temel kavramlar

TEMEL KAVRAMLAR
Rakam:
Not:
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir.
Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır.
Sıfır bir tam sayıdır fakat pozitif veya negatif değildir.
Örnek:
ve
birbirinden farklı tam sayıdır.
( − 2). ( + 4) = 16
eşitliğini sağlayan kaç tane ( , ) ikilisi vardır?
Örnek:
, ve birer rakamdır.
α−
olduğuna göre,
kaçtır?
A) 12
B) 14
+
15
+
=
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
D) 6
E) 5
toplamının en büyük değeri
Örnek:
C) 16
D) 18
E) 20
Sayı:
Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeye sayı denir.
6
, 24, −120, √5, 10
5
ifadelerinin her biri sayıdır.
, ve pozitif tam sayılardır.
. =7
. =6
ise, + toplamı kaçtır?
A) 14
B) 13
C) 7
Örnek:
1. Doğal Sayılar
, ve pozitif tam sayılardır.
. = 24
. = 36
ise, + + toplamının en küçük değeri kaçtır?
= {0, 1, 2, 3, 4, … … } kümesinin her bir elemanına
doğal sayı denir.
A) 12
Örnek:
Örnek:
SAYI KÜMELERİ
ise,
Örnek:
A) 18
2. Sayma Sayıları
= {1, 2, 3, 4, … … } kümesinin her bir elemanına
sayma sayısı denir.
3. Tam Sayılar
Z = {… , −2, −1, 0, 1, 2, … }
kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.
Z = {1, 2, 3, 4, … … }
kümesinin her bir elemanına pozitif tam sayı denir.
C) 14
D) 15
E) 16
, ve tam sayılardır.
α ve b doğal sayı olmak üzere;
α + = 11
ise, α.b çarpımının en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz?
α ve b doğal sayı olmak üzere;
α. = 24
ise, α+b toplamının en büyük ve en küçük değerlerini bulunuz?
B) 13
+
+
. = 48
. = 32
toplamının en büyük değeri kaçtır?
B) 21
C) 33
D) 42
E) 81
Örnek:
, ve tam sayılardır.
ise,
+
A) 19
+
. = 42
. = 36
toplamının en küçük değeri kaçtır?
B) 29
C) −19
D) −29
E) −79
Örnek:
ve
pozitif tam sayıdır.
3 + 2 = 39
eşitliğini sağlayan kaç tane tam sayısı vardır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Z = {−1, −2, −3, −4, … … }
kümesinin her bir elemanına negatif tam sayı denir.
Z ∪ Z ∪ {0} = Z
Temel Kavramlar
Sayfa 1
Örnek:
5. İrrasyonel Sayılar
ve
pozitif tam sayıdır.
2 + 3 = 48
eşitliğini sağlayan kaç tane tam sayısı vardır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayılar denir.
Diğer bir ifadeyle virgülden sonrası kesin olarak bilinmeyen sayılara irrasyonel sayılar denir. irrasyonel
sayılar Q’ ile gösterilir.
Örnek:
Örnek:
√2,
ve pozitif tam sayıdır.
+
olduğuna göre,
kaçtır?
A) 56
B) 57
12
= 14
nın alabileceği değerler toplamı
C) 59
D) 62
E) 65
ve pozitif tamsayılar ve
α
+ = 10
4
olduğuna göre, α nın alabileceği en büyük değer kaçtır?
B) 28
C) 32
D) 36
Örnek:
7
4, 5, , √2 ve 3,14 ….
3
Her birisi birer reel sayı belirtir.
Çift ve Tek Sayılar
Çift Sayı
, ve
pozitif tam sayılardır.
3 + 2 + = 105
nin en büyük değeri kaçtır?
A) 48
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi olan kümeye reel(gerçel) sayılar kümesi
denir.
Reel sayılar kümesi R = Q ∪ Q′ şeklinde ifade edilir.
E) 40
Örnek:
ise,
sayıları birer irrasyonel sayılardır.
