Prof. Dr. P. Marti Virtüel İş Prensibi - guven
advertisement
İlk yayın, 10 Kasım 2014 www.guven-kutay.ch YAPI STATİĞİ Prof. Dr. P. Marti Virtüel İş Prensibi 44-05-1 Bu dosyayı 44_00_Yapı Statiğine Giriş ve Özet dosyasıyla beraber incelerseniz daha iyi anlarsınız. Çevirenler: M. Güven KUTAY, Muhammet ERDÖL En son durum: 21 Kasım 2014 Bu dosyalarda yalnız ders notlarının tercümesi verilmiştir. Daha geniş ve detaylı bilgi almanız için Prof. Dr. P. Marti nin Statik kitabını öneririm. Almanca-Deutsch İngilizce-English Prof. Dr. P. Marti Peter Marti Baustatik, GrundlagenStabtragwerke-Flächentragwerke Ernst & Sohn, Berlin, 2012 Peter Marti Theory of Structures, Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells Ernst & Sohn, Berlin, 2012 Prof. Dr. sc. Peter Marti 1990 ile 2014 senelerinde Zürich ETH da İnşaat Statiği ve Konstrüksiyonu Profesörü 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch DİKKAT: Bu çalışma iyi niyetle ve bugünün teknik imkanlarına göre yapılmıştır. Bu çalışmadaki bilgilerin yanlış kullanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi zarar için sorumluluk kullanana aittir. Bu çalışmadaki bilgileri kullananlara, kullandıkları yerdeki şartları iyi değerlendirip buradaki verilerin yeterli olup olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detaylı hesap yapmaları önerilir. Eğer herhangi bir düzeltme, tamamlama veya bir arzunuz olursa, hiç çekinmeden bizimle temasa geçebilirsiniz. Statik dosyalarında kullandığımız terimlerin Almancadan Türkçe karşılığını, ne Türk Dil Kurumunda nede normal veya elektronik sözlüklerde bulamadık. Hedefimiz Türkçe bilen ve temel bilgisi az dahi olan kütleye basit olarak bilgileri aktarmak olduğu için, kendi mantığımıza göre okuyucunun anlayacağı, basit Türkçe terimler kullandık. Ayrıca 44-00 numaralı dosyada Türkçe-Almanca(-İngilizce-Fransızca) sözlük ile Kaynakları verdik. İsteyen oradan kullanılan Türkçe terimleri bulabilir. Bilginiz ola!.. Terimlerin Türkçe karşılığı için büyük yardımı olan sayın Muhammet ERDÖL e kendim ve dosyadan faydalanacakların adına çok teşekkür ederim. İÇİNDEKİLER 1. Virtüel İş Prensibi ..................................................................................................................................................... 3 1.1. Giriş ................................................................................................................................................................. 3 1.2. İş prensibinin ana formülü ............................................................................................................................... 3 1.3. Sistemdeki elemanların şekil değiştirmeleri .................................................................................................... 5 1.4. İş denklemi ...................................................................................................................................................... 8 1.4.1. Toplam virtüel iş ......................................................................................................................................... 8 1.4.2. Eğilme momentinden oluşan iş ................................................................................................................... 