RASGELE SÜREÇLER

RASGELE SÜREÇLER
Eğer bir büyüklüğün her t anında alacağı değeri tek bir şekilde belirleyen matematiksel
bir ifade verilebilirse bu büyüklüğün deterministik bir büyüklük olduğu söylenebilir.
Haberleşmeden habere karşı gelen (veya haberi taşıyan) işaretler deterministik işaretler
olarak yorumlanamazlar. Zira işaretin gelecek bir t anında alacağı değeri veren bir ifade
varsa, bu gelecekteki değerlerin de bilinmesi demektir. Dolayısıyla daha önceden sahip
olunan bir bilgi haber değeri taşımaz.
İletilen bilgiyi taşıyan işaretin gelecekteki değerleri bilinmediği gibi, bu işaret üzerine
zamanla değişimi rasgele olan gürültü de binmiştir. Gürültü rasgele olmakla birlikte eğer
doğal kaynaklar tarafından yaratılmışsa belli bir karaktere sahiptir. Gelecek bir andaki
değerinin ne olacağı söylenemese de, örneğin gelecekteki değerinin belli bir aralıkta
bulunma olasılığından söz edilebilir. Rasgele büyüklüklerin davranışlarını betimlemek
için de olasılık kuramından faydalanılır.
3.1. Tekdüze Dağılımlı Sinyal Üretimi
Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık
yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.
⎧ 1
⎪
f ( x) = ⎨b − a
⎪ 0
⎩
(3.1)
a≤ x≤b
x ∉ [ a, b ]
Yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip dağılıma Tekdüze Dağılım denir.
σ = var ( x )
2
(b − a )
=
(3.2)
2
12
(a + b)
μ = E ( x) =
2
0 ile 1 arasında değişen tek düze dağılıma sahip n adet sayı üretmek için ‘rand’ komutu
kullanılır.
>> x=rand(1,10000)
Olasılık yoğunluk işlevini kullanarak x değişkeninin ortalamasını ve varyansını
(değişinti) bulalım:
28
(3.3)
1
+∞
x2
= 0.5
E ( x) = ∫ x f x dx =
2 0
−∞
+∞
E (( x − mx ) ) =
2
∫ ( x − 0.5) f x dx =
2
−∞
+∞
∫
x 2 − x + 0.52 f x dx
(3.4)
−∞
1
x3 x 2
= − + 0.52 x = (1/ 3) − (1/ 2) + (0.5) 2 = 0.0833
3 2
0
‘mean’ komutuyla üretilen rasgele dizinin ortalaması ‘var’ komutuyla da varyansı
bulunabilir.
>> mean(x)
>> var(x)
% integral (x fx dx)
% integral ((x-mx)^2 fx dx)
‘norm’ komutuyla da x değişkeninin varyansı bulunabilir.
>> norm(x-mean(x))^2/length(x)
‘hist’ histogram ¸ şeklinde grafik çizmek için kullanılır. Histogram belli aralılıklarda olan
değerlerden, bir grubun içerisinde kaç adet olduğunu bulur. Örnek olarak sınıftaki
öğrencilerin notları bir A vektörüne yazılsın, daha sonra sınıfın çan eğrisi çizilmek
istenirse aşağıdaki kod yazılabilir. Burada grafik varsayılan olarak 10 eşit parçaya
bölünmüştür. Eğer istenirse fonksiyon hist(A,n) seklinde yazılarak n sütuna da
bölünebilir. Böylelikle verilen bir sayı dizisi içerisindeki sayıların dağılımını ekranda
görüntülenir.
Şekil 3.1: Histogram Hesaplanırken 0 ile 1 arası 10 eşit parçaya bölünmüştür.
29
NOT: Toplam 10000 adet rasgele sayı üretildiğinde ve histogram 10 eşit parçaya
böldüğünde her aralıkta ortalama 1000 adet veri olmalıydı. Ancak şekilden de görüleceği
üzere bu sayı her bir aralık için farklılık göstermektedir. Alınan örnek sayısı arttıkça
dağılım daha düz bir hale gelecektir.
