. ÜNİTE
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM
ve EŞİTSİZLİKLER
1. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.
2. Kazanım : Gerçek sayılar kümesinde aralık kavramını açıklar.
Açık, kapalı ve yarı açık aralık kavramları ve bunların gösterimleri incelenir.
3. Kazanım : Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
2. ÜNİT
I.
DERECEDEN
BİR
BİLİNMEYENLİ
BİRİNCİ
DERECEDEN
EŞİTSİZLİK
VE
DENKLEMLER
SIRALAMA
a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = 0 şekli-
a, b ∈ R ve a ≠ 0 için ax + b > 0 , ax + b < 0 ,
ne getirilebilen denklemlere birinci dereceden bir
ax + b ≥ 0 , ax + b ≤ 0 ifadelerine 1. dereceden
bilinmeyenli denklem denir.
bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.
ax + b = 0 eşitliğini sağlayan x değerini bulmaya
ax + b ifadesinin işareti incelenirken ifadeyi sıfır
denklemi çözmek denir.
yapan değer bulunur ve tabloya yerleştirilir.
x değerine denklemin kökü, köklerin oluşturduğu
–b
x
a
+∞
–∞
ax + b a ile ters
a ile ayn›
iflaretli
iflaretli
kümeye de çözüm kümesi denir.
ax + b = 0 denkleminde;
® a = 0 ve b = 0 ise Ç.K. = R
® a < b ve b < c ise a < c
® a = 0 ve b ≠ 0 ise Ç.K. = ∅
® a < b ise a + c < b + c
® a ≠ 0 ve b = 0 ise Ç.K. = {0 }
® a < b ise a – c < b – c
b
® a ≠ 0 ve b ≠ 0 ise Ç.K. = ' − 1
a
® a < b ve k > 0 için a.k < b.k
® a < b ve k < 0 için a.k > b.k
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ
® a2 < a ⇔ 0 < a < 1
DENKLEMLER
® Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
a<x<b
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 , b ≠ 0 olmak üzere
c<y<d
ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlere birinci
+
dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
a+c<x+y<b+d
Denklemi sağlayan (x, y) ikililerinin kümesine
denklemin çözüm kümesi denir.
® ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi
sonsuz elemanlıdır. (a ≠ 0, b ≠ 0)
® ax + by = 0 denklemi ∀x ∈ R için doğru ise
® a.b > 0 iken a < b ise
® a > b > 0 ve n ∈ Z+ için an > bn > 0
® a < b < 0 ve n ∈ Z+ için a2n > b2n > 0
a < b < 0 ve n ∈ Z+ için a2n+1 < b2n+1 < 0
®
a = 0 ve b = 0 dır.
®
a
b
c
=
=
a1 b1 c1
®
a
b
c
=
!
a1 b1 c1
ise çözüm kümesi boş kümedir.
x
a
b
!
a1 b1
ise çözüm kümesi tek elemanlıdır.
48
®
R
Aç›k Aral›k
a
b
x ∈ (a, b) veya a < x < b dir.
ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
x
Kapal› Aral›k
a
b
x ∈ [a, b] veya a ≤ x ≤ b dir.
ax + by + c = 0
4 denklem sisteminde
a1 x + b1 y + c1 = 0
x
1 1
>
a b
R
Yar› Aç›k Aral›k
a
b
x ∈ (a, b] veya a < x ≤ b dir.
a
b
x ∈ [a, b) veya a ≤ x < b dir.
R
R
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 1
REHBER SORU 2
4x – 3 = 9 denkleminin çözüm kümesi nedir?
2x − 1
= x + 2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
3
Çözüm
Çözüm
1.
3.
1.
x+1
= x – 1 denkleminin kökü kaçtır?
2
2.
x x
+ = x – 1 denkleminin kökü kaçtır?
2 3
1 – 2x = 5 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
2x – 3 = 7 denkleminin çözüm kümesi nedir?
3.
x – 3 x + 10
= –3 denkleminin çözüm kümesi
–
3
6
nedir?
3y – 2 = 4 denkleminin çözüm kümesi nedir?
4.
x + 2 x – 1 2x + 1 17
–
+
=
2
3
4
4
denkleminin çözüm kümesi nedir?
4.
2(3x – 2) + 3(x – 3) = 5 denkleminin kökü kaçtır?
6
5.
1+
5.
ax + b = c denkleminin kökü nedir?
2–
1
=3
2x
x+1
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
49
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 3
REHBER SORU 4
2 ise a kaçtır?
x−y = 2
4 sistemini sağlayan (x, y) ikilisi nedir?
x + 2y = 5
Çözüm
Çözüm
2ax – 3x + a + 1 = 0 denkleminin kökü (x değeri)
1.
mx = x + 6 denklemini sağlayan x değeri 4 ise
1.
m kaçtır?
4x – y = 5
3x + 2y = 12
4
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
2.
2(x – n) + 3x – 4n + 10 = 0 denkleminin kökü –1
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, n reel sayısı kaçtır?
3.
2.
3.
kaçtır?
4.
xy + 12 = 0, 3y – a = 0 ve x = 3 ise a kaçtır?
x + y =1
4
denklem sistemine göre, x.y kaçtır?
x
a
x−2 2
denkleminin çözüm
+
=
+
x+1 x−1 x+2 x
kümesi {–1, 0, 1, 2 } elemanlarından birisi ise a
2x – 3y = 7
x y
– =4
3 2
x + y = –1
4
denklem sistemini sağlayan x değeri kaçtır?
4.
x+y=6
y–z=4
z – x = 8 olduğuna göre, y kaçtır?
5.
5.
x ve y gerçel sayılardır.
x2 – (m + 1)x – 6 = 0 denkleminin köklerinden
(2x + y – 1)2 + (x + y + 3)2 = 0 olduğuna göre,
biri 2 ise m kaçtır?
x kaçtır?
50
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
(a – 2)x + (b – a + 4)y = 0 eşitliği her x, y ∈ R için
(a – 2)x + b – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi ∅
sağlanıyorsa a ve b değerlerini bulunuz.
ise a ve b ne olmalıdır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
(k – 2)a + (p – 3)b = 0 eşitliği her a, b ∈ R için
2.
(a + b + 5)x + (2a – 3b – 5)y = 0
eşitliği her x ve y reel sayıları için sağlanıyorsa
(a, b) sıralı ikilisi nedir?
3.
(x – y)a + (y – 2x)b + 4x + y = 0
(m – 2)x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi ∅
ise m kaçtır?
ESEN YAYINLARI
sağlanıyorsa k + p kaçtır?
2.
(a2 – 1)x + a = 8x + 3 denkleminin çözüm kümesi boş küme ise a kaçtır?
3.
(a – 1)x + b + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi
R ise a ve b ne olmalıdır?
eşitilği her x, y ∈ R için sağlanıyorsa a + b kaçtır?
4.
a(x2 – 4) + b(x – 2) + c = 2x + 3
denklemi tüm reel sayılar için sağlandığına göre,
a + b + c toplamı kaçtır?
4.
(a + 2)x + b – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi
bir elemanlı ise a kaç olamaz?
51
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 7
REHBER SORU 8
x bulunamaz?
1 1
1 1
1 1
+ = 2, + = 3 ve + = 6 olduğuna göre,
x y
x z
y z
x kaçtır?
Çözüm
Çözüm
2ax – a = x + 4 eşitliğine göre hangi a değeri için
2.