8 1.4.3. Kesme kuvvetinden oluşan iş...................................................................................................................... 9 1.5. Örneğin Sehim hesabı,................................................................................................................................... 10 1.5.1. Eğilme momentinden oluşan sehim .......................................................................................................... 10 1.5.2. Kesme kuvvetinden oluşan sehim............................................................................................................. 10 1.5.3. Pratikte sehim formülü.............................................................................................................................. 11 1.6. Maxwell kanunu ............................................................................................................................................ 12 1.6.1. Maxwell kanununa örnekler ..................................................................................................................... 13 1.7. Betti ve 1. Castigliano kanunu....................................................................................................................... 15 1.7.1. Catigliano' nun birinci teoremininin uygulanması .................................................................................... 16 2. Konu İndeksi ........................................................................................................................................................... 19 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 3 1. Virtüel İş Prensibi 1.1. Giriş Virtüel İş Prensibinin tanımı: Virtüel iş prensibine göre; kuvvetler grubu sisteminde, eğer bütün hakiki ve virtüel işlerin toplamı sıfır ise, sistem dengededir. A F u 0 A F u F1 Toplam virtüel iş Kuvvet (Denge durumu) Virtüel kaydırma (Hareket durumu) İş denklemi ile her hangi bir deformasyon hesaplanabilir. Örneğin; Kayma, sehim, eğim, dönme, ve benzeri. İş denklemi Virtüel İş Prensibinin özel halidir. Genelde virtüel iş prensibinde bir biri ile bağıntısı olmayan iki durum ele alınır. Bu iki durum Hakiki Hareket Durumu (HHD) ile Virtüel Yükleme Durumu (VYD) dur. Prensip: HHD: Hakiki Hareket Durumu hakikatte sistemin kesit zorlamaları eğilme momenti M, normal kuvvet N, çapraz kuvvet V, torsiyon momenti T ile oluşan şekil değiştirmelerini ve aranan sehim, eğimi ihtiva eder. VYD: Virtüel Yükleme Durumu uygun seçilmiş virtüel (sanal) sistemin bir birim zorlamasına göre sanal birim kuvvet Q 1 veya sanal eğilme momenti M 1 ile aranan değerlerin, sehim, eğilme gibi, hakiki sistemdeki yerinde ve yönünde yerleştilmesidir. Gidiş yolu: HHD: Sistemin kesit zorlamaları eğilme momenti M, normal kuvvet N, çapraz kuvvet V, torsiyon N momenti T, ısı, içgerilmeler, yaylanmalar ile oluşan şekil değiştirmeleri; esneme, EA M T d T Tü V kavis, kayma, burulma, T a ısı eğilmesi, T T * EJ GK dx h GA ısı uzaması, F cf .elastik yataklama, yatak reaksiyonları ve kesit kuvvetleri belirlenmelidir. VYD: Virtüel (sanal) sistemde Q 1 ve M 1 in oluşturduğu yatak reaksiyonları ve kesit kuvvetleri M, N, V, T hesaplanır. 