6. Reel Sayılar
Örnek:
A) 24
1
, − √16, , , −12,375 …
2
2
B) 49
C) 50
D) 51
2 ile tam bölünebilen tam sayılara çift sayı denilir ve
2 ile ifade edilir. ( ∈ )
E) 52
Son rakamı 0−2−4−6−8 olan her tam sayı bir çift
sayıdır.
Ç = {… , −4, −2, 0, 2, 4, … }
Örnek:
, ve pozitif tam sayılardır.
− =3
− =7
olduğuna göre, + + toplamının en küçük değeri
kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
4. Rasyonel Sayılar
ve
birer tamsayı ve
≠ 0 olmak üzere;
yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.
α
Q = { : α,
şeklinde
Örnek:
2000, 1986, −354, 0 birer çift sayıdır.
Tek Sayı
2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek sayı denilir.
2 − 1 ve 2 + 1 ile ifade edilir. ( ∈ )
Son rakamı 1−3−5−7−9 olan her tam sayı bir çift
sayıdır.
T = {… , −3, −1, 1, 3, … }
Örnek:
2009, 1987, −635, −203 birer tek sayıdır.
Not:
∈ Z ve
Örnek:
6 7
, − , 5, 0
5 3
sayıları birer rasyonel sayıdır.
≠ 0}
Ç: Çift Sayı ve T: Tek Sayıyı göstermek üzere bu sayılar arasındaki bazı işlemler aşağıdaki gibidir.
T±T =Ç
T±Ç=T
DZÇ=Ç
T.T = T
T .Ç = Ç
Ç .T = Ç
ϵZ
T =T
Ç =Ç
Not:
Her tamsayı bir rasyonel sayıdır.
Temel Kavramlar
Sayfa 2
Not:
, ve tam sayılar olmak üzere,
a) . . = Tek Sayı ise , ve tek sayıdır.
b) . . = Çift Sayı ise, , ve den en az biri çift
sayıdır.
Not:
Örnek:
bir tam sayı ve 9 − 4 sayısı bir tek sayı ise, aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır?
A)
+4
D)
(+) pozitif sayıları, (−) negatif sayıları göstermek üzere;
(+).(+)=(+)
(+):(+)=(+)
(+).(−)=(−)
(+):(−)=(−)
(−).(−)=(+)
(−):(−)=(+)
B)
−4
+8
E)
C) 2 + 3
+3
Örnek:
, birer tam sayıdır.
α
=
2
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) b çift sayıdır
C) b tek sayıdır
E)
B) α tek sayıdır
D) α çift sayıdır
ve b çift sayıdır
Örnek:
bir tam sayı ise,
α
>0 ⇒
>0
α
<0 ⇒
<0
α >0
⇒
pozitif veya negatif olabilir
Örnek:
.y < 0
olduğuna göre,
nasıldır?
y. > 0
. <0
, , sayılarının işaretleri sırasıyla
A) (−,−,−)
B) (+,−,−)
C) (+,−,+)
D) (−,+,−)
E) (−,+,+)
Örnek:
α. <0
olduğuna göre,
nasıldır?
. <0
.
<0
, , sayılarının işaretleri sırasıyla
, ve tam sayılar
2α + 3
=3
4
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) b çift sayıdır
C) b tek sayıdır
A) (−,+,−)
B) (+,−,−)
C) (−,−,+)
D) (−,−,−)
E) (−,+,+)
Örnek:
, ve reel sayıları için
.
B) α tek sayıdır
D) c tek sayıdır
E) c çift sayıdır
<0
Örnek:
Aşağıdakilerden hangisi daima tek sayıdır?
A) 5 . 6
B) 5 − 16
C) 7 + 5
D) 17 + 19
E) 5 . 9 − 1
Örnek:
, pozitif tam sayılar olmak üzere;
3 −5
=4
2
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A)
ve çift sayıdır.
B)
ve tek sayıdır.
C)
çift sayıdır.
