0.mat 9 ilk.indd - Ogretmenler.com

ORTAÖĞRETİM
MATEMATİK
9. SINIF
DERS KİTABI
YAZARLAR
KOMİSYON
DEVLET KİTAPLARI
İKİNCİ BASKI
..................., 2012
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI ............................................................... : 5658
DERS KİTAPLARI DİZİSİ .................................................................................... : 1523
12.?.Y.0002.4169
Her hakkı saklıdır ve Millî Eğitim Bakanlığı aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri
kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayınlanamaz.
EDİTÖR
Prof. Dr. Hüseyin ALKAN
DİL UZMANI
Dr. Şerife KAÇMAZ
GÖRSEL TASARIM
Beyza DİRİK
ÖLÇME-DEĞERLENDİRME UZMANI
Nuray SUNAR
PROGRAM GELİŞTİRME UZMANI
Didem AKBULUT
REHBERLİK UZMANI
Ahmet SEYREK
ISBN: 978-975-11-3560-5
Millî Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun 17.12.2010 gün ve 229 sayılı kararı
ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün 19.03.2012
gün ve 3398 sayılı yazısı ile ikinci defa 218.015 adet basılmıştır.
İÇİNDEKİLER
1. ÜNİTE: MANTIK
ÖNERMELER........................................................................................................................ 10
BİLEŞİK ÖNERMELER......................................................................................................... 14
VEYA BAĞLACI..................................................................................................................... 16
VE BAĞLACI......................................................................................................................... 17
VE İLE VEYA BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ.............................................................................19
İSE BAĞLACI......................................................................................................................... 21
ANCAK VE ANCAK BAĞLACI................................................................................................ 24
TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ......................................................................................................... 26
AÇIK ÖNERMELER............................................................................................................. 27
HER VE BAZI NİCELEYİCİLERİ .............................................................................................. 28
İSPAT YÖNTEMLERİ, TANIM, AKSİYOM VE TEOREM ...................................................... 30
1.ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI............................................................................33
2. ÜNİTE:
KÜMELER
KÜMELER............................................................................................................................. 35
SONLU VE SONSUZ KÜME................................................................................................. 37
BOŞ KÜME............................................................................................................................ 37
ALT KÜME.............................................................................................................................. 38
DENK VE EŞİT KÜMELER...................................................................................................... 41
KÜMELERDE İŞLEMLER..................................................................................................... 41
BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI.............................................................................. 45
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME.............. ............................................................................. 47
İKİ KÜMENİN FARKI...........................................................................................................49
KÜMELERDEKİ İŞLEMLERİ KULLANARAK PROBLEM ÇÖZME.....................................52
2.ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI.............................................................................53
3. ÜNİTE: BAĞINTI, FONKSİYON VE İŞLEM
SIRALI İKİLİ........................................................................................................................... 57
İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI...................................................................................59
BAĞINTI................................................................................................................................ 63
BİR BAĞINTININ TERSİ........................................................................................................ 65
BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ.................................................................................................. 69
FONKSİYONLAR......................................................................................................73
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ..................................................................................................... 77
DOĞRUSAL FONKSİYON..................................................................................................... 84
İŞLEM.................................................................................................................................... 86
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ......................................................................................................... 89
FONKSİYONLARIN BİLEŞKE İŞLEMİ.................................................................................. 98
BİR FONKSİYONUN BİLEŞKE İŞLEMİNE GÖRE TERSİ.................................................... 101
GRAFİĞİ VERİLEN BİR FONKSİYONUN BAZI DEĞERLERİNİ BULMA.......................108
3.ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...........................................................................114
4. ÜNİTE: SAYILAR
DOĞAL SAYILAR................................................................................................................. 120
BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF DOĞAL SAYI KUVVETİ.................................................. 121
BİR DOĞAL SAYININ HERHANGİ BİR TABANA GÖRE YAZILMASI......................... 123
ASAL SAYILAR.................................................................................................................... 128
BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİNİN SAYISI..................................................... 128
BÖLÜNEBİLME KURALLARI...............................................................................................132
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) VE EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)....................138
TAM SAYILAR.................................................................................................................... 142
MODÜLER ARİTMETİK...................................................................................................... 148
MODÜLER ARİTMETİKTE İŞLEMLER............................................................................... 153
RASYONEL SAYILAR.......................................................................................................... 161
RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ................ 165
RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA.................................................................................. 170
GERÇEK SAYILAR.............................................................................................................. 177
GERÇEK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ............. 179
GERÇEK SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ...................................................... 183
AÇIK, KAPALI VE YARI AÇIK ARALIKLAR........................................................................... 185
MUTLAK DEĞER................................................................................................................191
MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ.......................................................................................192
ÜSLÜ İFADELER................................................................................................................200
ÜSLÜ DENKLEMLER.......................................................................................................... 203
KÖKLÜ İFADELER............................................................................................................. 208
BİR GERÇEK SAYININ POZİTİF TAM KUVVETTEN KÖKÜ................................................ 216
ORAN-ORANTI...........................................................................................................221
PROBLEMLER.................................................................................................................... 229
4.ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...........................................................................245
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARININ YANIT ANAHTARI.........................................251
SEMBOLLER VE KISALTMALAR.......................................................................................252
SÖZLÜK.......................................................................................................................253
KAYNAKÇA......................................................................................................................... 255
ORGANİZASYON ŞEMASI
KAZANIMA AİT BAŞLIK
Kazanıma ait keşfettirici çalışma
„ Etkinliğin farklı basamakları
8 Etkinlikte sorgulama basamağı
RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
ETKİNLİK
„
24
24
24
,b=
ve c =
kesirlerinin hangi rasyonel sayılara karşılık geldiğini söyle12
6
8
a=
yiniz.
8 Bu rasyonel sayıları sayı doğrusu üzerinde işaretleyiniz ve küçükten büyüğe doğru sıra-
layınız.
8
8
T Etkinlikte sonuç basamağı
İşlenişe ait çözümlü örnek
Bu sıralama yardımıyla verilen kesirleri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Bu kesirlerin pay ve paydalarını inceleyiniz.
T
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayıların sıralaması için paydaları göz önüne alarak bir
kural oluşturunuz.
RNEK
ÖRNEK
2 say›s›n›n rasyonel say› olmad›ğ›n› çelişki metodu kullanarak gösterelim.
ÖZÜM
ÇÖZÜM
Hipotez: a, b ve k ∈ Z+ ve OBEB(a, b) = 1 olmak üzere 2 =
2 =
a
olsun.
b
a
eşitliğinden
b
a = 2.b
a2 = 2b2 dir. Dolayısıyla a çift tam sayı olur. O hâlde a = 2k biçiminde yazabiliriz.
(2k)2 = 2b2 ⇒ b2 = 2k2 dir. Bu durumda b de çift tam sayıdır. a ile b çift tam say› olduğunda
a ve b’nin OBEB’i 1 olamaz. Bu durum hipotez ile çelişmektedir.
O hâlde 2 rasyonel say› değildir.
Bilgi notu
Payları eşit pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan, paydaları eşit pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür.
UYGULAMA
İşlenişe ait pekiştirme soruları
36
kesrini doğal sayı yapan x tam sayılarının sayısını bulunuz.
x+2
5
2)
kesrinin rasyonel sayı olabilmesi için x hakkında ne söyleyebilirsiniz?
x−3
3
3)
kesrini tanımsız yapan x değerlerini bulunuz.
6
2−
x−1
1)
ÜNİTE
Ünite ile ilgili sorular
DEĞERLENDİRME SORULARI
1) a, b ∈ N+ olmak üzere 96a2 = b3 eşitliğini sağlayan en küçük a + b toplamı kaçtır?
A) 18
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
2) 6.15.32.125.45 çarpımı kaç basamaklı bir sayıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
3) 3.45.125.35.20.64 çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 1
B) 5
C) 6
D) 7
E) 10
MANTIK
1. ÜNİTE
ALT ÖĞRENME ALANLARI
• Önermeler
• Bileşik Önermeler
• Aç›k Önermeler
• ‹spat Yöntemleri
‹nsan› diğer canl›lardan ay›ran en önemli özelliklerden biri düşünebilme yeteneğidir. Bireyler
karş›laşt›klar› günlük olaylar› ak›l süzgecinden geçirerek anlaml› k›larken, analiz ederken ya da
olas› sonuçlar› tahmin ederken düşünce üretirler. Dolay›s› ile bireyler aras› yar›şmalarda problemlerin çözümünde düşünce üretiminin öne ç›kar›lmas› önemli bir göstergedir.
Hemen her olguda olduğu gibi doğru düşünme kurallar›n›n ortaya ç›kmas› da tarih içinde bir
gelişim izlemiştir. Buna bir başlang›ç noktas› seçilemez. Ancak, Antik Çağ’dan günümüze gelen
kan›tlarda mant›k ile uğraşan düşünürlerin var olduğu görülmektedir. Bunlar aras›nda, mant›k
biliminin oluşmas›nda en etkili olan› Aristotle (Aristo)’dur. MÖ 600-300 y›llar›nda ortaya ç›kan usa
vurma kurallar›n› Aristotle sistemleştirmiştir. Organon (Alet) adl› 14 “usa vurma kural›, syllogism
(selocizm)” ortaya koymuştur. Bu kurallar, bugünkü biçimsel mant›ğ›n temellerini oluşturmaktadır
ve 2000 y›l› aşk›n bir zaman dilimi içinde insanoğlunun düşünme ve doğruyu bulma eylemini
etkilemiştir. Organon, insanl›ğa b›rak›lm›ş en büyük miraslardan biridir[1]. K›sacas› yaşam›m›z
boyunca düşünme, hepimiz için çok önemlidir. Ancak ondan da önemlisi oluşturulan düşüncenin
dayanaklarının doğru, kan›tlanm›ş, bilinen, görülen ve elde edilen doğrulardan yola ç›k›larak üretilmiş olmasıdır. Düşüncenin bir başka özelliği karş›s›ndakini de düşünce üretmeye yöneltmesidir. Böylesine anlaml› düşünme ve ak›l yürütme yoluna “Mantık” dendiği bilinmektedir.
Öyleyse mant›k, temelleri yaklaş›k 2500 y›l önce Aristo taraf›ndan at›lan, günümüze kadar
sürekli geliştirilen, anlaml› ve sistemli düşünce üretme kurallarına dayanan bir yap›d›r, denebilir.
Günümüzde mant›k, “Aristo Mant›ğ›” ve “Sembolik Mant›k” adl› iki ana başl›k alt›nda işlenmektedir. Yine bilindiği gibi “Sembolik Mant›k” da kendi içinde iki alt başl›ğa ayr›lmaktad›r.
[1] Karaçay, T., Bilgi Üreten İnsan, 2000.
9
Ü YORUM
NDÜRÜ
M
DÜ
RU
ŞÜ
DÜŞÜ
YO
N
ÖNERMELER
Hangimiz daha çok çalışıyor acaba?
MANTIK
Aristo Mantığı
Sembolik Mantık
Önermeler Mantığı
Niceleyiciler Mantığı
Matematikçilerin çok kulland›ğ› bu alt başl›klardan biri Önermeler Mant›ğ› diğeri de Niceleyiciler Mant›ğ›’d›r.
Bilim dallar›n›n tümünde ana dayanak olarak mant›kl› düşünce kullan›l›r. Bilimin kavramlar›n›
oluşturmada, aralar›nda ilişki kurmada ve onlar› yorumlamada mant›kl› düşünme öne ç›kar. Mant›kl› düşünce ile en iyi uyum sağlayan bilim dal› matematik olarak bilinir. Ünlü fizikçi Einstein
(Aynştayn)’ın “Matematik mant›kl› düşünce yoludur.” sözü de bilinen bu gerçeği vurgulamaktad›r.
Eğer bir birey mant›k kavram›n› tam olarak öğrenir ve sembolik mant›ğ› doğru kullanabilirse
matematiği öğrenmede de büyük kolayl›k sağlar düşüncesi vard›r. O nedenle bireye mant›kl› düşünme yollarını kazand›rma matematik öğretiminin genel amaçlar› aras›nda yerini alm›şt›r.
1. Grup
• Üçgen
• Eğim • Faktöriyel
• Asal sayı
2. Grup
• Küme
• Doğru
• Düzlem
İki grupta verilen sözcükleri inceleyerek aşağ›daki soruları cevaplayınız.
Gruplardaki sözcüklerin hangi bilim dalı ile ilişkili olduğunu söyleyiniz.
Hangi gruptaki sözcükleri sezgisel olarak kavrayabilirsiniz? Tartışınız.
Hangi gruptaki sözcükleri önceki bilgileriniz yardımıyla tanımlayabileceğinizi tartışınız.
Bilim dallarında özel anlamı olan sözcüklerin daima tanımlı olup olmadığını tartışınız.
Uzay, nokta, çokgen ve çember sözcüklerinin hangilerinin tanımsız olduğunu, hangilerinin
ise tanımlanabildiğini söyleyelim.
Uzay ve nokta tanımsız olup ancak sezgisel yolla kavranabilir. Çokgen ve çember ise tanımlı
sözcüklerdir.
10
Bir bilim dalıyla ilgili özel anlam içeren sözcüklere, o bilim dalının terimleri denir.
Bir terimin anlamını belirlemeye o terimi tanımlamak denir. Matematikte herhangi bir
terim kendisinden önce tanımlanmış olan terimlerden yararlanılarak tanımlanırsa bu terime tanımlı terim adı verilir.
Bazı terimleri ise tanımlayamayız, sezgi yoluyla kavrarız. Bu terimlere tanımsız terimler adı verilir.
1. Grup
Atatürk, Türkiye Cumhuriyeti’nin ilk
cumhurbaşkan›d›r.
Bir hafta beş gündür.
At, üç ayakl› bir hayvan değildir.
‹ki doğal say›n›n çarp›m› yine bir doğal
say›d›r.
‹zmir, Ege Bölgesi’nde bir sahil kentidir.
‹stanbul, Türkiye Cumhuriyeti’nin başkenti
değildir.
2.Grup
Bir bardak süt verir misin?
Bu elbise çok güzel.
Sinemaya gidelim.
Yaşas›n!
Yolunuz aç›k olsun.
Keşke biraz gülse.
1. gruptaki cümlelerin ortak özelliklerini belirleyiniz.
2. gruptaki cümlelerin ortak özelliklerini belirleyiniz.
Elde ettiğiniz sonuçlar› karşılaştırınız.
Hangi gruptaki cümleler kesin sonuç bildirmektedir?
Aşağıda verilen ifadelerin hangileri önermedir?
p : Salihli, Manisa’nın bir ilçesidir.
q : −4 ün karesi −16 dır.
r : Bu ev çok güzel.
t : Sıfır çift sayıdır.
u : Asal sayılar 1 den büyüktür.
v : Sınıfın en güzel resim yapan öğrencisi kimdir?
p, q, t ve u ifadeleri kesin sonuç bildirdiklerinden birer önerme; r ile v ifadeleri ise kesin bir
sonucu ortaya koymadıklarından önerme değildir.
Net bir sonucu ortaya koymaya hüküm verme denir. Matematikte kesin bir hüküm verebildiğimiz ifadelere önerme ad› verilir.
Önermeler p, q, r, s, t… gibi harflerle isimlendirilir. Matematiksel mant›k önermelerle
uğraş›r. Her önerme bir yarg›, bir bildirim, bir bilgidir.
Günümüzde Matematiksel Mant›k ya da Boole (Boyl) Mant›ğ›’n›n evrensel yap›ya sahip olduğu bilinmektedir. Yani matematiksel mant›k dile, dine, çevre koşullar›na vb. bağl›
değildir.
Yukarıdaki örnekte belirtilen önermelerden her biri doğru ya da yanlış bir hüküm bildirir. Doğru hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğruluk değeri 1 veya D ile; yanl›ş hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğruluk değeri 0 veya Y ile gösterilir.
11
Bir p önermesinin kaç farklı doğruluk değeri olduğunu tablo çizerek gösterelim.
Bir p önermesi için şunlar söylenebilir: p önermesi doğru olabilir. p önermesi yanlış olabilir.
Bu durumda p önermesinin doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
p
p
D
ya da
Y
1
p önermesi için iki farklı doğruluk durumu vardır.
0
p ve q önermeleri için kaç farklı doğruluk durumu vardır? Tablo çizerek gösterelim.
p
q
p önermesi doğru iken q önermesi doğru olabilir.
p önermesi doğru iken q önermesi yanlış olabilir.
p önermesi yanlış iken q önermesi doğru olabilir.
p önermesi yanlış iken q önermesi yanlış olabilir.
Bu durumda p ve q önermelerinin doğruluk tablosu yandaki gibidir. p ve q önermelerinin dört farklı doğruluk durumu vardır.
1
1
0
0
1
0
1
0
n tane önermenin doğruluk durum sayısının ne olabileceğini tartışınız.
Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini noktalı yerlere yaz›n›z.
n
r
s
t
:
:
:
:
Önerme
5 < 7 dir.
‹zmir, bir sahil kenti değildir.
Bir y›l 13 ayd›r.
Van Gölü’nün suyu sodal›d›r.
Doğruluk Değeri
(.....)
(.....)
(.....)
(.....)
Önermeleri doğruluk değerlerine göre grupland›rınız, kaç grup elde ettiğinizi belirtiniz.
Doğruluk değerleri aynı olan önermeler ortak bir isimle adlandırılabilir mi?
Aşağıdaki önermeleri doğruluk değerlerine göre gruplayalım.
p : 1, en küçük asal sayıdır.
r : Kimyasal atıklar doğadaki dengeyi bozar.
s : Türkiye Cumhuriyeti’nin ilk Genelkurmay Başkanı Kâzım Karabekir değildir.
t : Ord. Prof. Dr. Cahit Arf matematikçi değildir.
En küçük asal sayı 2 olduğundan p önermesinin doğruluk değeri 0 dır.
Kimyasal atıklar doğadaki dengeyi bozduğundan r önermesinin doğruluk değeri 1 dir.
T.C.’nin ilk Genelkurmay Başkanı Fevzi Çakmak olduğundan s önermesinin doğruluk değeri 1 dir.
Ord. Prof. Dr. Cahit Arf matematikçi olduğundan t önermesinin doğruluk değeri 0 dır.
1. Grup (Doğruluk değeri 1 olan önermeler): r ve s
2. Grup (Doğruluk değeri 0 olan önermeler): p ve t dir.
12
Matematikçiler, hüküm verdikleri konular değişik olmas›na rağmen doğruluk değerleri
ayn› olan önermeleri bir gruba toplarlar. Böylece doğruluk değerleri ayn› olan önermelere
denk önermeler denir. p ve q önermeleri denk ise p ≡ q biçiminde gösterilir ve p denktir q
diye okunur.
Aşağ›daki önermelerin olumsuzlar›n› yandaki noktalı yerlere yaz›n›z.
p
q
r
s
: Bir hafta yedi gündür.
: 32 = 9 dur.
o
: Dörtgenlerin iç aç›lar› toplam› 360 dir.
: −1 in çift kuvvetleri 1 dir.
t : Bir hafta yedi gün değildir.
l : .....................................................
m : ..................................................
n : ...................................................
 Yukardaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. Aşağ›daki tabloda noktal› yerleri
doldurunuz.
Önerme
Doğruluk Değeri
Önermenin Olumsuzu
Doğruluk Değeri
p
1
t
0
q
...
l
...
r
...
m
...
s
...
n
...
Bir önermenin doğruluk değeri ile olumsuzunun doğruluk değerini karşılaştırınız.
Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını yazalım.
p : Trigonometri matematiksel bir terimdir.
q : 2 nin katları olan doğal sayılar tek sayıdır.
r : Diyarbakır ili Güneydoğu Anadolu bölgesi’ndedir.
s : Peribacaları Kapadokya bölgesinde değildir.
t
l
m
n
:
:
:
:
Trigonometri matematiksel bir terim değildir.
2 nin katları olan doğal sayılar tek sayı değildir.
Diyarbakır ili Güneydoğu Anadolu bölgesi’nde değildir.
Peribacaları Kapadokya bölgesindedir.
Bir önermenin olumsuzunu oluştururken önermenin hükmü değiştirilir. Bir p önermesinin olumsuzuna bu önermenin değili denir.
›
Bir p önermesinin değili p sembolü ile gösterilir ve p nin değili diye okunur.
Herhangi bir p önermesi için,
p≡1
p≡0
iken
iken
ı
p ≡0
dir.
ı
p ≡1
ı ı
Bir önermenin değilinin değili alındığında önermenin kendisi bulunur. (p ) ≡ p
13
1) Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bularak denk olan önermeleri eşleyiniz.
p : −24 = 16 dır.
r : 5−5.5+5:5 = −19 dur.
m : Enlem bir coğrafi terimdir.
q : −16 < −15 dir.
s : −2 > 0 dır.
n : 1 asal sayıdır.
−4
2) Aşağıdaki bulmacayı çözdükten sonra daire içindeki harflerle anlamlı bir sözcük oluşturunuz.
1
3
4
2
6
5
Yukarıdan Aşağıya:
1. Bir önermenin hükmünün doğru ya da yanl›ş olduğunu ifade eden 1 ve 0 sembollerine o önermenin
………...……. değerleri denir.
3. Sezgisel olarak kavranabilen terimlere ……......… terim
denir.
4. Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile elde edilen
yeni önermeye bu önermenin ……….. denir.
6. Doğruluk değerleri ayn› olan iki önermeye ………..
önermeler denir.
Soldan Sağa:
2. Doğru ya da yanl›ş kesin hüküm bildiren ifadelere
……......…….. denir.
5. Şut, manşet, golf ve gol kelimeleri spor ……......….. leridir.
3) Aşağ›daki verilen önermelerin değilini yaz›n›z.
p
›
p
q
›
q
:
:
:
:
Bir say›n›n 5 ile bölümünden kalan en fazla 4 tür.
................................................................................
En küçük negatif tam sayı –1 dir.
................................................................................
2
2
4) q : a – b = ( a + b).(a – b) dir.
q önermesinin değilini aşağ›ya yazal›m.
›
q : ................................................................................
›
q önermesinin değilini aşağ›ya yazal›m.
› ›
(q ) : ................................................................................
BİLEŞİK ÖNERMELER
Kağan ile Murat iki arkadaşt›r. Biri ‹zmir’de diğeri ise Ankara’da yaşamaktad›r. Kağan, Murat’›
ziyaret etmek için ‹zmir’den Ankara’ya gitmek istiyor. Türkiye yol haritas›n› kullanarak iki güzergâh
belirliyor. Bunlardan biri ‹zmir−Manisa−Bal›kesir−Bursa−Eskişehir−Ankara yolu, diğeri ise ‹zmir−
Uşak−Afyonkarahisar−Ankara yoludur. Ayr›ca haritada görüleceği gibi Afyonkarahisar ve Polatl›
aras›nda Köroğlu Beli vard›r.
14
ir
Bal
Bursa
Ma
ıkes
nis
a
ir
Ay
olu
703
km
B yolu 580 km
Es
ki
h
şe
Ankara
Pola
tlı
Köro
İzmi Uşak Afyonk
ğ
arahisar lu Bel
r
i
Yol haritas›na bakarak ‹zmir’den Ankara’ya gitmek isteyen bir kimse:
‹zmir−Manisa−Bal›kesir−Bursa−
Eskişehir−Polatl›−Ankara yolunu izleyebilir.
Buna A yolu diyelim.
‹zmir−Uşak−Afyonkarahisar−Köroğlu
Beli−Polatl›−Ankara yolunu izleyebilir. Buna
da B yolu diyelim.
“Kağan, ‹zmir’den Ankara’ya giderken A yolunu veya B yolunu seçer.”
“Kağan, B yolunu izlediğinde Uşak ve Afyonkarahisar şehirlerini görür.”
“Kağan, zaman› az ise B yolunu seçer.”
“Kağan’ın Köroğlu Beli’ni görmesi ancak ve ancak B yolunu seçmesiyle mümkündür.”
Yukar›da t›rnak içerisinde sunulan ifadeleri birer önerme olarak adland›rabilir misiniz?
Önceki önermelerden farkl› olan yanlarını tartışınız.
Bu önermeler hangi önermelerin birleştirilmesiyle elde edilmiştir? Tartışınız.
Birleştirilmiş önermelerde hangi bağlaçların kullanıldığını belirtiniz.
p
q
r
s
u
v
y
z
:
:
:
:
:
:
:
:
Kaya İstanbul’a uçakla gider.
Kaya İstanbul’a otomobille gider.
Bilgi yarışmasında okulumuzu Pelin temsil etmiştir.
Bilgi yarışmasında okulumuzu Yiğit temsil etmiştir.
Beril evde değildir.
Beril okuldadır.
Can üniversiteye girer.
Can LYS’yi başarır.
Yukarıdaki önermelerden,
a) p ile q b) r ile s c) u ile v ç) y ile z
önermelerini uygun bağlaçlarla bağlayarak yeni önermeler yazalım.
a) Kaya, İstanbul’a uçakla veya otomobille gider.
b) Bilgi yarışmasında okulumuzu Pelin ve Yiğit temsil etmiştir.
c) Beril, evde değil ise okuldadır.
ç) Can, üniversiteye ancak ve ancak LYS’yi başarırsa girer.
En az iki önermenin ve, veya, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile bağlanması sonucu
oluşturulan önermeye bileşik önerme denir.
15
VEYA BAĞLACI "∨”
Sayfa 14’deki etkinlikte Kağan’›n Ankara’ya gitme maceras›n› hat›rlayal›m. Kağan, ‹zmir’den
Ankara’ya A veya B yolundan gider.
Buradaki önermeler nelerdir? Bu önermeleri noktalı yerlere yazınız.
p : ……………………………………………………………………..
q : ……………………………………………………………………..
p veya q
Kağan, A yolundan Ankara’ya
gider.
Kağan, B yolundan
Ankara’ya gider.
Bu durumda
Kağan, Ankara’da
Murat ile buluşur.
Kağan, A yolundan
Ankara’ya gider veya
B yolundan Ankara’ya
gider.
Kağan, A yolundan Ankara’ya
gider.
Kağan, B yolundan
Ankara’ya gidemez.
Bu durumda
Kağan, Ankara’da
Murat ile buluşur.
Kağan, A yolundan
Ankara’ya gider veya
B yolundan Ankara’ya
gidemez.
Kağan, A yolundan Ankara’ya
gidemez.
Kağan, B yolundan
Ankara’ya gider.
Bu durumda
Kağan, Ankara’da
Murat ile buluşur.
Kağan, A yolundan
Ankara’ya gidemez
veya B yolundan
Ankara’ya gider.
Kağan, A yolundan Ankara’ya
gidemez.
Kağan, B yolundan
Ankara’ya gidemez.
Bu durumda Kağan,
Ankara’da Murat ile
buluşamaz.
Kağan, A yolundan
Ankara’ya gidemez
veya B yolundan
Ankara’ya gidemez.
Kağan ile Murat hangi durumlarda Ankara’da buluşur?
Kağan ile Murat hangi durumlarda Ankara’da buluşamaz?
veya bağlacı ile bağlanan bileşik önermenin doğruluk durumlarını tartışınız.
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk durumlarını inceleyelim.
1) “Domates veya kırmızı biberden salça yapılır.”
2) “Palandöken Dağı Erzurum’da veya Gaziantep’tedir.”
3) “Türkiye Cumhuriyeti’nin başkenti İstanbul veya Ankara’dır.”
4) “Kızılırmak veya Gediz nehri Güneydoğu Anadolu Bölgesi’ndedir.”
16
Doğruluk Değeri
Doğruluk Değeri
q
Doğruluk Değeri
p
Doğruluk Değeri
Bu önermeler hangi bağlaç ile bağlanm›şt›r?
Çizelgeyi inceleyerek boş yerleri uygun şekilde doldurunuz.
Bileşik önermeleri ayrı ayrı yazalım.
1) p : Domatesten salça yapılır.
q : Kırmızı biberden salça yapılır.
Hem p hem de q önermeleri doğru olup p veya q bileşik önermesi de doğrudur.
2) r : Palandöken dağı Erzurum’dadır.
s : Palandöken dağı Gaziantep’tedir.
r önermesi doğru, s önermesi yanlış olup r veya s bileşik önermesi doğrudur.
3) u : Türkiye Cumhuriyeti’nin başkenti İstanbul’dur.
v : Türkiye Cumhuriyeti’nin başkenti Ankara’dır.
u önermesi yanlış ve v önermesi doğru olup u veya v bileşik önermesi doğrudur.
4) y : Kızılırmak nehri Güneydoğu Anadolu bölgesindedir.
z : Gediz nehri Güneydoğu Anadolu bölgesindedir.
Hem y hem de z önermeleri yanlış olup y veya z bileşik önermesi de yanlıştır.
veya bağlac› ∨ sembolü ile gösterilir. veya bağlac› ile bağlanm›ş p ile q önermeleri
p ∨ q şeklinde yazılır ve p veya q diye okunur.
p
q
p∨q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Her p, q önermesi için p ∨ q önermesinin doğruluk tablosu yandaki gibidir.
p ∨ q önermesinin doğruluk değeri, p ile q nun her ikisi
de yanlış iken yanlış; diğer durumlarda doğru olur.
VE BAĞLACI “∧”
Sayfa 14’deki etkinlikte Kağan ile Murat telefon görüşmesi yap›yorlar.
Kağan: “Murat ben seni görmeye Ankara’ya geliyorum.”
Murat: “Ankara’ya gelme. Ben Ankara’dan yola ç›kay›m, sen de ‹zmir’den yola ç›k. Köroğlu
Beli’nde buluşal›m.”
Kağan: “Anlaşt›k. Ben Afyonkarahisar’dan geçeceğim, sen Polatl›’dan geçeceksin. Böylece
Köroğlu Beli’nde buluşacağ›z.”
Murat: “Evet, görüşmek üzere.”
Kağan ile Murat’›n telefon görüşmesine göre Köroğlu Beli’nde buluşmalar› için:
“Kağan Afyonkarahisar’dan geçer ve Murat Polatl›’dan geçer.”
Buradaki önermeler nelerdir? Bu önermeleri noktalı yerlere yazal›m.
p : ……………………………………………………………………..
q : ……………………………………………………………………..
Bu önermeler hangi bağlaç ile bağlanm›şt›r?
Çizelgeyi inceleyerek boş yerleri uygun şekilde dolduralım.
17
Kağan
Afyonkarahisar’dan
geçer.
Kağan
Afyonkarahisar’dan
geçer.
Kağan
Afyonkarahisar’dan
geçmez.
Kağan
Afyonkarahisar’dan
geçmez.
Murat
Polatlı’dan
geçer.
Murat
Polatlı’dan
geçmez.
Murat
Polatlı’dan
geçer.
Murat
Polatlı’dan
geçmez.
Bu durumda
Köroğlu Beli’nde
buluşurlar.
Bu durumda
Köroğlu Beli’nde
buluşamazlar.
Bu durumda
Köroğlu Beli’nde
buluşamazlar.
Bu durumda
Köroğlu Beli’nde
buluşamazlar.
p ve q
Doğruluk Değeri
Doğruluk Değeri
q
Doğruluk Değeri
Doğruluk Değeri
p
Köroğlu Beli’nde buluşmak için Kağan
Afyonkarahisar’dan geçer ve Murat
Polatlı’dan geçer.
Köroğlu Beli’nde buluşmak için Kağan
Afyonkarahisar’dan geçer ve Murat
Polatlı’dan geçmez.
Köroğlu Beli’nde buluşmak için Kağan
Afyonkarahisar’dan geçmez ve Murat
Polatlı’dan geçer.
Köroğlu Beli’nde buluşmak için Kağan
Afyonkarahisar’dan geçmez ve Murat
Polatlı’dan geçmez.
Kağan ile Murat hangi durumlarda Köroğlu Beli’nde buluşur?
Kağan ile Murat hangi durumlarda Köroğlu Beli’nde buluşamaz?
ve bağlacı ile bağlanan bileşik önermenin doğruluk durumlarını tartışınız.
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk durumlarını inceleyelim.
1) “İzmir’den Samsun’a giden bir gemi Çanakkale Boğazı’ndan ve İstanbul Boğazı’ndan geçer.”
2) “Galatasaray futbol takımı 2009 − 2010 sezonunda Türkiye Futbol Ligi’ni 1. sırada bitirmemiş ve şampiyon olmuştur.”
3) “Balıklar karada ve suda yaşarlar.”
4) “Kartal ve kanarya uçan memeli hayvandır.”
Bileşik önermeleri ayrı ayrı yazalım.
1) p : İzmir’den Samsun’a giden bir gemi Çanakkale Boğazı’ndan geçer.
q : İzmir’den Samsun’a giden bir gemi İstanbul Boğazı’ndan geçer.
Hem p hem de q önermeleri doğru olup p ve q bileşik önermesi de doğrudur.
2) r : Galatasaray takımı 2009−2010 sezonunda Türkiye Futbol Ligi’ni 1. sırada bitirmemiştir.
s : Galatasaray takımı 2009−2010 sezonunda Türkiye Futbol Ligi’nde şampiyon olmuştur.
r önermesi doğru, s önermesi yanlış olup r ve s bileşik önermesi yanlıştır.
3) u : Balıklar karada yaşarlar.
v : Balıklar suda yaşarlar.
u önermesi yanlış ve v önermesi doğru olup u ve v bileşik önermesi yanlıştır.
4) y : Kartal uçan memeli hayvandır.
z : Kanarya uçan memeli hayvandır.
Hem y hem de z önermeleri yanlış olup y ve z bileşik önermesi de yanlıştır.
ve bağlac› ∧ sembolü ile gösterilir. ve bağlac› ile bağlanm›ş p ile q önermeleri p ∧ q
şeklinde yazılır ve p ve q diye okunur.
18
p
q
p∧q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
Her p, q önermesi için p ∧ q önermesinin doğruluk tablosu
yandaki gibidir.
p ∧ q önermesinin doğruluk değeri, p ile q nun her ikisi de
doğru iken doğru; diğer durumlarda yanlış olur.
“VE” İLE “VEYA” BAĞLAÇLARININ ÖZELLİKLERİ
Aşağıdaki çizelgeleri uygun biçiminde doldurunuz.
1. Çizelge
p
p
1
0
1
0
p∨p
p∧p
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
2. Çizelge
p∧q
q∧p
p∨q
q∨p
3. Çizelge
p
q
r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
q∨r
p∨q
p ∨ (q ∨ r)
p∧q
p∧r
(p ∨ q) ∨ r
4. Çizelge
p
q
r
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
q∨r
p ∧ (q ∨ r)
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
1. Çizelgedeki p ∨ p ile p ∧ p önermelerini p önermesi ile karş›laşt›r›n›z.
2. Çizelgedeki p ∨ q ile q ∨ p ve p ∧ q ile q ∧ p önermelerini karş›laşt›r›n›z.
3. Çizelgedeki (p ∨ q) ∨ r ile p ∨ (q ∨ r) önermelerini karş›laşt›r›n›z.
4. Çizelgedeki p ∧ (q ∨ r) ile (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) önermelerini karş›laşt›r›n›z.
Karşılaştırdığınız önermelerin sonuçlarını tartışınız.
p : (1 ∨ 0) ∧ 1 önermesi ile q: (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) önermelerini inceleyelim.
p : (1 ∨ 0) ∧ 1 ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1, q : (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1
O hâlde, (1 ∨ 0) ∧ 1 ≡ (1 ∧ 1) ∨ (0 ∧ 1) ⇒ p ≡ q olur.
19
Her p, q, r önermesi için,
1) p ∨ p ≡ p ve p ∧ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2) p ∨ q ≡ q ∨ p ve p ∧ q ≡ q ∧ p (Değişme özelliği)
3) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ve (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (Birleşme özelliği)
4) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ve p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Soldan dağılma özelliği)
özellikleri vardır.
Çizelgedeki boş yerleri herhangi iki p ve q önermeleri için uygun biçimde doldurunuz.
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
ı
ı
p
q
p∨q
(p ∨ q)
ı
ı
p ∧q
ı
p∧q
(p ∧ q)
ı
ı
p ∨q
ı
(p ∨ q)ı ile pı ∧ qı bileşik önermelerinin ve (p ∧ q)ı ile pı ∨ qı bileşik önermelerinin doğruluk
değerlerini karşılaştırınız.
Karşılaştırdığınız önermelerden yola çıkarak bir kural oluşturunuz.
ı
ı
ı
p : (1 ∨ 0) önermesi ile q: (1 ∧ 0 ) önermesini karşılaştıralım.
ı
p : (1 ∨ 0) ≡ 1ı ≡ 0
ı
ı
q : (1 ∧ 0 ) ≡ 0 ∧ 1 ≡ 0
ı
ı
ı
O hâlde, (1 ∨ 0) ≡ 1 ∧ 0 ⇒ p ≡ q dur.
ı
ı
ı
ı
ı
ı
(p ∧ q) ∧ q önermesini en sade biçimde yazalım.
ı
ı
(p ∧ q) ∧ q ≡ (p ∨ q ) ∧ q
ı
ı
≡ (p ∨ q ) ∧ (0 ∨ q )
ı
≡ (p ∧ 0) ∨ q
ı
≡ 0∨q
ı
≡ q
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
ı
[ (p ∧ q) ∨ q ] ∧ (p ∧ q) önermesini en sade biçimde yazalım.
[ (p ∧ q) ∨ q ] ∧ (p ∧ q) ≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
20
ı
ı
ı
[ (p ∧ q) ∨ q ] ∧ (p ∨ q )
ı
ı
ı
ı
[ (p ∨ q ) ∧ (q ∨ q ) ] ∧ (p ∨ q )
ı
ı
ı
[ (p ∨ q ) ∧ 1 ] ∧ (p ∨ q )
ı
ı
ı
(p ∨ q ) ∧ (p ∨ q )
ı
ı
(p ∧ p) ∨ q
ı
0∨q
ı
q
(q ∨ q ≡ 1)
ı
ı
ı
ı
((p ∨ q ) ∧ 1 ≡ p ∨ q )
ı
(p
ı
∧ p ≡ 0)
ı
ı
ı
ı
ı
ı
Her p ve q önermesi için, (p ∨ q) ≡ p ∧ q ve (p ∧ q) ≡ p ∨ q dir.
Bu denklikleri ilk bulan Augustus De Morgan (Ogust Dö Morg›n) olduğu için, bu kurallara De Morgan Kurallar› denir.
Bertrand Russel (1872 - 1970), matematiğin prensipleri konulu bir kitap
yazmıştır. Çalışmalarında, önermelerin ilişkilerini ve, veya, ise, ancak ve
ancak gibi mantıksal operatörlere dayalı mantık sistemini tanıtmıştır. Mantıksal
öğretiyle, yeni bir felsefe ortaya koymuştur. Matematiği p ⇒ q biçiminde
önermeler kümesi olarak tanımlaması ile matematiğe yeni bir boyut kazandırmıştır.
George Boole (1815 - 1864), matematiksel mantık teorisine dayalı Boolean
Cebiri teoremini geliştirmiştir. George Boole bu eserle matematikte yeni bir
çığır açarak bugünkü bilgi teknolojilerinin gelişebileceği müjdesini o günlerde
vermiştir.
1) Aşağ›daki denklikleri doğruluk tablosu yaparak gösteriniz.
p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r
(q ∨ r) ∧ p ≡ (q ∧ p) ∨ (r ∧ p)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
(q ∧ r) ∨ p ≡ (q ∨ p) ∧ (r ∨ p)
ı
(∧ nin birleşme özelliği)
(∧ nin ∨ üzerine sağdan dağılma özelliği)
(∨ nın ∧ üzerine soldan dağılma özelliği)
(∨ nın ∧ üzerine sağdan dağılma özelliği)
2) [ (p ∧ q) ∨ 1 ] ∨ [ 0 ∨ p ] bileşik önermesinin olumsuzunu en sade biçimde yazınız.
ı
ı
ı
3) (p ∧ q ) ∨ (p ∨ q) önermesini en sade biçimde yazınız.
ı ı
4) [ (p ∧ q) ∨ p ] ∨ (p ∧ q ) önermesini en sade biçimde yazalım.
ı
ı
5) p ∨ (p ∧ q) ≡ p [p ∧ (p ∨ q)] ≡ p olduğunu doğruluk tablosu ile gösteriniz.
ı
ı
ı
6) (p ∧ q) ∧ q ≡ 1 ise (p ∧ q) ∨ q bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
İSE BAĞLACI (Koşullu Önerme) “⇒”
Sayfa 14’deki etkinlikte Kağan, Ankara’ya gitmek için seçebileceği iki yolun uzunluğunu hesaplam›şt›r. A yolunun uzunluğu 703 km, B yolunun uzunluğu 580 km dir. Kağan’›n zaman› az ise
B yolunu seçer.
Buradaki önermeler nelerdir? Bu önermeleri noktalı yere yazalım.
p : ……………………………………………………………………..
q : ……………………………………………………………………..
Bu önermeler hangi bağlaç ile bağlanm›şt›r?
21
p ise q
Kağan’ın
zamanı
azdır.
Kağan,
B yolunu
seçer.
Kağan’ın zaman
durumu ile seçtiği yol
uygundur.
Kağan’ın zamanı az ise B yolunu
seçer.
Kağan’ın
zamanı
azdır.
Kağan,
B yolunu
seçmez.
Kağan’ın zaman
durumu ile seçtiği yol
uygun değildir
Kağan’ın zamanı az ise B yolunu
seçmez.
Kağan’ın
zamanı az
değildir.
Kağan,
B yolunu
seçer.
Kağan’ın zaman
durumu ile seçtiği yol
uygundur.
Kağan’ın zamanı az değil ise B
yolunu seçer.
Kağan’ın
zamanı az
değildir.
Kağan,
B yolunu
seçmez.
Kağan’ın zaman
durumu ile seçtiği yol
uygundur.
Kağan’ın zamanı az değil ise B
yolunu seçmez.
Kağan hangi durumlarda uygun yolu seçmiştir?
Kağan hangi durumlarda uygun olmayan yolu seçmiştir?
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk durumlarını inceleyelim.
1) “Antalya sahil kenti ise plajı vardır.”
2) “−5 < 0 ise (−5)2 < 0 dır.”
3) “İnsanlar nefes almaz ise ölürler.”
4) “Başkent İstanbul ise başbakanlık İstanbul’dadır.”
Bileşik önermeleri ayrı ayrı yazalım.
1) p : Antalya sahil kentidir.
q : Antalya’nın plajı vardır.
Hem p hem de q önermeleri doğru olup p ise q bileşik önermesi de doğrudur.
2) r : −5 < 0
s : (−5)2 < 0
r önermesi doğru, s önermesi yanlış olup r ise s bileşik önermesi yanlıştır.
3) u : İnsanlar nefes almaz.
v : İnsanlar ölürler.
u önermesi yanlış ve v önermesi doğru olup u ise v bileşik önermesi doğrudur.
4) y : Başkent İstanbul’dur.
z : Başbakanlık İstanbul’dadır.
Hem y hem de z önermeleri yanlış olup y ise z bileşik önermesi de doğrudur.
22
Doğruluk Değeri
Doğruluk Değeri
q
Doğruluk Değeri
p
Doğruluk Değeri
Aşağıdaki çizelgeleri inceleyerek boş yerleri uygun şekilde doldurunuz.
İse bağlac› ⇒ sembolü ile gösterilir. İse bağlac› ile bağlanm›ş p ile q önermeleri p ⇒ q
biçiminde yaz›l›r. p ise q diye okunur. p ⇒ q bileşik önermesine koşullu önerme denir.
p
q
p⇒q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
Herhangi iki p, q önermeleri için p ⇒ q önermesinin doğruluk
tablosu yandaki gibidir.
p ⇒ q önermesinin doğruluk değeri, p doğru ve q yanlış iken
yanlış; diğer durumlarda doğru olur.
Aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurunuz.
p
ı
q
p
q
ı
p⇒q
q⇒p
pı ⇒ qı
qı ⇒ pı
pı ∨ q
Denk olan önermeleri belirtiniz.
p : Ali ders çalışmıştır. q : Ali sınavda başarılı olur.
önermeleri ile oluşturulan p ⇒ q: “Ali ders çalışır ise sınavda başarılı olur.” bileşik önermesinden
faydalanarak q ⇒ p, pı ⇒ qı ve qı ⇒ pı bileşik önermelerini yazalım.
q ⇒ p : Ali sınavda başarılı olmuş ise ders çalışmıştır.
pı ⇒ qı : Ali ders çalışmamış ise sınavda başarılı olmaz.
qı ⇒ pı : Ali sınavda başarılı olmamış ise ders çalışmamıştır.
p ⇒ q önermesinde verilen p ve q önermelerinin;
Yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q önermesinin karşıtı denir. p ⇒ q
önermesinin karşıtı q ⇒ p olarak gösterilir.
Olumsuzları alınarak elde edilen önermeye p ⇒ q önermesinin tersi denir. p ⇒ q önerı
ı
mesinin tersi p ⇒ q olarak gösterilir.
Hem olumsuzları alınıp hem de yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q önerı
ı
mesinin karşıt tersi denir. p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q ⇒ p olarak gösterilir.
ı
p ve q önermeleri için p ⇒ q ≡ p ∨ q dur.
p ⇒ (q ∨ p) önermesini en sade biçimde yazalım.
p ⇒ (q ∨ p) ≡
≡
≡
≡
≡
ı
p ∨ (q ∨ p)
ı
p ∨ (p ∨ q)
ı
(p ∨ p) ∨ q
1∨q
1
(p ⇒ q ≡ pı ∨ q)
(pı ∨ p ≡ 1)
23
ı
1) p ⇒ p, p ⇒ p , p ⇒ 1, 1 ⇒ p, p ⇒ 0 ve 0 ⇒ p önermelerinin doğruluk değerlerini doğruluk
tablosu yaparak bulunuz.
2) “Baraj yapılırsa sulu tarımda verim artar.” önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız.
ı
3) (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ q ) önermesini en sade biçimde yazınız.
4) p ⇒ (q ∧ r) ≡ 0 ise (p ∨ q) ⇒ [ r ∧ (q ∧ p) ] bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
ı
ı
5) (p ∧ s) ⇒ [ (q ∧ r ) ⇒ t ] ≡ 0 olduğuna göre (r ∨ p) ⇒ [ (q ∧ s ) ∧ t ] bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
ı
ı
ı
ı
ANCAK VE ANCAK BAĞLACI (İki Yönlü Koşullu Önerme) “⇔”
Kağan Köroğlu
Beli’ni görür.
Kağan B
yolunu
seçer.
Kağan Köroğlu
Beli’ni görür.
Kağan B
yolunu
seçmez.
Kağan Köroğlu
Beli’ni görmez.
Kağan B
yolunu
seçer.
Kağan Köroğlu
Beli’ni görmez.
Kağan B
yolunu
seçmez.
Kağan’ın Köroğlu
Beli’ni görmek için
seçtiği yol uygundur.
Kağan’ın Köroğlu
Beli’ni görmek için
seçtiği yol
uygun değildir.
Kağan’ın Köroğlu
Beli’ni görmek için
seçtiği yol
uygun değildir.
Kağan’ın zaman
durumu ile seçtiği
yol uygundur.
p ancak ve ancak q
Doğruluk Değeri
Doğruluk Değeri
q
Doğruluk Değeri
p
Doğruluk Değeri
Sayfa 14’deki etkinlikte Kağan Ankara’ya giderken Köroğlu Beli’ni görmek istemektedir. “Kağan’›n Köroğlu Beli’ni görmesi ancak ve ancak B yolunu seçmesiyle mümkündür.”
Hangi yolu seçmelidir?
Yazd›ğ›n›z ifadedeki önermeler nelerdir? Bu önermeleri aşağıdaki noktalı yerlere yaz›n›z.
p : ……………………………………………………………………..
q : ……………………………………………………………………..
Bu önermeler hangi bağlaçla bağlanm›şt›r?
Aşağıdaki çizelgeleri inceleyerek boş bırakılan yerleri uygun şekilde doldurunuz.
Kağan’ın Köroğlu Beli’ni
görmesi ancak ve ancak
B yolunu seçmesiyle
mümkündür.
Kağan’ın Köroğlu Beli’ni
görmesi ancak ve ancak
B yolunu seçmemesiyle
mümkündür.
Kağan’ın Köroğlu Beli’ni
görmemesi ancak ve ancak
B yolunu seçmesiyle
mümkündür.
Kağan’ın Köroğlu Beli’ni
görmemesi ancak ve ancak
B yolunu seçmemesiyle
mümkündür.
Kağan hangi durumda mutlaka Köroğlu Beli’ni görür?
Kağan hangi durumlarda Köroğlu Beli’ni görmez?
Aşağıdaki önermelerin doğruluk durumlarını inceleyelim:
1) “Türkiye kuzey yarım kürededir ancak ve ancak Türkiye’de yaşanan en uzun gündüz 21
Haziran’daysa.”
24
2) “Ahmet sınıftadır ancak ve ancak yok yazılırsa.”
3) “Eşkenar dörtgende bütün açıların ölçüleri birbirine eşittir ancak ve ancak bütün kenar
uzunlukları birbirine eşitse.”
4) “İnsanlar ölümsüzdür ancak ve ancak ölümsüzlük ilacı bulunduysa.”
Bileşik önermeleri ayrı ayrı yazalım.
1) p : Türkiye kuzey yarım kürededir.
q : Türkiye’nin en uzun gündüzü 21 Haziran’dadır.
Hem p hem de q önermeleri doğru olup p ancak ve ancak q bileşik önermesi de doğrudur.
2) r : Ahmet sınıftadır.
s : Ahmet yok yazılır.
r önermesi doğru, s önermesi yanlış olup r ancak ve ancak s bileşik önermesi yanlıştır.
3) u : Eşkenar dörtgende bütün açıların ölçüleri birbirine eşittir.
v : Eşkenar dörtgende bütün kenar uzunlukları birbirine eşittir.
u önermesi yanlış ve v önermesi doğru olup u ancak ve ancak v bileşik önermesi yanlıştır.
4) m : İnsanlar ölümsüzdür.
n : Ölümsüzlük ilacı bulundu.
Hem m hem de n önermeleri yanlış olup m ancak ve ancak n bileşik önermesi de doğrudur.
Ancak ve ancak bağlac› ⇔ sembolü ile gösterilir. Ancak ve ancak bağlac› ile bağlanm›ş
p ile q önermeleri p ⇔ q biçiminde yaz›l›r. p ancak ve ancak q diye okunur.
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p⇔q
1
0
0
1
Herhangi p ve q önermeleri için p ⇔ q önermesinin doğruluk
tablosu yandaki gibidir.
p ⇔ q önermesinin doğruluk değeri, p ve q nun her ikisi
de doğru veya her ikisi de yanlış iken doğru; diğer durumlarda
yanlış olur.
Aşağıdaki doğruluk tablosunu doldurunuz.
p
q
p⇒q
q⇒p
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
p⇔q
 p ⇔ q ile (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) önermelerinin doğruluk değerlerini karşılaştırınız.
 Her zaman bu iki önerme denk midir?
ı
ı
ı
ı
ı
p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ p ⇔ q ve (p ⇔ q) ≡ p ⇔ q ≡ p ⇔ q önermelerinin denkliğini doğruluk
tablosu yaparak gösterelim.
p
q
ı
p
ı
q
p⇔q
q⇔p
ı
p ⇔q
ı
p⇔q
ı
ı
(p ⇔ q)
25
Her p ve q önermeleri için, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) dir.
ı
ı
(p ∨ q ) ⇔ q önermesini en sade biçimde yazalım.
ı
ı
ı
ı
[(p ∨ q ) ⇒ q ] ∧ [q ⇒ (p ∨ q )]
ı ı
ı
ı
≡ [(p ∨ q ) ∨ q ] ∧ [q ∨ (p ∨ q )]
ı
ı
ı
≡ [(p ∧ q) ∨ q ] ∧ [(q ∨ q ) ∨ p]
ı
ı
ı
≡ (p ∨ q ) ∧ (q ∨ q ) ∧ (1 ∨ p]
ı
ı
≡ (p ∨ q ) ∧ 1 ∧ 1
ı
ı
ı
≡ p ∨q ≡ p⇒q
ı
ı
1) (p ⇔ q) ∧ (p ∨ q) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
ı
ı ı
2) (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ p ) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
ı
3) p ∨ q ≡ 0 ve [(p ∧ q ) ⇔ (t ⇒ (p ∨ r))] ≡ 1 olduğuna göre t ve r önermelerinin doğruluk
değerlerini bulunuz.
TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ
n
Aşağ›daki çizelgede boş bırakılan yerleri uygun biçimde doldurunuz.
p
ı
p
1
ı
p∨p
p∨1
1
1
p ∨ pı ile p ∨ 1 önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?
Her zaman bu doğruluk değerleri geçerli midir?
n Aşağ›daki çizelgede boş bırakılan yerleri uygun biçimde doldurunuz.
p
ı
p
0
0
0
ı
p∧p
p∧0
p ∧ pı ile p ∧ 0 önermelerinin doğruluk değerleri ne olur?
Her zaman bu doğruluk değerleri geçerli midir?
ı
p ∨ p ≡ ....
p ∨ 1 ≡ ....
Doğruluk değeri daima 1 veya daima 0 olan bileşik önermelerin yazılıp yazılamayacağını
tartışınız.
p ∨ (p ⇒ q) önermesini en sade biçimde yazalım.
26
p ∨ (p ⇒ q) ≡
≡
≡
≡
(p ⇒ q ≡ pı ∨ q)
(p ∨ pı ≡ 1)
ı
p ∨ (p ∨ q)
ı
(p ∨ p ) ∨ q
1∨q
1
ı
(p ⇒ q) ∧ (p ∧ q ) önermesini en sade biçimde yazalım.
ı
ı
(p ⇒ q ≡ pı ∨ q)
(p ∧ p ≡ 0)
ı
(p ⇒ q) ∧ (p ∧ q ) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∧ q )
ı
ı
ı
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ q)
≡ 0
ı
Doğruluk değeri daima 1 olan önermelere totoloji, doğruluk değeri daima 0 olan önermelere de çelişki denir.
ı
1) [ (p ∨ q) ∨ (p ∧ q ) ] ∨ q önermesinin totoloji olduğunu özellikler yardımıyla gösteriniz.
ı ı
ı
ı
2) (p ∨ q ) ∧ (p ∧ q) önermesinin çelişki olduğunu doğruluk tablosu ile gösteriniz.
3) Önermeler cebrini kullanarak [ p ⇒ (p ∧ q) ] ⇒ (p ⇒ q) önermesinin totoloji olduğunu gösteriniz.
ı
ı
ı
4) Önermeler cebrini kullanarak [ (p ⇒ q ) ⇒ [ (p ∨ q) ⇒ q ] ] ∧ p önermesinin çelişki olduğunu
gösteriniz.
ı
ı
ı
AÇIK ÖNERMELER
p : “Bir gerçek sayının karesinin 1 fazlası 17 dir.” önermesi veriliyor.
p önermesini x değişkenine bağlı olarak ifade ediniz.
1
x değişkeni yerine A = −5, −4, , 0, 4, 5 kümesinin hangi elemanları yazılırsa önerme
2
doğru, hangi elemanları yazılırsa önerme yanlış olur. Tartışınız.
Önceki önermeler ile içinde değişken bulunduran önermeler arasındaki farklılığı tartışınız.
{
}
p(x): 2x − 6 ≤ 4, x ∈ N önermesini doğru yapan x doğal sayılarının kümesini bulalım.
2x − 6 ≤ 4 ⇒ 2x ≤ 10 ⇒
x ≤ 5 dir. Buradan, D = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dir.
p(x , y) : x + y = 4, x , y ∈ IN önermesini doğru yapan (x , y) ikililerini bulunuz.
x + y = 4 ise buradan
D = {(0 , 4), (1 , 3), (2 , 2), (3 , 1), (4 , 0)} bulunur.
27
‹çinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin ald›ğ› değerlere göre doğru ya da
yanl›ş hüküm bildiren önermelere aç›k önerme denir.
Değişkenin aç›k önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesine aç›k önermenin doğruluk
kümesi denir.
Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önermedir.
1) Aşağ›daki çizelgede verilen açık önermelerin doğruluk kümelerini bulunuz.
Açık Önerme
p(x) : x < 5, x ∈ N
Doğruluk Kümesi
p(x) : x2 < 17, x ∈ Z
p(x) : x2 + 1 < 5, x ∈ Z
p(x) : 3 < x ≤ 7, x ∈ N
2) Aşağ›daki çizelgede boş bırakılan yerleri, verilen örneğe uygun biçimde doldurunuz.
Açık Önerme
p(x , y) : 2x − 3y = 15
p(x) : 2x < 15
p(x , y) : 2x − 3y < 15
Değişkenlerin
Değeri
p(9 , 1)
Sorgulama
Sonuç
Doğruluk
Değeri
p(−3 , −7)
p(−3)
p(9)
p(1 , −2)
p(0 , 1)
“HER” VE “BAZI” NİCELEYİCİLERİ “∀” VE “∃”
Tam sayılar kümesini göz önüne alarak,
p : Her tam sayı pozitiftir. q : Bazı tam sayılar pozitiftir. Önermelerinin doğruluğunu tartışınız.
p önermesinin doğruluğunu mu yoksa yanlışlığını mı göstermek daha kolaydır? Tartışınız.
q önermesinin doğruluğunu mu yoksa yanlışlığını mı göstermek daha kolaydır?
Yukarıdaki önermelere “her” ve “bazı” sözcüklerinin yüklediği anlamları tartışınız.
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulalım:
p : Her doğal sayının 2 katı çift doğal sayıdır.
q : Bazı doğal sayıların kareleri negatiftir.
2 katı çift olmayan en az bir doğal sayı bulunamaz. Bu yüzden p önermesi doğru olup doğruluk değeri 1 dir.
Karesi negatif olan en az bir doğal sayı bulunamaz. Dolayısıyla q önermesi yanlış olup doğruluk değeri 0 dır.
28
Baz› niceleyicisi ∃ sembolü ile gösterilir, en az bir anlam›na da gelir. Bu niceleyiciye varl›ksal niceleyici denir.
Her niceleyicisi ∀ sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.
Aşağıdaki çizelgede noktalı yerleri verilen örneklere uygun biçimde doldurunuz.
ı
k(x) : ∀x ∈ R için x2 + 1 < 0 d ır.
k (x) : ∃x ∈ R için x2 + 1 ≥ 0 dır.
t(x) : ∃x ∈ N için 3x − 5 = 0 d ır.
t (x) : ...........................................................
ı
ı
m(x) : (∀x ∈ R için x − 3 ≥ 2) ∨ (∃x ∈ R için x2 < 0) m (x) : (∃x ∈ R için x − 3 < 2) ∧ (∀x ∈ R için x2 ≥ 0)
ı
n(x) : (∀x ∈ Z için x + 1 ≠ 0) ∨ (∃x ∈ R için x + 3 = 0) n (x) : ..........................................................
ı
l(x) : ............................................................... l (x) : (∀x ∈ R için x3 < 0) ∨ (∀x ∈ R için x2 > 2)
Niceleyici bulunduran önermelerin olumsuzları yazıldığında;
Önermedeki değişimi tartışınız.
<, ≤, >, ≥, =, ≠, ∧, ∨ sembollerindeki değişimler için ne söylenebilir?
Niceleyicilerin olumsuzlarının ne olabileceğini tartışınız.
p(x) : (∀x ∈ R için 2x − 3 > 0) ∧ (∃x ∈ R için x + 2 = 0) bileşik önermesinin olumsuzunu yazalım.
ı
ı
ı
(p ∧ q) ≡ p ∨ q olduğundan,
ı
p (x) : (∃x ∈ R için 2x − 3 ≤ 0) ∨ (∀x ∈ R için x + 2 ≠ 0) olur.
Baz› niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her niceleyicisinin olumsuzu da baz›
niceleyicisidir.
1) Aşağ›daki önermeleri inceleyiniz, doğruluk değerlerini yaz›n›z.
Her kuş, gripli değildir.
Her deniz tuzludur.
Baz› insanlar gözlüklüdür.
Her tam say› bir rasyonel say›d›r.
Baz› bal›klar denizde yaşar.
Baz› bitkiler fotosentez yapar.
Her canl› ölümlüdür.
Her gün 24 saattir.
2
2
2) p(x) : (∃x ∈ R için x + 1 = 0) ∧ (∀x ∈ R için x > 0) önermesinin olumsuzunu yazınız.
3) (∀x ∈ R için 3x − 1 ≤ 5) ⇒ (∃x ∈ R için 2x + 4 > 0) önermesinin karşıt tersini yazınız.
2
2
4) p(x) : (∀x ∈ R için x ≥ 0) ⇔ (∃x ∈ R için x < x) önermesinin olumsuzunu yazınız.
29
İSPAT YÖNTEMLERİ, TANIM, AKSİYOM VE TEOREM
n“Çemberde en uzun kirişe çap denir.” “Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere
önerme denir.”
“Çap” ve “Önerme” terimleri matematiksel terimler midir?
Kullanılan ifadeler terimlerin niteliklerini anlamamız için yeterli midir? Tartışınız.
Yukarıdaki ifadeler her okuyan için her zaman aynı anlamı taşır mı? Tartışınız.
n
p : “Düzlemde bir noktadan sonsuz çoklukta doğru geçer.”
A
A
q : “Düzlemde farklı iki noktadan yalnız ve yalnız bir doğru geçer. ”
B
Sezgilerimize dayanarak p ve q önermelerinin doğruluğunun söylenip söylenemeyeceğini tartışınız.
 Sezgisel olarak doğru olduğu hissedilen önermelerin ispatlanmasına ihtiyaç duyulup duyulmadığını tartışınız.
n
A
α
o
r : “Bir ABC nde iç açılar toplamı 180 dir.”
ABC nde m(A) = α, m(B) = β, m(C) = θ olsun.
β
B