1.2. İş prensibinin ana formülü Dengeli sistemde dış işlerin toplamıyla iç işlerin toplamı birbirine eşit olmalıdır. Dış işlerin toplamı: A d Q R i ri ve iç işlerin denklemine diğer bütün etkenleride, örneğin; Normal kuvvetler, i Torsiyon momenti ve ısı etkilerinide analog olarak katarsak, iç işlerin toplamının formülü şu şekli alır: Ai N N M V T T Tü dx M dx V dx T dx N T T dx M T a dx * EA EJ GK h GA Dengeli sistemde: A d Ai Burada değerleri yerleştirirsek formülümüz şu şekli alır. Bu Virtüel iş prensibi ana formülü dür ve 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Virtüel İş Prensibi 4 bu formülle kiriş veya sistemdeki sehim, kayma veya dönme büyüklükleri bulunur. Bu üç değeri w olarak ile gösterirsek: top M V N T ST KT f M V N T ST KT f F2 M dx EJ V Çapraz kuvvetten oluşan değer: V V dx GA* N Normal kuvvetten oluşan değer: N N dx EA Torsiyon momentinden oluşan değer: T T T dx GK Sistemde ısı farkından oluşan değer: ST N T T dx T Tü Kesitte ısı farkından oluşan değer: KT M T a dx h Yaylanmadan oluşan değer: f F F cf Eğilme momentinden oluşan değer: M M Burada verilen değerler geneldir. Detaylı bilgi Şekil 1 ile Şekil 13 arasındaki şekillerde görülür. Burada verilen değerleri F 2 formülünde yerleştirirsek Virtüel iş prensibi ana formülü F 3 bulunur. 1 R i ri M i T Tü M V N T dx V dx N dx T dx N T T dx M T a dx F F cf * EJ EA GK h GA F 3 , İş prensibinin ana formülü Q 1 ; M 1 in yerinde ve yönünde aranan büyüklük (sehim, burulma), Ri ri M, V, N, T M, V, N, T EJ T GK GA* T T Ta Tü h Virtüel Yükleme durumda reaksiyonlar, Hakiki Hareket durumunda Ri nin komponentleri, Virtüel Yükleme durumda kesit büyüklüklerinin değerleri, Hakiki Hareket durumunda kesit büyüklüklerinin değerleri, Eğilme rijitliği, Torsiyon momenti, Torsiyon rijitliği, Kesme rijitliği, Malzemenin ısıl genleşme katsayısı, Çevre ısısı değişikliği, T . T = 0(T), Kesitin alt tarafındaki ısı, Kesitin üst tarafındaki ısı, Kesitin yüksekliği. Problemi kolay yoldan çözmek için, Virtüel Yükleme durumu öyle seçilmeliki, bilinmeyen ri ve Ri nin komponentleri olmasın. Hatırlatma: 1. Yukarıda F 3 nin sol tarafında zorlamalar ve yatak reaksiyonları (dış işler), sağ tarafındada şekil değiştirme işleri (iç işler) yer alır. 2. Kirişlerde iç işler; eğilme, torsiyon, yaylanme ve ısı işleri dikkate alınır. Çapraz kuvvet ve normal kuvvetin oluşturduğu işler genelde çok küçük olduğundan dikkate alınıp hesaba katılmazlar. İstisnalar: ince dikmeli çelik profiller, sandviç profiller, kafes kirişte normal kuvvet ile küçük kesit alanlı ek praçalardır. 3. İş formülünde şekil değiştirme intergralleri genel olarak integral tablosuna göre hesaplanırlar. Bu hesaplar aşağıda detaylı olarak anlatılacaktır. 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 5 1.3. Sistemdeki elemanların şekil değiştirmeleri Sistemi zorlayan her kuvvet sistemdeki elemanların şekil değiştirmelerini oluşturur. Bu değişikliği incelerken şu hususları belirlememiz, hesabımızın geçerliliği bakımından faydalıdır. Malzeme: Malzemenin özelliği: homojen ve izotrop doğrusal elastik (Hooke) E G Kesit daima düzlem olarak kalıcı (Bernoulli): Gerilme entegrasyonuKesit kuvveti Çubuklarda şekil değişikliği: h Şekil 1, Esneme dx N T T dx EA dx dx d h Şekil 2, Kavis d M T Tü T a dx EJ h Şekil 3, Kayma m dx V dx GA Şekil 4, Dönme d x T dx GK Şekil 5, Uzama L F T T L EA dx m m . dx dx h dx b Kesit F L L Çubuk 