Polinomlar ve Çarpanlara Ayırma 2

POLİNOMLAR -2
DÖRT İŞLEM
POLİNOMLARDA DÖRT İŞLEM
Polinomlarda Çarpma
i k i p o l i n o m ç a r p ıl ır k e n b i r p o l i n o m u n
terimlerinin her biri diğer polinomun
t e r i m l e r i ü ze r i n e d a ğ ı t ı l ı r.
P o l i n o m l a r d a To p l a m a v e Ç ı k a r m a
P ( x ) v e Q ( x ) ik i p o l i n om o l s u n .
P ( x ) + Q ( x ) v e ya P ( x ) – Q ( x ) i ş l em i
ya p ı l ı r k e n e ş i t d e r e c e l i t e r im l e r i n
k a t s a yı l a r ı i ş l e m i n e g ö r e t o p l a n ı r v e ya
ç ı k a r ı l ı r.
Örnek...4 :
P ( x ) = 3 x + 2 v e Q ( x ) = x 2 + 4 x - 3 p o l i n om l a r ı
için a) P(x) . Q(x)
b)x.P(x) – 2.Q(x)
i ş l em l e r i n i ya p ı n ı z .
Örnek...1 :
P ( x ) = 2 x 2 - 7 x + 5 v e Q ( x )= 5 x 2 + 4 x - 3
polinomları için
a) P(x) + Q(x)
b ) P ( x ) – Q ( x ) i ş l em l e r i n i
ya p ı n ı z.
Örnek...5 :
Örnek...2 :
P ( x ) b i r p o l i n o m u i ç i n P ( x )+ P ( x + 1 ) = 2 x+ 3 i s e
P ( x + 2 ) p o l i n om u n u b u l u n u z.
www.matbaz.com
P ( x ) = x 4 + x 3 - 3 p o l i n om u i ç i n x . P 2 ( x )
p o l i n om u n u b u l u n u z.
Örnek...6 :
Örnek...3 :
P(x) = x4+ x3+ 3x2-2x + 2 ve
Q ( x )= 2 x 3 + x 2 + 4 x - 3 p o l i n om l a r ı i ç i n P ( x ) .
Q ( x ) i ş l em i ya p ı l d ı ğ ı n d a x 2 l i t e r i m i n
k a t s a yıs ı k a ç o l u r ?
P ( x ) b i r p o l i n o m u i ç i n P ( x )+ P ( x - 1 ) = 2 x 2 - 6 x + 7
ise P(1) kaçtır?
10.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/6
POLİNOMLAR -2
DÖRT İŞLEM
Örnek...10 :
P ( x ) p o l i n om u 3 x + 5 i l e b ö l ü n d ü ğ ü n d e b ö l üm
x 2 + x v e k al a n - 2 d i r. B u n a g ö r e , P ( x )
p o l i n om u n u b u l u n u z
Bölme İşlemi
P ( x ) v e Q ( x ) ik i p o l i n om v e
der(P(x))⩾der(Q (x)) o lm ak ü z e r e
Bölünen
Bölen
P(x)
Q(x)
B(x)
Bölüm
K(x)
Örnek...11 :
K ( x ) = x + 2 v e L ( x ) = x 2 + 6 x - 1 0 p o l i n om l a r ı
i ç i n L ( x ) p o l i n om u n u n K ( x ) i l e b ö l üm ü n d e n
e l d e e d i l e c e k b ö l ü m v e k a l a n ı n t o p l a m ın ı
bulunuz.
Kalan
ş ek l i n d e b ö l m e i ş l e m i ya p ı l d ı ğ ı n d a
1 der(K(x))<der(Q(x))
bağıntıları
Örnek...7 :
B ö l m e i ş l e m l e r i n i ya p ı n ı z
Örnek...8 :
www.matbaz.com
2 P(x)=Q(x)B(x)+K(x)
g e ç e r l i d i r.
B ö l m e i ş l e m i ya p m a d a n k al a n ı b u l m ak
B ö l m e a l g o r i t m a s ın a g ö r e
P(x)=(ax +b ). B(x)+K (x) v e
der(K(x))<der(ax +b) o l a c a ğ ı n d a n K ( x ) k a l a n
p o l i n o m u s a b i t p o l i n om o l m a l ıd ı r.
