sayı analizi

SAYI ANALİZİ
Atom parçalandığında ortaya çıkan büyük enerji, Matematikte bir Doğal sayının asal
çarpanlara ayrılması ile eş değerli olabilir. Bu yüzden sayı problemlerinin pek çoğunda
çözüme, verilen Doğal sayıları asal çarpanlara ayırmakla başlamakta yarar vardır.
ARĠTMETĠĞĠN TEMEL TEOREMĠ: 1 den büyük her pozitif Tamsayı, a,b,c, … farklı asal
sayılar, p,q,r, … sayma sayıları olmak üzere;
N = ap.bq.cr…
biçiminde tek türlü yazılabilir.
Asal çarpanlara ayırmanın bize sağladığı bazı yararları değişik sorularla görelim;
 N = 120 doğal sayısının kaç tane doğal sayı böleni vardır?
Sorusunu çözmek için; 1,2,3,4,5,6, ….., 120 diyerek tüm bölenlerini bulmak oldukça
zamanımızı alacaktır.
BÖLENLERĠN SAYISI:
böleni vardır.
N = ap.bq.cr…
sayısının, (p+1)(q+1)(r+1)… tane doğal sayı
N = 120 = 23.3.5 olarak yazıldığında; kural gereği (3+1)(1+1)(1+1)=4.2.2=16 tane Doğal
sayı böleni vardır.
Ġlk soru olduğu için bir kez bu bölenleri tek tek yazalım ve biraz da irdeleyelim.
Bölenler; 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120 olmak üzere 16 tanedir.
 Bu bölenlerin negatif olanları düşünüldüğünde 120 sayısının 16+16=32 tane
Tam sayı böleni vardır. (Doğal sayı bölenlerinin iki katı kadar)
 Tek doğal sayı bölenleri; 120 = 23.3.5 = 23(3.5) düşünüldüğünde parantez
içindeki sayının doğal sayı böleni kadar, (1+1)(1+1)=2.2=4 tanedir.
 Doğal sayı bölenlerinden 6 nın katı olanlar; 120 = 23.3.5 = 2.3(22.5) aynı
yöntem ile (2+1)(1+1)=3.2=6 tane olacaktır.
 N2 = 1202 = 26.32.52 sayısının Doğal sayı bölenlerinden N den küçük
olanların sayısı ;
6+1 2+1 2+1 −1
2
=
7.3.3−1
2
=
62
2
= 31 tanedir.
 N = 120 = 23.3.5 sayısından küçük, N ile aralarında asal doğal sayılar ;
1
𝑁 1−𝑃
tanedir.
1
1−𝑞
1
1
1 − 𝑟 … = 120 1 − 2
1
1−3
1
1 2 4
1 − 5 = 120. 2 . 3 . 5 = 32
 N = 120 = 23.3.5 sayısından küçük, N ile aralarında asal doğal sayıların
120.32
toplamı ; 2 = 1920 dür.
 N = 120 = 23.3.5 sayısının Doğal sayı bölenlerinin toplamı ;
a p 1  1 b q 1  1 c r 1  1
23+1 −1 31+1 −1 51+1 −1
16−1 9−1 25−1
.
.
… = 2−1 . 3−1 . 5−1 = 1 . 2 . 4 = 360
a 1
b 1
c 1
 N = 120 = 23.3.5 sayısının Doğal sayı bölenlerinin çarpımı ;
N ( p 1)( q 1)( r 1)...
=
120 3+1
1+1 (1+1)
= 1204.2.2 = 1208
ÖRNEK:
A=25.52 ve A sayısının bütün doğal sayı bölenlerinin çarpımı B ise A x=B eşitliğini
sağlayan x sayısı kaçtır?
ÇÖZÜM:
( 51)( 2 1)
B = 800
= 8009
,
x =9
 EK BİLGİ :
xy
= N eşitliğini doğrulayan
x y
1
𝑥
1
1
𝑦
𝑁
+ =
(2p+1)(2q+1)(2r+1)… tane (x,y) doğal sayı ikilisi vardır.
ÖRNEK:
1 1 1
+ =
eşitliğini sağlayan x ve y doğal sayıları için x+y toplamının
x y 14
en küçük değeri kaçtır?
ÇÖZÜM:
1 1 1
 
