Matematik Bülteni / Ocak 2013 Sayfa 2

Yıl 2 , Sayı 6
Mayıs 2014
SAYI BASAMAKLARI VE TABAN Bu eşitlikten de a  c  4 elde edilir.
Bu eşitliği a  b  c ‟yi bulmak için
ARĠTMETĠĞĠ
SAYI BASAMAKLARI
Bir sayıda rakamların yazıldığı yere
basamak diyoruz.Bu rakamların
bulunduğu basamak ile çarpılması ile elde
edilen değere de basamak değeri
denir.Her basamaktaki rakamın bulunduğu
basamağa bağlı olmadan gösterdiğe değere
de sayı değeri denir.Örneğin 1453 dört
basamaklı sayısında 5‟in sayı değeri
5,basamak değeri 5 10  50 dir.
Çözümleme dediğimiz işlem ise sayının
basamak değerlerinin toplanmasıdır.
Mesela; 152  100  50  2
Biz daha çok iki ve üç basamaklı rakamları
belli olmayan sayıların çözümlenmesi ile
ilgileneceğiz.
Örneğin;
ab  10a  b ve abc  100a  10b  c gibi.
Örnek1. ab ve ba iki basamaklı sayıları
için ab  ba  55 ise a  b kaçtır?
A)3 B)4 C) 5 D)6 E)7
Çözüm:
ab  10a  b, ba  10b  a değerleri
toplanırsa ;
ab  ba  10a  b  10b  a  11a  11b
ve son eşitlik 11 parantezine alınırsa
11a  11b  11 a  b   55  a  b  5
elde edilir.Cevap C olur.
Örnek2. İki basamaklı bir doğal sayının
rakamları yerleri değişmiş haliyle
toplandığında 88 elde ediliyor. a  b
farkının en büyük değeri kaçtır?
A)9 B)8 C)7 D)6 E)5
Çözüm:
ab  ba  88  11a  11b  88  a  b  8
a  8 ve b  0 seçilirse cevabımız
a  b  8  0  8 elde edilir.Cevap B‟dir.
Örnek3. abc  cba  396 olduğuna göre
c  a farkını ve a  b  c toplamının en
büyük değerini kaçtır?
A)18 B)17 C)16 D)15 E)14
Çözüm:
abc  cba  396
100a  10b  c  100c  10b  a   396
100a 10b  c  100c 10b  a  396
99a  99c  396  99  a  c   396
kullanabiliriz: a  c  4  a  9, c  5
a ile c ‟ye başka değerler de verebilirdik
ama vermedik(!).
Dikkat edersek b değeri sadeleşmiş ve
denklem de yer almamıştı. Buradan b ‟nin
herhangi bir rakam olabileceğini
düşünebiliriz. a  5, b  9, c  4 alınırsa
a  b  c  18 elde edilir.Cevap A‟dır.
Örnek4.
A  333  3(100 tane)
B  666  6(100 tane)
sayıları için A  B çarpımının sağdan 101.
Basamağındaki rakam kaçtır?
A)1 B)3 C)6 D)7 E)8
Çözüm:
B sayısını 3 bölerek alırsak;
B  3   222  2  olur.Aradığımız çarpım
ise:
A  B  333  3 3   222  2 
 999  9   222  2 
Elde ettiğimiz ilk sayıyı 10100  1 şeklinde
alırsak:
A  B  10100  1   222  2 
 10100  222  2  222  2
 222  2000  0  222  2
Son ifadeyi alt alta yazdığımızda çıkarma
işleminin daha basit hesaplanacağını
düşünüyorum:
222  2 000  0
yerleştirerek 106,247,358 sayılarına
ulaşırız. Cevap ise 106  247  358  711
olur. Cevap D‟dir.
Örnek6. xyz sayısı yz sayısının 21 katı ise
yz sayısı x sayısının kaç katıdır?
A)1
B)3
C) 5
D)7
E)9
Çözüm:
Verilen iki ve üç basamaklı ayıları
çözümleyerek denklem elde edeceğiz.
Denklemimizde bilinmeyenlere rakam
değerleri vererek çözüme ulaşacağız:
xyz  100 x  10 y  z
yz  10 y  z
Denklemimiz:
100 x  10 y  z  21 10 y  z 
100 x  10 y  z  210 y  21z
100 x  200 y  20 z
Bu denklemi 20 ile sadeleştirirsek:
5x  10 y  z
Sorunun çözümünde denklemdeki
rakamları bulacağımızı ifade etmiştik
ancak elde edilen denklemi çözmeye
devam etmeyeceğiz.Çünkü sorulan ifade
incelendiğinde cevabın 5 olduğu
görülüyor.Cevap C‟dir.
Örnek7. Rakamları farklı iki basamaklı
dört ayrı sayının toplamı 124 ise en büyüğü
en çok kaçtır?
A)99 B)98 C)89 D)87 E)86
Çözüm:
„En büyüğü en çok‟ denilence ilk akla
gelen sayı 99 oluyor. Bu yanlış yorumu
100 tane
100 tane
rakamları farklı olduğundan 98‟i seçerek