B u r a d a a x+ b = 0 d e n k l e m i n i n k ök ü
e ş i t l i ğ i n n h e r ik i t a r af ı n d a ya z ı l ı r s a k al a n
b ö l m e i ş l em i ya p ıl m a d a n k al a n b u l u n m u ş
o l u r.
Örnek...12 :
M ( x )= x 3 + x - 7 v e L ( x ) = x + 2 p o l i n o m l a r ı
i ç i n M ( x ) p o l i n om u n u n L ( x ) i l e b ö l üm ü n d e n
e l d e e d i l e c e k k al a n k a ç t ır ?
Örnek...9 :
10. dereceden P(x) polinomu, 6 dereceden
Q(x) polinomuna bölündüğünde kalan polinom
s ıf ı r p o l i n o m d a n f a rk l ı R ( x ) p o l i n om u o l s u n .
R(x) polnomunun derecesinin alabileceği
f ar k l ı d e ğ e r l e r t o p l l am ı k aç t ı r ?
10.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/6
POLİNOMLAR -2
DÖRT İŞLEM
Örnek...13 :
Örnek...18 :
P ( x ) = x 4 - 9 x 3 - 7 x 2 + 2 x – 8 p o l i n om u n u n x - 1
i l e b ö l ü m ü n d e n k al a n k aç t ı r ?
P(x) = x3+8 olduğuna göre, P(x + 3)
p o l i n om u n u n x i l e b ö l üm ü n d e n k al a n k a ç t ır ?
Örnek...19 :
( x+ 3 ) . P ( x ) = m x 3 + 2 7 o l d u ğ u n a g ö r e , P ( - 3 )
k a ç t ır ?
Örnek...14 :
Örnek...15 :
A ( x ) = x 4 + m x 3 + 3 x + 2 p o l i n om u n u n x + 2
i l e b ö l ü m ü n d e n k al a n 5 i s e m k a ç t ı r ?
www.matbaz.com
P(x) = x40- 2x39 -5x3+ 3x2 - 3
polinomunun x - 2 ile bölümünden kalan
k aç t ı r
Örnek...20 :
P ( x ) = x 4 + 3 x 2 - 8 x - 4 5 p o l i n om u n a k aç
ek l e n i r s e , e l d e e d i l e n p o l i n om x + 2 i l e t am
bölünür?
Örnek...16 :
P(x) = x5 -4x 3 + 5x +k polinomunun bir
çarpanı x +1 ise a kaçtır?
Örnek...21 :
P ( x ) v e Q ( x+ 3 ) i n x + 1 i l e b ö l ü m ü n d e n
k a l a n l a r s ır a s ı yl a 1 v e 2 d i r.
Buna göre, z.P(3-2x ) + Q(4-x) polinomu z
n i n h a n g i d e ğ e r i i ç i n x - 2 i l e t am b ö l üm ü r ?
Örnek...17 :
P(x) = x3+x2-4x+2
ise, P(x + 2) polinomunun x-3 ile
b ö l ü m ü n d e n k a l a n k aç t ı r ?
Örnek...22 :
(x 3–x) P(x) = x 3 + ax 2 + bx +c
i s e P ( x ) p o l i n om u n u n s a b i t t e r im i k a ç t ır ?
10.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/6
POLİNOMLAR -2
DÖRT İŞLEM
Örnek...23 :
Örnek...26 :
P ( x ) + 2 . P ( - x ) = 3 x 2 + 6 o l a r a k v e r i l i yo r. P ( x )
p o l i n o m u n u n x i l e b ö l ü m ü n d e n k a l a n k a ç t ır ?
P(x) = 2x3 +3x 2 +1
p o l i n om u n u n x 2 + x+ 2 i l e b ö l üm ü n d e n k al a n
p o l i n om u b u l u n u z.
Örnek...27 :
P(x) = x4 -x 2 +3
p o l i n om u n u n x 2 - x - 2 i l e b ö l ü m ü n d e n k al a n
p o l i n om u b u l u n u z.