θ
C
Sezgisel olarak α + β + θ = 180o olduğunun söylenip söylenemeyeceğini tartışınız.
Bu önerme bir problem midir?
r önermesinin doğru olduğunu göstermek gerekir mi? Tartışınız.
Aşağıdaki önermelerin hangisinin,
a) Doğruluğu sezgisel olarak söylenebilir?
b) Doğruluğunun ispatlanmasına gerek var mıdır?
c) Bir terimi açıkladığı söylenebilir?
p : “Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler denir.”
q : “İki doğal sayının ardışıkları eşitse bu doğal sayılar birbirine eşittir.”
r : “İki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır.”
30
p önermesi matematiksel bir terim olan “denk önerme” yi açıklar.
q önermesinin doğruluğu sezgisel olarak söylenebilir.
r önermesinin ispatlanması
p
gerekir.
g
Bir terimin anlamını belirlemek, terimi tanımlamaktır. Doğru olduğu ispatsız kabul edilen
önermelere aksiyom; doğruluğunu ispatlamak zorunda olduğumuz önermelere ise teorem denir.
Teorem de aynı zamanda bir önermedir.
Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur. p ⇒ q teoreminde p ye hipotez (varsay›m), q ya
da hüküm (yarg›) denir.
Teoremde hem p nin (hipotezin) hem de q nun (hükmün) doğru olmas› gerekir. Teoremin hipotezinden yola ç›k›p hükmüne ulaşmaya teoremi ispatlamak denir. Bir teorem
ispatlan›rken daha önceki tan›m, aksiyom ve teoremler kullan›l›r.
Teoremin aksiyomdan en önemli farkı, ispatlanma gerekliliğidir.
Teorem: “‹ki çift say›n›n çarp›m› yine bir çift say›d›r.”
Bu teoremin hipotezini ve hükmünü yazalım ve ispatını yapalım.
Hipotez: a ve b iki çift sayıdır.
Hüküm: a.b çift sayıdır.
‹spat: a bir çift say› ise a = 2n olacak şekilde bir n doğal say›s› vard›r. b bir çift say› ise b = 2m
olacak şekilde bir m doğal say›s› vard›r.
a.b = 2n.2m = 2.2nm
= 2.( 2nm )
= 2.k
2nm = k olacak şekilde bir k doğal say›s› vard›r. Bu durumda iki çift say›n›n çarp›m›n›n yine
bir çift say› olduğu görülür.
Teoremin hipotezinin doğruluğundan yola çıkarak hükmünün de doğru olduğunun gösterilmesine doğrudan ispat yöntemi denir.
Teorem: “Bir doğal say›n›n karesi çift say› ise kendisi de çift say›d›r.”
Bu teoremin hipotezini ve hükmünü yazarak ispatını yapalım.
2
Hipotez: a çift sayıdır.
Hüküm: a çift sayıdır.
2
‹spat: a çift say› değil ise a de çift say› değildir.
a çift say› değil ise a = 2n +1 şeklinde bir tek say›d›r. Bu durumda,
2
a = a.a = (2n + 1).(2n + 1)
2
= 4n + 4n + 1
2
2
= 2(2n + 2n) + 1
(2n + 2n) = k ; (k ∈ N)
= 2k + 1
2
2
a çift say› değil ise a de çift say› değildir. Bu durumda “a çift say› ise a say›s› da çift say›d›r.”
31
Hükmün olumsuzundan hareketle hipotezin olumsuzunu elde etmeye olmayana ergi
yöntemi ile ispat denir.
Teorem: x ∈ R olmak üzere, (2x –3 = 9) ⇒ (7x + 5 ≠ 40) dir.
Bu teoremin hipotezini ve hükmünü yazarak ispatını yapalım.
Hipotez: 2x –3 = 9 dur.
Hüküm: 7x + 5 ≠ 40 dır.
‹spat: 2x − 3 = 9 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 6 dır.
Varsayalım ki 7x + 5 = 40 olsun. Bu durumda 7x = 35 ⇒ x = 5 olur.
Bu ise hipotez
p
ile çelişir.
ç ş
Hipotezin doğru olduğu kabul edilip hükmün olumsuzunun hipotez ile çeliştiğinin gösterilmesine çelişki yöntemi ile ispat denir.
p : "∀x ∈ R ⇒ x ≤ x2 dir.” önermesinin yanlışlığını aksine örnek vererek gösterelim.
2
1
1 ⎛ 1⎞
x=
için
≤⎜ ⎟
2
2 ⎝2⎠
⇒
1 1
≤
ifadesi yanlıştır.
2 4
O hâlde, ∀x ∈ R ⇒ x ≤ x2 yanlış olur.
Bir önermenin yanlışlığı için olumsuz bir örnek bulunarak ispatlama yöntemine aksine
örnek vererek ispat yöntemi denir.
İspat yöntemleri aşağıdaki şemada gösterilmiştir.
İSPAT YÖNTEMLERİ
Tümevarım
Tümdengelim
Doğrudan İspat
Olmayana Ergi
Yöntemiyle İspat
Çelişki Yöntemiyle
İspat
Dolaylı İspat
Aksine Örnek
Vererek İspat
1) Ardışık üç sayma sayısının toplamının 3 ile tam bölündüğünü ispatlayınız.
2) (x + 5 = 0) ⇒ (3x − 4 = −19) önermesini olmayana ergi yöntemi ile ispatlayınız.
32
1.ÜNİTE
DEĞERLENDİRME SORULARI
A. Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1)
Dodo diyor ki, Şapkac› yalan söylüyor.Şapkac› diyor ki, Mart Tavşan› yalan söylüyor. Mart
Tavşan› da diyor ki, hem Dodo ve hem de Şapkac› yalan söylüyor. Peki kim doğru söylüyor?
2)
Aşağıdaki ifadelerin hangileri önermedir?
a)
Bu resim çok güzel.
b)
Bugün yağmur yağar mı?
c)
Organ bağışı hayat kurtarır.
ç)
Kırmızı ışıkta sakın geçme!
d)
Eğitime yatırım yapan ülkeler gelişir.
3)
Bir p önermesinin değilini alma işlemi çok say›da tekrarland›ğ›nda doğruluk değerlerinin
ne olacağ›na ilişkin bir sonuca ulaşabilir misiniz?
4)
Seçeceğiniz üç farklı önermenin birbirine denkliği için ne söyleyebilirsiniz?
5)
“5 = 2 ⇔ 8 = 25” önermesinin çift gerektirme olup olmad›ğ›n› söyleyiniz?
6)
[ p ∧ (q ⇒ r ) ] bileşik önermesinin doğruluk tablosunu yap›n›z.
7)
“Kimyasal atıklar çevreye zararlı değildir.” önermesinin olumsuzunu yazınız.
8)
[ (m ∨ r ) ∧ n ] ≡ 0 ise m, n ve r önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz.
9)
p ⇒ (p ∧ q) ≡ p ⇒ q olduğunu doğruluk tablosu yardımıyla gösteriniz.
ı
ı
ı ı
ı
ı
2
10) “x = 16 ⇒ x = −4” önermesinin değilini bulunuz.
ı
11) p ⇒ (p ⇒ q) ≡ 1 olduğunu önermeler cebirini kullanarak gösteriniz.
12) p ≡ 1 ise (p ∧ p) ∧ (p ⇒ q) ≡ q olduğunu önermeler cebiri ile gösteriniz.
2
5
13) “5 > 2 ⇒ 5 = 2” önermesinin tersini, karşıtını ve karşıt tersini gösteriniz.
14) “Bir eşkenar üçgenin bir kenar› 7 cm ise çevresi 21 cm dir.” gerektirmesinin tersini, karş›t›n›
ve karş›t tersini yaz›n›z.
15) p ⇔ q ≡ q ⇔ p ve p ⇔ q ≡ qı ⇔ pı ifadelerinin daima doğru olduğunu doğruluk tablosu
yardımıyla gösteriniz.
16) p ⇔ q bileşik önermesinin değilini ∧ ve ∨ bağlaçlar›n› kullanarak bulunuz.
ı
17) (p ⇔ q) ≡ pı ⇔ q ≡ p ⇔ qı olduğunu doğruluk tablosu ile gösteriniz.
18) Aşağıdaki önermelerin olumsuzlarını yazınız.
2
2
2
2
a)
(∀x ∈ R için, x < 3) ∨ (∀x ∈ R için, x + x ≠ 2)
b)
(∀x ∈ R için, x ≥ 0) ∨ (∃x ∈ R için, x + 1 < 5)
c)
(∃x ∈ R için, x ≥ 3) ⇒ [(∀x ∈ R için, (x < 2) ∨ (x + 1 = 0)]
2
19) ∃x, p(x) aç›k önermesinin doğru olduğunu göstermek için p(x) in doğruluğunu sağlayan
kaç tane x bulmak yeterlidir?
20) ∀x, p(x) aç›k önermesinin doğru olmadığını göstermek için p(x) in yanlışlığını sağlayan kaç
tane x bulmak yeterlidir?
33
B. Aşağıdaki önermelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1)
Her ayda 28 gün vardır.
(
)
2)
Her ay 28 gündür.
(
)
3)
Bazı aylar 28 gündür.
(
)
4)
∀n ∈ N için 2n + 1 tek sayıdır.
(
)
5)
∀n ∈ N için 2n çift sayı değildir. (
)
C. Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
1)
Aşağıdaki önermelerden kaç tanesi totolojidir?
I)
q∨r
II)
r ∨ rı
III) p ∨ q ∨ r
IV) 1 ∧ (qı ∧ r)
V)
A) 1
2)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
(p ⇒ qı) ∧ (p ⇒ q) bileşik önermesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) p
3)
ı
[ (pı ∧ q) ∧ (pı ∨ q) ]
C) pı
B) q
D) qı
E) p ∨ q
Aşağıdaki önermelerden kaç tanesi çelişkidir?
I) (p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)
II)
ı ı
[ qı ⇒ (p ∧ q) ]
ı
III) (p ⇒ q) ⇒ p
ı
ı
IV) [ (p ⇒ qı) ⇒ p ]
V) p ⇒ (p ∨ q)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D. Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1)
Doğruluk değeri daima 1 olan önermelere ..................... denir.
2)
Doğruluk değeri daima 0 olan önermelere ..................... denir.
3)
Doğru olduğu ispatsız kabul edilen önermelere ...................... denir.
4)
Doğruluğu ispatlanabilen önermelere ....................... denir.
5)
Hükmün olumsuzundan hareketle hipotezin olumsuzunu göstermeye ..................
yöntemi ile ispat denir.
34
2. ÜNİTE
KÜMELER
ALT ÖĞRENME ALANLARI
• Kümelerde Temel Kavramlar
• Kümelerde ‹şlemler
Kümeler, matematiğin nesnelerden oluşan, iyi tan›mlanm›ş topluluklar›n özelliklerini inceleyen dal›d›r. Söz konusu nesneler matematiksel nitelikli (ör. say›lar ya da fonksiyonlar) olabileceği
gibi böyle bir niteliği taş›m›yor da olabilir. Kümeler kuram› günlük yaşamda da kullan›lmaktad›r.
Ancak kuram›n, karmaş›k matematiksel kavramlar›n oluşturulmas›nda bir araç olarak kullan›m›
daha önemlidir. Sezgisel olarak küme kavram›, say› kavram›ndan daha önce geliştirilmiştir. Bir
sürüdeki hayvanlar›n, hiçbir sayma işlemi yapmaks›z›n bir torbadaki taş parçalar›yla ya da bir
çubuğa aç›lan çentiklerle eşleştirilmesi buna bir örnek oluşturur. [1]
Matematik dilinde uluslararas› birlik sağlama gereksinimi on dokuzuncu yüzy›l sonlar›na
doğru zorunlu hâle geldi. Alman matematikçi George Cantor (Corç Kantor) (1845 - 1918) sonlu
ve sonsuz kümeleri oluşturmak amac›yla ilk çalışmaları yapanlardan biridir. Cantor matematiksel küme kavram› ile uğraşmıştır. Ayn› dönemlerde Bernard Bolzano (Bernart Balzano) (1851),
say›labilme problemini ortaya koyan sonsuz kümeler üzerine çal›şmalar yapm›ş ve yay›mlam›şt›r.
Frege (Frek) 1893 y›l›nda Aritmetiğin Temel Yasalar› isimli yap›t›n›n ilk cildinde Cantor’unkine çok
yak›n bir küme kavram› oluşturmuştur. Frege çal›şmalar›nda say›lar›n tan›m›n› küme kavram›na
dayal› olarak yeniden vermeyi denemiştir. [2]
Küme, matematiğin en temel terimlerinden birisi olmasına rağmen tanımsız bir terimdir.
[1] Ana Britannica, Cilt 20, sayfa 126, 1994.
[2] Dönmez, A., Matematiğin Öyküsü ve Serüveni, ‹stanbul, Cilt 1, sayfa 398, 2002.
KÜMELER
Bir futbol maçı kaç takım arasında oynanır?
Her bir takımın bir küme belirtip belirtmediğini tartışınız.
Oyuncuların hangi takıma ait olup olmadıklarını belirleyiniz.
35
• Ali
• Can • Canan
T
• Veli
R
İ
B
• Metin
• Selami
Ü
• Aysun
N
• Turgut
• Önder
• Yalçın
• Muslu
• Mustafa
• Özcan
• Mehmet
• Zeynel
• Timur
A TAKIMI
B TAKIMI
Yukarıdaki resmi inceleyiniz. Resme uygun farklı kümeler oluşturmaya çalışınız.
Yazdığınız farklı kümeler ile arkadaşlarınızın yazdığı kümeleri karşılaştırınız.
Aynı elemanlardan oluşan kümeleri belirleyiniz.
Yazdığınız kümeleri farklı gösterimlerle ifade etmeye çalışınız.
Haftanın “p” harfi ile başlayan günlerini küme olarak farklı biçimlerde gösterelim.
A = { pazar, pazartesi, perşembe }
A
• pazar
• pazartesi
• perşembe
A = { haftanın p ile başlayan
ş y g
günleri }
Herhangi bir A kümesi, elemanları { } sembolü içinde aralarına virgül konarak yazıldığında liste yöntemi ile, kapalı bir eğri içinde elemanlarının başına bir nokta konarak
yazıldığında Venn Şeması ile ve { } sembolü içinde elemanlarının tümünü içeren ortak bir
özelliğe göre yazıldığında ortak özellik yöntemine göre yazılmış olur.
0, 1, 2, 3, 4 elemanlarından oluşan A kümesini farklı biçimlerde gösterelim.
A kümesi,
Liste yöntemi ile:
A = { 0, 1, 2, 3, 4 }
Venn şeması ile:
A
•0
•4
36
•1
•3
•2
Ortak özellik yöntemi ile:
A = { 5 ten küçük doğal sayılar }
A = { x : x ∈ N, x < 5 }
A = { x | x ∈ N, x < 5 }
gösterimlerinden biriyle ifade edilir.
George Ferdinanad Ludwig Philipp Cantor (1845 - 19189) kümeler kavramının kurucusudur. “Sonsuz küme” kavramına matematiksel bir tanım getirmiş
ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan “daha büyük”
olduğunu ispatlamıştır.
1) MAKARA sözcüğünde kullanılan harflerin kümesini Venn şeması ve liste yöntemi ile yazınız.
2) A = { 1, 3, 5, 7 } kümesini ortak özellik yöntemi ve Venn şeması ile gösteriniz.
SONLU VE SONSUZ KÜME
Aşağıdaki kümelerden hangilerinin sonlu sayıda elemandan oluştuğunu bulalım.
A = { x | x ∈ N ve x ≤ 100 }
B = { Bir çuvaldaki pirinç taneleri }
C = { Doğal sayılar }
D = { Tam sayılar }
A kümesi 101 tane doğal sayıdan oluşmuştur.
B kümesindeki pirinç taneleri de sayılabilir çokluktadır.
C ve D kümelerinin eleman sayıları
y
ise sonlu sayıda
y
elemandan oluşmamaktadır.
ş
Sonlu sayıda elemandan oluşan kümelere sonlu küme, sonlu sayıda elemandan oluşmayan kümelere de sonsuz küme denir. Sonlu bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
BOŞ KÜME
Aşağıdaki kümelerin elemanlarını bulalım.
A = { Negatif doğal sayılar }
B = { Karesi sıfırdan küçük tam sayılar }
Negatif doğal sayı olmayacağından ve karesi sıfırdan küçük tam sayı bulunamayacağından
hem A hem de B kümesinin hiçbir elemanı yoktur.
Hiçbir elemanı bulunmayan kümeye boş küme denir.
37
Aşağıdaki kümelerin yanındaki yay ayraçların içine sonlu, sonsuz veya boş küme ifadelerinden doğru olanı yazınız.
A = { x | x, 10 dan küçük sayma sayısı }
(...........................)
B = { x | x, 9 dan büyük doğal sayı }
(...........................)
C = { x | x2 + 16 = 0, x ∈ Z }
(...........................)
D = { Asal sayılar }
(...........................)
ALT KÜME
Aşağıdaki çizelgede verilen kümeleri inceleyerek boşlukları doldurunuz.
Kümeler
{ }
{a}
{ a, b }
{ a, b, c }
{ a, b, c, d }
Alt kümeler
Alt küme sayısı
Kümenin eleman sayısı
{ }
1
0
{ }, { a }, { b }, { a,b }
4
2
8
4
Çizelgede bulunan kümelerin eleman sayılarıyla alt küme sayılarını karşılaştırınız.
Alt küme sayıları bir örüntü oluşturur mu?
Boş küme her kümenin alt kümesi midir?
Her küme kendisinin alt kümesi midir?
Bir kümenin eleman sayısını göz önüne alarak alt küme sayısını veren bir matematiksel
model oluşturunuz.
Beş elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri sayısını bulalım.
5
s(A) = 5, A kümesinin alt kümeleri sayısı: 2 = 32 dir.
128 tane alt kümesi olan bir kümenin eleman sayısını bulalım.
n
s(A) = n olsun. O hâlde: 2 = 128
n
2 = 27
⇒
n = 7 bulunur.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir.
Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerine bu kümenin öz alt kümeleri denir. n elen
manlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2 − 1 dir. Ayrıca A, B, C kümeleri için
•Ø⊂A
•A⊂A
• (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) dır.
Bir A kümesinin öz alt kümeleri sayısının 3 katı, alt küme sayısının 13 fazlasına eşit ise A
kümesinin kaç elemanlı olduğunu bulalım.
38
s(A) = n olsun. Bu durumda,
n
n
3.(2 − 1) = 2 + 13
n
n
3.2 − 3 = 2 + 13
n
2 =8
⇒
n = 3 olur.
Aşağıdaki çizelgede dört elemanlı bir kümenin farklı sayıda eleman içeren alt kümeleri verilmiştir. İnceleyiniz.
Küme
Alt kümeler
0 elemanlı
A = { a, b, c, d }
1 elemanlı
2 elemanlı
3 elemanlı
4 elemanlı
Alt küme sayısı
{ }
{ a }, { b }, { c }, { d }
{ a, b }, { a, c }, { a, d }, { b, c }, { b, d }, { c, d }
{ a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d }
{ a, b, c, d }
A kümesinin iki elemanlı alt kümeleri, bu kümenin ikişerli farklı grupları mıdır? Tartışınız.
A kümesinin elemanlarından oluşan ikili grupların sayısını kombinasyonla ilişkilendirerek
hesaplayınız.
Bulduğunuz sayı ile çizelgedeki iki elemanlı alt küme sayısını karşılaştırınız.
A kümesinin elemanlarından oluşan farklı grupların sayısını kombinasyon kavramı ile ilişkilendiriniz.
A = { a, b, c, d } kümesinin üç elemanlı alt kümeleri sayısını bulalım.
⎛
⎞
s(A) = 4 tür. 4 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümeleri sayısı ⎜⎜ 4 ⎟⎟ olacağından,
⎝ 3 ⎠
⎛ 4 ⎞
4!
4!
4.3.2.1
⎜⎜
⎟⎟ =
=
=
= 4 olur.
⎝ 3 ⎠ (4 − 3)!.3! 1!.3! 1.3.2.1
n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı (r ≤ n) alt kümelerinin sayısı:
⎛
⎞
n!
dir.
C(n ; r) = ⎜⎜ n ⎟⎟ =
⎝ r ⎠ (n − r)!. r!
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde;
a) 1 eleman olarak bulunmaz?
b) 1 eleman olarak bulunur?
c) 4 ve 5 eleman olarak bulunur?
ç) 4 ve 5 eleman olarak bulunur?
39
a) A kümesinden 1 çıkarılırsa kalan elemanların kümesi { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } dir. Bu kümenin
7
alt kümeleri sayısı 2 = 128 dir. Bu 128 tane alt kümede 1 eleman olarak bulunmaz.
b) Tüm alt küme sayısından 1 elemanının bulunmadığı alt küme sayısı çıkarılırsa;
8
7
2 − 2 = 128 tane alt kümede 1 eleman olarak bulunur.
c) A kümesinden 4 ve 5 çıkarılırsa kalan elemanların kümesi { 1, 2, 3, 6, 7, 8 } dir. Bu kümenin
6
elemanları kullanılarak yazılabilecek alt küme sayısı 2 = 64 tür. Bu alt kümelerin her birine 4 ve
5 elemanları ilave edildiğinde 64 tane alt kümede 4 ve 5 eleman olarak bulunur.
ç) Tüm alt küme sayısından 4 ve 5 elemanlarının bulunmasığı alt küme sayısı çıkarılırsa;
8
6
2 − 2 = 256 − 64 = 192 tane alt kümede 4 ve 5 eleman olarak bulunur.
1) A = { a, b, {b}, {a, b}, c, {a, c} } kümesi veriliyor. A kümesini göz önüne alarak aşağ›daki
ifadeler doğru ise noktal› yerlere “D”, yanl›ş ise “Y” harfini yaz›n›z.
b) {a} ∈ A
....
c) {a, b} ∈ A ....
ç) {b, c} ∈ A
....
d) {{a, b}} ⊂ A ....
e) {{a, c}} ∈ A
....
f) s(A) = 8
....
g) {a, c} ⊄ A
....
ğ) {a} ⊂ A
....
h) a ⊂ A
....
ı) {a, b} ⊂ A
....
i) {a, b} ⊄ A
....
j){a, c} ∉ A
....
k) {{a, c}, c } ⊄ A ....
l) s(A) ≠ 6
....
m) { b, {b}, c } ⊄ A ....
a) a ∈ A
....
2) Öz alt küme sayısının 225 fazlası, alt küme sayısının 8 katına eşit olan küme kaç elemanlıdır?
3) A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } olmak üzere A ⊂ K ⊂ B koşuluna uyan kaç
farklı K kümesi yazılabilir?
4) Alt kümeleri sayısı ile öz alt kümeleri sayısı toplamı 255 olan bir A kümesinin eleman sayısını bulunuz.
5) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin sayısını hesaplayınız.
6) A = { a, b, c, d, e, f, g, h } kümesinin öz alt kümelerinin kaç tanesinde d ve e yoktur?
7) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde,
a) 6 eleman olarak bulunur?
b) 3 ve 4, eleman olarak bulunmaz?
c) 3 ve 4, eleman olarak bulunur?
ç) 3 veya 4 eleman olarak bulunur?
8) Bir K kümesinin eleman sayısı, bir S kümesinin eleman sayısından 3 fazladır. Bu K kümesinin alt kümelerinin sayısı S ninkinden 112 fazla olduğuna göre, K kümesi kaç elemanlıdır?
9) En çok 2 elemanl› alt kümelerinin say›s› 67 olan bir kümenin 2 elemanl› kaç tane alt kümesi vard›r?
40
DENK VE EŞİT KÜMELER
Aşağıdaki kümeleri inceleyiniz.
A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { 0, 1, 4, 9 }, C = { Nar, Muz, Dut }, D = { x | x ≤ 2, x ∈ N }
E = { Karesi 10 dan küçük olan doğal sayılar }
Aynı elemanlardan oluşan kümeleri belirtiniz.
Hangi kümelerin eleman sayıları eşittir?
“Denk” ve “Eşit” sözcüklerinin anlamlarını düşünerek hangi kümelerin denk kümeler olduğunu tartışınız.
K={4}
L = { x | x2 = 16, x ∈ Z }
M = { x | x2 = 1, x ∈ R }
N = { −4, 4 }
kümelerinden hangilerinin denk küme, hangilerinin eşit küme olduğunu bulalım.
N = { −4, 4 }, L = { −4, 4 } ve M = { −1, 1 } dir. Buna göre, L ile N kümeleri eşit kümeler; L, M
ve N kümeleri de denk kümelerdir. L = N ve L ≡ M ≡ N şeklinde gösterilir.
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler, eleman sayıları eşit olan kümelere
de denk kümeler denir.
Herhangi A ve B kümesinin eşitliği A = B, denkliği ise A ≡ B biçiminde ifade edilir.
Eşit iki küme daima denktir.
1) A = { x | x = 2n, x < 12, n ∈ N } ile B = { 2 ile tam bölünebilen 11 den küçük doğal sayılar }
kümelerinin eşit olup olmadığını belirtiniz.
2) A = { x | x, 2 ile 7 arasındaki doğal sayı }
B = { y | 5 < y2 < 40 ve y, doğal sayı }
C = { 0 dan 8 e kadar doğal sayılar }
D = { x | x, alfabemizdeki sesli harfler }
kümelerini karşılaştırıp denk kümeler ile eşit olan kümeleri belirleyiniz.
KÜMELERDE İŞLEMLER
“matematik” kelimesinin harflerinden oluşan küme A, “matris” kelimesinin harflerinden oluşan
küme B olsun.
A ile B kümelerini liste yöntemi ile yazınız.
41
A ile B kümelerinin ortak elemanlarının kümesini yazınız.
A ile B kümelerinin tüm elemanlarının kümesini yazınız.
Ortak elemanların ve tüm elemanların kümesi hangi kavramlarla ifade edilir? Tartışınız.
K = { 1, 3, 5, a, c } ve L = { a, 1, b, 2, c, 4, 6, 7 } kümelerinin ortak ve tüm elemanlarının oluşturduğu kümeleri yazınız.
{ 1, a, c }
Tüm elemanların kümesi: { 3, 5, a, 1, b, 2, c, 4, 6, 7 } dir.
Ortak elemanların kümesi:
A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu
kümeye A ile B kümelerinin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir.
A ile B kümelerinin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye de A ile B kümelerinin
birleşim kümesi denir ve A ∪ B biçiminde ifade edilir.
A ∩ B ve A ∪ B kümeleri Venn şeması ile aşağıdaki gibi gösterilir.
A
B
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
A
B
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
A = { 1, 3, 5, 7, 9 }, B = { 0, 2, 4, 6, 8 } ve C = { 3, 4, 5 } kümeleri veriliyor. A ∩ C, A ∪ C, A ∩ B
ve B ∪ C kümelerini bulalım.
A ∩ C = { 3, 5 }, A ∪ C = { 1, 3, 4, 5, 7, 9 }, A ∩ B = ∅ ve B ∪ C = { 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 } olur.
A = { a, b, c, ç }, B = { b, c, ç, d } ve C = { ç, d, e, f, g } kümeleri veriliyor.
a) A ∩ A ve A ∪ A kümelerini A ile,
b) A ∩ B ile B ∩ A ve A ∪ B ile B ∪ A,
c) A ∩ (B ∩ C) ile (A ∩ B) ∩ C ve A ∪ (B ∪ C) ile (A ∪ B) ∪ C,
ç) A ∩ (B ∪ C) ile (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ve A ∪ (B ∩ C) ile (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
d) A ∩ ∅ ile ∅ ve A ∪ ∅ ile ∅ kümelerini karşılaştıralım.
42
a) A ∩ A = { a, b, c, ç } ∩ { a, b, c, ç }
A ∩ A = { a, b, c, ç }
A∩A =A
A∪A
A∪A
A∪A
= { a, b, c, ç } ∪ { a, b, c, ç }
= { a, b, c, ç }
=A
b) A ∩ B = { a, b, c, ç } ∩ { b, c, ç, d }
A ∩ B = { b, c, ç }
A∪B
A∪B
= { a, b, c, ç } ∪ { b, c, ç, d }
= { a, b, c, ç, d }
B ∩ A = { b, c, ç, d } ∩ { a, b, c, ç }
B ∩ A = { b, c, ç }
A∩B =B∩A
c) B ∩ C = { b, c, ç, d } ∩ { ç, d, e, f, g }
B ∩ C = { ç, d }
A ∩ (B ∩ C) = { a, b, c, ç } ∩ { ç, d }
A ∩ (B ∩ C) = { ç }
A ∩ B = { a, b, c, ç } ∩ { b, c, ç, d }
A ∩ B = { b, c, ç }
(A ∩ B) ∩ C = { b, c, ç } ∩ { ç, d, e, f, g }
(A ∩ B) ∩ C = { ç }
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
B ∪ A = { b, c, ç, d } ∪ { a, b, c, ç }
B ∪ A = { a, b, c, ç, d }
A∪B =B∪A
B ∪ C = { b, c, ç, d } ∪ { ç, d, e, f, g }
B ∪ C = { b, c, ç, d, e, f, g }
A ∪ (B ∪ C) = { a, b, c, ç } ∪ { b, c, ç, d, e, f, g }
A ∪ (B ∪ C) = { a, b, c, ç, d, e, f, g }
A ∪ B = { a, b, c, ç } ∪ { b, c, ç, d }
A ∪ B = { a, b, c, ç, d }
(A ∪ B) ∪ C = { a, b, c, ç, d } ∪ { ç, d, e, f, g }
(A ∪ B) ∪ C = { a, b, c, ç, d, e, f, g }
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
ç) B ∪ C = { b, c, ç, d } ∪ { ç, d, e, f, g }
B ∩ C = { b, c, ç, d } ∩ { ç, d, e, f, g }
B ∪ C = { b, c, ç, d, e, f, g }
B ∩ C = { ç, d }
A ∩ (B ∪ C) = { a, b, c, ç } ∩ { b, c, ç, d e, f, g } A ∪ (B ∩ C) = { a, b, c, ç } ∪ { ç, d }
A ∩ (B ∪ C) = { b, c, ç }
A ∪ (B ∪ C) = { a, b, c, ç, d }
A ∩ B = { a, b, c, ç } ∩ { b, c, ç, d }
A ∪ B = { a, b, c, ç } ∪ { b, c, ç, d }
A ∩ B = { b, c, ç }
A ∪ B = { a, b, c, ç, d }
A ∩ C = { a, b, c, ç } ∩ { ç, d, e, f, g }
A ∪ C = { a, b, c, ç } ∪ { ç, d, e, f, g }
A∩C ={ç}
A ∪ C = { a, b, c, ç, d, e, f, g }
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = { b, c, ç } ∪ { ç }
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = { a, b, c, ç, d } ∩ { a, b, c, ç,
d, e, f, g }
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = { b, c, ç }
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
= { a, b, c, ç, d }
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
d) A ∩ ∅ = { a, b, c, ç } ∩ ∅
A∩∅=∅
A ∪ ∅ = { a, b, c, ç } ∪ ∅
A ∪ ∅ = { a, b, c, ç }
A ∪ ∅ = A olur.
Kümelerde kesişim ve birleşim işleminin özellikleri:
Her A, B ve C kümeleri için,
1) Tek Kuvvet Özelliği:
A ∩ A = { x | x ∈ (A ∩ A) }
A ∩ A = {x | x ∈ A ∧ x ∈ A }
A ∩ A = {x | x ∈ A }
A∩A=A
A ∪ A = { x | x ∈ (A ∪ A) }
A ∪ A = {x | x ∈ A ∨ x ∈ A }
A ∪ A = {x | x ∈ A }
A∪A=A
2) Değişme Özelliği:
A ∩ B = { x | x ∈ (A ∩ B) }
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
A ∩ B = {x | x ∈ B ∧ x ∈ A }
A ∩ B = { x | x ∈ (B ∩ A) }
A∩B=B∩A
A ∪ B = { x | x ∈ (A ∪ B) }
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
A ∪ B = {x | x ∈ B ∨ x ∈ A }
A ∪ B = { x | x ∈ (B ∪ A) }
A∪B=B∪A
43
3) Birleşme Özelliği:
A ∩ (B ∩ C) = { x | x ∈ [A ∩ (B ∩ C)] }
A ∩ (B ∩ C) = { x | x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) }
A ∩ (B ∩ C) = { x | x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) }
A ∩ (B ∩ C) = { x | (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C }
A ∩ (B ∩ C) = { x | x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C }
A ∩ (B ∩ C) = { x | x ∈ [(A ∩ B) ∩ C] }
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) = { x | x ∈ [A ∪ (B ∪ C)] }
A ∪ (B ∪ C) = { x | x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C) }
A ∪ (B ∪ C) = { x | x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) }
A ∪ (B ∪ C) = { x | (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C }
A ∪ (B ∪ C) = { x | x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C }
A ∪ (B ∪ C) = { x | x ∈ [(A ∪ B) ∪ C] }
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
4) Yutan Eleman Özelliği:
A ∩ ∅ = { x | x ∈ (A ∩ ∅) }
A ∩ ∅ = {x | x ∈ A ∧ x ∈ ∅ }
A ∩ ∅ = {x | x ∈ ∅ }
A∩∅=∅
5) Birim Eleman Özelliği:
A ∪ ∅ = { x | x ∈ (A ∪ ∅) }
A ∪ ∅ = {x | x ∈ A ∨ x ∈ ∅ }
A ∪ ∅ = {x | x ∈ A }
A∪∅=A
6) Birleşimin Kesişim Üzerine Soldan Dağılma Özelliği:
A ∪ (B ∩ C) = { x | x ∈ [A ∪ (B ∩ C)] }
A ∪ (B ∩ C) = { x | x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C) }
A ∪ (B ∩ C) = { x | x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) }
A ∪ (B ∩ C) = { x | (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) }
A ∪ (B ∩ C) = { x | x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C) }
A ∪ (B ∩ C) = { x | x ∈ [(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)] }
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
7) Kesişimin Birleşim Üzerine Soldan Dağılma Özelliği:
A ∩ (B ∪ C) = { x | x ∈ [A ∩ (B ∪ C)] }
A ∩ (B ∪ C) = { x | x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C) }
A ∩ (B ∪ C) = { x | x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) }
A ∩ (B ∪ C) = { x | (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) }
A ∩ (B ∪ C) = { x | x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C) }
A ∩ (B ∪ C) = { x | x ∈ [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)] }
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Sizler de (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) eşitliklerinin doğruluğunu gösteriniz.
A ∩ B = { 1, 3, 4 } ve A ∩ C = { 3, 4, 6, 7 } veriliyor. A ∩ (B ∪ C) kümesini bulalım.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
= { 1, 3, 4 } ∪ { 3, 4, 6, 7 } = { 1, 3, 4, 6, 7 } olur.
44
A ∩ (B ∪ C) = { 1, 2, 3, 4, 5 } ve A ∩ B = { 1, 4, 5 } kümeleri veriliyor. C ∩ A kümesinin eleman
sayısı en az kaç olur?
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
= (A ∩ B) ∪ (C ∩ A)
{ 1, 2, 3, 4, 5 } = { 1, 4, 5 } ∪ (C ∩ A)
C ∩ A kümesinde 2 ve 3 bulunacağından s(C ∩ A) en az 2 olur.
1. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 1, 2, 3 } ve C = { 3, 6, 9 } kümelerini göz önüne alarak noktalı
yerleri doldurunuz ve buna göre aşağıdaki maddelerde belirtilen işlemleri de yapınız.
A ∩ A = ................
A ∪ ∅ = ................
A ∪ A = ................
A
∩
B
=
................
∅ ∪ A = ................
A ∪ B = ................
B ∩ A = ................
A ∪ (B ∩ C) = ................
B ∪ A = ................
B
∩
C
=
................
A ∩ ∅ = ................
B ∪ C = ................
∅ ∩ A = ................
A ∪ (B ∪ C) = ................ A ∩ (B ∪ C) = ................
(A
∩
B)
∩
C
=
................
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = ................
(A ∪ B) ∪ C = ................
1. Uygun matematiksel sembolleri kullanarak noktalı yerleri doldurunuz.
A ∩ B .... B ∩ A
A ∪ B .... B ∪ A
A ∩ B .... B
A ∩ B .... A
A ∩ ∅ .... ∅ ∩ A
A ∪ ∅ .... ∅ ∪ A
A ∪ B .... B
A ∪ B .... A
A .... A ∪ B
A .... A ∪ B
A ∩ (B ∩ C) .... (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∪ C) .... (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∪ C) .... (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) .... (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI
Aşağıdaki çizelgeyi uygun değerlere göre doldurunuz.
1. Durum
2. Durum
3. Durum
A = { 1, 2, 3 }
B = { 4, 5, 6 }
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 4, 5, 6, 7 }
A = { 1, 2, 3 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
A∩B
A∪B
s(A)
s(B)
s(A ∩ B)
s(A ∪ B)
1. durumdaki A ve B kümeleri için s(A ∪ B) ile s(A) + s(B) değerlerini karşılaştırınız.
2. ve 3. durumdaki A ve B kümeleri için s(A ∪ B) ile s(A) + s(B) değerlerini karşılaştırınız.
s(A) + s(B) değeri bulunurken A ∩ B nin elemanları kaç kez sayılmıştır? Tartışınız.
45
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bu kümelerin eleman sayıları ve kesişim kümelerinin eleman sayısı ile ilişkilendiriniz.
Üç kümenin birleşiminin eleman say›s›n›n, bu kümelerin eleman sayıları, ikişer ikişer kesişimlerinin eleman say›lar› ve üçünün kesişiminin eleman say›s› ile nas›l bulunabileceğini tartışınız.
1 den 20 ye kadar olan doğal sayılardan 2 veya 3 ile tam bölünebilenlerin sayısını bulalım.
A = { 1 den 20 ye kadar olan doğal sayılardan 2 ile tam bölünenler }
B = { 1 den 20 ye kadar olan doğal sayılardan 3 ile tam bölünenler }
A ∩ B = { 1 den 20 ye kadar olan doğal sayılardan 2 ve 3 ile tam bölünenler }
A ∪ B = { 1 den 20 ye kadar olan doğal sayılardan 2 veya 3 ile tam bölünenler } dir.
A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 }
B = { 3, 6, 9, 12, 15, 18 }
A ∩ B = { 6, 12, 18 }
A ∪ B = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20 }
O hâlde; 13 = 10 + 6 − 3 tür.
⇒
⇒
⇒
⇒
s(A) = 10
s(B) = 6
s(A ∩ B) = 3
s(A ∪ B) = 13
Bir gruptaki kişiler A, B ve C gazetelerinden en az birini okumaktadır. A gazetesini okuyanlar
12 kişi, B gazetesini okuyanlar 10 kişi, C gazetesini okuyanlar 8 kişi, A ve B gazetesini okuyanlar
5 kişi, B ve C gazetesini okuyanlar 4 kişi, A ve C gazetesini okuyanlar 3 kişidir. Her üç gazeteyi
de okuyan 1 kişi olduğuna göre bu grup kaç kişidir?
A, B ve C gazetelerini okuyanların sayılarını Venn şemasında gösterelim. Bunun için şemaya
önce her üç gazeteyi okuyanların sayısını sonra ikişer ikişer gazete okuyanların sayısını ve bu
sayıları da göz önüne alarak her bir gazeteyi okuyanların sayısını yazalım.
A
B
4
5
2
1
2
2
3
Gruptaki kişilerin sayısı ise 5 + 4 + 2 + 2 + 1 + 3 + 2 = 19 olarak
bulunur.
C
A ve B kümesinin birleşim kümesinin eleman sayısı,
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B) olur.
A, B ve C kümelerinin birleşim kümesinin eleman sayısı,
s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) − s(A ∩ B) − s(A ∩ C) − s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C) dir.
Herkesin İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini bildiği bir sınıfta İngilizce bilenler Fransızca bilenlerin 3 katının 10 fazlasına eşittir. Her iki dili bilen 5 kişi ve sınıf mevcudu 49 kişi ise bu
sınıfta Fransızca bilenlerin sayısını bulalım.
46
Her iki dili bilen 5 kişiyi kesişim kümesine yazarak Fransızca bilenlerin sayısına x + 5 diyelim.
F
İ
x
5
3x+20
Bu durumda, s(İ) = 3.s(F) + 10
= 3.(x + 5) + 10
= 3x + 25 olur.
s(İ ∪ F) = s(İ) + s(F) − s(İ ∩ F)
49 = 3x + 25 + x + 5 − 5 ⇒ 4x = 49 − 25
4x = 24 ⇒ x = 6 olur. O hâlde, s(F) = 6 + 5 = 11 bulunur.
1) A ve B kümeleri için, s(A ∪ B) = 4x − 6, s(A ∩ B) = x − 7, s(A) = 12 + x ve s(B) = 3x − 8 ise
A ∩ B kümesinin iki elemanlı kaç alt kümesi vardır?
2) 40 kişilik bir s›n›fta 27 öğrenci satranç, 23 öğrenci masa tenisi oynamaktad›r. Bu s›n›fta her
iki oyunu da oynayan kaç öğrenci vard›r?
3) A = { x | 120 < x < 550, x = 7.k, k ∈ Z }, B = { y | 100 < y < 600, x = 5.k, k ∈ Z } kümeleri için
s(A ∪ B) kaçtır?
4) ‹ngilizce, Almanca ve Frans›zca dillerinden en az birinin konuşulduğu bir s›n›fta, ‹ngilizce
bilenler 17, Almanca bilenler 16, Frans›zca bilenler 20 kişidir. ‹ngilizce ve Almanca bilenler 6,
‹ngilizce ve Frans›zca bilenler 9, Almanca ve Frans›zca bilenler 7 kişidir. Her üç dili de bilenler 4
kişi olduğuna göre s›n›f mevcudu kaç kişidir?
5) A ⊄ B, B ⊄ A, A ∩ B ≠ ∅ , s(A) = 9 ve s(B) = 11 olduğuna göre A ∪ B kümesi en az kaç
elemanlı olur?
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME
E
• Matematik Öğretmenliği • Bilgisayar Mühendisliği
• Sınıf Öğretmenliği
• Veterinerlik Fakültesi • Tıp Fakültesi
• Eczacılık Fakültesi
• Kamu Yönetimi
•
Diş Hekimliği Fakültesi
• Ziraat Mühendisliği
A
•
Gıda
Mühendisliği
• Hukuk Fakültesi
Yanda X üniversitesindeki okullar Venn şemasıyla E kümesi olarak verilmiştir.
X üniversitesinden A kümesinde bulunan okulları tercih eden
Maya’nın;
Gidebileceği okulları söyleyiniz.
Gidemeyeceği okulların kümesi B ise B kümesinin elemanlarını yazınız.
A ile B kümelerinin ortak elemanları olup olamayacağını tartışınız.
A ile B kümelerini E kümesi ile ilişkilendiriniz.
E = { 0 dan 11 e kadar doğal sayılar },
A = { 10 dan küçük 3 ün katı olan doğal sayılar },
B = { 12 den küçük 3 ün katı olmayan doğal sayılar } kümelerinin elemanlarını liste yöntemi
ile yazarak Venn şeması ile gösterelim.
47
A •3
•1
•0
•9
•6
•5
•4
•7
•2
• 11
•8
E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 },
B
• 10
A = { 0, 3, 6, 9 },
B = { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 }
E
Kümelerle yap›lan işlemlerde işleme kat›lan, tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye
evrensel küme denir ve E ile gösterilir.
A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan elemanlar›n oluşturduğu kümeye A
›
›
kümesinin tümleyeni denir ve bu küme A ile gösterilir. A kümesi ve A kümesinin hiç ortak
eleman› yoktur.
›
A kümesi ile A kümesinin eleman say›lar› ile E kümesinin eleman say›lar› aras›nda
›
s(A) + s(A ) = s(E) bağıntısı vardır.
›
›
E evrensel küme, A ⊂ E, B ⊂ E için s(A) + s(B ) = 13 ve s(B) + s(A ) = 17 olduğuna göre E
evrensel kümesinin eleman sayısını bulalım.
›
s(A) + s(B ) = 13
›
s(B) + s(A ) = 17
+
›
›
s(A) + s(A ) + s(B) + s(B ) = 13 + 17
s(E)
ı ı
ı
+
ı
s(E)
= 30
ı
⇒
Bu durumda, s(E) = 15 bulunur.
ı
(A ) , E , ∅ , A ∩ A ve A ∪ A kümelerinin hangi kümelere eşit olduğunu gösterelim.
ı ı
ı ı
(A ) = { x | x ∈ (A ) }
ı ı
ı
(A ) = { x | x ∉ (A ) }
ı ı
(A ) = { x | x ∈ A }
ı ı
(A ) = A
E = {x | x ∈ E }
ı
E = {x | x ∉ E }
ı
E = {x | x ∈ ∅ }
ı
E =∅
ı
A ∩ A = { x | x ∈ (A ∩ A ) }
ı
ı
A ∩ A = {x | x ∈ A ∧ x ∈ A }
ı
A ∩ A = {x | x ∈ ∅ }
ı
A∩A =∅
ı
ı
∅ = {x | x ∈ ∅ }
ı
∅ = {x | x ∉ ∅ }
ı
∅ = {x | x ∈ E }
ı
∅ =E
ı
ı
ı
A ∪ A = { x | x ∈ (A ∪ A ) }
ı
ı
A ∪ A = {x | x ∈ A ∨ x ∈ A }
ı
A ∪ A = {x | x ∈ E }
ı
A∪A =E
ı
ı
ı
ı
A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, (A ∪ B) ile (A ∩ B) kümelerinin
hangi kümelerin birleşimi ya da kesişimi olduğunu araştıralım.
48
ı
ı
ı
(A ∪ B) = { x | x ∈ (A ∪ B) }
ı
(A ∪ B) = { x | x ∉ (A ∪ B) }
ı
(A ∪ B) = { x | x ∉ A ∧ x ∉ B }
ı
ı
ı
(A ∪ B) = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
ı
ı
ı
(A ∪ B) = { x | x ∈ (A ∩ B ) }
ı
ı
ı
(A ∪ B) = A ∩ B
ı
(A ∩ B) = { x | x ∈ (A ∩ B) }
ı
(A ∩ B) = { x | x ∉ (A ∩ B) }
ı
(A ∩ B) = { x | x ∉ A ∨ x ∉ B }
ı
ı
ı
(A ∩ B) = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
ı
ı
ı
(A ∩ B) = { x | x ∈ (A ∪ B ) }
ı
ı
ı
(A ∩ B) = A ∪ B
Yukarıdaki kuralları De Morgan (Dö Morgın) bulduğu için bu kurallara De Morgan Kuralları denir.
1) A = { 1, 2, 3, 4, a, b } ve B = { 2, 3, a, 5, c, 7 } kümeleri E = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, a, b, c, d, 8 }
evrensel kümesinin alt kümeleridir. Aşağ›daki noktal› yerleri doldurunuz.
›
›
›
A = .............................
A ∪ B = .............................
›
›
B = .............................
(A ∪ B) = .............................
›
›
A ∩ B = .............................
A ∩ B = .............................
›
(A ∩ B) = .............................
›
2) (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B) kümesini en sade biçimde yazınız.
3) [ A ∪ (A ∪ B) ] ∩ [ A ∪ (A ∪ B) ] kümesini en sade biçimde yazınız.
ı
›
4) [ A ∪ (A ∪ B) ] ∩ [ B ∪ (A ∪ B) ] kümesini en sade biçimde yazınız.
ı
›
ı
5) E evrensel
kümesinin alt kümeleri A ve B dir. Buna göre,
ı
ı
› ı
›
› ı
kümesini en sade biçimde yazınız.
[E ∪ (A ∪ B ) ] ∩ [(A ∩ B) ∪ (A ∪ B ) ]
İKİ KÜMENİN FARKI
İzmir Atatürk Lisesi öğrencilerinden Can, Nil, Ali, Kaan matematik projesi ile; Ali, Can, Miray,
Aslı ve Ceyda kimya projesi ile okullarını temsil edeceklerdir. Matematik projesi hazırlayan öğrenciler A kümesiyle, kimya projesi hazırlayan öğrenciler de B kümesi ile gösterilsin.
A ve B kümelerini Venn şeması ile gösteriniz.
Her iki projede görev alan öğrencileri söyleyiniz.
Matematik projesinde görev alan fakat kimya projesinde görev almayan öğrencileri belirleyiniz.
Kimya projesinde görev alan fakat matematik projesinde görev almayan öğrencileri belirleyiniz.
Yalnız kimya ya da yalnız matematik projesinde görev alan öğrencilerin kümesinin nasıl
ifade edilebileceğini tartışınız.
A = { 1 ile 25 arasındaki çift doğal sayılar }
B = { 1 ile 35 arasındaki 4 ün katı olan doğal sayılar } kümeleri veriliyor.
a) Yalnız A kümesinde bulunan elemanları belirleyiniz.
b) Yalnız B kümesinde bulunan elemanları belirleyiniz.
49
A
Her iki kümede bulunan sayılar kümesi: { 4, 8, 12, 16, 20, 24 }
B
• 28
• 2 • 10 • 4
a) Yalnız A kümesinde bulunan ama B kümesinde bulun• 12
• 32
• 14 • 6
mayan
sayılar kümesi: { 2, 6, 10, 14, 18, 22 } olur.
• 16
•8
• 18
b) Yalnız B kümesinde bulunan ama A kümesinde bulun• 24
• 22 • 20
mayan sayılar kümesi: { 28, 32 } olur.
A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanlar›n kümesine A fark B kümesi
denir ve A – B biçiminde gösterilir. B kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanlar›n kümesine de B fark A kümesi denir ve B – A biçiminde gösterilir.
E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } evrensel kümesinin A = { 1, 2, 3 } ve B = { 2, 3, 4, 5 } alt kümeleri
veriliyor.
a) A − B ile A ∩ B
b) A − A ile ∅
ı
c) A − ∅ ile A
ve
∅ − A ile ∅
ç) A − E ile ∅
ve
E − A ile A kümelerini karşılaştıralım.
ı
A = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } ve B = { 0, 1, 6, 7, 8, 9 } dur.
ı
ı
a) A − B = { 1, 2, 3 } − { 2, 3, 4, 5 }
A−B={1}
b) A − A = { 1, 2, 3 } − { 1, 2, 3 }
A−A=∅
c) A − ∅ = { 1, 2, 3 } − ∅
A − ∅ = { 1, 2, 3 }
A−∅=A
ç) A − E = { 1, 2, 3 } − { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A−E=∅
A ∩ B = { 1, 2, 3 } − { 0, 1, 6, 7, 8, 9 }
ı
A∩B ={1}
ı
∅ − A = ∅ − { 1, 2, 3 }
∅−A=∅
E − A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } − { 1, 2, 3 }
E − A = { 0, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
ı
E − A = A olur.
Kümelerde fark işleminin özellikleri:
1) A − B = { x | x ∈ (A − B) }
B − A = { x | x ∈ (B − A) }
A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B }
B − A = {x | x ∈ B ∧ x ∉ A }
ı
ı
A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
B − A = {x | x ∈ B ∧ x ∈ A }
ı
ı
A − B = { x | x ∈ (A ∩ B ) }
B − A = { x | x ∈ (B ∩ A ) }
ı
ı
A−B=A∩B
B−A=B∩A
ı
ı
A – B = A ∩ B ve B – A = B ∩ A olduğuna göre A – B ≠ B – A olur.
2) A ⊂ E olmak üzere,
A − A = { x | x ∈ (A − A) }
A − A = {x | x ∈ A ∧ x ∉ A }
ı
A − A = {x | x ∈ A ∧ x ∈ A }
ı
A − A = { x | x ∈ (A ∩ A ) }
A − A = {x | x ∈ ∅ }
A−A=∅
50
3) A ⊂ E olmak üzere,
A − ∅ = { x | x ∈ (A − ∅) }
A − ∅ = {x | x ∈ A ∧ x ∉ ∅ }
ı
A − ∅ = {x | x ∈ A ∧ x ∈ ∅ }
A − ∅ = {x | x ∈ A ∧ x ∈ E }
A − ∅ = { x | x ∈ (A ∩ E) }
A − ∅ = {x | x ∈ A }
A−∅=A
4) A ⊂ E olmak üzere,
A − E = { x | x ∈ (A − E) }
A − E = {x | x ∈ A ∧ x ∉ E }
ı
A − E = {x | x ∈ A ∧ x ∈ E }
A − E = {x | x ∈ A ∧ x ∈ ∅ }
A − E = { x | x ∈ (A ∩ ∅) }
A − E = {x | x ∈ ∅ }
A−E=∅
∅ − A = { x | x ∈ (∅ − A) }
∅ − A = {x | x ∈ ∅ ∧ x ∉ A }
ı
∅ − A = {x | x ∈ ∅ ∧ x ∈ A }
ı
∅ − A = { x | x ∈ (∅ ∩ A ) }
∅ − A = {x | x ∈ ∅ }
∅−A=∅
E − A = { x | x ∈ (E − A) }
E − A = {x | x ∈ E ∧ x ∉ A }
ı
E − A = {x | x ∈ E ∧ x ∈ A }
ı
E − A = { x | x ∈ (E ∩ A ) }
ı
E − A = {x | x ∈ A }
ı
E−A=A
ı
E evrensel küme ve A ⊂ E ve B ⊂ E dir. (∅ ∪ B ) − [(E ∩ A ) − (A − E )] kümesini en sade biçimde yazalım.
ı
∅ ∪ B = E ∪ B = E dir.
ı
E ∩ A = A ve A − E = ∅ olduğundan (∅ ∪ B ) − [(E ∩ A ) − (A − E )] = E − (A − ∅ )
=E−A
ı
= A bulunur.
1) Yandaki E evrensel kümesinin
A, B ve C alt kümeleri verilmiştir. Buna
göre, aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
A
•b
•a
•c •d
A − B = ...............
ı
A ∩ B = ...............
ı
B ∩ A = ...............
ı
A − A = ...............
C − C = ...............
C−∅
∅ −C
B −C
ı
C
E −C
•e
•f
B
•g
•h
•k
•n
C
•l
•r
E
•m
•p
= ...............
= ...............
= ...............
= ...............
= ...............
C −E
ı
A
E −A
A −E
ı
B
= ...............
= ...............
= ...............
= ...............
= ...............
ı
2) s(A) = 5, s(B) = 9 ve s(E) = 20 olduğuna göre, s[(B – A) ∪ (B – A)] kaçtır?
ı
3) (A – B) ∩ (A – B ) = ∅ olduğuna gösteriniz.
ı
4) (A – B) ∪ (A ∪ B) = E olduğuna gösteriniz. ( E evrensel küme)
51
KÜMELERDEKİ İŞLEMLERİ KULLANARAK PROBLEM ÇÖZME
İ
T
E
Yandaki evrensel küme içindeki x, y, z, a, b, c, p, t
harfleri bulunduklar› kümelerin eleman say›lar›n› gösterp
mektedir.
a
b
‹ : ‹spanyolca bilenler kümesini,
z
T : Türkçe bilenler kümesini,
t
R
R : Rusça bilenler kümesini belirtmektedir.
Venn şemas›na bakarak çizelgedeki 2. sütunu uygun biçimde dolduralım.
x
c
y
1. sütun
‹spanyolca bilenlerin say›s›
‹spanyolca ve Türkçe bilenlerin say›s›
‹spanyolca veya Türkçe bilenlerin say›s›
Yaln›z ‹spanyolca bilenlerin say›s›
Yaln›z bir dil bilenlerin say›s›
Yaln›z iki dil bilenlerin say›s›
En az iki dil bilenlerin say›s›
En çok iki dil bilenlerin say›s›
En az bir dil bilenlerin say›s›
En çok bir dil bilenlerin say›s›
Bu dilleri bilmeyenlerin say›s›
Bu üç dili de bilenlerin say›s›
En çok üç dil bilenlerin say›s›
‹spanyolca bilmeyenlerin say›s›
Türkçe ve Rusça bilmeyenlerin say›s›
Türkçe veya Rusça bilmeyenlerin say›s›
‹spanyolca ve Türkçe bilen Rusça bilmeyenlerin sayısı
‹spanyolca veya Türkçe bilen Rusça bilmeyenlerin say›s›
2. sütun
x+a+c+p
c+p
x+c+p+a+b+y
x
x+y+z
a+b+c
a+b+c+p
a+b+c+x+y+z+t
x+y+z+a+b+c+p
x+y+z+t
t
p
p+a+b+c+x+y+z+t
b+y+z+t
x+y+a+b+z+t
x+t
c
x+y+c
41 oyuncunun bulunduğu bir kulüpte futbol veya basketbol oynayan 30 oyuncu, futbol oynamayan 17 oyuncu, basketbol oynamayan 22 oyuncu vard›r. Her iki oyunu da oynayan kaç oyuncu vard›r?
Kulüpteki tüm oyuncular›n kümesine evrensel
küme diyerek evrensel küme içinde futbol oynayanlar›n kümesi F, basketbol oynayanlar›n kümesini B ile gösterelim.
a, b, c ve d harfleri içinde bulunduklar› kapal›
bölgelerin eleman say›lar›n› göstermektedir. Buna
göre,
52
F
E
B
a
b
c
d
verilenler
a + b + c + d = 41
a + b + c = 30
c + d = 17
a + d = 22
istenen
b
a + b + c = 30
a + b + c + d = 41 ⇒ d = 11
a + b + c = 30
⇒
⇒
⇒
c + d = 17 ⇒ c + 11 = 17 ⇒ c = 6
a + d = 22 ⇒ a + 11 = 22 ⇒ a = 11
11 + b + 6 = 30
b + 17 = 30
b = 13 bulunur.
1) 66 kişinin bulunduğu bir s›n›fta Almanca bilenler, ‹ngilizce ve Almanca bilenlerin 4 kat›;
‹ngilizce bilenler, yaln›z Almanca bilenlerin 2 kat›d›r. ‹ngilizce veya Almanca bilmeyen 3 kişi
olduğuna göre bu s›n›fta ‹ngilizce bilenler kaç kişidir?
2) Herkesin en az bir dil bildiği 57 kişilik bir s›n›fta ‹ngilizce bilenlerin say›s›, Almanca bilenlerin say›s›n›n 4 kat›ndan 5 fazlad›r. Hem ‹ngilizce hem de Almanca bilen 3 kişi olduğuna göre
yaln›z ‹ngilizce bilen kaç kişi vard›r?
2.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A. Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
1)
A ve B gibi iki kümenin öz alt kümeleri say›lar›n›n toplam› 46 ise bu iki kümenin eleman
say›lar› toplam› nedir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
2)
Boş olmayan A ve B kümeleri için A ⊂ B ve 2.s(A) + 3.s(B) = 30 olduğuna göre s(A) + s(B)
toplamı en az kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
3)
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
toplamı çifttir?
A) 6
B) 9
} kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde elemanlar
C) 10
D) 12
E) 15
4)
A ≠ B ve A ∩ B ≠ ∅ olmak üzere, s(A − B) = 5x − 3, s(B − A) = 2 − x verilmiştir. Buna göre
s(A ∪ B) sayısı en az kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
5)
3.s(B) = 4.s(A), s(A) = s(B − A) ve s(A ∪ B) = 72 ise s(B) kaçtır?
A) 28
B) 36
C) 48
D) 52
6)
E) 60
ı
A ve B boş kümeden farklı iki kümedir. s(B) = 4.s(A), s(A ∩ B ) = 4 ve s(A ∪ B) = 44 ise
ı
s(A ∩ B) kaçtır?
A) 38
B) 36
C) 34
D) 30
E) 26
53
7)
30 kişilik bir sınıfta yalnız İngilizce bilen 8, yalnız Almanca bilen 11 ve Almanca bilmeyen 10
öğrenci olduğuna göre Almanca ve İngilizce bilen kaç öğrenci vardır?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 8
E) 9
8)
Futbol, basketbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayan bir sporcu grubunda üç
oyunu da oynayan 4, futbol oynayan 15, voleybol oynayan 18, basketbol oynayan 12, futbol
ve basketbol oynayan 6, futbol ve voleybol oynayan 10, voleybol ve basketbol oynayan 5 kişi
olduğuna göre bu grup kaç kişidir?
A) 27
B) 28
C) 29
D) 30
E) 31
9)
(A − B) ∩ (A ∪ B) kümesinin en sade ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
ı
ı
A) ∅
B) E
C) B
D) A
E) B
ı
10) s(A ∪ B) = 48, s(B − A) = s(A) ve
s(A − B) = s(A ∩ B) dir. s(B) kaçtır?
A) 24
B) 28
C) 36
D) 42
E) 54
11) A ∩ B ≠ ∅, s(B − A) = 5. s(A − B),
s(A ∪ B) = 73 ise A − B kümesinin eleman
sayısı en çok kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
12) Dört elemanlı alt küme sayısı, üç elemanlı alt küme sayısından 14 fazla olan bir kümenin
eleman sayısı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
13) 30 kişilik bir sınıfta 25 öğrenci biyoloji, 21 öğrenci de coğrafya dersinden geçmiştir. 4 öğrenci her iki dersten de kaldığına göre bu iki dersten de geçen kaç öğrenci vardır?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
14) İngilizce, Almanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilen 49 kişilik bir toplulukta İngilizce
bilenler başka dil bilmemektedir. Yalnız bir dil bilenler 45, İngilizce veya Almanca bilen 38,
Fransızca veya İngilizce bilen 44 kişi olduğuna göre İngilizce bilen kaç kişi vardır?
A) 28
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32
15) Bir okuldaki öğrencilerin %50 si Matematik, %70 i Türkçe ve %30 u her iki dersten başarılıdır.
12 öğrenci ise bu derslerden başarısız ise yalnız Matematik dersinden başarılı kaç öğrenci
vardır?
A) 18
B) 24
C) 32
D) 36
E) 48
16) A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
3.s(A) − 2.s(B) = 9, s(A) − 3.s(B) = 3 ve C ≠ ∅ olmak üzere s(E) en az kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
B. Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1)
54
n elemanl› bir kümenin eleman say›s› r kadar art›r›l›rsa alt kümeleri say›s›ndaki değişim için
ne söyleyebilirsiniz?
2)
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin üç elemanl› alt kümeleri say›s› nedir?
3)
A = { 1, 2 } ve B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } olmak üzere A ⊂ K ⊂ B koşuluna uyan A ve B den farkl›
kaç farkl› K kümesi yaz›labilir?
4)
A kümesinin alt küme say›s› 32, B kümesinin öz alt küme say›s› 127 dir. A ∩ B ≠ ∅ olduğuna
göre,
a) A ∪ B en az kaç elemanl›d›r?
b) A ∪ B en çok kaç elemanl›d›r?
5)
D
C
ABCD kare,
APC yayl›, B merkezli çeyrek daire,
P
ANC yayl›, D merkezli çeyrek daire,
| AB | = a cm ise taral› alan› a cinsinden ifade ediniz.
N
A
6)
B
1
1
1
i gözlüklü,
i olup
i k›zd›r. Gözlüklü erkekler s›n›f›n
4
5
3
gözlüksüz erkek say›s› 33 tür. Bu s›n›ftaki gözlüksüz k›zlar›n say›s› kaçt›r?
Bir s›n›f›n öğrencilerinin
C. Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1)
Aynı elemanlardan oluşan kümelere .............................. kümeler denir.
2)
Eleman sayıları eşit olan kümelere .............................. kümeler denir.
3)
İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin ..........
.......................... denir.
4)
İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin ............
.......................... denir.
5)
Hiç elemanı olmayan kümeye .............................. denir.
6)
Boş kümeden farklı, ortak elemanları bulunmayan kümelere .............................. denir.
D. A, B ve C kümeleri için aşağıdaki eşitliklerin karşısına doğru ise (D), yanlış ise (Y)
yazınız.
1)
A ≡ B ⇒ A = B ....................... ........................................................(
)
2)
A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A ......................... ...............................................(
)
3)
ı
ı
ı
(A ∪ B) = A ∩ B ............................. ...............................................(
ı
)
4)
A − B = A ∩ B .............................. .................................................(
)
5)
s(A ∪ B ∪ C) = s(A) + s(B) + s(C) ..................................................(
)
6)
ı
A ∩ A = E ..................................... ..................................................(
)
55
3. ÜNİTE
BAĞINTI - FONKSİYON - İŞLEM
ALT ÖĞRENME ALANLARI
• Sıralı İkili
• Kartezyen Çarpımı
• Bağıntı
• Fonksiyon
• İşlem
• Fonksiyonlarda ‹şlemler
Fonksiyon terimi, “bir çokluğun bir başkas›na bağl› olarak değişmesi” anlam›yla ilk kez 1673
y›l›nda Leibniz (Laybniz) taraf›ndan kullan›ld›. Leibniz buna örnek olarak,
• Dairenin alan›n›n r yar›çap›na bağl› olarak r nin bir fonksiyonu,
• Serbest düşen bir topun h›z›n›n yere değinceye kadar geçen t zaman›na bağl› olduğunu,
h›z›n zaman›n›n fonksiyonu olduğunu göstermiştir. Ayn› y›llarda Euler (Öyl›r), fonksiyonu harflerle
göstermek için formüller ar›yordu. Sonunda, f fonksiyonu göstermek üzere,
y = f(x)
bağ›nt›s›n› uygun buldu. Bunun “y, x in bir fonksiyonudur.” biçiminde okunmas›n› istemiştir. Buradaki x e “f nin bağ›ms›z değişkeni” ve y ye “f nin bağ›ml› değişkeni” denir.
Dirichlet (Dirihle) de fonksiyonu, bir kural içermesi ve bir kümenin her bir eleman›n›, diğer
kümenin sadece bir eleman› ile eşleme olarak tan›mlad›. 1939’da fonksiyon ile ilgili matematik
programlar›nda kullan›lan en iyi tan›m Bourbaki (Burbek)’in küme teorisi anlam›nda düzenlediği
bir tan›md›r. Bu tan›m şöyle idi:
“A ile B ayr›k olan ya da ayr›k olmayan ve boş olmayan iki küme olsun. Eğer A kümesindeki
tüm x lerin her birine, f ile verilen bağ›nt› ile B kümesindeki sadece bir tek y karş›l›k geliyorsa
verilen bağ›nt›, A n›n x değişken elemanlar› ile B nin y değişken elemanlar› aras›ndaki fonksiyon
olarak adland›r›l›r.” Günümüzde kulland›ğ›m›z fonksiyon tan›m› Dirichlet-Bourbaki tan›m› olarak
bilinmektedir.
Yukarıdaki fotoğrafları inceleyiniz.
Fotoğraflardaki kişilerin meslekleri ve mesleklerini uyguladıkları yerler arasındaki bağlantıyı belirtiniz.
56
SIRALI İKİLİ
Türkiye Süper Ligi’ndeki tak›mlar iki gruba ayr›lm›ştır.
A Grubu
B Grubu
Ankaragücü
Beşiktaş
Karabükspor
İ. B. Belediyespor
Bursaspor
Eskişehirspor
Samsunspor
Fenerbahçe
Galatasaray
Gaziantepspor
Gençlerbirliği
Kayserispor
Mersin İ.Y.
Orduspor
Antalyaspor
Sivasspor
Trabzonspor
Manisaspor
A grubundan bir spor tak›m› B grubundan bir spor tak›m› ile eşleşerek ilk belirtilen tak›m›n
sahas›nda maç yapacaklard›r. ‹lk eşleşme aşağ›da verilmiştir. Siz de her tak›m› yaln›z bir tak›m
ile eşleyerek olas› maçlar› noktal› yerlere yaz›nız.
Galatasaray - Fenerbahçe
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
Bu karşılaşmalardan sonra rövanş maçları da yapılacağından eşleşmelerin nasıl olacağını
tekrar gözden geçiriniz.
Fenerbahçe - Galatasaray
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
................................................
 Bir spor karş›laşmas›nda tak›m adlarının öne veya arkaya yaz›lmas›n›n bir önemi var
m›d›r? Tartışınız.
57
Yapılan karşılaşmaları sıralı ikililer şeklinde yazınız.
(Galatasaray, Fenerbahçe) sıralı ikilisi ile (Fenerbahçe, Galatasaray) sıralı ikilisinin farklı
yönlerini tartışınız.
İkililerin yazılımında sıra önemli midir? Tartışınız.
İkililerin birinci bileşenlerin ortak özelliğini tartışınız.
İkililerin ikinci bileşenlerinin ortak özelliğini tartışınız.
 (Galatasaray, Fenerbahçe) sıralı ikilisi ile (Fenerbahçe, Galatasaray) sıralı ikilisinin birbirine eşit olup olamayacağını tartışınız.
Manisa, Bursa, Nevşehir, Antalya, Mardin, Erzincan, Artvin illeri veriliyor (il, bulunduğu bölge)
sıralı ikililerini oluşturalım.
(Manisa, Ege), (Nevşehir, İç Anadolu), (Antalya, Akdeniz), (Mardin, Güneydoğu Anadolu),
(Erzincan, Doğu Anadolu), (Artvin, Karadeniz), (Bursa, Marmara)
(a, b) s›ral› ikilisinde a ya s›ral› ikilinin birinci bileşeni, b ye ise ikinci bileşeni denir. (a, b)
s›ral› ikilisi ile (b, a) s›ral› ikilisi birbirinden farkl›d›r.
Sıralı ikililerin eşitliği, (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d biçiminde ifade edilir.
(3 − x, 1) = (2, 4 + y) ise x + y kaçtır?
3−x=2
x=3−2
x=1
ve
1=4+y
y=1−4
y = −3
⇒
x + y = 1 + (− 3) = − 2 olur.
(2x − 12, 3x) = (3y, 1 − 4y) ise x − y kaçtır?
2x − 12 = 3y
2x − 3y = 12
/
/
3x = 1 − 4y
3x + 4y = 1
4 2x − 3y = 12
⇒
3 3x + 4y = 1
⇒
8x − 12y = 48
+ 9x + 12y = 3
17x = 51
x=3
O hâlde, x − y = 3 − (−2) = 3 + 2 = 5 bulunur.
(2
58
x−3
y+2
⎛
⎛ 1⎞ ⎞
⎜
, 27) = ⎜16, ⎜ ⎟ ⎟⎟ ise x.y değeri kaçtır?
⎝3⎠ ⎠
⎝
2x − 3y = 12
2.3 − 3y = 12
6 − 3y = 12
y = −2
y+2
x−3
2
= 16
x−3
⎛ 1⎞
27 = ⎜ ⎟
⎝3⎠
ve
−1 y+2
3 = (3 )
3 = −y − 2
4
3
2 =2
x−3=4
x=7
y = −5
