M - SABİS - Sakarya Üniversitesi
advertisement
MKM 308 Makina Dinamiği Makinaların Hareketi ve Hareket Denklemlerinin Çıkarımı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi Uzuvları katı cisimler olan düzlemsel hareketli mekanizmalardan oluşan bir serbestlik dereceli makinaların, sonlu bir zaman aralığı için yani değişen konumları için, hareketi incelenecektir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi Bir makinada uzuvların geometrik ölçüleri yanında kütle ve kütle dağılımları, ağırlık merkezleri ve kütlesel atalet momentleri verilmiş veya tayin edilmiş ise, makinanın çeşitli uzuvlarına tesir eden aktif kuvvetler de biliniyorsa makinanın nasıl hareket edeceği yani dinamiğin Birinci Esas Problemi söz konusudur. Bu problemin çözümü ile yol alma zamanı, rejim durumunda hareketin düzgünsüzlüğü ve hareketten durma evresine geçiş şekil ve süresi belirlenir. Yol alma Zamanı Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Rejim Hali Durma Zamanı Makina Dinamiği Makinaların Hareketi Bir makinada uzuvların geometrik ölçüleri ve kütlesel karakteristikleri ve tahrik momenti dışında diğer aktif kuvvetler bilindiğine göre, belirli bir hareket seyrinin elde edilebilmesi (örneğin kolun istenen bir açısal hızla düzgün dönmesi) için gerekli tahrik momentinin tayini Dinamiğin İkinci Esas Problemini oluşturur. Böylece makinayı tahrik edecek motor seçilebilir. Uygulamada önemli olan başka bir problem de, hareket seyrinin belirli şartları gerçekleştirmesi, makinanın düzgün olarak çalışması, örneğin düzgünsüzlük katsayısının öngörülen bir sınırı aşmaması için yapılabilecek işlemlerin araştırılmasıdır. Bu konuda en uygun çözüm yöntemi makinaya volan ilave etmektir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi Bahsedilen problemlerin incelenmesi ve çözümü için makinanın hareketine ait diferansiyel denkleme ihtiyaç vardır. Bu denklem yazılırken ‘makinanın mile indirgenmiş atalet momenti’ ile makinaya etki eden aktif kuvvet ve momentlere eşdeğer olarak ‘makinanın mile indirgenmiş eşdeğer moment’ e ihtiyaç vardır. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi Makina Kuvvet Alanı Bir makinaya tesir eden aktif kuvvetlerin tümü makinanın kuvvet alanını meydana getirir. Aktif kuvvetler: a) İşletme Kuvvetleri b) Yardımcı Kuvvetler c) Sürtünme Kuvvetleri Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi a) İşletme Kuvvetleri: Makinanın görevini yapabilmesi için yenmek zorunda olduğu, makine hareketine karşı koyan bazı kuvvetler vardır. Örneğin, bir kaldırma makinası ağırlık kuvvetine karşı çalışır, bir takım tezgahı talaş kaldırırken işlenen parçanın gösterdiği mukavemete karşı çalışır. Bu gibi kuvvetlere ‘faydalı kuvvetler’ denir. Makinanın bu işleri yapabilmesi için tahrik uzvu (tahrik mili) tarafından tahrik edilmesi yani bu uzva ‘tahrik kuvveti’ veya ‘tahrik momenti’ uygulanması gerekir. İşte bu faydalı kuvvetler ve tahrik kuvvetleri makinanın işletme kuvvetlerini oluşturur. Bu açıklama daha çok iş makinaları için geçerlidir. Kuvvet makinası söz konusu ise, tahrik ettiği iş makinasının gösterdiği mukavemet, yani iş makinasının tahrik momentinin ters yönlüsü bu makina için faydalı momenttir. Örneğin içten yanmalı motorlardaki gaz kuvvetleri gibi kuvvetler tahrik kuvvetleridir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi a) İşletme Kuvvetleri: Kuvvet makinası ve iş makinasından oluşan sistem tek bir makine olarak alınırsa iş makinası tarafına ait faydalı kuvvetler ile, kuvvet makinası tarafına ait tahrik kuvvetleri makinanın işletme kuvvetlerini oluşturur. Bir iş makinasını ele alalım. Tahrik için seçilen kuvvet makinasının (tahrik motorunun) cinsine göre değişik tipte tahrik momenti karakteristikleri söz konusudur. Buna ‘motor döndürme momenti karakteristiği’ denir. Tahrik momenti, örneğin içten yanmalı motorlarda esasen krank milinin konumuna bağlıdır (Mm=Mm(ϕ)). Uygulamada çok sık kullanılan asenkron motorlardan elde edilen tahrik momenti ise devir sayısına yani açısal hıza bağlıdır. Bunların motor döndürme momenti karakteristiği Mm=Mm(ω) şeklindedir. Milin dönme yönünde pozitif alınan