köklü sayılar - Adem KORKMAZ
advertisement
KÖKLÜ SAYILAR ݊ , 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, ݔ ൌ ߙ denklemini sağlayan ݔsayısına ߙ nın ݊ yinci dereceden kökü denir. ݔ Örnek: (2006 KPSS) ሺ͵ ௫ ሻହ ൌ ͻξ͵ olduğuna göre, ݔkaçtır? ൌ ߙ ise, ݔൌ ξߙ dır. A) Özellik 1: ݔൌ ξߙ ifadesinin bir reel sayı belirtebilmesi için iki durum söz konusudur. I. ݊ tek ise, ߙ herhangi bir reel sayı olabilir. Bu durumda ݔൌ ξߙ ifadesi bir reel sayı belirtir. ݊ çift ise, ߙ Ͳ olursa ݔൌ ξߙ ifadesi bir reel sayı belirtir. ݊ çift ise, ߙ ൏ Ͳ olursa ݔൌ ξߙ bir reel sayı belirtmez. II. ଵ B) ଶ ଵ C) ଷ ଶ D) ଷ ସ ଷ E) ͳ Örnek: య ల వ ξͶǤξͳǤξͶ işleminin sonucu kaçtır? య A) ξʹ Örnek: B) ξʹ య C) ʹǤ ξʹ D) 2 E) 4 ξʹͳ െ ݔ ifadesinin bir reel sayı belirtmesini sağlayan ݔdoğal sayıların toplamı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 Özellik 4: ߙ ൌ ξ ݔ ifadesinde, E) 8 ݊ tek sayı ise, ξ ݔ ൌ ݔtir. ݊ çift sayı ise, ξ ݔ ൌ ȁݔȁ tir I. II. య య ξͳʹͷ ൌ ඥͷଷ ൌ ͷ Özellik 2: Kökün derecesi ne olursa olsun (tek veya çift), kökün içi sıfır ise, kökün sonucu sıfırdır. ళ ళ ξെͳʹͺ ൌ ඥሺെʹሻ ൌ െʹ ర ඥሺെ͵ሻସ ൌ ȁെ͵ȁ ൌ ͵ Örnek: ξ ݔെ Ͷ రඥʹ ݔ ݕെ ͳͳ ൌ Ͳ Örnek: ర A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 య ඥሺെʹሻସ െ ξെʹ ξͳ olduğuna göre, ݔ ݕtoplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? E) 10 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 Özellik 3: Köklü sayılar üslü sayı biçiminde yazılabilir. Örnek: ߙ ൏ Ͳ ൏ ܾ olmak üzere, ξ ݔ ൌ ݔ O halde tersi düşünülürse, bir üslü sayının üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı biçiminde yazılabilir. ݔ ඥܾଶ యඥሺെߙሻଷ ඥሺߙ െ ܾሻଶ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? ൌ ξ ݔ A) ʹߙ െ ʹܾ B) ʹܾ െ ʹߙ C) Ͳ D) െʹߙ E) െʹܾ ହ మ ඥ͵ହ ൌ ඥ ͵ହ ൌ ͵ଶ ଶ య య ͷଷ ൌ ඥͷଶ ൌ ξʹͷ 1 Özellik 5: Köklü ifadelerde, kökün içindeki sayının tamamı