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Virtüel İş Prensibi 6 Çubuklarda iç işler: N M M N dx N N N d M dx M M dWiç N dx dWiç M d Şekil 6, Normal kuvvet Şekil 7, Eğilme momenti V T V T dx V dx T V V T T V dx dx dWiç V m dx dWiç T dx Şekil 8, Çapraz kuvvet Şekil 9, Torsiyon momenti Yaylarda iç işler: F F F Şekil 10, f F cf Şekil 11, f F cf f F F F F F f Şekil 12, Wiç F f F F cf Şekil 13, Wiç F f F F cf Çekme ve Basma yayı Spiral yay 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 7 Bu işlemleri basitce anlatmak için eğilme ve kesme rijitliği sabit olan (EI=sabit ; GA*=sabit), eşit yayılı yükle zorlanan, basit kirişi ele alalım Şekil 14, ve bu kirişte eğilme büyüklüğünü bulalım. Hakiki Hareket Durumu HHD Virtüel Yükleme Durumu VYD Q=1 q x B A L z, w 1 SCD w wm w wm 1/2 M V m L/2 1/2 M V L/2 L/2 L/2 Şekil 14, Basit kirişte Hakiki Hareket ve virtüel durumu Virtüel kuvvet bilinmediğinden Bilinmeyen Değer (BD) olarak adlandırır ve birim büyüklüğü "1" ile gösteririz. Şekil 14 ile görülen büyüklüklerin değerleri aşağıda verilmiştir: Hakiki Hareket Durumu HHD q L2 8 Maksimum moment M max Maksimum Kavis Maksimum kesme kuvveti Vmax Maksimum Kayma m 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc M EJ F4 max * GA q L2 8EJ qL 2 V Virtüel Yükleme Durumu VYD qL 2GA* www.guven-kutay.ch L 4 M L 4 V max 1 2 V 1 2 F5 F6 m M max F7 Virtüel İş Prensibi 8 1.4. İş denklemi Virtüel iş prensibine göre sistemin dengede olması için, bütün hakiki ve virtüel işlerin toplamı sıfır olmalıdır. ASa A M A V 0 ASa A M A V ASa AM Toplam virtüel iş Eğilme momentinden oluşan iş AV Kesme kuvvetinden oluşan iş F8 Sırasıyla F 8 ile görülen işleri hesaplayalım: 1.4.1. Toplam virtüel iş Toplam virtüel iş Şekil 14 Virtüel Yükleme durumunda basit olarak görülür: ASa Q w m Burada kuvvet birim kuvveti Q 1 olduğu için, toplam virtüel iş kuvvet x yol olarak pozitif değerli olur. ASa 1 w m ASa wm F9 Toplam virtüel iş Kiriş ortasındaki maksimum sehim 1.4.2. Eğilme momentinden oluşan iş Basit kirişin çok küçük parçasını ele alıp eğilmesini inceliyelim. Şekil 15 ile görüldüğü gibi parçanın dengede olması için iç zorlamada eksi değerli bir momentin olması gerekir. Hesaplayacağımız büyüklükler şöyledir: d R Eğilme radyusu ile kavis ters orantılıdır. R M tan d dx 1 dx dx burada açı çok küçük olduğundan d R R kabul edilir ve radyus R kavis 1/ olarak ifade edilir: Şekil 15, Basit kirişte eğilmeden oluşan iş d dx dA M M d denkleminde ddeğerini yerleştirirsek dA M M dx bulunur. Burada kavis M nin değerini olarak yerleştirir ve integralini alıırsak eğilme momentinden oluşan iş EJ denklemini buluruz L dA M M 0 dA M M M EJ 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc M dx EJ Eğilme momentinden oluşan iş Virtüel Moment (Şekil 14 ve Şekil 15) Hakiki moment Eğilme rijitliği www.guven-kutay.ch F 10 Yapı Statiği 9 1.4.3. Kesme kuvvetinden oluşan iş Basit kirişin çok küçük parçasını ele alıp kesme kuvvetinden oluşan kaymayı inceliyelim. Şekil 16 ile görüldüğü gibi parçanın dengede olması için karşı istikamette zorlayan negatif değerli kesme kuvvetleri kabul edilir. dw m V Hesaplayacağımız büyüklükler şöyledir: Sehim: dw m dx burada kayma m F 7 yerleştirirsek: dx sehim Şekil 16, Basit kirişte Kesme kuvvetinin işi Kesme kuvvetinden oluşan iş dA V V m dx alınırsa: dw V G A* bulunur. burada kayma m F 7 yerleştirilir ve integrali L V 0 G A* dA V V dx dx dA V Eğilme momentinden oluşan iş V V GA* Virtüel Kesme kuvveti (Şekil 14 ve Şekil 16) Hakiki Kesme kuvveti Kesme rijitliği F 11 Bulduğumuz bu değerleri F 8 formülünde yerleştirirsek: L wm M 0 wm M M EJ V V G A* L M V dx V dx * EJ G A 0 F 12 Kiriş ortasındaki sehim ( Q=1 olduğundan yalnız wm yazılmıştır.) Virtüel Moment (Şekil 14 ve Şekil 16) Hakiki moment Eğilme rijitliği Virtüel kesme kuvveti (Şekil 14 ve Şekil 16) Hakiki kesme kuvveti Kesme modülü Kesitin etkin kesme alanı Örnek olarak yukarıda Şekil 17 ile verilen kirişteki orta yerindeki sehiminin virtüel iş prensibiyle numerik olarak formül F 12 ile hesaplanmasını yapalım. F 12 formülündeki büyüklüklerin değerleri yukarıda bulunmuştur. Bu değerleri yerleştirip integrallerini alınca sonucu elde ederiz. Pratikte bu integral hesapları tablolarla yapılır. Bu integral tablosunun en mükemmeli Prof. Dr. P. Marti' nindir ve bu tabloyu internetten indirebilirsiniz. Bunun için şu yolu izleyiniz: www.ibk.ethz.ch/ma/education/bachelor/Baustatik Linkine girip Vorlesungsunterlagen Baustatik grubunda Integrationstabelle yi tıklayın. Bu tablo İntegral tablosu olarak sitede de verilmiştir. Tabloyu elinize aldınızsa hesap şu şekilde yapılır: 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Virtüel İş Prensibi 10 1.5. Örneğin Sehim hesabı, Hakiki Hareket Durumu HHD Virtüel Yükleme Durumu VYD Q=1 q x B A L z, w 1 SCD w wm w wm 1/2 M V m L/2 1/2 M V L/2 L/2 L/2 Şekil 17, Basit kirişte Hakiki Hareket ve Virtüel Yükleme duru 1.5.1. Eğilme momentinden oluşan sehim L w mM M M 0 Değeri, F 4 1 dx EJ Dağılım şekli Değeri, F 4 L qL M M 4 8 İntegral tablosundan bulunan integral değerinde mM 5 mM şekilleri ifade ediyor burada değer mM siz alınır. 12 Dağılım şekli 2 5 12 Değerleri formülde yerleştirelim L w mM M M 0 1 dx EJ = 5 12 q L2 8 L 4 L EJ ɱ w mM 5 q L4 384 E J İntegral tablosundan 1.5.2. Kesme kuvvetinden oluşan sehim Kesme kuvvetinden oluşan sehimi bulmak için, zorlama simetrik olduğundan, kirişin orta noktasına kadar hesaplayıp iki katını alırız. L/2 V w mV 2 V dx G A * 0 Değeri, F 6 Dağılım şekli Değeri, F 6 qL 1 Vmax V max 2 2 İntegral tablosundan bulunan integral değerinde mM 1 mM şekilleri ifade ediyor burada değer mM siz alınır 2 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Dağılım şekli 1 2 Yapı Statiği 11 İntegral tablosu için dağılım şekli eğer üçgen ise yön ve simetri rol oynar. Örneğin: Burada üçgenlerin simetrik olması önemlidir ve faktör daima 1/6 dır. Burada üçgenlerin aynı yönde olması önemlidir ve faktör daima 1/3 dür. Değerleri formülde yerleştirelim L/2 w mV 2 V V 0 1 * GA dx =2 1 2 qL 2 1 2 L ɱ w mV 2GA * q L2 8 G A* İntegral tablosundan 1.5.3. Pratikte sehim formülü Pratikte wmV/wmM değeri, istina olarak çok ince dikmeli I-profilleri veya yumuşak çekirdekli sandviç kontrüksiyonlar dışında çoğu zaman çok küçük olduğundan kesme kuvvetlerinden oluşan deformasyonlar dikkate alınmaz ve sehim yalnız eğilme momenti ile hesaplanır. Bunu kanıtlamak için wmV/wmM orantısını hesaplayalım: w mV q L2 384 E J w mM 8 G A* 5 q L4 G Burada kesme modülünün elastiklik modülü ile bağıntısı b Eylemsizlik momenti (Dikdörtgen için) h Etkin kesme alanı (Dikdörtgen için) E 2 1 b h3 J 12 5 A* b h 6 Bu değerleri yukarıdaki formüle yerleştirirsek: w mV 19,2 1 J h 1,92 1 w mM L A* L2 2 Burada poisson sayısını çelik için = 0,3 ; dikdörtgen kesitli profilin kiriş boyuna oranını L/h=10 kabul edersek wmV/wmM orantısı: w mV 1 1,92 1 0,3 w mM 10 2 wmV/wmM 2,5 % Buda pratikte önemli rol oynamayacak kadar küçüktür. 