır. Torbalardan
Paraların aynı ve zarın tek sayı gelmesi ola
biri rasgele seçiliyor ve seçilen torbadan bir top çekiliyor.
sılığı nedir?
Çekilen topun beyaz olma olasılığı nedir?
B)
1
3
C)
1
4
D)
2
3
E)
3
4
A)
4
9
16.
B)
41
90
C)
7
15
D)
43
90
E)
22
45
İki torbanın birincisinde 6 siyah, 4 kırmızı,
ikincisinde ise 3 siyah, 4 kırmızı bilye vardır. Torbanın
birincisinden bir bilye çekilip, ikincisine atılıyor. Sonra
ikinci torbadan bir bilye alınıyor.
12.
Tayga’nın matematik sınavından başarılı olma
3
6
olasılığı , Berkin’in başarılı olma olasılığı ise
dir.
4
7
Bu bilyenin siyah olma olasılığı nedir?
A)
Tayga’nın matematik sınavında başarısız, Berkin’in
ise başarılı olma olasılığı nedir?
A)
2
7
13.
B)
3
7
C)
3
14
D)
5
14
E)
9
20
B)
1
2
C)
11
20
3
5
E)
13
20
9
14
Ali, Mete ve Sami isimli üç kişi bir soru çöze-
ceklerdir. Soruyu tek başlarına çözme olasılıkları sıra1 2
2
sıyla
,
ve
dir.
2 3
5
17.
Üçünün birlikte bu soruyu çözme olasılığı kaçtır?
voleybol oynayanlar 13 kişidir.
A)
D)
1
10
B)
3
10
C)
3
5
D)
4
5
E)
Bu takımdan rasgele seçilen bir kişinin yalnız futbol
9
10
veya yalnız voleybol oynama olasılığı kaçtır?
A)
14.
B)
14
25
C)
18
25
D)
19
25
E)
21
25
“KIVIRCIK” kelimesindeki harfler ile anlamlı
ya da anlamsız 8 harfli kelimeler kartlara yazılarak bir
kutuya atılıyor.
Bu torbadan yerine konulmamak koşulu ile ard arda iki
Bu kutudan rasgele çekilen bir karttaki kelimenin “C”
bilye çekiliyor.
İkisinin de mavi olma olasılığı
ile başlayıp “K” ile bitme olasılığı kaçtır?
2
ise ilk durumda
5
A)
torbada kaç bilye vardır?
B) 6
12
25
18.
Mavi ve sarı bilyelerin bulunduğu bir torbada,
mavi bilyelerinin sayısı sarı bilyelerin sayısının 2 katıdır.
A) 5
Futbol ve voleybol oyunlarından en az birini
oynayan 25 kişilik bir takımda futbol oynayanlar 18 kişi,
C) 7
www.akademivizyon.com.tr
D) 8
1
28
B)
3
28
C)
1
7
D)
3
14
E)
1
4
E) 9
9
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
6.
ÇÖZÜMLER
1.
(n  1)! (n  1)!
(n  1)!
(n  1)!



(n  1)!
n!
(n  1) .n.(n  1)! n . (n  1)!
 3
3 gözlüklüden 2 si kenarlara    2! ve geriye
 2
kalan 4 kişi 4! farklı şekilde oturacaklarından;
3 
   2! . 4!  3 . 2 . 24  144 farklı şekilde otururlar.
 2
Cevap E’dir.
1
1
1 n  1
n
1




n . (n  1)
n
n . (n  1) n. (n  1)
n 1
( n  1)
bulunur.
Cevap B’dir.
7.
2.C(n,2) + C(5,2) = P(n + 1, 2)
n. (n  1) 5 . 4