222  2
düzeltemeyiz.Çünkü eğer en büyük
100 tane
sayımız 98 olsaydı geriye 124-98=26
17777 8
kalır.Diğer sayıları toplamları 26 olacak
100 tane
Görüldüğü üzere 101.basamak 1‟dir.Cevap şekilde seçemezdik. Peki, nasıl
düşünmeliyiz?
B‟dir.
En büyük sayıdan değil en küçüklerden
başlarız:10,11,12 ve doğal olarak dördüncü
Örnek5.
A  0,1, 2,3, 4,5,6,7,8 rakamlarının her sayımız en büyük olarak kendiliğinden
bulunur. Dikkatli okuyucular seçtiğimiz
biri bir kez kullanılarak yazılabilecek üç
sayılardan 11‟in rakamları aynı
basamaklı üç doğal sayının toplamı en az
olduğundan elenmesi gerektiğini
kaç olabilir?
görmüşlerdir. Düzeltelim:10,12,13
A)1287 B)1251 C)765 D)711 E)693 O halde cevabımız:10+12+13=35 12435=89 olacaktır. Cevap C‟dir.
Çözüm:
Soru gayet anlaşılır ancak rakamları
Örnek8. a3b üç basamaklı sayısı x olsun.
yerleştirmek o kadar kolay olmayabilir.
a3b0 sayısının x cinsinden değeri nedir?
Yüzler basamaklarına küçük rakamları
A)10x B)100x C)1000x D)5x E)7x
Matematik Bülteni/Mayıs 2014
Çözüm:
a3b0  1000a  300  10b
 10  100a  30  b 
Cevap A‟dır.
 10 x
Sayfa 2
Çözüm:
1.yol: Sayımızı çözümleyerek 66‟ya
eşitleriz:
 23x 5  x  50  3  51  2  52  x  65
Bu sayımız 66‟ya eşit olduğundan x=1
bulunur. Cevap A‟dır.
2.yol:
TABAN ARĠTMETĠĞĠ
66 sayısını devamlı 5‟e bölüp kalanları
Öğrendiğimiz bu sayı basamakları ve
yazarak yani sayımızı beşlik tabana
sistemleri tarih boyunca bu halde
çevirerek x‟i buluruz:
değildi.Pekçok uygarlık sayı sistemlerini
kullandı.Örneğin Babilliler altmışlık tabanı 66 : 5  13 Kalan :1
kullandılar.Biz bu bölümde 10luk sayı
13 : 5  2 Kalan : 3
sistemimizden daha küçükleri ile
2 : 5  (Bölünmez) Kalan : 2
ilgileneceğiz.Örneğin 9luk,8lük sayı
Sayımız
sondan başa:231‟tür.
sistemlerini inceleyeceğiz.Negatif taban
(231)5   23x 5 Yani x=1‟dir.Cevap A‟dır.
olabilir mi?Nasıl ki 10luk tabanımızdaki
rakamlar 10‟dan küçük olanlardır diğer
tabanlarda da aynı şekildedir.Anlaşılacağı Örnek10.  312  (a)   2 x4 
10
4
5
üzere birlik ve ikilik tabanlarla pek işlem
olduğuna
göre
x
değeri
kaçtır?
yapılamaz.(Sıfır taban için ne
A)4 B)3 C)2 D)1 E)0
düşünebiliriz?) Çünkü birlik sistemde
sadece 0 rakamı,ikilik sistemde 0 ve 1
Çözüm:
rakamı vardır.Ve dört işlem için uygun
değillerdir.Öte yandan tüm bilgisayarların Bir sayıyı herhangi bir tabandan herhangi
bir tabana(onluk hariç) direk
hatta pek çok makinenin 1‟ler ve 0‟larla
çeviremiyoruz. Sayımızı öncelikle 10‟luk
