BELİRSİZLİK II Nerde kalmıştık? Genişletilmiş reel sayılarda çarpma

BELİRSİZLİK II
Nerde kalmıştık? Genişletilmiş reel sayılarda çarpma işlemi
tanımlayacaktık.Bu işleme göre ∞, −∞,0 elemanlarının davranışlarını
inceleyecektik.
(IR–{0},.,1) kümesinin bir grup, 1 sayısının bu grubun birimi
olduğunu biliyoruz. Bundan böyle R ∪ {∞, −∞} = R ile gösterelim.
Bu kümeye genişletilmiş gerçel sayılar kümesi denir.
R –{0} kümesinde . işleminin nasıl davrandığına bakalım.
Önce şu ifadeye bakalım. a∈ R –{0} ,b∈ R –{0} için
a. ∞ = b eşitliğinde a pozitif ise b elemanı ∞ a negatif ise b elemanı
−∞ dur. b nin gerçel sayı olmadığını hemen söyleyebiliriz. Çünkü b gerçel sayı olsaydı a nın çarpımsal tersi ile çarpar ∞ = a–1 b gibi bir eşitlik
bulurduk.(sağ taraf gerçel sayı sol taraf değil) O halde b gerçel sayı
değil. ‘O zaman b elemanı ya ∞ yada b elemanı −∞ dur.’ Buradan
a. ∞ = ∞ eğer a > 0 ise
a. ∞ = – ∞ eğer a < 0 ise.
a.(– ∞ ) = ∞ eğer a < 0 ise
a. (– ∞ )= – ∞ eğer a > 0 ise. Buradan ∞ elemanın pozitif gerçel sayılarını
kendisine, negatif gerçel sayılarıda gerçel olmayan – ∞ sembolüne eşlediğini görüyoruz. Böylece tıpkı toplamsal grupta yaptığımız gibi R –{0}
kümesinin çarpma işlemine göre grup olmadığını söyleyebiliriz. (çünkü
∞ ve – ∞ elemanlarının çarpımsal tersi yok.) Ama bu işleme göre
yukarıda verdiğimiz özelliklere ek olarak elimizde şunlar var.
∞ .∞ = ∞
∞ .(– ∞ ) ∞ = – ∞
Özetlemek gerekirse ( R ,+) ve ( R –{0},.) yapıları aşağıdaki şartları sağlar.
( R ,+) de
a ∈ R için
i)
a+ ∞ = ∞
ii)
∞ +∞ =∞
iii)
a– ∞ = – ∞
iv)
(– ∞ )+(– ∞ )= – ∞
∞ +(– ∞ ) veya (– ∞ )+ ∞ tanımlı değil
v)
( R –{0},.) de
eğer a > 0 ise a. ∞ = ∞
eğer a < 0 ise. a. ∞ = – ∞
eğer a < 0 ise a.(– ∞ ) = ∞
eğer a > 0 ise. a. (– ∞ )= – ∞
∞ .∞ = ∞
∞ .(– ∞ ) = – ∞
∞ −∞
∞ a
,
,
,
ifadeleri ise ∞ ve – ∞ elemanlarının çarpımsal tersi
∞
∞
−∞ ∞
olmadığından tanımsızdırlar.
Buraya kadar anlattıklarıma bakınca 0. ∞ , 1∞ ,00, ∞0 dan kaçındığımı
düşünebilirsiniz. Evet bilerek kaçındım. 0. ∞ tanımsızlığının (IR , + , . )
nın cisim yapısıyla ilgisi olduğundan en sona bıraktım. 1∞ ,00, ∞0 tanımsızlıklarının ise hem cisim hemde üs işlemiyle ilgili bir şeyler daha düşünmem gerektiği için en sona bıraktım.
Arkadaşlar bu yazdıklarım size garip gelebilir. Hatta şu ana kadar
bildiğiniz bir çok duruma ters bir durum gibi bir şeylerin var olduğunu düşünebilirsiniz. Yazdıklarım konusunda kafanızda bir soru işareti olduğunda mutlaka yazın, yazın ki bir yerlerde hatalı düşünüyorsam ortaya çıksın. Çünkü gerçekten bende yeni yeni bir şeyler keşfediyorum ve yazdıkça düşündükçe taşlar yerine oturuyor.
Başlığın belirsizlik olduğunu görüp tanımsızlık anlattığımı görenler
bu da ne diyeceklerdir büyük olasılıkla. Gerçekten ben iki işlem +,. ve
bunlar yardımıyla tanımlanan üs işleminin ne zaman tanımsız olduklarını
anlatıyorum.(gerçi üs işlemine daha geçmedim ama☺) Dikkatle
incelerseniz ( R ,+) de ∞ +(– ∞ ) veya (– ∞ )+ ∞ tanımlı değil diyorum.
Matematik kitapları belirsiz diyor. Bu kafa karışıklığına son vermek
gerekiyor ve bunu el birliği ile yapmalıyız. Tekrar ediyorum belirsizlik bir
süreci yani bir değişkenin bir sayıya giderken fonksiyonun nereye gittiğini
araştırırken kullanılan bir kavram.
Bu farkı şöyle daha iyi anlatırım sanıyorum.
1
2
− 2
f(x) =
ifadesinde f(1) kaçtır? Sorusu başka
x −1 x −1
1
2
− 2
sorusu başka bir durumdur. İlk durum tanımsızdır. İkinci
x →1 x − 1
x −1
durum belirsizdir.
Bir sonraki yazıda 0. ∞ , 1∞ ,00, ∞0 ifadelerine bakacağız.
lim