2y – 1
eşitilğine göre, hangi y değeri için
3y – 6
x bulunamaz?
a(x – 2) = 2x + a – 3 denkleminde a nın hangi
değeri için x bulunamaz?
3.
1.
x=
x=
ESEN YAYINLARI
1.
2.
1 1 1 1 1 1
1 1 1
+ = ,
+ =
ve
+ =
a b 2 b c 3
a c 6
olduğuna göre, a kaçtır?
x + y = 4xy, x + z = 2xz ve y + z = 3yz
olduğuna göre, y kaçtır?
3.
2 1
1 2
– = 3 ve
+ = 4 ise x kaçtır?
x y
x y
4.
x –1 y +1 1
–
=
x
y
3
6y – 1
eşitliğine göre hangi y değeri için x
2y + 4
bulunamaz?
x +1 y + 2 1
+
=
x
y
2
denklem sistemini sağlayan y kaçtır?
4.
(x + 3)a + (x + 1)b = 0 denkleminde x in çözümü
olmadığına göre, a ve b ne olmalıdır?
5.
1
1
1
–
=
a+b a –b 3
1
1
5
+
=
a+b a –b 3
5.
ax + 6
= 0 olduğuna göre, a kaç olamaz?
2x + 3
52
olduğuna göre, a + b kaçtır?
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 9
REHBER SORU 10
3x + 4y + z = 9
(a + 1)x + 2y + 1 = 0
4x + 3y + 6z = 5 eşitliklerini sağlayan x + y + z
4x + (b – 1)y + 2 = 0 sisteminin çözüm kümesi son-
kaçtır?
suz elemanlı olduğuna göre, a + b kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
2x – y + 4z = 10
ax – 2y = 4
3x + 6y + z = 5
4x + by = 1
eşitliklerini sağlayan x + y + z kaçtır?
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ele-
2.
5x + 4y + 7z = 14
3x + 2y + 5z = 6
eşitliklerini sağlayan x + y + z kaçtır?
3.
4.
2x + y + 3z = 10
ESEN YAYINLARI
manlı ise a + b kaçtır?
2.
ax + 2y = 5
2x + by = 10 denklem sisteminin çözüm kümesi
sonsuz elemanlı ise a.b kaçtır?
3.
(2a + 1)x + 2y = 5 , 5x + 4y = 6
x + 2y = 14 olduğuna göre,
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme ise
x + y + z kaçtır?
a kaçtır?
x–y+z=6
4.
ax – 2y = 3
x+y–z=4
4x – 3y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesi
x + y + z = 10 olduğuna göre, y kaçtır?
bir elemanlı ise a kaç olamaz?
53
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 11
REHBER SORU 12
2x – 4 ≥ 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
3 − 2x
< 1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi
3
nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
–3 ≤
3x – 2 < 2x + 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
3.
lıkta değer alır?
3 − 2x x + 1
eşitsizliğini sağlayan en büyük x
$
2
3
tam sayısı kaçtır?
4 – 3x < x – 8 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
–2 < 2x + 4 < 6 eşitsizliğine göre, x hangi ara-
2.
–5 ≤ 1 – 3x < 8 eşitsizliğine göre, x kaç farklı
tam sayı değeri alır?
3.
x + 3 ≤ 3x – 1 < x + 9 olduğuna göre, x in
bulunacağı en dar aralık nedir?
4.
5.
x
x
– 2 >
+ 2
2
3
nedir?
eşitsizliğinin çözüm kümesi
x < 3 ise 2 – 3x ifadesinin alabileceği en küçük
tam sayı değeri kaçtır?
54
4.
2x – 1 < 5 ≤ 4x – 3 olduğuna göre, x in bulunacağı en dar aralık nedir?
5.
–5 < 2x – 3 < 3 olduğuna göre, 3x – 2 nin
bulunacağı en dar aralık nedir?
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 13
REHBER SORU 14
–2 < a ≤ 3 ve 2a – b + 1 = 0 ise b nin alabileceği
x ve y reel sayı olmak üzere,
tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
–1 < x < 3 ve 2 < y < 6 ise 3x – 2y nin alabileceği
en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm
1.
Çözüm
1.
–2 < x < 6 ve 2y – x + 3 = 0 olduğuna göre,
y tam sayısı en çok kaçtır?
a2 < a ise 3a – 2 ifadesinin alabileceği tam sayı
değerlerinin toplamı kaçtır?
3.
nacağı en dar aralık nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
–2 < x < 3 ve 1 < y < 2 ise 2x + 3y nin bulu-
2.
–3 < x < 6 ve 2 < y < 8 olduğuna göre,
x y
– nin en küçük tam sayı değeri kaçtır?
3 2
–2 ≤ x < 3 ise x2 + 1 in alabileceği değerler
kümesi nedir?
3.
–2 < x < 3 ve –3 < y < 1 olmak üzere,
2x – y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri
kaçtır?
4.
a + 3b = 16 ve 2 < b < 6 ise a nın bulunacağı
en dar aralık nedir?
4.
–4 < x < 2 ve –2 < y < 3 olduğuna göre,
x.y çarpımının en büyük tam sayı değeri kaçtır?
5.
–2 < x < 3 ise x2 – 6x ifadesinin alabileceği en
büyük tam sayı değeri kaçtır?
5.
– 4 < a < 1 ve –1 < 2a + b < 5 ise b hangi
aralıkta değer alır?
55
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
REHBER SORU 15
REHBER SORU 16
x ve y birer tam sayı olmak üzere, –3 < x < 5 ve
x, y, z ∈ R olmak üzere,
–1 ≤ y < 7
x.y2 < 0 , x2.z3 > 0 ve y.z < 0 ise
olduğuna göre, 3x – y nin alabileceği
en küçük ve en büyük değerleri bulunuz.
x, y, z nin işaretleri sırasıyla nedir?
Çözüm
1.
Çözüm
1.
x ve y tam sayıdır.
2 < x < 6 ve – 4 < y < 1 ise 2x – 3y ifadesinin
a2.b < 0,
b3.c > 0,
a.c3 < 0 ise a, b, c nin
işaretleri sırasıyla nedir?
2.
x ∈ R ve y ∈ Z olmak üzere,
–2 < x < 3 ve – 4 < y < 5 ise 2x – 3y nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
3.
x ve y tam sayılardır.
ESEN YAYINLARI
en büyük değeri kaçtır?
2.
a2.b3.c < 0, b2.c.a3 > 0, a4.b2.c < 0 ise
a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir?
3.
– 6 < x < 4 ve –3 < y < 6 ise
x2(y – 1) > 0 , yz + 2z < 0, x2 < x ise
x, y, z arasındaki sıralama nedir?
3x – 2y ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
4.
5.
x ve y tam sayılardır.
4.
x < y < z ve (x + y)(y – z)(x – z) = 0 ise
–3 < x < 5 ve –2 < y < 4 ise x2 – y2 ifadesinin
x.y.z nin alabileceği en büyük tam sayı değeri
alabileceği en küçük değer kaçtır?
kaçtır?
x ve y sıfırdan farklı birer tam sayıdır.
x
ifadesinin en
– 4 ≤ x < 6 ve –3 < y ≤ 8 ise
y
büyük değeri kaçtır?
56
5.
x2 < x ve x.y < –1 ise y hangi aralıkta değer
alır?
TEST -
1.
1
Birinci Dereceden Denklem
a+b
=4
3
a+c
=3
5
5.
b + c = 11
denklem sistemine göre c kaçtır?