O hâlde, x.y = 7.(−5) = −35 bulunur.
1) (2x – 1, 3 + y) = (5 + x, –7 – y) ise x + y değerini bulunuz.
2) (3a – b, 7) = (5, –a) ise (a, b) nedir?
3) (4x – 5y, 3x + 4y) = (11, –15) ise
4) (4
, 625) = (64, 25
x+1
y−3
y
değerini bulunuz.
x
) ise x.y değerini bulunuz.
İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI
Atatürk Lisesi ile Fen Lisesi oyuncuları masa tenisi maçları yapacaklardır. Yapılacak maçlarda her oyuncu rakip takımın her oyuncusu ile karşılaşacaktır.
Atatürk Lisesi Oyuncuları
Nur
Figen
Gözde
Fen lisesi Oyuncuları
Pelin
Cansu
Ekin
(Atatürk Lisesi oyuncusu, Fen Lisesi oyuncusu) şeklinde oluşacak tüm eşleşmeleri sıralı
ikili olarak yazınız.
Oluşturduğunuz ikililerin kümesini liste yöntemi ile yazınız.
Bu ikililerin kümesinin eleman sayısını bulunuz.
Takım oyuncularının sayısı ile ikililer kümesinin eleman sayısını ilişkilendiriniz.
İki kümenin elemanlarından, bir kurala uygun olarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesi
yazılırken nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız.
A = { Ali, Can }, B = { Ağrı Dağı, Süphan Dağı, Bozdağ }
Yukarıdaki A kümesinde verilen dağcıların her biri B kümesindeki her dağa tırmanacaktır.
(Dağcı, Dağ) biçiminde oluşturulabilecek tüm ikililerin kümesini yazalım.
K = { (Ali, Ağrı Dağı), (Ali, Süphan Dağı), (Ali, Bozdağ), (Can, Ağrı Dağı), (Can, Süphan Dağı),
(Can, Bozdağ) }
s(K) = 6, s(A) = 2 ve s(B) = 3 ⇒ s(K) = s(A).s(B) dir.
59
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 1. bileşeni A kümesinden, 2. bileşeni B kümesinden olmak üzere yazılan tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B kümelerinin kartezyen çarpım
kümesi denir ve A x B ile gösterilir.
Bu durum, A x B = { (x , y) | x ∈ A ∧ y ∈ B } biçiminde ifade edilir.
Ayrıca s(A x B) = s(A).s(B) dir.
A = { 1, 2 }, B = { a, b, c } kümeleri veriliyor.
a) A x B ile B x A kümelerini liste yöntemi ile yazalım.
b) A x B ile B x A kümelerini şema ile gösterelim.
c) A x B ile B x A kümelerinin grafiğini çizelim.
a) A x B = { (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) }
B x A = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
b)) A
B
AxB
•1
•2
c)
B
A
BxA
•a
•a
•b
•b
•c
•c
•1
•2
A
B
c
AxB
BxA
2
b
1
a
1
2
A
a
b
c
B
A x B kümesinin grafiğinin çiziminde A kümesinin elemanları yatay, B kümesinin elemanları
düşey eksen üzerine yazılır.
Kartezyen çarpımının özellikleri:
A, B ve C boş kümeden farklı kümeler olmak üzere,
1) A x B ≠ B x A
2) A x ∅ = ∅ x A = ∅
3) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
4) A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
5) A x B = ∅ ⇒ A = ∅ veya B = ∅
60
özellikleri vardır.
A = { 1, 2 } ve B ∪ C = { a, b, c, d } kümeleri veriliyor. s[ (A x B) ∪ (A x C) ] nı bulalım.
s[ (A x B) ∪ (A x C) ] = s[ A x (B ∪ C) ]
= s(A).s(B ∪ C)
= 2.4
= 8 bulunur.
A = { x | 2 ≤ x < 5, x ∈ N } ve B = { y | 1 < y < 4, y ∈ N } olduğuna göre A x B ve B x A kümelerini
oluştural›m.
A x B = { (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3) }
B x A = { (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4) }
A x B kümesinin elemanlar›n› koordinat düzleminde gösterelim. B x A nın grafiğini de siz
çiziniz.
B
A
4
4
AxB
3
3
2
2
1
1
−1 0
A
1
2
3
4
−1 0
B
1
2
3
4
A = { x : −1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R } ve B = { y : 2 < y ≤ 4, y ∈ R } ise A x B nin grafiğini koordinat düzleminde gösterelim. B x A nın grafiğini de siz çiziniz.
B
A
4
4
AxB
3
3
2
2
1
1
−1 0
A
1
2
3
4
−1 0
B
1
2
3
4
61
A = { x : −1 ≤ x < 3, x ∈ R } ve B = { y : 2 ≤ y < 5, y ∈ N } kümeleri için A x B kümesinin grafiğini
koordinat düzleminde gösterelim. B x A nın grafiğini de siz çiziniz.
B
A
4
4
AxB
3
3
2
2
1
1
−1 0
A
1
2
3
4
−1 0
B
1
2
3
4
1) A = { 1, 2 }, B = { x, y, a, b } ve C = { a, b, c } kümeleri için çizelgedeki boş kısımları doldurunuz.
Küme
B∪C
Liste yöntemi ile gösterim
{ x, y, a, b, c }
B∩C
AxB
BxA
AxC
A x (B ∪ C)
(A x B) ∪ (A x C)
A x (B ∩ C)
(A x B) ∩ (A x C)
2) A x B = { (1, 3), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 5), (2, 6) } ise A ve B kümelerini yazınız.
3) A = { x | −4 < x < 12, x = 3k, k ∈ Z } ve B = { y | y2 − 1 = 24, y ∈ Z } kümeleri veriliyor. s(A x B) kaçtır?
4) Aşağıda verilen A ve B kümeleri için A x B ve B x A nın grafiğini çiziniz.
a) A = { x | −2 < x ≤ 3, x ∈ Z } ve B = { y | −1 ≤ y < 3, y ∈ Z }
b) A = { x | 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ Z } ve B = { y | −1 ≤ y < 2, y ∈ R }
c) A = { x | 1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R } ve B = { y | −3 ≤ y ≤ −2, y ∈ R }
5) A = { x | −2 ≤ x − 1 ≤ 4, x ∈ R } ve B = { y | −1 ≤ y + 1 ≤ 7, y ∈ R } veriliyor. A x B nin grafiğini
kapsayan en küçük yarıçaplı dairenin yarıçapını bulunuz.
6) A = { a, b, c, d }, B = { b, c, d, e, f } ve C = { c, d, e, f, g, h } olduğuna göre (AxC) ∩ (BxC)
kümesinin eleman sayısını bulunuz.
62
BAĞINTI
Benzin
Mazot
LPG
1. Resim
2. Resim
Yukarıdaki görselleri inceleyiniz. Her bir görseldeki öğelerin ortak yanlarını söyleyiniz. 1. ve
2. resim arasında bir bağ olup olamayacağını tartışınız.
Aşağıdaki A kümesindeki kişiler B kümesindeki tatlıları yiyeceklerdir.
A
B
• Ece
• Kaya
• Derin
• Sütlaç
• Keşkül
• Baklava
• Kadayıf
A x B kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazınız.
β1 kümesi (kişi, sütlü tatlı) biçiminde oluşan tüm sıralı ikililerin kümesi ise β1 kümesini liste
yöntemi ile yazınız.
β2 kümesi (kişi, hamur tatlısı) biçiminde oluşan tüm sıralı ikililerin kümesi ise β2 kümesini
liste yöntemi ile yazınız.
β1 ve β2 kümelerinin A x B nin alt kümeleri olup olmadığını tartışınız.
(kişi, tatlı) biçimindeki ikililerden oluşturulacak her küme A x B kümesinin alt kümesi olur
mu? Tartışınız.
A x B kümesinin farklı kaç alt kümesi olduğunu söyleyiniz.
A = { 2, 3, 5 } ve B = { 4, 9, 25 } kümeleri veriliyor.
a) β1 = { (x , y) | y = x , x ∈ A, y ∈ B }
2
b) β2 = { (x , y) | y = x , x tek sayı, x ∈ A, y ∈ B }
2
kümelerini liste yöntemi ile yazarak A x B ile karşılaştıralım ve A x B nin kaç farklı alt kümesi olduğunu araştıralım.
A x B = { (2, 4), (2, 9), (2, 25), (3, 4), (3, 9), (3, 25), (5, 4), (5, 9), (5, 25) }
63
β1 = { (2, 4), (3, 9), (5, 25) }
β2 = { (3, 9), (5, 25) }
β1 ⊂ (A x B) ve β2 ⊂ (A x B) dir.
9
Ayrıca s(A x B) = s(A).s(B) = 3.3 = 9 olduğundan A x B nin 2 tane farklı alt kümesi yazılabilir.
A x B kümesinin alt kümelerinin her birine A dan B ye bir bağıntı denir. β kümesi A dan
B ye bir bağıntı ise β ⊂ (A x B) olarak ifade edilir. (x, y) ∈ β ise y elemanı β bağıntısı ile x e
bağlıdır ve bu durum y β x şeklinde gösterilir.
Eğer β, A x A nın bir alt kümesi ise β ya A dan A ya bağıntıdır veya β, A da tanımlı bir
bağıntıdır denir.
A x B kümesinin alt kümelerinin her biri A dan B ye bağıntı sayısı, AxB kümesinin alt
s(A x B)
küme sayısına eşittir. O hâlde A dan B ye bağıntı sayısı: 2
s(A).s(B)
=2
dir.
A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, β ⊂ (A x B) ve
β = { (x , y) | x tek ise y = 2x, x çift ise y =
x
, x ∈ A, y ∈ B } bağıntısı veriliyor.
2
a) β bağıntısını liste yöntemi biçiminde yazınız.
b) β bağıntısını şema ile gösterelim.
c) β bağıntısının grafiğini çizelim.
a) β = { (1, 2), (2, 1), (3, 6), (4, 2) }
b)
c)
β
A
•1
•2
•3
•4
•1
•2
•3
•4
•5
•6
B
B
β
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
A
1) A = { 1, 2, 3 } kümesini göz önüne alarak A x A kümesini oluşturunuz. A dan A ya bağıntı
örnekleri yazınız. A dan A ya en çok kaç tane bağıntı oluşturulabilir?
2) A = { –1, 0, 1, 2 } ve B = { –3, –2, 0, 1, 3, 6 } kümeleri ile β = { (x, y) : x.y =
y ∈ B } bağıntısı veriliyor.
64
–6, x ∈ A ve
a) β bağıntısını liste biçiminde yazınız.
b) β bağıntısını şema ile gösteriniz.
c) β bağıntısının grafiğini çiziniz.
BİR BAĞINTININ TERSİ
A kümesi ulaşım araçlarının, B kümesi de ulaşım araçlarının kullandığı yolların kümesidir.
A
B
• Tren
• Otomobil
• Otoyol
• Vapur
• Tır
• Deniz yolu
• Demir yolu
A x B kümesini yazınız.
A dan B ye “Araçlarla, bu araçların seyrettiği yol” şeklinde tanımlı β1 bağıntısı veriliyor. β1
bağıntısını yazınız.
(Yol, yolu kullanan araç) şeklindeki sıralı ikililerin kümesi β2 olsun. Bu kümeyi yazınız.
β2 kümesinin elemanları ile β1 bağıntısının elemanlarını karşılaştırınız. Aralarındaki ilişkiyi
tartışınız.
β1 bağıntısının elemanlarından yararlanarak β2 kümesi nasıl elde edilir? Tartışınız.
β2 kümesi hangi kümenin alt kümesidir?
β2 kümesi bir bağıntı belirtir mi? Bağıntı ise hangi kümeden hangi kümeye tanımlıdır? Tartışınız.
A = { 0, 1, 2 } ve B = { 0, 1, 3, 4, 5, 6 } kümelerinde tanımlı β1 = { (x , y) | y = 2x + 1, x ∈ A, y ∈ B }
ve β2 = { (x , y) | y =
x −1
, x ∈ B, y ∈ A } bağıntılarını yazıp elemanlarını karşılaştıralım.
2
β1 = { (0, 1), (1, 3), (2, 5) } ve β2 = { (1, 0), (3, 1), (5, 2) } olur. β1 ⊂ (A x B) ve β2 ⊂ (B x A) dır.
β2 nin e
elemanları,
e a a , β1 i o
oluşturan
uştu a ikililerin
e b
bileşenlerinin
eşe e
ye
yer değ
değiştirmesinden
şt es de o
oluşmaktadır.
uş a tad
A ve B boş kümeden farklı olmak üzere β, A dan B ye bir bağıntı olsun. β bağıntısındaki elemanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen yeni bağıntıya β bağıntısının
−1
−1
tersi denir ve β ile gösterilir. β bağıntısı B den A ya tanımlıdır. Bu durumda,
β = { ( x , y) | x ∈ A ∧ y ∈ B } ⊂ A x B
β = { ( y , x) | x ∈ A ∧ y ∈ B } ⊂ B x A olur.
−1
65
A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 1, 2, 3 } kümeleri veriliyor. A kümesinden B kümesine tanımlı bir β bağ›nt›s› β = { (x, y) | x > y ve x, y ∈ A } olarak tan›mlan›yor. β bağ›nt›s›n› ve tersi olan β bağ›nt›s›n›
−1
liste yöntemi ile yazal›m. β ile β bağ›nt›lar›n›n grafiklerini çizelim.
−1
A dan B ye tanımlı β bağ›nt›s› liste yöntemi ile β = { (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) }
şeklinde yazılır.
β bağ›nt›s›n›n tersi olan β bağ›nt›s› liste yöntemi ile β = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4) }
−1
−1
şeklinde yazılır.
A
B
köşegen (y = x doğrusu)
köşegen (y = x doğrusu)
−1
β
4
β
3
3
2
2
1
1
A
1
2
3
B
4
1
2
3
β bağ›nt›s›n›n grafiği ile β bağ›nt›s›n›n grafiğini incelediğimizde, β bağ›nt›s›n›n elemanlar›
−1
−1
y = x doğrusuna göre β bağ›nt›s›n›n elemanlarının simetriğidir.
R de tanımlı β bağıntısının grafiği verilmiştir. β bağıntısının grafiğini çizelim.
−1
y
4
3
2
1
−2
−1
0
−1
−2
66
x
1
2
3
4
β = { (1, 1), (1, 4), (2, 0), (3, 2), (4, −1), (−1, 2), (−1, −2) } ise
β = { (1 ,1), (4, 1), (0, 2), (2, 3), (−1, 4), (2, −1), (−2, −1) } olur.
−1
Bu durumda β in grafiği,
−1
y
4
3
2
1
−2
−1
0
x
1
2
3
4
−1
−2
şeklinde çizilir.
Her β bağ›nt›s›n›n grafiği aynı düzlemde y = x doğrusuna göre simetriği β bağ›nt›s›n›n grafiğidir.
−1
R de tanımlı β bağıntısının grafiği verilmiştir. β bağıntısının grafiğini çizelim.
−1
y
β
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
67
β in grafiğini çizebilmek için β nın y = x e göre simetriğini alalım. Bu durumda β in grafiği,
−1
−1
y
y=x
β
5
4
3
2
β−1
1
x
2
1
3
4
5
şeklinde çizilir.
β = { (x , y) | 2x + y − 4 = 0, (x , y) ∈ R
2
} ise β ∩ β−1 kümesini bulalım.
(x , y) ∈ β iken (y , x) ∈ β dir. Buna göre,
−1
β .............. 2x + y − 4 = 0 ise β ................ 2y + x − 4 = 0 olur.
−1
β ∩ β kümesini bulmak için ortak çözüm yapalım.
−1
2x + y − 4 = 0
−2
/ 2y + x − 4 = 0
y=
4
3
⇒
2x +
⇒
2x + y − 4 = 0
+ −4y − 2x + 8 = 0
4
−4=0
3
⇒
x=
⇒
−3y + 4 = 0 ⇒ y =
4
elde edilir.
3
4
olur.
3
⎧⎛
⎞⎫
−1
Buradan, β ∩ β = ⎨⎜ 4 , 4 ⎟⎬ olur.
⎩⎝ 3 3 ⎠⎭
A = { 0, 2, 4, 6 } kümesinde tanımlı, β = { (x , y) : x⎪y (x böler y), (x , y) ∈ A
yöntemi ile yazalım.
x ⎪y ifadesi, y değeri x değerine tam bölünür anlamına gelir.
Bu durumda, β = { (2, 0), (4, 0), (6, 0), (2, 4), (2, 6) } olur.
68
2
} bağıntısını liste
1) A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinde tan›ml› β = { (x , y) : x böler y, (x , y) ∈ A
2
yöntemi ile yaz›n›z. (A = A x A)
2) A de tan›ml› β bağ›nt›s›, β = { (x , y) : 2x + 3y = 6, (x , y) ∈ A
2
(R = R x R)
2
2
2
} bağ›nt›s›n› liste
} ise β ∩ β−1 kümesini bulunuz.
3) β1 ⊂ Z x Z, β2 ⊂ Z x Z, β1 = { (x , y) : mx + 3y = −4, x , y ∈ Z } ve
β2 = { (x , y) : 5x + ny = −3, x , y ∈ Z } bağ›nt›lar› veriliyor. (−1, 1) ∈ β1 ∩ β2 olduğuna göre m + n
kaçt›r?
4) A = { –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinde β = {(x, y) : y = 2x + 1, (x, y) ∈ A x A} olarak tanımlanmıştır. β–1 bağıntısını liste biçiminde yazınız.
BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ
A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesi tan›ml› β = { (x , y) : x ≤ y, x, y ∈ A } bağ›nt›s› veriliyor.
β bağıntısını liste yöntemi ile yazınız.
β bağıntısı, A kümesinin her elemanını kendisine eşlemiş midir?
β bağıntısındaki her elemanın y = x doğrusuna göre simetriği β bağıntısının elemanı mıdır?
β bağıntısına hangi elemanlar eklenirse oluşan yeni bağıntı y = x doğrusuna göre simetrik olur?
Her (x , y) ∈ β ve (y , x) ∈ β iken (x , z) ∈ β midir? İnceleyiniz.
Yaptığınız çalışmalardan bağıntı ile ilgili çıkarımlar yapınız.
A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinde tanımlı, β = { (x , y) : 3 ⎪ x − y, x, y ∈ A } bağıntısını liste yöntemi
ile yazarak aşağıdaki soruları cevaplayalım.
a) β bağıntısı A kümesinin her elemanını kendisine eşlemiş midir?
b) β bağıntısındaki her elemanın y = x doğrusuna göre simetriği bağıntısının elemanı mıdır?
c) ∀(x , y) ∈ β iken (y , x) ∉ β ve x ≠ y şeklinde β nın bir alt kümesini yazalım.
ç) ∀(x , y) ∈ β ve ∀(y , z) ∈ β iken (x , z) ∈ β mıdır? İnceleyelim.
β = { (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (0, 3), (3, 0), (1, 4), (4, 1) } dir.
Grafikte görüldüğü gibi,
A
y=x
4
β
3
2
1
0
A
1
2
3
4
69
a) β bağıntısı A kümesinin her elemanını kendisine eşlemiştir. Bu elemanlar y = x doğrusu
üzerindedir.
b) β bağıntısının her elemanının y = x doğrusuna göre simetriği vardır.
c) {(0, 3), (1, 4), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
ç) (0 , 0) ∈ β
(1 , 1) ∈ β
(4 , 1) ∈ β
(0 , 3) ∈ β
(2 , 2) ∈ β
ve (0 , 3) ∈ β iken (0 , 3) ∈ β
ve (1 , 4) ∈ β iken (1 , 4) ∈ β
ve (1 , 1) ∈ β iken (4 , 1) ∈ β
ve (3 , 3) ∈ β iken (0 , 3) ∈ β
için 2 ile başlayan ikili yoktur. İnceleyemeyiz.
A ≠ ∅ olmak üzere, β ⊂ A x A olsun.
∀x ∈ A için (x , x) ∈ β oluyorsa β bağ›nt›s›na yansıyan bağıntı veya β bağ›nt›s›n›n yansıma özelliği vardır denir.
∀(x , y) ∈ β iken (y , x) ∈ β oluyorsa β bağ›nt›s›na simetrik bağıntı veya β bağ›nt›s›n›n
simetri özelliği vardır denir.
∀(x , y) ∈ β iken (y , x) ∉ β ve y ≠ x ise β bağ›nt›s›na ters simetrik bağıntı veya β bağ›nt›s›n›n ters simetri özelliği vardır denir.
∀(x , y) ∈ β ve ∀(y , z) ∈ β iken (x , z) ∈ β oluyorsa β bağ›nt›s›na geçişken bağıntı veya
β bağ›nt›s›n›n geçişme özelliği vardır denir.
A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinde tanımlı, aşağıda verilen bağıntı grafikleri üzerinde yansıma,
simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerini inceleyelim.
1)
2)
A
4
β2
4
β1
3
A
3
2
2
1
1
A
1
2
3
4
A
1
2
3
4
1) β1 = {(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 3)} dir. Grafikte görüldüğü gibi,
a) y = x doğrusu üzerinde ( 0, 0), (2, 2), (4, 4) noktaları bulunmadığından β1 bağıntısının
yansıma özelliği yoktur.
b) (1, 4) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği bulunmadığından β1 bağıntısının simetri özelliği yoktur.
c) (1, 4) ve (4, 3) noktalarının y = x doğrusuna göre simetrileri olan noktalar bulunmadı-
70
ğından β1 bağıntısı ters simetriktir.
A
y=x
d)
(1, 1) ∈ β1 ve (1, 4) ∈ β1 iken (1, 4) ∈ β1
(2, 3) ∈ β1 ve (3, 3) ∈ β1 iken (3, 3) ∈ β1
4
(1, 4) ve (3, 3) için 4 ve 3 ile başlayan ikili yoktur. İncele-
3
yemeyiz. Bunun sonucu olarak β1 bağıntısı geçişme özelliğine
2
sahiptir.
1
0
A
1
2
3
4
2) β1 = {(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} dir. Grafikte görüldüğü gibi,
a) y = x doğrusu üzerinde (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) noktaları bulunmadığından β2 bağıntısının yansıma özelliği yoktur.
b) y = x doğrusuna göre (1, 2) noktasının simetriği (2, 1) noktası; (3, 4) noktasının simetriği (4, 3) noktası grafik üzerindedir. Bu nedenle β2 bağıntısının simetri özelliği vardır.
c) En azından (1, 2) noktasının simetriği bulunduğunda β2 bağıntısının ters simetriği özelliği yoktur.
d) (1, 2) ∈ β2 ve (2, 1) ∈ β2 iken (1, 1) ∉ β2 olduğundan β2 bağıntısının geçişme özelliği
yoktur.
A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlı,
β1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
β2 = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}
β3 = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (1, 2)}
β4 = {(2, 2), (1, 3), (3, 2), (1, 2)}
β5 = {(1, 2)}
bağıntıları veriliyor. Bu bağıntıların yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinin olup
olmadığını inceleyelim.
β1: Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.
β2: (3, 3) ∉ β2 olduğundan yansıyan değil, simetriktir.
(1, 2) ∈ β2 ∧ (2, 1) ∈ β2 olduğundan ters simetrik değil, geçişkendir.
β3: (1, 1) ∉ β3 ve (3, 3) ∉ β3 olduğundan yansıyan değildir.
(1, 2) ∈ β3 için (2, 1) ∈ β3 olduğundan simetrik değildir.
(2, 3) ∈ β3 ∧ (3, 2) ∈ β3 olduğundan ters simetrik değildir.
(3, 2) ∈ β3 ∧ (2, 3) ∈ β3 için (3, 3) ∉ β3 olduğundan geçişken değildir.
β4: Yansıyan değil, simetrik değil, ters simetrik ve geçişkendir.
β5: Yansıyan değil, simetrik değil, ters simetrik ve geçişkendir.
71
TİMUR sözcüğündeki harflerin kümesi A dır. A kümesinde tanımlı 8 elemanlı bağıntılardan;
a) Kaç tanesi yansıyandır?
b) Yansıyan olanların kaç tanesinde (T, U) ikilisi bulunur?
c) Yansıyan olanların kaç tanesinde (T, U) ve (M, R) bulunup (İ, M) bulunmaz?
s(A x B) = s(A).s(A) = 5.5 = 25 tir.
a) 25 − 5 = 20
8−5=3
b) 25 − 6 = 19
8−6=2
c) 25 − 8 = 17
8−7=1
⇒
( )
⇒
( )
⇒
( )
20
20.19.18
=
= 190.6 = 1140
3
3.2.1
19
19.18
=
= 19.9 = 171
2
2.1
17
= 17
1
1) A = { 1, 3, 5 } ve B = { 2, 0 } kümeleri veriliyor. β = { (x , y) ⎪ y = 3x − 1, x ∈ A, y ∈ B
bağ›nt›s›n› liste yöntemi ile yaz›p eleman sayısını bulunuz.
}
2) A = { x ⎪ x ≤ 6, x doğal sayı } kümesinde tanımlı β = { (x , y) : x ⎪ y, x, y ∈ A } bağıntısının
özelliklerini inceleyiniz.
3) A = {x ⎪ x ≤ 5, x sayma sayısı} kümesinde tanımlı β = {(x , y) : x⎪ y, x, y ∈ A} bağıntısı veriliyor. β bağıntısı için yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerini araştırınız.
4) Tam sayılar kümesinde tanımlı β = {(x , y) : 3x + my = 7 ve x ≠ y} bağıntısı simetrik olduğuna göre m kaçtır?
5) β = {(x , y) : 6x − 3m(y − 1) = 6, (x , y) ∈ R } bağıntısı yansıyan ise m ∈ R kaçtır?
2
6) Bir β bağıntısı için β = β ise β yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden
hangilerini sağlar?
−1
7) R de tanımlı bir elemanlı bağıntılar yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden hangilerini kesinlikle sağlar?
8) R de tanımlı β = {(x , y) ⎪ (2x + 1)a − by = 15} simetrik bağıntısı veriliyor. (2 , 0) ∈ β ise a − b
kaçtır?
9) A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı, β = {(a, b), (b, c), (a, c), (c, b), (b, a)} bağıntısının elemanlarından hangisini bağıntıdan çıkarırsak β simetrik olur?
10) A = {1, 2, 3} kümesi üzerinde tan›ml› baz› bağ›nt›lar aşağ›daki çizelgede verilmiştir. Bu
bağ›nt›larda, yans›ma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden hangilerinin olduğunu,
Evet / Hay›r ( E / H ) yazarak çizelgede belirtiniz.
72
Yansıma
E/H
Bağıntılar
Simetri
E/H
Ters simetri
E/H
Geçişme
E/H
β1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
β2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
β3 = {(2, 2), (1, 1), (1, 3), (3, 1)}
β4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2)}
β5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (1, 3)}
β6 = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1)}
β7 = {(2, 1), (1, 2), (1, 1), (2, 2)}
β8 = {(2, 3), (3, 2), (2, 2), (3, 3), (1, 3)}
β9 = {(1, 1)}
β10 = {(2, 3)}
11) A = {a, b, c, d} kümesinde 6 elemanlı kaç yansıyan bağıntı vardır?
12) A = {a, b, c, d, e} kümesinde tanımlı 9 elemanlı yansıyan bağıntılardan kaç tanesinde
(a, c) ve (b, e) bulunur, (c, e) bulunmaz?
13) (x , 4 ) = (9 , y
) eşitliğinde x kaç farkl› değer alabilir?
14) A = {1, 2, 3, 4}, B = {x ⎪ x < −1 ve x ≥ 3, x ∈ R} kümeleri için A x B kümesinin elemanlar›n›
y
2
koordinat düzleminde gösteriniz.
15) A = {x : x < 10 ve tek doğal say›} ve B = {x : x < 10 ve çift doğal say›} kümeleri veriliyor.
A dan B ye tan›ml› β = {(x , y) ⎪ x + y = 3k, k ∈ N} bağ›nt›s›n› liste yöntemi ile yaz›n›z.
16) A = {1, 3, 4, 7, 13, 22} kümesi üzerinde tan›ml›, β = {(x , y) ⎪ 2y − 3x = 5, (x , y) ∈ A x A}
−1
bağ›nt›s› için β bağ›nt›s›n› liste yöntemi ile yaz›n›z.
17) A = {1, 2, 3, 4,} kümesinde tan›mlanan ve aşağıdaki şartlara uyan en az elemanlı birer
bağıntı yazınız.
a) β1 yansıyan, simetrik değil
d) β4 simetrik, geçişken değil
b) β2 simetrik ve ters simetrik
e) β5 yansıyan, simetrik, ters simetrik,
geçişken
c) β3 simetrik değil ve ters simetrik değil
FONKSİYONLAR
Yukar›daki görselleri dikkatlice inceleyiniz.
73
Ortak olan yanlar› nelerdir?
Farkl› olan yanlar› nelerdir?
Farkl› olan ilişkileri görebiliyor musunuz?
Görsellerdeki değişimleri açıklayan kuralları oluşturunuz.
β1
A
B
• kebap
• fasulye
• köfte
• ıspanak
• patates
• kereviz
• dolma
• Yaşar
Bir lokantada Yaşar, Soner, Okan ve Hakan müşteri olarak bulunsun. Bu kişileri yiyecekleri yemeklere
eşleyen bir bağ›nt› yazal›m.
1. Koşul : Herkes yemek yiyecek.
2. Koşul : Bir kişi birden fazla yemek yemeyecek.
• Soner
• Okan
• Hakan
1. Şekil
Kişilerin kümesi: A = {Yaşar, Soner, Okan, Hakan}
Lokantadaki yemeklerin kümesi: B = {kebap, fasulye, köfte, ›spanak, patates, kereviz, dolma}
olmak üzere oluşturulabilecek bir β1 bağıntısı 1. şekilde gösterilmiştir.
β1 bağıntısını liste yöntemi ile yaz›n›z.
Lokantada Yaşar, Soner, Okan ve Hakan’ın yediği yemeklerin kümesini liste yöntemi ile
yazınız.
β1 bağıntısı için aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
a) Bir kişi birden fazla yemek yemiş midir?
b) Söz ettiğimiz kişilerden yemek yemeyen var mıdır?
Yukarıdaki a ve b sorularını aşağıdaki β2, β3 ve β4 bağıntıları için de yanıtlayınız.
A
β2
• Yaşar
• Soner
• Okan
• Hakan
2. Şekil
B
• kebap
• fasulye
• köfte
• ıspanak
• patates
• kereviz
• dolma
A
β3
• Yaşar
• Soner
• Okan
• Hakan
3. Şekil
B
• kebap
• fasulye
• köfte
• ıspanak
• patates
• kereviz
• dolma
A
β4
• Yaşar
• Soner
• Okan
• Hakan
4. Şekil
B
• kebap
• fasulye
• köfte
• ıspanak
• patates
• kereviz
• dolma
2, 3 ve 4. şekildeki bağ›nt›lar›n 1. ve 2. koşulu sağlay›p sağlamad›ğ›n› tartışınız.
1. Koşul: A kümesindeki tüm elemanlar B kümesindeki elemanlar ile eşlenecek.
2. Koşul: A kümesindeki her bir eleman B kümesinden yalnız bir eleman ile eşlenecek.
Yukarıdaki koşulların aşağıdaki şekillerde verilen A dan B ye tanımlı β1, β2 ve β3 bağıntılarında sağlanıp sağlanmadığını araştıralım.
74
β1
A
B
• −1
• −1
•0
•0
•1
•1
•1
•1
•2
1. Şekil
B
• −1
• −1
•0
•0
β2
A
•2
2. Şekil
β3
A
B
• −1
• −1
•0
•0
•1
•1
•2
3. Şekil
β1 bağıntısında 1. ve 2. koşul sağlanmaktadır.
β2 bağıntısında, A kümesindeki 0 elemanı B kümesinden herhangi bir eleman ile eşlenmediğinden 1. koşul sağlanmamaktadır.
β3 bağıntısında, A kümesindeki 0 elemanı B kümesinden herhangi bir eleman ile eşlenmediğinden 1. koşul; 1 elemanı B kümesinde 1 ve 2 ile eşlendiğinden 2. koşul sağlanmamaktadır.
Etkinlikte verilen 1. ve 2. koşulu gerçekleyen bağ›nt› bir fonksiyondur.
A x B nin her alt kümesinin bir bağ›nt› olduğunu biliyoruz. Fonksiyonun da bir bağ›nt› olduğunu
ancak her bağ›nt›n›n fonksiyon olmad›ğ›n›, dolay›s›yla fonksiyonun da A x B nin bir alt kümesi olduğunu söyleyebiliriz.
Kişilerin kümesine fonksiyonun tan›m kümesi, lokantadaki yemeklerin kümesine fonksiyonun
değer kümesi, değer kümesinde bulunan kişilerin yediği yemeklerin kümesine de fonksiyonun
görüntü kümesi ad› verilir.
f
A
•x
B
•y
f(A)
A ≠ ∅ ve B ≠ ∅ olmak üzere, A kümesinin
her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyondur denir.
Yandaki şemada verilen A dan B ye f fonksif
yonu, f : A
B, A
B veya
f:x
y biçiminde gösterilir. y = f(x) yaz›l›r. x ∈ A ve y = f(x) ∈ B dir.
A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine fonksiyonun değer kümesi ve f(A)
kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.
A = { −2, 0, 2, 3 }, B = { −3, 0, 1, 4, 5, 7 }, f : A
B ve f(x) = 2x + 1 fonksiyonunu,
a) Liste yöntemi ile yazalım.
b) Şema ile gösterelim.
c) Tanım, değer ve görüntü kümelerini bulalım.
75
f
b)
a) x ∈ A ve y = f(x) ∈ B
x = −2 ⇒ y = f(−2) = 2.(−2) + 1 = −3
A
• −2
x=0
⇒ y = f(0) = 2.0 + 1 = 1
x=2
⇒ y = f(2) = 2.2 + 1 = 5
•0
x=3
⇒ y = f(3) = 2.3 + 1 = 7
f = {(−2, −3), (0, 1), (2, 5), (3, 7)}
•2
•3
• −3
•0
•1
•4
•5
•7
B
c) Tanım kümesi: A = { −2, 0, 2, 3 }
Değer kümesi: B = { −3, 0, 1, 4, 5, 7 }
Görüntü kümesi: f(A) = { −3, 1, 5, 7 }
Yukarıda görüldüğü gibi f(A) ⊂ B dir. Fonksiyon liste yöntemi ile yazıldığında elemanları olan
ikililerdeki 1. bileşenler tanım kümesini, 2. bileşenler de görüntü kümesini oluşturur.
y
f
6
−4
Yandaki grafiği verilen fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini bulalım.
0
2
x
−6
Grafiğin üzerindeki noktaların x eksenine olan dik izdüşümleri fonksiyonun tanım kümesini, y
eksenine olan dik izdüşümleri fonksiyonun görüntü kümesini oluşturur.
Buna göre; yukarıdaki fonksiyonun tanım kümesi [–4, 2], görüntü kümesi [–6, 6] aralığıdır.
A = {–4, –1, 1, 3} ve B = {7, 9, 115, 199} olmak üzere f : A → B, f(x) = x4 + x3 + 7 ve
g : A → B, g(x) = 13x2 + x – 5 fonksiyonları veriliyor. f ve g fonksiyonlarının eşitliğini gösterelim.
x = –4 ⇒ f(–4) = (–4)4 + (–4)3 + 7 = 199
x = –1 ⇒ f(–1) = (–1)4 + (–1)3 + 7 = 7
x = 1 ⇒ f(1) = 14 + 13 + 7 = 9
x = 3 ⇒ f(3) = 34 + 33 + 7 = 115
bulunur.
Buradan f(–4) = g(–4), f(–1) = g(–1), f(1) =
eşit fonksiyonlar olduğu görülür.
ve
ve
ve
ve
g(–4) = 13. (–4)2 + (–4) – 5 = 199
g(–1) = 13. (–1)2 + (–1) – 5 = 7
g(1) = 13. 12 + 1 – 5 = 9
g(3) = 13. 32 + 3 – 5 = 115
g(1), f(3) = g(3) yardımıyla f ve g fonkiyonlarının
f : A → B ve g : A → B iki fonksiyon olmak üzere, ∀x ∈ A için f(x) = g(x) ise f ile g
fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir. f = g şeklinde gösterilir.
76
1) A = { −5, 1, 0, 2, 3 }, f: A
Z, f(x) = x − 3 veriliyor.
a) f(A) kümesini bulal›m.
b) f : A
Z, fonksiyonunu liste yöntemi ile yaz›n›z. Bunun için aşağıdaki noktalı
yerleri uygun biçimde doldurunuz.
2
2
x = −5 için
f(−5) = (−5) − 3 = 25 − 3 = 22
x = 1 için
f(1) = .................................
x = 0 için
f(0) = .................................
x = 2 için
f(2) = .................................
x = 3 için
f(3) = 3 − 3 = 9 − 3 = 6
2
f(A) = { 22, .... , .... , .... , 6 }, f = { (−5 , 22),( .... , .... ), ( .... , .... ), ( .... , .... ), (3 , 6) } dir.
2) A = { −2, −1, 1, 3, 4 } ve B = { −3, −1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 17, 19 } kümeleri veriliyor. Buna
göre, aşağ›daki β1, β2 ve β3 bağ›nt›lar› fonksiyon mudur? Neden?
Fonksiyon olan bağ›nt›n›n elemanlar›n› liste yöntemi ile yaz›n›z. Görüntü kümelerini
değer kümeleri ile karş›laşt›r›n›z. Aralar›ndaki ilişkiyi belirleyiniz.
β1 : A
B, β1 = { (−2 , 2), (−1 , 5), (1 , 10) }
2
β2 : A
B, β2(x) = x + 1
β3 : A
B, β3(x) = 2x + 1
B, g(x) = x + 3, g(A) = { −3, 0, 4, 7 } ise g fonksiyonunun tan›m kümesini, ele3) g: A
manlar›n› liste yöntemi ile yaz›n›z. Şema ile gösteriniz.
4) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların tanım ve görüntü kümelerini yazınız.
a)
b)
y
g
5
0
−4
−2
y
7
2
1
h
4
−7
6
x
0
5
x
−6
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
BİRE BİR FONKSİYON (1 - 1)
Yeşim, Birgül, Nuray ve Elif sinemaya gidip 41, 42, 43 ve 44
numaral› biletleri alm›şt›r. Kişilerin kümesine A, koltuklar›n kümesine B diyelim. Bu kişileri oturduklar› koltuklara eşleyen fonksiyona g diyelim.
 g fonksiyonunu şema ile gösterip, liste biçiminde yazınız.
 A kümesindeki farklı kişilerden B kümesindeki aynı numaralı koltuğa bilet alan var mıdır? Varsa isimlerini yazınız.
g fonksiyonu ile A kümesindeki her bir elemanın B kümesindeki farklı elemanlara eşlenip
eşlenmediğini tartışınız.
77
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } ve B = { 0, 3, 8, 15, 24, 35 } kümeleri ve f: A
yonunun görüntü kümesini bulup şemas›n› çizelim.
A
f
2
•1
2
•2
2
•3
2
•4
2
•5
x = 1 için f(1) = 1 − 1 = 0
x = 2 için f(2) = 2 − 1 = 3
x = 3 için f(3) = 3 − 1 = 8
x = 4 için f(4) = 4 − 1 = 15
x = 5 için f(5) = 5 − 1 = 24
2
B, f(x) = x − 1 fonksi-
•0
•3
•8
• 15
• 24
• 35
B
A kümesindeki farkl› elemanların görüntüleri de farklıdır.
Tan›m kümesinin farkl› elemanlar›n› görüntü kümesindeki farkl› elemanlara eşleyen fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
f: A
B fonksiyonu 1-1 ise bu durum,
∀x1, x2 ∈ A için, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) veya f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 dir.
f: R
R, f(x) = 3x + 1 fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonu 1-1 olup olmadığını söyleyelim.
∀x1, x2 ∈ R için, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 midir? İnceleyelim.
f(x1) = f(x2) ⇒ 3x1 + 1 = 3x2 + 1
3x1 = 3x2
x1 = x2 olur. Dolayısıyla f fonksiyonu 1-1 fonksiyondur.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan hangilerinin bire bir fonksiyon olduğunu belirleyelim.
R
f: R
f(x) = x + 1
y
g: [−3, 4]
[−2, 14]
2
g(x) = x − 2
14
2
g
7
0
1. Şekil
−1 0
0
−2
h
1
−3
x
−3
78
y
y
f
1
1
R
h: R
2
h(x) = x(x − 3)
4
3
2. Şekil
x
−2
3. Şekil
3
x
Her bir fonksiyonun görüntü kümesinden x eksenine paralel doğrular çizelim.
R
f: R
f(x) = x + 1
y
−1
1
2
y
14
2
g
7
1
2
0
R
h: R
2
h(x) = x(x − 3)
y
f
2
1
g: [−3, 4]
[−2, 14]
2
g(x) = x − 2
1
−3
1. Şekil
−1 0
0
−2
1
−3
x
h
4
3
x
x
3
−2
2. Şekil
3. Şekil
1. şekilde çizilen paralel doğrular, grafiği bir noktada kesmektedir. Bu durumda tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıdır, diyebiliriz. Dolayısıyla f fonksiyonu 1-1 dir.
2. ve 3. şekillerde çizilen paralel doğrulardan bazıları grafiği birden fazla noktada kesmektedir. Bu durumda tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri birbirine eşittir. Dolayısıyla g ve
h fonksiyonları 1-1 değildir.
Bir fonksiyonun grafiğine görüntü kümesinden x eksenine çizilebilecek paralel her
doğru grafiği bir noktada kesiyorsa grafik 1-1 fonksiyon grafiğidir, bazı doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyorsa grafik 1-1 fonksiyon grafiği değildir. Bu işleme yatay doğru
testi adı verilir.
A = { a, b }, B = { 1, 2, 3 } olmak üzere A kümesinden B kümesine ( A dan B ye) kuralı değiştikçe
yazılabilecek farklı fonksiyonları liste yöntemi ile yazalım. s(A) ve s(B) ile ilişkilendirerek farklı
fonksiyonların sayısını bulalım.
f1 = { (a , 1), (b , 1) }, f2 = { (a , 1), (b , 2) }, f3 = { (a , 1), (b , 3) },
f4 = { (a , 2), (b , 1) }, f5 = { (a , 2), (b , 2) }, f6 = { (a , 2), (b , 3) },
f7 = { (a , 3), (b , 1) }, f8 = { (a , 3), (b , 2) }, f9 = { (a , 3), (b , 3) }
s(A) = 2, s(B) = 3 ve farklı fonksiyonların sayısı s(B)
s(A)
2
= 3 = 9 dur.
s(A)
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A dan B ye tanımlı fonksiyon sayısı s(B)
dır.
A = { a, b } ve B = { 1, 2, 3 } olmak üzere A dan B ye kuralı değiştikçe yazılabilen farklı 1-1
fonksiyonları liste yöntemiyle yazalım. s(A) ve s(B) ile ilişkilendirerek farklı 1-1 fonksiyon sayısını
bulalım.
79
f1 = { (a , 1), (b , 2) }, f2 = { (a , 1), (b , 3) }, f3 = { (a , 2), (b , 1) },
f4 = { (a , 2), (b , 3) }, f5 = { (a , 3), (b , 1) }, f6 = { (a , 3), (b , 2) }
s(A) = 2, s(B) = 3, s(B) > s(A) ve A kümesinde B kümesine tanımlı farklı 1-1 fonksiyonların
sayısı, P(3 , 2) =
3!
= 6 dır.
(3 − 2)!
s(B) ≥ s(A) olmak üzere A dan B ye kuralı değiştikçe yazılabilecek farklı 1-1 fonksiyonların sayısı P(s(B) , s(A)) olarak bulunur.
s(A) = 3, s(B) = 5 olmak üzere,
a) A dan B ye kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› bağ›nt›lar›n say›s›n›,
b) A dan B ye kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› fonksiyonlar›n say›s›n›,
c) A dan B ye fonksiyon olmayan kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› bağ›nt›lar›n say›s›n›,
ç) A dan B ye kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› 1-1 fonksiyonlar›n say›s›n›,
d) A dan B ye 1-1 olmayan kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› fonksiyonlar›n say›s›n› bulunuz.
ÖRTEN FONKSİYON
Aşağıdaki çizelgede kişiler ve kan grupları belirtilmiştir.
Kişi
Sinem
Beril
Arzu
Mine
Çiğdem
Özge
Sinem, Beril, Arzu, Mine, Çiğdem ve Özge’den oluşan voleybol takımının elemanlarını kan gruplarıyla eşleyen fonksiyona f diyelim.
f fonksiyonunu şema ile gösterip liste biçiminde yazınız.
f fonksiyonunun değer ve görüntü kümelerini karşılaştırınız.
 Kan grupları kümesinde eşlenmedik eleman kalıp kalmadığını söyleyiniz.
Kan grubu
A
A
B
0
AB
B
A = { −2, −1, 0, 1, 2 } ve B = { 1, 2, 5 }, f: A
sini bulup şemas›n› çizelim.
2
x = −2 için f(−2) = (−2) + 1 = 5
x=1
x=2
80
A
f
• −2
B
• −1
•1
2
•0
•2
2
•1
2
•2
2
x = −1 için f(−1) = (−1) + 1 = 2
x=0
2
B, f(x) = x + 1 fonksiyonunun görüntü küme-
için f(0) = 0 + 1 = 1
için f(1) = 1 + 1 = 2
için f(2) = 2 + 1 = 5
•5
f fonksiyonunun görüntü kümesi f(A) = { 1, 2, 5 } = B dir.
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.
Futbolcu Ercan ve Oğuz, voleybolcu Caner, basketbolcu İbrahim; güreş, futbol, voleybol,
basketbol ve yüzme sporları yapılan kulüpte antrenmana gideceklerdir.
Kişilerin kümesine A, kulüpte yap›lan sporlar›n kümesine B diyerek kişileri yapt›klar› sporlara eşleyen f fonksiyonunun şemas›n› çiziniz.
f fonksiyonunun görüntü kümesi ile değer kümesini karş›laşt›r›n›z.
B kümesinde A kümesindeki elemanlar ile eşlenmeyen eleman var m›?
f fonksiyonunun örten olup olmadığını tartışınız.
A = { −2, 0, 2, 3 } ve B = { 1, 3, 7, 12, 15 }, g: A
kümesini bulup şemas›n› çizelim.
2
x = −2 için g(−2) = (−2) + 3 = 7
x=0
x=2
x=3
2
B, g(x) = x + 3 fonksiyonunun görüntü
g
A
2
için g(0) = 0 + 3 = 3
2
için g(2) = 2 + 3 = 7
2
için g(3) = 3 + 3 = 12
• −2
•0
•2
•3
•1
B
•3
•7
• 12
• 15
B kümesinde A kümesindeki elemanlar ile eşlenmeyen eleman bulunduğundan g örten değildir.
a) f: R
R, f(x) = 3x + 2 ve
b) g: Z
Z, g(x) = 3x + 2
fonksiyonlarının örten olup olmadıklarını araştıralım.
Fonksiyonların örten olması için değer kümesinde eşlenmemiş eleman bulunmamalıdır. O hâlde,
a) f(x) = y
⇒
y = 3x + 2
y − 2 = 3x
y−2
x=
tür.
3
∀y ∈ R için
y−2
∈ R olduğundan x ∈ R dir. f örtendir.
3
81
b) g(x) = y
⇒
y = 3x + 2
y − 2 = 3x
y−2
tür.
x=
3
∀y ∈ Z için
y−2
∉ Z olduğundan x ∉ Z dir. g örten değildir. g içine fonksiyondur.
3
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
1) f: Z
R, f(x) = 2x + 1 foksiyonunun örten olup olmadığını araştırınız.
2) f: R
R ∪ {0}, f(x) = x + 1 foksiyonu örten midir?
3) f: R
R, f(x) = −2x + 1 foksiyonu örten midir?
4) f: R
R, f(x) = (k + 4)x + (3k + 1)x − 5 foksiyonunun örten olması için k kaç olmalıdır?
+
2
2
BİRİM (ÖZDEŞLİK) FONKSİYONU
f: R
R, f(x) = x fonksiyonunun grafiğini çizelim. Bu fonksiyon y = f(x) olduğundan y = x
biçiminde de ifade edilir.
y
y=x
2
2
1
−3
−2
−1
0
1 2 2
x
−1
−2
−3
Grafik üzerindeki her noktay› ifade eden ikililerin birinci bileşenleri, ikinci bileşenlerine eşit
midir?
f fonksiyonunun 1-1 ve örten olup olmadığını söyleyiniz.
f fonksiyonu her x gerçek say› değerini kendisine eşlemiş midir?
A = {1, 2, 3, 4} ve f: A
A fonksiyonu her elemanı kendisine eşleyen fonksiyon olsun.
Bu fonksiyonun şemasını çizip ifade edelim.
82
f
A
A
•1
•1
•2
•2
•3
•3
•4
•4
f: A
A, f(x) = x olur.
A boş kümeden farkl› bir küme olmak üzere, A dan A ya (A da) tan›ml› her eleman› kendine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
I: A
A, I(x) = x biçiminde ifade edilir.
2
1) g: R
R, g(x) = x fonksiyonu birim fonksiyon mudur? Neden?
2) f: R
R, f(x) = (2 − a)x + (4 − b)x fonksiyonu birim fonksiyon ise a.b kaçt›r?
3) f: R
R, f(x) = (2m − n)x + (n − m)x 3 fonksiyonu birim fonksiyon ise m + n + a kaçt›r?
4) f: R
R, f(x) = (12 − 4a)x − 5x + 15 + 6bx + 3c fonksiyonu birim fonksiyon ise
2
a
3
2
ifadesinin değeri kaçt›r?
a+b
c
SABİT FONKSİYON
Aşağ›da A ve B kümeleri elemanlar› ile verilmiştir. A dan B ye, A kümesinin elemanlar›n› bağl›
olduklar› kurumlara eşleyen bir f fonksiyonu tan›mlan›yor. f fonksiyonunun şemas›n› inceleyiniz.
A
f
• Maliye Bakanl›ğ›
• Millî Eğitim Bakanl›ğ›
• Millî Savunma Bakanl›ğ›
• Spor Bakanl›ğ›
• Ulaşt›rma Bakanl›ğ›
• Sağl›k Bakanl›ğ›
B
• Genelkurmay Başkanl›ğ›
• Başbakanl›k
• Yarg›tay
B kümesinde, A kümesinin elemanlar›n›n eşlendiği birden fazla eleman var m›dır? Tartışınız.
A kümesindeki her elemanın görüntüsü için ne söylenebilir?
83
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { −2, 3, 4, 7 }, g: R
A
g
R, g(x) = 4 fonksiyonunun şemas›n› çizelim.
B
•1
•2
•2
•3
•3
•4
•4
B kümesinde, A kümesinin elemanlar›n›n eşlendiği 4 ten başka eleman yoktur.
•7
•5
Görüntü kümesi bir elemanl› olan fonksiyonlara sabit fonksiyon denir.
f sabit fonksiyon ise f: R
R, ∀x ∈ R için f(x) = c (c ∈ R) şeklinde ifade edilir.
1) f: R
R, f(x) = x fonksiyonu sabit fonksiyon mudur? Neden?
2) f: R
R, f(x) = (m − 2)x + (n + 5)x − m.n fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(2007) kaçt›r?
2
3) f: R
R, f(x) = (2k − 6)x
çarp›m›n› bulunuz.
⎧ 1⎫
4) f: R − ⎨− ⎬
⎩ 2⎭
R, f(x) =
9−k
fonksiyonu sabit fonksiyon ise k nın alabileceği değerler
(3 − m)x + 5
fonksiyonu sabit fonksiyon ise m kaçtır?
2 + 4x
DOĞRUSAL FONKSİYON
f: R
R, f(x) = 2x + 1 fonksiyonu veriliyor.
f fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini söyleyiniz.
 Tanım kümesinden seçilmiş aşağıdaki bazı x değerlerinin f fonksiyonu ile eşlendiği görüntülerini noktalı yerlere yazınız.
x = −2
x = −1
x=0
x=1
x=2
için
için
için
için
için
f(−2) = ..................
f(−1) = ..................
f(0) = ..................
f(1) = ..................
f(2) = ..................
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
( −2, .... ) ∈ f
( −1, .... ) ∈ f
( 0, .... ) ∈ f
( 1, .... ) ∈ f
( 2, .... ) ∈ f
f fonksiyonuna ait yazdığınız sıralı ikilileri koordinat düzleminde işaretleyiniz.
İşaretlediğiniz noktaları bir cetvel yardımıyla birleştiriniz.
 Tanım kümesinden farklı x değerleri seçerek bu değerlerin görüntüleri ile fonksiyona ait
sıralı ikililer oluşturunuz.
 Oluşturduğunuz sıralı ikililerin koordinat düzleminde eşlendiği noktalar çizdiğiniz grafik
üzerinde midir? Tartışınız.
Çizdiğiniz grafik ile incelediğiniz fonksiyonunun elemanlarını karşılaştırınız.
84
f: R
R, f(x) = −x + 2 fonksiyonun tanım kümesindeki x = −1, x = 0 ve x = 1 değerlerinin görüntülerini bularak fonksiyonun grafiği ile ilişkilendirelim.
x = −1 için f(−1) = −(−1) + 2 = 3
⇒ ( −1, 3 ) ∈ f
x=0
için f(0) = −0 + 2 = 2
⇒ ( 0, 2 ) ∈ f
x=1
için f(1) = −1 + 2 = 1
⇒ ( 1, 1 ) ∈ f
f fonksiyonuna ait ikililerin düzlemde eşlendiği
noktalar, fonksiyonun grafiği olan doğru üzerindedir.
y
f(x) = −x + 2
3
2
1
−1 0
x
1
f: R
R, f(x) = 2x + 1 fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyona ait bazı sıralı ikililerini bulup
düzlemde işaretleyelim.
y
f(x) = 2x + 1
5
4
x = −2 için
f(−2) = 2.(−2) + 1 = −3 ⇒ (−2 , −3) ∈ f
3
x = −1 için
f(−1) = 2.(−1) + 1 = −1 ⇒ (−1 , −1) ∈ f
2
x=0
için
f(0) = 2.0 + 1 = 1
⇒ (0 , 1) ∈ f
x=1
için
f(1) = 2.1 + 1 = 3
⇒ (1 , 3) ∈ f
x=2
için
f(2) = 2.2 + 1 = 5
⇒ (2 , 5) ∈ f
1
−2 −1
0
1
−1
2
x
−2
−3
Elemanları bir doğru üzerinde bulunan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal
R, f(x) = mx + n biçiminde ifade edilir.
fonksiyon m,n ∈ R olmak üzere f: R
2
1) f: R
R, f(x) = x fonksiyonuna ait herhangi 4 eleman bulunuz. Bu elemanlar›n analitik düzlemde belirttiği noktalar› birleştirdiğinizde ayn› doğru üzerinde (doğrusal) olup olmad›klar›n›
araşt›r›n›z. Bu fonksiyon doğrusal fonksiyon mudur?
2) y = f(x), f: R
3) f: R
m kaçt›r?
4) h: R
R, doğrusal bir fonksiyondur. f(2) = 3 ve f(1) = 2 olduğuna göre f(7) kaçt›r?
R, g: R
R, f(x) = 4x − 3, g(x) = −2x + 5 ve f(2m) = g(−3m) olduğuna göre
R, h(2) = 11 ve h(−1) = 2 olduğuna göre h doğrusal fonksiyonunda h(3) değeri kaçt›r?
85
5) Şekilde, doğrusal f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f(7) kaçt›r?
y
f
6
2
(1 , 2)
x
−3 0 1
6) Girdileri x ile, fonksiyonu f ile, ç›kt›lar› y ile gösterilen bir fonksiyon makinesi aşağ›da verilmiştir.
Girdi
Girdi
Girdi
Girdi
1
2
3
4
f
f
f
f
1
3
8
15
Çıktı
Çıktı
Çıktı
Çıktı
f(5) kaç olabilir?
7) f: R
R, g: R
R, f(x) = 3x + 1 ve g(x) = 4x − 5 fonksiyonlar› veriliyor. Buna göre
f(4) − f(2a) = g(2) − g(a) ise a kaçt›r?
8) A = { ∆, …, 1, m }, B = { a, b, c, d } kümeleri veriliyor.
a) A
B ye kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› bağ›nt›lar›n say›s›n› bulunuz.
b) A
B ye kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› fonksiyonlar›n say›s›n› bulunuz.
c) B
A ya kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› 1-1 fonksiyonlar›n say›s›n› bulunuz.
ç) B
B ye tan›ml› 1-1 olmayan kural› değiştikçe yaz›labilecek farkl› fonksiyonlar›n say›s›n› bulunuz.
d) A
B ye 1-1 fonksiyon yaz›labilir mi?
İŞLEM
Her numaradan ikişer tane bulunan, 1 den 10 a kadar numaral› 20 tane topun bulunduğu
bir torba vard›r. Hakan ile Volkan torbadan çektikleri toplar› geri atmak şart›yla art arda ikişer top
çekiyor. Herkes peş peşe çektikleri toplar›n üzerindeki say›lar›n toplam› kadar puan al›yor. Bu
şekilde beşer çekiliş yap›yorlar. Bu çekilişler sonucu al›nan puanlar›n toplam› en yüksek olan kişi
oyunu kazan›yor. Hakan ile Volkan’›n çektiği toplar s›ral› ikili olarak aşağ›daki çizelgede verilmiştir.
Çizelgeyi örnekte olduğu gibi doldurunuz.
1. Çekiliş
2. Çekiliş
3. Çekiliş
4. Çekiliş
5. Çekiliş
Hakan’ın topları Volkan’ın topları
(2 , 7)
(3 , 8)
(3 , 5)
(4 , 4)
(10 , 2)
(10 , 2)
(8 , 6)
(9 , 8)
(5 , 5)
(8 , 10)
Toplam puan
Oyunu kimin kazandığını belirleyiniz.
86
Hakan’ın puanları Volkan’ın puanları
2+7=9
3 + 8 = 11
Aşağ›da verilen 1. grupta s›ral› ikililerden elde edilen sonuca göre bir kural tan›mlanm›şt›r.
Çizelgede boş olan yerleri doldurunuz ve kurallar› noktal› yerlere yaz›n›z.
Yapılan
İkiliden elde edilen sonuç
(2 , 4)
(3 , 2)
(5 , 7)
(5 , 3)
(8 , 2)
(9 , 2)
(1 , 2)
(2 , 3)
(3 , 4)
2.4
3.2
5.7
8
6
35
125
64
81
9
25
49
3. Grup 2. Grup 1. Grup
(x , y) ikilileri
Kuralı
(x , y) → x.y
(x , y) → .......
(x , y) → .......
Değişik gruplardaki kurallar aynı mıdır? Tartışınız.
Elde ettiğiniz kuralların her (x , y) sıralı ikilisini bir gerçek sayıya dönüştürüp dönüştürmediğini belirleyiniz.
 Bulduğunuz kurallar tanım kümesinin elemanları (x , y) sıralı ikilileri olan bir fonksiyon
mudur? Tartışınız.
(x , y)
2x + 3y + 4 matematiksel modeline göre (1 , 5), (6 , 8) ve (0 , 9) sıralı ikililerinin
eşlendiği sayıları bulalım.
(x , y)
2x + 3y + 4
(1 , 5)
2.1 + 3.5 + 4 = 2 + 15 + 4 = 21
(6 , 8)
2.6 + 3.8 + 4 = 12 + 24 + 4 = 40
(0 , 9)
2.0 + 3.9 + 4 = 0 + 27 + 4 = 31
Elde edilen kurallar kimi zaman bilinen tek bir aritmetik işlemden oluşabilir. Kimi zaman ise
birden çok aritmetik işlemi içerebilir. Bu kurallar “∆, …, ⊗, , o, ....” gibi semboller ile gösterilir.
A ≠ ∅ olmak üzere A x A nın boş olmayan bir β alt kümesinden herhangi bir B kümesine tanımlı her fonksiyona bir ikili işlem veya kısaca işlem denir.
A x A nın boş kümeden farklı bir β alt kümesinden A kümesine tanımlı her fonksiyona
da A da bir ikili işlem ya da kısaca A da işlem denir.
A = { 1, 2, 3 } kümesinde tanımlı β = { (1 , 2), (2 , 3), (1 , 3), (3 , 2) } bağıntısı veriliyor. β dan
B = { −1, 0, 1, 2, 3, 4 } kümesine x ∆ y = 2x − y işleminin şemasını çizelim.
∆
β
• (1 , 2)
• (2 , 3)
• (1 , 3)
• (3 , 2)
• −1
•0
•1
•2
•3
•4
B
(1 , 2) ∈ β
(2 , 3) ∈ β
(1 , 3) ∈ β
(3 , 2) ∈ β
için
için
için
için
1 ∆ 2 = 2.1 − 2 = 0
2 ∆ 3 = 2.2 − 3 = 1
1 ∆ 3 = 2.1 − 3 = −1
3 ∆ 2 = 2.3 − 2 = 4
olur. Bu şema analitik düzlem ve bir sayı doğrusu yardımıyla
87
A
3
2
−2 −1
1
1
2
3
0
1
2
3
4
5
R
A
biçiminde gösterilir.
1) R de ∆ işlemi, a ∆ b = 2a + 3b − (a ∆ b) olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre 3 ∆ 4 ün kaç
olduğunu bulunuz.
2) R − {0} de tan›ml›  işlemi,
bulunuz.
a+b
1 1
 = 2
olarak tan›mlan›yor. 2  3 ün kaç olduğunu
a b a + b2
3) ‹lknur ve Gamze bir miktar sermaye koyarak ortakl›k kurmaya çal›ş›yorlar. Ayn› amaç için
ortaya koyduklar› paralar› s›ral› ikili olarak ifade ediyorlar. ‹lknur ile Gamze’nin ortaya koyduklar›
paraya bağl› olarak elde edecekleri kazanç;
a) ‹lknur’un paras› Gamze’nin paras›ndan az ise kazançlar› ‹lknur’un paras› ile Gamze’nin
paras›n›n toplam›ndan 2 TL daha fazla,
b) ‹lknur’un paras› ile Gamze’nin paras› eşit ise kazançlar› ‹lknur’un paras› ile Gamze’nin
paras›n›n toplam›n›n 6 kat›,
c) ‹lknur’un paras› Gamze’nin paras›ndan fazla ise kazançlar› ‹lknur’un paras›n›n 4 kat› ile
Gamze’nin paras›n›n 3 kat›n›n toplam› kadar olacakt›r.
İlknur’un parasına a, Gamze’nin parasına b ve kazançlarını veren işleme … diyerek aşağıdaki
noktalı yerleri doldurunuz.
a < b ise ………………………
a .... b ise ………………………
a .... b ise ………………………
a…b=
………………………, a < b
………………………, a .... b
………………………, a .... b
4) R de tan›ml› o işlemi,
aob=
2 + a,
a < b ise
6,
a = b ise
−3a + 2b ,
a > b ise
olarak tan›mlan›yor. Buna göre 8 o [ 2 o (4 o 4) ] işleminin
sonucunu bulunuz.
5) R de tan›ml› ∆ ve … işlemleri,
a ∆ b = a + 3 – 2(a … b)
a … b = a.b + (a ∆ b) olarak tan›mlan›yor. 4 … 3 işleminin sonucunu hesaplay›n›z.
88
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
1) Kapalılık Özelliği
12
11
1
11
2
10
9
6
2
9
3
8
4
7
1
10
3
8
12
4
7
5
6
5
Bir duvar saatinin üzerindeki sayıların kümesi A = { 1, 2, 3, ... ,12 } dir. 11 den altı saat sonra
ve 9 dan beş saat sonra saatin kaç olacağı sorularının cevaplarını bulalım.
Saat 11 den altı saat sonra saat 17 dir. 17 ye karşılık gelen sayı 5 dir ve 5 ∈ A dır. Saat 9 dan
beş saat sonra saat 14 tür. 14 e karşılık gelen sayı 2 dir ve 2 ∈ A dır.
Herhangi bir A kümesinde ∆ işlemi tan›mland›ğ›nda, ∀x, y ∈ A için x ∆ y ∈ A oluyorsa
∆ işleminin A kümesinde kapal›l›k özelliği vard›r ya da A kümesi ∆ işlemine göre kapal›d›r
denir.
2) Değişme Özelliği
R de ∆ işlemi, a ∆ b = a + b − 2ab olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre 3 ∆ 4 ile 4 ∆ 3 ve 2 ∆ (−1)
ile (−1) ∆ 2 sonuçlarını karşılaştıralım.
3 ∆ 4 = 3 + 4 − 2.3.4 = −17
4 ∆ 3 = 4 + 3 − 2.4.3 = −17
⇒ 3∆4 = 4∆3
2 ∆ (−1) = 2 + (−1) − 2.2.(−1) = 5
(−1) ∆ 2 = (−1) + 2 − 2.(−1).2 = 5
⇒ 2 ∆ (−1) = (−1) ∆ 2
R de o işlemi, a o b = 3a + 2b olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre 1 o 5 ile 5 o 1 sonuçlarını
karşılaştıralım.
1 o 5 = 3.1 + 2.5 = 13
5 o 1 = 3.5 + 2.1 = 17
⇒ 1o5 ≠ 5o1
89
Herhangi bir A kümesinde … işlemi tan›mland›ğ›nda, ∀x, y ∈ A için x … y = y … x oluyorsa A kümesinde … işleminin değişme özelliği vard›r denir.
3) Birleşme Özelliği
R de  işlemi, a  b = a.b olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre (2  3)  4 ile 2  (3  4) sonuçlarını karşılaştıralım.
(2  3)  4 = (2.3)  4 = 6  4 = 6.4 = 24
2  (3  4) = 2  (3.4) = 2  12 = 2.12 = 24
sonuçlar birbirine eşit (24 = 24) olduğundan
(2  3)  4 = 2  (3  4) olur.
2
R de … işlemi, a … b = a + b olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre (1 … 2) … 3 ile 1 … (2 … 3)
sonuçlarını karşılaştıralım.
2
2
(1 … 2) … 3 = (1 + 2) … 3 = 3 … 3 = 3 + 3 = 12
2
2
1 … (2 … 3) = 1 … (2 + 3) = 1 … 7 = 1 + 7 = 8
sonuçlar farklı (12 ≠ 8) olduğundan
(1 … 2) … 3 ≠ 1 … (2 … 3) tür.
Herhangi bir A kümesinde ∆ işlemi tan›mland›ğ›nda,
∀x, y, z ∈ A için (x ∆ y) ∆ z = x ∆ (y ∆ z) oluyorsa A kümesinde ∆ işleminin birleşme özelliği
vard›r denir.
4) Dağılma Özelliği
R de ∆ işlemi, a ∆ b = a + b olarak ve  işlemi, a  b = a.b olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre
3  (2 ∆ 4) ile (3  2) ∆ (3  4) sonuçlarını karşılaştıralım.
3  (2 ∆ 4) = 3  (2 + 4) = 3  6 = 3.6 = 18
(3  2) ∆ (3  4) = (3.2) ∆ (3.4) = 6 ∆ 12 = 6 + 12 = 18
sonuçlar birbirine eşit (18 = 18) ol-
duğundan 3  (2 ∆ 4) = (3  2) ∆ (3  4) olur.
R de … işlemi, a … b = 2a − 3b olarak ve ⊗ işlemi, a ⊗ b = a.b + b olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre 1 … (3 ⊗ 2) ile (1 … 3) ⊗ (1 … 2) sonuçlarını karşılaştıralım.
90
1 … (3 ⊗ 2) = 1 … (3.2 + 2) = 1 … 8 = 2.1 − 3.8 = −22
(1 … 3) ⊗ (1 … 2) = (2.1 − 3.3) ⊗ (2.1 − 3.2) = (−7) ⊗ (−4) = (−7).(−4) + (−4) = 24
sonuçlar farklı (−22 ≠ 24) olduğundan 1 … (3 ⊗ 2) ≠ (1 … 3) ⊗ (1 … 2) dir.
Herhangi bir A kümesinde ∆ ve  işlemleri tan›mland›ğ›nda,
∀x, y, z ∈ A için x ∆ (y  z) = (x ∆ y)  (x ∆ z) oluyorsa A kümesinde ∆ işleminin  işlemi
üzerine soldan dağılma özelliği vard›r denir.
∀x, y, z ∈ A için (y  z) ∆ x = (y ∆ x)  (z ∆ x) oluyorsa A kümesinde ∆ işleminin  işlemi
üzerine sağdan dağılma özelliği vard›r denir.
5) Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği
R de ∆ işlemi, a ∆ b = a + b − 2 olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre 3 ∆ 2, 2 ∆ 3, (−4) ∆ 2,
2 ∆ (−4), 2 ∆ x ve x ∆ 2 sonuçlarını karşılaştıralım.
3∆2 = 3 + 2 − 2 = 3
2∆3 = 2 + 3 − 2 = 3
(−4) ∆ 2 = (−4) + 2 − 2 = −4
2 ∆ (−4) = 2 + (−4) − 2 = −4
2∆x = 2 + x − 2 = x
x∆2 = x + 2 − 2 = x
Bu işlemde herhangi bir gerçek sayının 2 ile işlem sonucu yine kendisidir.
Boş olmayan bir A kümesinde ∆ işlemi verilsin. ∀x ∈ A için x ∆ e = e ∆ x = x koşulunu
sağlayan e ∈ A sayısına ∆ işleminin etkisiz (birim) elemanı denir. İşlemin varsa etkisiz elemanı bir tanedir. İşlemin birleşme özelliği yoksa etkisiz elemanı yoktur.
Tam sayılarda  işlemi, a  b = a + b + 8 olarak tanımlanıyor. Bu işlemin etkisiz elemanını
bulalım.
e,  işleminin etkisiz elemanı olsun.
a  e = a (etkisiz eleman tanımı)
a  e = a + e + 8 (işlemin kuralı)
O hâlde, a + e + 8 = a
e+8=0
e = −8 dir.
91
6) Ters Eleman Özelliği
Tam sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0 (sıfır) idi. O hâlde, 2 + x = 0 ve
−5 + y = 0 denklemlerini çözelim.
x + 2= 0
−5 + y = 0
x = −2
y= 5
2 ile −2 ve −5 ile 5 toplama işlemine girdiğinde sonuç etkisiz eleman olan 0 sayısına eşittir.
⎛ 2⎞
R − {0} kümesinde çarpma işlemine göre etkisiz elemanı 1 idi. O hâlde, x.3 = 1 ve y. ⎜− ⎟ = 1
⎝ 5⎠
denklemlerini çözelim.
x.3 = 1
x=
3 ile
1
3
⎛ 2⎞
y. ⎜− ⎟ = 1
⎝ 5⎠
y= −
5
2
5
2⎞
1
ve − ile − çarpma işlemi yapıldığında sonuç etkisiz eleman olan 1 sayısına eşit olur.
2
5⎠
3
R de … işlemi, a … b = a + b + 3 işlemine göre etkisiz elemanı bulalım ve “2 ile hangi sayı
işleme girdiğinde sonuç etkisiz eleman olur?” sorusunun yanıtını araştıralım.
a … e = a (etkisiz eleman tanımı)
a … e = a + e + 3 (işlemin kuralı)
O hâlde, a + e + 3 = a
e+3=0
e = −3
2 … x = −3
2…x = 2 + x + 3
O hâlde, 2 + x + 3 = −3
x + 5 = −3
x = −8
2 ile −8 işleme girdiğinde sonuç etkisiz eleman olan −3 tür.
Boş kümeden farklı bir A kümesinde ∆ işlemi verilsin. İşlemin etkisiz elemanı e olsun.
−1
−1
−1
∀x ∈ A için x ∆ x = x ∆ x = e koşulunu sağlayan x sayısına x in tersi denir. Bir elemanın
tersi varsa bir tanedir.
92
R de tanımlı ∆ işlemi, x ∆ y = x + y + 7xy olarak veriliyor. ∆ işlemine göre 5 in kaç olduğunu
bulalım.
−1
x ∆ e = x (etkisiz eleman tanımı)
x ∆ e = x + e + 7xe (işlemin kuralı)
O hâlde, x + e + 7xe = x
e + 7xe = 0
e(1 + 7x) = 0
e = 0 (1 + 7x ≠ 0)
−1
5 = m olsun.
5 ∆ m = 0 (ters eleman tanımı)
5 ∆ m = 5 + m + 5m (işlemin kuralı)
5 + m + 5m = 0
6m = −5
5
x= −
6
O hâlde, 5 = −
−1
5
bulunur.
6
7) Yutan Eleman Özelliği
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı çarpma işlemine göre (−2).0, 4.0, 0.2 ve 0.
sonuçlarını karşılaştıralım.
2
işlemlerinin
7
2
=0
7
Her gerçek sayının 0 ile çarpımının sonucu 0 olmaktadır.
(−2).0 = 0, 4.0 = 0, 0.2 = 0, 0.
R de tanımlı ∆ işlemi, x ∆ y = x + y − 3xy olarak veriliyor. x ∆ m = m olacak biçimde bir m gerçek
sayısı bulalım.
x∆m = m
x ∆ m = x + m − 3xm
O hâlde, x + m − 3xm = m
x − 3xm = 0
x(1 − 3m) = 0
1 − 3m = 0 (x ≠ 0)
3m = 1
1
m=
bulunur.
3
93
Boş kümeden farklı bir A kümesinde  işlemi tanımlandığında eğer,
∀x ∈ A için x  m = m  x = m olacak şekilde m ∈ A varsa bu m elemanına  işleminin
yutan elemanı denir. Yutan elemanın tersi yoktur.
R de x  y = x + y + 4xy işleminin yutan elemanını bulalım.
x  m = m (yutan eleman tanımı)
x  m = x + m + 4xm (işlemin kuralı)
O hâlde, x + m + 4xm = m
x + 4xm = 0
x(1 + 4m) = 0
1 + 4m = 0 (x ≠ 0)
4m = −1
1
m= −
bulunur.
4
A = { −1, 0, 1 } kümesinde tanımlı ∆ işlemi x ∆ y = xy olarak tanımlanıyor. Bu işleme göre çıkabilecek sonuçları bulalım ve bu işlemi tablo ile gösterelim.
(−1) ∆ (−1) = 1
= 0
(−1) ∆ 0
= −1
(−1) ∆ 1
0 ∆ (−1) = 0
= 0
0 ∆ 0
= 0
0 ∆ 1
1 ∆ (−1) = −1
= 0
1 ∆ 0
= 1
1 ∆ 1
y
∆ işlemi tablo ile
x
∆ −1
0
1
−1
1
0
−1
0
0
0
0
1
−1
0
1
biçiminde gösterilir.
A = { a, b, c, d } kümesinde tanımlı  işlemi tablo ile verildiğinde,
c
...
...
b
...
...
...
...
c
...
...
...
b
d
...
a
...
...
a
a
b
b
c
d
c
d
n
...