P(x) polinomunun ax2+bx+c ile
bölümünden kalanı bulma
P ( x ) = ( a x 2 + b x + c ) . Q ( x )+ K ( x ) o l a r a k
ya z ı l d ı ğ ı n d a K ( x ) p o l i n o m u b u l u n u rk e n
1 . yo l e ş i t l i ğ i n h e r i k i t a r a f ı n d a x 2 l i t e r i m
ya l n ı z b ı r ak ı l d ı k t a n s o n r a e l d e e d i l e n
if a d e ya z ı l a b i l i r .
Örnek...24 :
P(x) = x3 -4x 2 +3 polinomunun x2 -4 ile
b ö l ü m ü n d e n k a l a n p o l i n o m u ik i f a rk l ı yo l d a n
b u l u n u z.
Örnek...28 :
www.matbaz.com
2 . yo l K ( x ) p o l i n om u m x+ n t ü r ü b i r
p o l i n om o l a c a ğ ı n d a n a x 2 + b x + c i f a d e s i
e ğ e r ç a r p a n l a r ı n a a yr ı l a b i l i yo r s a ,
ç a r p a n l a r d a n e l d e e d i l e n k ök l e r ye r i n e
ya z ı l a r ak m v e n b u l u n a b i l i r.
P ( x ) p o l i n om u n u n x - 3 i l e b ö l üm ü n d e n k al a n
3 , x+ 1 i l e b ö l üm ü n d e n k al a n - 2 d i r. P ( x )
p o l i n om u n u n x 2 - 2 x - 3 i l e b ö l üm ü n d e n e l d e
e d i l e n k al a n p o l i n o m u b u l u n u z .
Örnek...29 :
P ( x ) p o l i n om u n u n x - 2 i l e b ö l üm ü n d e n k al a n
4 , x+ 2 i l e b ö l üm ü n d e n k al a n - 6 d ır. P ( x )
p o l i n om u n u n x 2 - 4 i l e b ö l ü m ü n d e n e l d e e d i l e n
k a l a n p o l i n o m u b u l u n u z.
Örnek...25 :
P(x) = 2x4 +5x3 -x 2 +1
p o l i n o m u n u n x 2 + 4 i l e b ö l üm ü n d e n k al a n
polinomu bulunuz.
10.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/6
POLİNOMLAR -2
DÖRT İŞLEM
4) P(x) polinomu x2+ x ile bölündüğünde bölüm
x+ 2 ve kalan x-3 tür. Buna göre, P(x)
polinomunu bulunuz
2) P(x) = x2+3 polinomu için P(x+1)-P(x-1)=0
denkleminin kökü kaçtır?
5) P(x) = x13- 3x12 +5x3-11x – 100 polinomunun
x -3 ile bölümünden kalan kaçtır?
www.matbaz.com
DEĞERLENDİRME
1) P(x) = x2 -3x + 4 ve Q(x)= 2x2 +x polinomları
için 4P(x) -2Q(x)=0 denkleminin kökü kaçtır?
3)
L(x)= x2 +6x +2 polinomları için L(x+1)
polinomunun L(x-1) ile bölümünden elde
edilecek kalan polinomunu bulunuz.
10.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6) P(x) = x3+3x3-4x+1 olduğuna göre, P(x + 3)
polinomunun x+2 ile bölümünden kalan
kaçtır?
5/6
POLİNOMLAR -2
DÖRT İŞLEM
10) P(x) = x3 -x 2 +3 polinomunun x2 -5x+4 ile
bölümünden kalan polinomu bulunuz.
8) A(x+2) ve B(x-3) polinomlarının in x -2 ile
bölümünden kalanlar sırasıyla -2 ve 3 dir.
Buna göre, k.A(3x-5 ) + (k-2) B(x-4) polinomu
k nın hangi değeri için x-3 ile tam bölümür?
11) P(x) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan
6 , x+2 ile bölümünden kalan -4 tür. P(x)
polinomunun x2+x-2 ile bölümünden kalan
kaçtır?
9) P(x) = 4x3 -4x 2 +3 polinomunun x2 +1-x ile
bölümünden kalan polinomu bulunuz.
10.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
7) (x+2).P(x) = mx4+8x olduğuna göre, P(x-1)
polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
12) P(x) polinomunun (x-2)2 ile bölümünden kalan
6x+2 ise x-2 ile bölümünden kalan kaçtır?
6/6