1 1
7 _b
+ =
a b 12 b
b
1 1
9 b
+ =
`
b c 20 b
b
1 1
8 b
+ =
a c 15 ba
denklem sistemine göre
a + b + c kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
A) 4
2.
B) 5
C) 6
D) 8
E) 12
x + y = 140
6.
y + z = 128
(a – 3)x3 + (2b + 3)x2 – (a + b)x + 6a = 0
x + z = 132
eşitliği birinci dereceden bir bilinmeyenli denk-
denklem sistemine göre y kaçtır?
lem ise x kaçtır?
B) 68
C) 64
D) 60
A) 15
E) 58
B) 12
C) 10
D) 9
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) 72
3.
a – 4b – 3c = 14
7.
3a – 2b – c = 72
denklem sistemine göre a + b + c kaçtır?
x
2 + x = 13 denklemini sağlayan x kaçtır?
5
2
5
A) 2
A) 27
4.
B) 29
C) 32
D) 34
3 + 1 – 2x = 0 denklemini sağlayan x değeri
8.
2+
kaçtır?
A) –
3
4
B)
1
4
C) 1
D)
3
4
B) 3
C) 5
D) 11
E) 15
E) 39
E)
5
4
A)
3
1+
5
2
1
2−x
B)
= 3 eşitliğini sağlayan x kaçtır?
3
2
C) 1
D)
1
2
E) 2
57
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
9.
a2 = 3b
13.
b2 = 2c
c2 = 6a
A) –2
denklem sistemine göre a.b.c kaçtır?
A) 36
B) 30
C) 24
D) 18
a + b kaçtır?
A) b – a
D) 4
D) 1
E) 2
B) a – b
D) –a – b
E) 6
C) a + b
E) a.b
ESEN YAYINLARI
C) 0
C) 0
14. a ≠ b olmak üzere,
x a x b
denklemini sağlayan x in değeri
− = −
a b b a
aşağıdakilerden hangisidir?
denklemi her x reel sayısı için sağlanıyorsa
B) – 4
B) –1
E) 16
10. (a + 2)x + a – 2 = bx – 6
A) –6
3 − 2x
= 3 eşitliğini sağlayan x kaçtır?
x
3+
1−x
11. kx – 2y = m
15. x + y = z ve x.y.z =
3x – y = 2
sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre k + m kaçtır?
c
1
olduğuna göre,
4
1
1
1
1
1
1
–
–
mc + mc
m
yz xy yz xz xy xz
ifadesinin eşiti kaçtır?
A) –10
B) –8
C) 6
D) 8
E) 10
A) –16
B) –8
C) – 4
D) 8
E) 16
3b − 1
kesrinde a nın hangi değeri için
2b + 5
b bulunamaz?
16. a =
12. a, b, c ∈ R olmak üzere,
a.b = 3 , b.c = 5 ve a – c = 2 ise b kaçtır?
A) 2
58
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
A) –
1
5
B) –
2
3
C)
2
3
D)
3
2
E) 2
TEST 1.
3
Birinci Dereceden Denklem
5.
2x + 3y + 4z = 427
3x + 2y + z = 173
3x – 4y + 2z = 29 ve 2x – 5y + z = 17
olduğuna göre x + y + z ifadesinin eşiti kaçtır?
olduğuna göre x + y + z nin değeri nedir?
A) 12
A) 100
B) 120
C) 125
D) 140
B) 15
C) 35
D) 42
E) 46
E) 150
6.
x, y, z ∈ R+ olmak üzere,
xy = z , yz = 36x ve xz = 6y eşitliklerini sağla-
2.
3a + 2b − 5c = 14
2a + b − 6c = 9
yan xz + y ifadesinin eşiti kaçtır?
3 olduğuna göre
A) 16
a + b + c ifadesinin eşiti kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
1 1
1 _b
+ =
a b 12 b
b
1 1
1 b
+ =
`
b c 20 b
b
1 1
1 b
+ =
a c 15 ba
3.
20
3
B)
15
2
D) 54
E) 64
14 _b
3 b
b
10 b
ac 2 =
`
7 b
b
3 b
b2 c =
5 ba
a2 b =
7.
denklem sistemine göre a.b.c ifadesinin eşiti
kaçtır?
denklem sistemine göre a kaçtır?
A)
C) 48
E) 7
ESEN YAYINLARI
A) 3
B) 42
C) 6
D) 7
2
A)
3
B)
C)
3
3
D)
3
4
E)
E) 20
2 _b
9 b
b
x.y = 2 `
b
16 b
y 2 .z 2 =
3 ba
denklem sistemine göre z kaçtır?
x 2 .z =
8.
4.
–15
= – 3 olduğuna göre x kaçtır?
9
2
–
2 1– x
A) 6
B) 5
C)
7
2
D)
5
2
E) –5
A)
2
3
B)
1
3
C)
1
6
D) 2
E) 1
61
5
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
9.
0, 2
– 0, 11 = (0, 1): x
(0, 02) .x
eşitliğini sağlayan
x
13.
B) 50
A) 2
C) 55
D) 90
C) –2
D) – 4
E) –8
1
–x
= x + 1 denklemini sağlayan
11. x
x –1
aşağıdakilerden hangisidir?
B) 0
C) 1
D) 2
ESEN YAYINLARI
A) –2
A) –1
x
değeri
E) 3
B) –1
D) 5
E) 6
x−2 4
denkleminin çözüm kümesi
−
=
1 1−x 3
1−
x
aşağıdakilerden hangisidir?
C)
1
2
D) 1
E) 2
2t = 2x + z + 4 _b
b
15. 2x = 2t + y – 3 `
b
x + t = –7
a
denklem sistemine göre y + z kaçtır?
A) –1
12.
C) 4
1 1 1 1 _b
+ + =
x y z 2 b
bb
1 1 1
–
+ = 2 ` sistemi çözümlü olduğuna
14.
x m y
b
b
1 1 1 3 b
+ – =
x y z 2 ba
göre m reel sayısı kaçtır?
(a + b)3.(a + c)3.(b + c)3 ifadesinin eşiti nedir?
B) 4
B) 3
E) 99
10. a + b + c = 0 ve a.b.c = 2 ise
A) 8
3 ise a + b + c kaçtır?
değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 22
a + 2b − c = 4
4a + 5b + 2c = 19
B) –2
C) –3
D) – 4
E) –5
x
16. x, y, z, t ∈ N+ olmak üzere,
x = 17y + 6 , y = 6z + 11 ve z = 24t + 9 ise
x en az kaçtır?
2
A) ' 1, − 1
3
D) {1 }
62
2
B) ' − 1, 1
3
E) {–1 }
2
C) ' − 1
3
A) 3559
D) 2327
B) 2557
C) 4559
E) 3209
TEST 1.
4
Eşitsizlikler
xyz < 0 , x2z > 0
5.
x, y ∈ R olmak üzere,
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi daima
2<x<7
doğrudur?
4<y<9
4 ise 3x – 5y nin en büyük tam sayı
değeri kaçtır?
A) x > 0
B) x > 0
C) x < 0
y>0
y<0
y<0
z<0
z<0
z>0
D) x < 0
E) x > 0
y>0
y>0
z>0
z>0
A) –4
6.
B) –3
C) –2
D) –1
E) 0
x ve y birer tam sayı olup
–3 ≤ x < 7 , –6 < y ≤ 5 dir. Buna göre,
2.
3x – 2y – 1 ifadesinin en büyük değeri kaçtır?