e
a
sonuçlar;
ab=c
cd=b
d  b = a dır.
g
d
e
c
ş
b
s a t ı r
ö
a
k
94

baş sütun
b a ş

a
b
c
a
a
b
b
c
a
b
d
c
d
Sonuçlarda görünen baş sütun ile baş satırın kesiştiği noktadaki
eleman etkisiz elemandır.
d
d

a
b
c
d
a
c
d
a
b
b
d
a
b
c
c
a
b
c
d
d
b
c
d
a

a
b
c
d
a
c
d
a
b
b
d
a
b
c
c
a
b
c
d
d
b
c
d
a
Bir b elemanının  işlemine göre tersi bulunurken baş sütundaki b
den satırca hareketle etkisiz eleman c ye ulaşılır.Buradan sütunca
−1
hareketle baş satıra çıkıldığında b nin tersi elde edilir. b = d dir.
Tablodaki elemanlar köşegene göre simetrik ise işlemin değişme
özelliği, işlemin sonuçlarının tamamı A kümesinin elemanı ise işlemin
kapalılık özelliği vardır.
A = { x, y, z, t, m } kümesinde tanımlı … işlemi tablo ile verilmişir. Buna göre,
…
x
y
z
t
m
x
z
t
m
x
y
y
t
m
x
y
z
z
m
x
y
z
t
t
x
y
z
t
m
m
y
z
t
m
x
a)
…
x
y
z
t
m
x
z
t
m
x
y
y
t
m
x
y
z
z
m
x
y
z
t
t
x
y
z
t
m
m
y
z
t
m
x
a) İşlemin kapalılık ve değişme özelliğini araştıralım.
b) Etkisiz elemanını bulalım.
c) z nin tersini bulalım.
ç) (x … y
) … m−1 ni bulalım.
−1
Sonuçların her biri A kümesinin elemanı olduğundan
… işleminin kapalılık özelliği vardır. Sonuçlar, köşegene
göre simetrik olduğundan … işleminin değişme özelliği
vardır.
95
b)
c)
…
x
y
z
t
m
x
z
t
m
x
y
y
t
m
x
y
z
z
m
x
y
z
t
t
x
y
z
t
m
m
y
z
t
m
x
…
m
z
t
etkisiz eleman t dir.
z = m dir.
−1
ç) y = x ve m = z dir. O hâlde, (x … y
−1
−1
) … m−1 = (x … x) … z = z … z = y dir.
−1
1) A = { −1, 0, 1 } kümesinde o işlemi a o b = a.b olarak tan›mlan›yor. Bu işlemin kapal›l›k özelliğini araşt›r›n›z.
2) A = { −1, 0, 1 } kümesinde  işlemi a  b = a + b olarak tan›mlan›yor. Bu kümede  işleminin kapal›l›k özelliği var m›d›r?
3) R de  işlemi x  y = 2x+ 2y + xy + 2 olarak tan›mlan›yor.  işleminin etkisiz elemanını bulunuz.
4) R de ∆ işlemi x ∆ y = (k + 2)x + 3y + 6xy +1 olarak veriliyor. ∆ işleminin etkisiz elemanını bulunuz.
5) R de o işlemi x o y = 4x + 4y − 3xy − 4 olarak tan›mlan›yor. Bu işleme göre,
a) 5 sayısının tersini bulunuz.
b) 2 sayısının tersini bulunuz.
6) R de … işlemi x … y = x + y − 4xy olarak veriliyor. … işlemine göre tersi kendisine eşit olan
elemanları bulunuz.
7) R de ∆ işlemi x ∆ y = x + y + 5xy olarak tanımlanıyor.
a) Bu işlemin yutan elemanını bulunuz.
b) Yutan elemanın işlemine göre tersi var mıdır? Araştırınız.
8) R de  işlemi x  y = x + y + xy olarak veriliyor.  işleminin yutan elemanını bulunuz.
9) R de tanımlı x ∆ y = 2x + 2y +
a) Etkisiz elemanı bulunuz.
c) Yutan elemanı bulunuz.
xy
+ 4 işlemi veriliyor. Bu işleme göre,
2
b) 5 in tersini bulunuz.
ç) Hangi elemanın tersi yoktur?
10) R de tanımlı x ∆ y = x + y + 2xy +1 işleminin etkisiz elemanının olup olmadığını araştırınız.
3x + 3y + xy − 9
işlemi veriliyor.
6
a) İşlemin etkisiz elemanını bulunuz.
b) 0 (sıfır) ın tersini bulunuz.
11) R de tanımlı x  y =
96
12) A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinde tanımlı ∆ işlemi tablo ile verilmiştir.
∆
0
1
2
3
4
0
3
4
0
1
2
1
4
0
1
2
3
2
0
1
2
3
4
3
1
2
3
4
0
4
2
3
4
0
1
a) ∆ işleminin kapalılık özelliği var mıdır?
b) ∆ işleminin değişme özelliği var mıdır?
c) ∆ işleminin etkisiz eleman›n› bulunuz.
ç) 3 ün tersi kaçt›r?
−1
d) (4 ∆ x) ∆ 3 = 2 ise x kaçt›r?
−1
−1
e) 4 ∆ 1 kaçt›r?
−1
f) 2 ∆ 2 kaçt›r?
13) Gerçek say›larda tan›ml›  işlemi
2
ab
=
olarak veriliyor. Buna göre (−1)  1
ab
2a + 3b
işleminin sonucu kaçt›r?
14) A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinde, “x ∆ y = x ile y den küçük olmayan›” biçiminde ∆ işlemi
tan›mlan›yor.
a) ∆ işlemine göre etkisiz eleman› kaç olabilir?
b) ∆ işlemine göre yutan eleman› kaç olabilir?
15) Gerçek say›larda tan›ml›, x … y = 3x + 3y + xy + 6 işlemine göre hangi eleman›n tersi
yoktur? Araşt›r›n›z.
16) A = { a, b, c, d, e } kümesinde tan›ml›  işleminin tablosu aşağ›da verilmiştir. Bu işleme göre,
 a
b
c
d
e
a
e
a
b
c
d
a)  işleminin kapal›l›k ve değişme özelliklerini araşt›r›n›z.
b
a
b
c
d
e
b)  işleminin etkisiz eleman› ne olabilir?
c
b
c
d
e
a
c) a  c işleminin sonucu nedir?
d
c
d
e
a
b
e
d
e
a
b
c
−1
−1
17) R de o işlemi, x o y = 5x + 5y + xy + 20 olarak tan›mlan›yor. x , o işlemine göre x in tersi
−1
ve o işleminin etkisiz eleman› e olduğuna göre, (e o e) o e işleminin sonucunu bulunuz.
−1
18) R de tan›ml› ∆ işlemi, x ∆ y = 3x + 3y + 3xy + 2 olarak veriliyor. ∆ işleminin etkisiz eleman›n› araşt›r›n›z.
19) A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinde tanımlı o işlemi tablo ile verilmiştir.
o
1
2
3
4
5
1
3
4
5
1
2
2
4
5
1
2
3
3
5
1
2
3
4
4
1
2
3
4
5
5
2
3
4
5
1
A kümesinde tan›ml› ikinci bir o işlemi, a o b = (a o b) o a biçiminde
−1
tan›mlan›yor. Buna göre, 2 o 3 işleminin sonucu kaçt›r? ( a , a n›n o
işlemine göre tersidir.)
−1
97
FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ
Hal› fabrikas›nda 1. makine, yünü iplik yapmakta; 2. makine, ipliği hal› olarak dokumaktad›r.
1. Makine
2. Makine
Gelişen teknolojiye bağlı olarak 3. bir makine sat›n al›nıyor. Bu 3. makine, yünü direkt hal›
olarak dokumaktad›r.
3. Makine
3. makinenin yaptığı işle 1. ve 2. makinelerin yaptığı işleri karşılaştırınız.
Aşağıda şemaları verilen fonksiyonları inceleyiniz.
f
A
B
g
B
C
h
A
C
•1
•2
•2
•4
•1
•4
•2
•4
•4
• 16
•2
• 16
•3
•6
•6
• 36
•3
• 36
•4
•8
•8
• 64
•4
• 64
f, g ve h fonksiyonlarını liste biçiminde yazınız.
h fonksiyonunu f ve g fonksiyonlarıyla ilişkilendiriniz.
A = { 3, 4, 5 }, B = { 4, 5, 6 } ve C = { 8, 10, 12 } kümeleri veriliyor. f: A
B, g: B
C,
f(x) = x + 1, g(x) = 2x fonksiyonlarının şemalarını çizelim. f ve g fonksiyonlarından faydalanarak
A
C yeni bir fonksiyon yazmaya çalışalım.
98
f
A
g
B
C
•3
•4
•8
•4
•5
• 10
•5
•6
• 12
h
A
C
•3
•8
•4
• 10
•5
• 12
f: A
g(x) = 2x
g(4) = 2.4 = 8
g(5) = 2.5 = 10
g(6) = 2.6 = 12
h(3) = 8
h(4) = 10
h(5) = 12
h fonksiyonu, A daki her elemanı 1 fazlasının 2 katına eşleyen
fonksiyondur. O hâlde, h: A
C, h(x) = 2(x + 1) dir.
B, g: B
h: A
f(x) = x + 1
f(3) = 3 + 1 = 4
f(4) = 4 + 1 = 5
f(5) = 5 + 1 = 6
C,
C tanımlı fonksiyonlar olmak üzere A
C yazılabilecek fonk-
siyona g bileşke f fonksiyonu denir ve g o f biçiminde gösterilir ve (g o f)(x) = g [ f(x) ] dir.
f: R
R, g: R
kuralını bulalım.
R, f(x) = 3x − 2, g(x) = 4x + 5 olmak üzere, (g o f)(x) fonksiyonunun
(g o f)(x) = g [ f(x) ]
= g [ 3x − 2 ]
= 4.(3x − 2) + 5
= 12x − 8 + 5
= 12x − 3 olur.
1)
x
f(x) = 5x + 2
f
f makinesi
f(x)
g(x) = 3x − 4
g
g makinesi
g [ f(x) ] = (g o f)(x)
Yukarıdaki f ve g makineleri gerçek say›lar üzerinde işlem yapmaktad›r.
99
Birinci makinede işleme giren −3, −1, 0, 2, 4 say›lar›n›n ikinci makineden geçtikten sonra
hangi değerlere ulaşt›ğ›n›, aşağ›daki çizelgede bulunan boş yerlere yaz›n›z.
x
−3
f(x) = 5x + 2
(g o f)(x) = g [ f(x) ] = g [ 5x + 2 ] = 3.(5x + 2) − 4 = 15x + 2
g(x) = 3x − 4
f(−3) = 5.(−3) + 2 = −13
g(−13) = 3.(−13) − 4 = −43
(g o f)(−3) = 15.(−3) + 2 = −43
−4
0
2
2) Aşağıdaki çizelgede verilen fonksiyonlara göre noktalı yerleri doldurunuz.
f: R
R,
f(x) = 3x − 2,
g: R
R,
2
g(x) = x − 4,
h: R
R
h(x) = −x + 5
(f o g)(x) = f [ g(x) ] = f [ x − 4 ] = 3.(x − 4) − 2 = 3x − 14
2
2
2
(f o h)(x) = ....................................................................................................................................
(g o h)(x) = ....................................................................................................................................
(h o f)(x) = ....................................................................................................................................
f: R
R, g: R
R, f(x) = 3x + 5, g(x) = 4x + 2 foksiyonları veriliyor. (g o f)(x) ve (f o g)(x)
fonksiyonlarının kurallarını bulalım.
(g o f)(x) = g [ f(x) ]
(f o g)(x) = f [ g(x) ]
= g [ 3x + 5 ]
= f [ 4x + 2 ]
= 4.(3x + 5) + 2
= 3.(4x + 2) + 5
= 12x + 22
= 12x + 11
(g o f)(x) ≠ (f o g)(x) olduğundan fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
f: A
B, g: B
C, h: C
D, f(x) = y, g(y) = z ve h(z) = t foksiyonları veriliyor.
[ (h o g) o f ](x) fonksiyonu ile [ h o (g o f) ](x) fonksiyonlarını inceleyelim.
100
[ (h o g) o f ](x) = (h o g) [ f(x) ] = (h o g)(y) = h [ g(y) ] = h(z) = t
[ h o (g o f) ](x) = h [ (g o f)(x) ] = h g [ f(x) ] = h [ g(y) ] = h(z) = t
[ (h o g) o f ](x) = [ h o (g o f) ](x) olduğundan fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği
[
]
vardır.
f: R
R, g: R
R, I : A
A, f(x) = 3x + 5, g(x) = 4x + 2 ve I(x) = x foksiyonları
veriliyor. ( I o f)(x), (f o I )(x), ( I o g)(x) ve (g o I )(x) fonksiyonlarının kurallarını bulalım.
( I o f)(x) = I [ f(x) ] = I(4x + 1) = 4x + 1 = f(x)
(f o I )(x) = f [ I (x) ] = f(x)
( I o g)(x) = I [ g(x) ] = I(4x + 2) = 4x + 2 = g(x)
(g o I )(x) = g [ I (x) ] = g(x)
( I o f)(x) = (f o I )(x) = f(x) ve ( I o g)(x) = (g o I )(x) = g(x) olduğundan I (x) = x, birim fonksiyondur ve fonksiyonlarda bileşke işlemine göre etkisiz elemandır.
1) f: R
R, g: R
R, f(x) = 3x + 7, g(x) = −2x + 3 fonksiyonları veriliyor. (f o g)(x) ve
(g o f)(x) fonksiyonlarının kurallarını bulup karşılaştırınız.
2) f: R
R, g: R
R, h: R
R, f(x) = 2x, g(x) = −3x + 1 ve h(x) = 5x − 1
fonksiyonları veriliyor. [ (fog)oh](x) ile [ fo(goh)](x) fonksiyonlarının kurallarını bulup karşılaştırınız.
3) f: R
ise m kaçtır?
R, g: R
R, f(x) = 4x + 5, g(x) = −2x + 3 fonksiyonları veriliyor. (f o g)(m) = −7
4) f: R
ise m kaçtır?
R, g: R
R, f(x) = 2x + 1, g(x) = −5x fonksiyonları veriliyor. (f o g)(2m+3) = 9m
BİR FONKSİYONUN BİLEŞKE İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
f
A
B
• TS
• Ajax
• BJK
• AC Milan
• FB
• B. München
• GS
• Barcelona
Yanda Avrupa kupalarında eleme usulü mücadele edecek Türk takımlarının rakipleri ile ilk maçlarını gösteren f fonksiyonunun şeması verilmiştir.
f = { (TS, Ajax), (BJK, AC Milan), (FB, B. München), (GS, Barcelona) }
f fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini belirleyiniz.
f fonksiyonunun 1-1 ve örten olup olmadığını tartışınız.
Yukarıdaki maçların rövanş maçlarını gösteren g fonksiyonunun şemasını çiziniz.
101
g fonksiyonunun elemanlarını liste yöntemi ile yazınız.
g fonksiyonunun tanım ve görüntü kümelerini belirleyiniz.
g fonksiyonunun 1-1 ve örten olup olmadığını tartışınız.
f ve g fonksiyonlarını karşılaştırınız.
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 4, 5, 6, 7, 8 } kümeleri verilsin. f: A
g(x) =
A
B
B, g: B
A, f(x) = 2x + 1,
x −1
fonksiyonlarının elemanlarını bulup şemasını çizelim.
2
f
•1
•3
•2
•5
•3
•7
•4
•9
•5
• 11
g
•3
•1
•5
•2
•7
•3
•9
•4
• 11
•5
B
f(x) = 2x + 1
f(1) = 2.1 + 1 = 3
f(2) = 2.2 + 1 = 5
f(3) = 2.3 + 1 = 7
f(4) = 2.4 + 1 = 9
f(5) = 2.5 + 1 = 11
f = { (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11) }
x −1
2
3 −1
5 −1
7 −1
= 1, g(5) =
g(3) =
= 2 , g(7)=
=3,
2
2
2
9 −1
11−1
= 4 , g(11) =
g(9) =
=5
2
2
g(x) =
A
g = { (3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4), (11, 5) }
f ve g 1-1 ve örten fonksiyonlardır.
f fonksiyonunun tanım kümesi, g fonksiyonunun görüntü kümesi; f fonksiyonunun görüntü
kümesi, g fonksiyonunun tanım kümesidir.
Genel olarak f: A
B, 1-1 ve örten fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanları
A, 1-1 ve örten fonksiyona f fonksiyonuA kümesindeki aynı elemanlara eşleyen g: B
−1
nun tersi denir ve g = f biçiminde gösterilir.
Buna göre aşağıdaki şemadan da görülebileceği gibi,
A
B
f
−1
•x
•y
f
102
−1
f(x) = y ⇔ f (y) = x
ve
(f −1) = f olur.
−1
Aşağıda şemaları verilen f, g, h ve t fonksiyonlarından hangisinin tersinin fonksiyon olduğunu
bulalım.
f
g
t
h
A
B
A
C
A
A
E
D
•1
•3
•1
•1
•6
•1
•5
•2
•7
•4
•2
•2
•4
•2
•2
•7
•9
•6
•3
•3
•5
•3
•3
• 11
•8
•8
• 13
• 10
•4
•6
•4
•4
•4
f, 1-1 ve örten olduğundan tersi de bir fonksiyondur.
g, 1-1 dir. Fakat örten değildir. Tersi fonksiyon değildir.
h, 1-1 değildir. Örtendir. Tersi fonksiyon değildir.
t, 1-1 değildir. Örten de değildir. Tersi fonksiyon değildir.
O hâlde, sadece 1-1 ve örten olan fonksiyonların ters fonksiyonu vardır.
f: R
R, f(x) = 3x − 4 fonksiyonunun ters fonksiyonunun kural›n› bulal›m.
f(x) = y olduğundan y = 3x − 4 dir.
y = 3x − 4 ifadesinden x in y cinsinden değerini bularak aşağ›daki noktal› yere yaz›n›z.
x = …………..
f(x) = y ⇔ f−1(y) = x olduğundan yukar›daki x in y cinsinden değerini, bulduğunuz eşitlikteki
x yerine f (y) yaz›n›z.
−1
f (y) = …………
−1
 Elde ettiğiniz ifadede y yerine x yazarak f−1(x) fonksiyonunun kural›n› aşağ›daki noktal›
yere yaz›n›z.
f (x) = …………
−1
Kuralı verilen f(x) fonksiyonunu kullanarak fonksiyonunun kuralının nasıl bulunabileceğini
tartışınız.
f: R − {−3}
R − {2}, f(x) =
f(x) = y olduğundan y =
2x +1
fonksiyonunun ters fonksiyonunun kural›n› bulal›m.
x+3
2x +1
2x +1
tür. y =
eşitliğinden x in y cinsinden değerini yazalım.
x+3
x+3
xy + 3y = 2x + 1
xy − 2x = −3y + 1
x(y − 2) = −3y + 1
103
x=
−3y +1
dir.
y−2
f(x) = y ⇔ f (y) = x olduğundan x = f (y) =
−1
1) f: R
2) f: R
−1
−3y +1
−3x +1
−1
dir. Dolayısıyla f (x) =
bulunur.
y−2
x−2
R, f(x) = 2x − 3 olsun. f (x) fonksiyonunu bulunuz.
−1
R, f(x) =
3) f: R − {−4}
−2x +1
fonksiyonu için ters fonksiyonunu bulunuz.
3
R − {5}, f(x) =
nuz.
5x − 3
fonksiyonunun ters fonksiyonunun kural›n› bulux+4
f(x) = x − 1 ile f (x) = x + 1 ve g(x) = 2x + 3 ile g (x) =
−1
−1
bulalım.
x−3
fonksiyonlarının bileşkelerini
2
(f o f −1)(x) = f [ f −1(x) ] = f [ x + 1 ] = x + 1 − 1 = x = I(x)
(f −1o f )(x) = f −1 [ f(x) ] = f −1 [ x − 1 ] = x − 1 + 1 = x = I(x)
[
] [
]
x−3
x−3
= 2.
+ 3 = x − 3 + 3 = x = I(x)
2
2
(g−1o g )(x) = g−1 [ g(x) ] = g−1 [ 2x + 3 ] = 2x + 3 − 3 = 2x = x = I(x)
2
2
(g o g−1)(x) = g [ g−1(x) ] = g
Bir fonksiyonun ters fonksiyonu ile bileşkesinin sonucu birim fonksiyondur.
(f o f −1)(x) = (f −1o f )(x) = I(x) = x dir.
A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { 2, 3, 4, 5 }, f: A
yöntemi ile yazıp grafiklerini çizelim.
f(x) = x + 1
f(1) = 1 + 1 = 2
f(2) = 2 + 1 = 3
f(3) = 3 + 1 = 4
f(4) = 4 + 1 = 5
104
B, f(x) = x + 1 veriliyor. f ve f fonksiyonlarını liste
f = { (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) }
⇒
f = { (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4) }
−1
−1
y
y=x
f
5
4
f
3
−1
2
1
1
Bir f fonksiyonunun grafiği ile f
−1
2
3
4
x
5
fonksiyonunun grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların ters fonksiyonlarının grafiğini çizelim.
a)
y
4
b)
y=x
f
y
g
c)
y=x
y
y=x
h
4
3
2
−2
x
0
1
0 1
2
3
x
0
x
4
Bir fonksiyon ile tersinin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
a)
y
f
4
b)
y=x
3
f
y
g
g
−1
2
c)
y=x
y
h
y=x
4
−1
h
−1
−2
0
1
0 1
2
3
4
x
x
0
4
x
−2
1) f: R
R, f(x) = 3x fonksiyonunun tersini bulunuz. Fonksiyonun kendisi ile tersinin grafiğini ayn› koordinat düzleminde çiziniz.
2) f: R
R, f(x) = −x + 3 fonksiyonunun tersini bulunuz. Fonksiyonun kendisi ile tersinin
grafiğini ayn› koordinat düzleminde çiziniz.
105
3) Aşağıda grafiği verilen fonksiyonun tersinin grafiğini çiziniz.
y
4
f
3
2
1
0 1
−1
4) f: R
2
3
4
x
R olmak üzere aşağıda grafiği verilen fonksiyonun tersinin grafiğini çiziniz.
f
y
3
2
1
−1
−1
f: R
0
1
2
3
4
x
R olmak üzere, f(3x + 2) = 5x + 4 veriliyor. f(x) in kuralını bulalım.
g(x) = 3x + 2 olsun. O hâlde, g (x) =
−1
x−2
olur. Bu ifadeyi verilen eşitlikte x yerine yazalım.
3
[( ) ] ( )
f 3.
f: R
bulalım.
x−2
x−2
+ 2 = 5.
+4
3
3
f(x) =
5x −10
+4
3
f(x) =
5x + 2
bulunur.
3
R, g: R
R, f(x) = 3x − 5 ve (g o f)(x) = 5x − 7 olduğuna göre g(x) in kuralını
(g o f)(x) = g [ f(x) ]
5x − 7 = g [ 3x − 5 ]
5.
106
( )
[( ) ]
(f(x) = 3x − 5 ⇒ f (x) =
5x + 4
x+5
x+5
− 7 = g 3.
− 5 dır. O hâlde, g(x) =
bulunur.
3
3
3
−1
x+5
)
3
f: R
bulalım.
R, g: R
R, f(x) = 3x + 5 ve g(x) = 4x − 7 ise g(x) in f(x) cinsinden değerini
f(x) = 3x + 5 ifadesinden x i yalnız bırakarak g(x) in kuralında yazalım.
f(x) − 5 = 3x
x =
f: R
g(x) = 4x − 7
f(x) − 5
3
(
g(x) = 4.
⇒
R, g: R
)
f(x) − 5
−7
3
g(x)
4.f(x) − 20
=
−7
3
g(x)
4.f(x) − 41
=
olur.
3
R, f(x) = 2x − 3 ve g(x) = 5x + 4 fonksiyonları veriliyor. (f o g) (x),
−1
( f −1o g −1) (x) ve ( g −1o f −1) (x) fonksiyonlarını karşılaştıralım.
x−4
x+3
−1
ve g (x) =
dir.
5
2
f (x) =
−1
(f o g)(x) = f [ g(x) ] = f [ 5x + 4 ] = 2.(5x + 4) − 3 = 10x + 5
(f o g) (x) =
−1
(f
(g
) (x) = f [ g (x) ] = f
og
−1
of
−1
−1
−1
x−5
olur.
10
−1
−1
−1
) (x) = g [ f (x) ] = g
−1
−1
(f o g) (x) = ( g o f
−1
−1
[
x−4
=
5
[
x+3
=
2
−1
]
]
x−4
5
=
2
x+3
2
5
x + 11
+3
5
2
=
x + 11
10
x−5
−4
=
2
5
=
x−5
10
) (x) ve (g o f)−1(x) = ( f −1o g −1) (x) dir.
−1
1) Aşağıda R den R ye verilen f, g ve h fonksiyonları için f(x), g(x) ve h(x) in kuralını bulunuz.
(
)
2) f: R
bulunuz.
R, g: R
3x + 5
= 4x − 3
2
R, f(x) = 4x − 3 ve (g o f)(x) = 8x + 5 olduğuna göre g(x) in kuralını
3) f: R
bulunuz.
R, g: R
R, g(x) = 4x + 2 ve (g o f)(x) = 3x − 5 olduğuna göre f(x) in kuralını
a) f(x + 3) = 6x + 9
b) g(2x + 1) = 7x + 5
c) h
107
4) f: R
R, g: R
R fonksiyonları için,
a) f(3x − 4) = 5x + 7 ise f (−3) kaçtır?
−1
b) g (7x + 3) = 2x − 6 ise g(2) kaçtır?
−1
x+2
−1
, f (−2) = 4 ve
3x − m
5) Tanımlı olduğu kümelerde f ve g fonksiyonları veriliyor. ( g o f ) (x) =
−1
(
g
)
2
= −2 ise m kaçtır?
18 − m
6) f: R
R, g: R
R fonksiyonları veriliyor. f(x) = 6x + 1 ve g(x) = −3x + 5 olduğuna
göre f(x) in g(x) cinsinden değerini bulunuz.
7) f: R
R, f(x) = 5x − 7 ise f(3x) in f(2x) cinsinden değerini bulunuz.
{ }
8) f: R − −
{ }
3
2
R− −
5
, g: R
2
R fonksiyonları veriliyor. f(x) =
5x −1
ve g(x) = 4x + 1
2x + 3
olduğuna göre f(x) in g(x) cinsinden değerini bulunuz.
R, f(2x − 3) = 5x + 7 ve f (2) = m + 4 ise m kaçtır?
9) f: R
−1
10) f: R
R, f (3x + 1) = 4x − 7 ve f(5) = 4 − 2n ise n kaçtır?
−1
11) f: R
−1
f (x) i bulunuz.
R, g: R
2
12) f: R
−1 −1
R fonksiyonları veriliyor. g(x) = 3x − 5 ve (f o g
4
) (x) = 6x + 1 ise
2
R, f(x + 1) = x + 4x + 5 ise f(x) i bulunuz.
13) f: R − {a}
R − {b}, f(x) =
2x + 3
veriliyor. f fonksiyonu 1-1 örten fonksiyon olduğuna
x−5
göre a.b kaçtır?
14) f(x) =
2x + 3
−1
ve g(x) = 2x + 1 olduğuna göre (f o g)(x) nedir?
5
GRAFİĞİ VERİLEN BİR FONKSİYONUN BAZI DEĞERLERİNİ BULMA
y
3
2 B
C
−5
E
108
A
1
D
−3 −2
Yanda f: R
nun grafiği verilmiştir.
y = f(x)
0
4
−2
x
R, y = f(x) fonksiyonu-
 Grafik üzerinde işaretlenen A, B, C, D
ve E noktalar›n›n koordinatlar›n› noktal› yerlere
yaz›n›z.
A(4 , 3)
D
B( .. , .. )
( .. , .. ) E
C( .. , .. )
( .. , .. )
A(x , y) = A(4 , 3), x = 4 ∧ y = 3 ve f(x) = y den f(4) = 3 olduğuna göre aşağ›daki noktal›
yerleri doldurunuz.
f(x) = y
f(−3) = ….
f(0) = ….
.….. = 1
f(−5) = ….
(f o f )(−5) = ….
f(x) = y ⇔ f −1(y) = x olduğunu göz önüne alarak aşağ›daki noktal› yerleri doldurunuz.
f (1) = ….
f (...) = 0
f (...) = 4
f (...) = −5
f (2) = ….
(f −1o f −1)(1) = ....
−1
−1
−1
−1
−1
Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki bazı noktaların koordinatlarından faydalanarak fonksiyonun bazı değerlerinin hesaplanıp hesaplanamayacağını tartışınız.
y
y = f(x)
5
f: [−1 , 6]
4
y = g(x)
3
[−1 , 5], g: [−2 , 4]
[−2 , 3]
fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
2
−2
1
0
6
−1
−1
3
3
2
4
x
−2
f(x) = y ⇔ f (y) = x özelliğinden yararlanarak,
−1
−1
a) ( f o g ) (2) ve
[( f o g ) o f ](5) değerini bulalım.
−1
b) f(m + 5) = g (2) eşitliğindeki m sayısını hesaplayalım.
−1
−1
a) ( f o g ) (2) = ( g o f
)(2)
= g [ f (2) ]
−1
−1
−1
−1
= g (3)
f (2) = a olsun.
−1
f(a) = 2
−1
=4
[( f o g ) o f ](5) = ( f o g )[ f
−1
a = 3 olur.
−1
g(b) = 3
b = 4 olur.
(5) ]
−1
= ( f o g )(−1)
= f [ g(−1) ]
= f(0)
g (3) = b olsun.
f (5) = c olsun.
−1
f(c) = 5
c = −1 olur.
=4
b) g (2) = d olsun.
g(d) = 2
d = 3 olur.
−1
f(m + 5) = 3 olsun. m + 5 =
7
3
ve m = − bulunur.
2
2
109
y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir nokta (a , b) ise b = f(a) dır.
Vücut
sıcaklığı
Afrika’da ölen her yüz çocuktan onunun sebebi olan sıtma ülkemiz için de önemli bir sağlık
problemidir. Sıtma hastalığına yakalanan bir insandaki vücut sıcaklığının zamana göre değişim
grafiği aşağıda verilmiştir.
41°
40.5°
40°
39.5°
39°
38.5°
38°
37.5°
Zaman (Saat)
60
54
48
32
24
18
12
0
37°
Yukarıda verilen grafiğe göre,
Hastanın vücut sıcaklığı hangi aralıklarda artmaktadır?
Hastanın vücut sıcaklığı hangi aralıklarda azalmaktadır?
 Vücut sıcaklığının arttığı ve azaldığı aralıklarda grafiği verilen fonksiyonun birebir ve
örtenliğini tartışınız.
f: [−7 , 9]
[−4 , 5] şeklinde tanımlanan y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
y
y = f(x) fonksiyonu
5
a) (–7, –4)
7
2
2
9
–7
–5 –4 –3
0
1
2
–2
8
x
aralıklarında nasıl bir değişim
–4
110
4
b) (–4, –3)
1
c) (–3,
)
2
1
ç) ( , 4)
2
d) (4, 9)
göstermektedir?
1
, 4) aralıklarında x değerleri artarken y değerleri de artmaktadır.
2
(–4, –3) ve (4, 9) aralıklarında x değerleri artarken y değerleri azalmaktadır.
1
(–3,
) aralığında ise artan x değerleri için y değerleri sabit kalmaktadır.
2
(–7, –4) ve (
A sonlu veya sonsuz aralık omak üzere f: A
R fonksiyonu verilsin.
Eğer ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonuna kesin artan fonksiyon denir.
Eğer ∀ x1, x2 ∈ A, x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonuna kesin azalan fonksiyon
denir.
Kesin artan ve kesin azalan fonksiyonlar bire bir ve örtendir.
y
Yanda verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlar›-n›n
grafiklerine göre aşağ›daki sorular› yan›tlay›n›z.
4
a) f(2) = ?
b) f(−2) = ?
c) g(3) = ?
ç) g(0) = ?
d) ( f o g )(3) = ?
e) f o ( f o f ) (−3) = ?
f) ( g o f )(−4) = ?
g) f(m) +
y = f(x)
3
2
1
−3
−4
−2
0
−1
3
2
2
1
3
4
y = g(x)
−2
R ve g: R
R olmak üzere,
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (f − g)(x) = f(x) − g(x), (f.g)(x) = f(x).g(x) ve
R
Fonksiyon
−1
]
5
= g(2) ise m = ?
2
f) y = g(x) fonksiyonu hangi aralıkta artandır, hangi
aralıkta azalandır? Bulunuz.
f: R
x
[
()
f
f(x)
(x) =
; (g(x) ≠ 0) dır.
g
g(x)
R tanımlı f ve g fonksiyonlarını seçerek aşağıdaki çizelgeyi doldurunuz.
(f + g)(x)
(f − g)(x)
(f.g)(x)
( )
f
(x)
g
f(x) = x2 − 3x + 4
g(x) = x − 2
 R
R tanımlı fonksiyonlar arasındaki dört işlem ile bu fonksiyonların kuralları arasındaki dört işlemi ilişkilendiriniz.
111
f = { (0 , 5), (1 , 4), (3 , −11) } ve g = { (−4 , 6), (0 , −7), (5 , 4), (1 , 2) } fonksiyonları veriliyor. f + g,
f.g, 4f, 3g ve 4f − 3g fonksiyonlarını bulalım.
f + g = { (0 , 5 − 7), (1 , 4 + 2) } = { (0 , −2), (1 , 6) }
f.g = { (0 , 5.(−7)), (1 , 4.2) } = { (0 , −35), (1 , 8) }
4f = { (0 , 4.5), (1 , 4.4), (3 , 4.(−11)) } = { (0 , 20), (1 , 16), (3 , −44) }
3g = { (−4 , 3.6), (0 , 3.(−7)), (5 , 3.4), (1 , 3.2) } = { (−4 , 18), (0 , −21), (5 , 12), (1 , 6) }
4f − 3g = { (0 , 20 + 21), (1 , 16 − 6) } = { (0 , 41), (1 , 10) } bulunur.
y
g (x) = x2
f (x) = x
x
0
a)
f : R → R, f(x) = x ve g : R → R, g(x) = x2 olmak
üzere aşağıda grafikleri verilmiş fonksiyonlar için;
f
a) f + g, b) f – g, c) f.g ve ç)
fonksiyonlarının
g
grafikleri ile f ve g fonksiyonlarının grafiklerini inceleyelim.
f+g:R→R
b)
f–g:R→R
(f – g)(x) = f(x) – g(x) = x – x2
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x
2
y
y
f+g
1
–1
112
0
x
0
x
c)
f.g : R → R
ç)
(f.g)(x) = f(x).g(x)
(f.g)(x) = x.x2
(f.g)(x) = x3
f : R – {0} → R
f(x)
x
1
f
(x) =
=
=
g(x) x2
x
g
y
y
f
g
(f.g)
0
0
x
x
Elde edilen yeni fonksiyonlar f ve g fonksiyonları ile karşılaştırıldığında yapısının, konumunun
ve grafiklerinin değiştiği görülmüştür. Ayrıca f + g, f – g, f.g fonksiyonlarının tanım kümesi f ve g
f
fonksiyonunun tanım kümesi ise f ve g
g
fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişiminden g fonksiyonunu sıfır yapan değerler çıkartılarak
elde edilir.
fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişimidir.
f : { –2, –1, 0, 1, 2, 3 } → R, f(x) = x + 3
g : { –3, –1, 0, 1, 3, 5 } → R, g(x) = –x2 – 5x
fonksiyonları verilsin. (f + g)(x) fonksiyonunu bularak tanım kümesini inceleyelim.
(f + g)(x) = x + 3 + (–x2 – 5x)
= x + 3 –x2 – 5x
= –x2 – 4x + 3 bulunur.
(f + g)(–1) = f(–1) + g(–1)
= –1 + 3 – (–1)2 – 5(–1)
= –1 + 3 – 1 + 5
= 6 bulunur.
(f + g)(–2) yi bulalım.
(f + g)(–2) = f(–2) + g(–2) dır. Ancak g(–2) yoktur.
–3, 0, 1, 2, 3, 5 noktaları içinde benzer işlem yapılırsa f + g fonksiyonunun tanım kümesinin
{–1, 0, 1, 3} olduğu görülür.
113
Çizelgede boş olan yerleri verilen fonksiyonlara göre doldurunuz.
(f + g)(2)
(f − g)(1)
2
f(x) = x + 1
2
g(x) = x + x + 1
(f.g)(3)
2
2
(f.g)(3) = f(3).g(3) = (3 + 1).(3 + 3 + 1) = 130
()
f
(−2)
g
(f + g)(2)
f(x) = 3 + x
(f − g)(1)
2
(f.g)(3)
g(x) = x + 7
()
f
(−2)
g
3.
()
f(−2)
3 + (−2)2
7
f
=−
(−2) =
=
g(−2)
5
−2 + 7
g
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A. Aşağıdaki cümlelerin karşısına önermeler doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
2
1)
k = 1 ve t = −2 için f(x) = (k − 1)x + (t + 3)x fonksiyonu birim fonksiyondur. (.....)
2)
Bire bir örten her fonksiyonun tersi ile bileşkesi sabit fonksiyondur. (.....)
3)
∀x ∈ R için f(x) = f(−x) ise f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. (.....)
4)
Bire bir ve örten bir fonksiyonun görüntü kümesinde, tersini tanımsız yapan değerler bu-
lunmaz. (.....)
B. Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1) Tanım kümesinin her elemanını değer kümesinde kendisine eşleyen fonksiyona .........................
fonksiyon denir.
2)
f: A
B fonksiyonu için A kümesinin elemanlarının eşlendiği f(A) kümesine .............
......................... denir.
3)
f: A
B fonksiyonu için A kümesinin her bir elemanını B kümesindeki yalnız bir elemana
eşleyen fonksiyona ....................... fonksiyon denir.
4)
Elemanları x eksenine paralel bir doğru üzerinde olan fonksiyona ...................... fonksiyon
denir.
5)
114
f: R
R, f(x) = mx + n biçimindeki fonksiyona ........................ fonksiyon denir.
C. Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
y
1)
y
3
2
0
−2
3
3
A
2
B
−1
C
x
y = f(x)
2)
y = g(x)
G
1
−1 0
x
F
E −1 2
D
−3
Yanda grafikleri verilen fonksiyonlardan
y = f(x) fonksiyonu A, B ve C, y = g(x) fonksiyonu
D, E, F ve G noktalarından geçmektedir. Buna
göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
a)
( g o f )(2) kaçtır?
b)
( f −1o g −1)(m) = 2 ise m kaçtır?
−1
c)
( g −1 o f ) (2) kaçtır?
f = { (−1 , 6), (−2 , 4), (3 , 2), (6 , 1) } ve g = { (2 , 4), (−1 , 5), (3 , −1), (5 , −4) } fonksiyonları veriliyor. Buna göre,
a)
(f + g)(3) kaçtır?
b)
f + g, f.g, 2f − 3g ve
g
fonksiyonlarını yazınız.
f
D. Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
1) (2x − 3 , 5) = (9 , 3y − 7) ise x.y kaçtır?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
2)
(2x − 6 , 3x) = (3y , 2y − 1) ise x + y kaçtır?
A) 5
B) − 5
C) 7
D) − 7
E) 30
E) 2
3)
R de tanımlı β bağ›nt›s› β = { (x, y) | 2x + y = 9, x,y ∈ R } olarak veriliyor. β ∩ β kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(3,3)}
B) {(6,6)}
C) {(3,6),(3,6)}
D) {(2,5),(5,2)}
E) {(0,9),(9,0)}
4)
A = { 3, 4, 5, 6 } kümesi üzerinde tanımlı β = { (5 , 6), (3 , 3), (6 , 3) } bağıntısı veriliyor. β nın
geçişken olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi β bağıntısının elemanı olmalıdır?
A) (6 , 5)
B) (3 , 5)
C) (5 , 5)
D) (6 , 6)
E) (5 , 3)
5)
−1
A
A = { 1, 2, 3, 4 } kümesi üzerinde tanımlı β
bağ›nt›s›nın grafiği verilmiştir. β bağ›nt›s› için
aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Yansıyandır
B) Simetriktir
C) Ters simetriktir
D) Geçişken değildir
E) Yansıyan ve ters simetriktir
β
4
3
2
1
0
A
1
2
3
4
115
6)
7)
R de tanımlı β bağ›nt›s› β = { (x, y) | mx + (2m − 1)y = 0, x,y ∈ R } olarak veriliyor. m nin hangi
değeri için β yansıyandır?
2
1
1
3
A) −1
B) −
C) −
D)
E)
3
2
3
4
A ve B ayrık iki kümedir. s(A x B) = 24 ise s(A ∪ B) aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 10
B) 11
C) 14
D) 18
E) 25
8)
A = { x | −1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R }, B = { x | −1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R } kümeleri veriliyor. A x B nin belirttiği
geometrik şeklin çevresi kaç birimdir?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
9)
f: R
R, f(x) = (a − 3)x − (b − 3)x
a.b + c.d + e kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
c−2
3
10) f: R
A) 7
2
+ (d + 1)x + e − 5 fonksiyonu birim fonksiyon ise
D) 8
E) 9
R, f(x) = (3a − 4)x + 24a − 11 fonksiyonu sabit fonksiyon ise f(2011) kaçtır?
4
B) 14
C) 21
D)
E) 2011
3
R, f(x) doğrusal fonksiyondur. f(1) = 4 ve f (2) = −1 ise f(9) kaçtır?
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
11) f: R
A) 14
−1
12) R
A) 3
R, f ve g fonksiyonları için, g(x) = 4x + 1 ve (f o g)(x) = 3x − 5 ise f (− 2) kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
−1
13) R
R, f ve g fonksiyonları için, g(x) = 3x + 8, g(4x + 2) = f(x + 1) ise (g o f)(−1) kaçtır?
A) −20
B) −21
C) −22
D) −23
E) −24
14) f: R
A) 64
R, f(x) = mx + n fonksiyonu için, f (−2) = 2 ve f(1) = 5 tir. Buna göre m.n kaçtır?
B) −84
C) −64
D) 84
E) 72
15) R
A) −6
R, f ve g fonksiyonları için, f(x + 2) = 5x + 7 ve g(3 − x) = 7x + 1 için (f o g)(5) kaçtır?
B) −5
C) −4
D) −3
E) −2
−1
−1
16) f: R − {3}
A) −7
mx + 4
R − {2}, bire bir ve örten fonksiyondur. f(x) =
ise m.n kaçtır?
x+n
B) −6
C) −5
D) −4
E) −3
17) f: R
R, f(x) = 2x + 1 ise f(4x) in f(x) cinsinden ifadesi nedir?
A) 2f(x) + 1
B) 3f(x) − 1
C) 4f(x)
D) 4f(x) − 3
E) 8f(x) + 1
x+1
18) f: R
R, f(x) = 3
2
A) [ f(x) ]
19) f: R
A) −5
116
B)
ise f(2x) in f(x) cinsinden ifadesi nedir?
[f(x)]2
3
C) 3[ f(x) ]
2
D)
[f(x)]2
9
R, f(3x + 1) = 6x − 10 ve f (k + 1) = 4 ise k kaçtır?
B) −4
C) −3
D) −2
E) 9[ f(x) ]
−1
E) −1
2
20) f: R − {−2}
R − {4}, bire bir ve örten fonksiyondur.
ax
a
f(x) =
fonksiyonu veriliyor.
oranı kaçtır?
x+d
d
A) 0
B) 1
21) f: R − {0}
A)
C) 2
R − {1}, (f o f)(x) =
1
2
B) 1
D) 3
E) 4
1+ f(x)
olduğuna göre f(1) kaçtır?
f(x)
C) 2
D) 3
E) 4
22) R
R, f ve g fonksiyonları için, f(x + 1) = 2x + a ve g(x − 1) = x + 1 fonksiyonları veriliyor.
(f o g)(2) = 5 ise g(a) − f(a) kaçtır?
A) −5
B) −4
C) 0
D) 3
E) 6
( ) ( )
23) f: R − {0}
A) 5
R − {0}, f
B) 4
C) 3
D) 2
2x − 1 ,
2,
24) R de tanımlı, f(x) =
(
)
−1 m +12
x +1
2
= 2. x − 2 veriliyor. f
=
ise m kaçtır?
x−2
7
m
x +1
4−x,
E) 1
x<1
ise
1≤x<3
ise ve g(x) =
x≥3
ise
x+1,
x<1
ise
3x − 1 ,
x≥1
ise
fonksiyonları veriliyor. (f o g)(0) + (g o f)(3) toplamı kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
25)
y = f(x)
E) 1
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
g(x) = 2f(x + 1) + 1 ise (g o f)(−2) kaçtır?
−1
5
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
2
0
1
−2
26) f: R − {3}
f(x) =
A) 1
x
R − {2} ve g: R − {6}
R − {2} fonksiyonları veriliyor.
−1
x
2x − 5
−1
ve (g o f) (x) =
ise g(7) kaçtır?
2
x−3
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
117
27) R de tanımlı f ve g fonksiyonları veriliyor.
f(3x − 2) = 6x − 3, g(3x + 1) = 12x + 1 ve (f o g)(3a + 3) = 3 ise a kaçtır?
−1
A) −
2
3
B) −
1
6
C)
1
6
D)
2
3
28) R de tanımlı ∆ ve  işlemleri a ∆ b = a + b + 1 ve a  b =
2∆3=
E) 6
1 1
+ olarak veriliyor.
a b
1
ise k kaçtır?
3k
A) −6
B) −5
C) −4
D) −3
E) −2
y
29) R de tanımlı  işlemi x  y = 2x −
biçiminde tanımlanıyor. (−3)  k = 1 ise 1  k kaç-tır?
x
A) −16
B) −17
C) −18
D) −19
E) −20
30) R de x  y = 3 − 4xy ve x ∆ y = 4x − 3y + 6 işlemleri tanımlanıyor. (2 ∆ k)  5 = 23 ise k kaçtır?
A) −5
B) 5
C) 7
D) 9
E) 11
31) R de tanımlı  işlemi
A) 5
9x − 4y
3
2

=
biçiminde tanımlanıyor. (−6)  12 kaçtır?
12xy
y
x
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
32) R de ∆ işlemi (3m) ∆ (3n) =m + n − m.n + 2 biçiminde tanımlanıyor. Bu işlemin birim ele-manı
ile yutan elemanının toplamı kaçtır?
A) −3
B) −1
C) −6
D) −9
E) 9
33) A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinde tanımlı ∆ işlemi tablo ile verilmiştir.
−1
−1
(1 ∆ 3−1) ∆ x = (4−1 ∆ 2) ise x kaçtır?
∆
1
2
3
4
5
1
5
1
2
3
4
2
1
2
3
4
5
3
2
3
4
5
1
4
3
4
5
1
2
5
4
5
1
2
3
A) 5
118
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
4. ÜNİTE
SAYILAR
ALT ÖĞRENME ALANLARI
• Doğal Say›lar
• Tam Say›lar
• Modüler Aritmetik
• Rasyonel Say›lar
• Gerçek Say›lar
• Mutlak Değer
• Üslü Say›lar
• Köklü Say›lar
• Problemler
Matematik öğrenirken gelişme sağlayabilmek için kavramlardan birini diğeri ile ilişkilendirmek
çok önemlidir. Say› kavram›, matematiksel kavramlar›n baş›nda yer al›r. Eğer say› kavram› tam
olarak alg›lan›r ise sonraki öğrenmelerde karşılaşılacak pek çok s›k›nt› başlang›çta giderilmiş
olacaktır.
Say›lar ilk çağlardan beri insanlar›n yaşam›nda çok önemli bir yer tutmuştur. ‹lk Çağ insanlar›, say›lar için kil tabletler üzerine çizikler kaz›maya ya da kesilmiş ağaç dal›na çentik yapmaya
başlamakla ilk kez say›lar› yaz›l› olarak ifade etmiş oluyorlard›. Kullan›lan bu işaretler, rakam ve
say›lar›n ilk yaz›l› ifadeleridir. Bunlar›n yan›nda, say›lar› belirtmek için değişik ses ve kelimeler de
kullanm›şlard›r.
Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski M›s›rl›lara aittir. Eski M›s›rl›lar›n kulland›klar›
resim yaz›s›n›n (hiyeroglif) başlang›ç tarihi, MÖ 3300 y›l›na kadar gider. Bir başka deyişle M›s›rl›lar
yaklaş›k 5300 y›l önce, milyona kadar olan say›lar› kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. M›s›rl›lara
ait sayma sistemi, İlk Çağ mağara insan›n›n önceleri kulland›ğ› sayma sisteminin gelişmiş şeklidir.
Eski M›s›r aritmetiği hakk›ndaki bilgilerimiz, zaman›m›za kadar ulaşm›ş papirüs tomarlar›ndan
elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler bilim tarihinde, MÖ 1900-1800 y›llar› için adland›r›lan, Kahun (Kaun) ve Berlin papirüsleri ile MÖ 1700 ile 1600 y›llar› için adland›r›lan, Hiksoslar devrinden
(MÖ 1788-1580) kalma Rhind (Rind) ve Moskova papirüsleridir. [1]
Mezopotamyal›larda rakamlar, çivi yaz›s›nda görülen çivi ya da oduncu kamas›na benzeyen şekillerden oluşmaktad›r. Bu işaretlerin (sembollerin) uygun biçimde, yan yana ya da büyük say›lar› gösterebilmek için toplu olarak yaz›lmas› suretiyle 60’a kadarki say›lar›n gösterimi
yap›labiliyordu. Bu tür yaz›m biçiminde, 0.1 ile 0.01 gibi rakamlar›n aras›ndaki fark› anlamak bir
hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için metin ve konu yard›m›yla sonuç ç›karma yollar›na gidilirdi. Mezopotamyal›lar, s›f›r sembolünü kullanmam›şlard›r. Ancak astronomide bu amaçla özel bir
sembol kulland›klar› anlaş›lmaktad›r.
MÖ 2000 y›llar›nda Mezopotamya’da yaşayan Babillilerin, bilimin birçok dal›nda oldukça ileri
bir seviyeye ulaşm›ş olduklar› bilinmektedir. Öyle ki Babil şehrini zaman›n bilim merkezi hâline
getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide çok ilerlemişlerdir.
Babilliler, 59’dan büyük say›lar› da basamak düşüncesinden yararlanarak yazd›lar. 60
say›s›n› taban olarak kulland›lar. Gruplamalar›n› 60’l›k olarak yani 60x2=120 ... şeklinde yapt›lar.
Böylece ilk kez say›larda basamak düşüncesini geliştirmiş oldular. Babilliler, say›lar› yazarken iki
tane sembol ve bulunmayan basamaklar›n yerini doldurmak için de (( : )) işaretini kullanm›şlard›r.
Babil rakamlar› aras›nda da s›f›r rakam›n› gösteren bir sembol yoktur. Buradan Babillilerin rakamlar› sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri anlaş›lmaktad›r. [2]
Bilindiği gibi günümüzde, say›lar› belirten standart hâlde rakam ve sözcükler vard›r. Say›lar,
hem 1, 2, 3, ... gibi sembollerle hem de bir, iki, üç, ... gibi kelimelerle ifade edilebilmektedir. Dört
adet kalemi, “dört kalem” kelimesi ile belirtip “4” rakam› ile gösterebiliyoruz.
[1] Say›l› A., M›s›rl›larda ve Mezopatamyal›larda Matematik, Astronomi ve T›p, Ankara, 1982.(Düzenlenmiştir)
[2] age.
119
DOĞAL SAYILAR
1. Resim
2. Resim
3. Resim
Yukarıdaki resimleri inceleyiniz.
1. Resimdeki ağaçta bulunan elmaların sayısını söyleyiniz.
2. Resimdeki ağaçta elma var mıdır? Bu resimdeki elma sayısını hangi sayı ile ifade edersiniz?
3. Resimde görülen nar meyvesindeki taneler sayılabilir mi? Tartışınız.
...
1
2
3
..
..
..
Yukar›daki kümelerin eleman say›lar›n›, eşit aral›klarla işaretlenmiş say› doğrusundaki noktalara eşleyiniz. Bu noktalara kümelerin eleman say›lar›n› yazınız.
 Bu kümelerin eleman say›lar› birer birer artmaktadır. Eleman say›lar›n› birer birer artt›rarak
yeni bir küme oluşturma işlemine ne kadar devam edilebilir?
 Kümelerin eleman say›lar›na, say› doğrusunda karşılık gelen noktalar sayma say›lar› ile
eşlenmiştir.
Sayma say›lar› kümesinin elemanlar›n› aşağ›daki küme içindeki noktal› yerlere yaz›n›z.
N = { 1, .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. }
+
 En küçük sayma say›s› kaçt›r?
 En büyük sayma say›s› için ne söylenebilir? Tartışınız.
 Sayma say›lar› kümesinin eleman say›s› için ne söyleyebilirsiniz?
 Boş kümenin eleman say›s› için ne söyleyebilirsiniz?
 Boş kümenin eleman say›s›n› yukar›daki say› doğrusunda gösterebilir misiniz?
Bu şekilde elde ettiğiniz say› doğrusundaki noktalara karş›l›k gelen say›lar›n kümesini aşağ›daki noktal› yerlere yaz›n›z.
N = { 0, .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. , .. }
Elde ettiğiniz kümeye doğal say›lar kümesi ad› verilmektedir. Kümeyi inceleyiniz ve aşağ›daki sorular› yan›tlay›n›z.
 En küçük doğal say› kaçt›r?
 En büyük doğal say› için ne söylenebilir?
 Doğal say›lar kümesinin eleman say›s› hakk›nda ne söylenebilir?
 Doğal say›lar kümesi ile sayma say›lar› kümesinin birbirinden farkı ne olabilir? Tartışınız.
120
BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF DOĞAL SAYI KUVVETİ
D
A
3
C
5
Kenar uzunlukları 2 ve 2 birim olan ABCD dikdörtgensel bölgenin alanını 2 nin kuvveti olarak yazalım. Bunun için,
23 ifadesi kaç tane 2 nin çarpımıdır?
25 ifadesi kaç tane 2 nin çarpımıdır?
 23 ile 25 sayılarının çarpımının da kaç tane 2 nin çarpımı
B
olduğunu söyleyiniz.
Dikdörtgensel bölgenin alanını 2 nin kuvveti olarak yazınız.
Tabanları eşit iki üslü sayının çarpımını matematiksel model olarak ifade ediniz.
a) 2.2.2.2.2
b) 3.3.3.3
c) 5.5
ç) 4.4.4
çarpımlarını bir doğal sayının pozitif kuvveti olarak yazalım.
5
2.2.2.2.2 = 2 (2 nin 5. kuvveti)
5 tane
4
3.3.3.3 = 3 (3 ün 4. kuvveti)
4 tane
2
5.5 = 5 (5 nin 2. kuvveti veya 5 in karesi)
2 tane
3
4.4.4 = 4 (4 ün 3. kuvveti veya 4 ün küpü) dır.
3 tane
n
+
a ∈ N ve n ∈ N olmak üzere n tane a nın çarpımı, a.a.a…a = a biçiminde yazılır.
n tane
n
a üssü n veya a nın n. kuvveti diye ifade edilir. a ifadesinde a ya taban, n ye üs denir.
2
Özel olarak a : “a nın karesi”
3
a : “a nın küpü” diye okunur.
4
2
3
7
3 .3 ve 5 .5 ççarpımlarını
p
bir doğal
ğ sayının
y
kuvveti biçiminde
ç
yyazalım.
4 2
3 .3 = 3.3.3.3 . 3.3
4 tane
3
= 3.3.3.3.3.3 = 34 + 2 = 36
2 tane
7
6 tane
3+7
5 .5 = 5.5.5 . 5.5.5.5.5.5.5 = 5
3 tane
10
=5
7 tane
121
+
m
n
m+n
x, m ve n ∈ N olmak üzere, x .x = x
2
2
3
3
4
dir.
4
3 .4 , 2 .5 ve 5 .3 çarpımlarını bir doğal sayının kuvveti biçiminde yazalım.
2
2
2
3 .4 = 3.3.4.4 = (3.4).(3.4) = (3.4)
2 tane (3.4)
3
3
2 .5 = 2.2.2.5.5.5 = (2.5).(2.5).(2.5) = (2.5)
3
3 tane (2.5)
4
4
5 .3 = 5.5.5.5. 3.3. 3.3 = (5.3).(5.3).(5.3).(5.3) = (5.3)
4
dır.
4 tane (5.3)
+
n
n
x, y, n ∈ N olmak üzere x .y = (x.y)
a, b, c ∈ N olmak üzere, ( a
biçiminde ifade edelim.
+
3 2
n
3
dir.
4
) , ( b 4 ) ve ( c 2 ) sayılarının her birini bir doğal sayının kuvveti
2
( a 3 ) = a3.a3 = a.a.a . a.a.a = a.a.a.a.a.a = a 3.2 = a6
2 tane
3 tane 3 tane
3.2 = 6 tane
3
( b 4 ) = b4.b4.b4 = b.b.b.b . b.b.b.b . b.b.b.b = b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b.b = b 4.3 = b12
3 tane
2 4
4 tane
4 tane
4 tane
4.3 = 12 tane
( c ) = c .c .c .c = c.c . c.c . c.c . c.c = c.c.c.c.c.c.c.c = c 2.4 = c8 olur.
2
2
2
4 tane
2
2 tane 2 tane 2 tane 2 tane
x, m, n ∈ N olmak üzere, ( x
+
m n
) = x m .n dir.
Aşağıdaki soruları çözelim.
4
3
2
8
a) 2.9 − 4.27 + 5.81 sayısı 3 in kaç katıdır?
b) 9.125.625.256 sayısı kaç basamaklıdır?
122
2.4 = 8 tane
a) 2.9 − 4.27 + 5.81 = 2.(3
4
3
2
2 4
)
− 4.(3
8
3 3
)
9
+ 5.(3
= 2.3 − 4.3 + 5.3
4 2
)
8
4
2
7
8
2
7
7
8
8
= 3 .5 .2 .2
8
= 18.10 ⇒ 9 basamaklıdır.
= 3 .(−5) ⇒ −5 katıdır.
5
3
= 3 .5 .2
= 3 .(2 − 4.3 + 5)
4
2
b) 9.125.625.256 = 3 .5 .5 .2
6
1
7
4
1)
5.4 + 2.4 − 3.4 = a.4 ise a kaçt›r?
2)
3.4
3)
2 .20 .25 say›s› kaç basamakl›d›r?
4)
(32) .27.243 = 3n ise n kaçt›r?
5)
Bir karenin bir kenar uzunluğu a br ve bir küpün ayrıtlarının uzunluğu b br olsun.
a) Kenar uzunlukları iki katına çıkarılırsa karenin çevresi ve alanı da iki katına çıkar
mı? Açıklayınız.
b) Karenin kenar uzunlukları üç katına çıkarılınca alanının 9 kat arttığını gösteriniz.
c) Küpün ayrıt uzunlukları üç katına çıkarılınca küpün hacminin 27 kat arttığını gösteriniz.
x+1
4
x+2
+4
3
x+1
− 7.4
x
2x
+ 3.4 say›s›, 2 say›s›n›n kaç kat›d›r?
2
4
BİR DOĞAL SAYININ HERHANGİ BİR TABANA GÖRE YAZILMASI
1. Çetele
3
10
2
10
1000 lik 100 lük
koli
koli
X
X
X
X
X
X
(1
5
1
0
10
10
10 luk
koli
1 lik
koli
X
X
X
X
0
Bir marketin deposunda görevli kişi, içinde
1 lik, 10 luk, 100 lük ve 1000 lik paketlerin bulunduğu margarin kolilerini kamyondan boşalt›rken aşağ›daki çeteleyi tutmuş, indirdiği her koli için çeteleye
“X” işareti koymuştur.
1. Çeteledeki 1, 10, 100 ve 1000 say›lar›n›n
hepsi 10 un kuvvetleri cinsinden yaz›lm›şt›r.