dolu ikilik sistemden faydalandığını da
tabana çevireceğiz.
belirtelim.
0
1
2
3124  2  4  48  54 şimdi elde
 abc d  c  d  b  d  a  d
ettiğimiz sayıyı beşlik tabana çevirelim:
Yukardaki açılımda d sayısına taban
54 : 5  10 Kalan : 4 , 10 : 5  2 Kalan : 0
diyeceğiz ve a,b,c rakamlarının her biri
d‟den küçük olacaktır. Çözümleme
diyeceğimiz bu işlemin sonucunda aslında
verilen bir sayıyı onluk tabana çevirmiş
oluyoruz.Bu işlemin tam tersini yaparak ise
onluk tabandan istenilen tabana sayı
çevirmiş olacağız.
Örneğin;
1324  2  40  3  41  1 42  30 Yani 4
lük tabandaki 132 (birüçiki diye okumak
yüzotuziki demekten daha doğrudur.)
sayısı onluk tabanda 30‟a eşittir.
Tersinden 30 sayısının dörtlük tabanda
eşitini bulmak için dördün kuvvetlerini
araştırırız.30‟un içinde 1 tane 42 ve kalan
30-16=14 içinde 3 tane 41 ve kalan 1412=2 içinde 2 tane 40 yer alır.Cevabımız
ise bu “tanelerin” sıralanışıdır:132
Daha kısa olarak 30 sayısını devamlı 4‟e
devamlı bölüp kalanlarla da sonuca
ulaşabiliriz:
30 : 4  7 Kalan :2
7 : 4  1 Kalan : 3
1: 4  ( Bölünmez ) Kalan :1
İşte elde ettiğimiz kalanları sondan başa
doğru yazdığımızda 132 elde edilir.
Örnek9.  23x 5 sayısı onluk tabanda
66’ya eşit ise x kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)0
2 : 5  ( Bölünmez ) Kalan : 2
Sayımız  204 5   2 x4 5 ve
x  0 olur.Cevap E‟dir.
Örnek11. 131 x  29 olduğuna göre x
değeri kaçtır?
A)9 B)8 C)6 D)5 E)4
Çözüm:
131x  x0  3x1  x 2  29
1  3x  x 2  29  x 2  3x  28  0
Son eşitlik çarpanlara ayrılırsa
 x  7    x  4  0 ve x1  7  x2  4 elde
edilir.Aradığımız taban 4 olacaktır.Cevap
E‟dir.
Dört Ġşlem:
Onluk sistemdeki dört işlemi diğer
sistemlere uyarlayabiliriz.Mesela
toplamada toplam 10‟dan büyükse 10‟a
böler eldeyi ve kalanı buluruz.Diğer
tabanlarda da aynı mantık:
Örneğin;
1436
  2516
Toplamında 3+1=4 ,
4+5=9 tabanımız 6 olduğundan 9
yazamayız.9‟u 6‟ya böler kalanı yazarız.
4+5=9 Kalan:3
Elde ise diğer basamağa ilave edilir:
1+2=3 + (elde:1)=4 O halde cevabımız:
1436
  2516
 434 6
Çıkarma işleminde ki püf noktaı ise
“komşudan bir onluk alma” olayıdır.
Çıkarmayı hangi tabanda yapıyorsak
komşudan o kadar sayı alabiliriz: Mesela;
 434 6
  2516
4-1=3
3-5 olamayacağı için komşudan bir onluk
pardon 6‟lık alırız.Tabi bu arada 4 artık 3
oluyor:
 394 6
  2516
1436
Örnek12.Aşağıdaki toplama-çıkarma
işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.
 25437  3234 6  7777 8  31214
 1340 7   24316   7777 8  1330 4