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch bulunur. Virtüel İş Prensibi 12 1.6. Maxwell kanunu Şekil 18 ile görülen basit kirişin k noktasında bir birim kuvvetinin (Qk = 1) zorlamasıyla i noktasındaki sehimi ik iş denklemi F 13 ile gösterilmiştir. ik M i ik Mi Mk EJ Mk dx ... EJ F 13 Qk kuvvetinin etkisiyle i yerinde oluşan sehim i yerindeki moment k yerindeki moment Eğilme rijitliği Burada rolleri değiştirirsek; Şekil 19 ile görülen basit kirişin i noktasında bir birim kuvvetinin (Qi = 1) zorlamasıyla k noktasındaki sehimi ki iş denklemi F 14 ile görülen hali alır. ki M k ki Mk Mi EJ Mi dx ... EJ F 14 Qi kuvvetinin etkisiyle k yerinde oluşan sehim k yerindeki moment i yerindeki moment Eğilme rijitliği Burada F 13 ve F 14 ün sağ tarafları biribirlerine eşittir. Öyleyse: ik ki ik ki F 15 Qk kuvvetinin etkisiyle i yerinde oluşan sehim Qi kuvvetinin etkisiyle k yerinde oluşan sehim Bu J.G. Maxwell (1831-1879) kanunu olarak bilinir. Burada kısaca indeksin Şekil 18 ile tarifini yapmak için sehim ik yı ele alalım: i k Sehimi oluşturan etken Sehimin oluştuğu yer Maxwell kanununun tanımı: Bir kirişin k noktasında bir birim kuvveti (Qk = 1) zorlamasıyla i noktasındaki sehimi ik , aynı kirişin i noktasında bir birim kuvveti (Qi = 1) zorlamasıyla k noktasında oluşan sehimine ki eşittir. Bu tanımı formülle gösteririz: i Qk ki k i Qk ki 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc i noktasındaki sehim k noktasındaki kuvvet k noktasında i kuvvetinden oluşan sehim www.guven-kutay.ch F 16 Yapı Statiği 13 1.6.1. Maxwell kanununa örnekler Maxwell kanununu bir örnekle göstermek istersek basit kirişimizi ele alalım ve orta noktasını i ve herhangi bir noktasınıda k olarak kabul edelim. Aynı zamanda kiriş kesitinin kiriş boyunca sabit ve eğilme rijitliği "EJ = sabit" ile kesme kuvvetinden oluşan sehim "GA*ʝ " sıfır kabul edilirse. Örnek 1 Kirişin herhangi bir yerindeki sehimini bulmak için, simetriden dolayı 0 x L/2 kabul edelim ve hesabımızı ilk önce birim değerleriyle yapalım. Hakiki Hareket Durumu HHD Virtüel Yükleme Durumu VYD Qk= 1 Q i= 1 x A i B k L/2 L/2 1 z, w w (Q ) k ik w (Q ) i 1/2 ii 1/2 Mk Mi =M Şekil 18, Maxwell kanunu Hakiki Hareket Durumu HHD Virtüel Yükleme Durumu VYD Q i= 1 Qk= 1 x A i k L/2 z, w B i k L/2 1 w (Q ) i ii ki 1/2 ik kk w (Q ) k 1/2 Mi M k =M Şekil 19, Maxwell kanunu Burada Qk = Qi = 1 olduğundan, daha önceki dosyalara göre: ki 3 L2 x 48 E J Kiriş üzerinde eşit yayılı yük q için sehim çizgisi; L/2 i 2 0 3 L2 x 4 x3 q dx 48 E J 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc 2 q 3 L2 L2 4 L4 i 48 E J 2 4 4 16 www.guven-kutay.ch i 5 q L4 384 E J Virtüel İş Prensibi 14 Örnek 2 Kirişin herhangi bir yerindeki sehimini bulmak için, simetriden dolayı 0 x L/2 kabul edelim ve hesabımızı ilk önce birim değerleriyle yapalım. Hakiki Hareket Durumu HHD Virtüel Yükleme Durumu VYD Q i= 1 q x A i x B L/2 z, w L/2 k q Q i= 1 SCD x qL/2 qL/2 1/2 1/2 k w (q) 1 ki ii w (Q ) i 