temel büyüklükler
advertisement
Bölüm 1 VEKTÖRLER Prof. Dr. Bahadır BOYACIOĞLU 1 Birimler ve Vektörler • • • • • • • Fiziksel Büyüklükler Vektörel ve Skaler Nicelikler Vektörlerin Toplanması Vektörlerin Çıkarılması Bir Vektörün Bileşenleri Birim Vektörler Vektörlerin Bileşen Yöntemi ile Toplanması 2 • Temel • Skaler • Türetilmiş • Vektörel FİZİKSEL BÜYÜKLÜKLER TEMEL BÜYÜKLÜKLER TÜRETİMİŞ BÜYÜKLÜKLER Temel Büyüklükler Tek bir niceliği içeren büyüklüklere “ temel büyüklükler” denir. SI Temel Birimleri (MKS) Fiziksel Nicelik Birim Sembol Uzunluk Metre m Kütle kilogram kg Zaman saniye s Elektrik akımı Amper A Sıcaklık Kelvin K Aydınlanma şiddeti Candela cd Madde miktarı mol mol CGS Temel Birimleri Fiziksel Nicelik Birim Sembol Uzunluk Santimetre cm Kütle Gram g Zaman Saniye s Türetilmiş Büyüklükler Başka büyüklükler yardımıyla ifade edilen büyüklüklere "türetilmiş büyüklükler” denir. SI (MKS) Türetilmiş Birimler Fiziksel Nicelik Birimin adı SI (MKS) Simgesi Alan m2 Hacim m3 Yoğunluk kg/m3 Basınç Pascal Frekans Herts Pa = N/m2 S-1 Özısı Cal/g.C0 Hal değişim ısısı (L) Cal/g Hız m/s Kuvvet …………….. Newton Kg.m/s2 ……….. …………….. Vektörel ve Skaler Nicelikler Büyüklüğü ve yönü olan niceliklere vektörel nicelikler diyoruz. Yerdeğiştirme, hız, ivme ve kuvvet niceliklerini örnek olarak verebiliriz. Yön özelliğine sahip olmayan nicelikler ise, skaler nicelikler adını alır. Uzunluk, zaman, sıcaklık, kütle, yoğunluk nicelikler skaler niceliklerdir. ve hacım gibi birçok Vektörel nicelikler, kalın yazı tipinde ( F gibi ) veya niceliğin üzerine vektör işareti (𝐹Ԧ gibi) konularak gösterilir. Burada her iki gösterim de kullanılacaktır. 7 Vektörel ve Skaler Nicelikler Bir parçacık, kesikli çizgiyle gösterilen yol boyunca A'dan B'ye gitmiş olsun. Bu seyahat edilen mesafe alınan yoldur ve skalerdir (s). Yer değiştirme, A'dan B'ye doğru olan düz çizgidir. Yer değiştirme, iki nokta arasındaki yoldan bağımsızdır ve bir vektördür (𝑥) Ԧ 𝑥Ԧ s 8 Vektörlerin Toplanması İki vektör aynı büyüklüğe ve aynı yönde bulunuyorsa eşittir. A = B ise ve paralel çizgileri işaret ederler. Gösterilen tüm vektörler eşittir. Bir vektörün kendine paralel bir konuma taşınmasına izin verir. Vektör eklerken, yönleri dikkate alınmalıdır. Birimler aynı olmalıdır. 9 İki Vektörün Toplanması Paralelkenar kuralı: Her iki vektör, yönleri korunarak, aynı noktaya kaydırılır. Her bir vektörün bitiş noktasından diğerine paralel doğrular çizilerek bir paralelkenar oluşturulur. Paralelkenarın vektörler arasında kalan köşegeni A + B vektörü olur. Üçgen kuralı: Vektörlerden biri ( A veya B ) , kendisine paralel kaydırılarak diğer vektörün bitiş noktasına kadar getirilir. Birinci vektörün ( A ) başlangıç noktasından ikinci vektörün ( B ) bitiş noktasına çizilen vektör A + B olur. 10 İki Vektörün Toplanması Örneğin, aralarında belli bir açı olan iki vektörün toplanması aşağıdaki formül ile büyüklüğü hesaplanabilmektedir. R=A+B A A B 11 İki Vektörün Toplanması İki vektör toplandığında sonuç, toplamın sırasından bağımsızdır. Buna toplamın değişme özelliği denir: A B B A 12 İki Vektörün Toplanması Üç veya daha fazla vektör eklerken, bunların toplamı, tek tek vektörlerin gruplanma biçiminden