 
7
 
 
6
8

4
Çarpma işlemi için aşağıdaki örnekleri
inceleyiniz:
1217
1217
  3 7
 3637
 437
 3637
 514 7
 55337
1217
  4 7
 514 7

Peki tabanı da verilmiş sayıların teklik
çiftliğini nasıl tespit edebiliriz?
 abc d  c 1  b  d 1  a  d 2
çift
çift
Eğer d yani taban çift ise sayının teklik
çiftliği c sayısına bağlı.O halde tabanı çift
sayıların birler basamağı çift ise çift tek ise
tektir.
 abc d  c 1  b  d 1  a  d 2
Eğer d yani taban tek ise sayının teklik
çiftliği a,b,c rakamlarına bağlıdır.Bu
rakamların teklik çiftliği incelendiği şu
sonuç ortaya çıkıyor:a+b+c çift ise sayı
çift,a+b+c tek ise sayı tektir.
Örnek13. Aşağıdaki sayıların teklik
çiftliğini inceleyiniz:
Matematik Bülteni/Mayıs 2014
Sayfa 3
birler,onaltıda birler  41 , 42  basamakları
 3124 ,  2 x38 ,  5437 ,  3425
vardır:
Çözüm:
 3124 Taban çift birler basamağına
1 9

4 4
Devirli ondalık sayılarda onluk tabanda 9
rakamı devrettiğinde bu rakamın solundaki
rakam 1 artırılıp 9 rakamı silinir. Benzer
mantık diğer tabanlarda da yapılabilir: 4
tabanında 3 devreden rakam ise olundaki
rakam 1 artılır ve 3 rakamı silinir:
 2,14  2  40  1 41  2 
bakılır:2 çifttir.
 2 x38 Taban çift birler basamağına
bakılır:3 tektir.
 5437 Taban tek olduğundan rakamları
toplamına bakılır:5+4+3=12 çifttir.
 3425 Taban tek olduğundan rakamları
toplamına bakılır:3+4+2=9 tektir
Örnek14. 1x6 9 sayısı tek olduğuna göre
x’in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A)17 B)19 C)20 D)23 E)25
 21,3   22,3
4
4
 2  40  2  41  10
Elde ettiğimiz bu değerlerin toplamı ise
9
49
 10 
Cevap D‟dir.
4
4
7
sayının 4 tabanındaki eşiti
4
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1,1 B) 1, 2 C) 1,3 D) 2, 2 E) 2,3
4.
Çözüm: Taban tek olduğuna göre
rakamları toplamına bakarız:
1 x  6  x  7
Sayı tek olduğuna göre x  7  T
x  0, 2, 4,6,8 cevabımız 20 olur.
Cevap C’dir.
Çözüm:
7 3 4
1
   3   1  1,3 Cevap C‟dir.
4 4 4
4
Alıştırmalar
1.Yedi tabanında yazılabilecek iki
basamaklı doğal sayıların toplamının on
tabanındaki değeri kaçtır?
A)2352 B)1179 C)1176 D)1148 E)1140
Çözüm:
Sayılarımız:10,11,12,13,14,..64,65,66
olacaktır.Bu sayıları on tabanına çevirirsek
sırayla şunları elde ederiz:8,9,10,….47,48
ve toplamları da
48  49 7  8
8  9  10    48 

 1148
2
2
Cevap D‟dir.
kaçtır?
A) 43 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47
 333334  14  4
x
 100000 4  4
01,02,03,04,10,11,12 sayfalarını
düşünürsek toplam7 sayfa oluyor.
Gerçekten de son sayfayı onluk tabana
çevirirsek
125  2  50  1 51  2  5  7 elde
Cevap D‟dir.
6.  211013   x 9 olduğuna göre x nedir?
Çözüm:
 333334  4 x  1  333334  1  4 x
A)241 B)231 C)221 D)211 E)251
x
Çözüm:
Sayı açıldığında cevabın C olduğu görülür. I.Yol:
 211013  1 30  0  31  1 32  1 33  2  34  199
3.  2,14  21,3 işleminin sonucu onluk
Bu sayıyı 9‟luk tabana çevirirsek:
4
tabanda nedir?
199 : 9  22 Kalan :1
90
49
9
19
49
22 : 9  2 Kalan : 4
A)
B)
C)
D)
E)
4
4
4
4
16
2 : 9  Bölünmez Kalan : 2