her zaman kök dışına çıkmayabilir. Böyle durumlarda, çıkan sayı köklü sayı ile çarpılırken, kökün içinde kalan sayı yine aynı kökle isimlendirilir. ݕݔpozitif reel sayılar olmak üzere, ݕݔpozitif reel sayılar olmak üzere, య ξ ݔǤ ඥ ݕൌ ඥݔǤ ݕ ξʹǤ ξͷ ൌ ξͳͲ య య ξͷǤ ξʹͲ ൌ ξͳͲͲ Örnek: ඥ ݔ Ǥ ݕൌ ݔǤ ඥݕ య య య ξͷͶ ൌ ξʹǤʹ ൌ ඥ͵ଷ Ǥ ʹ ൌ ͵Ǥ ξʹ A) KÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1. య య işleminin sonucu kaçtır? య య య ξʹǤ ξ͵Ǥ ξͶǤ ξͻ ξ͵ʹ ൌ ξͳǤʹ ൌ ඥͶଶ Ǥ ʹ ൌ Ͷξʹ య య B) ͵Ǥ ξ͵ D) 8 C) ͶǤ ξʹ E) 9 Toplama ve Çıkarma İşlemleri Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapabilmek için, kök derecelerinin ve kök içlerinin aynı olması gerekir. Burada; köklü ifadelerin katsayıları toplanır veya çıkarılır. Bulunan değer, ortak olan köklü ifadenin katsayısı olarak yazılır. 3. Bölme İşlemi Köklü ifadelerde bölme işlemi yapabilmek için, kök derecelerinin aynı olması gerekir. Burada; kökün içindeki sayılar bölünür ve bulunan değer, aynı dereceden kökün içine yazılır. ߙǤ ξ ݔ ܾǤ ξ ݔെ ܿǤ ξ ݔൌ ሺߙ ܾ െ ܿሻǤ ξݔ ݕݔpozitif reel sayılar olmak üzere, ͵ξͷ Ͷξͷ െ ʹξͷ ൌ ͷξͷ ξݔ Örnek: (2005 KPSS) ͵ξͻͺ െ ʹξʹ ൌ ݔξͳͺ ඥݕ olduğuna göre, ݔkaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 ξͺ D) 5 E) 6 ξͷ ൌඨ ൌ ඨ ݔ ݕ ͺ ൌ ඥͳǡ ͷ య ξͻ య ͻ ൌ ඨ ൌ యඥʹǡʹͷ య Ͷ ξͶ Örnek: (2006 KPSS) ξ͵ sayısının yaklaşık değeri 1,7 dir. Örnek: (2006 KPSS) ξʹͶ͵ െ ξʹ ξͲǡͻ െ ξͲǡͶ ifadesinin yaklaşık değeri kaçtır? A) 3,4 B) 5,1 C) 6,8 D) 8,5 ඥͲǡͷǤ ξͲǡʹ E) 10,2 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 2. Çarpma İşlemi Köklü ifadelerde çarpma işlemi yapabilmek için, kök derecelerinin aynı olması gerekir. Burada; kökün içindeki sayılar çarpılır ve bulunan değer, aynı dereceden kökün içine yazılır. 