3 2
a b < 0 , abc < 0 ve b – c > 0 ise
aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) 27
B) ac < 0
D) ab > 0
3.
29
a
11
<
<
36 36 12
E) b < 0
7.
B) 63
C) 93
E) –20
a = 2b – 3
olduğuna göre a aşağıdakilerden hangisi olamaz?
D) 122
A) 5,25
E) 155
B) 5,76
D) 6,75
4.
D) 7
4<b<5
eşitsizliğini sağlayan a doğal
sayılarının toplamı kaçtır?
A) 62
C) 10
C) bc > 0
ESEN YAYINLARI
A) a > 0
B) 22
C) 6,45
E) 7,25
x, y ∈ R
1 1
ise aşağıdakilerden hangisi
<
x y
daima doğrudur?
x.y > 0 ve
A) x + y > 0
D) x > y
B)
x+y
<0
xy
E) x < y
C)
x+y
<0
y
8.
8
a
10
koşulunu sağlayan a tam sayı<
<
13 5 2 13
sının en büyük değeri ile en küçük değerinin
toplamı nedir?
A) 31
B) 32
C) 33
D) 34
E) 35
63
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
9.
13. 3x – 2y – 4 = 0 ve 1 < y < 3 olduğuna göre
a < b ve c < 0 olduğuna göre aşağıdakilerden
hangisi daima pozitiftir?
x aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) (a + b).c
B) (a + b) : c
C) a(b + c)
D) b(a – c)
A) 3,13
B) 3,23
D) 3,33
C) 3,27
E) 3,34
E) c(a – b)
10. a < b < c olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi
14. Aşağıdakilerden kaç tanesi daima doğrudur?
daima negatiftir?
I. a > b ve c < 0 ise ac < bc
A) (a – b) (b – c)
B) (b – c) (b – a)
C) (a + c) (b – c)
D) (a – c) (b – c)
II. a < 0 , b < 0 olmak üzere, a < b ise a4 < b4
III. a > 0 , b > 0 olmak üzere, a > b ise a3 < b3
IV. a < b ve c < d ise ac < bd
E) (b + c) (c – a)
V. a > b ise a2k+1 > b2k+1 , (k ∈ Z+)
11. a ∈ N+ olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden kaç
tanesi doğrudur?
I.
II.
III.
IV.
V.
5
a
7
a
5
7
1
3
5
7
< 1 ise a > 5 tir.
> 3 ise a > 21 dir.
11
15
1
< <
4
5
> >
9
C) 3
1
5
5
11
B) 2
A) 29
C) 3
D) 4
B) 30
C) 31
D) 32
E) 33
E) 5
1
1
olduğuna göre
<u<
5
4
y için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
12. a, b, c sıfırdan farklı sayılardır.
3
a + b < 0 , b.c > 0 , a.c < 0 ve |a| < |b| < |c|
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğru-
A)
21
27
<y<
16
20
B) 4 < y < 5
C)
13
17
<y<
12
22
D)
E)
4
8
<y<
15
15
dur?
A) c < a < b
B) c < b < a
D) a < c < b
64
E) 5
bileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
16. 3u + 4y – 6 = 0 ve
4
D) 4
15. – 4 < x < 3 olmak üzere 2x2 + 1 ifadesinin ala-
>
A) 1
B) 2
ESEN YAYINLARI
A) 1
C) a < b < c
E) b < a < c
1
1
<y<
3
2
TEST -
6
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
_
bb
a − c = 3 ` denklem sistemine göre c kaçtır?
b
b + c = 12 a
a−b = 1
1.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
5.
E) 7
A) 1
0, 2 + 0, 3
= 0, 01 ise x kaçtır?
x
B) 50
C) 5
3.
D) 0,5
4.
B) –1
C) –2
D) –3
D) –1
E) –4
D) { 2 }
E) ∅
7.
x, y ∈ R olmak üzere,
–3 < x < 2 ve –1 < y < 4 ise x2 + 4y nin en
büyük tam sayı değeri kaçtır?
B) 22
C) 20
D) 18
E) 16
E) –4
lerden hangisidir?
B) b
C) 4
5.(x + 2) = 3.(x + 2) denkleminin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 24
b (a + c) b
= + c denkleminin kökü aşağıdakiax
x
A) a
B) 2
E) 0,05
ax + b = 0 denkleminin kökü x = –3 ise
a.(x – 1) + b = 0 denkleminin kökü nedir?
A) 0
4 denklem sisteminde m nin
A) { –2 } B) { –1 } C) { 0 }
ESEN YAYINLARI
A) 500
12x − my = 7
hangi değeri için x ile y bulunamaz?
6.
2.
3x − y = 4
8.
2x – 1 x + 3
–
= –1 denkleminin kökü aşağıda3
2
kilerden hangisidir?
C) c
D)
a
c
E)
b
a
A) 5
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
67
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
9.
13. a ve b birer tam sayı olmak üzere,
x, y, z pozitif tam sayılardır.
2
2
2
x + y – z – 2xy = 31 ise z nedir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 13
9 < a + b < 27 ve
olduğuna göre, a + b en çok kaçtır?
E) 15
A) 22
10. x, y, z ∈ Z+ ve
aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
B) z > y > x
C) y > x > z
E) x > z > y
A) –4
_
bb
a.c = 15 ` denklem sistemine göre a kaçtır?
11.
b
b + c = 18 a
C) 24
D) 25
E) 26
B) –6
C) –12
D) 6
E)
11
5
ESEN YAYINLARI
D) z > x > y
B) 23
x m–n _
=
b
2
n b
14.
`
x m+n b
=
b
3
n a
denklem sistemine göre x kaçtır?
1
2
3
olduğuna göre,
=
=
2xy 3yz 5xz
A) x > y > z
a−b
=1
b
a.b = 6
15.
–5 # a 1 7
3 ise a2 + b2 hangi aralıkta bulu–6 1 b # 5
nur?
A)
7
6
B)
1
2
C)
3
2
D) 2
E) 3
A) [61, 74]
B) (61, 74)
D) [0, 85)
C) [0, 74)
E) [0, 85]
12. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
a < 3b ve b <
c
olduğuna göre, a + b + c
3
toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 7
68
B) 8
C) 9
D) 10
16.
a2 b2
+
= 2 ve 3a + 5b = 8 ise b nin alabileb2 a2
ceği değerler toplamı nedir?
E) 11
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
2.
0, 006 0, 4
denkleminin kökü kaçtır?
=
0, 12
x
a ≠ b olmak üzere,
4.
2x + y = 4 _b
b
3x + z = 6 ` ise x + y + z kaçtır?
b
2y + z = 7 a
5.
(a – 4)x + 2y = 3
3x – (b + 1)y = 6
x –a x+b
–
+ 2 = 0 denkleminin kökü kaçtır?
b
a
sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ise
ESEN YAYINLARI
a + b kaçtır?
3.
2
4
1
1
cx + – 6m + cy + – 2m = 0
y
x
eşitliğini sağlayan 3y – x kaçtır?
6.
x = 2(y.z)–1 ise
cx +
3
4
2
mc yz – mc 4 +
m kaçtır?
yz
x
xyz
69
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
7.
9.
3–x>x–1
4x + 2 > x – 7
eşitsizlik sistemini sağlayan kaç tane
x ve y birer reel sayı olmak üzere,
–3 < x < 4 ve –1 < y < 2 ise 2x – y ifadesinin
x
tam
alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
8.
a.b < 0 ve a.c > 0 ise aşağıdakilerden hangileri
her zaman pozitiftir?