1/2 ii 1/2 M (q) Mi =M Mk Mi Şekil 20, Maxwell kanunu qL x x qx 2 2 q = 1 kN/m M k (q ) HHD de x mesafesinde k noktasındaki q dan oluşan moment: q yu birşm kuvveti olarak kabul edersek M k (q ) 1 Lx x 2 2 1 x 2 Virtüel iş prensibine göre sistemin dengede olması için, bütün hakiki ve virtüel işlerin toplamı sıfır olmalıdır. Burada aranan sehim ve sistem simetrik olduğu için: M k (Q) VYD de aynı x mesafesinde k noktasındaki Q dan oluşan moment: L/2 w ki ki M x 0 Mx dx EJ olarak yazabiliriz. Burada moment değerlerini yerleştirelim. L/2 1 1 1 Lx x 2 x dx 2 EJ 0 2 ki L/2 1 Lx 3 x 3 dx 4 EJ 0 ki Dağılım şekli Dağılım şekli İntegral tablosundan bulunan integral değerinde mM şekilleri ifade ediyor burada değer mM siz alınır L/2 1 ki 0 4EJ Lx3 x 3 dx 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc = 5 1 12 4EJ 3 3Lx 4 x 4 www.guven-kutay.ch 5 mM 12 5 12 ɱ 5 3Lx 3 4x 4 ki 48EJ Yapı Statiği 15 Formül F 16 i ele alıp değerleri x = L/2 ve Qk = q olarak yerleştirirsek: i Qk ki k w i 5 3Lx 3 4x 4 q 48EJ w i 5q 3Lx 3 4 x 4 48EJ 5q L3 L4 w i 3L 4 48EJ 8 16 wm m N/m m N/m2 m4 wm q L E J 5 q L4 384 E J F 17 Kiriş ortasındaki sehim Kirişteki yayılı yük Kirişin boyu Kiriş malzemesinin elastiklik modülü Kiriş kesitinin atalet momenti 1.7. Betti ve 1. Castigliano kanunu Şekil 21 ile görülen basit kirişin önce yalnız Qi kuvveti ile yüklendiğini kabul edelim. Qi Burada Qi kuvvetinin yaptığı iş; Qk Wi ii Qi2 2 x i A k B Daha sonra Qi kuvvetini sabit tutarak Qk ile kirişi yükleyelim. L z, w i k Qi [N] Qk kuvvetinin işi Wk kk Q2k 2 Sabit Qi ve Qk nın işi Wik ik Qi Qk Toplam iş olarak: W ii Qi2 ik Qi Qk kk Q 2k 2 2 Wi i [m] Burada işlemin sırasını değiştirirsek; önce Qk ve sonra Qi , formülümüz şu şekli alır: Q i ii W kk Q2k ki Q k Qi ii Qi2 2 2 Şekil 21, Basit kiriş Burada her iki zorlamanın işi eşit olduğuna göre: ik ki olur. Aynı zamanda ilave işlerinde eşitliği ik Qi Q k ki Qk Qi görülür. Bu ispatlamaya Maxwell'in karşılıklı ilişki teorisidir (reziprozitätstheorem) ve buna aynı zamanda Betti konunuda denir, (Betti 1823-1892, İtalyan). 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Virtüel İş Prensibi 16 İş denklemi W nin homojen ikinci dereceden denkleminin Qi ve Qk ya göre türevini alırsak W ii Qi ik Q k i Qi analog W ki Qi kk Q k k Q k Kuvvetin etkilediği noktada, kuvvetin yönünde şekil değiştirme işinin, kuvvete göre kısmi türevi sehimi verir, F 18. Buna Catigliano nun birinci teoremi denir (Catigliano 1847-1884, İtalyan). Catigliano nun birinci teoremi i W Qi m Nm N i W Qi F 18 Sehim, kayma İş Yük, kuvvet Şekil değiştirme işi W, sehimin fonksiyonu vede i = i olarak ifade edilirse, şu formül bulunur: W Qi i W i i Bu formüldende Catigliano nun ikinci teoremi bulunur, F 19 : Catigliano nun ikinci teoremi Qi W i N Nm m Qi W i F 19 Yük, kuvvet İş Sehim, kayma Catigliano nun teoremleri elastik olmayan durumlar içinde genel olarak geçerlidir. Catigliano nun teoremleri plastiklik teoreminde; Akma kanunu ij Y ij F 20 Gerilme oranı ij D ij F 21 ij Y ij D Uzama Akma fonksiyonu Gerilim Isı enerjisine geçme fonksiyonu için geçerlidir. 1.7.1. Catigliano' nun birinci teoremininin uygulanması Catigliano' nun birinci teoremi sehim ve eğimlerin bulunmasında kullanılır. Fakat iş denklemi ile sehim ve eğimler daha çabuk ve daha basit olarak bulunur ve hesaplanır. 