D)
tek sayıdır.
E)
tek sayıdır.
POZİTİF ve NEGATİF SAYILAR
Sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar,
Sıfırdan küçük sayılara negatif sayılar denir.
Temel Kavramlar
<0
olduğuna göre,
nasıldır?
<
, , sayılarının işaretleri sırasıyla
A) (−,+,−)
B) (+,−,−)
C) (+,−,+)
D) (−,−,−)
E) (−,+,+)
Ardışık Sayılar
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine
ardışık sayılar denir. Ardışık sayılarda terimler arasındaki fark eşittir.
bir tam sayı olmak üzere;
Ardışık tam sayılar :
… , , + 1, + 2, …
Ardışık çift sayılar :
… , 2 , 2 + 2, 2 + 4, …
Ardışık tek sayılar :
… , 2 − 1, 2 + 1, 2 + 3, …
Örnek:
Ardışık yedi sayının toplamı 140 ise, ortanca terim
kaçtır?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
E) 28
Sayfa 3
Örnek:
∗∗∗ 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 = . ( + 1)
Ardışık üç tek sayının toplamı 33 ise, en küçük sayı
kaçtır?
∗∗∗ 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2 − 1 =
A) 7
Örnek:
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15
Örnek:
Beş tane ardışık tam sayının toplamı 165 ise, en küçük
sayı ile en büyük sayının toplamı kaçtır?
A) 66
B) 67
C) 68
D) 69
E) 70
Örnek:
Üç tane ardışık çift sayının toplamı 126 dır. En küçük
sayı ile en büyük sayının çarpımı kaçtır?
A) 1680
B) 1760
C) 1740
D) 1860
E) 1880
, , ardışık tek sayılardır.
> > olmak üzere;
( − ). ( − ). ( − ) çarpımının sonucu kaçtır?
B) −8
C) 8
D) 16
E) 32
2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 =?
Örnek:
1 + 3 + 5 + ⋯ + 17 =?
Terim sayısı
terim sayısı =
, , üçün katı olan ardışık çift sayılardır.
< < olduğuna göre;
3 + −4
2z − − y
oranı kaçtır?
Örnek:
C) −13
D) −11
ortanca sayı =
Not:
Örnek:
21 + 23 + 25 + ⋯ + 79 =?
E) −9
Örnek:
Örnek:
11 + 18 + 25 + ⋯ + 109 =?
Faktöriyel Kavramı
1 den ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına
faktöriyel denir ve ! ile gösterilir.
! = 1.2.3.4 …
11 tane ardışık tek sayının toplamı 275 tir. Buna göre,
bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır?
0! = 1
A) 56
2! = 1.2 = 2
B) 50
C) 48
D) 40
E) 38
1! = 1
Örnek:
3! = 1.2.3 = 6
α, , ardışık tek sayılar ve α < < dir. Buna göre,
α −2 +
ifadesinin değeri kaçtır?
4! = 1.2.3.4 = 24
B) 8
C) 16
D) −16
son terim + ilk terim
2
13 + 16 + 19 + ⋯ + 76 =?
Ardışık üç tek sayıdan en küçüğü, en büyüğünün 3 katından 10 fazladır. Buna göre, bu sayılardan en küçüğü
kaçtır?
B) −15
Ortanca Sayı
Örnek:
Örnek:
A) 4
son terim − ilk terim
+1
artış miktarı
Ardışık sayıların sonlu toplamlarının sonucunu bulabilmek için terim sayısı ile ortanca sayı çarpılır.
Örnek:
A) −17
Örnek:
2 + 4 + 6 + ⋯ + 68 dizisinde kaç terim vardır?
Örnek:
A) −16
1 + 2 + 3 + ⋯ + 15 =?
E) −8
! = . ( − 1)! veya
! = . ( − 1). ( − 2)!