 (n  1) . n
2!
2!
 n . (n – 1) + 10 = n . (n + 1)
 n2 – n + 10 = n2 + n  2n = 10  n = 5 bulunur.
Cevap C’dir.
 2
2.
3.
Üç atıcı 5 farklı silahla atış müsabakasını,
1. atıcı için 5 farklı seçenek
2. atıcı için 4 farklı seçenek ve
3. atıcı için 3 farklı seçenek olacağından, üç atıcı
müsabakayı 5 . 4 . 3 = 60 değişik şekilde yapabilirler.
Cevap E’dir.
8.
 n = 7 bulunur.
P(n,4) = P(7,4) = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 bulunur.
Cevap E’dir.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları kullanılarak, 4 basamaklı, 3400 den büyük rakamları farlı 10 ile bölünebilen sayıları bulunurken önce 3400 ile 4000 arasındaki sayıları ve sonra 4000 de büyük olan
sayıları bulmalıyız.
3400 – 4000 arasındaki sayılar:
1
3
4
1
{3} {4,5,6}
9.
= 1 . 3 . 4 . 1 = 12 tanedir.
3
5
4
1
= 3 . 5 . 4 . 1 = 60 tanedir.
{0}
10   4  10 
10 . 9 . 8 . 7
         1 
 210 farklı şekilde
6
4
4
4 . 3 . 2 .1
     
gidebilirler.
Cevap D’dir.
Öyleyse 3400 den büyük, rakamları farklı
60 + 12 = 72 tane sayı yazılabilir.
Cevap C’dir.
4.
(a, b, c)4  0 < a < 4, 0  b, c < 4 olmalı
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} rakamları kullanılarak 4 lük
tabanda 3 basamaklı sayı yazılabilmesi için rakamların {0, 1, 2, 3} olması gerekir.
3
3 2

4
10 
10 kişilik bir gruptan 6 sı İstanbul’a   farklı
6
 4
şekilde ve geriye kalan 4 kişiden 4 ü Mersin’e  
 4
farklı şekilde giderler. Öyleyse 6 kişi İstanbul’a ve
4 kişi Mersin’e
{0}
4000 den büyük sayılar;
{4,5,6}
8 
 8 
  n + n – 6 = 8  2n = 14
C   C
n 
n  6 
10. 7 dersten 2 si aynı saatte verildiğine göre, aynı
saatin dersleri A1, A2, diğer dersler B, C, D, E, F
 2
olsun. Aynı saatte verilen 2 dersten 1 i   ve 5
1 
= 3 . 3 . 2 = 18 sayı yazılabilir.
{1,2,3}
Cevap B’dir.
5 
dersten 2 si   veya aynı saatte verilen 2 ders 2
5.
“KARABÜK” sözcüğündeki harfleri kullanarak “KA”
ile başlayan 7 harfli kelime oluşturulurken “KA”
harflerinin sağına sıralanacak olan “RABÜK” kelimesinin sıralanışı kadar kelime meydana gelir. Öyleyse;
K A R A B Ü K 
 2
5 
ten hiçbiri   ve 5 dersten 3 ü   seçilebilir.
0
 
3 
Öyleyse 3 ders seçmek isteyen bir kişi
2
 2  5  2 5 
5.4
5 . 4 .3
            2 
 1
 20  10  30
1
2
0
3
2
!
3 . 2 .1
       
5!
 120 dir.
1!.1!.1!.1!.1!
değişik şekilde seçebilir.
Cevap B’dir
P(5,5)
Cevap E’dir.
MAT EMAT İK-2 K ONU ANL ATIM LI SORU B AN KA SI
10
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
11. Paraların aynı gelmesi olayı A ise A = {(Y, Y), (T,
II. torbanın seçilip ve beyaz top çekilmesi olasılığı
1 2 1
 
dir.
2 5 5
T)}, s(A)=2 dir.
Zarın tek sayı gelmesi olayı B ise B = {1, 3, 5}, s(B)=3
Buna göre rasgele seçilen bir torbadan, beyaz top çe5
1 43
kilmesi olasılığı;
 
dır.
18 5 90
Cevap D’dir.
dür.
P(A  B) = P(A) . P(B) =
2 3 1
olur.
 