2 B) 2 C) 10 D) ξʹ E) ξͳͲ Örnek: (2004 KPSS) ξͲǡͺͳ ξͲǡͶ ඥͲǡʹͷ ξͲǡͲͶ Örnek: െ işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A) Özellik 6: Kök dereceleri aynı olmayan köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapabilmek için, kök dereceleri OKEKlerinde eşitlenir. Burada kök derecesi hangi sayı ile çarpılırsa, kökün içindeki sayının kuvveti de aynı sayı ile çarpılır. ξଶ B) ξଷ ξ C) D) ξଷ ଷ E) ξ ଷ Örnek: ʹ ξ͵ െ ͳ െ ξʹ ξʹ ͳ işleminin sonucu kaçtır? ೖǤ ͳ ͳ ͳ ൬ ൰Ǥ ξʹ ξ͵ ξʹ ξ͵ ξͲǡͲͻ ξͲǡͶͻ ξ ݔ ൌ ξ ݔǤ (݇ ܴ אା) A) ξ͵ െ ξʹ െ ͳ C) ξ͵ െ ξʹ ͳ E) ξ͵ ξʹ Örnek: B)ξ͵ ξʹ െ ͳ D) ξ͵ െ ξʹ ర య Ƚ ൌ ξ͵ǡ ൌ ξͷǡ ൌ ξʹ olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) ߙ ൏ ܾ ൏ ܿ D) ܿ ൏ ߙ ൏ ܾ B) ߙ ൏ ܿ ൏ ܾ E) ܿ ൏ ܾ ൏ ߙ C) ܾ ൏ ߙ ൏ ܿ Özellik 7: ݕݔpozitif reel sayı ve ݔ ݕolmak üzere; ݔ ݕൌ ߙݔǤ ݕൌ ܾolsun. ü ඥߙ ʹξܾ ൌ ξ ݔ ඥݕ PAYDAYI RASYONEL YAPMA ü ඥߙ െ ʹξܾ ൌ ξ ݔെ ඥݕ Kesirli ifadelerde payda köklü bir sayı ise, paydayı kökten kurtarma işlemine paydayı rasyonel yapma, bir başka deyişle eşlenik çarpımı denir. ටͺ ʹξͳͷ ൌ ξͷ ξ͵ ü ξݔǤ ξ ݔൌ ݔ ü ൫ξ ݔ ඥݕ൯Ǥ ൫ξ ݔെ ඥݕ൯ ൌ ݔെ ݕ ට െ ʹξͳͲ ൌ ξͷ െ ξʹ Örnek: ͳ ξʹ െ ͳ Örnek: ൌ ξʹ ͳ ଶ ൫ξʹ൯ െ ͳଶ ൌ ξʹ ͳ ൌ ξʹ ͳ ʹെͳ ටͶ ʹξ͵ ටͶ െ ʹξ͵ işleminin sonucu kaçtır? (ξʹ ͳሻ ʹ ξ͵ ͳ A) 1 ൌ ͳ ξͷ െ ξʹ ൌ 3 B) ξ͵ C) 2 D) ʹξ͵ E) ʹξ͵ ʹ Örnek: Örnekler ටͺ ξͲ 1. ܽξʹ ൌ ܽ ͳ işleminin sonucu kaçtır? A) ξͷ െ ξ͵ D) ξ͵ ξʹ B) ξ͵ ͳ E) ξͷ ξ͵ olduğuna göre, a kaçtır? C) ξͷ ͳ Örnek: ሻξʹ െ ͳ ሻξʹ ሻξʹ ͳ ሻʹξʹ ξʹ ͳ ʹ 2. ට െ ξ͵ͷ ටͳͲ ξ ݔ ͳͳ ൌ Ͷ işleminin sonucu kaçtır? ିξହ ଶ ሻ ξ ሻ ሻ ξͳͶ െ ξͳͲ ʹ ξͳͶ െ ξͳͲ ሻ ʹ ሻ ξ ξͷ ʹ olduğuna göre, ݔkaçtır? A) -7 C) ξͳͶ െ ξͳͲ B) -2 C) 5 D) 25 E) 38 3. ටܽ ඥܽ ଶ െ ͳ ൌ ʹ Özellik 8: iç içe geçmiş köklerde kural, ü ü ඥ ξ ݔൌ olduğuna göre, ܽ kaçtır? A) 4 Ǥ ටݔǤ ඥ ݕൌ ξ ݔtir. B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Ǥ ඥ ݔ Ǥ ݕ 4. ට యξʹ ൌ మǤయξʹ ൌ లξʹ (2008 KPSS) ͺξͳͲ െ ͵Ͳξʹ ʹξͶͲ െ ͵ξͷͲ య ටͷǤ ξ͵ ൌ యǤమඥͷଶ Ǥ͵ ൌ లξͷ işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 