x y 14
⇒ y=
⇒
14x+14y = xy
⇒ 14x = xy-14y
14x
196
= 14+
x  14
x  14
196 = 22.72 ,
3.3 = 9 tane doğal sayı böleni var.
x-14 = 14 ve x = 28 için y = 28 olur.
⇒
14x = y(x-14)
!!! x ve y pozitif tamsayılar, N asal sayı olmak üzere;


1
𝑥
1
𝑥
1
𝑥
1
𝑥
1
1
𝑦
𝑁
1
1
𝑦
𝑁
1
+ =
1
𝑦
3
1
1
𝑦
3
+ =
− =
− =
eşitliğini sağlayan üç tane (a,b) ikilisi vardır.
( N+1, N(N+1) ) ; ( 2N, 2N ) ve ( N(N+1), N+1 )
eşitliğini sağlayan bir tane (a,b) ikilisi vardır.
( N-1, N(N-1) )
eşitliği için; (4,12) ; (6, 6) ; (12, 4)
eşitliği için; (2, 6)
MÜKEMMEL SAYILAR:
Kendisi dışında bölenlerinin toplamına eşit olan sayılara denir.
6 nın bölenleri ; 1,2,3,6
1+2+3=6
28 in bölenleri ; 1,2,4,7,14,28
1+2+4+7+14=28
6 , 28 , 496 ,… gibi.
 2n-1 asal ise 2n-1(2n-1) mükemmel sayıdır.
ABUNDANT (GÜÇLÜ) SAYILAR:
Kendisi dışında bölenlerinin toplamından küçük olan sayılara denir. 12, 30 , 36 , …
12 nin bölenleri ; 1,2,3,4,6,12
1+2+3+4+6=16 > 12
 En küçük tek abundant sayı 945 tir.
DEFĠCĠENT ( GÜÇSÜZ) SAYILAR;
Kendisi dışında bölenlerinin toplamından büyük olan sayılara denir. 8, 15, 35, …
8 in bölenleri ; 1,2,4,8
1+2+4=7 < 8
SMĠTH SAYISI:
1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına
ayrılarak yazıldığında, bu yazılışta bulunan tüm sayılarn rakamları toplamına eşit oluyorsa
bu tür sayılara Smith sayısı adı verilir.
85 =5.17
8+5 = 5+1+7=13
728 = 2.2.2.7.13
7+2+8 = 2+2+2+7+1+3 =17
SUPERCOMPOSĠTE (ÇOK BÖLENLĠ) SAYILAR:
Kendisinden küçük tüm doğal sayılar içinde en çok doğal sayı böleni olan sayılara denir.
6, 12, 24, …. gibi.
UYARI: Yukarıda verilen sayı çeşitlerinden, MÜKEMMEL SAYILAR, SMİTH
SAYILARI, … ders kitaplarında olmamasına rağmen ÖSS de soru olarak
sorulmuştur.
Yukarıda açıklanan Doğal sayılar dışında, ÜÇGEN SAYILAR, KARE SAYILAR,
FERMAT SAYILARI, … gibi sayı çeşitlerinin de bulunduğunu bilmemizde yarar
vardır.
Ġçinizi bunca kararttıktan sonra, güzel bir sayı tablosu ile yazıya burada son veriyorum.
ÖRNEK:
 Oniki çarpanlı en küçük sayı :
22.3.5 = 60
 Atmışdört çarpanlı en küçük sayı: 23.33.5.7 = 7560
 Yüz çarpanlı en küçük sayı: 24.34.5.7 = 45360
 1 ile 1 000 arasında en çok doğal sayı böleni olan sayı : 23.3.5.7 = 840