I. a.(c – b)
II. a.b.c
III.
a.b
c2
IV.
a.c
b2
70
ESEN YAYINLARI
sayısı vardır?
10. –2 < x < 3 olmak üzere x2 – 2x ifadesi hangi
aralıkta değer alır?
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1990 – ÖSS
6.
x , y , z sıfırdan ve birbirinden farklı pozitif tam
K + L + M = 34 ,
sayılardır. Buna göre, 3x + 2y + z = 40 denkle-
B) 33
C) 32
D) 31
A) 1
E) 30
7.
2.
C) 4
D) 6
E) 8
1991 – ÖSS
(2x – y – 3)a + (x + y)b = 0 eşitliği her a , b için
K
5
olduğuna göre, K nın alabileceği en
+2 =
M
2
B) –1
C) 0
D) 1
küçük değer kaçtır?
E) 2
1990 – ÖSS
0 ≤ x ≤ 5 olmak üzere, x3 – 3x2 farkı en çok
kaçtır?
A) 25
B) 50
C) 75
D) 100
E) 125
1990 – ÖSS
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1991 – ÖSS
a , b , c pozitif tam sayılar, a – b = 1, a – c = 5
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği
en küçük değer kaçtır?
A) 9
B) 12
C) 13
D) 14
E) 17
1991 – ÖYS
bc
ca
ab
=1,
=2,
= 3 olduğuna göre,
a
b
c
4a + 3b + 2c = 15
ise a + b + c toplamı kaçtır?
B) – 4
8.
9.
2a + 3b + 4c = 9
A) – 6
ESEN YAYINLARI
A) 1
5.
B) 2
K ve M pozitif tam sayılardır.
A) –2
4.
olduğuna
1990 – ÖSS
doğru ise y kaçtır?
3.
K 1
L 1
= ,
=
L 4
M 3
göre, L kaçtır?
mini sağlayan en büyük z kaçtır?
A) 34
1991 – ÖSS
C) 0
a2 + b2 + c2 kaçtır?
D) 4
E) 6
1990 – ÖSS
7
10
13
sayılarının küçükten
a= , b=
, c=
8
11
5
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
10. 1991 – ÖYS
a, b, c negatif tam sayılar,
E) 11
a b c
olduğuna
= =
7 8 9
büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangi-
göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğru-
sidir?
dur?
A) a < c < b
B) a < b < c
D) c < b < a
C) b < c < a
E) c < a < b
A) a < b < c
B) a < c < b
D) c < b < a
C) c < a < b
E) b < a < c
71
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
11. 1991 – ÖYS
16. 1992 – ÖSS
a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve
b = 2a , c = 2b , d = 3c , a + b + c + d = 19
2a = 3b , 2b = c olduğuna göre, aşağıdaki sıra-
olduğuna göre, d – a farkı kaçtır?
lamalardan hangisi doğrudur?
A) a < b < c
A) 1
B) a < c < b
D) c < a < b
C) 9
17. 1992 – ÖSS
x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve
a > 0 , b > 0 , c > 0 ve
3x + 2y + z = 97 olduğuna göre, y nin en büyük
C) 45
D) 44
E) 43
A) a < c < b
B) a < b < c
C) –
B) –1
1
2
D) –
1
3
E) –
1
4
E) c < b < a
18. 1993 – ÖSS
+
a
a
b
2
2
a, b ∈ N ve a – b = 11 olduğuna göre,
A) 18
C) 25
D) 36
E) 61
15. 1992 – ÖSS
a
4
= = c ve a + b + c = 0 olduğuna göre,
–5 b
2
c
72
B) 2
14
13
11
pozitif tam sayıyı göstermektedir. Buna göre, a
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
19. 1993 – ÖSS
x + y + z = 6 , yx + xz = 9 olduğuna göre,
kaçtır?
A) 1
c
kaçtır?
toplamı kaçtır?
B) 21
b
Yukarıdaki toplama tablosunda a, b ve c birer
14. 1992 – ÖSS
a +b
C) b < a < c
ESEN YAYINLARI
13. 1992 – ÖSS
2 – 3x x – 3
–
= 3 olduğuna göre, x kaçtır?
6
3
2
a
b
c
=
=
–1 –3 –2
si doğrudur?
B) 46
D) b < c < a
2
E) 12
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi-
değeri kaçtır?
A) –2
D) 11
E) b < a < c
12. 1992 – ÖSS
A) 47
B) 8
C) c < b < a
C)
5
4
x kaçtır?
D) v2
E) v3
A) 3
B) 4
C) v2
D) v3
E) v5
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
20. 1993 – ÖSS
25. 1995 – ÖSS
a, b, c pozitif tam sayılar ve
a.b = 12 , b.c = 60 , a.c = 80
17
1
< 7 eşitsizliğini sağlayan p doğal sayısının
p
7
olduğuna göre, a kaçtır?
alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 4
A) 1
E) 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
21. 1993 – ÖSS
x, y gerçel sayılar ve
26. 1995 – ÖYS
(x – 3)2 + (3y + 48)2 = 0 olduğuna göre, x + y
a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılar ve
toplamı kaçtır?
a
+ 1 = c, a + b = 8 olduğuna göre, b nin
b
A) –15
B) –14
C) –13
D) 14
E) 15
alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 7
D) 11
E) 15
a–b 3
b
= , 1 – = c olduğuna göre, c kaçtır?
b
2
a
A)
1
5
B)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 1
ESEN YAYINLARI
22. 1993 – ÖYS
27. 1996 – ÖSS
I. 3x – 5 = 8 – x
II. 4x = 13
Yukarıdaki denklemler özdeştir. II. denklemi elde
etmek için I. denklem üzerinde aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılmalıdır?
23. 1994 – ÖSS
xy yz xz
=
=
4
6
12
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangix > 0 , y > 0 , z > 0 ve
si doğrudur?
A) y < x < z
B) z < y < x
C) z < x < y
C) İki yanına 5 – x eklenmelidir.
E) Sol yanına –x, sağ yanına –5 eklenmelidir.
E) x < z < y
28. 1996 – ÖYS
24. 1995 – ÖSS
a , b pozitif tam sayılar ve a.b = 2a + 14 oldu-
m bir gerçel olmak üzere,
ğuna göre, b nin en küçük değeri almasını sağ-
(m + 3) 2 – 2m (m + 3) + m 2
=3
(7 – m) – (p – m)
layan a aşağıdaki aralıklardan hangisindedir?
A) [ 13, 15 ]
eşitliğini sağlayan p değeri kaçtır?
B) 3
B) İki yanına x – 5 eklenmelidir.
D) Sol yanına x, sağ yanına 5 eklenmelidir.
D) x < y < z
A) 2
A) İki yanına x + 5 eklenmelidir.
C) 4
D) 5
E) 6
D) [ 4, 6]
B) [ 10, 12 ]
C) [ 7, 9 ]
E) [ 1, 3 ]
73
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
29. 1996 – ÖYS
33. 1998 – ÖYS
a, b, c birer pozitif sayı ve
x – y = 22
a+b a
< + 1 olduc
c
y + z = 10
ğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
z–v=8
doğrudur?
olduğuna göre, x – 2y – 2z + v ifadesinin değeri
A) c < b
B) b < c
D) b < a
kaçtır?
C) a < b
E) a < c
A) 4
a, b, c birer doğal sayı ve
işleminin sonucu kaçtır?