Ardışık Sayıların Sonlu Toplamları
∗∗∗ 1 + 2 + 3 + ⋯ +
Temel Kavramlar
=
. ( + 1)
2
Sayfa 4
Örnek:
Örnek (2007 KPSS)
işleminin sonucu kaçtır?
7!
5!
3! + 4! + 5!
5!
işleminin sonucu kaçtır?
Örnek:
A)
9! − 7! 4! + 1!
−
7!
0!
işleminin sonucu kaçtır?
C)
D)
E)
Asal sayılar
1 den ve kendisinden başka böleni olmayan 1 den büyük sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, …
sayıları birer asal sayıdır.
Örnek:
8! − 7!
9!
işleminin sonucu kaçtır?
Not:
Örnek:
En küçük asal sayı 2 dir.
2 den başka çift asal sayı yoktur.
9! + 10!
11!
işleminin sonucu kaçtır?
Örnek:
asal sayı ve tam sayıdır
. − 3. = 7
olduğuna göre, değeri kaçtır?
Örnek:
3! + 2!
0! + 1! + 2!
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
B)
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Aralarında Asal Olma
Örnek:
olduğuna göre,
A) 7
B) 8
1 den başka ortak böleni olmayan pozitif tam sayılara
aralarında asal sayılar denir.
1 ile bütün pozitif sayılar aralarında asaldır.
8! + 9!
!
=
+1
9
kaçtır?
C) 9
D) 10
Örnek:
E) 11
Örnek:
15 . 13! =
olduğuna göre, 13! + 14! + 15! toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 18
E) 20
Örnek:
! + ! = 25
olduğuna göre, + nin alabileceği birbirinden farklı
değerler toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 9
(3, 5) aralarında asaldır.
(2, 15) aralarında asaldır.
(4, 9) aralarında asaldır.
(12, 15) aralarında asal değildir.
(22, 55) aralarında asal değildir.
(2, 3, 5) aralarında asaldır.
(2, 5, 10) aralarında asal değildir.
(3, 6, 9) aralarında asal değildir.
Örnek:
+
ile
+ 3 sayıları aralarında asaldır.
+
10
=
+3
7
olduğuna göre, kaçtır?
E) 10
Örnek:
Örnek:
−
ve
pozitif tamsayılardır.
4!. = y
olduğuna göre, + toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A) 6
B) 9
Temel Kavramlar
C) 12
D) 15
ile 2 +
sayıları aralarında asaldır.
−
3
=
2 +
15
olduğuna göre, kaçtır?
E) 18
Sayfa 5
Örnek:
ve
Örnek:
asal sayılardır.
olduğuna göre,
A) 7
−
kaçtır?
B) 6
= 12
C) 5
D) 4
E) 3
A) 3
Örnek:
ve
doğal sayıları için
3 + 4 = 21
olduğuna göre, yerine yazılabilecek tüm doğal
sayıların toplamı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
<
koşulunu sağlayan , , pozitif tamsayıları
. ( − 1) = 21.
+ + toplamı en az kaçtır?
B) 10
C) 11
D) 12
negatif tam sayılardır.
. − 15 = 4
olduğuna göre, in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
=
olduğuna göre,
mı kaçtır?
C) −10
D) −11
E) −12
Örnek:
sayıları aralarında asaldır.
3. −
= −
5
olduğuna göre, + toplamı kaçtır?
nin alabileceği farklı değerler topla-
B) 20
C) 24
D) 28
E) 34
ve
pozitif tamsayılardır.
324 . = y
olduğuna göre, + toplamı en az kaçtır?
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Örnek:
ve birbirinden farklı pozitif tamsayılardır.
. − 1 = 2 + 2.
olduğuna göre, kaçtır?
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
<
olduğuna göre,
Temel Kavramlar
C)
C) 7
D) 9
E) 11
D)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Örnek:
, ve tamsayılardır.
3 −7
=
4
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) tek ise çifttir.
B) çift ise tektir.
C) ve tek ise çifttir.
D) çift ise çifttir.
E) , , çifttir.