 Görevlinin indirdiği toplam margarin paketi
say›s› ile 1. çetelenin alt›ndaki say›y› karş›laşt›r›n›z.
4)10
Görevli daha sonra bu 1504 paket margarini,
1
lik,
7
lik, 49 luk ve 343 lük kolilere doldurup gönde3
2
1
0
7
7
7
7
recektir. Tam dolmayan koliye hiç paket koymamak
343 lük 49 luk
7 lik
1 lik
ve kolilere doldurma işlemini büyükten küçüğe doğkoli
koli
koli
koli
ru yapmak koşuluyla aşağ›daki çeteleyi tutuyor.
X
X
X
X
2. Çeteledeki 1, 7, 49 ve 343 say›lar›n›n hepsi
X
X
X
X
7 nin kuvvetleri cinsinden yazılmıştır.
X
X
X

10 taban›ndaki 1504 say›s›n› 7 taban›ndaki
X
X
X
X
4246 say›s› ile karşılaştırınız.
X
 10 taban›nda verilen bir say›n›n değişik
(4
2
4
6)7
tabanlarda yazılabileceğini tartışınız.

Şimdi de 10 tabanındaki 1504 sayısının 7
ye art arda bölündüğünü gösteren aşağıdaki işlemi inceleyiniz.
2. Çetele
123
1504
14
010
7
34
28
06
7
214
21
004
7
30
28
02
(4246) 7 = (1504) 10 olur.
7
4
En son bölümden başlayarak ve en son kalandan ilk kalana kadar elde edilen kalanların
oluşturduğu sayı ile 7 tabanındaki (4246)7 sayısını ilişkilendiriniz.
On tabanındaki 699 say›s›n› 6 taban›nda yazal›m.
Çetele
3
2
1
699
6
09
6
39
36
03
0
6 = 216 6 = 36 6 = 6 6 = 1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
(3
1
2
3)6
6
116
6
056
54
02
6
19
18
01
6
3
699 = (3123) 6 olur.
10 tabanında verilen bir sayı bölme işleminden de faydalanarak değişik tabanlarda
yazılabilir.
10 tabanındaki 563 sayısının basamaklarını yazarak çözümleyelim.
563
0
Birler basamağı yerine 10 lar basamağı,
1
Onlar basamağı yerine 10 ler basamağı,
2
Yüzler basamağı yerine 10 ler basamağı diyebiliriz.
2
1
0
563 = 500 + 60 + 3 = 5.10 + 6.10 + 3.10 olur.
5 tabanındaki (1423)5 sayısının basamaklarını yazarak çözümleyelim.
(1423) 5
0
5 lar basamağı,
1
5 ler basamağı,
2
5 ler basamağı,
3
5 ler basamağıdır.
124
O hâlde (1423) 5 sayısını çözümlersek,
3
2
1
(1423) 5 = 1.5 + 4.5 + 2.5 + 3.5
= 125 + 100 + 10 + 3
= 238 olur.
0
a ∈ N − {1}, x ≠ 0 ve x, y, z ∈ N olmak üzere a tabanındaki (xyz) a sayısının 10 taba2
1
0
nındaki eşiti x.a + y.a + z.a dır.
(xyz) a sayısı için x < a, y < a ve z < a dır.
+
10 tabanında verilen 59, 87, 43 ve 26 sayılarını toplayınız.
(59)10
(87)10
(43)10
(26)10
Birler basamağında bulunan rakamların toplamı 9 + 7 + 3 + 6 = 25 tir.
Buradaki 25 sayısında kaç tane 10 luk, kaç tane 1 lik vardır?
Onluklar dışındaki birliği hangi basamağa yazdığınızı söyleyiniz.
25 sayısındaki onluklardan gelen eldeyi bulunuz.
Bu eldeyi hangi rakamların toplamına eklediğini tartışınız.
+
(.........)10
Şimdi de 3 tabanında verilen (212)3, (121)3 ve (2202)3 sayılarını toplayınız.
(212)3
(121)3
(2202)
+
3
(.... 12)3
 Birler basamağında bulunan rakamların toplamı 2 + 1 + 2 = 5 tir. Buradaki 5
sayısında bir tane 3 lük 2 tane birlik vardır. Bir tane 3 lük için elde 1 var diyerek 2
tane birliği hangi basamağa yazdığınızı tartışınız.
Elde 1 i hangi rakamların toplamına ekleyeceğinizi söyleyiniz.
 Toplama işlemine bu şekilde devam ettiğinizde hangi sayıya ulaştığınızı belirtiniz ve 10
tabanı dışında farklı tabanlarda toplama işlemi için bir genelleme yapınız.
4 tabanında verilen (333)4, (323)4, (330)4 ve (200)4 sayılarını toplayalım.
+
(333) 4
(323) 4
(330) 4
(200) 4
6 …. 6 da 2 tane birlik, 1 tane dörtlük (elde 1) vardır.
( )
( )
( )
6
− 4
2
2
4
1
(8 + 1) …..... 9 da 1 tane birlik, 2 tane dörtlük (elde 2) vardır.
9
− 8
1
1
4
2
(11 + 2) …..... 13 te 1 tane birlik, 3 tane dörtlük (elde 3) vardır.
3
1
13
−12
01
4
3
O hâlde, (333)4 + (323)4 + (330)4 + (200)4 = (3112)4 olur.
125
Herhangi bir tabanda toplama işlemi yapılırken birler basamağındaki rakamlar toplamı, tabana bölünür. Kalan, birler basamağına yazılır. Bölüm ise bir sonraki basamaktaki
rakamlar toplamına eklenir ve toplama işlemine bu şekilde devam edilir.
5 tabanında verilen (34)5 sayısı ile (24)5 sayılarını çarpalım.
(3 4 ) 5
(2 4 ) 5
x
a. b. c.
+ d. e. f.
(
............
(
)
4.4 = 16,
16
−15
01
5
3
c = 1 (elde 3)
4.3 + 3 = 15,
15
−15
0
5
3
b = 0 (elde 3), a = 3
)
Benzer işlem basamakları takip edilerek, f = 3, e = 2 ve d = 1 olur.
(3 4 ) 5
(2 4 ) 5
x
301
+ 123
( 2 0 3 1 ) 5 bulunur.
Çarpma işleminin her adımında rakamların çarpımı tabana bölünerek kalan, basamağa yazılır. Bölüm ise bir sonraki çarpıma “elde var” diyerek eklenir.
1) Aşağ›daki çizelgede verilen say›lar›n 10 taban›ndaki değerlerini bulunuz.
Sayı
(2043)5
Yapılan işlem
Sayının 10 tabanındaki değeri
0
5 lar
1
5 ler
2
5 ler
3
5 ler
(36)7
126
3
2
1
2.5 + 0.5 + 4.5 + 3.5
250 + 0 + 20 + 3
0
273
(323)4
(1453)6
2)
Aşağıdaki toplama işlemlerini yapınız.
a)
(4554)6
(3443)5
(345)6
(2112)3
+ (222)3
(432)5
+ (432)6
(......... )3
+ (234)5
(...........)5
(...........)6
(4234)5
b)
c)
3)
a ve b rakam olmak üzere (3a2)4 + (3b)4 = (1021)4 ise a ve b kaçtır?
4)
(23)m = 17 ise (43)m + (34)m + (21)m toplamının sonucunu m tabanında bulunuz.
5)
(23)4 + (24)5 = (x) 3 ise x i bulunuz.
6)
Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a)
(22)3
x (12)3
(...........)3
7)
(123)4
b)
x (32)4
(...........)4
c)
(45)6
x (32)6
(...........)6
(4 3 ) 5
x
(2 4 ) 5
kp2
+m n l
Yandaki çarpma işleminde verilen k, p, m ve n rakamlarını bulunuz.
( 2 2 4 2 )5
8)
(102)3 . (43)5 = (x)7 ise x sayısını bulunuz.
9)
Bir bilgisayar, açılıp kapanabilen çok sayıda ince elektronik anahtarları içerir. 0 ve 1
rakamları (aynı zamanda bit olarak adlandırılır) bilgisayar dilinin alfabesidir. Bu ikili dil 2
sayı tabanını kullanmaktadır. 37 sayısının ikili dildeki karşılığını yazınız.
127
ASAL SAYILAR
A
•2
•3
• 37
•5
• 19
• 41
•7
• 17
• 43
• 79
•4
• 11
• 13
• 89
•1
B
•8
•6
• 27
•9
• 20 • 10
• 87
• 45 • 49
• 111
• 100
Yukar›daki kümelerde verilen say›lar› inceleyerek aşağ›daki sorular› yan›tlayınız.
 Her iki kümedeki say›lar›n ortak özellikleri var m›d›r?
 A kümesindeki tüm elemanlar tek say› m›d›r?
 A kümesindeki her eleman›n sayma say›s› olan kaç tane böleni (çarpan›) vard›r?
 B kümesindeki her eleman›n sayma say›s› olan bölenlerinin say›s› birbirine eşit midir?
 A kümesindeki say›lar›n 1 ve kendisinden başka sayma say›s› böleni var m›d›r?
A = { 2, 3, 11, 13 } ve B = { 4, 12, 21 } kümelerindeki elemanların sayma sayısı olan bölenlerini
bulalım.
Sayı
2
3
11
13
4
12
21
Sayma sayısı olan bölenlerinin kümesi
{ 1, 2 }
{ 1, 3 }
{ 1, 11 }
{ 1, 13 }
{ 1, 2, 4 }
{ 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
{ 1, 3, 7, 21 }
A kümesindeki tüm sayıların
y
sayma
y
sayısı
y olan bölenleri kümesi 2 elemanlıdır.
Sayma sayısı olan bölenlerin kümesi iki elemanlı olan doğal sayılara asal sayılar denir.
BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİNİN SAYISI
a) 24 sayısının pozitif bölenlerinin kümesini yazalım ve bu kümenin eleman sayısını belirtelim.
b) 24 sayısını asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden ifade edelim.
c) 24 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını asal çarpanlarının kuvvetlerinden bulalım.
128
a) 24 sayısının pozitif bölenlerinin kümesi: A = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } tür ve s(A) = 8 dir.
b) 24 ü asal çarpanlara ayıralım.
24
12
6
3
1
24 ün asal çarpanları 2 ve 3 tür.
3 1
24 ün asal çarpanları cinsinden ifadesi 24 = 2 .3 dir.
2
2
2
3
x
y
c) x ve y doğal sayı olmak üzere, 24 sayısının doğal sayı bölenlerinin her birini 2 .3 ifadesi
türünden yazabiliriz.
x
y
6 = 2 .3 için x = 1, y = 1
x
y
8 = 2 .3 için x = 3, y = 0
x
y
12 = 2 .3 için x = 2, y = 1
x
y
24 = 2 .3 için x = 3, y = 1
1 = 2 .3 için x = 0, y = 0
2 = 2 .3 için x = 1, y = 0
3 = 2 .3 için x = 0, y = 1
4 = 2 .3 için x = 2, y = 0
x
y
x
y
x
y
x
y
x in alabildiği değerler 0, 1, 2, 3 olup 4 tanedir.
y nin alabildiği değerler 0, 1 olup 2 tanedir.
x ve y birlikte 4.2 = 8 farklı şekilde yazılabilir.
3
1
24 = 2 .3 sayısındaki, 2 nin üssü olan 3 sayısı ile x in alabileceği değerlerin sayısı olan 4 ve 3
ün üssü olan 1 sayısı ile y nin alabileceği değerlerin sayısı olan 2 yi göz önüne alarak 24 ün pozitif
bölenlerinin sayısı (3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 olur.
360 sayısının pozitif bölenlerinin sayısını bulalım.
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
3
2
1
360 = 2 .3 .5
360 ın pozitif bölenlerinin sayısı: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4.3.2 = 24 tanedir.
+
x
y
z
x, y, z ∈ N ve a, b, c asal sayı olmak üzere A = a .b .c doğal sayısının pozitif tam sayı
bölenlerinin sayısı (x+1).(y+1).(z+1) olur.
Aşağıdaki çizelgenin sütunlarında verilen sayıların doğal sayı bölenlerini bularak ortak bölenlerini araştıralım.
1. Sütun
2. Sütun
3 ile 5
2 ile 7
3 ile 8
8 ile 9
3 ile 9
12 ile 16
21 ile 28
12 ile 30
129
Sayılar
Doğal Sayıların
Sayı Bölenleri
Ortak
Bölenler
Sayılar
Doğal Sayıların
Sayı Bölenleri
1, 3
1, 3, 9
Ortak
Bölenler
3 ile 5
3
5
1, 3
1, 5
1
3 ile 9
3
9
2 ile 7
2
7
1, 2
1, 7
1
12 ile 16
12
16
1, 2, 3, 4, 6, 12
1, 2, 4, 8, 16
1, 2, 4
3 ile 8
3
8
1, 3
1, 2, 4, 8
1
21 ile 28
21
28
1, 3, 7, 21
1, 2, 4, 7, 14, 28
1, 7
8 ile 9
8
9
1, 2, 4, 8
1, 3, 9
1
12 ile 30
12
30
1, 2, 3, 4, 6, 12
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
1, 3
1, 2, 3, 6
2. sütundaki sayıların ortak bölenleri 1 den fazla iken; 1. sütundaki sayıların ortak bölenleri
yalnızca 1 dir.
Ortak doğal sayı bölenleri yalnız 1 olan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
10! say›s›nda kaç tane 2 çarpan› olduğunu bulalım.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
2 3
2
= 2.5.3 .2 .7.2.3.5.2 .3.2.1
8 4 2
= 2 .3 .5 .7
Yukar›daki çarpanları incelediğimizde 8 tane 2 çarpanı olduğunu görmekteyiz. Bu 2 çarpanlar›n›n say›s›nı aşağ›daki bölme işlemlerinin bölümlerinin toplam› olarak da yazabilirz.
10
10
00
2
5
2
2
2
1
10! sayısında 5 + 2 + 1 = 8 tane 2 çarpanı vardır.
a) 37! say›s›nın sondan kaç basamağının sıfır olduğunu,
b) 48! + 49! say›s›nın sondan kaç basamağının sıfır olduğunu,
c) (52! − 1) say›s›nın sondan kaç basamağının 9 olduğunu bulalım.
a) Say›nın sonundaki sıfır sayısı, 10 çarpanına bağlıdır. 10 un asal çarpanları 2 ve 5 olup 37!
sayısında 2 ile 5 ten daha az sayıda olan 5 lerin sayısına bakalım. O hâlde, 37! sayısının sonunda,
130
37
35
02
5
7
5
2
5
1
7 + 1 = 8 tane sıfır bulunur.
b) 48! + 49! = 48! + 49.48!
= 48!.(1 + 49)
= 48!.50 dir.
48
45
03
5
9
5
4
9 + 1 = 10 ve 50 = 25.2
5
1
2
= 5 .2 dir.
O hâlde, 48! + 49! say›s›nın sondan 10 + 2 = 12 basamağı
sıfırdır.
c) (52! − 1) say›s›nın sonundaki 9 ların sayısı 52! sayısının sonundaki sıfır sayısına eşit olacağından
52
50
02
5
10
10
00
10 + 2 = 12 tanedir.
5
2
+
2
x, y ∈ Z ve 540.x = y eşitliğini sağlayan en küçük x tam sayısı için y tam sayısının kaç olduğunu bulalım.
2
3
540 = 2 .3 .5 dir.
2
540.x = y
2 .3 .5.x = y
2
3
2
2
2
2
2
2
eşitliğini sağlayan en küçük x tam sayısı 3.5 = 15 dir. Bu durumda,
2 .3 .3 .5 = y ⇒ y = 2.3.3.5
⇒ y = 90 bulunur.
1)
2)
3)
4)
Ard›ş›k iki doğal say› için aralar›nda asal say›lard›r, diyebilir miyiz?
Ard›ş›k iki tek doğal say› için aralar›nda asal say›lard›r, diyebilir miyiz?
Ard›ş›k iki çift doğal say› için aralar›nda asal say›lard›r, diyebilir miyiz?
Aşağ›daki çizelgede verilen say›lar için uygun olan kutucuğun içine “X” işareti koyunuz.
Sayılar
Aralarında asal mıdır?
2 ile 11
Evet

Hayır

13 ile 48


17 ile 51


14 ile 45


20 ile 25


1071 ile 1881


131
5)
12! say›s›nda kaç tane 3 çarpan› vard›r?
6)
72! say›s›nda kaç tane 5 çarpan› vard›r?
7)
9! = 2 .3 .c dir. Buna göre a ve b nin en büyük tam say› değerleri için a + b + c toplam›
kaç olur?
8)
10! say›s›nda kaç tane 6 çarpan› vard›r?
9)
32! say›s›nda kaç tane 6 çarpan› vard›r?
a
b
10) 32! say›s›nda kaç tane 15 çarpan› vard›r?
11) 52! say›s›n›n sondan kaç basamağ› s›f›rd›r?
+
2
12) x, y ∈ N ve 120.x = y olduğuna göre x ve y nin en küçük değerlerini bulunuz.
+
2
3
13) x, y ∈ Z ve 144.x = y eşitliğini sağlayan x + y nin en küçük değeri kaçt›r?
14) 70! – 1 say›s›n›n sondan kaç basamağ› 9 dur?
15) 74! + 73! say›s›n›n sondan kaç basamağ› 0 dır?
16) 23.34.5 sayısının;
a)
Kaç tane pozitif böleni vardır?
b)
Kaç tane tam kare böleni vardır?
17) Ezgi ve Pınar 99 sayısını asal çarpanlarına aşağıdaki gibi ayırmışlardır.
9
Ezgi
Pınar
99
99 3
33 3
11 11
1 aa
99 = 3.3.11
11
99 = 9.11
Hangisi doğru yapmıştır? Açıklayınız.
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
Bir yumurta üreticisi 7200 yumurtayı anlaşmalı olduğu lokantalara dağıtacaktır.
Üretici tüm yumurtaları,
2 lokantaya eşit sayıda dağıtırsa her bir lokanta kaç yumurta alır?
3 lokantaya eşit sayıda dağıtırsa her bir lokanta kaç yumurta alır?
4 lokantaya eşit sayıda dağıtırsa her bir lokanta kaç yumurta alır?
5 lokantaya eşit sayıda dağıtırsa her bir lokanta kaç yumurta alır?
9 lokantaya eşit sayıda dağıtırsa her bir lokanta kaç yumurta alır?
Tüm yumurtaları 7 lokantaya eşit sayıda dağıtmak mümkün müdür?
Eşit sayıda yumurta dağıtımı için yumurta sayısı ile lokanta sayısı arasında nasıl bir bağıntı olması gerektiğini tartışınız.
A = { 10, 22, 134, 756, 1988 } ve B = { 21, 133, 375, 487, 2009 } kümelerinin elemanlarını
inceleyerek hangi kümenin elemanlarının 2 ile tam bölünebildiğini bulalım.
132
A kümesindeki sayıların birler basamağındaki rakamlar çift olduğundan 2 ile tam bölünür.
B kümesindeki sayıların birler basamağındaki rakamlar tek olduğundan 2 ile tam bölünmez.
Birler basamağındaki rakamı çift olan doğal sayılar 2 ile tam bölünür.
Önce 21, 402 ve 360 sayılarını ve bu sayıların rakamları toplamını sonra da 50, 83 ve 142
sayılarını ve bu sayıların rakamları toplamını 3 ile bölelim.
21
21
00
3
7
50
3
20
18
02
3
16
2+1=3
3
3
0
3
1
5+0=5
5
3
2
3
1
402 3
3
134
10
9
012
12
00
83
6
23
21
02
3
27
4+0+2=6
6
6
0
3
2
8 + 3 = 11
11
9
02
3
3
360 3
3
120
06
6
0
142
12
022
21
01
3
47
3+6+0=9
9
9
0
3
3
1+4+2=7
7
6
1
3
2
21, 402, ve 360 sayıları ve bu sayıların rakamları toplamı 3 ile tam bölünür.
50, 83 ve142 sayıları ve bu sayıların rakamları toplamı 3 ile tam bölünmez.
Rakamları toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir doğal sayının 3 ile bölümünden kalan, bu doğal sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
Önce 172, 136 ve 9812 sayılarını ve bu sayıların son iki basamağında bulunan 72, 36 ve 12
sayılarını sonra 543, 237 ve 182 sayıları ile bu sayıların son iki basamağında bulunan 43, 37 ve
82 sayılarını 4 ile bölelim.
172 4
16 43
012
12
00
72
4
32
32
00
4
18
136
12
016
16
00
4
34
36
36
00
4
9
9812 4
8
2453
18
16
021
20
012
12
00
12
12
00
4
3
133
543 4
4
135
14
12
023
20
03
43
4
03
4
10
237
20
037
36
01
4
59
37
36
01
4
9
182
16
22
20
02
4
45
82
8
02
4
20
Bir doğal sayının onlar ve birler basamağındaki iki basamaklı sayı 4 ün katı veya 00
ise 4 ile tam bölünür. Bir doğal sayının 4 ile bölümünden kalan, bu doğal sayının onlar ve
birler basamağındaki iki basamaklı sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
15, 20, 125, 27, 194 ve 936 sayılarını 5 ile bölelim ve bu sayıların birler basamağındaki rakamlar ile kalanları karşılaştıralım.
15
15
00
5
3
20
20
00
5
4
125
10
025
25
00
5
25
27
25
02
5
5
7−5=2
194
15
044
40
04
5
38
936 5
5
187
43
40
036
35
01
6−5=1
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 5 veya 0 ise bu doğal sayı 5 ile tam bölünür. Bir doğal sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için o sayının birler basamağına
bakılır. Eğer birler basamağındaki rakam 5 ten küçükse kalan o rakam, 5 ten büyükse bu
rakamdan 5 çıkarılır sonuç kalan olur.
Önce 4112 ile 112, 6784 ile 784 ve 7536 ile 536 sayılarını sonra da 5423 ile 423, 2589 ile 589
ve 4318 ile 318 sayılarını 8 ile bölerek kalanları karşılaştıralım.
4112 8
40
514
011
8
032
32
00
134
112
8
032
32
00
8
14
6784 8
64
848
038
32
064
64
00
784
72
064
64
00
8
98
7536 8
72
942
033
32
016
16
00
536
48
056
56
00
8
67
4112 ile 112, 6784 ile 784 ve 7536 ile 536 sayıları 8 ile tam bölünmektedir.
5423 8
48
677
062
56
063
56
07
423
40
023
16
07
8
52
2589 8
24
323
018
16
029
24
05
589
56
029
24
05
8
73
4318 8
40
539
031
24
078
72
06
318
24
078
72
06
8
39
5423 ile 423 sayılarının 8 ile bölümünden kalan 7 dir.
2589 ile 589 sayılarının 8 ile bölümünden kalan 5 tir.
4318 ile 318 sayılarının 8 ile bölümünden kalan 6 dır.
Bir doğal sayının son üç (yüzler, onlar, birler) basamağındaki üç basamaklı sayı 8 ile
tam bölünürse bu doğal sayı 8 ile tam bölünür. Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan bu
doğal sayının son üç basamağındaki üç basamaklı sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Önce 243, 486 ve 6885 sayılarını ve bu sayıların rakamları toplamını, sonra da 471, 877 ve
2012 sayılarını ve bu sayıların rakamlar toplamını 9 ile bölelim.
243
18
063
63
00
9
27
471
45
021
18
03
9
52
2+4+3=9
9
9
0
9
1
4 + 7 + 1 = 12
12
9
03
9
1
486
45
036
36
00
9
54
877
81
067
63
04
9
97
4 + 8 + 6 = 18
18
18
00
9
2
8 + 7 + 7 = 22
22
18
04
9
2
6885 9
63 765
058
54
045
45
00
6 + 8 + 8 + 5 = 27
2012 9
18
223
021
18
032
27
05
2+0+1+2=5
27
27
00
5
0
5
9
3
9
0
Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan, bu doğal sayının rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
132, 1210, 1925 ve 78342 sayılarını 11 ile bölünüz.
Bu sayılar için aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
135
132
(2 + 1) − 3 = ……..
(0 + 2) − (1 + 1) = ……
1210
1925
(5 + 9) − (1 + 2) = …….
78342
(2 + 3 + 7) − (8 + 4) = …..
475, 1026 ve 61249 sayılarını 11 ile bölünüz.
Bu sayılar için aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
475
(5 + 4) − 7 = ………..
1026
(6 + 0) − (1 + 2) = ………..
61249
(6 + 2 + 9) − (1 + 4) = ………..
 Bir doğal sayının 11 ile tam bölünebilmesi için bu sayının basamaklarındaki rakamları
kullanarak bir genellemede bulununuz.
47102 ve 710628 sayılarının 11 ile bölümünden kalanları ve bu sayılardan hangisinin 11 ile
tam bölündüğünü bulalım.
47102 ve 710628 sayılarının her birinin basamaklarındaki rakamları, birler basamağından
başlayarak ve birer basamak atlayarak toplayalım. Atladığımız basamaklardaki rakamları ayrıca
toplayalım. İlk toplamdan ikinci toplamı çıkardığımızda farkın 0 veya 11 in katı olup olmadığını
araştıralım.
47102
(4 + 1 + 2) − (7 + 0) = 7 – 7 = 0 olduğundan 47102 sayısının 11 ile bölümünden kalan 0 dır. Dolayısıyla 47102 sayısı 11 ile tam bölünür.
710628
(8 + 6 + 1) − (7 + 0 + 2) = 15 − 9 = 6 olduğundan 710628 sayısının 11 ile
bölümünden kalan 6 dır. Dolayısıyla
y y 710628 sayısı
y 11 ile tam bölünmez.
Verilen bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri birler basamağından başlayarak ve birer basamak atlayarak toplanır. Aynı atlanan basamaklardaki rakamların sayı değerleri toplanır. İlk toplamadan ikinci toplam çıkartılır. Fark 0 veya 11 in
katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür. Fark 0 veya 11 in katından farklı bir sayı ise sonuç,
verilen sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.
Sayı
Aşağ›da verilen çizelgedeki sorular›n yan›tlar› için uygun olan kutucuğu “X” ile işaretleyiniz.
(E: Evet, H: Hay›r)
E H
E H
E H
3 ve 4 ile bölünebilir mi?   3.4 = 12 ile bölünebilir mi?   3 ile 4 aralarında asal mıdır?  
12 2 ve 4 ile bölünebilir mi?
  2.4 = 8 ile bölünebilir mi?   2 ile 4 aralarında asal mıdır?  
2 ve 6 ile bölünebilir mi?   2.6 = 12 ile bölünebilir mi?   2 ile 6 aralarında asal mıdır?  
2 ve 3 ile bölünebilir mi?   2.3 = 6 ile bölünebilir mi?   2 ile 3 aralarında asal mıdır?  
3 ve 4 ile bölünebilir mi?   3.4 = 12 ile bölünebilir mi?   3 ile 4 aralarında asal mıdır?  
24 3 ve 8 ile bölünebilir mi?
 
3.8 = 24 ile bölünebilir mi?   3 ile 8 aralarında asal mıdır?  
4 ve 6 ile bölünebilir mi?   4.6 = 24 ile bölünebilir mi?   4 ile 6 aralarında asal mıdır?  
6 ve 12 ile bölünebilir mi?   6.12 = 72 ile bölünebilir mi?   6 ile 12 aralarında asal mıdır?  
136
4 ve 9 ile bölünebilir mi?   4.9 = 36 ile bölünebilir mi?   4 ile 9 aralarında asal mıdır?  
3 ve 12 ile bölünebilir mi?   3.12 = 36 ile bölünebilir mi?   3 ile 12 aralarında asal mıdır?  
36
6 ve 12 ile bölünebilir mi?   6.12 = 72 ile bölünebilir mi?   6 ile 12 aralarında asal mıdır?  
4 ve 12 ile bölünebilir mi?   4.12 = 48 ile bölünebilir mi?   4 ile 12 aralarında asal mıdır?  

Bir doğal sayı, çarpanlarının her birine daima bölünür mü? Tartışınız.
Bir doğal sayı, çarpanlarının çarpımına daima bölünür mü? Tartışınız.
Bir doğal sayının bölünebildiği iki sayının çarpımına hangi durumda bölünebildiğini tartı-
şınız.
a) 498 sayısının 6 ile,
b) 361275 sayısının 15 ile,
c) 54216 sayısının 18 ile,
ç) 693450 sayısının 45 ile bölünüp bölünmediğini bulalım.
a) 6 = 2.3 ve 2 ile 3 aralarında asaldır.
498 sayısının birler basamağı 8 (çift) olduğundan 2 ile; 4 + 9 + 8 = 21 = 3.7 olduğundan
3 ile tam bölünür. O hâlde, 498 sayısı 2.3 = 6 ile tam bölünür.
b) 15 = 3.5 ve 3 ile 5 aralarında asaldır.
361275 sayısının birler basamağı 5 olduğundan 5 ile; 3 + 6 + 1 + 2 + 7 + 5 = 24 = 3.8
olduğundan 3 ile tam bölünür. O hâlde, 361275 sayısı 3.5 = 15 ile tam bölünür.
c) 18 = 2.9 ve 2 ile 9 aralarında asaldır.
54216 sayısının birler basamağı 6 (çift) olduğundan 2 ile; 5 + 4 + 2 +1 +6 = 18 = 9.2 olduğundan 9 ile tam bölünür. O hâlde, 54216 sayısı 9.2 = 18 ile tam bölünür.
ç) 45 = 5.9 ve 5 ile 9 aralarında asaldır.
693450 sayısının birler basamağı 0 olduğundan 5 ile; 6 + 9 + 3 + 4 + 5 + 0 = 27 = 9.3
olduğundan 9 ile tam bölünür. O hâlde, 693450 sayısı 5.9 = 45 ile tam bölünür.
Aralarında asal iki sayıdan her birine tam bölünen bir doğal sayı bu doğal sayıların
çarpımına da tam bölünür. Dolayısı ile x = a.b ve a ile b aralarında asal ise hem a ya hem
b ye bölünebilen bir doğal sayı her zaman x e de tam bölünür.
1)
2)
Bir A doğal say›s›n›n 45 ile bölümünden kalan 29 dur. Buna göre bu say›n›n:
a)
5 ile bölümünden kalan kaçt›r?
b)
9 ile bölümünden kalan kaçt›r? Bulunuz.
Beş basamakl› (a42bc) say›s› 5 ile bölündüğünde 4 kalan›n› veren bir tek doğal say›d›r.
137
Bu say› 3 ile bölündüğünde 2 kalan›n› veriyorsa a + b toplam› kaç farkl› değer alabilir?
3)
Rakamlar› farkl› dört basamakl› (m46n) say›s› 15 ile bölündüğünde 13 kalan›n› vermektedir. Bu koşula uyan kaç farkl› doğal say› yaz›labilir?
4)
Dört basamakl› (a2b3) doğal say›s› 4 ile bölündüğünde 1 kalan›n› vermektedir. Bu say›
9 ile tam bölünebildiğine göre a kaç farkl› değer alabilir?
5)
Yayımlanan bir kitabı tanımlamak için ISBN numarası kullanılır. Bir ISBN numarasının
doğruluğunu belirlemek için numaradaki sayılar soldan başlanarak sırası ile 10, 9, 8, 7,
......, 2 ile çarpılır. Çarpımların toplamı kalansız olarak 11 ile bölünebilirse numara doğrudur. ISBN numarasına sahip bir kitap alarak numaranın doğruluğunu kontrol ediniz.
6)
Beş basamaklı 3a15b sayısı 45 ile bölünebildiğine göre a + b toplamının alabileceği en
küçük ve en büyük değeri bulunuz.
7)
Beş basamaklı 74a2b sayısının 15 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre (a, b) ikilisinin
kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) VE EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
Boyutları 4 birim ve 6 birim olan dikdörtgensel bölge biçimindeki kartonlardan en az kaç tanesi ile en küçük boyutlu bir karesel bölge oluşturulabilir?
Oluşturulacak karesel bölgenin kenar uzunluklarının hem 4 hem
de 6 nın katı olup olmadığını tartışınız.
 4 ve 6 sayılarının bazı katlarını aşağıdaki noktalı yerlere yazınız.
4
4, 8, ……….
6
6, 12, ……….
4
 Yazdığınız 4 ve 6 nın katlarından ortak olanları belirtiniz ve
6
en küçük ortak katı söyleyiniz.
 Bulduğunuz en küçük ortak kat ile oluşturulabilecek karesel bölgenin bir kenar uzunluğunu ilişkilendiriniz.
 Karesel ve dikdörtgensel bölgelerin alanlarını ayrı ayrı bulunuz.
 Karesel bölgenin alanını dikdörtgensel bölgenin alanına oranladığınızda elde ettiğiniz sayı
ile istenen dikdörtgensel bölge sayısını ilişkilendiriniz.
Boyutlar› 2, 4 ve 6 birim olan dikdörtgenler prizmas› şeklindeki kutulardan en az kaç tanesi
ile bir küp elde edilebileceğini bulalım.
2
4
138
6
4
2
6
Küpün bir kenar›, verilen uzunluklar›n
her birinin kat› olmal›dır. Bunun için verilen uzunluklar›n katlar›n› yazal›m ve en
küçük ortak katı işaretleyelim.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48
Ortak katlar›n en küçüğü 12 olduğuna göre küpün hacmi 12.12.12 olur. Dikdörtgenler prizmas›
12.12.12
= 36 tanesinin hacmi, küpün
2.4.6
hacmine eşit olur. O hâlde dikdörtgenler prizmas› biçimindeki bu kutulardan en az 36 tanesi ile
biçimindeki kutunun hacmi ise 2.4.6 dır. Bu kutulardan
bir küp oluşturabiliriz.
Ayrıca 2, 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını,
2
1
1
1
4
2
1
1
6 2
3 2
3 3
1
EKOK(2,4,6) = 12 veya
2 2 4 2
1
2 2
1
6 2
3 3
1
1
2=2
2
4=2
6 = 2.3
2
EKOK(2,4,6) = 2 .3
= 12
biçiminde de bulabiliriz.
İki veya daha çok doğal sayının en küçük ortak katları bulunurken, verilen sayılar asal
çarpanlarına ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar
ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımı, en küçük ortak kat olur.
Boyutları 18 cm ve 30 cm olan dikdörtgensel bölge biçimindeki bir kartondan hiç parça arttırmadan en az sayıda eş karesel bölgeler kesilmek isteniyor.
30 cm
 Kesilecek olan karesel bölgelerin bir kenar uzunluğunun hem 18 hem 30 sayılarını bölüp bölemeyeceğini tartışınız.
 18 ve 30 sayılarının bölenlerini aşağıdaki nokta18 cm
lı yerlere yazınız.
18
1, ……….
30
1, ……….
 Kesilebilecek farklı karesel bölgelerin kenar uzunluluklarının neler olabileceğini belirtiniz.
 Eş karesel bölgelerin en az sayıda olması için bir kenar uzunluğunun kaç cm olması gerektiğini tartışınız.
100 m eninde, 120 m boyunda olan dikdörtgensel bölge biçimindeki bir bahçenin çevresine
köşelerine birer fidan gelecek şekilde, eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Bu iş için en az kaç adet
fidan gerektiğini bulalım.
İki fidan arası uzaklık, 100 ve 120 sayılarını bölmelidir ve fidan sayısının en az olması için
dikim aralıklarının en uzun seçilmesi gerekir. Bunun için verilen sayıların bölenlerini yazalım ve
en büyük ortak böleni işaretleyelim.
139
100
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
120
Dikdörtgensel bölgenin çevresi 2.(100 + 120) = 440 m ve iki fidan arası 20 m olacağından
440 : 20 = 22 fidan gerekir.
Ayrıca 100 ile 120 nin en büyük ortak bölenini,
100 120 2
50 60 2
25 30 2
25 15 3
25
5 5
5
1 5
1
1
EBOB(100,120) = 2.2.5 veya
= 20
100
50
25
5
1
2
2
5
5
2
100 = 2 .5
2
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
2
EBOB(100,120) = 2 .5
= 20
3
120 = 2 .3.5
biçiminde de bulabiliriz.
İki veya daha çok doğal sayının en büyük ortak böleni bulunurken verilen sayılar asal
çarpanlarına ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı en büyük ortak bölen olur.
1)
Aşağıdaki çizelgede verilen boş yerleri doldurunuz.
Sayılar
OBEB’i
4 ile 6
2
k ile t
aralarında asal
4 = 2.k
6 = 2.t
OKEK’i
12
m ile n
aralarında asal
12 = 4.m
12 = 6.n
12 ile 18
60 ile 72
24 ile 96
2)
a) Aşağıdaki çizelgede verilen boş yerleri örnekteki gibi doldurunuz.
Sayılar
OKEK’i
OBEB’i
(OKEK’i).(OBEB’i)
Sayıların çarpımı
4 ile 6
12
2
12.2
4.6
12 ile 18
60 ile 72
24 ile 96
b)
140
Verilen iki doğal sayının çarpımı ile bu sayıların OKEK ve OBEB’lerinin çarpımı için
ne söylenebilir?
x
2x−1
3)
5.4 + 3.2
4)
6.2 + 25 .8.20 çarp›m› kaç basamakl› bir say›d›r?
5)
25 say›s› 5 taban›nda kaç basamakl› bir say›d›r?
6)
(332)4 say›s›n›n 2 fazlas›, 4 taban›nda kaç basamakl› bir say›d›r?
7)
8 say›s› 4 taban›nda yaz›ld›ğ›nda kaç basamakl› bir say› olur?
8)
30! + 70! toplam›n›n sondan kaç basamağ› s›f›rd›r?
9)
48! + 49! toplam›n›n sondan kaç basamağ› s›f›rd›r?
4
= 104 ise x kaçt›r?
4
3
4
20
10) 240 say›s›n›n kaç tane doğal say› çarpan› vard›r?
11) 2000...0 say›s›n›n 132 tane pozitif doğal say› böleni varsa A say›s› kaç basamakl›d›r?
n tane
12) 360 say›s›n›n,
a)
Pozitif bölenlerinin say›s›,
b)
Asal bölenlerinin say›s›,
c)
Asal olmayan doğal say› bölenlerinin say›s›,
ç)
Tek doğal say› bölenlerinin say›s›,
d)
Çift doğal say› bölenlerinin say›s› kaçt›r?
+
3
13) x, y ∈ N olmak üzere, 720.x = y eşitliğini sağlayan en küçük x ve y say›lar›n› bulunuz.
14) 564 say›s›na en az kaç ekleyelim ki elde ettiğimiz say› 3, 5 ve 9 ile tam bölünebilsin?
15) Dört basamakl› (a43c) say›s›, 5 ile bölündüğünde 1 kalan›n› veren bir çift say›d›r. Bu say›
6 ile bölündüğünde 2 kalan›n› verdiğine göre a kaç farkl› değer al›r?
16) (643mn) beş basamakl› say›s› 30 ile tam bölünebildiğine göre m nin alabileceği farkl›
değerlerin toplam› kaçt›r?
17) 500 say›s›ndan büyük; 4, 6 ve 9 ile bölünebilen en küçük doğal say› kaçt›r?
18) x = 4m + 3 = 6n + 5 = 8k + 7 eşitliklerini sağlayan 200 say›s›ndan büyük, en küçük x
doğal say›s› için k kaç olur?
19) Damla, CD’lerini beşerli sayd›ğ›nda 4 CD, alt›şarl› sayd›ğ›nda 5 CD, dokuzarl› sayd›ğ›nda
8 CD art›yor. Damla’n›n CD’leri 100’den fazla ise en az kaç CD’si vard›r?
20) 48 litre ayçiçeği yağ›, 64 litre m›s›r yağ› ve 80 litre zeytinyağ› birbirine kar›şt›r›lmadan eşit
hacimli şişelere boşalt›lacakt›r. En az kaç şişe gereklidir?
21) ‹ki doğal say›n›n OKEK’i 180, OBEB’i 12 dir. Bu iki say›n›n toplam›:
a)
En az kaçt›r?
b)
En çok kaçt›r?
22) 2712 say›s› 9 taban›nda kaç basamakl›d›r?
23) 818 say›s› 4 taban›nda yaz›ld›ğ›nda sondan kaç basamağ› s›f›rd›r? Bulunuz.
24) 18! say›s› 9 taban›nda yaz›ld›ğ›nda sondan kaç basamağ› s›f›r olur?
141
25) 99! say›s›n›n sondan kaç basamağ› s›f›rd›r?
26) Yusuf babasına, duvara asmak için kullanacakları rafları kesmede yardım ediyor.
48 cm x 72 cm ebadındaki tahtadan parça arttırmadan kaç tane 12 cm x 16 cm ebadında
raf elde edebilir? Açıklayınız.
Bisikletin ön dişlisinin 52, arka dişlisinin 20 dişi
vardır. Her iki dişlinin ilk konumlarına tekrar gelmesi için kaç tur atmaları gerekir?
27)
TAM SAYILAR
Cansu, babas› ile tv’de hava durumunu izlerken hava
o
o
o
s›cakl›ğ›n›n ‹zmir’de 6 , Bal›kesir’de 4 , Afyon’da 0 , Eso
o
o
kişehir’de −3 , Sivas’ta −5 , Erzurum’da −9 olduğunu
duydu.
Cansu, tv’de hava durumunu dinledikten sonra doğal
say›lar›n bulunduğu say› doğrusunu çizerek bu say›lar›
hangi noktalara eşleyebileceğini düşündü.
Siz de bir sayı doğrusu çizerek verilen dereceleri sayı
doğrusundaki tam sayılarla eşleştiriniz.

 Doğal sayılar kümesini oluşturmak için aşağıdaki doğru üzerinde bir başlangıç noktası
işaretleyiniz ve bu noktayı sıfır ile eşleyiniz.
Sıfırın karşılık geldiği noktanın sağında eşit aralıklarla noktalar işaretleyerek bu noktalara
da 1, 2, 3, ... sayılarını (sayma sayıları) eşleyiniz ve doğal sayılar kümesini yazınız.
Benzer düşünceyle sıfır sayısının karşılık geldiği noktanın solunda eşit aralıklarla noktalar işaretleyerek bu noktalara da { −1, −2, −3, …. } kümesinin elemanlarını eşleyiniz.
Doğru üzerinde işaretlediğiniz noktalara eşlenen sayıların oluşturduğu kümeyi ifade ediniz.
A = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesi ile B = { −1, −2, −3, −4, −5 } kümesinin elemanlarını sayı doğrusu
üzerinde eşit aralıkta noktalar seçerek bu noktalara eşleyelim ve oluşan yeni kümeyi yazalım.
−5
−4
−3
−2
−1
A ∪ B = { −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 }
142
0
1
2
3
4
Doğal sayılar kümesi ile 0 sayısının solundaki noktalara eşlenen { −1, −2, −3, … } kümesinin birleşimine tam sayılar kümesi denir.
{ 1, 2, 3, … }
Negatif tam sayılar kümesi Z = { −1, −2, −3, … }
Çift tam sayılar kümesi Ç = { … , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, … }
Tek tam sayılar kümesi T = { … , −5, −3, −1, 1, 3, 5, … } ve
+
Pozitif tam sayılar kümesi Z =
−
−
+
Tam sayılar kümesi Z = Z ∪ {0} ∪ Z biçiminde ifade edilir.
n Aşağ›daki işlemleri yap›n›z.
7 + 3 = 10, 10 ∈ Z
4 + (−2) = ..
(−5) + 4 = ..
(−3) + (−2) = ..
 Yukar›daki toplama işlemlerinin sonucunda bulduğumuz say›lar hangi say› kümesine
aittir?
Toplamlar›n›n sonucu tam say› olmayan herhangi iki tam say› bulanabilir mi? Tartışınız.
n Aşağ›daki işlemleri inceleyiniz ve noktal› yerleri doldurunuz.
(+3) + (+4) = 7
(−5) + (−3) = ..
(−2) + (+3) = ..
(+4) + (+3) = 7
(−3) + (−5) = ..
(+3) + (−2) = ..
Tam say›lar kümesinden iki eleman al›p toplay›n›z.
Ald›ğ›n›z bu elemanlar›n yerlerini değiştirerek tekrar toplay›n›z.
Her iki toplam›n sonucunu karşılaştırınız.
n Çizelgede verilen işlemleri inceleyiniz ve boş yerleri doldurunuz.
[(−3) + 7] + 4 = 4 + 4 = 8
(−3) + (7 + 4) = (−3) + 11 = 8
(2 + 5) + (−8) = ..
2 + [5 + (−8)] = ..
[(−5) + (−4)] + (−6) = ..
(−5) + [(−4) + (−6)] = ..
(4 + 9) + 17 = ..
4 + (9 + 17) = ..
 Çizelgede ayn› sat›rdaki işlemlerin sonuçlar› için ne söyleyebilirsiniz?
n Aşağ›daki işlemleri inceleyiniz ve noktal› yerleri doldurunuz.
(−4) + 0 = −4
5 + 0 = ..
0 + (−6) = ..
0 + (−4) = −4
0 + 5 = ..
(−6) + 0 = ..
Herhangi bir tam say› ile s›f›r tam say›s› toplan›rsa sonuç için ne söyleyebilirsiniz?
 S›f›r tam say›s› ile herhangi bir tam say› toplan›rsa sonuç için ne söyleyebilirsiniz?
Sıfır ile herhangi bir tam sayının toplamına sıfırın etki edip etmediğini tartışınız.
n Aşağ›daki işlemleri inceleyiniz ve noktal› yerleri doldurunuz.
7 + (−7) = 0
(−2) + 2 = ..
5 + (−5) = ..
(−7) + 7 = 0
2 + (−2) = ..
(−5) + 5 = ..
143
Toplama işlemlerinin sonuçlar›n› karş›laşt›r›n›z.
Toplama işleminin etkisiz eleman›n› göz önüne alarak hangi iki elemanın toplamının sonucunun etkisiz eleman olacağını tartışınız.
Aşağıdaki toplama işlemlerini yaparak verilen sayılar ile sonuçları karşılaştıralım.
4 + 7 , (−4) + (−5) , (−4) + 6 , 4 + (−9)
4 + 7 = 11 , (−4) + (−5) = −9 , (−4) + 6 = 2 , 4 + (−9) = −5
Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif; negatif iki tam sayının toplamı negatiftir. Ters
işaretli iki tam sayının toplamında ise mutlak değerce büyük olandan küçük olan çıkarılır,
sonucun önüne büyüğün işareti yazılır.
Verilen sayılar ile sonuçları aşağıdaki işlemleri yaparak karşılaştıralım.
a) (−1) + 3
b) (−2) + 4 , 4 + ( −2)
c) (3 + 5) + 4 , 3 + (5 + 4)
ç) (−2) + 0 , 0 + (−2)
d) (−3) + 3 , 3 + (−3)
a) (−1) + 3 = 2 , (−1) ∈ Z , 3 ∈ Z ve 2 ∈ Z
b) (−2) + 4 = 2 ve 4 + ( −2) = 2 olduğundan (−2) + 4 = 4 + ( −2)
c) (3 + 5) + 4 = 12 ve 3 + (5 + 4) = 12 olduğundan (3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4)
ç) (−2) + 0 = −2 ve 0 + (−2) = −2 olduğundan (−2) + 0 = 0 + (−2) = −2
d) (−3) + 3 = 0 ve 3 + (−3) = 0 olduğundan (−3) + 3 = 3 + (−3) = 0 dır.
∀a, b, c ∈ Z için,
144
1) (a + b) ∈ Z
(Toplama işleminin kapalılık özelliği)
2) a + b = b + a
(Toplama işleminin değişme özelliği)
3) (a + b) + c = a + (b + c)
(Toplama işleminin birleşme özelliği)
4) a + 0 = 0 + a = a
(Toplama işlemine göre etkisiz (birim) eleman özelliği)
5) a + (−a) = (−a) + a = 0
(Toplama işlemine göre ters eleman özelliği) dir.
n Aşağ›daki işlemleri inceleyiniz ve noktal› yerleri doldurunuz.
5.3 = 15, 15 ∈ Z
2.(−8) = ..
0.11 = ..
(−1).26 = ..
(−6).(−5) = ..
(−9).7 = ..
(−12).0 = ..
13.(−1) = ..
 Yukar›daki çarpma işlemlerinin sonucunda bulduğumuz say›lar hangi say› kümesine
aittir?
Çarpımlar›n›n sonucu tam say› olmayan herhangi iki tam say› bulunabilir mi? Tartışınız.
n Aşağ›daki işlemleri inceleyiniz ve noktal› yerleri doldurunuz.
4.3 = 12
(−2).5 = ..
(−6).(−8) = ..
3.4 = 12
5.(−2) = ..
(−8).(−6) = ..
Tam say›lar kümesinden iki eleman seçerek bu elemanların çarpımını yazınız.
Seçtiğiniz bu elemanların yerlerini değiştirerek çarpma işlemini yeniden yapınız.
Her iki çarpımın sonucunu karşılaştırınız.
n Çizelgede verilen işlemleri inceleyiniz ve boş yerleri doldurunuz.
[(−3).4].2 = (−12).2 = −24
(−3).(4.2) = (−3).8 = −24
[2.(−5)].3 = ..
2.[(−5).3] = ..
[(−4).(−2)].(−6) = ..
(−4).[(−2).(−6)] = ..
(7.8).5 = ..
7.(8.5) = ..
 Çizelgede ayn› sat›rdaki işlemlerin sonuçlar› için ne söyleyebilirsiniz?
n Aşağ›daki işlemleri inceleyiniz ve noktal› yerleri doldurunuz.
(−5).1 = −5
3.1 = ..
1.(−1) = ..
1.(−5) = −5
1.3 = ..
(−1).1 = ..
Herhangi bir tam say› ile 1 tam say›s› çarpılırsa sonuç ne olur?
 1 tam say›s› ile herhangi bir tam say› çarpılırsa sonuç ne olur?
1 ile herhangi bir tam sayının çarpımına 1 in etki edip etmediğini tartışınız.
n Aşağ›daki işlemleri inceleyiniz ve noktal› yerleri doldurunuz.
4.0 = 0
(−2).0 = ..
1.0 = ..
0.0 = ..
0.4 = 0
0.(−2) = ..
0.1 = ..
(−1).0 = ..
Çarpma işlemlerinin sonuçlar›n› karş›laşt›r›n›z.
Sıfır ile herhangi bir tam sayının çarpımı için ne söylenebilir? Tartışınız.
Verilen sayılar ile sonuçları aşağıdaki işlemleri yaparak karşılaştıralım.
2.4 , (−2).(−4) , (−2).4 , 2.(−4)
145
2.4 = 8 , (−2).(−4) = 8 , (−2).4 = −8 , 2.(−4) = −8
Aynı işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu negatif işaretlidir.
Aşağıdaki çarpma işlemlerini yaparak verilen sayılar ile sonuçları karşılaştıralım.
a)
b)
c)
ç)
d)
2. 4
2.(−3) , (−3).2
2.(3.4) , (2.3).4
2.1 , 1.2
2.0 , 0.2
a)
b)
c)
ç)
d)
2.4 = 8 , 2 ∈ Z , 4 ∈ Z ve 8 ∈ Z
2.(−3) = −6 ve (−3).2 = −6 olduğundan 2.(−3) = (−3).2
2.(3.4) = 2.12 = 24 ve (2.3).4 = 6.4 = 24 olduğundan 2.(3.4) = (2.3).4
2.1 = 2 ve 1.2 = 2 olduğundan 2.1 = 1.2 = 2
2.0 = 0 ve 0.2 = 0 olduğundan 2.0 = 0.2 = 0 dır.
∀a, b, c ∈ Z için,
1) (a.b) ∈ Z
(Çarpma işleminin kapalılık özelliği)
2) a.b = b.a
(Çarpma işleminin değişme özelliği)
3) (a.b).c = a.(b.c)
(Çarpma işleminin birleşme özelliği)
4) a.1 = 1.a = a
(Çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman özelliği)
5) a.0 = 0.a = 0
(Çarpma işleminin yutan eleman özelliği) dir.