döndürme momentleri genel olarak Mm=Mm(ϕ,ω,t) dir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi a) İşletme Kuvvetleri: Makinanın görevini yapabilmesi için faydalı kuvvetleri yenmesi gerekir. Faydalı kuvvetler de yapılacak işe göre değişik karakterdedir. Çeşitli uzuvlara etki eden faydalı kuvvetlerin eşdeğeri olarak mile indirgenmiş moment makinanın ‘yük karakteristiği’ ni meydana getirir. Bu, milin dönme yönünde negatif alınır. Uygulamada rastlanan bazı yük karakteristikleri; Yalnız konuma bağlı yük karakteristiği Mf=Mf(ϕ) Yalnız devir sayısına veya milin açısal hızına bağlı yük karakteristiği Mf=Mf(ω) Genel yük karakteristiği Mf=Mf(ϕ,ω,t) Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Makinaların Hareketi b) Yardımcı Kuvvetler: Makine uzuvlarının kendi ağırlıkları ve kütleleri ihmal edilen yayların bağlandıkları uzuvlara uyguladıkları yay kuvvetlerine ‘yardımcı kuvvetler’ denir. c) Sürtünme Kuvvetleri: Genellikle istenmeyen, fakat makinaların fiziksel özelliklerinden dolayı ortaya çıkan kuvvetlerdir. Bir makinaya tesir eden aktif kuvvetlerin tümü makinanın kuvvet alanını meydana getirir. Tüm aktif kuvvetlerin eşdeğer olarak mile indirgenmesi ile elde edilen ve genel olarak konum, hız ve zamana bağlı olan momenti ifade eden M=M(ϕ,ω,t) fonksiyonuna ‘makina kuvvet alanı fonksiyonu’ denir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Hareketin Diferansiyel Denklemi Düzlemsel hareketli mekanizmalardan oluşan bir makina için Lagrange Denklemleri uygulanabilir. 𝑑 𝜕𝐸𝑘 𝜕𝐸𝑘 − = 𝑄𝑘 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑘 𝜕𝑞 (𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛) Tek serbestlik dereceli makinalar için tek genelleştirilmiş koordinat vardır. ϕ konum parametresi genelleştirilmiş koordinat olsun. (q1= ϕ, 𝑞1 =ω) M=M(ϕ,ω,t) kuvvet alanı fonksiyonu ise, mile indirgenmiş moment tanımı dikkate alındığında, ϕ genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş kuvveti oluşturur. Q1=M Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Hareketin Diferansiyel Denklemi Buna göre Lagrange Denklemi; 𝒅 𝝏𝑬𝒌 𝝏𝑬𝒌 − =𝑴 𝒅𝒕 𝝏𝝎 𝝏𝝋 Mile indirgenmiş kütlesel atalet momenti için kinetik enerji 𝑬𝒌 = 𝟏 𝑰𝝎𝟐 𝟐 şeklinde Lagrange Denkleminde yazılırsa 𝜕𝐸𝑘 = 𝐼𝜔 𝜕𝜔 𝜕𝐸𝑘 1 2 𝑑𝐼 = 𝜔 𝜕𝜑 2 𝑑𝜑 𝑑 𝜕𝐸𝑘 𝑑 𝑑𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝜑 𝑑𝐼 2 = 𝐼𝜔 = 𝐼𝜔 + 𝜔 = 𝐼𝜔 + 𝜔 = 𝐼𝜔 + 𝜔 𝑑𝑡 𝜕𝜔 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜑 𝑑𝑡 𝑑𝜑 Hareket Denklemleri; 𝑑Ι 2 1 2 𝑑Ι Ι𝜑 + 𝜔 − 𝜔 = 𝑀 𝜑, 𝜔, 𝑡 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü 𝟏 𝒅𝜤 𝟐 𝚰𝝋 + 𝝎 = 𝑴 𝝋, 𝝎, 𝒕 𝟐 𝒅𝝋 Makina Dinamiği Hareketin Diferansiyel Denklemi İş ve enerji ilkesine dayanarak da hareket denklemleri yazılabilir. 𝑑𝐸𝑘 = 𝑑𝑊 𝐸𝑘 = 1 𝐼𝜑 2 2 1 2 𝑑𝐸𝑘 = 𝑑 𝐼𝜑 2 𝑑𝑊 = 𝑀𝑑𝜑 W: Makinaya etkiyen aktif dış kuvvetlerin işi I=I(φ) Makinanın mile indirgenmiş Küt. At. Mom. 𝜑: Makina milinin açısal hızı M: Aktif kuvvetlerin mile indirgenmiş eşdeğer momenti M = -Mdenge M=M(ϕ,t) 1 2 2 𝑑 𝐼𝜑 1 𝑑𝜑 1 𝑑𝐼 2 2 = 𝐼 + 𝜑 = 𝑀 = −𝑀𝑑𝑒𝑛𝑔𝑒 = 𝑀 𝜑, 𝑡 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑 Lagrange denklemiyle elde edilen hareket denk. aynısıdır. 1 𝑑𝐼 2 1 𝑑𝜔2 1 𝑑𝐼 2 𝐼𝜑 + 𝜔 = 𝐼 + 𝜔 2 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑 2 𝑑𝜑 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Hareketin Diferansiyel Denklemi Makine kuvvet alanı fonksiyonu M=M(ϕ,ω,t) bazen tahrik kuvvetlerinden gelen kısım ve diğer kuvvetlerden gelen kısım olmak üzere ikiye ayrılarak yazılabilir. 𝑀 𝜑, 𝜔, 𝑡 = 𝑀𝑚 𝜑, 𝜔, 𝑡 − 𝑀𝑤 𝜑, 𝜔, 𝑡 Mm=Tahrik momenti veya motor momenti Mw=Direnç momenti (Faydalı, yardımcı ve sürtünme kuv. momenti) Burada Mw dönme yönünün tersi için pozitif olarak değerlendirilmektedir. Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği Hareketin Diferansiyel Denklemi UYGULAMA: Mekanizmanın hareket denklemini yazınız. Mtah Verilenler: 2 nolu uzuv; m2, i02 (dönme) 3 nolu uzuv; m3 (dairesel ve öteleme) 4 nolu uzuv; m4 (öteleme) 𝑋𝐴 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑋𝐴 = −𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝜑 Sakarya Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü Makina Dinamiği