Çözüm:
Onluk tabanda nasıl ki onda birler,yüzde
birler 101 ,102  vb. basamakları varsa
mesela 4‟lük tabanda da dörtte
Olduğundan cevap 241 olur.Cevap A‟dır.
7.10 tabanındaki 163 sayısı 3 tabanında
yazıldığında kaç basamaklı sayı elde
edilir?
A)4 B)5 C)6 D)7 E)8
Çözüm: 163   24   212  4096
3
Bu sayının 3‟ün hangi kuvvetleri arasında
olduğunu bulalım: 37  2187,38  6561
buna göre aradığımız sayı 7. kuvvet ile 8.
kuvvet arasında: 37  4096  38 sayımız 8
basamaklı demektir. Cevap E‟dir.
4 
2
8. 4 sayısı 8 tabanında yazıldığında kaç
basamaklı bir sayı elde edilir?
A)11 B)12 C)13 D)14 E)15
Çözüm:
4 
2
4
 416   22   232
16
Peki bu sayıyı 8 tabanında yazarsak ne
5.Bir kitabın sayfaları numaralandırılıyor.
olur? 8  23 olduğuna göre aradığımız
Sadece 0,1,2,3,4 rakamları kullanılarak
sayıyı 23 ün hangi kuvvetleri arasında
yapılan 01,02,03,04,10,11,12.. gibi
sıralamanın son sayfasında 2011 yazdığına olduğunu bulacağız:
10
11
göre kitap kaç sayfadır?
23   232   23 

A)100 B)121 C)125 D)256 E)289
Aradığımız cevap 11 basamaklı olacaktır.
Cevap A‟dır.
Çözüm:
ediyoruz.
O halde
 20115  1 50  1 51  0  52  2  53  256
2.  333334  4x  1 olduğuna göre x
Sayımızı sağdan sola doğru ikişer ikişer
ayırırsak: (9un 3ün karesi olması)
 23  2 , 113  4 ,  013  1
9. 12 sayı tabanındaki iki basamaklı en
büyük sayının onluk tabanda eşiti nedir?
A)131 B)142 C)143 D)144 E)145
Çözüm:
On tabanından büyük sayılar için rakamlar
karışabileceğinden rakam yerine önceden
tanımlanmış harfler kullanılır.
Örneğin a  10 için  910 12 ile  9a 12
sayıları aynı sayılar değildir.
Aradığımız sayı ise a  11 ve b  11 için
 ab 12 ‟dir.Cevabımız ise
 ab 12  b 120  a 121  b  12a
 11  12 11  143
Cevap C‟dir.
10. 10 tabanındaki 5! sayısı 2 tabanında
yazıldığında sondan kaç basamağı olur?
A)1 B)3 C)5 D)7 E)9
5!  1 2  3  4  5
Elde ettiğimiz kalanları tersten
yazarsak:241 olur.Cevap A‟dır.
Çözüm:
II. Yol:
çarpanında 10 2 çarpanı yani sıfır elde
2 2
2 sayısı 10 2 olduğuna göre her 2
Matematik Bülteni/Mayıs 2014
etmiş oluyoruz. Bu hali ile aslında
aradığımız şey 5! içindeki 2 çarpanlarının
sayısıdır. Cevabımız 3 olacaktır. Cevap
B‟dir.
11.  abc 5   bca 5   cab 5   22205
olduğuna göre a  b  c sayısı 3’lük
tabanda nasıl yazılır?
A)100 B)101 C)102 D)11 E)12
Çözüm:
 abc 5  bca 5   cab5   22205 sayısı
Sayfa 4
12b  15b  16b sayısının 10
tabanındaki karşılığı nedir? (UMO1994)
Çözüm:
b  2  b  5  b  6  3b2  b2  4b  6
Bu denklem düzenlenirse;
b3  6b2  24b  27  0 bu denklemin varsa
tam sayı kökü 27‟nin bölenlerinden biridir.
b>6 olduğu da düşünülürse b  9 deneme
yanılma ile bulunabilir.
129  159  169  40 bulunur.
Çözüm:
İki sayıyı da 5‟lik tabanda yazıp çıkarma
işlemi yapalım:
26! sayısını devamlı 5‟e böldüğümüzde
26 : 5  5
5:5 1
yani 5+1=6 tane 5 çarpanı olduğundan 6
defa kalan sıfır olacak ve dolayısıyla
sondan başa doğru yazıldığında son 6
rakamı 0 olacaktır.Mesela
.......000000 5 şeklinde bir sayı elde
edilecektir.
12 : 5  2 Kalan : 2 olduğundan
kolayca görüleceği üzere
52  5  1  a  b  c  yani 31  a  b  c 
12   22 5 olacaktır.
Şimdi çıkarma işlemini yaparak son dört
rakamı bulabiliriz:
.......000000 5
sayısına eşittir.Öte yandan
 22205   53  52  5  2  310 Demek ki
a  b  c  10  1013 Cevap B‟dir.
100
 22 5