Çarpma işleminin özeliklerinden faydalanarak 5 − 2, (−6) − 4, −1 − (−3) ve 8 − (−5) işlemlerini toplama işlemine dönüştürünüz ve sonuçlarını bulunuz.
 3 − 4 işleminin sonucu ile 4 − 3 işleminin sonuçlarını karşılaştırınız.
  Tam sayılar kümesindeki çıkarma işleminin kapalılık, değişme, birleşme özelliklerinin
olup olmadığını tartışınız.
 Tam sayılar kümesinde çıkarma işlemini toplama işlemine dönüştüren bir kural oluşturunuz.
5 − 3, 7 − (−9) çıkarma işlemlerini toplama işlemine çevirelim ve sonuçlarını bulalım.
146
−3 = (−1).3 olduğundan 5 − 3 = 5 + (−1).3 = 5 + (−3) = 2
−(−9) = (−1).(−9) olduğundan 7 − (−9) = 7 + (−1).(−9) = 7 + 9 = 16 dır.
∀a, b ∈ Z olmak üzere a – b = a + (−1).b = a + (−b) dir.
12 : 3, (−12) : (−3), (−8) : 4, 8 : (−4) ve (−4) : 8 bölme işlemlerini yapınız.
Bulduğunuz sonuçların işaretlerini inceleyiniz.
8 : (−4) işleminin sonucu ile (−4) : 8 işleminin sonucunu karşılaştırınız.
Tam sayılarda bölme işleminin kapalılık, değişme ve birleşme özelliklerinin olup olmadığını tartışınız.
Aynı işaretli tam sayıların bölümlerinde ve farklı işaretli tam sayıların bölümlerinde sonuçların işaretleri hakkında bir genellemede bulununuz.
24 : 3, (−24) : 3, 24 : (−3) ve (−24) : (−3) bölme işlemlerini yapalım.
24 : 3 = 8, (−24) : 3 = −8, 24 : (−3) = −8 ve (−24) : (−3) = 8 olur.
Aynı işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu negatif işaretlidir.
Soru no:
+
−
İşaret
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
O
R
G
D
S
A
N
T
R
K
İ
L
M
İ
E
V
Y
A
Z
Aşağ›daki işlemleri yap›n›z.
1)
(−5).(−8) = ….
6)
(−9) − (−15) = ….
2)
(−26) + 11 = ….
7)
(−3) = ….
3)
12.(−3) = ….
8)
−4 − 5 = ….
4)
(−24) : (−8) = ….
9)
(−3) + 21 : 3 − 5 = ….
5)
3
(−2) = ….
2
10) (−8 ) : 2 − (4 − 19) = ….
Ä ‹şlemlerin sonuçlar›n›n pozitif ya da negatif olduğunu aşağ›daki soru numaralar›n›n alt›na yazarak belirtiniz.
ÄBu işaretlerin alt›na da yukar›daki çizelgeden uygun harfi bulup yazarak anahtar sözcüğü okuyunuz.
147
Soru no:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
İşlem sonucunun işareti
Anahtar sözcük
11) Soner ile Ali tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin birleşme özelliğini
kullanarak ifadeleri yeniden yazıyorlar.
Soner
Ali
(5 + 8) + 11 = 5 + (8 + 11)
(3 + 9).4 = 3 + (9.4)
Hangisi doğru yapmıştır? Cevabınızı açıklayınız.
MODÜLER ARİTMETİK
Samsun isimli feribot İstanbul-İzmir arasında yolcu ve araç taşımaktadır. İzmir’den kalkan
bu feribot İstanbul’a 16 saatte ulaşmaktadır. Sabah 10:00 daki feribota binen Çağan ve Ege
İstanbul’a varış saatlerini hareket etmeden bulmaya çalışıyorlar.
 Hareket saatine yolculuk süresini eklediğimizde saat üzerinde bu sayıya karşılık gelen bir
sayı bulunabilir mi?
 Saat üzerindeki sayılar 1 den 12 ye kadar olduğuna göre elde edilen sayı da 12 ye bölünebilir mi?
 Bölme işleminde kalan, varış saatini verir mi?
Bugün günlerden salı ise 128 gün sonranın hangi güne denk geldiğini bulalım.
Bugün Salı günü olduğundan haftanın günleri:
Salı Çarşamba Perşembe Cuma Cumartesi Pazar
0
1
2
3
4
5
olarak yazılır.
7 sayısına gün aritmetiğinin modülü ya da kısaca modu denir.
148
Pazartesi
6
7 → modül
128
7
58
56
2
18
128 = 7.18 + 2
→ kalan
128 gün geçene kadar 18 hafta geçmiş ve 2 gün artmıştır. Dolayısıyla salıdan sonraki 2. gün
perşembedir.
Aşağ›daki bölme işlemlerini inceleyiniz.
6
5
1
5
1
10
10
00
6 = 5.1 + 1
5
2
38
35
03
10 = 5.2 + 0
5
7
−11 5
−15 −3
04
38 = 5.7 + 3
−11= 5.(−3) + 4
−48 5
−50 −10
02
−48 = 5.(−10) + 2
 Her tam say› 5 ile tam bölünebilir mi?
 Tam say›lar 5 ile bölündüğünde kalan en az kaçt›r?
 Tam say›lar 5 ile bölündüğünde kalan en çok kaçt›r?
 5 ile böldüğünüzde,
0 kalanını veren tam sayıları aşağıda bulunan 0 kümesindeki,
1 kalanını veren tam sayıları aşağıda bulunan 1 kümesindeki,
2 kalanını veren tam sayıları aşağıda bulunan 2 kümesindeki,
3 kalanını veren tam sayıları aşağıda bulunan 3 kümesindeki,
4 kalanını veren tam sayıları aşağıda bulunan 4 kümesindeki boş kutulara yazınız.
0 = { ... ,
,
, ... }
1 ,
6 , 11 ,
, ... }
,
2 ,
, 12 ,
, ... }
,
, −2 ,
3 ,
,
,
, ... }
,
,
4 ,
9 ,
,
, ... }
,
0 ,
1 = { ... , −14 ,
, −4 ,
2 = { ... ,
,
,
3 = { ... ,
4 = { ... ,
, −10 ,
,
,
Tam say›lar›n 5 ile bölümünden elde edilen kalanlardan oluşan 0, 1, 2, 3, 4 nın kümesi
{ 0, 1, 2, 3, 4 } olup bu küme Z / 5 biçiminde ifade edilir. Buna göre m ∈ Z+ olmak üzere Z / m küme-
sinin liste biçiminde nasıl yazılabileceğini tartışınız.
A = { 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinde tanımlı β = { (x, y) : 2 | (x − y) ve x, y ∈ A } bağıntısını liste yöntemi
ile yazarak yansıma, simetri ve geçişme özelliklerinin varlığını inceleyelim. ∀x ∈ A için β bağıntısı
ile x e bağlı olan y elemanlarının kümelerini karşılaştıralım.
149
β = { (0 , 0), (0 , 2), (0 , 4), (1 , 1), (1 , 3), (1 , 5), (2 , 0), (2 , 2), (2 , 4), (3 , 1), (3 , 3), (3 , 5), (4 , 0), (4 , 2), (4 , 4), (5 , 1), (5 , 3), (5 , 5) }
∀x ∈ A için (x , x) ∈ β olduğundan β yansıyan bağıntıdır.
∀(x , y) ∈ β için (y , x) ∈ β olduğundan β simetriktir.
∀(x , y) ∈ β ∧ (y , z) ∈ β olduğunda (x , z) ∈ β olduğundan β geçişkendir.
(x , y) ∈ β ise y elemanı β bağıntısı ile x e bağlıdır. Buna göre,
x = 0 a bağlı olan y elemanlarının kümesi A0 = { 0, 2, 4 }
x = 1 e bağlı olan y elemanlarının kümesi A1 = { 1, 3, 5 }
x = 2 ye bağlı olan y elemanlarının kümesi A2 = { 0, 2, 4 }
x = 3 e bağlı olan y elemanlarının kümesi A3 = { 1, 3, 5 }
x = 4 e bağlı olan y elemanlarının kümesi A4 = { 0, 2, 4 }
x = 5 e bağlı olan y elemanlarının kümesi A5 = { 1, 3, 5 } tir.
Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bağıntıya denklik bağıntısı denir. β
denklik bağıntısına göre aynı kümede bulunan elemanlar birbirine denktir. Bu durumda,
{ 0, 2, 4 } kümesinden 0 ≡ 2 ≡ 4
{ 1, 3, 5 } kümesinden 1 ≡ 3 ≡ 5 tir.
x e bağlı olan denk elemanların kümesi x in denklik sınıfı (kalan sınıfı) diye adlandırılır
ve x ile gösterilir.
Genel olarak x in denklik sınıfı: β, A da bir denklik bağıntısı olmak üzere,
x = { y | (x , y) ∈ β ve y ∈ A } biçiminde gösterilir.
Buna göre incelediğimiz örnekteki denklik bağıntısı için
0 = { 0, 2, 4 } ve 1 = { 1, 3, 5 } olur.
Bu durumu,
0
•0
•1
•2
•3
1
•4 •5
biçiminde gösteririz.
A kümesindeki sayıları 2 ile böldüğümüzde 0 kalanını veren sayılar 0 nda; 1 kalanını
veren sayılar da 1 nda bulunurlar.
Z de Z / 3 , Z / 4 ve Z / 6 kümelerini yazalım.
Bölen
150
Kalanlar
Denklik sınıflarının kümesi
3
0, 1, 2
Z / 3 = { 0, 1, 2 }
4
0, 1, 2, 3
Z / 4 = { 0, 1, 2, 3 }
5
0, 1, 2, 3, 4
Z / 5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }
olur.
m ∈ Z olmak üzere denklik sınıflarının kümesi Z / m = { 0, 1, ... , m−1 } dir.
+
Aşağıdaki bölme işlemini inceleyiniz.
21
20
01
4
5
21 = 4.5 + 1
21 − 1 = 4.5
a) 21 − 1 sayısı 4 ün katı mıdır?
b) 21 − 1 sayısı 4 ile tam bölünebilir mi?
a) 21 − 1 = 20
= 4.5 olduğundan 21 − 1 sayısı 4 ün 5 katıdır.
b) 21 − 1 = 20 ,
20 4
olduğundan 21 − 1 sayısı 4 ile tam bölünür. Bu durumda 21 ≡ 1 (mod 4) olur.
20 5
00
+
x, y, n ∈ Z ve m ∈ Z olmak üzere
x
m
n
ise x = m.n + y dir. Dolayısıyla x − y = m.n olur.
y
O hâlde, x − y sayısı m sayısına tam bölünür. Bu durum (x ile y aynı denklik sınıfında
olduğundan) x ≡ y (mod m) biçiminde ifade edilir.
Kısaca x ≡ y (mod m) ⇔ m ⎪ (x – y) dir.
Hastanede çalışan bir hemşire 4 günde bir nöbet tutmaktadır. İlk nöbetini
pazar günü tutan bu hemşirenin 6. nöbetini hangi gün tutacağını bulalım.
Hemşire 1. nöbetini tuttuğuna göre geriye 5 nöbeti kalmıştır. Bu sebeple 6. nöbet 4.5 = 20
gün sonra tutulacaktır.
1 hafta 7 gün olduğundan,
20
14
06
7
20 = 2.7 + 6
⇒ 20 ≡ 6 (mod 7) dir.
2 ⇒
20 – 6 = 2.7
151
1. nöbet pazar günü olduğundan hafta günleri:
Pazar Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma
0
1
2
3
4
5
Cumartesi
6
olarak yazılır. Buradan hemşirenin 6. nöbetini cumartesi günü tutacağı anlaşılır.
Modüler aritmetik, gizli haberleşme bilimi olan kriptolojide mesajlar› şifreleme amac›yla da
kullan›lmaktad›r. Aşağ›daki çizelgede, alfabemizdeki harfler ve Türkçenin baz› noktalama işaretleri say›larla kodlanm›şt›r.
Harfler
Sayısal
değerler
(y)
Harfler
Sayısal
değerler
(y)
Harfler
Sayısal
değerler
(y)
.
00
E
12
O
24
,
01
F
13
Ö
25
“
02
G
14
P
26
Boşluk
03
Ğ
15
R
27
!
04
H
16
S
28
?
05
I
17
Ş
29
Â
06
İ
18
T
30
A
07
J
19
U
31
B
08
K
20
Ü
32
C
09
L
21
V
33
Ç
10
M
22
Y
34
D
11
N
23
Z
35
“K O R D O N B O Y U” sözcüğünü x ≡ y + 7 (mod 36) kodlama işlemine göre say› dizisine
dönüştürelim.
Hangi harf ya da sembol seçilecekse,
x ≡ y + 7 (mod 36) ifadesinde y yerine yaz›lmal›d›r. Buna göre say› dizisi;
“ → 02 olduğundan
x ≡ 02 + 7 (mod 36) dan
x ≡ 09 dur.
Y → 34 olduğundan
x ≡ 34 + 7 (mod 36) dan
x ≡ 05 tir.
“K O R D O N B O Y U” sözcüğüne karşılık gelen sayı dizisi yukarıdaki örnekler de göz önüne
alındığında 09 27 31 34 18 31 30 15 31 05 02 09 şeklinde olur.
152
1)
A = { 1, 2, ......... 20 } kümesinin elemanlar›n›n 4 ile bölümünden elde edilen kalanlar›n
denklik s›n›flar›n›n elemanlar›n› yaz›n›z.
2)
Aşağıda bölme işlemlerini yaparak boşlukları doldurunuz.
27
24
03
4
6
39
5
...
51
27 ≡ 3 (mod 4)
...
104
39 ≡ ... (mod ...)
...
7
...
9
...
...
..............................
..............................
3)
5 günde bir nöbet tutan bir asker 1. nöbetini salı günü tuttuğuna göre 60. nöbetini hangi
gün tutacaktır?
4)
Aşağıdaki çizelgede, alfabemizdeki harfler ve Türkçenin baz› noktalama işaretleri
say›larla kodlanm›şt›r. Atatürk’ün “‹ST‹KBÂL GÖKLERDED‹R” sözünü,
x ≡ y + 13 (mod 36) kodlama işlemi ile say› dizisine dönüştürünüz.
Harfler
Sayısal
değerler
(y)
Harfler
Sayısal
değerler
(y)
Harfler
Sayısal
değerler
(y)
.
00
E
12
O
24
,
01
F
13
Ö
25
“
02
G
14
P
26
Boşluk
03
Ğ
15
R
27
!
04
H
16
S
28
?
05
I
17
Ş
29
Â
06
İ
18
T
30
A
07
J
19
U
31
B
08
K
20
Ü
32
C
09
L
21
V
33
Ç
10
M
22
Y
34
D
11
N
23
Z
35
MODÜLER ARİTMETİKTE İŞLEMLER
Aşağıdaki bölme işlemlerini inceleyiniz.
53
48
05
6
8
53 ≡ 5 (mod 6)
16
12
04
6
2
16 ≡ 4 (mod 6)
 Bölme işlemlerinden yazılan denkliklerdeki 53 ve 16 sayılarının toplamının (mod 6) da
denk olduğu sayı ile 5 ve 4 sayılarının toplamının (mod 6) da denk olduğu sayıyı karşılaştırınız.
Bu kez 53 ve 16 sayılarının çarpımının (mod 6) da denk olduğu sayı ile 5 ve 4 sayılarının
çarpımının (mod 6) da denk olduğu sayıyı karşılaştırınız.
Aynı modda verilen iki denkliğin taraf tarafa toplamı ile taraf tarafa çarpımı için matematiksel modeller oluşturunuz.
153
23 + 12 ≡ x (mod 5) ve 23.12 ≡ y (mod 5) ise x ve y sayılarını 23 ve 12 sayılarının (mod 5)
te denk olduğu sayılarla ilişkilendirelim.
23 ≡ 3 (mod 5)
23 + 12 ≡ 35 ≡ 0 (mod 5)
12 ≡ 2 (mod 5)
O hâlde, x = 3+2 ve
⇒ 23 + 12 ≡ 3 + 2 (mod 5)
3 + 2 ≡ 5 ≡ 0 (mod 5)
23.12 ≡ 276 ≡ 1 (mod 5)
⇒ 23.12 ≡ 3.2 (mod 5) tir.
3.2 ≡ 6 ≡ 1 (mod 5)
Buradan da y = 3.2 olur.
+
∀a, b, c, d ∈ Z ve m ∈ Z için,
a ≡ b (mod m)
ise a + c ≡ b + d (mod m) ve a.c ≡ b.d (mod m) dir.
c ≡ d (mod m)
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
81 ≡ 1 (mod 5)
4
3 ≡ 1 (mod 5)
4 4
3 .3 ≡ 1.1 (mod 5)
2
(34) ≡ 1 (mod 5)
Şimdi de aşağıdaki noktalı yerleri uygun sayılar yazarak doldurunuz.
4
4
4
3 .3 .3 ≡ … (mod 5)
3
(34) ≡ … (mod 5)
4 4 4 4 4 4 4
3 .3 .3 .3 .3 .3 .3 ≡ … (mod 5)
7
(34) ≡ … (mod 5)
104
3 ≡ … (mod 5)
2008
3
≡ … (mod 5)
m ∈ Z olmak üzere üslü biçimde verilen bir tam sayı m modülüne göre 1 e denk ise bu
üslü sayının bir tam sayı kuvvetinin yine m modüle göre hangi sayıya denk olabileceğini tartışınız.
+
36
2 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım.
36
2 ≡ x (mod 7) ise x i bulalım.
1
2 ≡ 2 (mod 7)
2
2 ≡ 4 (mod 7)
3
2 ≡ 1 (mod 7)
12
(23) ≡ 112 (mod 7)
36
2 ≡ 1 (mod 7) ⇒ x = 1 dir.
154
36
3
06
6
0
3
12
b n
a, b, n, x, m ∈ Z olmak üzere, (a ) ≡ 1 (mod m) ise (a
+
b
) ≡ 1 (mod m) dir.
17
40 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
40 ≡ 4 (mod 9)
17
17
40 ≡ 4 ≡ x (mod 9) ise x i bulalım.
1
4 ≡ 4 (mod 9)
2
4 ≡ 7 (mod 9)
3
4 ≡ 1 (mod 9)
17 3
3 5
(4 ) ≡ 15 (mod 9)
15 5
15
02
4 ≡ 1 (mod 9)
15
4 ≡ 1 (mod 9)
2
4 ≡ 7 (mod 9)
1919
1923
⇒
15
2
4 . 4 ≡ 1.7 (mod 9)
17
4 ≡ 7 (mod 9) ⇒ x = 7 dir.
≡ x (mod 9) ise x i bulalım.
1919 ≡ 2 (mod 9)
1923
1923
1919
≡2
(mod 9)
1
2 ≡ 2 (mod 9)
2
2 ≡ 4 (mod 9)
3
2 ≡ 8 (mod 9)
4
2 ≡ 7 (mod 9)
5
2 ≡ 5 (mod 9)
6
2 ≡ 1 (mod 9)
6 320
(2 ) ≡ 1320 (mod 9)
1920
2
≡ 1 (mod 9)
1923 6
18
320
012
12
003
3
2 ≡ 8 (mod 9)
1920
3
2
1923
. 2 ≡ 1.8 (mod 9)
2
4
1905
≡ 8 (mod 9)
⇒
x = 8 dir.
≡ x (mod 10) ise x i bulalım.
1
4 ≡ 4 (mod 10)
2
4 ≡ 6 (mod 10)
3
4 ≡ 4 (mod 10)
4
4 ≡ 6 (mod 10)
........................
155
4 ün tek tam sayı kuvvetleri 10 modülüne göre 4 e, çift tam sayı kuvvetleri 10 modülüne göre
6 ya denk olduğundan,
1905
≡ 4 (mod 10) dur. Dolayısıyla x = 4 olur.
4
46
2 sayısının 14 ile bölümünden kalanı bulalım.
46
2 ≡ x (mod 14) ise x i bulalım.
1
2 ≡ 2 (mod 14)
2
2 ≡ 4 (mod 14)
3
2 ≡ 8 (mod 14)
4
2 ≡ 2 (mod 14)
5
2 ≡ 4 (mod 14)
6
2 ≡ 8 (mod 14)
..........................
2 nin, 3 ün katı olan kuvvetleri 14 modülüne göre 8 e denktir. O hâlde,
46
3
16
15
01
46 = 3.15 + 1
⇒
3
15
46
3.15
2 =2
2
3.15
+1
≡ 8 (mod 14)
⇒
45
2 ≡ 8 (mod 14)
1
2 ≡ 2 (mod 14)
45
1
2 .2 ≡ 8.2 (mod 14)
46
2 ≡ 16 (mod 14)
46
2 ≡ 2 (mod 14)
⇒
x = 2 bulunur.
+
m ∈ Z olmak üzere, 63 ≡ 9 (mod m) denkliğinde m nin kaç farklı değer alabileceğini bulalım.
+
63 − 9 = m.k (k ∈ Z ) olmalıdır.
54 = m.k eşitliğinden m sayıları 54 ün pozitif bölenleri olur. O hâlde;
54
27
9
3
1
2
3
3
3
1
3
54 = 2 .3
m, (1 + 1).(3 + 1) = 2.4 = 8 farklı değer alır.
5x + 2 ≡ 3 (mod 8) denkliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı değerini bulalım.
5x + 2 ≡ 3 (mod 8)
6 ≡ 6 (mod 8)
156
5x + 2 + 6 ≡ 3 + 6 (mod 8)
[2 + 6 = 8 ≡ 0 (mod 8)], [3 + 6 = 9 ≡ 1 (mod 8)]
5x + 0 ≡ 1 (mod 8)
5x ≡ 1 (mod 8)
5 ≡ 5 (mod 8)
[5.5 = 25 ≡ 1 (mod 8)]
5.5x ≡ 1.5 (mod 8)
1.x ≡ 5 (mod 8)
x ≡ 5 (mod 8)
Denklemi sağlayan en küçük pozitif tam sayı 5 tir.
1)
7
115
2)
3
1026
≡ x (mod 6) ise x kaçtır?
6
2001
≡ x (mod 9) ise x kaçtır?
3)
≡ x (mod 4) ise en küçük x pozitif tam say›sı kaçt›r?
666
333
4)
333 +666
5)
253 ≡ 8 (mod m) eşitliğini sağlayan kaç tane pozitif m tam say›s› vard›r?
6)
2
1249
say›s›n›n birler basamağ›ndaki rakam kaç olur?
≡ x (mod 10) ise x kaçt›r?
Aşağıdaki 1. ve 2. çizelgede verilen işlemleri Z / 5 = { 0, 1, 2, 3, 4 } kümesinde örneğe uygun
biçimde yaparak boşlukları doldurunuz.
1. Çizelge
1.
tam
sayı
Denklik
sınıfı
2.
tam
sayı
Denklik
sınıfı
Denklik sınıflarının
toplamı
1. ve 2. tam
sayıların
toplamı
Denklik sınıfı
16
16 ≡ 1
23
23 ≡ 3
16 ⊕ 23 ≡ 1 ⊕ 3 ≡ 4
16 + 23 = 39
16 + 23 ≡ 39 ≡ 4
13
18
22
34
19
64
2. Çizelge
1.
tam
sayı
Denklik
sınıfı
2.
tam
sayı
Denklik
sınıfı
Denklik sınıflarının
çarpımı
1. ve 2. tam
sayıların
çarpımı
Denklik sınıfı
12
12 ≡ 2
14
14 ≡ 4
12 ⊗ 14 ≡ 2 ⊗ 4 ≡ 3
12.14 = 168
12.14 ≡ 168 ≡ 3
10
17
21
18
13
19
Her iki çizelgenin 5. ve 7. sütununda bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız.
157
İki tam sayının denklik sınıflarının toplamı ile bu tam sayıların toplamının denklik sınıfı ve
iki tam sayının denklik sınıflarının çarpımı ile bu tam sayıların çarpımının denklik sınıfını ilişkilendiriniz.
Z / 4 de 11 ⊕  13 ile 11 + 13 ve 22 ⊗  13 ile 22.13 işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım.
11 ≡ 3
11 ⊕  13 ≡ 3 ⊕ 1 ≡ 0
13 ≡ 1
⇒
11 + 13 = 24
⇒
11 + 13 ≡ 24 ≡ 0
13 ≡ 1
⇒
22 ⊗  13 ≡ 2 ⊗ 1 ≡ 2
22.13 = 286
⇒
22 ≡ 2
⇒
11 ⊕  13 = 11 + 13
⇒
22 ⊗  13 = 22.13
22.13 ≡ 286 ≡ 2
a, b ∈ Z / m için a ⊕ b = a + b ve a ⊗ b = a .b
dir.
Z / 5 kümesinde toplama ve çarpma işleminin özelliklerini inceleyelim.
Z / 5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }
2 ∈ Z/ 5 , 3 ∈ Z/ 5 ve 2 ⊕ 3 = 2 + 3 ≡ 0 ∈ Z/ 5
2 ⊕ 3 = 3 ⊕ 2 ≡ 0, 2 ⊕ 4 = 4 ⊕ 2 ≡ 1
2 ⊕ ( 3 ⊕ 4 ) = ( 2 ⊕ 3 ) ⊕ 4, 1 ⊕ ( 2 ⊕ 4 ) = ( 1 ⊕ 2 ) ⊕ 4
1 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ≡ 1,
2 ⊕ 0 = 0 ⊕ 2 ≡ 2
1 ⊕ 4 = 4 ⊕ 1 ≡ 0,
2 ⊕ 3 = 3 ⊕ 2 ≡ 0
2 ∈ Z/ 5 , 3 ∈ Z/ 5 ve 2 ⊗ 3 = 2.3 ≡ 1 ∈ Z/ 5
2 ⊗ 3 = 3 ⊗ 2 ≡ 1, 2 ⊗ 4 = 4 ⊗ 2 ≡ 3
2 ⊗ ( 3 ⊗ 1 ) = ( 2 ⊗ 3 ) ⊗ 1, 1 ⊗ ( 3 ⊗ 4 ) = ( 1 ⊗ 3 ) ⊗ 4
158
2 ⊗ 1 = 1 ⊗ 2 ≡ 2,
3 ⊗ 1 = 1 ⊗ 3 ≡ 3
2 ⊗ 3 = 3 ⊗ 2 ≡ 1,
4 ⊗ 4 ≡ 1
olur.
Yukarıdaki işlemlerde de görüldüğü gibi Z/ 5 de toplama ve çarpma işleminin kapalılık, değişme, birleşme özellikleri vardır. Toplama işleminde etkisiz (birim) eleman 0, çarpma işleminde
etkisiz (birim) eleman 1 dir.
m ∈ Z olmak üzere Z / m kümesinde, ∀a, b, c ∈ Z / m için,
a ⊕ b ∈ Z / m , a ⊗ b ∈ Z / m
(kapalılık özelliği)
a ⊕ b = b ⊕ a, a ⊗ b = b ⊗ a
(değişme özelliği)
a ⊕ ( b ⊕ c ) = ( a ⊕ b ) ⊕ c, a ⊗ ( b ⊗ c ) = ( a ⊗ b ) ⊗ c
(birleşme özelliği)
a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a, a ⊗ 1 = 1 ⊗ a = a
(etkisiz eleman özelliği)
(ters eleman özelliği) (a ile b, ⊕ işlemine göre birbirinin tersi)
a ⊕ b = b ⊕ a = 0,
a ⊗ b = b ⊗ a = 1
(ters eleman özelliği) (a ile b, ⊗ işlemine göre birbirinin tersi)
a ⊗ 0 = 0 ⊗ a = 0
(yutan eleman özelliği) dir.
+
Z / 7 kümesinde 3x ⊕ 4 = 0 denklemini çözelim.
3x ⊕ 4 = 0
1. Yol:
3x ⊕ 4 ⊕ 3 = 0 ⊕ 3 ;

3x ⊕ 0 = 3

3x = 3
5.3x = 5.3 ;

( 3 = 3 )
( 5 = 5 )
1x = 1
x = 1
Ç.K. = { 1 } dir.
2. Yol: Çizelge çizerek,
x
0
1
2
3
4
5
6
3x
0
3
6
2
5
1
4
3x ⊕ 4
4
0
3
6
2
5
1
x = 1 bulunur. Ç.K. = { 1 } dir.
Z / 6 kümesinde 2x ⊕ 5 = 1 denklemini çözelim.
Çizelge çizerek,
x
0
1
2
3
4
5
2x
0
2
4
0
2
4
2x ⊕ 5
5
1
3
5
1
3
x = 1 veya x = 4 bulunur. Ç.K. = { 1, 4 } dir.
159
Z / 8 kümesinde tanımlı f(x) = 5x ⊕ 6 fonksiyonu için f (x) i ve f (3) değerini bulalım.
−1






y = f(x) olduğundan y = 5x ⊕ 6
 y ⊕ 2 = 5x ⊕ 6 ⊕ 2
y ⊕ 2 = 5x ⊕ 0
5 y ⊕ 2 = 5x
5.y ⊕ 5.2 = 5.5x
5.y ⊕ 2 = 1.x
5.y ⊕ 2 = x
−1
(Her iki tarafa 2 ekledik)
/
(Her iki tarafı 5 ile çarptık)
5.x ⊕ 2 = y = f (x)
−1
f (x) = 5.x ⊕ 2
−1
f (3) = 5.3 ⊕ 2
−1
= 5.3 ⊕ 2
= 7 ⊕ 2
= 1 bulunur.
1)
Z / 5 de toplama ve çarpma işlemlerinin tablolar› aşağ›da verilmiştir. Tablolardaki boş
kutucukları doldurunuz.
⊕
0
0
0
1
1
1
2
3
4
0
3
0
2
1
0
0
0
2
1
3
4
0
1
1
0
3
4
4
3
1
2
Aşağıdaki tabloyu inceleyerek aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
⊗
0
0
0
1
2
3
4
160
0
2
3
2)
⊗
1
2
3
4
( Z / 5 kümesinde “x in karesi” (x) = x ⊗ x olarak tan›mlanm›şt›r.)
2
a) Yandaki tabloya göre aşağ›daki noktal› yerleri doldurunuz.
(0 ) = 0 ⊗ 0 = .........
1
4
2
(1 ) = ......... = ..........
2
(3 ) = ......... = ..........
(2 ) = ......... = ..........
4
2
2
2
(4 ) = ......... = ..........
1
b) Bulduğunuz say›lar› bir A kümesine yaz›n›z.
c)
ç)
d)
e)
Z / 5 kümesinde olup A kümesinde olmayan say›lar› da bir B kümesine yaz›n›z.
Hangi kümedeki elemanlar›n karekökleri vard›r?
Hangi kümedeki elemanlar›n karekökleri yoktur?
Karekökü olan say›lar› yaz›n›z.
f)
Birden fazla karekökü olan say›lar var m›d›r?
3)
Z / 7 kümesinde 4x ⊕ 5 = 3 denklemini çözünüz.
4)
Z / 7 kümesinde x ⊕ 3 = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
5)
Z / 7 kümesinde tanımlı f(x) = 5x ⊕ 3 fonksiyonu için f (x) i bulunuz.
6)
a)
Z / 6 kümesinde ( 5x ⊕ 4 ).( 2x ⊕ 3 ) işlemini yapınız.
b)
Z / 4 kümesinde hangi elemanların karekökü yoktur?
−1
c)
ç)
Z / 6 kümesinde x ⊕ 5 = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2
Z / 6 kümesinde x ⊕ 3 = 2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2
RASYONEL SAYILAR
Gülce’nin doğum günü kutlamasına 4 arkadaş› gelmiştir.
Annesinin haz›rlad›ğ› pastay› 8 eş dilime bölen Gülce, her arkadaş›na bir dilim pasta ikram eder. Bir dilim de kendisi yer. Geriye
kalan dilimleri ise annesi ve babas›na ay›r›r.
Gülce ve arkadaşlar› toplam kaç dilim pasta yemiştir?
Yenilen pastan›n, bütün pastan›n ne kadar› olduğunu nas›l
söylenebilir?
 Gülce, annesi ve babas›na kaç dilim pasta ay›rm›şt›r?
 Gülce’nin annesi ve babas›na ay›rd›ğ› dilimlerin, bütün pastan›n ne kadar› olduğunu nas›l
ifade edebilirsiniz?
Yandaki eş kareler s›ras›yla 2,
4, 6 ve 8 eş parçaya ayr›l›p baz›
parçalar boyanm›şt›r.
 Boyanan parçalar› kesir olarak yaz›n›z.
 Her karedeki boyalı k›s›mlar birbirine eş midir?
 Bu boyalı k›s›mlar› ifade eden kesirleri aşağ›daki say› doğrular›nda uygun yerlere yaz›n›z.
0
1
0
1
0
1
0
1
 Bütün bu kesirlerin sayı doğrusunda karşılık geldiği noktayı gösteriniz.
Say› doğrusunda ayn› noktaya karş›l›k gelen kesirlere de denk kesirler denildiğini biliyorsunuz. O hâlde,
 Bu kesirlerin denkliğini yaz›n›z.
 Bu denk kesirler içinde en sade olan› hangisidir?
161
 Bulduğunuz en sade kesrin pay ve paydas› aralar›nda asal m›d›r?
 Denk kesirlerin en sade olanı bu kesirlerin temsilcisi olarak seçilebilir mi? Tartışınız.
a)
b)
c)
Mart, nisan ve mayıs aylarından oluşan ilkbahar mevsiminin ayları yılın tüm aylarına oranlandığında hangi kesir elde edilir?
Mirastan eşit pay alacak 8 kardeşten 2 kardeş tüm mirasın ne kadarını alır?
Çeyrek altının tam altına oranı hangi kesri verir?
Yukarıdaki soruların yanıtlarını karşılaştıralım.
Bir yılda 12 ay olduğundan bahar aylarının yılın tüm aylarına oranı
3
, mirastan pay alacak
12
1
2
ve çeyrek altının tam altına oranı
kesrini verir. Tüm bu kesirler birbirine
4
8
2
1
3
denktir. O hâlde,
≡
≡
olur.
4
12 8
1
1
ün payı ile paydası aralarında asaldır ve
kesri denk olduğu kesirlerin temsilcisi olarak
4
4
iki kardeşin hakkı
seçilebilir.
a, b ∈ Z, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere
a
biçimindeki sayıya rasyonel
b
sayı denir.
Değeri
5
34
olan bir kesrin payına 4 eklenir, paydasından 3 çıkarılırsa kesrin değeri
oluyor.
7
39
Bu kesrin payını bulalım.
k, sabit bir sayı olmak üzere
5
5k
rasyonel sayısına denk olan tüm kesirler
biçiminde ifade
7
7k
edilir. Buna göre,
5k
5k + 4
34
5
≡
ve
=
7k
7k − 3
39
7
5 5.6 30
≡
=
7 7.6 42
⇒
⇒
34.(7k − 3) = 39.(5k + 4)
⇒ 238k − 102 = 195k +156
⇒
43k = 258
⇒
k = 6 olur.
aranan pay 30 dur.
a, b, c, d ∈ Z, b ≠ 0 ve d ≠ 0 olmak üzere
162
a
c
=
ise b.c = a.d dir.
b
d
x, k ∈ Z ve x ≠ 0, k ≠ 0 olmak üzere,
1)
4
6
2.k 2x
≡
≡ ... ≡
≡
kesirlerinin değeri (en sade
10 15
5.k 5x
hâli) için ne söylenebilir?
3
Bir kesrin değeri
tir. Bu kesrin pay›ndan 2 ç›kar›r, paydas›na 5 eklersek kesrin değeri
5
1
oluyor. Bu kesri bulunuz.
2
2)
3)
Bir rasyonel say›n›n pay› ve paydas› s›f›rdan farkl› bir tam say› ile çarp›ld›ğ›nda kesrin
değeri için ne söylenebilir?
4)
Bir rasyonel say›n›n pay› ve paydas› s›f›rdan farkl› bir tam say› ile bölündüğünde kesrin
değeri için ne söylenebilir?
5)
Aşağıdaki ifadelerin bazen, her zaman veya hiçbir zaman doğru olup olmadıklarını belirtiniz. Bir örnek veya aksine örnek vererek açıklayınız.
a)
b)
c)
Bir tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.
Bir rasyonel sayı aynı zamanda bir tam sayıdır.
Bir doğal sayı rasyonel sayı değildir.
2 2
M
2
T
2
L
PE
O
TR
M T akaryakıt istasyonunun pompalarının bağlı olduğu
3
ü doludur. Satışlar sabah 06.00
25 tonluk mazot deposunun
8
da başlayıp gece 12.00 de durdurulmakta ve depoya aynı saatte 7 ton mazot ilave edilmektedir.1. gün depodaki mazotun
2
1
si, 2. gün depodaki mazotun
i satıldığına göre 3. gün
3
3
satışlar başlamadan depounun yüzde kaçının boş olduğunu
bulunuz. Bunun için;
Depodaki mazot miktarını ve 1. gün satılan mazot miktarını bulunuz.
1. günün sonunda depoda kalan mazot miktarını bularak depoya 7 ton ilave ediniz.
2. güne başlarken depoda bulunan mazot miktarı ile 2. gün satılan mazot miktarını bulunuz.
2. gün sonunda depoda kalan mazot miktarına 7 ton ilave ediniz.
Depodaki mazot miktarı deponun hacminin yüzde kaçıdır?
 Depodaki mazot miktarının yüzdesinden faydalanarak deponun boş kısmının yüzdesini
bulunuz.
Nuri, tarlasını 6 eş parçaya ayırıyor. Parçalardan birine domates fidesi, ikisine de biber fidesi
dikiyor. Buna göre aşağıdaki soruları yanıtlayalım:
a) Domates fidesi dikilen parça, tarlanın ne kadarıdır?
b) Biber fidesi dikilen parça, tarlanın ne kadarıdır?
c) Domates ve biber fidesi dikilen parçaların toplamını nasıl ifade edersiniz ve bu toplam
tarlanın ne kadarı olur?
ç) Tarlada fide dikilmeyen parça, tarlanın ne kadarı olur?
163
a) Domates fidesi dikilen parça, tarlanın
1
sı,
6
2
sı,
6
1
2
3
c) Fide dikimi yapılan parçaların toplamı
+
, bu toplam da tarlanın
sı,
6
6
6
6
3
3
ç) Fide dikilmeyen parça ise tarlanın
−
=
sı olur.
6
6
6
b) Biber fidesi dikilen parça, tarlanın
Verilen iki rasyonel sayının toplamı;
a c
a
c
a.d + b.c
,
∈ Q için
+
=
olarak ifade edilir.
b d
b
d
b.d
İki rasyonel sayının farkı ise;
a c
a
c
a.d − b.c
,
∈ Q için
−
=
olarak ifade edilir.
b d
b
d
b.d
Sevim, bahçesinin
1
3
ine gül,
üne nergis dikiyor. Geriye kalan kısmına da çim ekiyor. Bu4
5
na göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
a) Bahçenin ne kadarına gül ve nergis dikilmiştir?
b) Bahçenin ne kadarına çim ekilmiştir?
4
3
5
4
2
sayısının 2 katını,
sayısının
katını ve −
un
katını bulalım.
5
7
2
9
11
4
4 2
4.2
8
.2 = . =
=
5
5 1
5.1
5
3 İki
3.5 15
5
. rasyonel
=
= sayının çarpımında, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı da pay2
14 iki rasyonel sayının çarpımı;
7
7.2
daya yazılır. Verilen
−4 2
−8
(−4).2
c
a.c
. a =c
= a olur.
,
∈
Q
için
=
olarak ifade edilir.
9 11
9.11
99 .
b d
b d
b.d
4 sayısının
bulalım.
164
3
5
2
5
sayısına,
sayısının 3 sayısına ve
sayısının
sayısına bölümünü
5
11
7
9
4
1
4
4 5
4.5 20
=
= . =
=
3
3
1 3
1.3
3
5
5
5
5
11 11
5 1
5.1
5
= . =
=
=
3
3
11 3
11.3 33
1
2
7
2 9
2.9
18
= . =
=
5
7 5
7.5
35
9
dir.
a
b
a
c
rasyonel sayısının sıfırdan farklı
rasyonel sayısına bölümü
olarak yazılır.
c
b
d
d
Bu durum;
(
)
c
a c
a d
a.d
a c
,
∈ Q,
≠ 0 olmak üzere,
:
=
.
=
olarak ifade edilir.
d
b d
b c
b.c
b d
RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMLERİNİN
ÖZELLİKLERİ
n Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2
3
8
9 17
+
=
+
=
∈Q
3
4 12 12 12
(4)
(3)
5+2=7∈Q
−
2
2
+
= ...............................................
3
3
−
−11
4
+
= ...............................................
5
5
Herhangi iki rasyonel sayının toplamı yine bir rasyonel sayı mıdır? Belirtiniz.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2
3
2+3
5
+
=
=
7
7
7
7
3
2
3+2
5
+
=
=
7
7
7
7
4
2
........
..
+
=
=
........
11 3
..
2
4
........
..
+
=
=
........
3 11
..
3
..
3+4
7
+
=
=
8
..
8
8
..
3
4+3
7
+
=
=
..
8
8
8
 Rasyonel sayılar kümesinde toplama işlemine giren iki rasyonel sayının yerlerini değiştirdiğimizde sonuç değişir mi? Tartışınız.
165
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
(132 + 133 ) + 134 = 135 + 134 = 139
(214 + 212 ) + 215 = ................... = .....
(− 25 ) + ( 43 + 2115) = ................... = .....
( )
2
5
4
+ ( + ) = ................... = .....
21 21
21
[(− 25 ) + 43 ] + 2115 = ................... = .....
2
3
4
7
2
9
+
+
=
+
=
13
13 13
13 13 13
Çizelgede aynı satırlarda bulunan sonuçları karşılaştırınız.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2
0
2
2+0
2
+0=
+
=
=
3
3
3
3
3
0+
2
2
0
0+2
2
=
+
=
=
3
3
3
3
3
−4
+ 0 = ............. = ............. = .....
7
0+
−4
= ............. = ............. = .....
7
a
+ 0 = ............. = ............. = .....
b
0+
a
= ............. = ............. = .....
b
0 rasyonel sayısı ile bir rasyonel sayının toplamına 0 ın etkisini tartışınız.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
( )
(− 34 ) + 34 = ............. = ............. = .....
5
5
+ (− ) = ............. = ............. = .....
2
2
2
2
2 + (−2)
0
+ −
=
=
=0
7
7
7
7
(− 27 ) + 27 = (−2)7+ 2 = 07
3
3
+ (− ) = ............. = ............. = .....
4
4
(− 52 ) + 52 = ............. = ............. = .....
İki rasyonel sayının toplamı 0 ise bu rasyonel sayılar için ne söylenebilir?
Rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin kapalılık, değişme, birleşme, etkisiz (birim)
eleman ve ters eleman özelliklerinin varlığını tartışınız.
x+
3
= 0 eşitliğini sağlayan x rasyonel saysını bulalım.
7
3
3
= 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafına −
ekleyelim.
7
7
3
3
3
x+
+ −
=0+ −
7
7
7
x+
( )
( )
( )
x+0 =0+ −
x =−
166
3
7
3
7
∀
a c e
, ,
∈ Q için,
b d f
( ab + dc ) ∈
Q
a
c
c
a
+
=
+
b
d
d
b
( ab + dc ) + ef = ab + ( dc + ef )
a
a
a
+0=0+
=
b
b
b
( ) ( )
a
a
a
a
+ −
= −
+
=0
b
b
b
b
(Kapalılık özelliği)
(Değişme özelliği)
(Birleşme özelliği)
(Etkisiz eleman özelliği)
(Ters eleman özelliği)
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2 4
2.4
8
. =
=
∈Q
3 7
3.7
21
−
5 3
. =
9 10 ..............................................................................................................................
−
4 −2
.
=
7 5
.............................................................................................................................
−
12 10
.
=
5 3
................................................... ..........................................................................
Herhangi iki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayı mıdır? Belirtiniz.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2 3
2.3
6
. =
=
7 7
7.7 49
(− 45 ). 32 = .................................
(− 47 ).(− 218) = .................................
3 2
3.2
6
. =
=
7 7
7.7 49
( )
3
4
.−
= .................................
2
5
(− 218).(− 47 ) = .................................
 Rasyonel sayılar kümesinde iki rasyonel sayının çarpımında sayıların yerlerini değiştirdiğinizde sonuç değişir mi? Tartışınız.
167
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
40
=
( 23 . 43 ). 53 = 8.5
9.3 27
[(− 52 ). 34 ]. 47 = .................................
(
)
(− 52 ).( 34 . 47 ) = .................................
(6.4).2 = .............................................
6.(4.2) = .............................................
2 4 5
2 20 40
.
.
= .
=
3 3 3
3 9
27
Çizelgede aynı satırlarda bulunan sonuçları karşılaştırınız.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2
2 1
2.1
2
.1 = . =
=
3
3 1
3.1
3
(− 47 ).1 = .............................................
5
.1 = .............................................
9
2
1 2
1.2
2
= . =
=
3
1 3
1.3
3
1.
( 47 ) = .............................................
1. −
1.
5
= .............................................
9
1 rasyonel sayısı ile sıfır hariç diğer rasyonel sayıların çarpımına 1 in etkisini tartışınız.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2 3
2.3
6
. =
=
=1
3 2
3.2
6
( −34 ).( −43 ) = .......................................
( −43 ).( −43 ) = .......................................
1
= ................................................
5
1
.5 = ................................................
5
5.

3 2
3.2
6
.
=
=
=1
2 3
2.3
6
İki rasyonel sayının çarpımı 1 ise bu rasyonel sayılar için ne söylenebilir?
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
0.
2
0 2
0.2
0
= . =
=
=0
3
1 3
1.3
3
2
2 0
2.0
0
.0 = . =
=
=0
3
3 1
3.1
3
( −57 ) = .............................................
( −57 ). 0 = ............................................
0.2 = ...................................................
2.0 = ...................................................
0.
0 rasyonel sayısı ile herhangi bir rasyonel sayının çarpımı hangi rasyonel sayıyı vermektedir?
  Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin kapalılık, değişme, birleşme, etkisiz (birim)
eleman, ters eleman ve yutan eleman özelliklerinin varlığını tartışınız.
168
2
4
x−
= 0 denklemini sağlayan x rasyonel sayısını bulalım.
3
15
2
4
4
x−
= 0 olduğundan eşitliğin her iki tarafına
ekleyelim.
3
15
15
2
4
4
4
x−
+
=0+
3
15 15
15
⇒
2
4
3
x =
olur. Bu eşitliğin her iki tarafını
ile çarpalım.
3
15
2
3 2
3 4
. x= .
2 3
2 15
x=
a c e
, ,
∈ Q için,
b d f
a c
.
∈
Q
b d
a c
c a
.
=
.
b d
d b
a c
c e
e
a
.
.
=
.
.
b d
d f
f
b
a
a
a
.1 = 1 .
=
b
b
b
b a
a
b
.
=
. =1
a b
b
a
a
a
.0 = 0 .
=0
b
b
2
bulunur.
5
∀
(
)
(
)
(
( ) ( )
(Kapalılık özelliği)
(Değişme özelliği)
)
(Birleşme özelliği)
(Etkisiz eleman özelliği)
(Ters eleman özelliği)
(Yutan eleman özelliği)
5x + 24
kesrini tam sayı yapan x doğal sayılarının kaç tane olduğunu bulalım.
x
5x + 24
5x
24
24
=
+
=5+
dır. x doğal sayıları, 24 sayısını bölen pozitif tam sayılardır.
x
x
x
x
Bu tam sayıların kümesi A olsun. O hâlde, A = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } tür. s(A) = 8 dir. Ayrıca,
24
12
6
3
1
2
2
2
3
3
1
24 = 2 .3
⇒ (3 + 1).(1 + 1) = 4.2 = 8 den s(A) = 8 dir.
169
1)
36
kesrini doğal sayı yapan x tam sayılarının sayısını bulunuz.
x+2
2)
5
kesrinin rasyonel sayı olabilmesi için x hakkında ne söyleyebilirsiniz?
x−3
3
3)
2−
6
x−1
kesrini tanımsız yapan x değerlerini bulunuz.
RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
na =
24
24
24
,b=
ve c =
kesirlerinin hangi rasyonel sayılara karşılık geldiğini söyleyiniz.
12
6
8
 Bu rasyonel sayıları sayı doğrusu üzerinde işaretleyiniz ve küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
 Bu kesirlerin pay ve paydalarını inceleyiniz.
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayıların sıralaması için paydaları göz önüne alarak bir
kural oluşturunuz.
na=
18
6
9
,b=
ve c =
kesirlerinin hangi rasyonel sayılara karşılık geldiğini söyleyiniz.
3
3
3
 Bu rasyonel sayıları sayı doğrusu üzerinde işaretleyiniz ve küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
 Bu kesirlerin pay ve paydalarını inceleyiniz.
 Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayıların sıralaması için payları göz önüne alarak bir
kural oluşturunuz.
x=
4
8
12
,y=
ve z =
rasyonel sayılarına karşılık gelen noktaları sayı doğrusunda gös3
7
11
terelim ve bu rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Verilen sayıların paylarını eşitleyecek biçimde genişletme yapalım.
4
8
12
x=
y=
z=
3
7
11
(6)
x=
24
18
sunda işaretleyelim.
170
(3)
y=
24
21
(2)
z=
24
22
olur. Bu kesirlere karşılık gelen noktaları sayı doğru-
24
22
24
21
24
18
O hâlde,
1
24 24 24
<
<
olduğundan z < y < x dir.
22 21 18
2
Payları eşit olan rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyüktür.
a=
5
7
11
,b=
ve c =
rasyonel sayılarına karşılık gelen noktaları sayı doğrusunda gös6
9
12
terelim ve bu rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Verilen sayıların paydalarını eşitleyecek biçimde genişletme yapalım.
5
7
11
a=
b=
c=
6
9
12
(6)
a=
30
36
(4)
b=
(3)
28
36
c=
33
36
olur. Bu kesirlere karşılık gelen noktaları sayı doğru-
sunda işaretleyelim.
28
36
30
36
33
36
O hâlde,
0
1
28 30 33
<
<
olduğundan b < a < c dir.
36 36 36
Paydaları eşit pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür.
1)
x=
1
1
1
,y=
ve z =
ise x, y, z rasyonel say›lar›n› s›ralay›n›z.
4
2
3
2)
a=
7
7
7
,b=
ve c =
ise a, b, c rasyonel say›lar›n› s›ralay›n›z.
3
4
5
3)
x=
5
7
3
,y=
ve z =
ise x, y, z rasyonel say›lar›n› s›ralay›n›z.
8
8
8
171
4)
a=
11
10
13
7
,b=
,c=
ve d =
ise a, b, c, d rasyonel say›lar›n› s›ralay›n›z.
3
3
3
3
5)
a=
6
9
3
,b=
ve c =
ise a, b, c rasyonel say›lar›n› s›ralay›n›z.
11
16
10
6)
x=
27
51
73
,y=
ve z =
ise x, y, z rasyonel say›lar›n› s›ralay›n›z.
4
8
12
−
36 −36
36
,
ve
kesirlerinin hepsinin de −9 olduğu görülmektedir. O hâlde negatif rasyonel
4
4
−4
say›larda (−) işareti, kesrin önüne, pay›na ya da paydas›na taş›nabilir.
na = − 12, b = −12 , c =
3
6
12
kesirlerinin hangi rasyonel say›lara karş›l›k geldiğini söyleyiniz.
−4
Bu rasyonel say›lar› say› doğrusu üzerinde işaretleyiniz ve küçükten büyüğe doğru s›ralay›n›z.
Kesirlerin (−) işaretlerini paydalara taş›y›n›z ve kesirlerin pay ve paydalar›n› inceleyiniz.
Paylar› eşit olan negatif rasyonel say›lar›n s›ralamas› için (−) işaretini paydaya taşıyıp
paydaları karşılaştırarak bir kural oluşturunuz.
na = − 36, b =
3
−27
24
,c=
kesirlerinin hangi rasyonel say›lara karş›l›k geldiğini söyleyiniz.
−3
3
Bu rasyonel say›lar› say› doğrusu üzerinde işaretleyiniz ve küçükten büyüğe doğru s›ralay›n›z.
Kesirlerin (−) işaretlerini paydalara taş›y›n›z ve kesirlerin pay ve paydalar›n› inceleyiniz.
Paydalar› eşit olan negatif rasyonel say›lar›n s›ralamas› için (−) işaretini paya taşıyıp payları ka
kkarşılaştırarak bir kural oluşturunuz.
x=−
−9
3
6
,y=
ve z =
rasyonel sayılarına karşılık gelen noktaları sayı doğrusunda
−5
2
8
gösterelim ve bu rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Verilen sayılarda (−) işaretini paydaya taşıyıp paylar eşit olacak biçimde genişletme yapalım.
x=
3
−2
y=
(6)
x=
18
− 12
sunda işaretleyelim.
172
6
−5
z=
(3)
y=
18
− 15
9
−8
(2)
z=
18
olur. Bu kesirlere karşılık gelen noktaları sayı doğru− 16
18
− 12
18
− 15
18
− 16
O hâlde,
−2
a=−
−1
18
18
18
<
<
olduğundan x < y < z dir.
− 12 − 15 − 16
11
2
3
,b=−
ve c =
rasyonel sayılarına karşılık gelen noktaları sayı doğrusunda
12
3
−4
gösterelim ve bu rasyonel sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Verilen sayılarda (−) işaretini paya taşıyıp paydalar eşit olacak biçimde genişletme yapalım.
a = − 11
12
b = −2
3
(1)
a = − 11
12
c = −3
4
(4)
b=
(3)
−8
12
c=
−9
olur. Bu kesirlere karşılık gelen noktaları sayı doğru12
sunda işaretleyelim.
−9
− 11 12
12
−8
12
0
−1
−9 −8
O hâlde, − 11 <
<
olduğundan a < c < b dir.
12 12
12
Payları eşit negatif rasyonel sayılar sıralanırken (−) işareti paydaya taşınır. Paydalar
karşılaştırılır ve paydası küçük olan daha büyüktür, denir.
Paydaları eşit negatif rasyonel sayılar sıralanırken (−) işareti paya taşınır. Paylar
karşılaştırılır ve payı büyük olan daha büyüktür, denir.
−1
1
1
,y=− ,z=
ise x, y, z rasyonel say›lar›n› küçükten büyüğe doğru s›ralay›n›z.
−2
4
3
1)
x=
2)
a=−
−7
7
7
,b=
,c=
ise a, b, c rasyonel say›lar›n› küçükten büyüğe doğru s›ralay›n›z.
−5
3
4
3)
x=−
−9
5
8
,y=
,z=
ise x, y, z rasyonel say›lar›n› küçükten büyüğe doğru s›ralay›n›z.
− 11
11
11
4)
a = −
− 13
16
14
, b =
, c =
ise a, b, c rasyonel say›lar›n› küçükten büyüğe doğru
−9
9
9
s›ralay›n›z.
173
5)
x = −
5
10
15
, y = −
, z =
ise x, y, z rasyonel say›lar›n› küçükten büyüğe doğru
− 22
7
13
s›ralay›n›z.
6)
a = −
− 14
14
5
, b =
, c =
ise a, b, c rasyonel say›lar›n› küçükten büyüğe doğru
−8
12
4
s›ralay›n›z.
0
1
 Yukarıdaki sayı doğrusunda belirtilen 0 ile 1 rasyonel sayılarını toplayıp 2 ile bölünüz.
Bulduğunuz rasyonel sayıyı sayı doğrusunda işaretleyiniz.
Bu kez sıfır ile işaretleyiniz, sayıyı toplayarak 2 ile bölünüz ve elde ettiğiniz yeni rasyonel
sayıyı sayı doğrusunda işaretleyiniz.
 İşleme bu şekilde devam ederek 0 ile 1 rasyonel sayıları arasında kaç rasyonel sayı olduğunu tartışınız.
a)
1
2
<x<
koşuluna uyan x rasyonel sayısını,
7
7
b)
3
4
<x<y<
koşuluna uyan x ve y rasyonel sayılarını,
7
7
c)
2
3
<a<b<c<
koşuluna uyan a, b ve c rasyonel sayılarını bulalım.
7
7
a)
1
2
ile
rasyonel sayılarını toplayıp 2 ile bölelim.
7
7
x=
b)
1
2
+
7
7
2
c)
174
2
1
=
3 1
3
. =
7 2
14
⇒ x=
3
olur.
14
3
4
ile
rasyonel sayılarını 3 ile genişletelim.
7
7
3
4
<
7
7
(3)
=
3
7
⇒
9
12
<
21
21
⇒
9
10
11
12
<
<
<
21
21
21
21
(3)
2
3
ile
rasyonel sayılarını 4 ile genişletelim.
7
7
⇒ x=
10
11
ve y =
olur.
21
21
2
3
8
12
8
9
10
11
12
9
10
11
<
⇒
<
⇒
<
<
<
<
⇒ a=
,b=
,c=
olur.
7
7
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
(4)
(4)
Birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı bulunur. Bu durum
bize rasyonel sayılar kümesinin yoğun olduğunu gösterir.
1)
1
2
<a<b<c<
koşuluna uyan a, b ve c rasyonel say›lar› yaz›n›z.
7
7
2)
2
1
ile
aras›nda dört tane rasyonel say› bulunuz.
9
2
3)
2
x
7
<
<
koşulunu sağlayan kaç tane x doğal say›s› vard›r?
7
6
9
 13 , 8 ve 1301 rasyonel sayılarının paylarını paydalarına bölünüz.
9
5
990
Her bir bölme işlemindeki bölümleri inceleyiniz.
Bölümlerde sürekli tekrarlanan sayıları belirtiniz.
 Bir rasyonel sayının payı, paydasına bölündüğünde elde edilen sayı ile rasyonel sayıyı
ilişkilendiriniz.
73
58
ve
rasyonel sayılarının paylarını paydalarına bölelim. Bölümleri inceleyelim.
30
11
73
30
60 2,433...
130
120
0100
90
010
..
.
73
= 2,43
30
58
11
55 5,27...
030
22
080
77
03
..
.
58
= 5,27
11
Her bir rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır.
175
x = 2,23 devirli ondalık sayısında virgülü, devreden sayının sağına ve soluna gelecek şekilde
genişletmeler yapalım ve çıkarma işleminden faydalanarak x i rasyonel sayı olarak yazalım.
x = 2,23
⇒
100x = 223,3
− 10x = 22,3
201
90x = 201
⇒ x=
90
y = 5,74 devirli ondalık sayısını rasyonel sayı olarak yazalım.
y = 5,74
⇒
100y = 574,74
5,74
− 1y =
569
99y = 569
⇒ y = 99
m = 52,75
52,75
753
devirli
devi
virl
vi
rlii onda
on
ondalık
nda
dalılılıkk sa
sayı
sayısını
yısı
yı
sını
nı rrasyonel
asyo
as
yone
yo
nell sa
sayı
y o
yı
olarak
lara
la
rakk yya
yazalım.
aza
zalılım.
m
3 de
= ,
m = 52,753
⇒
1000m = 52753,3
− 100m = 5275,3
47478
900m = 47478
⇒ m = 900
Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayıdır.
1)
Aşağıdaki rasyonel sayılara karşılık gelen devirli ondalık sayıları bulunuz.
a) 8
b) 79
c) 23
45
50
3
2)
Aşağıdaki devirli ondalık sayılara karşılık gelen rasyonel sayıları bulunuz.
3)
a) x = 2,715
b) y = 42,73
c) z = 41,5
ç) m = 1,234
d) n = 0,478
e) r = 3,875
m ve n devirli ondalık sayılar olmak üzere m = 1,23 ve n = 24,6 ise
bulunuz.
176
1
1
+
toplamını
m
n
GERÇEK SAYILAR
A
•3
• −1
• 0,5
2
5
•
•4
• 2,72
• 25 • 4
•
−2
5
• 13
• 23
• −2 • 5
B
• 2 • −11 • −3
• −7
• 29
A kümesindeki elemanlar› aşağ›daki Venn şemas›nda uygun yerlere yaz›n›z.
Q
Z
N
A kümesinin elemanlar›n›n her birinin rasyonel say› olup olmadığını tartışınız.
 B kümesinin elemanlar› yanda verilen Venn şemas›ndaki herhangi bir küme içine yazılabilir mi? Tartışınız.
 B kümesinin elemanlar›nın a, b ∈ Z, b ≠ 0 olmak
a
üzere
biçiminde ifade edilip edilemeyeceğini belirtiniz.
b
2 say›s›n›n rasyonel say› olmad›ğ›n› çelişki metodu kullanarak gösterelim.
Hipotez: a, b ve k ∈ Z ve OBEB(a, b) = 1 olmak üzere 2 =
+
2 =
a
olsun.
b
a
eşitliğinden
b
a = 2.b
2
2
a = 2b dir. Dolayısıyla a çift tam sayı olur. O hâlde a = 2k biçiminde yazabiliriz.
2
2
2
2
(2k) = 2b ⇒ b = 2k dir. Bu durumda b de çift tam sayıdır. a ile b çift tam say› olduğunda
a ve b nin OBEB’i 1 olamaz. Bu durum hipotez ile çelişmektedir.
O hâlde 2 rasyonel say› değildir.
2, 3 ve
1 5
,
say›larının ondalık açılımlarını hesap makinesi kullanarak bulalım.
3 6
2 = 1,4142136...
3 = 1,7320508...
1
= 0,333...
3
5
= 0,83333...
6
177
2 ve 3 ve say›larının ondalık açılımları sınırsız ve devirsizdir.
1 5
,
say›larının ondalık açılımları ise devirlidir.
3 6
›
Rasyonel olmayan say›lara irrasyonel (rasyonel olmayan) say›lar denilmekte ve Q ile
gösterilmektedir. Buna göre say› doğrusunda rasyonel olmayan say›lar da bulunmaktad›r.
Rasyonel say›lar kümesi ile irrasyonel say›lar kümesinin birleşimi, gerçek (reel) say›lar
kümesini oluşturur. Böylece say› doğrusu üzerindeki her noktaya bir gerçek say›, her gerçek say›ya da say› doğrusunda bir nokta karş›l›k gelir, diyebiliriz. Bu durum gerçek say›lar
kümesinin elemanlar› ile say› doğrusunun noktalar› aras›nda bire bir ve örten bir eşleme
olduğunu gösterir.
Bir sayının irrasyonel olduğuna ondalık açılımına bakarak karar verilir.
2 ve 3 sayılarının eşlendiği noktaları sayı doğrusunda gösterelim.
o
Dik kenar uzunlukları 1 birim olan AOB dik üçgeninin m(B) = 90 olsun. Bu dik üçgenin O ve
B köşeleri aşağıda görüldüğü gibi 0 ile 1 sayıları ile eşlensin.
br
A
2
1 br
O
0
1 br
1
B 2
2
br
A
2
3
C
1 br
Pisagor bağıntısından |AO|= 2 br
dir. Pergel |AO| = 2 br kadar açılır.
Sivri ucu O noktasına konarak sayı
doğrusunu kesecek biçimde bir yay
çizilir. Yayın sayı doğrusunu kestiği
nokta 2 nin eşlendiği nokta olur.
Şimdi de |DC| = 1 br, |DO| = 2 br ve
[OD] ⊥ [DC] olacak biçimde yandaki
1 br
gibi COD çizelim.
O
COD nde Pisagor bağıntısından
|OC| = 3 br dir. Pergel, |OC| = 3 br
kadar açılır. Sivri ucu O noktasına
konarak sayı doğrusunu kesecek biçimde bir yay çizilir. Yayın sayı doğrusunu kestiği nokta 3’ün
eşlendiği nokta olur.
0
178
1 br
B
D
1 2 3 2
3
GERÇEK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMLERİNİN
ÖZELLİKLERİ
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
3 ∈ R,
2 ∈ R, 3 ∈ R ve 2 + 3 = 5,
5∈R
3
∈ R, 43 ∈ R
7
7
...................................
33 + 2
2
2
∈ R ve 3 +
=
,
3
3
3
33 + 2
∈R
3
∈ R, 53 ∈ R
7
...................................
3
−2
Gerçek say›lar kümesinden herhangi iki gerçek say›y› toplad›ğ›n›zda sonuç hangi kümeye aittir?
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2 + 5 = 5 + 2
1
+ (−5) = (−5) + .....
2
3 + ..... = 7 + 3
Gerçek say›lar kümesinde iki gerçek say›nın toplamında sayıların yerlerini değiştirdiğinizde
sonuç değişir mi?
Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
5 + (3 + 2) = (5 + 3) + 2
[
2 + (−3) +

]
1
= 2 + (−3) + .....
2
[
]
(
7 + ..... +
)
4
4
= (..... + 3) +
7
7
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
7 + 0 = 7
1
1
+ ..... =
2
2
0 + 7 = 7
..... +
1
1
=
2
2
..... + (−5) = (−5)
(−5) + ..... = (−5)
( )
..... + −
−

2 + (..... + 5) = (2 + 7) + .....
( )
4
4
+ ..... = −
3
3
( ) ( )
4
4
= −
3
3
0 gerçek sayısı ile diğer gerçek sayıların toplamına 0 ın etkisini tartışınız.
179


nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
3 + (−3) = 0
(−3) + 3 = 0
2
+ ..... = 0
7
..... +
2
=0
7
..... + 3 = 3
3 + ..... = 3
..... + (−5) = 0
(−5) + ..... = 0
İki gerçek sayının toplamı 0 ise bu gerçek sayılar için ne söylenebilir?
3x − 3 = 2x + 23 denklemini çözelim.
Eşitliğin her iki tarafına 3 − 2x ekleyelim.
3x − 3 + 3 − 2x = 2x + 23 + 3 − 2x
3x − 2x − 3 + 3 = 2x − 2x + 23 + 3
3x − 2x + 0 = 0 + 23 + 3
x = 33 bulunur.
∀x, y, z ∈ R olmak üzere,
(x + y) ∈
R
(Kapalılık özelliği)
x+y=y+x
(Değişme özelliği)
(x + y) + z = x + (y + z)
(Birleşme özelliği)
x+0=0+x=x
(Etkisiz eleman özelliği)
x + (−x) = (−x) + x = 0
(Ters eleman özelliği)
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2 ∈ R, −3 ∈ R ve 2.(−3) = −6,
−6 ∈ R
3 ∈ R, 3 ∈ R, ..................................
.
2
∈ R ve 52 ∈ R,
5
2
.52 = .............................................
5
25
3
∈ R, ∈ R, ..................................
6
5
 Gerçek say›lar kümesinden herhangi iki gerçek say›y› çarptığ›n›zda sonuç hangi kümeye aittir?
180
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
( ) ( )
3
5
5
.−
= −
. .....
7
7
2
Gerçek say›lar kümesinde iki gerçek say›nın çarpımında sayıların yerlerini değiştirdiğinizde
sonuç değişir mi?
2.5 = 5.2
5.11 = ..... . 5
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
5.(3.7) = (5.3).7
[
] [
2.(..... .5) = (2.3). .....
]
5. (−7).2 = 2.(−7) . .....

(
7. ..... .
)
3
3
= (..... .4).
2
2
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
3.1 = 3
3
3
. ..... =
2
2
1.3 = 3
..... .
3
3
=
2
2
..... .(−2) = (−2)
(−2). ..... = (−2)
( )
..... . −
−
( )
5
5
. ..... = −
7
7
( ) ( )
5
5
= −
7
7

1 gerçek sayısı ile diğer gerçek sayıların çarpımına 1 in etkisini tartışınız.

nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2 3
. =1
3 2
( )
−3
. ..... =
5
3 2
. =1
2 3
..... .
( )
−3
=1
5
..... .2 = 1
2. ..... = 1
..... .(−3) = 1
(−3). ..... = 1

İki gerçek sayının çarpımı 1 ise bu gerçek sayılar için ne söylenebilir?

nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
5
.0 = 0
7
5
=0
7
( )
..... .
(−3). ..... = 0
..... .(−3) = 0
−2
. ..... = 0
5

0.
( )
−2
=0
5
0 gerçek sayısı ile diğer gerçek sayıların çarpımına 0 ın etkisini tartışınız.
181
22x + 2 = 2x + 72 denklemini çözelim.
Eşitliğin her iki tarafına −2x − 2 ekleyelim.
22x + 2 − 2x − 2 = 2x + 72 − 2x − 2
22x − 2x + 2 − 2 = 2x − 2x + 72 − 2
2x + 0 = 0 + 62
2x = 62 olur. Her iki tarafı
1
2
.2x =
1
2
1
2
ile çarpalım.
.62
x = 6 bulunur.
∀x, y, z ∈ R olmak üzere,
(x.y) ∈
x.y
R
=
(x.y).z
(Kapalılık özelliği)
y.x
=
(Değişme özelliği)
x.(y.z)
(Birleşme özelliği)
x.1 = 1.x = x
1
1
x. = .x = 1 (x≠0)
x
x
(Etkisiz eleman özelliği)
x.0 = 0.x = 0
(Yutan eleman özelliği)
(Ters
eman el
liği)özel
GERÇEK SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ
nAşağ›daki çizelgede verilen eşitsizliğin her iki taraf›ndaki noktal› yerlere ayn› say›lar› eklediğinizde elde edilen eşitsizliklerin doğruluğu hakk›nda ne söyleyebilirsiniz?
2+5<3+5
2<3
2 + 7 < 3 + 7
2 + ..... < 3 + .....
2 + ..... < 3 + .....
Bir eşitsizliğin her iki taraf›na aynı gerçek say› eklenirse eşitsizliğin yönü için ne söyleyebilirsiniz?
182
nAşağ›daki çizelgelerde verilen noktal› yerlere
4<9
“<” veya “>” sembolünü yaz›n›z.
4<9
2
2.4 .... 2.9
−2
(−2).4 > (−2).9
3
3.4 < 3.9
−3
(−3).4 .... (−3).9
1
2
1
1
.4 ....
.9
2
2
−
1
2
5
2
5
5
.4 ....
.9
2
2
−
5
2
3
3.4 .... 3.9
−3
(−3).4 .... (−3).9
5
5.4 .... 5.9
−5
(−5).4 .... (−5).9
( ) ( )
( ) ( )
−
1
1
.4 .... −
.9
2
2
−
5
5
.4 .... −
.9
2
2
 Bir eşitsizliğin her iki taraf› pozitif bir gerçek say› ile çarp›l›rsa eşitsizliğin yönü için ne
söyleyebilirsiniz?
 Bir eşitsizliğin her iki taraf› negatif bir gerçek say› ile çarp›l›rsa eşitsizliğin yönü için ne
söyleyebilirsiniz?
nDalton Kardeşler’in boylar›n› göz önüne alal›m. Joe’nun boyu
William’›n boyundan küçüktür. William’›n boyu Avarel’in boyundan küçüktür. Buna göre, Joe’nun boyu ile Avarel’in boyunu
karşılaştırınız.
n
Ece’nin yaş› Beril’in yaş›ndan küçüktür. Yiğit’in yaş› Pelin’in yaş›ndan küçüktür. Bu durumda, Ece ile Yiğit’in yaşlar› toplam›n›, Beril ile Pelin’in yaşlar› toplam› ile karş›laşt›rd›ğ›n›zda ne
söyleyebilirsiniz?
Küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanmış iki eşitsizliğin taraf tarafa toplamı için
ne söylenebilir?
nAşağ›daki çizelgede verilen çarpma işlemlerine göre noktal› yerlere “<” veya “>” sembolünü yaz›n›z.
2 < 3 ve 4 < 5 ⇒ 2.4 < 3.5
3
5
<
ve 8 < 12 ⇒
4
4
3
5
.8 ....
.12
4
4
2 < 3 ve 5 < 6 ⇒ 2.5 .... 3.6
5
5
<
ve 7 < 11 ⇒
2
3
5
5
.7 ....
.11
3
2
 Pozitif gerçek sayılar arasında küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanmış iki
eşitsizliğin taraf tarafa çarpımı için ne söylenebilir?
183
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
3<4 ⇒
3
4
<
1
1
(−5) < (−2) ⇒
3 < 5 ⇒
1
1
>
3
4
⇒
(−5)
1
<
(−2)
1
.... < .... ⇒
−7 < −11 ⇒
1
1
<
(−5) (−2)
⇒
.... > ....
.... < .... ⇒
.... > ....
Aynı işaretli gerçek sayılardan oluşan bir eşitsizlikteki her bir sayının payı ile paydasının
yeri değiştirildiğinde eşitsizliğin yönü için ne söylenebilir?
5x − 45 < 35x + 105 eşitsizliğini sağlayan en küçük x tam sayısını bulalım.
Eşitsizliğin her iki tarafına 45 − 35x ekleyelim.

5x − 45 + 45 − 35x < 35x + 105 + 45 − 35x

5x + 0 − 35x < 35x + 145 − 35x

 5x − 35x < 35x − 35x + 145

−25x < 0 + 145

−25x < 145 olur. Her iki tarafı −
(
(
−
1
25
)
(
.(−25x) > −
1
25
1
25
)
ile çarpalım.
)
.145
x > −7 dir.
Bu durumda en küçük x tam sayısı −6 olur.
∀a, b, c, d ∈ R için,
a<b⇒a+c<b+c
(a < b ∧ c > 0) ⇒
a.c < b.c
(a < b ∧ c < 0) ⇒
a.c > b.c
a<b ∧ b<c
⇒
(a < b ∧ c < d) ⇒
+
a<c
a+c<b+d
a, b, c, d ∈ R için (a < b ∧ c < d)
⇒ a.c < b.d
a ve b aynı işaretli iki gerçek sayı ve a < b ⇒
184
1
1
>
a
b
dir.
AÇIK, KAPALI VE YARI AÇIK ARALIKLAR
Aşağıda verilen ifadelere karşılık gelen noktaları sayı doğrusunda gösteriniz.