4 6 4
Cevap C’dir
16.
12. Tayga’nın başarılı olma olasılığı P( A ) 
başarısız olma olasılığı P( A ı ) 
I
II
6S
4K
3S
4K
ise
1
dür.
4
Berkin’in başarılı olma olasılığı P(B ) 
P( A ı  B )  P( A ı ).P(B ) 
3
4
6
ise
7
Birinci torbadan siyah çekip ikinci torbaya atıldığında,
6 4
3
ikinci torbadan siyah çekme olasılığı
 
veya
10 8 10
1 6
3
 
olur.
4 7 14
Birinci torbadan kırmızı çekip ikinci torbaya atıldığında,
4 3
3
ikinci torbadan siyah çekme olasılığı
 
dir.
10 8 20
Cevap C’dir.
.
Mete’nin soruyu çözememe olasılığı 1 
2 1
 dür.
3 3
Öyleyse ikinci torbadan siyah bilye çekme olasılığı;
3
3
9


dir.
10 20 20
Cevap A’dır.
Sami’nin soruyu çözememe olasılığı 1 
2 3

dir.
5 5
17. a + b + c = 25
13. Ali’nin soruyu çözememe olasılığı 1 
1 1

dir.
2 2
a + b = 18, 18 + c = 25  c = 7
b + c = 13  b + 7 = 13  b = 6
a + b = 18  a + 6 = 18  a = 12
dir.
Olaylar bağımsız olduklarından, üçünün birlikte bu soru1 1 3
1
yu çözememe olasılığı   
dur.
2 3 5 10
Öyleyse üçünün birlikte bu soruyu çözme olasılığı;
1
F
V
a
b
c
s(E) = 25 ve yalnız futbol oynayanlar s(F / V) = 12
1
9
dur.

10 10
yalnız voleybol oynayanlar s(V / F) = 7
 P[(F / V)  (V / F)] = P(F / V) + P(V / F)
14. ÇÖZÜM
=
Mavi bilyelerin sayısı 2x ise sarı bilyelerinin sayısı x dir.
12
7
19
dir.


25 25 25
Cevap D’dir.
Çekilen 2 bilyenin ikisi de mavi olduğundan;
 2x   x 
2x.(2 x  1)
    
1
2  0 2
2

2
P(M) 

tür. 

3 x.(3 x  1)
5
5
 3x 
 
2
2
18. 8 harfli yazılabilecek tüm kelimeler;
s(E) 
4x  2 2
  20x – 10 = 18x – 6  2x = 4  x = 2 dir.
9x  3 5
8!
 3360 dır.
2! . 3!
“C” ile başlayıp “K” ile biten kelimelerin kümesi A ise;
Torbadaki bilye sayısı 3x = 3 . 2 = 6 dır.
C I V I R I K K  s( A ) 
Cevap B’dir.
6!
 120 dir.
3!
sıralanacak harfler
15.
I
Öyleyse; çekilen kartın “C” ile başlayıp “K” ile bitme
II
olasılığı;
4K
5B
3K
2B
P( A ) 
s( A )
120
1


bulunur.
s(E ) 3360 28
Cevap A’dır.
I. torbanın seçilip ve beyaz top çekilmesi olasılığı
1 5
5
 