B) 3
C) 4
D) 5
D) 32
E) 40
a+b+c
c
A) 3
E) 6
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
ESEN YAYINLARI
A) 2
C) 20
34. 1999 – ÖSS
x
1–
2
1–
2 = 1 olduğuna göre, x kaçtır?
1–
2
30. 1997 – ÖSS
2a = 3b , a + c = 2b olduğuna göre,
B) 12
35. 1999 – ÖSS
0 < a < 1 ve b > 0 olduğuna göre, aşağıdaki31. 1997 – ÖSS
1
41
olduğuna göre, x kaçtır?
3x + (5x – 3) =
2
2
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
32. 1997 – ÖYS
2
1
+
0, 001 0, 002 5
= k olduğuna göre, k kaçtır?
3
3
0, 004
A) 1
74
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
lerden hangisi her zaman doğrudur?
A) a.b < 0
B) a.b > 1
D) a.b > b
C) a.b < b
E) a.b < a
36. 1999 – ÖSS
10
100
1000
a=
, b=
, c=
11
111
1111
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) c < b < a
B) c < a < b
D) a < c < b
C) a < b < c
E) b < c < a
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
37. 1999 – ÖSS
41. 2000 – ÖSS
1
1
= 3 , b – = 12 olduğuna göre,
b
a
b–a
oranı kaçtır?
b
a, b, c farklı pozitif tam sayılar ve
a–
a+b
b+c
>4 ,
< 5 olduğuna göre, a + b + c
b
c
toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
38. 1999 – ÖSS
a ≠ b olmak üzere, 2a +
D) 8
A)
E) 9
B) 2
1
4
C)
3
4
D)
3
5
E)
4
5
0 < x < y olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
3
D)
2
5
E)
2
A)
x–y
<0
y
D)
ESEN YAYINLARI
A) 1
B)
42. 2001 – ÖSS
3
3
= 2b +
ise
a
b
a.b çarpımı kaçtır?
1
C)
2
1
2
B)
y–x
>0
x
x+y
>1
y
E)
C)
x–y
<1
x
x+y
<1
x
39. 1999 – ÖSS
Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı, öbürünün 4 katına eşittir. Bu sayılardan küçük olanı
kaçtır?
A) 33
B) 30
C) 27
D) 24
E) 22
43. 2002 – ÖSS
2
3
<x<
7
7
olduğuna göre, x aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A)
1
14
B)
5
14
C)
5
6
D)
1
4
E)
1
2
40. 2000 – ÖSS
c
< 0 , b.a > 0 olduğuna göre, aşağıa
dakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
c>0,
A) a + b > 0
D) a > c
B) b > 0
C) b > a
E) c > b
44. 2002 – ÖSS
3a – 3b + 4c = 7
2a – 6b + 8c = 2
A) 3
B) 4
4 olduğuna göre, a kaçtır?
C) 5
D) 6
E) 8
75
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
45. 2003 – ÖSS
49. 2006 – ÖSS
Her x gerçel sayısı için,
0 < x < 1 olmak üzere
2x – 4 = ax(x – 1) + bx(x + 1) + c(x2 – 1)
a=x
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
b = x2
1
c=
x
E) 16
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) a < b < c
46. 2003 – ÖSS
B) b < a < c
D) c < a < b
C) b < c < a
E) c < b < a
a < 0 < b olmak üzere,
b–a
k=
a
gerçel sayısı veriliyor.
Buna göre, k sayısı aşağıdakilerden hangisi ola-
50. 2006 – ÖSS
bilir?
A) –
a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere
4
3
B) –
2
3
C) –1
D)
2
3
E)
4
3
a.b =
a
=a–b
b
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
47. 2004 – ÖSS
x + y = –1
A)
–3
2
B)
D)
–3
4
1
2
C) 0
E)
2
3
1 1 1
+ =
x y 6
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
A) –6
B) –3
C) 1
D) 3
E) 6
51. 2008 – ÖSS
34–x ≤ 1 ≤ 56–x
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı
kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
48. 2005 – ÖSS
a, b, c gerçel sayıları için,
a.c = 0
a3.b2 > 0
52. 2008 – ÖSS
a.b < 0
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) a < c < b
B) b < a < c
D) c < a < b
76
C) b < c < a
E) c < b < a
Bir x tam sayısı için
x+5
> 10
2
olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
A) 10
B) 14
C) 16
D) 17
E) 18
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
53. 2008 – ÖSS
57. 2009 – ÖSS
1
1
olduğuna göre, y + yx + 2x –
+3
y+2
x
x=
x ve y gerçel sayıları için
I.
ifadesinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
x
= 2 olduğuna göre,
y
x sıfır olamaz.
II. x ve y nin işareti aynıdır.
E) 2
III. x tam sayıysa y de tam sayıdır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
54. 2008 – ÖSS
–3 ≤ a ≤ 1
–2 ≤ b ≤ 2
olduğuna göre, a2 + b3 ifadesinin değeri hangi
aralıktadır?
A) [–17, 17]
B) [–13, 8]
D) [–7, 7]
58. 2010 – YGS
1
1
– 3a =
+ 3b
2
8
olduğuna göre, a + b kaçtır?
C) [– 8, 17]
E) [–7, 1]
ESEN YAYINLARI
A)
55. 2009 – ÖSS
A+B=7
B+C=9
C + D = 13
B) 14
C) 13
D) 12
B)
5
6
C)
1
8
D)
5
8
E)
4
9
59. 2010 – YGS
olduğuna göre, A + D toplamı kaçtır?
A) 15
3
4
x, y ve z gerçel sayıları için
E) 11
y>0
x–y>z
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her
zaman doğrudur?
A) x > z
56. 2009 – ÖSS
B) x > y
D) x > 0
a, b, c, d ve e gerçel sayıları için
C) z > y
E) z > 0
a<c
b<d
c<e
60. 2012 – YGS
b<a
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre, bu beş sayının en küçüğü hangisi-
a –1
a–5
=
a–3
a–4
dir?
olduğuna göre, a kaçtır?
A) a
B) b
C) c
D) d
E) e
A)
8
5
B)
13
4
C)
9
4
D)
13
3
E)
77
11
3
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
61. 2012 – YGS
65. 2012 – YGS
–2 < x < 4
60 cevizin tamamı, n tane öğrenciye aşağıdaki
olduğuna göre, 1 – x ifadesinin alabileceği en
koşullara uygun olarak dağıtılacaktır.
büyük tam sayı değeri kaçtır?
•
Her bir öğrenci eşit sayıda ceviz alacaktır.
•
Her bir öğrenci en az 2, en fazla 10 ceviz
A) –3
B) –2
C) –1
D) 2
E) 3
alacaktır.
Buna göre, n nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
62. 2012 – YGS
x, y ve z gerçel sayıları için
x.y = 14 , x.z = 20 ,
3x + 2y + z = 24
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
8
3
B)
14
5
C) 3
D) 4
E) 7
66. 2012 – YGS
ESEN YAYINLARI
Her a gerçel sayısı için
63. 2012 – YGS
y
x
z
1
–
+
=
2.3.5 2 2 .3 3 2 .5
10
a =1–a
biçiminde tanımlanıyor.
Buna göre, x – 2 = 3 x – 1 eşitliğini sağlayan
x değeri kaçtır?
A)
–1
2
B)
–2
5
C)
3
5
D)
5
7
E)
2
7
olduğuna göre, 6x – 15y + 4z ifadesinin değeri
kaçtır?