12. 42 sayısının 3 tabanındaki yazılımının
son iki rakamı aşağıdakilerden hangisidir?
A)00 B)01 C)02 D)10 E)11
Bu çıkarma işlemi yapıldığında ise son dört
rakam 4423 elde edilir. Bu rakamların
toplamı 4+4+2+3=13 olur.
Cevap B‟dir.
Çözüm:
4 sayısının 3‟lük tabanda eşiti 4  113 tür.
42 sayısı 4‟ün yani 113 sayısının
16. 49 sayı tabanını göstermek üzere
12149 sayısının 50‟lilik tabanda yazılışı
kuvvetlerinin açılımı şöyledir:
nedir?
A) 100 50
100
çarpımından ibarettir. 113 bazı
113  113
2
113  1213
3
113   21013
4
113  1001113
5
113  1101213
6
113  12121013
1
D) 10350
Dikkat edilirselde ettiğimiz sayıların son
iki basamakları 11,21,01,11,21,01 şeklinde
(üçer üçer aynı olacak şekilde) devam
ediyor.O halde kuvvetin 3 ile bölümünden
kalanı inceleriz:
2100 sayısının 3 ile bölümünden kalan ise
21  2 , 22  4  1 , 23  8  2 , 24  16  1 y
ani kalanlar 12 ve 1 şekilde (üssün tek
olduğu durumlarda 2 çift olduğu
durumlarda 1 şeklinde) devam ediyor.O
halde 2100  1 elde edilir.
4‟ün kuvveti olan 2100  1 olduğuna göre
aradığımız cevap
100
42
 41  113  11 olacaktır.
1
Cevap E‟dir.
13. b pozitif bir tamsayı ve
1331x  4 14641 y
tabanına göre gösterimi olmak üzere
12b  15b  16b  3146b ise
 492  2  49  1
 16 olduğuna
göre, bu eşitliği sağlayan  x, y  pozitif
elde edilir.Bu ifade ise  49  1 eşittir.
tamsayı ikilileri nelerdir? (Doğuş Üni.
2005)
Dolayısıyla verilen sayı 502 demektir.
Aradığımız sayı 100 50 olacaktır.Cevap
Çözüm:
Sayı tabanının açılımı:
A‟dır.
1331x  x3  3x2  3x  1   x  1 ve
4
14641 y  y 4  4 y3  6 y 2  4 y  1   y  1
2
3
olduğundan
3
1331x  4 14641 y
 x  1  y  1  16
yani x  y  14 eşitliğini elde ederiz.
x  3 ve y  6 olması gerektiğinden aranan
ikililer  4,10  ,  5,9  ,  6,8  ,  7, 7  olarak
bulunur.
 b sayıların b
E) 11150
C) 102 50
Çözüm:
Verilen sayıyı çözümlediğimizde
12149  1 492  2  491  1 490
14. x ve y sayı tabanı olmak üzere
3
B) 10150
15. 26! 12 sayısının 5 tabanında
yazıldığında son dört rakamın toplamı ne
olur?
A)14 B)13 C)12 D)11 E)10
Meraklısına Matematik’ten
*b sayı tabanı olmak üzere
 441b sayısı kaç tane tamsayının
karesine eşittir?
A)3 B)4 C)10 D)b>4 tüm tabanlarda
E)Sonsuz
Cevap D
** A  0,8888... sayısı 9 tabanında
B  0,8888... sayısı ise 10
tabanındadır. Buna göre A  B nin 9
tabanındaki eşiti nedir?
A)0 B)0,1 C)0,8 D)0,6 E)Hiçbiri
Cevap B