Örnek:
, , , ardışık çift sayı ve < < < olduğuna
göre, 3 − − − işleminin sonucu kaçtır?
B) −12
C) −10
D) −8
E) −6
Örnek:
negatif bir gerçel sayıdır. Buna göre, aşağıdakilerden
hangisinin sonucu negatif bir gerçel sayıdır?
−
değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
B)
A) 1
A) −14
Örnek (2007 KPSS)
, negatif tam sayılar ve
B) 6
3 + 4 ve 5 − 2 sayıları ardışık iki çift sayıdır. Buna
göre, in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
+ 15
Örnek:
A)
B) −9
Örnek: sınavda sorma
ve pozitif tamsayılar,
A) 5
E) 7
E) 14
Örnek:
A) 12
D) 6
ve
A) 5
A) 16
C) 5
ve
olduğuna göre,
A) 3
B) 4
Örnek:
A) −8
Örnek:
<
için
, , ardışık tek sayılar ve < < olmak üzere,
( − ) − +
−
kesrinin değeri kaçtır?
E)
B) −
A) –
D) −
C) −
E)
Sayfa 6
Örnek:
Örnek:
, , birer tamsayı olmak üzere, ( + 6 ) çift sayı ve
( − ) tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
kesinlikle doğrudur?
, , birer pozitif tamsayıdır.
+ 3 + 6 = 30
olduğuna göre, + + en az kaçtır?
A) − çift sayıdır.
B) + çift sayıdır.
C) . tek sayıdır.
D) . . çift sayıdır.
E) . + tek sayıdır.
A) 6
D) 9
E) 10
ile
aralarında asal iki doğal sayıdır.
60. = 75.
olduğuna göre,
+ kaçtır?
, , birer doğal sayıdır.
+ + = 15
.( + ) =
olduğuna göre, in alabileceği en büyük değer en küçük değerden kaç fazladır?
A) 8
A) 32
A) 11
C) 44
C) 8
Örnek:
Örnek:
B) 40
B) 7
D) 50
E) 56
B) 9
C) 10
D) 12
E) 13
Örnek:
, , birbirinden farklı asal sayılardır. Buna göre,
( + ). en az kaçtır?
B) 15
C) 16
D) 21
E) 25
Örnek:
Örnek:
( + − 16) ve ( − ) aralarında asal birer doğal
sayıdır.
( + − 16) 15
=
( − )
21
olduğuna göre, kaçtır?
ve birer doğal sayı olmak üzere, dan ye kadar
olan doğal sayıların toplamı 205, 1 den ye kadar olan
doğal sayıların toplamı 325 tir. Buna göre, 1 den
( − 1) e kadar olan doğal sayıların toplamı kaçtır?
A) 14
B) 9
C) 8
D) 7
ve
pozitif tam sayı ve asal sayıdır.
6 + − 19
=3
olduğuna göre,
dır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 120
E) 135
B) 100
C) 121
D) 144
E) 169
Örnek:
olduğuna göre,
kaçtır?
Temel Kavramlar
C) 20
D) 21
nin alabileceği en büyük değer
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Örnek (2006 KPSS)
, , ardışık çift sayılar ve < < olmak üzere,
2
2
2
14
1−
. 1− . 1−
=
15
olduğuna göre,
A) 27
, bir doğal sayı ve
10 + 12 + 14 + ⋯ + 2 = 400
olduğuna göre, kaçtır?
B) 19
pozitif tam sayılar olmak üzere
10!
=
2
A) 5
bir doğal sayı olmak üzere 1 den ye kadar olan tek
sayıların toplamı , 21 den ye kadar olan tek sayıların toplamı dir. Buna göre, − kaçtır?
A) 18
C) 119
nin alabileceği kaç farklı değer var-
Örnek:
A) 81
B) 90
Örnek: 2008 ALES
Örnek:
A) 1
A) 70
E) 6
B) 81
kaçtır?
C) 89
D) 90
E) 99
E) 22
Sayfa 7