bağımsızdır. Buna Toplamanın Birleşme Özelliği denir. A BC A B C 13 Birçok Vektörün Grafiksel Toplamı Birçok vektöre sahip olduğunuzda, tümü uc uca eklenerek, ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna kadar çizilen vektör bileşke vektör olur 14 Vektörlerin Çıkarılması Bir vektörün başka bir vektörden çıkarılması ile, aynı vektörün tersinin toplanması aynı sonucu verir. Yani, A vektöründen B vektörünü çıkarmak için B’nin yönü terslenerek A’ya eklenir. A B = A B 15 Bir Vektörün Bileşenleri Bir vektörün bileşenlerini tanımlamadan önce, yaygın olarak kullanılan koordinat sistemleri ve trigonometrik fonksiyonlar ile arasındaki temel bağıntıları vermeliyiz. Koordinat Sistemleri: Uzayda bir noktanın konumunu tanımlamak için kullanılır. Yaygın koordinat sistemleri şunlardır: Kartezyen Polar 16 • Kartezyen Koordinat Sistemi Dikdörtgen koordinat sistemi olarak da adlandırılır ve x ve y ekseni, orijinde kesişir. Noktalar (x, y) olarak etiketlenir. 17 • Polar Koordinat Sistemi Noktanın orijinden uzaklığı r ve x ekseni ile yaptığı açı olarak alınırsa, nokta (r,) olarak etiketlenir 18 • Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonomrtik fonksiyonlar, bir dik açıyla bağlantılı olarak tanımlanır. Şekil de gösterilen dik üçgen için bağıntılar aşağıdaki gibidir: x = r cos y = r sin Eğer Kartezyen koordinatlar bilinirse, y tan x r x2 y 2 19 Bir Vektörün Bileşenleri 2-boyutta: A vektörünün uç noktasından x - ve y -eksenlerine çizilen paralellerin eksenleri kestiği uzunluklar A vektörünün Ax ve Ay bileşenleri olurlar. Ax = A cos θ Ay = A sin θ A Ax Ay 20 Bir Vektörün Bileşenleri 3-boyutta: a vektörünün uç noktasından x - , y – ve z- eksenlerine çizilen paralellerin eksenleri kestiği uzunluklar a vektörünün ax ve ay ve az bileşenleri olurlar. 𝑎Ԧ = 𝑎Ԧ𝑥 + 𝑎Ԧ𝑦 + 𝑎Ԧ𝑧 21 Birim Vektörler Bir birim vektör, büyüklüğü tam olarak 1 olan boyutsuz bir vektördür. Birim vektörleri bir yön belirtmek için kullanılır ve başka fiziksel önemi yoktur. î , ĵ, and k̂ ile gösterilir. Her birim vektörün büyüklüğü 1’dir. ˆi ˆj kˆ 1 22 Vektör Gösteriminde Birim Vektörler Vektörel nicelikler genelde birim vektörler cinsinden ifade edilirler. Birim vektör, verilen bir yönü belirlemek için kullanılan, birim uzunluklu, boyutsuz bir vektördür. x, y ve z doğrultularını gösteren birim vektörler, sırasıyla (i,j,k) harfleriyle gösterilirler. Örneğin, A vektörü 3i’ye eşit olsun. Bunun anlamı, +x doğrultusunda 3 birimlik bir vektörü göstermektedir. Benzer şekilde, -5k ise eksi z-doğrultusunda 5 birimlik vektör demektir. Her vektör, bileşenleri ve birim vektörler cinsinden daima şöyle yazılabilir: 2-boyutta : 3-boyutta : 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ 𝐴Ԧ = 𝐴𝑥 𝑖Ƹ + 𝐴𝑦 𝑗Ƹ + 𝐴𝑧 𝑘 23 Vektörlerin Bileşen Yöntemi ile Toplanması İki Boyutta; R A B R Ax ˆi Ay ˆj Bx ˆi By ˆj R Ax Bx ˆi Ay By ˆj R Rx ˆi Ry ˆj Rx = Ax + Bx ve Ry = Ay + By R R R 2 x 2 y tan 1 Ry Rx 24 Vektörlerin Bileşen Yöntemi ile Toplanması Üç Boyutta; R A B R Ax ˆi Ay ˆj Azkˆ Bx ˆi By ˆj Bzkˆ R Ax Bx ˆi Ay By ˆj Az Bz kˆ R Rx ˆi Ry ˆj Rzkˆ R R R R 2 x 2 y 2 z Rx x cos , etc. R 1 25 Üç veya daha fazla vektörün toplanması R A BC R Ax Bx Cx ˆi Ay By Cy ˆj Az Bz Cz kˆ 26