Şekil 3.2: Histogram Hesaplanırken 0 ile 1 arası 20 eşit parçaya bölünmüştür.
‘randint’, tekdüze dağılımlı rasgele tamsayı üretir. Komutta herhangi bir aralık
belirtilmezse varsayılan olarak 0 veya 1 üretilir.
>> n=10000;
%örnek sayisi
>> ikili_uret=randint(1,n);
>> mean(ikili_uret)
% toplam(x pi)
>> var(ikili_uret)
% toplam((x-mx)^2pi)
>> std(ikili_uret)
>> norm(ikili_uret-mean(ikili_uret))^2/10000
E ( x) = ∑ xi pi =
i
(3.5)
1
1
(0) + (1) = 0.5
2
2
var( x) = ∑ ( xi − mx ) 2 pi =
i
1
1
(0 − 0.5) 2 + (1 − 0.5) 2
2
2
= 0.53 + 0.53 = 0.25
σ 2 = 0.25 ⇒ σ = 0.5
30
3.2. Normal (Gauss) Dağılımlı Sinyal Üretimi
X, sürekli bir rasgele değişken iken, X' in yoğunluk fonksiyonu,
1
f ( x) =
e
2πσ
(3.6)
−( x − μ ) 2
2σ 2
ise f ( x ) ’e normal dağılım, X' e de normal dağılmış rasgele değişken denir. Dağılımın μ
ortalama ve σ 2 varyans olmak üzere iki parametresi vardır. X, normal dağılmış bir
rasgele değişken ise kısaca X ∼ N ( μ , σ 2 ) ile gösterilir.
Normal dağılımın bazı özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:
1. Eğrinin tepe noktası ortalamaya karşılık gelir. Bu dağılımda ortalama, medyan
(ortanca) ve mod (tepe değer) aynıdır.
2. Normal dağılım eğrisi ortalamaya göre simetriktir.
3. Standart sapma eğrinin genişliğini belirler, yani standart sapma büyüdükçe
değişkenin alacağı en küçük değer ile en büyük değer arasındaki açıklık büyür.
4. Eğrinin altında kalan alanın tamamı 1 birimdir.
5. Normal dağılıma ilişkin olasılıklar normal dağılım olasılık yoğunluk
fonksiyonunun belirlediği eğrinin altında kalan alanlar olarak hesaplanır.
‘randn’ normal dağılımlı (Gauss) rasgele sayılar üretir. Varsayılan olarak ifadenin
ortalaması 0 varyansı ise 1’dir.
>> n=100000;
>> x=randn(1,n);
>> mean(x)
>> var(x)
>> norm(x)^2/n
>> hist(x,100)
%ornek sayısı
%integral (x fx dx)
% integral ((x-mx)^2 fx dx)
31
Şekil 3.3: Normal (Gauss) Dağılımlı Rasgele Değişken
Rasgele Gauss Dağılımlı x değişkeninin ortalaması ve varyansını değiştirme işlemi:
N ( μ , σ 2 ) bir rasgele değişken oluşturmak isteyelim.
y =σx+c
x değişkeninin ortalaması 0 ise y’ nin ortalaması?
E ( x) = 0 ⇒ E ( y) = E ( x) + E (c) = c
(3.7)
var ( y ) = var (σ x ) + var ( c ) = σ 2
>> y=2*x+3;
>> mean(y)
>> var(y)
>> hist(y,100)
% ortalaması 3
% varyansı 22=4
32
Şekil 3.4: N ( 2, 4 ) Gauss Dağılımlı Rasgele Değişken
Q Fonksiyonu
1
Q ( x) =
2π
∫
∞
x
e
−
x2
2
(3.8)
dx
Q fonksiyonu monoton azalan bir fonksiyondur. Bazı özellikleri aşağıda sıralanmıştır:
1) Q ( −∞ ) = 1, Q ( 0 ) = 1/ 2, Q ( ∞ ) = 0
2) Q ( − x ) = 1 − Q ( x )
3) Q ( x ) =
1 1
⎛ x ⎞
− erf ⎜
⎟
2 2
⎝ 2⎠
⎛ x−μ ⎞
4) X ∼ N ( μ , σ 2 ) iken Pr ( X > x ) = Q ⎜
⎟
⎝ σ ⎠
⎛a⎞
5) Pr { X > ( μ + a )} = Pr { X < ( μ − a )} = Q ⎜ ⎟
⎝σ ⎠
MATLAB’da Q fonksiyonu işlemi ‘qfunc’ komutuyla gerçekleştirilir.