−2 ile 3 arasındaki gerçek sayılar.
−2 ve 3 dahil olmak üzere −2 ile 3 arasındaki gerçek sayılar.
−2 ve −2 den büyük, 3 den küçük gerçek sayılar.
−2 den büyük, 3 ve 3 ten küçük gerçek sayılar.
 Yukarıdaki sayı doğrusunda gösterdiğiniz noktalara karşılık gelen kümeleri ortak özellik
yöntemi ile yazınız.
a) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesini ve bu kümenin elemanlarının sayı doğrusunda eşlendiği noktaları,
b) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesine, 1 ile 4 de ilave edildiğinde oluşan kümeyi
ve bu kümenin elemanlarının sayı doğrusunda eşlendiği noktaları,
c) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesine, sadece 1 ilave edildiğinde oluşan kümeyi
ve bu kümenin elemanlarının sayı doğrusunda eşlendiği noktaları,
ç) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesine, sadece 4 ilave edildiğinde oluşan kümeyi
ve bu kümenin elemanlarının sayı doğrusunda eşlendiği noktaları belirtelim.
a) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesi,
A = { x : 1 < x < 4, x ∈ R } dir. A kümesinin elemanlarının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktalar,
−1
0
1
2
3
4
5
R
b) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesine 1 ve 4 de ilave edildiğinde,
A = { x : 1 ≤ x ≤ 4, x ∈ R } kümesi oluşur. A kümesinin elemanlarının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktalar,
−1
0
1
2
3
4
5
R
şeklinde gösterilir.
c) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesine sadece 1 ilave edildiğinde,
B = { x : 1 ≤ x < 4, x ∈ R } kümesi oluşur. B kümesinin elemanlarının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktalar,
−1
0
1
2
3
4
5
R
şeklinde gösterilir.
ç) 1 ile 4 arasında kalan gerçek sayıların kümesine sadece 4 ilave edildiğinde,
C = { x : 1 < x ≤ 4, x ∈ R } kümesi oluşur. C kümesinin elemanlarının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktalar,
185
−1
0
1
2
3
4
5
R
şeklinde gösterilir.
a, b ∈ R olmak üzere,
{ x | a < x < b, x ∈ R } kümesi a ve b den açık aralık denir ve (a, b) biçiminde gösterilir.
{ x | a ≤ x ≤ b, x ∈ R } kümesi a ve b den kapalı aralık denir ve [a, b] biçiminde gösterilir.
{ x | a < x ≤ b, x ∈ R } kümesi a dan açık, b den kapalı aralık denir ve (a, b] biçiminde
gösterilir.
{ x | a ≤ x < b, x ∈ R } kümesi a dan kapalı, b den açık aralık denir ve [a, b) biçiminde
gösterilir.
1)
Aşağıdaki çizelgede verilen boşlukları doldurunuz.
Aralığın
gösterimi
Aralığın
tipi
Aralığın küme olarak
ifadesi
Açık
{ x : −7 < x < −4, x ∈ R }
Aralığın sayı doğrusunda gösterimi
R
Kapalı
2)
[−3,1)
Yarı açık
(−2,3]
Yarı açık
{ x : −3 ≤ x < 1, x ∈ R }
Aşağ›daki çizelgede verilen aral›klar›n say› doğrusundaki gösterimlerini çizip noktal› yerleri doldurunuz.
A = (−6 , 4]
B = [1 , ∞)
186
2
−5
R
4
−6
A ∩ B = [1 , 4]
R
1
A ∪ B = ............
C = [−9 , 3)
C ∪ D = ............
D = (−5 , 5]
C ∩ D = ............
E = (−7 , 3]
E − F = ............
F = (−1 , 5)
F − E = ............
G = (−6 , 8]
G ∩ H = ............
H = [−7 , 5)
(G ∩ H) = ..........
I
“Bir sayının 2 katının 5 fazlası 3 ise bu sayı kaçtır?” sorusunun yanıtını doğal sayılar ve tam
sayılar kümelerinde bulalım.
Aranan sayıya x diyelim. Soruya karşılık gelen denklem;
2x + 5 = 3 olur. Buradan,
2x = −2
x = −1 dir.
Doğal sayılarda çözüm kümesi: ∅
Tam sayılarda çözüm kümesi: {−1} dir.
lım.
−4 x − 7 = 11 denkleminin çözüm kümesini tam sayılar ve rasyonel sayılar kümesinde bula-
− 4x − 7 = 11
− 4x = 18
18
x=
−4
x=−
9
2
Tam sayılar kümesinde çözüm kümesi: ∅
9
Rasyonel sayılar kümesinde: −
dir.
2
{ }
3x − 7 ≤ 2 eşitliğinin çözüm kümesini N, Z ve R de bulalım.
3x − 7
3x − 7 + 7
3x
1
.3x
3
≤2
≤2+7
≤9
1
≤ .9
3
N de ÇK = { 0, 1, 2, 3 }
Z de ÇK = { …, −2, −1, 0, 1, 2, 3 }
R de ÇK = (−∞ , 3] bul unur.
x ≤ 3 olur.
2x − 1 ≤ 4x + 3 < 3x + 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini N, Z ve R kümelerinde bulal›m.
187
Verilen eşitsizliği 2x − 1 ≤ 4x + 3 ve 4x + 3 < 3x + 7 şeklinde yazal›m.
Yukar›daki eşitsizliklerin çözümlerini ayr› ayr› bulalım.
2x − 1 ≤ 4x + 3
2x − 1 + 1 ≤ 4x + 3 + 1
2x ≤ 4x + 4
(−4x) + 2x ≤ (−4x) + 4x + 4
−2x ≤ 4
−2x
4
≥
−2
−2
4x + 3
4x + 3 + (−3)
4x
4x + (−3x)
x
< 3x + 7
< 3x + 7 + (−3)
< 3x + 4
< 3x + 4 + (−3x)
< 4 olur.
x ≥ −2 olur.
Yukar›daki eşitsizlikleri −2 ≤ x < 4 olarak ifade edebiliriz. Buna göre 2x − 1 ≤ 4x + 3 < 3x + 7
eşitsizliğinin,
N de, ÇK = { 0, 1, 2, 3 }
Z de, ÇK = { −2, −1, 0, 1, 2, 3 }
R de, ÇK = { x | −2 ≤ x < 4, x ∈ R } = [–2,4) olduğu bulunur.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
−5x −2 > 13 eşitsizliğinin çözüm kümesini N, Z ve R kümelerinde bulunuz.
3x + 7 ≤ 20 eşitsizliğinin çözüm kümesini N, Z ve R kümelerinde bulunuz.
3x − 7 < 5x + 1 ≤ 2x + 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini N, Z ve R kümelerinde bulunuz.
x − 11 ≤ 4x − 2 < 2x + 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini N, Z ve R kümelerinde bulunuz.
3x − 4 ≤ 8 eşitsizliğinin gerçek say›lardaki çözüm kümesini bulunuz ve say› doğrusunda
gösteriniz.
5 − 2x < 7 eşitsizliğinin gerçek say›lardaki çözüm kümesini bulunuz ve say› doğrusunda
gösteriniz.
– 13 ≤ 2x – 3 < 9
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3 – 2x ≤ 7
}
x, y ∈ R olmak üzere, −2 < y < 22 ve 3x − y + 7 = 0 dır. x hangi aralıkta değer alır?
3x − y + 7 = 0 denkleminden y değişkeninin x cinsinden ifadesini yazal›m:
y = 3x + 7
Yukar›daki y nin x cinsinden ifadesini −2 < y < 22 eşitsizliğinde y yerine yazalım.
−2 < 3x + 7 < 22
−2 −7 < 3x + 7 −7 < 22 −7
−9 < 3x < 15
1
1
1
.(−9) < .3x < .15
3
3
3
−3 < x < 5
188
x, (−3,5) nda değer alır.
x, y ∈ Z olmak üzere, 5 < x < 9 ve −3 < y < 2 ise 4x − 2y ifadesinin alabileceği,
a) En büyük tam sayı değerini,
b) En küçük tam sayı değerini bulalım.
a) Farkın en büyük olması için eksilenin en çok, çıkanın en az alınması gerekir. Buna göre,
x ∈ Z, 5 < x < 9 olduğundan en büyük x, 8;
y ∈ Z, −3 < y < 2 olduğundan en küçük y, −2 olmalıdır.
O hâlde 4x − 2y nin en büyük tam sayı değeri,
4x − 2y = 4.8 − 2.(−2)
= 32 + 4
= 36 bulunur.
b) Farkın en küçük olması için eksilenin en az, çıkanın en çok alınması gerekir. Buna göre,
x ∈ Z, 5 < x < 9 olduğundan en küçük x, 6;
y ∈ Z, −3 < y < 2 olduğundan en büyük y, 1 olmalıdır.
O hâlde, 4x − 2y nin en büyük tam sayı değeri,
4x − 2y = 4.6 − 2.1
= 24 − 2
= 22 bulunur.
x, y ∈ R olmak üzere, −2 < x < 5 ve −3 < y < 4 ise 2x − 3y ifadesinin alabileceği en büyük ve
en küçük tam sayı değerini bulalım.
x, y ∈ R olduğundan verilen aralıklarda x ve y nin en büyük ve en küçük değerlerini söyleyemeyiz.
Ancak,
−2 < x < 5 ⇒
2.(−2) < 2.x < 2.5
⇒
−4 < 2x < 10
−3 < y < 4
⇒
−4 < 2x < 10
−12 < −3y < 9
(−3).(−3) > (−3).y > (−3).4
⇒
⇒
−12 < −3y < 9
(−4) + (−12) < 2x − 3y < 10 + 9 ⇒
olur.
−16 < 2x − 3y < 19 dur.
O hâlde, 2x – 3y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri 18, en küçük tam sayı değeri
ise −15 olarak bulunur.
2
2
x, y ∈ R olmak üzere, −3 ≤ x ≤ −1 ve −5 ≤ y ≤ 4 ise x − y nin alabileceği tam sayı değerleri
hangi aralıktadır?
189
−3 ≤ x ≤ −1
−5 ≤ y ≤ 4
⇒
⇒
2
1≤x ≤9
−5 ≤ y ≤ 0
,
0≤y≤4
2
2
0 ≤ y ≤ 25
0 ≤ y ≤ 16 dır.
2
2
y en geniş [0 , 25] nda değer alır. 0 ≤ y ≤ 25 dir.
2
2
(−1).0 ≥ (−1).y ≥ (−1).25
−25 ≤ −y ≤ 0 dır.
2
1≤x ≤9
2
+ −25 ≤ −y ≤ 0
2
2
−24 ≤ x − y ≤ 9
⇒
2
2
x − y , [−24 , 9] ndaki tam sayı değerlerini alır.
1)
x, y ∈ Z olmak üzere,
−2 < x < 4 ve −2 < y < 7 ise 4x − 3y ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam say›
değerlerini bulunuz.
2)
x, y ∈ R olmak üzere,
−5 < x < 3 ve −3 < y < 4 ise 4x − 3y ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük tam say›
değerlerini bulunuz.
3)
x, y ∈ R olmak üzere,
2
2
−4 ≤ x ≤ 1 ve −5 ≤ y ≤ −2 olduğuna göre, x − y nin alabileceği tam say› değerlerini bulunuz.
4)
2x − 3y + 9 = 0 ve −4 < x < 5 olduğuna göre y kaç farkl› tam say› değeri al›r?
MUTLAK DEĞER
20 metre
20 metre
−20
0
20
Zeytin
Çınar
İncir
Ç›nar ağac›nda yuvas› bulunan iki serçe kuşundan biri zeytin ağac›na, diğeri incir ağac›na
yiyecek bulmak için uçmuştur.
 Bu kuşlar›n harekete başlad›ğ› ç›nar ağac›n› say› doğrusundaki s›f›ra (başlang›ç noktas›na) eşleyiniz.
‹ncir ağac›na konan kuşun bulunduğu nokta, say› doğrusundaki hangi say›ya eşlenir?
190
‹ncir ağac›na konan kuş, yuvaya kaç birim uzakl›ktad›r?
Zeytin ağac›na konan kuşun bulunduğu nokta, say› doğrusundaki hangi say›ya eşlenir?
Zeytin ağac›ndaki kuş, yuvaya kaç birim uzakl›ktad›r?
Sayı doğrusundaki her noktanın eşlendiği sayı ile bu noktanın başlangıç noktasına olan
uzaklığını ilişkilendiriniz.
A
B
C
D E
2 5 3
2
Yukarıdaki sayı doğrusunda A, B, C, D ve E noktaları eşlendiği sayılarla verilmiştir. Bu noktaların başlangıç noktasına uzaklığını bulalım.
−4
−3
−2
−1
0
1
Başlangıç noktası C alalım.
A noktasının C noktasına olan uzaklığı 4 birim,
B noktasının C noktasına olan uzaklığı 2 birim,
C noktasının C noktasına olan uzaklığı 0 birim,
D noktasının C noktasına olan uzaklığı 2 birim,
5
birimdir.
E noktasının C noktasına olan uzaklığı
2
Bir x gerçek sayısının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve | x | ile gösterilir.
∀x ∈ R için,
|x| =
x, x ≥ 0 ise
−x, x < 0 ise olur.
−7, 5, 3 − 3, −5 + 5 ve 3 − π sayılarının mutlak değerlerini bulalım.
−7 < 0
5 >0
3 − 3 > 0
−5 + 5 < 0
3−π <0
olduğundan | −7 | = − (−7) = 7,
olduğundan | 5 | = 5,
olduğundan | 3 − 3 | = 3 − 3,
olduğundan | −5 + 5 | = − (−5 + 5) = 5 − 5,
olduğundan | 3 − π | = − (3 − π) = π − 3
olur.
MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ
| x | = 5 ve | x | =
3
eşitliklerini sağlayan x gerçek sayılarını sayı doğrusunda işaretleyelim.
2
191
| x | = 5 ise x, başlangıç noktasına 5 birim uzaklıkta bulunan noktaların eşlendiği 5 veya −5
sayılarıdır. O hâlde, x = 5 veya x = −5 tir.
0
−5
|x| =
−
5
3
3
3
ise x, başlangıç noktasına
birim uzaklıkta bulunan noktaların eşlendiği
veya
2
2
2
3
3
3
sayılarıdır. O hâlde, x =
veya x = − dir.
2
2
2
−
3
2
3
2
0
+
a ∈ R ve x ∈ R için, | x | = a ise x = a veya x = −a olur.
3, −1 ve 0 sayılarının mutlak değerlerini bulalım ve sonuçların işaretlerini inceleyelim.
| 3 | = 3 ⇒ | 3 | > 0,
| −1 | = −(−1) = 1 ⇒ | −1 | > 0,
| 0 | = 0 ⇒ | 0 | = 0 dır.
∀x ∈ R için, | x | ≥ 0 olur.
5, −4 ve 3 sayılarını mutlak değerleri ve mutlak değerlerinin (−1) katı ile karşılaştıralım.
| 5 | = 5 ve (−1).| 5 | = −| 5 | = −5
⇒
−| 5 | ≤ 5 ≤ | 5 |
| −4 | = 4 ve (−1).| −4 | = −| −4 | = −4
⇒
−| −4 | ≤ −4 ≤ | −4 |
| 3 | = 3 ve (−1).| 3 | = −| 3 | = −3
⇒
−| 3 | ≤ 3 ≤ | 3 |
tür.
∀x ∈ R için, −| x | ≤ x ≤ | x | olur.
o
o
Erzurum’da bir yıl boyunca hava sıcaklığının −28 ile 28 arasında değiştiği gözlenmiştir.
C hava sıcaklığını göstermek üzere bu değişimi eşitsizlik olarak ifade edelim.
192
o
o
Erzurum’daki hava sıcaklığının değişimi, eşitsizlik olarak −28 ≤ C ≤ 28 olarak ifade edilir.
o
Buna göre, | C | ≤ 28 olur.
+
a ∈ R ve x ∈ R için, | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a olur.
| 5 − 2x | ≤ 7 olduğuna göre x in hangi gerçek sayı aralığında değer aldığını bulalım.
| 5 − 2x | ≤ 7
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
−7 ≤ 5 − 2x ≤ 7
−5 − 7 ≤ −5 + 5 − 2x ≤ −5 + 7
−12 ≤ −2x ≤ 2
−12 −2x
2
≥
≥
−2
−2
−2
6 ≥ x ≥ −1
−1 ≤ x ≤ 6
x, [−1, 6] nda değer alır.
Sıra
Öğrenci Adı
No
1 Nisan Koşar
Aldığı Not (M)
85
Sıra
Öğrenci Adı
No
7 Yiğit Karataş
Aldığı Not (M)
50
2
Kaya Yılmaz
95
8
Mustafa Dağ
35
3
Baran Fırat
60
9
Ece Tunç
86
4
Derin Ege
80
10
Pelin Arı
90
5
Berkant Bağ
95
11
Gamze Çakır
40
6
Gülcenaz Derviş
75
12
Beril Türksoy
85
Yukar›daki çizelgede 9-A s›n›f› öğrencilerinin Matematik dersi 1. yaz›l› s›nav› sonuçlar› verilmiştir. M say›s› s›nav notunu göstermek üzere çizelgede M nin değişim aral›ğ›n› eşitsizlik olarak
34 < M < 96 biçiminde gösteririz. Bu eşitsizliğe karş›l›k gelen mutlak değer eşitsizliğini bulal›m.
Verilen 34 < M < 96 eşitsizliğinin her bir tarafına r say›s› ekleyerek aşağıya yazal›m.
34 + r < M + r < 96 + r
(−1).(34 + r) = 96 + r eşitliğini sağlayan r say›s›, −34 − r = 96 + r ⇒ r = −65 olur.
r değerini 34 + r < M + r < 96 + r ifadesinde r gördüğümüz her yere yazalım.
34 − 65 < M − 65 < 96 − 65
−31 < M − 65 < 31 dir.
O hâlde, yukar›daki eşitsizliği mutlak değerli eşitsizlik olarak |M – 65| < 31 biçiminde yazarız.
193
Başlangıç noktasına olan uzaklığı 10 birim ve 10 birimden büyük olan noktaların eşlendiği
sayıları belirleyelim.
Başlangıç noktasına olan uzaklığı 10 birim olan noktaların eşlendiği sayılar 10 ve −10 dur.
Başlangıç noktasına olan uzaklığı 10 birimden büyük olan noktaların eşlendiği sayılar 10 dan
büyük veya −10 dan küçük olan sayılardır.
Bu durumu x ∈ R olmak üzere, | x | ≥ 10 ise x ≥ 10 veya x ≤ −10 olarak ifade ederiz.
0
−10
10
+
a ∈ R ve x ∈ R için, | x | ≥ a ⇔ ( x ≥ a ∨ x ≤ −a ) olur.
| 2x − 7 | ≥ 9 eşitsizliğinin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulalım.
| 2x − 7 | ≥ 9
⇒
2x − 7 ≥ 9
∨
2x − 7 ≤ −9
⇒
2x ≥ 16
∨
2x ≤ −2
⇒
x≥8
∨
x ≤ −1
olur.
Çözüm kümesi = (−∞, −1] ∪ [8, ∞) dır.
Başlangıç noktasına olan uzaklığı 3 ve 3 ten büyük, 7 ve 7 den küçük olan sayıların kümesini
sayı doğrusunda gösterelim ve bu durumu mutlak değer ile ifade edelim.
Verilen şarta uyan x sayıları, −7 ≤ x ≤ −3 ile 3 ≤ x ≤ 7 eşitsizliklerini sağlayan sayılardır. Bu
sayıların kümesi sayı doğrusunda,
−7
−3
0
3
7
biçiminde gösterilir. Bu kümelerdeki noktalara eşlenen sayılar için | x | ≥ 3 ve | x | ≤ 7 dir.
Bu durum, 3 ≤ | x | ≤ 7 olarak ifade edilir. O hâlde; 3 ≤ | x | ≤ 7 ⇔ (−7 ≤ x ≤ −3 ∨ 3 ≤ x ≤ 7) dir.
+
x ∈ R ve a, b ∈ R için, a ≤ | x | ≤ b ⇔ ( a ≤ x ≤ b ∨ −b ≤ x ≤ −a ) olur.
194
s
Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
1)
| 7 | = .....
a < 0 ise | a | = .....
| −3 | = −(−3) = 3
a > 4 ise | 4 − a | = ..........
| 2 − 3 | = 2 − 3
| 3 − 4 | = − (3 − 4) = 4 − 3
a > 4 ise | a − 4 | = ..........
a > b ise | b − a | = ..........
Aşağıdaki çizelgede x, y, a ∈ R olmak üzere verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2)
Eşitsizlik
Mutlak değerli ifadesi
Eşitsizlik
Mutlak değerli ifadesi
−40 ≤ x ≤ 40
| x | ≤ 40
−10 ≤ x ≤ 10
.............................
−20 ≤ y ≤ 20
| y | ≤ 20
−2 ≤ y ≤ 2
.............................
−15 ≤ a ≤ 15
.............................
0≤x≤0
.............................
+
Aşağıdaki çizelgede ∀a, b ∈ R , x ∈ R olmak üzere aşağıdaki çizelgede verilen noktalı
yerleri doldurunuz.
3)
−4
−6
−2
−3
−5 −4
0
2
0
4
3
0
6
4 5
∧
2≤x≤4
2 ≤ |x| ≤ 4
−6 < x < −3
∧
3<x<6
..................
.............................................
−8 < x < −5
................................................................
................................................................
4)
−4 ≤ x ≤ −2
∧
5<x<8
.............................................
4 ≤ |x| ≤ 5
..................
a ≤ |x| ≤ b
Aşağıdaki eşitsizliklerin gerçek sayılardaki çözüm kümelerini bulunuz.
a) |2x − 5| > 11
b) |3x − 7| ≤ 17
c) −4 < |x − 1| < 5
ç) 3 ≤ |2x + 1| ≤ 9
d) |3x + 2| ≥ 20
e) |4x − 3| < 19
x
5
4 −5 −2
y
3 −7 9 −8
x
y
5
3
4
−7
−5
9
−2
−8
Yandaki çizelgenin aynı sütununda verilen x ve y gerçek sayıları için,
|| x | − | y ||, | x + y |,
|| x | − | y | |
|| 5 | − | 3 | | = 2
|| 4 | − | −7 || = 3
|| −5 | − | 9 || = 4
|| −2 | − | −8 || = 6
∀x, y ∈ R için, || x | − | y ||
| x | + | y | değerlerini hesaplayarak karşılaştıralım.
|x + y|
|x| +|y|
|5 + 3| = 8
|5| +|3| = 8
| 4 + (−7) | = 3
| 4 | + | −7 | = 11
| (−5) + 9 | = 4
| −5 | + | 9 | = 14
| (−2) + (−8) | = 10
| −2 | + | −8 | = 10
≤ |x+y| ≤ |x| +|y|
dir.
195
x
y
Yandaki çizelgenin aynı satırında verilen x ve y gerçek sayıları için,
4
2
a) | x.y | ile | x |. | y | değerlerini,
−6
3
1
−4
−2
−1
2
x
y
| x.y |
4
2 | 4.2 | = 8
b)
x
y
| |
ile
|x|
|y|
değerlerini,
2
2
3
3
c) | x | ile | x | ve | x | ile | x | değerlerini hesaplayarak karşılaştıralım.
| 4 |.| 2 | = 8
−6
3 | (−6).3 | = 18 | −6 |.| 3 | = 18
1
−4 | 1.(−4) | = 4
| 1 |.| −4 | = 4
| ( )|
|x|
x
y
| x |. | y |
| |
−2 −1 (−2). −1 =1 | −2 |. −1 =1
2
2
2
| |
| |
4
=2
2
|4|
−6
=2
3
| −6 |
| |
| |
| x2 |
|x|
| 42 | = 16
| 4 |2 = 16
|y|
|2|
=2
|3|
| x3 |
|x|
| 12 | = 1
| −2 |
−2
=4
=4
1
−1
|(−2)2| = 4
2
2
| |
+
∀x, y ∈ R, n ∈ Z için, | x.y | = | x |. | y |,
| 43 | = 64
| 4 |3 = 64
|x|
x
=
,
y
|y|
| |
| 1 |2 = 1
| 13 | = 1
| 1 |3 = 1
|(−2)|2 = 4
|(−2)3| = 8
|(−2)|3 = 8
| xn | = | x |n dir.
|| x + 4 | − 1| = 2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
| x | = a için x = a ∨ x = −a idi. Buna göre;
|x + 4| − 1 = 2
∨
| x + 4 | − 1 = −2
|x + 4| = 3
∨
| x + 4 | = −1
x + 4 ≥ 0 ise
∨
x + 4 < 0 ise
x+4=3
∨
x + 4 = −3
x=−1
∨
x=−7
Ç1 = { −1, −7 }
Çözüm kümesi, Ç1 ∪ Ç2 = { −1, −7 } bulunur.
196
3
= 2 |(−6)2| = 36 |(−6)|2 = 36 |(−6)3| = 216 |(−6)|3 = 216
1
1 |1 | 1
=
=
−4 4 | −4 | 4
| |
2
f(x) < 0 olamaz.
Ç2 = ∅
dir.
| 3x − 2 | ≤ | 3x + 5 | eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
+
n
n
2
2
2
n ∈ Z için | x | = | x | özelliğinden n = 2 için, | x | = | x | = x diyebiliriz. O hâlde,
2
2
2
2
| 3x − 2 | ≤ | 3x + 5 |
(3x − 2) ≤ (3x + 5)
2
2
9x −12x + 4 ≤ 9x + 30x + 25
−12x + 4 ≤ 30x + 25
−42x ≤ 21
−1
x≥
2
Ç.K =
[
)
−1
, ∞ bulunur.
2
−2 < x < 5 olmak üzere, | x + 2 | + | x − 5 | ifadesinin eşitini bulalım.
−2 < x < 5
−2 + 2 < x + 2 < 5 + 2
0<x+2<7
⇒
−2 < x < 5
−2 − 5 < x − 5 < 5 − 5
−7 < x − 5 < 0
⇒
| x + 2 | = x + 2 dir.
| x + 2 | + | x − 5 | = x + 2 – x + 5 = 7 dir.
| x − 5 | = −x + 5 dir.
| x + 4 | ≤ 5 ve 2x − y + 7 = 0 ise y nin alabileceği tam sayı değerleri toplamını bulalım.
|x+4|≤5 ⇒
−5 ≤ x + 4 ≤ 5
ve
−5 − 4 ≤ x + 4 − 4 ≤ 5 − 4
−9 ≤ x ≤ 1
2x − y + 7 = 0
2x = y − 7
−18 ≤ y − 7 ≤ 2
−18 + 7 ≤ y − 7 + 7 ≤ 2 + 7
−11 ≤ y ≤ 9
2.(−9) ≤ 2x ≤ 2.1
−18 ≤ 2x ≤ 2
O hâlde y nin alabileceği tam sayı değerler toplamı:
(−11) + (−10) + (−9) + (−8) + ... + (−1) + 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 9 = −21 olur.
197
|
1
< 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
2−x
|
1
≥
2−x
|
se
0
1
1
=
2−x
2−x
|
1
2−x
1
<0
2−x
i
<
3
x<
1
<3
2−x
2−x > 1
3
−1
1
−2
3
−x > −
|
−
2−x > 1
3
1
−x >
1
1
=−
2−x
2−x
|
∨
−2+x>
5
3
5
3
(
Çözüm kümesi: −∞,
) ( )
1
3
x
1
+ 2>
3
x
7
3
>
[ ]
7
5 7
5
∪
,∞ = R −
,
3
3 3
3
| 4 − 2x | + | 3x − 6 | = 20 denklemini çözelim.
| x | = | −x | olduğundan,
| 4 − 2x | = | 2.(2 − x) | = | 2 |.| 2 − x | = 2.| 2 − x | = 2.| x − 2 | dir.
| 3x − 6 | = | 3.(x − 2) | = | 3 |.| x − 2 | = 3.| x − 2 | dir. O hâlde,
2.| x − 2 | + 3.| x − 2 | = 20
5.| x − 2 | = 20
|x − 2| = 4
x − 2 ≥ 0 ise
x−2=4
x=6
−2 < 0 ise
x − 2 = −4
x = −2
Çözüm kümesi, {6, −2} olur.
| x − 3 | + 3x − 5 = 0 denklemini çözelim.
198
x − 3 ≥ 0 ise (x ≥ 3)
|x − 3| = x − 3
x − 3 + 3x − 5 = 0
4x = 8
x=2
2 ≥ 3 olamaz
Ç1 = ∅
x − 3 < 0 ise (x < 3)
|x − 3|=3 − x
−x + 3 + 3 x − 5 = 0
2x = 2
x= 1
1 < 3 tür.
Ç2 = {1}
Çözüm kümesi, {1} olur.
1)
|5 −
2)
−16 < x < 38 ifadesini mutlak değer eşitliği olarak yaz›n›z.
3)
|| 2x + 1 | − 6 | + 3x = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
4)
3 < x < 7 ise | x − 8 | + | x − 2 | ifadesinin değerini bulunuz.
5)
| x − 3 | < 5 ve 4x − 5y − 2 = 0 olduğuna göre y nin en küçük tam say› değeri kaçt›r?
72
kesrinin en büyük değeri kaçt›r?
|x − 2| + |4 − x| + |x − 6|
6)
| x + 1 || = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
| x − 7 | = 2007 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplam› kaçt›r?
5
≥ 1 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam say›s› vard›r?
|x − 3|
7)
8)
Sayı doğrusunda iki A ve B sayısı alalım. A ve B arasındaki uzaklığın ⎪A⎪ ve ⎪B⎪
arasındaki uzaklığa eşitliği her zaman doğru mudur? Açıklayınız.
9)
ÜSLÜ İFADELER
1. Çizelge
2. Çizelge
=
5
2 = 2.2.2.2.2 = 32
.......
5
6
(−2) = (−2).(−2).(−2).(−2).(−2) = −32 (−2) = .......
2
3
3 = .......
4
3 = .......
3
(−3) = .......
2
1
5 = .......
⎛5⎞
⎜ ⎟ =
⎝7⎠
.......
1
(−5) = .......
⎛ 3⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 7⎠
.......
4
⎛ 5⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 4⎠
.......
3
7
2 = .......
8
2 = .......
⎛ 2⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 3⎠
.......
6
(−4) = .......
Pozitif gerçek sayıların pozitif tek veya pozitif çift tam sayı kuvvetlerinin işaretleri için ne
söylenebilir?
Negatif gerçek sayıların pozitif tek tam sayı kuvvetleri ile pozitif çift tam sayı kuvvetlerinin
işaretlerini karşılaştırınız.
199
2
3
(−6) ile (−6) nün işaretlerini inceleyelim.
2
3
(−6) = (−6).(−6) = 36
(−6) = (−6).(−6).(−6) = 36.(−6) = −216
Negatif gerçek sayıların pozitif tek tam sayı kuvvetlerinin sonucu negatif, pozitif çift
tam sayı kuvvetlerinin sonucu pozitiftir.
( )( )
4
3
2
3
2
5
1
1
.
3
3
4
(−2) .(−2) , 3 .3 ve
3
işlemlerinin sonuçlarını üslü olarak ifade edelim.
3+2
(−2) .(−2) = (−2) .(−2) .(−2) .(−2) .(−2) = (−2)
1442443 1424
3
3 tan e
5
= (−2)
2 tan e
5 4
5+4
9
3 .3 = 3.3.3.3.3
=3
1424
3 .3.3.3.3
12
4 4
3 =3
5 tan e
( )( )
4
3
1
1
.
3
3
=
4 tan e
( ) ( )
4+3
1
1 1 1 1 1 1 1
. . . . . . =
3
3
3
3
3
3
3
3
14243 123
4 tan e
=
1
3
7
3 tan e
+
a, b ∈ R ve m, n ∈ Z olmak üzere,
m n
a .a = a.a...a.
123
4 a.a...a.
123
4
m tan e
m
n tan e
m
n
m+n
a .a = a
n
a .a = a.a....a
12
4 4
3
dir.
m+n tan e
3
3
3
3
4
4
⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 25 ⎞
3 3
⎜ ⎟ .⎜ ⎟ ,⎜− ⎟ .⎜ ⎟ ve 2 .5 işlemlerinin sonuçlarını üslü biçimde ifade edelim.
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 16 ⎠
3
3
⎛2⎞ ⎛4⎞ 2 2 2 4 4 4 ⎛2 4⎞ ⎛2 4⎞ ⎛2 4⎞ ⎛2 4⎞ ⎛ 8 ⎞
⎜ ⎟ .⎜ ⎟ = . . . . . = ⎜ . ⎟.⎜ . ⎟.⎜ . ⎟ = ⎜ . ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 123
5454
3 3 3 12
5 ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 3 5 ⎠ ⎝ 15 ⎠
3
144424443
3 tan e
4
3 tan e
3 tan e
4
⎛ 8 ⎞ ⎛ 25 ⎞ (−8) (−8) (−8) (−8) 25 25 25 25 ⎛ −8 25 ⎞ ⎛ −8 25 ⎞ ⎛ −8 25 ⎞ ⎛ −8 25 ⎞
. . . . = ⎜ . ⎟ .⎜ . ⎟ .⎜ ⋅ ⎟ . ⎜ ⋅ ⎟
.
.
.
⎜ − ⎟ .⎜ ⎟ =
⎝ 5 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 15444
6 44
5 2444
5
53 1
6244
6 3
6 ⎝5 6 ⎠⎝5 6 ⎠⎝5 6 ⎠⎝5 6 ⎠
14444444244444443
4 tan e
4 tan e
4 tan e
4
4
4
⎛ −8 25 ⎞ ⎛ −1 5 ⎞ ⎛ −5 ⎞
= ⎜ . ⎟ =⎜ . ⎟ =⎜ ⎟
⎝ 5 16 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
3
3
3
3
2 .5 = 2.2.2
elde edilir.
{ .5.5.5
{ = (2.5).(2.5).(2.5)
1442443 = (2.5) = 10
3 tan e
200
3 tan e
3 tan e
+
a, b ∈ R ve n ∈ Z olmak üzere,
n
n
a .b = a.a.....a
12
4 4
3 .b.b......b
1
424
3
n tan e
n tan e
n
a .b = (a.b).(a.b).....(a.b)
144
42444
3
n
n
n
n
a .b = (a.b)
dir.
n tan e
2
3 4
2 3
(2 ) , (5 )
(2 )
4
(5 )
3
3
⎡⎛ 3 ⎞5 ⎤
ve ⎢⎜ ⎟ ⎥ ifadelerini üslü sayı biçiminde yazalım.
⎢⎣⎝ 7 ⎠ ⎥⎦
3
3
3
3
= (2
).(24
).(2
).(23
) = (2.2.2).(2.2.2).(2.2.2).(2.2.2) = 212 = 2 3.4
144
2
444
4 tan e
2
2
2
2
= (5
).(5
).(53
) = (5.5).(5.5).(5.5) = 56 = 52.3
14
4244
3 tan e
2
⎡⎛ 3 ⎞5 ⎤ ⎛ 3 ⎞5 ⎛ 3 ⎞5 ⎛ 3 3 3 3 3 ⎞ ⎛ 3 3 3 3 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞10 ⎛ 3 ⎞5.2
⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ ⋅ ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
biçiminde yazılır.
⎝7⎠
7⎠ ⎝7⎠ ⎝7 7 7 7 7⎠ ⎝7 7 7 7 7⎠ ⎝7⎠
⎢⎣⎝ 7 ⎠ ⎥⎦ ⎝1
4243 1442443 1442443
5 tan e
2 tan e
5 tan e
+
a ∈ R ve m, n ∈ Z olmak üzere,
n
m
m
.a2
....a
(am) = a1m4
43
n tan e
n
(a m ) = a
6
(am)n = am.n dir.
m+m+......+m
1 442 44
3
5
n tan e
8
3 4
7
2 ,
3 ve
3 ifadelerini üslü sayı biçiminde yazalım.
3 4
7
6 tan e
64
748
3
3.3.3.3.3.3
4
6−2
=
= 3.3.3.3
12
4 4
3=3 =3
3.3
32
4 tan e
{
6
2 tan e
6474
8
45 4.4.4.4.4
2
5− 3
=
= 4.4
{ =4 =4
4.4.4
43
2 tan e
{
5 tan e
3 tan e
8 tan e
644
7448
7
7.7.7.7.7.7.7.7
5
8− 3
=
= 7.7.7.7.7
1424
3=7 =7
7.7.7
73
5 tan e
{
8
biçiminde yazılır.
3 tan e
201
+
a ≠ 0, a ∈ R ve m, n ∈ Z olmak üzere,
m
a
n =
a
n tan e
m −n tan e
678
678
a.a....a .a.a....a
a.a....a
123
= a m −n
dir.
n tan e
4
3
5
2 5
3
4 ,
3 ve
5 ifadelerini üslü sayı biçiminde yazalım.
3 4
7
4 tan e
67
4
4
8
2.2.2.2
4
2 2 2 2 ⎛2⎞
=
= . . . =⎜ ⎟
4
3
3.3.3.3
3 432343
3 ⎝3⎠
12
4 4
3 1
2
4 tan e
3
5
75
=
4
5
43
7.7.7.7.7
142 4
3
=
5 tan e
=
3 tan e
}
5.5.5
4.4.4
{
=
3 tan e
4 tan e
5 tan e
64
74
8
3.3.3.3.3
3
3 3 3 3 3 ⎛3⎞
. . . . =⎜ ⎟
7
742
7 44
73
7 ⎝5⎠
14
5 5 5 ⎛5⎞
. . =⎜ ⎟
44 44
4 ⎝4⎠
12
3
3 tan e
5
biçiminde yazılır.
5 tan e
+
b ≠ 0, a, b ∈ R ve m, n ∈ Z olmak üzere,
n tan e
6
4
74
8
n
a.a.a....a ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞
a
.
.
...
=
=
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
n =
b.b.b....b
b ⎠ ⎝b ⎠ ⎝b ⎠ ⎝b ⎠ ⎝b ⎠
b
1
424
3 ⎝1
4442444
3
n
n tan e
1)
n tan e
Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
−2 = −2.2 = −4
(−2)3 = (−2).(−2).(−2) = −8
−2 = −2.2.2 = −8
−4 = ...............................
3
−4 = ...............................
2
⎛ 2⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 5⎠
...............................
3
⎛ 2⎞
⎜− ⎟ =
⎝ 5⎠
...............................
2
2
3
2
⎛2⎞
−⎜ ⎟ =
⎝5⎠
3
32
5
4
sayısını en sade biçimde yazınız.
...............................
⎛2⎞
−⎜ ⎟ =
⎝5⎠
...............................
256.625 çarpımını 10 un kuvveti olarak yazınız.
4
202
3
2
(−4) = ...............................
3)
2
(−2)2 = (−2).(−2) = 4
(−4) = ...............................
2)
dir.
3
4)
5)
12
2 sayısının yarısı kaçtır?
2
.
2
25
16
5
2
6)
.
( )
4
8
işleminin sonucunu bulunuz.
125
4
3
9
–b (–b) .(–b) .b
3
2 5
–b (–b ) .(–b)
işleminin sonucunu bulunuz.
8
ÜSLÜ DENKLEMLER





2x = 64 denklemini inceleyiniz.
Bu denklemin çözümü için 64 ü, 2 nin kuvveti olarak yazınız.
Eşitliğin her iki tarafında bulunan 2 nin üslerini karşılaştırınız.
x değişkeninin kaç olabileceğini tartışınız.
Tabanları aynı olan iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler hakkında genellemede bulununuz.
5
10 − 2x
= 625 denklemini çözelim.
4
10 − 2x
4
625 = 5 olduğundan 5
= 5 dür. Buradan,
10 − 2x = 4
x = 3 bulunur.
+
m
n
a ∈ R – {−1, 0, 1}, m, n ∈ Z için a = a ⇔ m = n dir.
m
n
a =a ⇒
am an
=
an an
m−n
0
⇒ a
=1
(a = 1 olduğu için)
⇒ m − n = 0 dır.
⇒ m = n dir.
m = n ⇒ m – n = 0 dır.
m−n
0
⇒ a
=1
(a = 1 olduğu için)
⇒
am
=1
an
m
n
⇒ a = a dir.
1)
a
2 =x
a
7 =y
a
a
13 = z ise 364 sayısının x, y, z cinsinden ifadesi nedir?
203
−x
2)
2 =m
2x
x
3 = n ise 324 sayısının m ve n cinsinden ifadesi nedir?
3)
2 =3
b
b
a
3 = 2 ise 27 + 4 toplamını bulunuz.
a
na ≠ 0, a, b ∈ R olmak üzere, çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
b
a
b
a
2
0
3
−3
b
b
a
b
a
a
b
a
2 =1
−1
4
..........
−1
5
..........
0
..........
−1
3
..........
1
2
..........
0
..........
−1
2
..........
1
3
..........
0
S›f›rdan farkl› her say›n›n s›f›r›nc› kuvveti için ne söylenebilir?
(– 1) say›s›n›n tek tam say› olan kuvvetleri ile (– 1) say›s›n›n çift tam say› olan kuvvetlerini karşılaştırınız.
1 say›s›n›n pozitif tam say› olan kuvvetleri için ne söylenebilir?
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
2 = (....)
3
3
(....) = (−4)
7
5
5
7 = (....)
9
(....) = 3
7
9
Yazd›ğ›n›z say›lar›n üslerini inceleyiniz.
Üs olarak yaz›lm›ş say›lar›n ortak özellikleri nelerdir?
Her sat›rdaki üslü say›lar›n tabanlar›n› inceleyiniz.
nAşağ›daki çizelgede verilen eşitliklerde x yerine yaz›labilecek say›lar› noktal› yerlere ya-
z›n›z.
4
2 = 16
4
(−2) = 16
4
4
4
ise x = ..... ∨
x = .....
4
4
ise x = ..... ∨
x = .....
6
ise x = ..... ∨
x = .....
8
ise x = ..... ∨
x = .....
3 =x
(−5) = x
1
4
4
2 = x ise x = 2 ∨ x = −2
6
( )
8
=x
x =7
Çizelgedeki üslü say›lar›n üslerini inceleyiniz.
204
Üs olarak yaz›lm›ş say›lar›n ortak özelliği nedir?
 x yerine yaz›labilecek say›lar nas›l bulunabilir? Üsleri de inceleyerek bir genellemeye
ulaşınız.
3
a) (2 − x) = 125
6
b) (5 + y) = 64
denklemlerini çözelim.
3
3
3
a) 5 = 125 olduğundan (2 − x) = 5 olur. O hâlde,
2−x=5
x = −3 olur.
6
6
6
b) 2 = 64 ve (−2) = 64 olduğundan (5 + y) = 64 denkleminde 5 + y = 2 veya 5 + y = −2
olur. O hâlde, y = −3 veya y = −7 bulunur.
+
a, b ∈ R ve n ∈ Z için,
a = b, n tek ise
n
n
a =b
⇒
a = ! b, n çift ise
23
23
1)
(5x + 1) = 7 ise x gerçek sayısı kaçtır?
2)
21 = (3 − 9x) ise x gerçek sayısı kaçtır?
3)
(2x − 3) = 7 ise x yerine yazılabilecek sayıların çarpımı kaçtır?
4)
(4 − 3x) = 40 ise x yerine yazılabilecek sayıların toplamı kaçtır?
4.3
11
11
6
8
x+2
x+1
− 2.3
6
8
x
− 5.3 = 75 denklemini çözelim.
Üslü sayıların üslerinde toplama işlemi yapılmış. Toplama işleminden önceki durumu aşağıya yazalım.
x+2
4.3
x
2
x+1
− 2.3
x
x
− 5.3 = 75
x
4.3 .3 − 2.3 .3 − 5.3 = 75
x
Bulduğumuz ifadede 3 ortak çarpan parantezine alıp aşağıya yazalım.
x
2
1
3 .(4.3 − 2.3 − 5) = 75
x
3 .(36 − 6 − 5) = 75
x
3 .25 = 75
x
3 =3
x
1
3 =3
x = 1 dir.
205
4x + 8
(5 − 3x)
= 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Sıfırdan farklı gerçek sayıların sıfırıncı kuvveti 1 olduğundan,
4x + 8 = 0
ve
x = −2 için 5 − 3x ≠ 0 olmalıdır.
4x = −8
5 − 3(−2) = 11
x = −2
11 ≠ 0 dır.
O hâlde, x = −2 olabilir.
1 gerçek sayısının tüm gerçek sayı kuvvetleri 1 olacağından,
5 − 3x = 1
3x = 4
x=
4
olabilir.
3
Ayrıca (−1) gerçek sayısının çift tam sayı kuvvetleri 1 olacağından,
5 − 3x = −1
3x = 6
x =2
x = 2 için 4x + 8 çift tam sayı olmalıdır. 4.2 + 8 = 16 çift tam sayı olduğundan x = 2 olabilir.
{
O hâlde çözüm kümesi: −2,
4
, 2 olur.
3
}
x
5 = 64
y
16 = 25 ise x.y kaçtır?
x
5 = 64 ifadesinde 25 elde etmek için her iki tarafın 2. kuvvetini alalım.
2
2
(5x) = 64
x
x
2
(5x) = 52x = (52) olduğundan (52) = 642 olur.
x
2
y
y x
2
25 = 64 ve 25 = 16 olduğundan (16 ) = 64
xy
2
16 = 64 dir.
4
6
16 = 2 ve 64 = 2 olduğundan (2
4 xy
) = (26)
2
12
2
=2
⇒
4xy
= 12
⇒
206
4xy
⇒
xy = 3 bulunur.
39 + 310 + 311
ifadesini sadeleştirelim.
38 + 3 7 + 3 6
Paydaki üslü sayıların üslerini paydaki en küçük üs cinsinden ve paydadaki üslü sayıların
üslerini paydadaki en küçük üs cinsinden yazalım.
39 + 310 + 311 39 + 39+1 + 39+2
= 6+2
38 + 3 7 + 3 6
3 + 36+1 + 36
=
39 .1+ 39 .31 + 39 .32
36 .32 + 36 .31 + 36 .1
=
39 .(1+ 31 + 32 )
36 .(32 + 31 +1)
=
39 .13
36 .13
=
3
=
=
3
27 bulunur.
9–6
3
1)
4 3x-1.16 x
= 128 3 ise x kaçtır?
82 x −1
2)
59 + 510 + 511 + 512
ifadesini sadeleştiriniz.
57 + 58 + 59 + 510
3) 3
5−m
= 5 ise m değeri hangi aralıktadır?
x+1
4) 4 = 27
y+1
9=8
ise 4x − 9y kaçtır?
5) 3.2 3 x −1 − 4.2 3 x +
1
(2 )x+1
−3
= 352 ise x kaçtır?
KÖKLÜ İFADELER

SEMBOLÜ
Kök sembolünün kullanılması çok eski dönemlere
dayanmaktadır. Mısırlılar, Babilliler, Çinliler ve Hintliler
bunun için özel işaretler kullanmışlardır. Bugün kullanılan kök işareti, kök anlamına gelen “radix” sözcüğünün
baş harfi olan “r” den gelmektedir. Bu yüzden Latin yazarlar da kök için “R” harfini kullanmışlardır. Bu işaret
zamanla bugünkü şeklini almıştır.
207
Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
42 = 16 = 4 = | 4 |
(−4)2
= 16 = 4 = | −4 |
52 = ........ = ........ = ........
(−5)
= ........ = ........ = ........
32 = ........ = ........ = ........
(−3)2
= ........ = ........ = ........
2
Karesi negatif olan gerçek sayı var mıdır? Tartışınız.
Karekökü negatif olan gerçek sayı var mıdır? Tartışınız.
a ∈ R olmak üzere, a2 ifadesi için ne yazılabilir? Tartışınız.
(−6) ile 6 sayılarını hesaplayalım ve (−6) ile 6 işlemlerinin sonuçlarını bulalım.
2
2
2
2
(−6) = (−6).(−6) = 36
2
6 = 6.6 = 36
2
⇒
(−6)2 = 36 = 6 = | −6 |
⇒
62 = 36 = 6 = | 6 |
x ∈ R olmak üzere, x = | x | olur.
2
A
•4
•2
•9
4
•
81
• 12
• 25
•
5
11
B
•3
•5
•
13
27
• 45
Yukarıdaki A ve B kümelerindeki sayıları inceleyiniz.
A kümesindeki sayıların karekökleri irrasyonel sayı mıdır?
B kümesindeki sayıların karekökleri irrasyonel sayı mıdır?
Her rasyonel sayının körekökünün bir rasyonel olup olmadığını tartışınız.
36
125
, 48,
, ve 121 sayılarının kareköklerinin rasyonel sayı olup olmadıklarını araştıralım.
25
144
36
=
25
208
2
⎛6⎞
⎜ ⎟
⎝5⎠
=
6
∈ Q, 48 ∉ Q
5
ve
125 ∉ Q, 121 = 112 = 11 ∈ Q dir.
144
36
125
ile 121 sayılarının karekökleri rasyonel sayıdır.
ile 48 sayılarının karekökleri rasyo25
144
nel sayı değildir.
a, b ∈ R, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere
a
biçiminde yazılamayan sayıb
lara irrasyonel sayılar denir.
1
x
1
y
a) 5 = 25
b) 4 = 16 denklemlerini çözerek kareköklü ifadeleri üslü biçimde yazalım.
2
2
a) 25 = 5 olduğundan verilen denklemde 25 yerine 5 yazalım.
1
5 = (5
) ⇒ 1 = 2x ⇒ x = 1 ⇒ 5 = 25 olduğundan 51 = 25 ifadesinde 5 yerine 25,
2 x
2
1
x yerine
1
yazalım. 25 = 25 2 olur.
2
2
2
b) 16 = 4 olduğundan verilen denklemde 16 yerine 4 yazalım.
1
4 = (4
) ⇒ 41= 42y ⇒ 1 = 2y ⇒ y = 1 ⇒ 4 = 16 olduğundan 41= 16y ifadesinde 4
2 y
2
yerine 16, y yerine
1
1
yazalım. 16 = 16 2 olur.
2
1
a ∈ R için, a = a 2 dir.
+
2.3, 5.6, 5.6 ve 5.5 işlemlerini yapalım.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2.3 = 2 2 .3 2 = (2.3) 2 = 2.3 = 6
5.6 = 5 2 .6 2 = (5.6) 2 = 5.6 = 30
4.9 = 4 2 .9 2 = (4.9) 2 = 4.9 = 36 = 6
5.5 = 5 2 .5 2 = (5.5) 2 = 5.5 = 25 = 5
a ∈ R için, a.b = a.b dir.
+
209
3
,
5
12
ve
3
1
1
48
işlemlerini yapalım.
8
1
⎛ 3 ⎞2
3 3
= 1 =⎜ ⎟ =
⎝5⎠
5
52
2
12
3
5
3
=
12
1
3
1
1
⎛ 12 ⎞ 2
=⎜ ⎟ =
⎝ 3 ⎠
2
2
12
3
48
4 =2
=
8
=
48 2
1
82
1
⎛ 48 ⎞ 2
=⎜
⎟ =
⎝ 8 ⎠
48
a
a
=
dir.
b
b
+
a, b ∈ R için,
5
2
(
3) ,
(
3 ) = 32
2
( 5)
( )
1
3
⎛ 7⎞
ve ⎜⎜
⎟⎟ işlemlerini yapalım.
⎝ 8⎠
2
1
= 32
.2
=3
2 .
1
1
2
= (32 )2 = 32
5
( 5)
3
( )
1
= 52
3
1
= 52
.3
=5
3.
1
1
2
= (5 3 )2 = 5 3
1
1
1
1
5
.5
5 .
5
5
⎛ 7 ⎞ ⎡⎛ 7 ⎞2 ⎤
⎛ 7 ⎞2
⎛ 7 ⎞ 2 ⎡⎛ 7 ⎞ ⎤ 2
⎛7⎞
⎢
⎥
⎢
⎥
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜ ⎟
⎝8⎠
⎝8⎠
⎝8⎠
⎢⎣⎝ 8 ⎠ ⎥⎦
⎝ 8 ⎠ ⎢⎣⎝ 8 ⎠ ⎥⎦
a ∈ R ve n ∈ Z için, (a) = a dir.
+
52 .3,
+
32 .2 ve
n
n
62 .11 işlemlerini yapalım.
52 .3 = 52 . 3 = 25. 3 = 5 3
62 .11 = 62 . 11 = 36. 11 = 6 11
+
a, b ∈ R için,
a 2 .b = a. b dir.
27 − 48 + 75 − 4108 işlemini yapalım.
210
32 .2 = 32 . 2 = 9. 2 = 3 2
8
=
6
27 − 48 + 75 − 4108 = 9.3 − 16.3 + 25.3 − 436.3
= 9.3 − 16.3 + 25.3 − 4.36.3
= 3.3 − 4.3 + 5.3 − 4.6.3
= (3 − 4 + 5 − 24).3
= −203 olur.
(25 − 18).(620 − 38) + 4810 işlemini yapalım.
(25 − 18).(620 − 38) + 4810 = (25 − 9.2).(64.5 − 34.2) + 4810
= (25 − 9.2).(64.5 − 34.2) + 4810
= (25 − 32).(6.2.5 − 3.22) + 4810
= (25 − 32).(125 − 62) + 4810
= 2.12.5.5 − 2.6.5.2 − 3.12.2.5 + 3.6.2.2 + 4810
= 245 − 1210 − 3610 + 182 + 4810
2
2
= 24.5 − 4810 + 18.2 + 4810
= 120 + 36
= 156 olur.
1) 9 2 + 5 2 − 2 2 − 6 2 işleminin sonucunu bulunuz.
2) 4 12 − 75 + 2 47 işleminin sonucunu bulunuz.
3)
50
200
72
+
−
işleminin sonucunu bulunuz.
9
144
16
4)
(3 − 7 )
5)
3. 3 + 12. 3 − 24. 6 işleminin sonucunu bulunuz.
2
(2 − 7 )
+
2
işleminin sonucunu bulunuz.
6) Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a)
b)
24
27
:
25
50
250
( 5)
3
+
3 32
(
2)
4
211
Aşağıdaki çizelgeyi inceleyerek noktalı yerleri doldurunuz.
A
B
C
3
3
2 + 5
2 − 5
(2 + 5).(2 − 5) = (2) − (5) = 2 − 5 = −3
7 − 3
7 + 3
(7 − 3).(7 + 3) = ........................................
1 − 3
1 + 3
.............................. = ........................................
35 − 23
35 + 23
.............................. = ........................................
2 1
+
3 2
2 1
−
3 2
3.3 = 3
2
..............................
=
2
........................................
A ve B sütununun aynı satırında bulunan sayılara “birbirinin eşleniği” denir. Verilen sayılarla eşleniklerini karşılaştırınız ve birbirinden farklı olan yanlarını söyleyiniz.
C sütunundaki çarpma işlemlerinin sonuçlarını inceleyiniz.
 Verilen bir irrasyonel sayı ile eşleniği çarpıldığında sonucun hangi sayı kümesine ait olduğunu tartışınız.
a)
b)
a)
4
sayısının paydasını rasyonel yapalım.
7
2
sayısının paydasını rasyonel sayı yapalım.
5+ 3
4
4
kesrini paydanın eşleniği olan 7 ile genişletelim.
=
7
7
4
4. 7
4 7
olur.
=
=
7
7
7. 7
( 7)
b)
2
kesrini eşleniği olan 5 − 3 ile genişletelim.
5+ 3
2
2
2.(5 − 3)
2.(5 − 3) 2.(5 − 3) 2(5 − 3) 5 − 3
=
=
=
=
=
=
25 − 3
22
11
5+ 3
5 + 3 (5 + 3).(5 − 3) 52 − ( 3)2
olur.
(5 − 3)
Paydasında irrasyonel sayı bulunan kesirlerin paydasını rasyonel yapmak için verilen
kesir, paydanın eşleniği ile genişletilir.
212
1)
5
kesrinin paydasını rasyonel sayı yapınız.
7− 3
2)
2
kesrinin paydasını rasyonel sayı yapınız.
4 3+ 2
3)
4)
5
kesrinin paydasını rasyonel sayı yapınız.
7
4 3 +2 5
kesrinin paydasını rasyonel sayı yapınız.
5− 3
(7 + 3 ) ile (2 − 6 ) işlemlerini yapalım ve bulduğumuz sonuçların kareköklerini alalım.
2
2
(7 + 3 ) = (7 + 3 ).(7 + 3 ) = 7.7 + 7.3 + 3.7 + 3.3
2
= 7 + 27.3 + 3
= (7 + 3) + 27.3
(
2
7 + 3 ) = (7 + 3) + 2 7.3 =
7 + 3 = 7 + 3 olur.
(2 − 6 ) = (2 − 6 ).(2 − 6 ) = 2.2 − 2.6 − 6.2 + 6.6
2
= 2 − 22.6 + 6
= (2 + 6) − 22.6
(
2
2 − 6 ) = (2 + 6) − 2 2.6 =
2 − 6 = − ( 2 − 6 ) = 6 − 2 olur.
a, b ∈ R ve a ≥ 0, b ≥ 0 için,
(a + b) + 2 a.b =
a+ b = a+ b
(a + b) − 2 a.b =
a− b
olur.
8 + 2 15 sayısını iki köklü sayının toplamı biçiminde yazalım.
a + b = 8 ve a.b = 15 olacak şekilde negatif olmayan sayılar a = 5 ve b = 3 alınabilir.
O hâlde,
8 + 2 15 = (5 + 3) + 2 5.3 =
5 + 3 = 5 + 3 tür.
213
10 − 96 sayısını iki köklü sayının toplamı biçiminde yazalım.
96 = 4.24
96 = 4.24 = 2.24
10 − 96 = 10 − 2 24
a + b = 10 ⎫
⎬ olacak biçimde negatif olmayan sayılar a = 4, b = 6 alınabilir. O hâlde,
a.b = 24
⎭
4 − 6 = − ( 4 − 6 ) = 6 − 2 olur.
10 − 96 = 10 − 2 24 = (4 + 6) − 2 4.6 =
3 + 5 sayısını iki köklü sayının toplamı biçiminde yazalım.
5 sayısının katsayısını 2 yapmak için verilen karekökün içindeki sayıyı 2 ile genişletelim.
3+ 5 =
1)
2(3 + 5)
=
2
6+2 5
2
=
(5 + 1) + 2 5.1 5 + 1
2
2
=
5
2
+
1
2
=
5
1 olur.
+
2
2
Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
√ (3 + 2) + 23.3
= ⎪3 + 2⎪ = 3 + 2
√ (3 + 2) – 23.3
= ......................................................................................................
√ 7 + 210
= ..............................................................................................................
√ 7 – 210
= ..............................................................................................................
√ (4 + 7) – 24.7
= ⎪4 – 7⎪ = 7 – 4
√ 16 + 67 = √ 16 + 29.7
= ...........................................................................
√ 10 + 84 = √ 10 + 4.21 = ................................................................................
214
√
√ 44 .11 = ....................................................................................
√ 6 + 11
=
√ 7 – 13
= ................................................................................................................
6+
2)
2
2
4
–
+
– 22 işleminin sonucu kaçtır?
3 – 1 3 + 1 12
3)
√ 17 + √288 – √ 17 – √288 işleminin sonucu kaçtır?
4)
√ 8 + 60.(5 – 3) işleminin sonucu kaçtır?
5)
√ 5 – 21 – √ 5 + 21 işleminin sonucu kaçtır?
6)
(2 – 3)
7)
Ufuk çizgisinin üzerindeki bir noktadan ne kadar uzağı görebileceğini hesaplamak için
u = 0,37A fomülü kullanılır. Buradaki u görülebilecek uzaklık, A ise kişinin bulunduğu
yüksekliği temsil etmektedir. Buna göre 208 m yükseklikte bulunan bir kişi kaç metre
uzağı görebilir?
100
(2 + 3) işleminin sonucu kaçtır?
99
BİR GERÇEK SAYININ POZİTİF TAM KUVVETTEN KÖKÜ
(a ≥ 0),
a = 2 a ; a gerçek sayısının karekökü,
(a ≥ 0),
3
a ; a gerçek sayısının küpkökü,
4
a ; a gerçek sayısının 4.kuvvetten kökü,
(n ∈ Z+ ve a ≥ 0), n a ; a gerçek sayısının n. kuvvetten kökü olarak okunur.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
4
2 = 2.2.2.2 = 16
⇒
4
(−2) = (−2).(−2).(−2).(−2) = 16
⇒
4
3 = ....................................... = ............
−4
3
4
=
.......................................
=
= −2 = 2
.............. = .............. = ........... = ...........
⇒
.............. = .............. = ........... = ...........
............
⇒
..............
............
⇒
..............
6
=
4
⇒
(−4) = ....................................... = ............
.......................................
(−2)
.............. = .............. = ........... = ...........
6
=
4
⇒
4 = ....................................... = ............
( )
( )
16 =
.............. = .............. = ........... = ...........
4
4
4
⇒
(−3) = ....................................... = ............
4
3
⇒ 4 16 = 4 2 4 = 2 = 2
=
=
..............
..............
=
=
...........
...........
=
=
...........
...........
215
Herhangi bir negatif gerçek sayının pozitif çift tam sayı kuvveti alındığında sonucun işareti için ne söyleyebilirsiniz?
Herhangi bir gerçek sayının pozitif çift tam sayı kuvvetinin aynı kuvvetten kökü ile verilen
gerçek sayıyı karşılaştırınız.
nAşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri doldurunuz.
3
2 = 2.2.2 = 8
3
(−2) = (−2).(−2).(−2) = −8
5
4 =
................................................................ = ...............
5
(−4) = ................................................................ = ...............
7
2 = ................................................................ = ...............
⇒
3
8 = 3 23 = 2
⇒
3
−8 =
⇒
5
.... = 5 (....) = ....
⇒
5
.... = 5 (....) = ....
⇒
7
.... = 7 (....) = ....
7
.... = 7 (....) = ....
7
(−2) =
................................................................ = ............... ⇒
3
2
=
=
⇒
3
................................................................ ...............
( )
( )
−2
3
3
=
=
................................................................
...............
⇒
3
(−2)
3
= −2
5
5
7
7
3
.... =
3
(....)
3
= ....
3
.... =
3
(....)
3
= ....
Herhangi bir negatif gerçek sayının pozitif tek tam sayı kuvveti alındığında sonucun işareti için ne söyleyebilirsiniz?
Herhangi bir gerçek sayının pozitif tek tam sayı kuvvetinin aynı kuvvetten kökü ile verilen
gerçek sayıyı karşılaştırınız.
 Bir gerçek sayının pozitif tam sayı kuvveti alınarak elde edilen sayının aynı kuvvetten
kökü ile verilen gerçek sayıyı ilişkilendiriniz.
3
( 3)
3
4
ve
4
(−5)
4
sayılarını 3, −3, 5 ve −5 ile ilişkilendirelim.
⇒
3
27 = 3 33 = 3
(−3) = −27
⇒
3
−27 =
5 4 = 625
⇒
4
625 = 4 5 4 = 5 = 5
⇒
4
625 =
33 = 27
3
4
(−5) = 625
216
3
, 3 (−3) , 4 (5)
3
4
3
(−3) = −3
4
(−5) = −5 = 5 elde edilir.
+
x ∈ R ve n ∈ Z için,
n
xn =
| x |,
n çift ise
x,
n tek ise
olur.
x
2 = 8 denklemini çözerek köklü ifadeleri üslü biçimde yazalım.
3
3
8 = 2 olduğundan verilen denklemde 8 yerine 2 yazalım.
1
2 = (2
1
3 x
)
3x
2 =2
1 = 3x
x=
1
tür.
3
1
x
2 = 3 8 olduğundan 2 = 8 ifadesinde 2 yerine
8 , x yerine
1
yazalım.
3
1
1
( )
3
3
8 = 83
1
3
81 = 8 3
3
52 , 5 34 ve
3
52 = 3 25 = 25 3 = (52 ) 2 = 5 3
6
4 4 = 6 256 = 256 6 = ( 4 4 ) 6 = 4 6 = 4 3 elde edilir.
elde edilir.
6
4 3 ifadelerini üslü biçimde yazalım.
1
1
1
1
4
2
+
a ∈ R ve m, n ∈ Z olmak üzere,
36
58 , 35 215 ve
36
58 = 9.4 52.4 = 5 9.4 = 5 9 = 9 52
10
46 = 5.2 43.2 = 4 5.2 = 4 5 = 5 43
10
4
3 4 = 5 81 = 815 = (3 4 ) 5 = 3 5
5
1
+
1
1
2
n
m
a = a n ve
n
am = a n
dir.
46 ifadeleri üslü biçimde yazalım.
2.4
3.2
2
3.5
35
3
215 = 7.5 23.5 = 2 7.5 = 2 7 = 7 23
3
olur.
217
+
m .r
+
a ∈ R ve m, n, r ∈ Z için,
3 .4 7 ve
4 .5 3 işlemlerini yapalım.
3
2 .3 5,
3
2 .3 5 = 2 3 .5 3 = (2.5) 3 = 3 2.5
5
4 .5 3 = 4 5 .3 5 = ( 4.3) 5 = 5 4.3 olur.
4
1
5
1
1
1
1
1
+
1
+
5 58
ve
,
3
2 5 12
1
4
4
1
1
1
5
5
elde edilir.
1
+
+
a, b ∈ R ve n ∈ Z için,
7
( 2 ) ,( 6 )
3
( 2)
3
218
7
5
1
= (2 )
3
7
1
8 8 5 ⎛ 8 ⎞5 5 8 5 2
= 1 =⎜ ⎟ =
=
⎝ 12 ⎠
12
3
2
5
12
1
3 3 4 ⎛ 3 ⎞4 4 3
= 1 =⎜ ⎟ =
⎝7⎠
7
7
74
4
1
3
işlemlerini yapalım.
7
4
5 5 3 ⎛ 5 ⎞3 3 5
= 1 =⎜ ⎟ =
3
⎝2⎠
2
2
23
1
1
a .n b = a n .b n = (a.b) n = n a.b dir.
n
3
4
1
3 .4 7 = 3 4 .7 4 = (3.7) 4 = 4 3.7
1
a, b ∈ R ve n ∈ Z için,
3
m
am .r = a n.r = a n = n am dir.
n.r
3
( 5)
ve
4
2
n
n
3
27
b
=
an
1
bn
1
⎛ a ⎞n
=⎜ ⎟ =
⎝b ⎠
n
a
b
dir.
ifadelerini köklü sayı olarak yazalım.
7
= 23 =
a
( 6)
5
3
1
= (6 )
5
3
3
=6 =
5
5
6
3
( 5)
4
2
1
( )
= 54
2
2
= 54 =
4
52 =
5 olur.
+
( a)
+
a ∈ R ve m, n ∈ Z için,
n
m
= (a )
1
n
3
2 3.5 , 4 5 4 .3 ve
3
2 .5 = 2 . 5 = 2 . 5 = 2. 5 ,
7
47 .3 = 7 47 . 7 3 = 4 7 . 7 3 = 4.7 3 olur.
7
m
= a n = n am
dir.
47 .3 sayılarını iki sayının çarpımı biçiminde yazalım.
4
3
3
3
m
3 3
3 3
4
3
5 4 .3 = 4 5 4 . 4 3 = 5 4 . 4 3 = 5.4 3
,
7
+
+
a ∈ R ve m, n ∈ Z için,
4 3
2 , 3 5 4 ve
1
4
( )
4
( )
7
1
2 = 23 = 23
1
=2
1
7
1
7
an . b = n an . n b = a . n b dir.
5 sayıları köklü sayı olarak yazalım.
7
1
4 3
n
1
5 = 52 = 52
3
1
= 52
.
.
1
1
4
=2
3 .4
=5
2 .7
=
2
+
m n
a ∈ R ve m, n ∈ Z için,
1)
3
1
1
1
.
= 45
3
=4
5 .3
= 5. 3 4
= 2. 7 5
elde edilir.
m
a= a
1
n
= (a )
1
1 1
.
m
1
= a n m = a n .m = n .m a dır.
n
Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız.
4
a)
2)
1
4 = 45 = 45
1
+
( )
1
3
3 5
1
1
7
1
3. 4
6
210
2
3
3
x2
5
x
b)
c)
3
2. 3
ç)
c)
4
5 . 4 25
ç)
2 .4 5
3
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
3
a)
3
4
d)
9.33
b)
6
25 . 3 125
3
25 . 4 5
e)
7
22 . 6 2 3
5.
( 5)
7
3
f)
(
3
)
3
3
72
9
9
a.b2 . a.b2
219
1
3)
x = 3 2 ise 54 3 sayısını x cinsinden yazınız.
4)
y = 4 3 ise
5)
4
3
6)
5
x 20
= 4 ise x kaçtır?
2
3,
7)
8)
4
48 . 4 27 sayısını y cinsinden yazınız.
7 = m 7 ise m kaçtır?
3
4,
6
25 sayılarını sıralayınız.
3
x + 3 = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
6
3⋅3 4
işleminin sonucunu bulunuz.
4
12
9)
x
2. 3
1
. 8 = 2 y ise x + y kaçtır?
4
10)
4
11)
6 3
2 + x = 9 3 ise x kaçtır?
3
5
12)
13)
2 4 2
5
5
işleminin sonucunu bulunuz.
16
2010 − 1010
işleminin sonucunu bulunuz.
1010 − 510
14) 2,
3
3,
4
5 ve
6
11 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
ORAN - ORANTI
Euro, Avrupa’nın birçok ülkesinin ortak para birimidir. Sterlin İngiltere’nin, Dolar ise Amerika Birleşik Devletleri’nin
2,5 TL 4,5 TL 1,8 TL
para birimidir. Yandaki tabloda bu üç para biriminin Türk
Lirası cinsinden karşılıkları verilmektedir.
Tabloyu inceleyerek Euro’yu, Sterlin ve Dolar ile ayrı ayrı karşılaştırınız.
Euro

Sterlin
Dolar
Sterlin Euro
Sterlin
,
ve
değerlerini hesaplayınız.
Euro Dolar
Dolar
Sterlin hangi para birimlerine göre daha değerlidir?
Sterlin ile Euro’yu ve Euro ile Dolar’ı değerleri bakımından karşılaştırınız.