dir veya
2 9 18
www.akademivizyon.com.tr
11
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
6.
KONU TEKRAR TESTİ
1.
 n  1 ! n!
 36 olduğuna göre,
 n  1 n  2 !  2 n  2 !
3 kız, 4 erkek öğrenci yan yana fotoğraf çektireceklerdir.
Kaç değişik şekilde fotoğraf çektirilebilir?
A) 7
B) 72
C) 144
D) 720
E) 5040
n değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
7.
2.
9P(n, 2) = P(n, 3) olduğuna göre,
n değeri kaçtır?
A) 11
3.
C) 9
D) 8
A) 144
B) 9
C) 15
D) 25
B) 12
C) 24
D) 72
8.
E) 144
9.
İçinde siyah ve beyazın bulunduğu farklı renklerde 4
kravat, 3 gömlek ve 3 pantolonu olan bir kişi, Beşiktaş
futbol takımını tutuğu için kravatlarından sadece siyah
ve beyaz olanları takmaktadır.
Buna göre, bu kişi kaç farklı şekilde kıyafet değiştirebilir?
A) 8
B) 18
C) 24
D) 27
D) 720
E) 5040
MAT EMAT İK-2 K ONU ANL ATIM LI SORU B AN KA SI
12
C) 4000
D) 576
E) 288
B) 240
C) 232
D) 210
E) 176
10. 11 adayın katıldığı bir yarışmada birinci, ikinci ve
üçüncü kaç farklı biçimde belirlenir?
A) 240
E) 36
B) 4320
30 kişilik bir sınıfta başkan ve başkan yardımcısı
seçilecektir. Başkanlığa aday olan birisi başkan
yardımcısı olamayacağına, ve diğer bütün sınıf
öğrencilerinin başkan yardımcısı olabileceği bir seçim
yapılacaktır.
Bu sınıfta 8 kişi başkan adayı olduğuna göre, kaç
farklı şekilde başkan ve başkan yardımcısı seçilebilir?
A) 870
5.
C) 576
3 kız ve 4 erkek yan yana fotoğraf çektireceklerdir.
4 erkeğin dördüde yan yana olmamak şartıyla kaç
farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler?
A) 4464
E) 40
Ankara’dan Afyon’a 4 farklı yol, Afyon’dan İzmir’e 3
farklı yol vardır.
Ankara’dan İzmir’e gidip dönmek isteyen bir kişi,
gidiş dönüşünde Afyon’a uğramak şartıyla ve
gittiği yolu kullanmamak üzere kaç değişik yoldan
gidip dönebilir?
A) 7
B) 288
E) 7
Ankara’dan, Konya’ya 5 farklı yol, Konya’dan İzmir’e
ise 3 farklı yol vardır.
Ankara’dan İzmir’e gitmek isteyen bir kişi Konya’ya uğramak şartıyla kaç farklı yolla gidebilir?
A) 8
4.
B) 10
3 kız ve 4 erkek yan yana fotoğraf çektireceklerdir.
Kızlar yan yana olmak şartıyla, kaç farklı şekilde
fotoğraf çektirilebilir?
B) 360
C) 480
D) 550
E) 990
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
n
11. (2a – 4b) ifadesinin açılımı 10 terimden oluştuğuna
2
16. (5x + y)
göre n kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A) 250
17.
katsayıları birbirine eşit olur?
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
B) 1250
5
C) 10
D) 1750
E) 2500
açılımının Ax18 terimi baştan kaçıncı
B) 7
1
3
 x+ 

x
D) 20
C) 8
D) 9
E) 10
12
A) 66
B) 5
C) 1500
14
 3 2
x + 

x
A) 6
 3 1
3
 x +  açılımında x lü terimin katsayısı kaçtır?

x
A) 1
teriminin katsayısı
terimdir?
18.
13.
açılımında x6 y3
kaçtır?
12. (x + y) nin kaçıncı kuvvetinde 3. ve 9. terimlerin
A) 10
6
açılımının sabit terimi kaçtır?
B) 110
C) 220
D) 300
E) 495
E) 40
2
2 n
19. (x y + y )
açılımından elde edilen katsayılar top-
lamı aşağıdakilerden hangisi olamaz? (n  N+)
14. (2x + y)
4
A) 8
açılımında katsayılar toplamı kaçtır?
A) 3
B) 9
C) 27
D) 81
6
açılımında a2 b4
teriminin katsayısı
kaçtır?
A) 45
B) 90
C) 105
www.akademivizyon.com.tr
D) 135
C) 24
D) 32
E) 64
E) 243
20.
15. (3a + b)
B) 16
8
1 

x 
x

açılımında baştan 7. terimi nedir?
A) 28.x5
B) 56.x3
C) –28.x3 D) 28.
1
x2
E)
28
x
E) 180
13
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