Örnek 3.1: N (0,1) olasılık yoğunluk işlevine bir x değişkenin 3 değerinden büyük gelme
olasılığını Q işlevi yöntemi ve x değişkeninden yararlanarak bulunuz.
>> [d]=find(x>3);
>> length(d)/N;
>> qfunc(3)
33
Örnek 3.2: N (0,1) olasılık yoğunluk işlevine bir x değişkenin 1’den büyük 3’ten küçük
değerler alma olma olasılığını Q işlevi yöntemi ve x değişkeninden yararlanarak bulunuz.
% P(1<X ≤ 3)
>> [d3]=find(x>3);
>> [d1]=find(x>1);
>> (length(d1)-length(d3))/N
>> qfunc(1)-qfunc(3)
x−μ
1 ( x − μ )2
b
−
1
e 2
2πσ
∫
a
=t
( değişken
dönüşümü )
1 − 12 t 2
1 − 12 t 2
1 − 12 t 2
e dt = ∫
e dt − ∫
e dt
2π
2π
2π
a−μ
b−μ
( integral
σ2
dx ⇒
σ
σ dt = dx
(3.9)
b−μ
σ
∫
a−μ
σ
b
∫
a
∞
∞
σ
σ
1 ( x − μ )2
−
1
e 2
2πσ
σ2
dx ⇒ Q(
a−μ
σ
) − Q(
b−μ
σ
parçalandı )
)
Toplanır Beyaz Gauss Gürültüsü:
Toplanır Beyaz Gauss Gürültülü (AWGN) kanal modeli, radyo kanalının klasik bir
modelidir. Bu model, alınan işareti bozma yönünde eklenmiş istatistiksel olarak bağımsız
gürültü örneklerinden oluşur. Gürültü örneklerinin genliği bir Gauss olasılık yoğunluk
işlevine sahiptir. Bu gürültü örnekleri, birbirlerinden bağımsız oldukları için, kendi öz
ilinti fonksiyonları ideal olarak bir darbedir. Buna göre, AWGN kanalın güç spektral
yoğunluğu tüm frekanslar için düzdür. Bu yüzden bütün işaret frekansları, AWGN kanalı
vasıtasıyla özdeş olarak küçültülmüştür. Aynı zamanda, AWGN kanalın genellikle
durağan olduğu ve davranışının zamanla değişmediği kabul edilir. Bu kabuller nedeniyle
bir AWGN kanalı, gezgin radyo kanal davranışını uygun şekilde modelleyemez. Gerçek
dünyadaki gezgin hücresel radyo ağlarında karşılaşılan radyo kanalı, çok sayıda yayılım
yolunun birleşimidir. Bu davranış, çok yollu yayılım olarak adlandırılır. Haberleşme
sistemleri için çok yollu kanal modeli, kullanımı AWGN kanal modelinden daha zor olan
bir kanal modelidir.
MATLAB’ da AWGN Gürültü Oluşturulması
Ns x bilgi işaretinin uzunluğu olmak üzere bu işaret etkiyecek ne gürültüsü iki şekilde
ürebilebilir ve eklenir.
>> n=1/sqrt(2)*(randn(Ns,1)+j*randn(Ns,1));
>>y=x+n;
34
y = awgn(x,snr) komutu da x bilgi işareti dizisine beyaz Gauss gürültüsü ekler. snr sabiti
dB cinsiden sinyal/gürültü oranıdır. Eğer x karmaşıksa awgn karmaşık gürültü ekler. Bu
kullanımda x’ in gücünün 0 dB olduğu kabul edilir.