A) 9
B) 11
C) 12
D) 15
E) 18
67. 2012 – LYS
64. 2012 – YGS
a–b
x=
a+ b
x, y birer gerçel sayı ve –1 < y < 0 < x ise
b–c
y=
b+ c
olduğuna göre,
I.
1+ y
ifadesinin a, b ve c tü1– x
ründen eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
b–c
A)
a–b
D)
78
b+ c
B)
a–b
a–c
b–c
a–b
C)
a+ c
E)
a+ b
b+ c
x+y>0
II. x – y > 1
III. x.(y + 1) > 0
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) I ve III
C) I ve II
E) II ve III
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
68. 2013 – YGS
70. 2013 – YGS
x, y ve z gerçel sayıları için
Bir öğretmen; Ali, Banu, Can ve Doğa isimli dört
x+y<0<x<y+z
öğrencisiyle birlikte sınıfta şöyle bir etkinlik yap-
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangi-
mıştır.
si doğrudur?
•
A) x < y < z
B) x < z < y
D) y < z < x
Bu öğrenciler aklından birer sayı tutuyor. Bu
sayılar sırasıyla A, B, C ve D olsun.
C) y < x < z
•
E) z < y < x
Her bir öğrenci kendi sayısını bir kâğıda
yazıp öğretmene veriyor.
•
Öğretmen de tahtada yazılı olan aşağıdaki
toplama işlemlerinin sonucunu hesaplıyor ve
eşitliklerin sağ tarafını dolduruyor.
A+B=
B+D=
A+B+C=
ESEN YAYINLARI
Tahtada yazılanlara göre, hangi öğrenciler tek
başına A, B, C ve D sayılarının dördünü de bulmak için yeterli bilgiye sahiptir?
69. 2013 – YGS
a= x
x–y
y
b=
x+y
A) Ali, Banu ve Doğa
B) Ali, Can ve Doğa
C) Ali ve Banu
D) Banu ve Can
E) Can ve Doğa
olduğuna göre, a + b – 1 ifadesinin değeri
a.b
kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
79
ESEN YAYINLARI
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
80
. ÜNİTE
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
MUTLAK DEĞER
1. Kazanım : Bir gerçek sayının mutlak değerini açıklar ve mutlak değer ile ilgili özellikleri gösterir ve
birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
2. ÜNİT
MUTLAK DEĞER
Bir sayının sayı doğrusu üzerindeki yerinin
®
başlangıç noktasına olan uzaklığına o sayının
n
xn = *
x
, n çift
x
, n tek
mutlak değeri denir.
|m|
A
O
|m|
–m
0
B
m
® a ∈ R için
i. a ≥ 0 ve f (x) = a ise
x =*
x, x $ 0
f(x) = a veya f(x) = – a
−x , x < 0
ii. a < 0 ise f (x) = a denkleminin çözüm
kümesi boş kümedir.
® Mutlak değerin içi pozitif ise dışarıya aynen
çıkar,
negatif ise işaret değiştirerek çıkar.
®
f (x) = f(x) ⇒ f(x) ≥ 0
f (x) = – f(x) ⇒ f(x) ≤ 0
® |x| ≥ 0
® |–x| = |x| , |a – b| = |b – a|
®
i. a ∈ R+ için
f (x) ≤ a ⇔ –a ≤ f(x) ≤ a
ii. a ∈ R– için
® |x.y| = |x|.|y|
f (x) ≤ a nın çözüm kümesi boş kümedir.
®
x
x
=
y
y
,
(y ≠ 0)
®
® |xn| = |x|n
® |a| + |b| = 0 ise ( a = 0 ve b = 0 ) dır.
i. a ∈ R+ için
f (x) ≥ a ⇔ f(x) ≥ a veya f(x) ≤ –a
ii. a ∈ R – için f (x) ≥ a nın çözüm kümesi
reel sayılardır.
® |a| = |b| ise ( a = b veya a = – b ) dir.
® a > 0 , b > 0 ve a < |x| < b ise ( a < x < b
veya a < –x < b ) dir.
®
82
x – y ≤ x+y ≤ x + y
Mutlak Değer
REHBER SORU 1
REHBER SORU 2
| – 3 | + | – 1 – (– 3) | – | 5 –
2|
–1 < x < 2 olmak üzere,
işleminin sonucu nedir?
| x – 2 | + | x + 1 | ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
| – 5 | + | 2 | – | – 3 | işleminin sonucu nedir?
–1 < x < | x | için | x + 1 | – | x – 1 | ifadesinin
eşiti nedir?
|
2 – 1 | – | – 2 | + | –3 | işleminin sonucu
nedir?
3.
4.
5.
|
5 – 2| – |1 –
2–
–1 – ( – 4)
3
5 | – 1 ifadesinin eşiti nedir?
x < 1 için
3.
3x = 30 ise | x – 3 | + | x – 4 | ifadesinin eşiti
nedir?
− 4x
2x
+
x
x
ifadesinin eşiti kaçtır?
4.
x < 0 ise
f(x) = | x – 1 | – | x – 2 | olduğuna göre,
5.
a < b < c olmak üzere,
f(0) + f(1) toplamı kaçtır?
ifadesinin eşiti nedir?
ESEN YAYINLARI
2.
|x – |4 – x||
2.
ifadesinin eşiti kaçtır?
| a – b | + | c – a | – | b – c | ifadesinin eşiti nedir?
83
Mutlak Değer
REHBER SORU 3
REHBER SORU 4
| 2x – 3 | = 5
|| x – 1 | – 2 | = 1
denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
1.
| x – 2 | – 3 = 1 denkleminin kökleri toplamı kaç-
2.
| x | + | –2x | + | – 4x | = 21 denklemini sağlayan
x değerlerinin çarpımı kaçtır?
3.
| x – 3 | + | 2x – 6 | = 9 denkleminin çözüm kümesi nedir?
4.
denkleminin çözüm kümesini bulu-
nuz.
ESEN YAYINLARI
tır?
|| x | – 2 | = 1
2.
|| x + 2 | – 1 | = 3
denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
3.
|| x | + | –x | –1 | = 3
denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
x−1
= 2 denkleminin çözüm kümesi nedir?
x
4.
| 3 – | 2 – x || = 1
denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
5.
||x – 2| – 4| = 3
nedir?
84
denkleminin çözüm kümesi
5.
| 3x – | 2x – | x | | | = 1
denklemini sağlayan x tam
sayılarının toplamı kaçtır?
Mutlak Değer
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
| x – 1 | = 2x – 3
| 4 – x2 | = | x – 2 |
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
| x – 2 | = 2x + 1 denkleminin çözüm kümesini
2.
| x + 1 | = x – 2 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
3.
x| x | – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-
nedir?
ESEN YAYINLARI
bulunuz.
| x2 – 1 | = | x + 1 | denkleminin çözüm kümesi
2.
| x2 – x – 2 | – | x – 2 | = 0 denkleminin çözüm
kümesi nedir?
3.
9x – x| x | = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
4.
a ≠ b ve | a | = | b | ise
nuz.
4.
|x – 2| = 2 – x denkleminin en geniş çözüm
kaçtır?
kümesi nedir?
5.
|x – 3| = 3 – x ve |x + 3| = x + 3 olduğuna göre,
x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
3a + b
ifadesinin değeri
a − 2b
5.
x2 + x = | x2 + 1 | denkleminin çözüm kümesi
nedir?