2ξʹ E) 3ξʹ Özellik 9: ݔൌ ߙǤ ሺߙ ͳሻ olmak üzere; ü ට ݔ ඥ ݔ ξ ݔ ڮൌ ሺߙ ͳሻ 5. ξͳͲͺsayısının yaklaşık değerinin hesaplanabilmesi için aşağıdaki sayılardan hangisinin yaklaşık değeri bilinmelidir? ü ට ݔെ ඥ ݔെ ξ ݔെ ڮൌ ߙ Örnek: 20=4.5 olduğundan A) ξ ටʹͲ ඥʹͲ ξʹͲ ڮൌ ͷ ඨʹͲ െ ටʹͲ െ ξʹͲ െ ڮൌ Ͷ 4 B) ξ C) ξͷ D) ξ͵ E) ξʹ 6. 10. ξͷସ௫ା య ξͳʹͷ ௫ିଵ ൌ ͳ ʹͷଶ ൌ ʹ ݔ ξെ ݔଶ ݔെ ͻ ifadesi reel bir sayıya eşit ise bu sayı kaçtır? ise, ݔkaçtır? A) 8 A) 3 B) 6 C) -4 D) -6 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9 E) -8 11. 7. ͵ െ ξʹ ξͶͻͻǤͷͲͳ ͳ െ ξͶ͵ǤͶͷ ͳ ͵ ξʹ işleminin sonucu kaçtır? A) 436 B) 446 C) 456 D) 466 ൌ ݔ ݕξʹ ise, ݔ ݕkaçtır? E) 476 A) ଵ B) ଶ C) ଷ D) ସ E) ହ 8. ఱ ర ඥሺെ͵ሻଶ ඥሺെʹሻହ െ ඥሺെʹሻସǤ ʹͷଶ işleminin sonucu kaçtır? A) -15 B) -9 12. C) 6 D) 9 E) 15 ξͺ ඥ͵ ξͷ െ ඥ͵ െ ξͷ işleminin sonucu kaçtır? A) ξʹ B) 2 C) 2ξʹ D) 4 E) 3ξʹ 9. ඨ ͳ ʹ ͳ ͺͳ Ͷͷ ʹͷ işleminin sonucu kaçtır? A) ଵଷ ସହ B) ଵସ ସହ C) ଵ ଽ D) ଵ ସହ E) 13. (2004 KPSS) ଵ ହ ଼ ଽ ൫ξ͵ െ ʹ൯ Ǥ ൫ξ͵ ʹ൯ işleminin sonucu kaçtır? ሻʹ െ ξ͵ ሻξ͵ ͳ 5 ሻξ͵ ʹ ሻͳ െ ξ͵ ሻξ͵ െ ʹ 14. (2001 KMS) ସ ξହ 18. ʹ ξ͵ ξʹ െ ξʹ െ ͳ ξ͵ െ ʹ ξ͵ ξʹ sayısı ξͷ sayısının kaç katıdır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 işleminin sonucu kaçtır? E) 20 ሻ െ Ͷξʹ ሻͲ ሻ͵ξ͵ ሻʹξ െ ξ͵ ሻ െ ξ͵ 15. ܽ ξܾ ξܾܽ ට ൌ ܾ ξܽ 19. ೣ ඥʹǡସ ൌ మబబξͶ olduğuna göre, ߙ nın b türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? ሻ ାଵ ሻ ܾെͳ ܾ ܾ ܾͳ ܾ ሻ ܾെͳ ሻ ሻ olduğuna göre, ݔkaçtır? A) 2 ܾͳ ܾെͳ B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 20. ݔൌ ඨͶʹ െ ටͶʹ െ ξͶʹ െ ڮ 16. ʹୟ ൌ ͵ୠ ೌ ݕൌ ඨ ݔ ට ݔ ξ ݔ ڮ ್ olduğuna göre, Ͷ್ ʹೌ ifadesinin değeri kaçtır? A) 3 B) 4 C) 8 D) 9 E) 17 olduğuna göre, ݕkaçtır? A) 1 17. య య య ξ͵ʹ ͵Ǥ ξͳͲͺ െ ξͶͲͲͲ işleminin sonucu kaçtır? య ሻξʹ య ሻ ξͶ ሻ͵Ǥ ξ͵ʹ ሻʹǤ ξͶ య య ሻ͵Ǥ ξͶ య 6 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6