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Yapı Statiği 17 Basit kirişte eğimin Catigliano' nun birinci teoremi ile hesabı: M değeri aranan eğim açısı "" nin istikametinde ve yerinde seçilir. Burada bildiğimiz eşitlikleri kuralım: Q x M a L-a 0xa için x a M Q 1 x M L L axL için x x M Q a 1 M 1 L L L =? M2 dx 2 E J 0 L W M M = Şekil 22, Basit kirişte eğim = lim M 0 L a a x x x x x Q 1 x n dx Q a 1 n 1 1 dx L L 0 L L L L a 1 E.J n0 W M lim 2 L 1 a a x 2 x Q 1 dx Q a 1 dx E J 0 L L L a Q a L a 2a L 3 E J L Basit kirişte eğimin iş denklemi ile hesabı: Hakiki Hareket Durumu HHD Virtüel Yükleme Durumu VYD Q B x A a M A L-a B x a L-a L L w =? 1 2 w MB M 1 MA 2 M M max Şekil 23, Basit kirişte eğimin iş denklemi ile hesabı Hakiki Hareket Durumunda sehim ve moment dağılımı çizilir. Virtüel Yükleme Durumunda M 1 değeri aranan eğim açısı "" nin istikametinde ve yerinde seçilir ve sehim ile moment dağılımı çizilir. İş denklemiyle sehimin bulunması detaya inmeden şu şekilde yapılır: 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch Virtüel İş Prensibi 18 Hakiki Hareket Durumunda değerleri yazalım: a M max Q a 1 L HHD de a mesafesinde Q dan oluşan moment: Virtüel Yükleme Durumunda değerler: VYD de a L a MB 1 L Virtüel iş prensibine göre sistemin dengede olması için, bütün hakiki ve virtüel işlerin toplamı sıfır olmalıdır. Burada aranan sehim için: MA VYD de aynı a mesafesinde M 1 den oluşan moment: a L MA MB w max M max dx M max dx EJ EJ 0 a olarak yazabiliriz. Burada moment değerlerini integral tablosundan bulunan integral değerleriyle yerleştirelim. a 1 3 İntegral tablosundan L w max M A M max EJ dx 0 M 1 3 B M max EJ dx a İntegral tablosundan a Q a 1 L a L a Q a 1 L a 1 L 2 Q a L a a 2 a 2 1 3 E J L L a EJ L a EJ w max Q a L a 2a L 3 E J L Sonuçlar iki metodda aynı çıkmıştır. Catigliano' nun birinci teoremi statik belirsiz sistemlerdede geçerlidir. Örnek olarak: Herhangi bir x noktasında moment: q x2 M Ax 2 q x A 2 1 L q x 2 W A x 2 dx 2EJ 0 B L z q 2 W 1 L q x 2 A x 2 x dx 0 A EJ 0 MB A B 1 L3 q L4 A 0 EJ 3 8 Şekil 24, Statik belirsiz kiriş Bu formülden: 3 A qL 8 44_05_1_virtuel_is_prensibi.doc 5 B q L 8 MB www.guven-kutay.ch q L2 8 bulunur. Yapı Statiği 19 2. Konu İndeksi B I Betti ........................................................................... 15 Bilinmeyen Değer BD ................................................ 7 İntegral tablosu ............................................................ 9 İş denklemi................................................................... 8 C K Catigliano nun birinci teoremi ................................... 16 Catigliano nun ikinci teoremi .................................... 16 Kesme rijitliği GA*...................................................... 3 E M Maxwell kanunu......................................................... 12 Eğilme rijitliği EI......................................................... 3 Etkin kesme alanı....................................................... 11 V H Virtüel iş prensibi ana formülü .................................... 4 Virtüel Yükleme Durumu VYD................................... 3 Hakiki Hareket Durumu HHD.................................... 3 44_05_1_virtuel_ıs_prensibi.doc www.guven-kutay.ch