3.3. Rayleigh Dağılımlı Sinyal Üretimi:
Şekil 3.5: Çok Yollu Alıcı Verici Yapısı
Şekilde görüldüğü gibi verici antenden çıkan sinyal kanal üzerinde birçok yoldan alıcı
antene ulaşabilir. Antenlerin direk birbirini gördüğü yol haricinde binalardan, ağaçlardan
vs. başka yerlerden yansımalarla birlikte sinyalin gecikmiş alımları gelebilir. Anten
arasındaki her bir yola çoklu yol bileşeni denir ve her yolun farklı bir zayıflatması ve
zaman gecikmesi vardır. Bunların alıcı antene toplamı ise alınan sinyali bozabilir bu
olaya sönümleme denir. Böyle bir kanalı modellemek için zamanla değişen dürtü cevabı
sahip bir model ele alır. İletilen sinyalin karmaşık zarfı g s ise alınan sinyal modeli
aşağıdaki şekilde verilebilir.
g r (t ) = ∑ ρ k e jθk g s (t − τ k ) + n(t )
(3.10)
k
Burada ρ k k. Yolun zayıflaması, θ k k. Yolun faz kayması ve τ k da k. yolun gecikmesidir.
İki önemli (güçlü) yolun arasındaki en büyük zaman farkına τ m olarak tanımlarsak, τ m
ifadesine gecikme yayılması denir. τ m ifadesi yaklaşık Ts eşit olursa gecikmeli yollar
semboller arası gecikme oluşturur (ISI). Eğer τ m << Ts olursa çoklu yol dağıtıcı değildir.
Yani kanal frekans seçici değildir. Bu durumda kanalda eğer direkt görüşün olmadığı ve
vericiden çıkan sinyalin birçok yoldan alıcıya ulaştığı (her yolun yaklaşık aynı
zayıflatmaya sahip olduğu) varsayılırsa kanal modeli g s (t − τ s ) ≈ g s (t ) ise
35
g r (t ) = g s (t )∑ ρ k e jθk + n(t )
(3.11)
k
h = x + jy = ae jθk , x = ∑ ρ k cos(θ k )
k
y = ∑ ρ k sin(θ k )
k
Alınan Sinyal
g r (t ) = h g s (t ) + n(t ),
h = x + jy = a e jφ
(3.12)
sıfır ortalamalı Karmaşık Gauss rasgele değişkeni
Merkezi limit teoremine göre x ve y değişkeni Gauss rasgele değişkenine yaklaşır. Bu
durumda olasılık dağılım işlevi:
f x , y ( x, y ) =
f a (a) =
fφ =
a
σ2
1
e
2πσ 2
e
(−
a2
2σ 2
(−
x2 + y 2
2σ 2
)
(3.13)
,
)
U (a ) Rayleigh
1
, 0 ≤ φ < 2π , tekdüze (Uniform)
2π
Not: Ayrıca eğer Direk Görüş (LOS Line of Side) varsa kanal Rician Dağılımına sahip
olarak modellenir. Eğer Baştaki varsayım yapılmazsa g s (t − τ s ) ≈ g s (t ) yani kanal
semboller arasında karışım meydana getiriyorsa bu durumda kanala frekans seçici kanal
denir. Bu tür kanallar için çeşitli (OFDM gibi) yöntemler mevcuttur.
36
Rayleigh Benzetimi:
clear all,clc,close all
N=10000
A1=randn(1,N)/sqrt(2);
A2=randn(1,N)/sqrt(2);
mean(A1)
mean(A2)
var(A1)
var(A2)
h=A1+A2*i;
figure
tp=angle(h);
hist(tp,20);
%....Faz -pi ile +pi arasinda degismesi lazim
title('Faz Degisiminin Histogrami')
tm=abs(h);
mean(abs(tm))
var(abs(tm))
figure
hist(tm,20)
title('Zarfin Genliginin Olasilik Dagilim Islevi')
text(2,800,'Rayleigh Dagilimi')
Şekil 3.6: Rayleigh Dağılımın Faz Değişiminin Histogramı
37
Şekil 3.7: Rayleigh Dağılımın Zarfının Genliğinin Olasılık Dağılım İşlevi
38