220
Euro
Sterlin
ve
oranlarını karşılaştırınız.
TL
Dolar
Çiğdem’in boyu 155 cm, Özge’nin 150 cm ve Ahmet’in 186 cm dir. Çiğdem’in boyunun
Ahmet’in boyuna oranı, Özge’nin boyunun Yüksel’in boyuna oranına eşit ise Yüksel’in boyunu
bulalım.
Çiğdem : 155 cm
Özge : 150 cm
Ahmet : 186 cm
Yüksel : x cm
155 150
=
dır.
x
186
O hâlde, 155.x = 186.150
x = 180 cm olur.
Birimleri aynı olan iki çokluğun karşılaştırılmasına oran denir.
x
ifadesine x in y ye oranı denir.
x ve y iki çokluk olmak üzere
y
İki ya da daha fazla oranın birbirine eşitlenmesine orantı denir.
z
x
=
= k iki oranın eşitliğini gösterir. k, orantı sabitidir.
t
y
4 defter için 10 TL ödeyen Miray’ın 9 defter için kaç TL ödeyeceğini bulalım.
Defter sayısında artış olduğundan ödenecek para miktarında da artış olacaktır. Bu durumda
ödenecek paraya x dersek,
4 9
= olur.
10 x
Buradan, 4x = 10.9
x = 22,5 TL bulunur.
İki çokluktan biri artarken diğeri de artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de azalıyorsa
bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.
x
x, y ∈ R ve k orantı sabiti olmak üzere x, y doğru orantılı ise
= k olur.
y
Yiğit, odasını boyamak istemektedir. Tek başına 12 saatte boyadığı odasını aynı güçteki
arkadaşları Umut ve Barış ile birlikte kaç saatte boyar?
221
Boyama yapacak kişi sayısı arttığına göre işin bitme süresi azalacaktır. 3
kişi ile boyama süresine x dersek,
1 kişi ile 12 saatte boyanan oda
3 kişi ile x saatte boyanır. O hâlde, 3.x = 12
x = 4 saat bulunur.
İki çokluktan biri artarken diğeri azalıyorsa ya da biri azalırken diğeri artıyorsa bu iki
çokluk ters orantılıdır denir.
x, y, ∈R ve k orantı sabiti olmak üzere x, y ters orantılı ise x.y = k dir.
2
4 işçi günde 9 saat çalışarak 24 m duvarı 3 günde örüyorsa 15 işçinin
2
günde 6 saat çalışarak 120 m duvarı kaç günde öreceğini bulalım.
4 işçi günde 9 saat çalışarak 3 günde 4.9.3 = 108 saatlik iş gücü harcar.
15 işçi günde 6 saat çalışarak x günde 15.6.x saatlik iş gücü harcar.
2
24 m duvar
2
120 m duvar
O hâlde,
24
120
=
dır.
108 15.6.x
108 saatlik iş gücü ile
15.6.x saatlik iş gücü ile örülür.
24.15.6.x = 120.108
x = 6 gün bulunur.
İkiden fazla oranın eşitliğine bileşik orantı denir. x, y, ∈R ve k orantı sabiti olmak üzere
x, y ile doğru, z ile ters orantılı ise x .z = k dir.
y
a sayısı b + 3 sayısı ile doğru, 2b ile ters orantılıdır. b = 5 için a = 4 ise a = 3 için b nin kaç
olduğunu bulalım.
a, b + 3 ile doğru: 2b ile ters orantılı olduğundan,
b = 5 ve a = 4 için,
a = 3 için
222
4
.2.5 = k
5+3
3
.2b = 5
b+3
⇒
⇒
a
.2b = k dır. O hâlde,
b+3
k = 5 dir.
6b
=5
b+3
⇒
6b = 5b + 15
⇒
b =15
bulunur.
Hamza, Yahya ve Feyyaz birbirlerine komşu çiftçilerdir ve tarlalarının etrafına 3 sıra dikenli tel çekeceklerdir. Bu üç çiftçinin tarlalarının
çevreleri 3, 5 ve 6 sayıları ile ters orantılı olduğuna göre hiç artmamak
koşulu ile 2520 metrelik teli kaçar metre paylaşırlar?
Hamza’nın tarlasının çevresi : x
Yahya’nın tarlasının çevresi : y
Feyyaz’ın tarlasının çevresi : z olsun.
3x = 5y = 6z = k
⇒
k
k
2520
k
+
+
=
5
6
3
3
x=
⇒
k
k
k
,y=
ve z =
olur.
3
5
6
21k
= 840
30
⇒
k = 1200 dür. O hâlde,
Hamza, 3 sıra tel için, 3x = 3.
1200
= 1200 m
3
Yahya, 3 sıra tel için, 3y = 3.
1200
= 720 m
5
Feyyaz, 3 sıra tel için, 3z = 3.
1200
= 600 m tel alırlar.
6
Alphan, Tarkan ve Erşen 570 kg unu fırına 4, 7 ve 8 sayıları ile doğru orantılı olarak taşımışlardır. Her birinin kaç kg un taşıdığını bulalım.
Alphan x kg, Tarkan y kg ve Erşen z kg un taşısın.
y
z
x
=
=
=k
7
8
4
⇒
x = 4k, y = 7k ve z = 8k olur.
Buradan, 4k + 7k + 8k = 570
⇒
k = 30 dur. O hâlde,
Alphan, x = 4.30 = 120 kg,
Tarkan, y = 7.30 = 210 kg,
Erşen, z = 8.30 = 240 kg un taşır.
Bir gruptaki 8 kişinin yaş ortalaması 60 tır. Bu gruba yaşları 50 olan iki kişi daha katıldığında
oluşan grubun yaş ortalamasının kaç olacağını bulalım.
223
8 kişinin yaşları toplamı
8
= 60 olduğundan
8 kişinin yaşları toplamı = 60.8 = 480 dir.
10 kişinin yaşları toplamı = 480 + 2.50 = 580 dir.
Grubun yaş ortalaması =
580
= 58 bulunur.
10
+
x1, x2, ... xn ∈ R ve n ∈ N olmak üzere n tane x1, x2, ... xn sayılarının aritmetik ortalaması
x1 + x2 + ... + xn
n
dir.
A
ABC dik üçgen.
[AH] ⊥ [BC]
⎪BH⎪ = 4 cm
⎪HC⎪ = 9 cm olduğuna göre
⎪AH⎪ nu bulunuz.
h
B
4
H
9
C
A
Öklid bağıntısına göre
2
h = x.y
h = x.y dir. Buradan
h
⎪AH⎪ = √ ⎪BH⎪.⎪HC⎪ = 4.9 = 6
B
x
H
y
C
n tane sayının çarpımının n inci kuvvetten köküne bu sayıların geometrik ortalaması
denir.
x1, x2, ..........., xn sayılarının geometrik ortalaması n x1, x 2 , ..........., xn dir.
Aritmetik ortalamaları geometrik ortalamalarına eşit olan iki sayı arasındaki bağıntıyı bulalım.
224
x.y =
x+y
2
2
2
2(x.y) = (x + y)
2
2
2
2
4xy = x + 2xy + y
0 = x – 2xy + y
0 = (x – y)
0 =x–y
x = y dir.
2
1
2
tür. Bu kesrin payı 2 arttırılıp, paydası 3 azaltılırsa kesrin değeri oluyor.
3
3
Bu kesrin paydasını bulalım.
Bir kesrin değeri
Bu kesir
x
x+2
olsun. Payı 2 arttırılıp, paydası 3 azaltılırsa
kesri elde edilir.
3x
3x – 3
2
x+2
= eşitliğinden içler-dışlar çarpımı yapılarak
3x – 3 3
3.(x + 2) = 2.(3x – 3)
3x + 6 = 6x – 6 eşitliği bulunur.
6 + 6 = 6x – 3x
12 = 3x
x = 4 bulunur.
Payda 3x olduğundan, kesrin paydası 3.4 = 12 olur.
a
c
= = k eşitliğinde a.d = b.c olur.
b d
a:b=c:d
içler
dışlar
olmak üzere içler-dışlar çarpımı bozulmaksızın
orantıyı oluşturan değerler yer değiştirebilir.
a
c d
c a b b d
= ; = ; = ; =
b d b a c
d a
c
n ∈ R – {0} olmak üzere
a.n
c
= =k
b.n
d
m ∈ R – {0} olmak üzere
a:m c
= =k
b:m d
225
Bir babanın 6, 8 ve 12 yaşlarında üç çocuğu vardır. 605 lirayı aylık harçlık olarak küçük çocuğunun yaşıyla ters, diğer çocuklarının yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaştırmak istiyor. Her
bir çocuğun alacağı harçlık miktarını bulalım.
6, 8 ve 12 yaşlarındaki çocukların alacağı harçlık miktarı sırasıyla x, y ve z olsun. k orantı
sabiti olmak üzere,
6.x =
y
z
=
= k dir.
8 12
Buradan x =
k
, y = 8k, z = 12 k bulunur.
6
k
+ 8k + 12k = 605
6
k + 48k + 72k
= 605
6
121k
= 605
6
k = 30 ise
x=
30
=5
6
y = 8.30 = 240
z = 12.30 = 360 alır.
Ömer, fındık, ceviz ve kuru üzüm karışımından 1960 gram almıştır. Bu karışımdaki maddelea
2
b
5
rin miktarları sırasıyla a, b, c olsun. Bu miktarlar arasında
=
ve
=
oranları varsa kuru
b
3
c
8
üzümden kaç gram almıştır?
a 2
b 5
= ve = oranlarında ortak olan madde b dir.
b 3
c
8
a 2k
=
olsun. Buradan ikinci oranda b yerine 3k yazılırsa
b 3k
3k 5
=
c
8
c=
24k
olur.
5
2k + 3k +
226
24k
= 1960
5
10k + 15k + 24k
= 1960
5
49k
= 1960
5
k = 200 olur.
Bu karışımdaki kuru üzüm miktarı, c =
24.200
= 960 gramdır.
5
x + 3y 4
3x + 5y
= olduğuna göre,
oranı kaçtır?
2x
5
y
x + 3y 4
= ise,
2x
5
5x + 15y = 8x
15y = 3x
5y = x olur.
x yerine 5y yazılırsa,
3x + 5y 3.5y + 5y 20y
=
=
= 20 olur.
y
y
y
1)
Sinem, 40 dk basketbol oynamıştır. Bunun sonucunda 340 kalori harcamıştır.
Fulya, 30 dk bisiklete binmiştir. Bunun sonucunda 315 kalori harcamıştır.
a) Eşit sürelerde spor yapsalardı, hangisi daha çok kalori harcamış olurdu?
b) 1 saatte yakacakları kalori miktarını karşılaştırınız. Kalori açısından
hangi spor daha yararlıdır?
2)
4 kişilik bir ailenin yaş ortalaması 19 dur. 1 yıl sonra anne doğum yaptığında ailenin yaş
ortalaması kaç olur?
3)
2, 32 ve x sayılarının geometrik ortalamaları 6 ise x sayısını bulunuz.
4)
Bir traktörün ön tekerleğinin yarı çapının arka tekerleğinin yarı çapına
2
oranı tir. Ön tekerleğin 120 devir yaptığı bir yolda arka tekerlek kaç
5
devir yapar?
5)
Günde 3 saat çalışan 12 kamyon 5 günde 60 ton kum taşıdığına göre günde 5 saat çalışan 8 kamyon 9 günde kaç ton kum taşır?
227
a b
c
= = ve 3a + b – 2c = 105 olduğuna göre a kaçtır?
4 5 6
6)
7)
a
b
8
x+y
5x – 9y
3
24
2
Tabloda birbiriyle ters orantılı olan a ve b nin karşılıklı değerleri
y
verilmiştir. Buna göre değeri kaçtır?
x

Mevcut devlet yoluyla 8 - 10 saat arası süren İzmir-İstanbul arası yolculuğun, yapımı devam etmekte olan İzmir-İstanbul otoyolu sayesinde 3.5 saate
düşmesi bekleniyor.
423 km lik otoyol projesinin maliyeti 11 Milyar Türk Lirasıdır. 5 yılda tamamlanması planlanan projede 50 000 işçi çalışacaktır.

Bu projenin 4 yılda tamamlanabilmesi için kaç işçiye daha ihtiyaç vardır?
 Her bir aracın otoyolu kullanma bedeli 20 TL olacağı varsayılırsa, projenin maliyetinin 5
yılda karşılanması için bu otoyolu yılda ortalama kaç aracın kullanması beklenir?
 Bu projenin maliyetinin azaltılması için neler yapılabilir? Tartışınız.
 Yukarıdaki veriler yardımıyla uygun problemler oluşturunuz.

14 m derinliğindeki bir kuyunun dibine düşen bir çekirge kuyudan çıkmak için uğraşmaktadır.
Her sıçrayışında 4 m yükselen çekirge kuyunun kaygan olması nedeniyle 1 m geri kaymaktadır.
Bu çekirgenin kaçıncı sıçrayışında kuyudan çıkacağını bulalım.
Çekirge sıçrayışlarında 4 m yükselip 1 m geri kaydığı için her sıçrayışta 3 m yükselmektedir.
1. sıçrayışta 3 m,
2. sıçrayışta 6 m,
3. sıçrayışta 9 m,
4. sıçrayışta 12 m,
5. sıçrayışta çekirge kuyudan çıkmış olur.
Problem çözerken kullanılacak stratejiler şunlardır:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Deneme - yanılma
Şekil, tablo vb model kullanma
Sistematik bir liste oluşturma
Geriye doğru çalışma
Tahmin ve kontrol
Varsayımları kullanma
Problemi başka bir biçimde tekrar yazma
Problemi basitleştirme
Problemin bir bölümünü çözme
Bir problemin çözümünde; aynı problem için farklı stratejiler seçilebilir. Bazen bir bazen de bir kaç strateji birlikte kullanılabilir.
228
PROBLEMLER
Aşağıda verilen problem çözme basamaklarını takip etmeniz problemleri çözmenizde yardımcı olacaktır.
1) Problemi bir kere de siz kendi cümlelerinizle ifade ediniz.
2) Verilenleri ve isteneni netleştiriniz.
3) Kullanabileceğiniz ön öğrenmelerinizi tartışınız.
4) Çözüm için bir matematiksel model oluşturunuz.
5) Modelinizin doğru çalışıp çalışmadığını kontrol ediniz.
YAŞ PROBLEMLERİ
Ayla’nın yaşının 3 katının 4 eksiği, 5 yıl önceki yaşının 4 katının 2 fazlası olduğuna göre
Ayla’nın
y
şşimdiki yyaşını
ş bulalım?
Ayla’nın şimdiki yaşı x olsun. Verilenlere karşılık gelen denklem,
3x − 4 = 4(x − 5) + 2 olur.
3x − 4 = 4x − 18
x = 14 bulunur.
Beril ile babasının yaşları toplamı 60 tır. 5 yıl önce babasının yaşı Beril’in yaşının 4 katıydı.
Beril’in babasının bugünkü yaşını bulalım.
Beril’in babasının bugünkü yaşı x olsun. Bu durumda Beril’in yaşı 60 − x olur.
Baba
Beril
x
60 − x
x−5
60 − x − 5
Bugün
5 yıl önce
yaşındadır.
x − 5 = 4.(60 − x − 5)
x − 5 = 4.(55 − x)
x = 45 bulunur.
Bir babanın bugünkü yaşı, kızının bugünkü yaşının 3 katından 8 fazladır. Kız, babasının
bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 104 olursa babanın bugünkü yaşını bulalım?
Kızın yaşına x dediğimizde babanın yaşı 3x + 8 olur.
Kız, babasının yaşına 2x + 8 yıl sonra geldiğinde babası 3x + 8 + 2x + 8, kızı 3x + 8 yaşında
olur.
229
3x + 8 + 2x + 8 + 3x + 8 = 104
8x + 24 = 104
8x = 80
x = 10
Babanın bugünkü yaşı ise 3.10 + 8 = 38 bulunur.
Çiğdem’in Gülce ve Derin adında iki çocuğu vardır. Çiğdem’in bugünkü yaşı, Gülce ile Derin’in
yaşları farkının 6 katına eşittir. 10 yıl sonra Çiğdem'in yaşı, Gülce ile Derin'in yaşları farkının 8
katına eşit olacağına göre Çiğdem'in bu günkü yaşını bulalım.
Çiğdem’in bugünkü yaşına x, Gülce ile Derin’in yaşları farkına y diyelim. Bu durumda,
x = 6y olur. Buradan y =
x
dır.
6
10 yıl sonra Çiğdem’in yaşı x + 10 olup Gülce ile Derin’in yaşları farkı yine y olacaktır. Bu
durumda, x + 10 = 8y olur. Buradan y =
O hâlde,
x + 10
dir.
8
x
x + 10
=
6
8
8x = 6x + 60
2x = 60
x = 30 bulunur.
Berkant’ın yaşı 25, annesinin yaşı ise 45 tir. Annenin yaşının kaç yıl sonra Berkant’ın yaşının
3
katı olacağını bulalım.
2
x yıl sonra Anne’nin yaşı, Berkant’ın yaşının
3
.(25 + x) = x + 45 olur.
2
75 + 3x
2
= x + 45
2x + 90 = 3x + 75
230
⇒
x =15 yıl bulunur.
3
katı olsun. Bu durumda,
2
Süha’nın yaşı, Sude ve Yağmur'un yaşları toplamının 2 katından 3 fazladır. 20 yıl sonra
Süha’nın yaşı Sude ve Yağmur’un yaşları toplamına eşit oluyorsa Süha’nın şimdiki yaşını bulalım.
Sude ile Yağmur’un yaşları toplamına x diyelim.
Süha’nın şimdiki yaşı,
20 yıl sonra Süha,
Sude ile Yağmur’un yaşları toplamı,
2x + 3 olur.
2x + 3 + 20;
x + 20 + 20 olur.
2x + 23 = x + 40
x = 17 dir.
Süha’nın bugünkü yaşı, 2.17 + 3 = 37 olur.
YÜZDE PROBLEMLERİ
Bir satıcı aldığı malın önce % 30 unu, sonra da kalanın %50 sini sattığına göre malın yüzde
kaçının satılmadığını bulalım.
Satıcının malları x tane olsun.
30
30x
3x
=
=
dir.
100
100
10
Önce satılan:
x.
Kalan:
x−
Sonra satılan:
7x 50
7x 1
7x
.
=
. =
dir.
10 100
10 2
20
Geriye kalan:
7x
7x
7x
−
=
dir.
10
20
20
3x
7x
=
dir.
10
10
7x
35
=
. x olduğundan malın % 35’i satılmamıştır.
100
20
(5)
Bir gömlek % 20 kârla 48 TL ye satılmaktadır. Bu gömlek % 10
zararına satılırsa satış fiyatının kaç TL olacağını bulalım.
Gömleğin alış fiyatı x TL olsun.
Kâr:
x.
20
2x
x
=
=
100
10
5
231
Kârlı satış fiyatı:
x+
x
= 48
5
6x
= 48
5
Zarar:
x = 40 TL dir.
10
x
x.
=
100 10
Zararına satış fiyatı: x −
x
9x
=
10 10
=
9.40
10
= 36 TL bulunur.
Okul kantinini işleten Hasan, alış fiyatı üzerinden çikolatalara % 30 kâr koyup satmayı düşünüyor. Bir süre sonra hiç çikolata satamayan Hasan, çikolataları satış fiyatı üzerinden % 30 indirimle satışa sunuyor. Bu durumda çikolataların tamamı satılıyor. Hasan’ın kâr ve zarar durumunu
karşılaştıralım.
Çikolataların maliyeti x TL olsun.
30
3x
% 30 kâr: x.
=
dir.
100
10
Satış fiyatının % 30 u:
% 30 kârlı fiyat: x +
3x
13x
=
olur.
10
10
13x 30
13x 3
39x
.
=
.
=
dir.
10 100
10 10
100
Satış fiyatı üzerinden % 30 indirimli fiyat:
13x
39x
91x
−
=
dir.
10
100
100
Çikolatalar maliyetin % 91’ine satıldığından Hasan % 9 zarar etmiştir.
0,9 TL
1,2 TL
Bir manav kilosu 0,9 TL olan patatesten 120, kilosu 1,2
TL olan patatesten 180 kg alıp patatesleri karıştırıyor ve tamamını 405 TL ye satıyor. Manavın patates satışındaki kâr yüzdesini
bulalım.
120 kg patates 0,9 TL den
180 kg patates 1,2 TL den
120.(0,9) = 108 TL
180.(1,2) = 216 TL ye alınır.
Toplam 120 + 180 = 300 kg patates 324 TL ye alınmıştır.
Kâr: Satış − Alış = 405 − 324 = 81 TL.
Kâr yüzdesi:
232
Kâr
81
1
=
=
= % 25 olur.
Alış
324
4
Alkol oranı % 30 olan 72 L alkol ve su karışımı ile, alkol oranı % 40 olan 48 L alkol ve su karışımı karıştırılıyor. Yeni karışımın alkol yüzdesini bulalım.
1. Yol:
30
x
=
100
72
⇒
x = 21,6 L dir.
40
y
=
100
48
⇒
y = 19,2 L dir.
Yeni karışımın yüzdesi m olsun. O hâlde,
21,6 + 19,2
m
=
72 + 48
100
m = 34 olur.
2. Yol:
Yeni karşımın yüzdesi % x olsun.
72.
30
40
x
+ 48.
= 120.
100
100
100
72.30 + 48.40
120x
=
100
100
⇒
72.3 + 48.4 = 12.x
Bir karışımda A maddesinin yüzde oranı =
⇒
x = 34 bulunur.
Karışımdaki A maddesinin miktarı
Karışım miktarı
dır.
Arzu, limonata yapmak için 4 ölçek suya 2 ölçek şeker katarak şekerli su oluşturuyor. Karışımın çok tatlı olduğunu fark edince şeker oranını % 10 a düşürmek için karışıma bir miktar su ilave ediyor. Arzu’nun kaç ölçek su ilave ettiğini
bulalım.
Bir ölçek x ilave edilen su miktarına y diyelim.
4x.
0
10
0
10
+ 2x.
+ y.
= (6x + y).
100
100
100
100
200x
10.(6x + y)
=
100
100
233
20x = 6x + y
14x = y
Arzu, 14 ölçek su ilave etmiştir.
3000 TL’nin yıllık % 8 faiz oranı ile
a) 3 yıllık
b) 5 aylık
c) 45 günlük faizlerini bulalım.
3000.8.3
= 720 TL faiz
100
5
3000.8.
12
b) F =
= 100 TL faiz
100
a) F =
3000.8.
c) F =
45
360
100
= 30 TL faiz
F: faiz miktarı, A: ana para, n: faiz yüzdesi ve t: zaman olmak üzere,
Bankaya A TL yıllık % n den faize yatırılan paranın basit faizi: F =
A.n.t
(yıllık),
100
A.n.
Bankaya A TL yıllık % n den faize yatırılan paranın basit faizi: F =
100
A.n.
Bankaya A TL yıllık % n den faize yatırılan paranın basit faizi: F =
tür.
Bir emekli, parasının
t
12
t
360
100
(aylık),
(günlük)
2
ini A bankasına yıllık % 10 faiz oranı ile 7 aylığına, kalan parasını da
5
B bankasına yıllık % 14 faiz oranı ile 10 aylığına yatırmıştır. B bankasına yatırılan para, A bankasına yatırılan paradan 2800 TL daha fazla faiz getirmiştir. Emekli, A ve B bankalarına toplam
kaç bin TL yatırmıştır?
Emeklinin toplam parasına 5x, A bankasından alınan faiz F1, B bankasından alınan faiz F2
diyelim.
234
F2 − F1 = 2800
3x.
10 7
14 10
.
− 2x.
.
= 2800
100 12
100 12
3x.14.10 − 2x.10.7
= 2800
100.12
x = 12000 TL
Emekli A ve B bankalarına toplam,
5x = 5.12000
= 60000 TL yatırmıştır.
Mesut 13000 TL birikimi olan bir işçidir. Fiyatı 19000 TL olan bir otomobil alıyor. Eksik olan
6000 TL yi bankadan aylık % 2 faizle 20 ay vadeli kredi olarak tamamlıyor. Mesut’un aylık ödemelerini hesaplayalım.
6000 TL nin aylık % 2 den 20 aylık faizi, 6000.
2
.20 = 2400 TL dir.
100
Faiz ile birlikte bankaya 20 ayda ödenecek toplam borç, 6000 + 2400 = 8400 TL olup 1 aylık
ödeme,
8400
= 420 TL olur.
20
24000 TL, 108 günde 1296 TL faiz getirdiğine göre yıllık faiz oranını bulalım.
Yıllık faiz oranı % x olsun. Bu durumda,
24000.
x 108
.
= 1296
100 360
⇒
24000.x.108
= 1296
36000
⇒
x = 18 olur.
Yıllık faiz oranı % 18 dir.
HIZ PROBLEMLERİ
Aralarında 600 km uzaklık bulunan A ve B şehirlerindeki iki araç aynı anda birbirlerine doğru hareket ediyor. Birinin hızı 60 km/sa diğerinin hızı ise 40 km/sa olduğuna göre iki araç kaç saat sonra karşılaşırlar?
235
60 km/sa
A
C
x km
40 km/sa
B
y km
İki aracın şemadaki gibi A ile B şehirleri arasında bir C noktasında t saat sonra karşılaştıklarını varsayalım. A ile C arası x km, B ile C arası y km olsun.
Alınan yol = (hız).(zaman) dır. Buna göre,
x = 60.t ve y = 40.t olur. x + y = 600 km olduğundan
600 = 60t + 40t
600 = 100t
t = 6 saattir.
S: alınan yol, V: hareketlinin hızı, t: zaman olmak üzere, alınan yol:
Ayrıca, ortalama hız:
Vort =
Alınan toplam yol
Geçen toplam zaman
S = V.t dir.
dır.
Hızı saatte 50 km/sa olan bir otomobil ile hızı saatte 30 km/sa olan bir bisikletli arasında 140
km mesafe bulunmaktadır. Aynı yöne doğru ve aynı anda hareket ettiklerinde otomobilin bisikletliye kaç saat sonra yetişeceğini bulalım.
(otomobil)
50 km/sa
A
B
140 km
(bisiklet)
30 km/sa
x km
C
B ile C arası x km olmak üzere otomobilin bisikletliye C noktasında t saat sonra yetiştiğini
varsayalım.
140 + x = 50.t
x = 30.t
⇒
140 + 30t = 50t
20t = 140
t = 7 saat olur.
Otomobil bisikletliye 7 saat sonra yetişir.
Bir nehirde akıntı yönünde giden teknenin hızı 12 km/sa, akıntıya karşı hızı 8 km/sa tir.
Buna göre akıntının hızının kaç km/sa olduğunu bulalım.
236
Akıntı yönünde giden hareketlinin hızı, kendi hızı ile akıntı hızının toplamından; akıntıya karşı giden hareketlinin hızı, kendi hızı ile
akıntı hızının farkından oluşur.
Teknenin kendi hızı x ve akıntı hızı y olsun.
x+y
= 12
x−y
=8
⇒
x+y
= 12
+ −x + y
= −8
2y = 4
y = 2 km/sa bulunur.
Akıntının hızı 2 km/sa tir.
Nehirdeki bir tekne 240 km lik bir yolu akıntının etkisiyle 6 saatte gidebilirken 12 saatte geri
dönebiliyor. Teknenin hızının kaç km/sa olduğunu bulalım.
Teknenin hızı x, akıntını hızı y olsun.
240 = (x + y).6
240 = (x − y).12
⇒
x + y = 40
+
x − y = 20
2x = 60
x = 30 km/sa bulunur.
Teknenin hızı 30 km/sa tir.
Mine ile Sinem, Kuşadası’nda aynı sitede oturan iki arkadaştır. Aynı anda Ankara’dan Kuşadası’na doğru iki ayrı
otomobille yola çıkıyorlar. Ankara ile Kuşadası’ndaki site
arası 720 km dir. Mine 80 km sabit hız yaparak Sinem’den 1
saat önce siteye ulaşmıştır. Sinem’in saatte kaç km sabit hızla yol aldığını bulalım.
Mine’nin yolculuğunun t saat olduğunu varsayalım. Bu durumda Sinem’in yolculuğu (t + 1)
saat sürecektir. Sinem, otomobilini V km/sa sabit hız ile kullanırsa,
720 = 80.t
720 = V.(t + 1)
olur. Buradan, t =
720
= 9 sa bulunur.
80
720 = V.(9 + 1) olduğundan
237
10V = 720
V = 72 km/sa bulunur.
Sinem otomobiliyle 72 km/sa hız ile yol almıştır.
Bir kamyon, İzmir’den Ankara’ya 60 km/sa hızla
gitmiş ve V km/sa hızla dönmüştür. Bu gidiş dönüşte
aracın ortalama hızı 70 km/sa olduğuna göre V nin
değerini bulalım.
Ortalama hız =
Toplam yol
Toplam zaman
İzmir - Ankara arası yola x, gidişte geçen zamana t1 ve dönüşte geçen zamana t2 diyelim.
Gidişte geçen zamanı, hız ve yol cinsinden yazalım.
x = 60.t1 ⇒
t1 =
x
tır.
60
Dönüşte geçen zamanı, hız ve yol cinsinden yazalım.
x = V.t2 ⇒
t2 =
x
dir.
V
t1 ve t2 değerlerini ortalama hız formülünde yerlerine yazalım.
70 =
x+x
t1 + t2
70 =
2.x
t1 + t2
70 =
70 =
2.x
x
x
+
60
V
2
1
1
+
60
V
V = 84 km/sa bulunur.
238
İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
2
Aynı nitelikte 3 işçi 2 günde 24 m duvar örüyor. İşe başladıktan 5 gün sonra bir işçi hastalanıp işi bırakıyor. Kalan duvarları 2 işçi 13 gün daha çalışıp işi bitiriyorlar. Bu işin tamamını 1 işçinin
kaç günde bitirdiğini bulalım.
1. Yol:
2
3 işçi
1 günde
12 m duvar örer.
1 işçi
1 günde
4 m duvar örer.
3 işçi
5 günde
12.5 = 60 m duvar örer.
2 işçi
1 günde
8 m duvar örer.
2 işçi
13 günde
13.8 = 104 m duvar örer.
2
2
2
2
2
İşin tamamı 60 + 104 = 164 m dir.
164
2
1 işçi 164 m duvarı
= 41 günde örer.
4
2. Yol:
İşe başlayan 3 işçinin 5 günde yaptığı işi
1 işçi
15 günde,
2 işçinin 13 günde yaptığı işi 1 işçi
26 günde,
İşin tamamını 1 işçi 15 + 26 = 41 günde bitirir.
Özcan bir işin
3
3
ünü 6 günde, Ata aynı işin
ünü 9 günde yapmaktadır. İkisinin birlikte aynı
4
8
işin tamamını kaç günde bitirdiğini bulalım.
Özcan işin
1
1
ini 2 günde, tamamını 8 günde; Ata işin
ini 3 günde, tamamını 24 günde;
4
8
Özcan ile Ata beraber 1 günde
1
1
4
1
+
=
=
sını, tamamını 6 günde bitirirler.
8
24 24
6
Nur ile Nesrin bir işi birlikte 12 günde bitirebilmektedir. 3 gün bir-likte çalıştıktan sonra
Nesrin işi bırakıyor. Kalan işi Nur 27 günde bitiriyor. Nesrin’in bu işi tek başına kaç günde bitireceğini bulalım.
239
Beraber 1 günde
1
1
1
sini, 3 günde 3.
=
ünü bitirdiklerine
12
12
4
göre Nur tek başına işin
3
1
ünü 27 günde,
ünü 9 günde, tamamı4
4
nı 36 günde bitirir. Nesrin’in tek başına x günde bitirdiğini varsayalım.
Beraber 1 günde
1
sini bitirdiklerine göre,
12
1
1
1
+
=
x
36
12
1
1
1
=
−
x
12
36
1
1
=
x
18
x = 18 olur. Nesrin işin tamamını 18 günde bitirir.
Aynı iş gücüne sahip 4 işçi birlikte bir işi 24 günde bitirebilmektedir. Bu işçiler beraber işe
başladıktan 4 gün sonra 2 işçi işi bırakıyor. Kalan işçiler ise işe devam ediyor. İlk ayrılan işçilerden
3 gün sonra bir işçi daha işten ayrılıyor. Kalan son işçi ise işi tek başına bitiriyor. İşten hiç ayrılmayan işçinin toplam kaç gün çalıştığını bulalım.
4 işçinin 24 günde bitirdiği işi 1 işçi 96 günde bitirir.
1 işçi 1 günde
1
sını,
96
4 işçi 1 günde
4
sını,
96
4 işçi 4 günde
1
16
=
sını bitirir.
96
6
2 işçi 1 günde
2
sını,
96
2 işçi 3 günde 3.
İşin biten kısmı
2
6
1
=
=
sını bitirir.
96 96 16
1 11
48 11 37
1
+
=
olur. Kalan kısmı ise
−
=
dir.
16 48
48 48 48
6
Arkadaşları ile 7 gün çalışan son işçi,
240
1 günde
1
sını yaparsa
96
x günde
37
ini yapar
48
x.
1
37
=
96 48
x = 74 günde tek başına çalışmıştır.
İşten hiç ayrılmayan son işçi toplam 7 + 74 = 81 gün çalışmıştır.
A
B
C
a) A musluğu 1 saatte
A musluğu tek başına boş bir havuzu 8 saatte, B musluğu ise
aynı havuzu 6 saatte doldurmaktadır. Bu havuz dolu iken dibindeki bir
C musluğu da bu havuzu 12 saatte boşaltmaktadır. Havuz boş iken;
a) C musluğu kapalı iken A ve B muslukları birlikte açılırsa havuzun kaç saatte dolduğunu,
b) B musluğu kapalı ilen A ve C muslukları birlikte açılırsa havuzun kaç saatte dolduğunu,
c) Her üç musluk da beraber açılırsa havuzun kaç saatte dolduğunu bulalım.
1
1
ini doldurur. B musluğu 1 saatte
sını doldurur.
8
6
A ve B musluğu birlikte 1 saatte
1
1
7
+
=
ünü doldurur.
8
6
24
A ve B musluğu birlikte tamamını
b) A musluğu 1 saatte
1
1
ini doldurur. C musluğu 1 saatte
sini boşaltır.
12
8
A ve C musluğu birlikte 1 saatte
1
1
1
−
=
ünü doldurur.
8 12 24
A ve C musluğu birlikte tamamını
c) A musluğu 1 saatte
atte
24
saatte doldurur.
7
24
= 24 saatte doldurur.
1
1
1
ini doldurur. B musluğu 1 saatte
sını doldurur. C musluğu 1 sa8
6
1
sini boşaltır.
12
1
1
1
5
+
−
=
sini doldurur.
8
6 12 12
12
Üç musluk beraber havuzun tamamını
saatte doldurur.
5
Üç musluk beraber 1 saatte
241
A
B
C
Şekildeki gibi boş bir havuzu A musluğu 12 saatte, B musluğu 6 saatte doldurmaktadır. Havuzun ortasında bulunan C
musluğu ise dolu havuzun kendi seviyesine kadar olan kısmını 4 saatte boşaltmaktadır. Her üç musluk birlikte açıldığında boş havuz kaç saatte dolar?
C musluğuna kadar havuzun yarısını A musluğu 6 saatte, B musluğu 3 saatte doldurur.
1
1
1
A ile B birlikte diğer yarısını
+
= , x = 2 saatte doldurur.
6
3
x
A, B ve C birlikte diğer yarısını
1
1
1
1
+
−
= , y = 4 saatte doldurur.
6
3
4
y
Buna göre havuzun tamamı 2 + 4 = 6 saatte dolar.
A musluğu boş havuzu 9 saatte, B musluğu aynı havuzu 12 saatte doldurmaktadır. Bu havuzun dibinde bulunan C musluğu ise dolu havuzu 18 saatte boşaltmaktadır. Üç musluk birlikte açıldıktan 2 saat sonra B musluğu kapatılıyor. B musluğu kapatıldıktan 3 saat sonra da C musluğu
kapatılıyor. A musluğunun havuzun kalan kısmını kaç saatte doldurduğunu bulalım.
1. Yol:
Üç musluk beraber açıldıklarında,
1
1
1
5
1 saatte
+
−
=
sını,
9 12 18 36
2 saatte
2.
10
5
=
sını doldurur.
36 36
A ile C birlikte,
1
1
1
1 saatte
−
=
ini,
9 18 18
3 saatte
242
3.
1
1
=
sını doldurur.
18 6
Toplam dolan kısım
10 1 16 4
9
4
5
+
=
=
dur. Boş kısım ise
−
=
dur.
36 6 36 9
9
9
9
A musluğu 1 saatte
1
5
unu doldurursa
unu da 5 saatte doldurur.
9
9
2.Yol:
(
) (
)
1
1
1
1
1
1
1
+
−
.2 +
−
.3 + .x =
9 12 18
9 18
9
1
1)
2)
⇒
x = 5 saat bulunur.
Turistik bir otelin havuzunu özdeş 5 musluk, beşer dakika arayla otomatik olarak aç›larak
havuzun tamamı 40 dakikada doldurmaktadır. Buna göre sadece bir musluk bu havuzu
kaç dakikada doldurur?
A
B
h
C
h
D
h
E
A musluğu şekildeki gibi 3h yüksekliğindeki boş bir havuzu 8
saatte, B musluğu ayn› boş havuzu 6 saatte doldurmaktad›r.
Havuzun dibindeki E musluğu ise bu havuzu doluyken tek baş›na 12 saatte boşaltmaktad›r.
Diğer musluklar kapal› iken dolu havuzu kendi seviyesine kadar, D musluğu tek baş›na 12 saatte, C musluğu ise 4 saatte
boşaltmaktad›r. Bütün musluklar aç›k olursa boş havuz kaç saatte dolar?
3)
Boylar› eşit olan iki mumdan biri 4 saatte diğeri 6 saatte tamamen yanmaktad›r. ‹kisi birlikte yak›ld›ktan kaç saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun 3 kat› uzunluğunda olur?
4)
Dedesi Hasan’a “Saat kaç?” diye sordu. Hasan duvardaki saate bakt› ve dedesine “Saat
4.00 dedeciğim.” dedi. Dedesi de Hasan’a aşağ›daki sorular› sordu:
a)
“Kaç dakika sonra akrep ile yelkovan üst üste gelir?”
b)
“Saat 19.54 te akrep ile yelkovanın arasındaki dar açı kaç derecedir?”
5)
4 yanl›ş›n bir doğruyu götürdüğü 60 soruluk bir s›navda her doğru yan›t 5 puand›r. Bu
s›navda Eda bütün sorular› işaretleyip 225 puan ald›ğ›na göre kaç soruya doğru yan›t
vermiştir?
6)
Bir ilde yap›lan okullar aras› atletizm yar›şmas›na her okuldan 4 öğrenci kat›lm›şt›r.
Yar›şmada ilk 3 dereceye girenler millî tak›m seçmelerine çağr›lacakt›r. Yar›şma sonunda 1. gelen 2. den 200, 3. den 300 metre önde yar›ş› bitirmiştir. 2. gelen de 3. gelenden
120 metre önde yar›ş› bitiriyor. Buna göre yarış pistinin uzunluğunu bulunuz.
7)
Maaş›na % 20 zam yap›lan bir memurun zaml› maaş›ndan % 5 kesinti yap›ld›ğ›na göre
bu memur net % kaç zam alm›şt›r?
8)
2
Bir kasanıntamamı çilekle doluyken ağırlığı 11 kg, si çilekle dolu iken ağırlığı 8 kg dır.
3
Boş kasanın ağırlığı kaç kg dır?
9)
3 işçi 9 m hal›y› 36 günde dokursa 8 işçi 12 m hal›y› kaç günde dokur?
2
2
10) ‹ki şehir aras› 340 km dir. Yolun bir k›sm› asfalt, bir k›sm› toprakt›r. Bir araç asfalt yolda
80 km/sa h›zla, toprak yolda 50 km/sa h›zla giderek yolun tamam›n› 5 saatte gitmiştir.
a)
Toprak yol kaç km dir?
243
b)
Asfalt yol kaç km dir?
11) Bir ceketi % 25 kârla 300 TL ye, bir kaban› % 25 zararla 300 TL ye satan bir sat›c›n›n bu
sat›şlardaki kâr ve zarar durumu için ne söylenebilir?
12)
A
Şekildeki gibi dairesel bir pistin A noktas›ndan ayn› anda farkl› yönlere
doğru 15 metre/dakika ve 25 metre/dakika h›zla koşan iki atlet 20 dakika sonra karş›laş›yor. Bu iki atlet A noktas›ndan ayn› anda ayn› yöne
doğru hareket etselerdi kaç dakika sonra h›zl› olan yavaş olana yetişirdi?
2
sini V h›z›yla yolun kalan k›sm›n› 3V h›z›yla giderek 14
3
2
saatte tamaml›yor. Araç ayn› yolun
sini 3V h›z›yla kaç saatte alabilir?
5
13) Bir araç 600 km’lik bir yolun
4.
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI
A. Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları yanıtlayınız.
1)
+
A) 18
2)
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
B) 5
C) 6
D) 7
E) 10
B) 87
C) 89
D) 93
E) 95
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
7, sayı tabanı olmak üzere (12a)7 sayısı tek sayıdır. Buna göre a nın alabileceği kaç farklı
rakam vardır?
A) 1
244
E) 36
a, sayı tabanı olmak üzere (48)a + (36 )a = (82)a eşitliğini sağlayan a sayısı kaçtır?
A) 12
7)
D) 32
4 ve 6 sayı tabanı olmak üzere (101)4 = (x5)6 eşitliğini sağlayan x kaçtır?
A) 1
6)
C) 28
Ardışık üç tek doğal sayının toplamı 273 ise bu sayıların en küçüğü kaçtır?
A) 75
5)
B) 24
3.45.125.35.20.64 çarpımının sondan kaç basamağı sıfırdır?
A) 1
4)
3
6.15.32.125.45 çarpımı kaç basamaklı bir sayıdır?
A) 5
3)
2
a, b ∈ N olmak üzere 96a = b eşitliğini sağlayan en küçük a + b toplamı kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8)
+
a, b ∈ Z ,
A) 13
9)
18!
∈ Z ise a + b toplamının en büyük değeri kaçtır?
3a .5b
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
A = 1800…0 sayısının 90 tane pozitif tam sayı böleni varsa A sayısı kaç basamaklıdır?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
10) 750 sayısının kaç tane tek doğal sayı böleni vardır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 16
E) 18
11) 60 ve 96 sayılarının asal olmayan kaç tane ortak pozitif tam sayı böleni vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
12) Her çocuğa eşit sayıda vermek üzere, yeterince çocuğa 144 bilye kaç değişik biçimde
dağıtılabilir?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
13) Dört basamaklı 2k75 sayısı 11 ile tam bölünüyorsa k kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
14) Beş basamaklı a7a2a sayısı 18 ile tam bölünmektedir. Buna göre a kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
15) Dört basamaklı, rakamları farklı 8m2n sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre
m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
16) Beş basamaklı 4m32n doğal sayısı 45 ile bölündüğünde 33 kalanını vermektedir. Buna
göre m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
17) a, b, c ∈ N, x = 5a + 2 = 7b + 4 = 10c + 7 eşitliğini sağlayan üç basamaklı en küçük x sayısı
kaçtır?
A) 504
B) 413
C) 347
D) 144
E) 137
18) Kenar uzunlukları 18 m, 24 m, 36 m ve 42 m olan dörtgen biçimindeki bir bahçenin köşelerine de dikilmek şartıyla eşit aralıklarla zeytin fidanı dikilecektir. En az kaç fidan gerekir?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 22
19) İki sayının ebob u ile ekok’unun çarpımı 1392 dir. Sayılardan biri 24 ise diğer sayının pozitif bölenleri kaç tanedir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
20) ebob(a , b) = 4 ve ekok(a , b) = 960 ise a + b toplamı en az kaçtır?
A) 96
B) 112
C) 120
D) 124
E) 130
245
21) 123
1024
sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
22) Z/6 kümesinde (2x + 3).(3x + 5) işleminin sonucu nedir?
A) 3x + 2 B) 2x + 1
D) x – 3
C) 3x + 4
E) x + 3
23) Z/5 kümesinde x + 2x – 3 = 2 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
2
A) {4, 3}
B) {0, 3}
C) Ø
D) {0}
E) {3}
24) Bir duvar saati her altı günde bir kurulmaktadır. 1. kuruluşu pazar günü ise 18. kuruluşu
hangi günde olur?
A) Salı
B) Çarşamba
C) Perşembe
D) Cuma
E) Cumartesi
25) 3x − 9 ≡ x + 11 (mod (x + 3)) denkliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
⎛
1⎞ ⎛
1⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜3 − ⎟ − ⎜ 4 − ⎟ + ⎜ −1⎟ + ⎜1− ⎟
⎝
3⎠ ⎝
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ kesrinin değeri kaçtır?
26)
⎛
⎞ ⎛
1⎞ ⎛1
1⎞
1⎞ ⎛
⎜ 4 − ⎟ + ⎜6 + ⎟ − ⎜ + 3 ⎟ − ⎜8 − ⎟
⎝
⎠ ⎝
4⎠ ⎝2
2⎠
4⎠ ⎝
A) 1
B) 2
6
27) 3 +
2
2+
1+
A) 5
28) A =
D) 6
E) 8
= 5 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
1
x −1
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
2 6 13
7 11 6
−
−
, B= −
−
olarak veriliyor. B nin A cinsinden değeri nedir?
9 17 19
9 17 19
A) 2A − 1
29)
C) 3
B) −1 − A
C) A + 2
D) 3A + 1
E) 2A
D) 3
E) 2
0,2 0,06 5
+
−
işleminin sonucu kaçtır?
0,02 0,03 0,5
A) 6
B) 5
C) 4
30) 2,36 devirli ondalık sayısına hangi pozitif sayı eklenirse toplam en küçük pozitif tam sayı
olur?
A)
246
19
30
B)
11
18
C)
17
30
D)
1
18
E)
1
6
31) m = 2,27 – 1,9 ve n = 1,16 + 2,9 ifadeleri veriliyor. Buna göre
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
7n
kesrinin değeri kaçtır?
15m
E) 4
32) 3x − 19 < x + 5 < 3x − 9 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 30
B) 35
C) 38
D) 42
E) 45
33) a, b ∈ R, 2 < a < 5 ve 4 < b < 7 olduğuna göre 4a − 3b ifadesinin en büyük tam sayı değeri
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
34) a, b ∈ Z, 3 < a < 7 ve −2 < b < 5 olduğuna göre 2a − 3b ifadesinin en büyük tam sayı değeri
kaçtır?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
35) Sinem, Arzu’nun ablasıdır. Sinem’in yaşı 35’ten küçüktür. Arzu’nun yaşı Mine’nin yaşının
2 katından 5 eksiktir. Mine’nin yaşı en çok kaç olabilir?
A) 19
B) 20
36) ⎪x – 2⎪ < 5 olmak üzere,
A) 9
C) 21
D) 22
E) 23
2
(x + 3) + (x – 7) işleminin sonucu kaçtır?
B) 10
2
C) 11
D) 12
E) 13
37) ⏐x – 6⎪ – 8⎪ = 12 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 26
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
38) x, y ∈ R, ⎪x – y + 4⎪ + ⎪x + y – 5⎪ = 0 ise −4x + 8y ifadesinin değeri kaçtır?
A) −26
39)
B) −30
C) 34
D) 38
E) 42
4x 2 – 4x + 1 ≤ 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
40) x ∈ R olmak üzere
A) 5
C) 4
D) 5
E) 6
16
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
x+2 + x−6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
−1
⎛ (−a 2 ) .a 3 .(−a )6 ⎞
⎟ işleminin sonucu nedir?
41) ⎜⎜
3 ⎟
⎝ (−a 5 ) .(−a 4 ) : (−a −1 ) ⎠
A) a
m
B)
m+2
42) 4 + 480 = 4
A) 1
1
a
ise m kaçtır?
3
B)
2
C) −a
D) −
C) 2
D)
5
2
1
2a
3
E) a
E)
7
2
247
x
x−1
43) 30 = 25 ise 5
A) 10
D) 25
E) 30
44) 3 = 128 ve 2 = 243 ise x.y işleminin sonucu kaçtır?
A) 40
B) 35
C) 30
D) 25
E) 20
x
−
1
3
=
1
25 4− x
A) 3
46)
( x − 2)
C) 5
D) 6
E) 7
2
x − 3x + 2
= 1 ifadesini doğrulayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
5− 2
5+ 2
+
işleminin sonucu kaçtır?
5+ 2
5− 2
47)
16
3
A)
B) 5
C)
14
3
32 + 18 − 2 − 3
işleminin sonucu
8 −1
kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
49) 4
2
x − 4 x+ 4
A) 0
=
D)
13
3
E) 4
D) 3
E) 2
5
3
E) −
64
ise x kaçtır?
16 x
B) 1
C) 2
D)
5
3
11− 112 + 11+ 112 işleminin sonucu kaçtır?
50)
A) 2
B) 0
C) 10
D) 210
E) 27
C) 5
D) 25
E) 0
C) −6
D) −5
E) −4
C) 6
D) 12
E) 36
8 + 2 15 − 8 − 60 işleminin sonucu kaçtır?
51)
A) 3
B) 23
8
+ 31− x = 81 ise x kaçtır?
3x −1
52)
A) −8
3
53)
ise x kaçtır?
B) 4
A) 4
48)
C) 20
y
⎛ 0,008 ⎞
45) ⎜
⎟
⎝ 125 ⎠
2x
2
x
A) 1
248
x+1
.6
kaçtır?
B) 15
=
B) −7
1
ise x kaçtır?
64
B) 2
54) 5 x .125 x − 3 = 625. 3 5 ise x kaçtır?
A)
55) x =
10
3
B) 3
1
3
3
−m
A) x + 2
56)
5 4
m+2
ise 3
C)
8
3
D)
7
3
E) 2
sayısının x cinsinden değeri nedir?
B) x
2
C) x
3
D) 3x
3
E) 9x
3
(−3)80 .340 işleminin sonucu kaçtır?
A) 81
B) 27
C) 9
D) 3
E) 1
57) x, y, z sayıları sırasıyla 2, 3 ve 11 sayılarıyla ters orantılıdır. x + y + z = 122 ise y kaçtır?
A) 36
B) 40
C) 44
D) 48
E) 52
58) Tuz oranı % 40 olan 120 gram suya 32 gram tuz ve 8 gram su ilave edilirse yeni karışımın
tuz oranı yüzde kaç olur?
A) 45
B) 50
C) 52
D) 56
E) 60
59) 2400 TL yıllık % 12 faiz oranı ile 10 ayda kaç TL faiz getirir?
A) 180
B) 200
C) 220
D) 240
E) 280
Şekildeki A ve B şehirleri arası 90 km’dir. A şehrinden hızı saatte 75 km ve B şehrinden hızı 60 km olan
iki araç aynı anda C şehrine doğru hareket ediyorlar. Kaç saat sonra arkadaki araç öndeki
aracı yakalayıp 120 km önüne geçer?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
60) A
B
C
61) Bir baba ile 3 çocuğunun yaşları toplamı 96 dır. 4 yıl sonra babanın yaşının iki katı, çocukların yaşları toplamının 3 katından 4 fazla olacaktır. Babanın bugünkü yaşı kaçtır?
A) 60
B) 61
C) 62
D) 63
E) 64
62) Sinan’ın 4 günde yaptığı işi Mehmet 5 günde yapmaktadır. Aynı işi beraber 10 günde bitirmektedirler. Beraber 2 gün çalıştıktan sonra Sinan işten ayrılıyor. Kalan işi Mehmet kaç
günde yapar?
A) 20
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
B. Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız.
1)
(....) En küçük doğal sayı 1 dir.
2)
(....) En küçük asal sayı 1 dir.
3)
(....) Her asal sayı tektir.
4)
(....) Karesi kendisinden küçük olan sayılar 0 ile 1 arasındadır.
249
5)
(....) Her gerçek sayının sıfırıncı kuvveti 1 dir.
6)
(....) Tam sayılar kümesinde çıkarma işleminde kapalılık özelliği vardır.
7)
(....) 2 ve 4 e tam bölünen her sayı 8 ile tam bölünür.
8)
(....) Doğal sayılar kümesinde çıkarma işleminin kapalılık özelliği yoktur.
C. Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız.
1)
Doğal sayı bölenlerinin kümesi iki elemanlı sayılara ............................ denir.
2)
5 ile tam bölünen sayıların birler basamağı ......................................................... dır.
3)
Her rasyonel sayının ............................ açılımı vardır.
4)
Her gerçek sayının sayı doğrusunda eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının ............... denir.
5)
6)
250
5 − 3 sayısının eşleniği .................. sayısıdır.
3
1
sayısının paydasını rasyonel yapmak için kesir ................. sayısı ile genişletilmelidir.
2
ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARININ YANIT ANAHTARI
1. ÜNİTE
A.
1) Mart Tavşanı
2) c, d
3) Tek sayıda alındığında kendisinin değilinin doğruluk
değerine, çift sayıda alındığında kendisinin doğruluk
değerine eşittir.
4) En az ikisi birbirine denktir.
5) Çift gerektirmedir.
7) Kimyasal atıklar çevreye zararlıdır.
8) m ≡ 0, n ≡ 1, r ≡ 1
2
10) (x = 16) ∧ (x ≠ −4)
2
5
2
5
13) Tersi: 5 ≤ 2 ⇒ 5 ≠ 2, Karşıtı: 5 = 2 ⇒ 5 > 2
2
5
Karşıt tersi: 5 ≠ 2 ⇒ 5 ≤ 2 dir.
14) Tersi: Bir eşkenar üçgenin bir kenarı 7 cm değil ise
çevresi 21 cm değildir.
Karşıtı: Bir eşkenar üçgenin çevresi 21 cm ise bir kenarı 7 cm dir.
Karşıt tersi: Bir eşkenar üçgenin çevresi 21 cm değil
ise bir kenarı 7 cm değildir.
ı
ı
ı
16) (p ⇔ q) ≡ (p ∧ q ) ∨ (q ∧ p )
2
2
18) a) (∃x ∈ R için, x ≥ 3) ∧ (∃x ∈ R için, x + x = 2)
2
2
b) (∃x ∈ R için, x ≤ 0) ∧ (∀x ∈ R için, x + 1 ≥ 5)
2
c) (∃x ∈ R için, x ≥ 3) ∧ [(∃x ∈ R için, (x ≥ 2) ∧ (x + 1 ≠ 0)]
19) 1
20) 1
B.
1) D
2) Y
3) D
C.
1) A
2) C
3) B
D.
1) Totol oji
4) Teorem
4) D
5) Y
2) Çelişki
5) Olmayana Ergi
3) Aksiyom
2. ÜNİTE
A.
1) B
2) B
3) B
4) B
5) C
6) C
7) E
8) B
9) A
10) C 11) E 12) A 13) D 14)
15) B 16) A
B.
r
1) Alt küme sayısı 2 katı olur. 2) 10 3) 14
π
4) a) 7 b) 11 5)
−1
6) 7
6
(
C.
1) Eşit 2) Denk 3) Kesişim kümesi
4) Birleşim kümesi 5) Boş küme 6) Ayrık kümeler
D.
1) Y 2) D 3) D 4) D 5) Y 6) Y
)
3. ÜNİTE
A.
1) D 2) Y 3) D 4) D
B.
1) Birim 2) Görüntü kümesi 3) Sabit 4) Sabit
5) Doğrusal
C.
1) a) −3 b) −3, c) −2
2) a) 1, b) f + g = {(−1, 11), (3, 1)}, f.g = {(−1, 30), (3, −2)},
2f − 3g = {(−1, −3), (3, 7)},
D.
1) D
8) C
15) E
22) E
29) D
2) D
9) D
16) B
23) D
30) B
3) A
10) C
17) D
24) B
31) B
g
f
4) E
11) B
18) B
25) B
32) A
{(
)(
5) C
12) C
19) A
26) D
33) D
6) D
13) C
20) C
27) B
= −1, 5 , 3, − 1
6
2
)}
7) D
14B
21) C
28) A
4. ÜNİTE
A.
1) E
8) C
15) E
22) E
29) E
36) B
43) E
2) D
9) E
16) B
23) B
30) A
37) E
44) B
3) C
10) B
17) E
24) C
31) B
38) C
45) C
4) C
11) C
18) C
25) C
32) C
39) B
46) A
5) B
12) A
19) D
26) A
33) D
40) D
47) C
6) A
13) A
20) D
27) D
34) E
41) A
48) D
7) D
14) D
21) A
28) B
35) A
42) D
49) B
50) E 51) B 52) D 53) E 54) A 55) E 56) B
57) C 58) B 59) D 60) C 61) E 62) B
B.
1) Y 2) Y 3) Y 4) D 5) Y 6) D 7) Y 8) D
C.
1) Asal sayılar 2) 0 yada 5 3) Devirli ondalık
3 2
3 2
4) Mutlak değeri 5) 5 + 3 6) 2 veya − 2
251
SEMBOLLER VE KISALTMALAR
∧
∨
∀
∃
⇒
⇔
∅
∈
∉
⊂
⊄
∪
∩
=
≠
<
≤
>
≥+
N
N
Z+
Z
−
Z
Q
ı
Q
R
|x|
[a , b]
(a , b)
[a , b)
(a , b]
AxB
A − B veya A / B
f: A → B
b |a
a ≡ b (mod m)
a
Z /m

n

252
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
ve
veya
her, bütün (evrensel niceleyici)
en az bir, bazı (varlıksal niceleyici)
ise, gerektirme
çift gerektirme (ancak ve ancak )
boş küme
elemanıdır
elemanı değildir
alt küme
alt küme değildir
birleşim işlemi
kesişim işlemi
eşittir
eşit değildir
eşitsizlik (küçüktür)
eşitsizlik (küçük veya eşittir)
eşitsizlik (büyüktür)
eşitsizlik (büyük veya eşittir)
sayma sayıları kümesi
doğal sayılar kümesi
tam sayılar kümesi
pozitif tam sayılar kümesi
negatif tam sayılar kümesi
rasyonel sayılar kümesi
irrasyonel sayılar kümesi
gerçek sayılar kümesi
x’in mutlak değeri
kapalı aralık
açık aralık
a’dan kapalı , b’den açık aralık
a’dan açık , b’den kapalı aralık
A kartezyen çarpım B
A fark B
A’dan B’ye , f fonksiyonu
b, a’yı tam böler
a denktir b, modül m
a nın denklik sınıfı
m modülüne göre kalan sınıflarının kümesi
karekök
n’inci dereceden kök
SÖZLÜK
A
Açık önerme: İçindeki değişkenin alacağı değere göre doğru ya da yanlış olan ve kesin yargı bildiren ifade.
Aksiyom: Doğruluğu, ispatsız kabul edilen önerme.
Analitik düzlem: Üzerine koordinat sistemi yerleştirilmiş düzlem.
Aralarında asal sayılar: “1” den başka ortak böleni olmayan doğal sayılar.
Apsisler ekseni: Koordinat düzlemini oluşturan yatay eksen (x ekseni).
Apsis: Koordinat düzlemindeki bir noktanın birinci bileşeni (x).
Asal sayı: Pozitif bölenlerinin kümesi, iki elemanlı olan doğal sayılar.
Asal çarpanlara ayırma: Herhangi bir sayma sayısını, asal çarpanlarının çarpımı biçiminde yazma.
Ayrık kümeler: Ortak elemanları olmayan kümeler.
B
Bağıntı: Bir kartezyen çarpımın alt kümesi.
Bazı (en az bir) niceleyicisi: Önüne geldiği önerme kalıbını, en az bir değer için doğrulaması gereken niceleyici (“∃” ile
gösterilir.).
Bileşik önerme: En az iki önermenin “ve, veya, ise, ancak ve ancak” bağlaçları ile birleşmesinden oluşan önerme.
Bire bir fonksiyon: Tanım kümesinin elemanlarını değer kümesinin farklı elemanlarına eşleyen fonksiyon.
Birim fonksiyon: Tanım kümesinin her elemanını, yine kendisine eşleyen fonksiyon.
Boş küme: Hiç elemanı olmayan küme.
C-Ç
Çarpanlara ayırma: Bir sayıyı, en az iki sayının çarpımı biçiminde gösterme.
Çelişki: Doğruluk değeri 0 (sıfır) olan önerme.
Çift gerektirme: Totoloji (daima doğru) olan iki yönlü koşullu önerme.
Çözüm kümesi: Denklemi yada eşitsizliği sağlayan değerlerin kümesi.
D
Değer kümesi: Bir fonksiyonun alacağı değerleri içeren küme.
Denk kümeler: Eleman sayıları eşit olan kümeler.
Denk önermeler: Doğruluk değerleri aynı olan önermeler.
Denklem: Bilinmeyenin bazı değerleri için sağlanan eşitlik.
Denklemi çözmek: Denklemi sağlayan değerleri (kökleri) bulma işlemi.
Denklik bağıntısı: Yansıma, simetri ve geçişme özellikleri olan bağıntı.
Denklik sınıfı: Bir denklik bağıntısına göre birbirine denk olan elemanların kümesi.
E
En büyük ortak bölen (EBOB): Sıfırdan farklı en az iki sayıyı bölebilen sayılardan en büyük olanı.
En küçük ortak kat (EKOK): Sıfırdan farklı, en az iki sayıya kalansız bölünebilen sayılardan derecesi en küçük olanı.
Etkisiz (birim) eleman: Bir küme ve üzerinde bir işlem tanımlandığında kümedeki her elemanı verilen işleme göre yine
kendisine dönüştüren eleman.
Evrensel küme: Üzerinde çalışılan konu ile ilgili tüm elemanları içeren küme.
Evrensel niceleyici: “∀” sembolü ile gösterilir ve “her” veya “bütün” diye okunur.
F
Fonksiyon: Bir kümenin her elemanını, bir başka kümenin elemanları ile eşleyen ve bir elemanı birden fazla elemana
eşlemeyen bağıntı.
Fonksiyonun değer kümesi: f:A
B fonksiyonundaki B kümesi.
Fonksiyonun görüntü kümesi: f:A
B fonksiyonundaki f(A) kümesi.
Fonksiyonun tanım kümesi: f:A
B fonksiyonundaki A kümesi.
G
Gerçek sayılar: Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümesinin
hepsini kapsayan sayılar kümesi (R ile gösterilir.).
Gerektirme: Totoloji (daima doğru) olan koşullu önerme.
H
Hipotez: p ⇒ q biçimindeki teoremde, p önermesi (verilenler).
Hüküm: p ⇒ q biçimindeki teoremde, q önermesi (istenilen).
İ
İki yönlü koşullu önerme: p ⇔ q biçimindeki koşullu önerme.
253
İrrasyonel sayılar: Rasyonel olmayan (devirli ondalık açılımları bulunmayan 2, 3,…gibi) sayılar.
İspat: Bir teoremin hükmünün doğru olduğunun gösterilmesi.
İşlem: AxA’dan gerçek sayıların bir alt kümesine tanımlanan fonksiyon.
K
Kartezyen çarpım: Birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden seçilerek oluşturulan ikililerin kümesi (AxB).
Koşullu önerme: p ⇒ q biçimindeki önerme.
M
Maksimum değer: Bir ifadenin aldığı en büyük değer.
Minimum değer: Bir ifadenin aldığı en küçük değer.
Modüler aritmetik: Tam sayıların 0 dan büyük bir doğal sayı ile bölümünden elde edilen kalan sınıfları ile yapılan aritmetik.
Mutlak değer: x ∈ R için, x ≥ 0 iken |x| = x, x < 0 iken |x| = −x olan sayıdır.
O-Ö
Olmayana ergi yöntemi: Bir teoremde hükmün değilini doğru varsayıp hipotezin değilini elde etmek için yapılan ispat.
Ordinat: Koordinat düzlemindeki bir noktanın ikinci bileşeni (y).
Ordinat ekseni: Koordinat düzlemini oluşturan dikey eksen (y ekseni).
Önerme: Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren cümle.
Öz alt küme: Bir kümenin kendisi dışındaki alt kümelerinin her biri.
Özdeşlik: Bilinmeyenin her değeri için doğru olan eşitlik.
R
Rasyonel sayı: a,b ∈ Z, b ≠ 0, a ve b aralarında asal olmak üzere,
a
şeklinde yazılabilen sayı.
b
S
Sonlu elemanlı küme: Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilebilen küme.
Sonsuz küme: Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen küme.
T
Teorem: Doğruluğu ispatlanabilen önermeler.
Totoloji: Doğruluk değeri daima 1 olan bileşik önerme.
V
Venn şeması: Bir kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içine yazılarak gösterilmesi.
254
KAYNAKÇA
1.
T.C. Millî Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı Ortaöğretim Matematik (9, 10,
11 ve 12. sınıflar) Dersi Öğretim Programı, Ankara, 2011.
2.
T.C. Millî Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı İlköğretim Matematik Dersi
6-8. Sınıflar Öğretim Programı, Devlet Kitapları Müdürlüğü, Ankara, 2005.
3.
Pat, H. , The Changing Role of the Teachers, THE Journal, Nov.2000 Vol.28.
4.
Kulm, G. , Assesing Higher Order Thinking in Mathematics. American Association for the
Advancement of Science 1333 M Street, NW Washington, 1993.
5.
Anton, M. , Calculus with Analytic Geometry, Fourth Edition, John Wiley Sous, Inc, New York,
1992.
6.
Gradowski, G. (editor), Designs for Active Learning, A Division of the American Library Association, Chicago, 1998.
7.
Yazım Kılavuzu, TDK Yay., Ankara, 2005.
8.
Brown R.G., Advanced Mathematics, Houghton Mifflin Company, Boston, 1994.
9.
Dönmez A., Matematiğin Öyküsü ve Serüveni Cilt 1-2, Toplumsal Dönüşüm Yayınları, İstanbul, 2002.
10. Schmit A., Lück S., Saverman J.D., LS-9 Mathematisches Unterrichtswerk, Ernst Klett Verlag
GmbH, Stuttgart, 2000.
11. Nakatani N., Nassiet F., Perrinaud J.C., Porte D., Rivoallan L., Mathematiques, Dimatheme
2e, Didier, Paris, 1994.
12. Ana Britanica, Ana Yayıncılık, İstanbul, 1994.
255