85
Mutlak Değer
REHBER SORU 7
REHBER SORU 8
| x | – 2 = | x – 2 | denkleminin çözüm kümesi nedir?
| x – 2 | < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
| 2x – 1 | ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
2.
| x – a | < b eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı
| x – 2 | + | x + 3 | = 1 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
| 1 – x | + | x – 3 | = 6 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
3.
ESEN YAYINLARI
2.
(–2, 8) ise a.b kaçtır?
| x + 1 | – | x | = 1 denkleminin çözüm kümesi
nedir?
3.
x−5
≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam
x −2
sayısı vardır?
4.
| x2 + 36 | = 12| x | denkleminin kökler toplamı
kaçtır?
4.
| x – 2 | < 3 ve | 2y – 4 | ≤ 6 eşitsizliklerine göre,
2x – y ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı
değeri kaçtır?
5.
x < 0 olmak üzere,
|x – 2| – x
3
=
2
2−x
denkleminin çözüm kümesi nedir?
86
5.
x2 + 2
≤ 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x
x−2 −3
tam sayısı vardır?
Mutlak Değer
REHBER SORU 9
REHBER SORU 10
| 2x – 1 | > 5
1 < |x – 2| ≤ 3
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
| x + 2 | ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
2 ≤ | x – 1 | < 5 eşitsizlik sistemini sağlayan x
tam sayılarının toplamı kaçtır?
2.
| 2x – 4 | + 1 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
3.
| –3x + 1 | > 10
2.
ESEN YAYINLARI
nedir?
| 2| x | – 3 | ≤ 5
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x
tam sayısı vardır?
eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
3.
1 ≤ | 3 – x | ≤ 4 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
4.
x−2
> 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
5
4.
2<
x 2 − 2x + 1 < 5 eşitsizlik sistemini sağla-
yan kaç farklı x tam sayısı vardır?
5.
–2
2
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam
>
x- 3
5
sayısı vardır?
5.
–2 < | x + 1 | ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı
x tam sayısı vardır?
87
Mutlak Değer
REHBER SORU 11
REHBER SORU 12
| x – 1 | < 2x – 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
| x – 2 | < | x + 3 | eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
2x + | x | < 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
| x + 1 | ≤ | x + 2 | eşitsizliğinin çözüm kümesi
2.
| x + 1 | – x < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
3.
| 2 – 3x | ≤ x + 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi
ESEN YAYINLARI
nedir?
2.
nedir?
3.
2x – 6 > | x | eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
5.
x – 3 ≥ |1 – x|
nedir?
88
eşitsizliğinin çözüm kümesi
| x + 3 | < | x – 1 | eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
nedir?
4.
| x – 3 | – | x + 1 | < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
4.
| x2 + 2 | < 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
5.
| 2 – x | – | x + 2 | ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
Mutlak Değer
REHBER SORU 13
REHBER SORU 14
| x | ≤ 4 olduğuna göre, x – 2y + 1 = 0 koşulunu
A = | x – 2 | + | 2x + 5 | ise A nın alabileceği en
sağlayan kaç tane y tam sayısı vardır?
küçük değer kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
| x | < 2 olmak üzere, x + y = 2 koşulunu sağla-
2.
| x | ≤ 4 olmak üzere, x – 3y + 2 = 0 koşulunu
sağlayan y tam sayılarının toplamı kaçtır?
3.
x = 2y + 3 ve | y | < 1 ise x hangi aralıkta değer
değer kaçtır?
ESEN YAYINLARI
yan kaç farklı y tam sayısı vardır?
| x – 2 | + | x + 3 | ifadesinin alabileceği en küçük
2.
1
x+1 + x−2
ifadesinin alabileceği en büyük
değer kaçtır?
3.
alır?
a
ifadesinin alabileceği en büyük
x−2 + x+4
değer 2 ise a kaçtır?
4.
|| x – 1 | – 2 |
ifadesi en küçük değerini aldığında
| y + 1 | = x eşitliğini sağlayan y değerlerinin
4.
toplamı kaçtır?
5.
| x + 2 | = 3 ve | y + 4 | = x ise y nin alabildiği
değerlerin toplamı kaçtır?
| x – 1 | + | x – 2 | + | x + 4 | ifadesinin en küçük
değeri kaçtır?
5.
| 6 – | 2 – x ||
ifadesinin en küçük değerini alması
için x in alabileceği değerlerin kümesi nedir?
89
Mutlak Değer
REHBER SORU 15
REHBER SORU 16
x 2 – 2x + 1 + | x – y – 3 | = 0
A = | x – 3 | – | x – 1 | olmak üzere A nın alabileceği
tam sayı değerlerini bulunuz.
olduğuna göre, x + y kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
| a – b + 2 | + | b + 2 | = 0 ise a kaçtır?
2.
|x – 2| + |y + 1| + |z – 4| = 0
A = | x + 1 | – | x – 4 | olmak üzere A nın değer
ESEN YAYINLARI
aralığını bulunuz.
2.
A = | x – 2 | – | x + 2 | olmak üzere A nın en
olduğuna göre, x + y + z kaçtır?
büyük değeri kaçtır?
3.
A = | x | – | x – 3 | olmak üzere A nın sabit
3.
a + b + c kaçtır?
değerler aldığı aralıkları bulunuz.
4.
A = | x + 3 | – | x – 5 | ifadesinin en küçük değeri
kaçtır?
90
| a – 1 | + 2| b – 2 | + 3| c – 3 | = 0 olduğuna göre,
4.
| x – y + 1 | + | x – 2y + 3 | = 0 olduğuna göre,
y kaçtır?
TEST 1.
1
Mutlak Değer
5.
x < 0 < y ise | y | + | x | neye eşittir?
x + 4y – 16 = 0 ve | x | < 12 koşullarını sağlayan
kaç tane y tam sayısı vardır?
A) x – y
B) y – x
D) –x – y
C) x + y
A) 3
E) 0
6.
2.
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
| 4x – 13 | ≤ 37 eşitsizliğini sağlayan x tam
sayılarının toplamı nedir?
a > 3 olduğuna göre, | 3 – a | + a + 5 ifadesinin
eşiti nedir?
A) 21
A) 2a – 2
B) 2(a + 1)
3.
C) 57
D) 70
E) 78
C) 2a + 8
E) 8
ESEN YAYINLARI
D) 3
B) 42
7.
| 3x – 1 | > 8 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
7
}
3
u < 1 olduğuna göre,
A) { x | x ∈ R , x < –
u2 − 1
+ u + 3 ifadesinin değeri nedir?
u−1
B) { x | x ∈ R , x > 3 v x < –
7
}
3
C) { x | x ∈ R , x > –3 }
A) 1
4.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
–2 < a < 5 ve a ∈ R olduğuna göre
| a + 2 | + | a – 5 | ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2a – 3
D) –7
B) 3 – 2a
E) 7
C) 3
D) { x | x ∈ R , x > 3 }
7
E) { x | x ∈ R , x < }
3
8.
| x – 3 | = – x + 3 eşitliğini sağlayan x lerin aralığı nedir?
A) (– ∞, 6)
B) (– ∞, 3)
D) (– ∞, –6]
C) (– ∞, 3]
E) R
91
Mutlak Değer
9.
f(x) = |x – 7| – |1 – x| fonksiyonunun en küçük
2
< x < 4 } kümesi aşağıdaki eşit3
sizliklerden hangisinin çözüm kümesidir?
13. {x | x ∈ R, –
değeri nedir?
A) 7
B) 6
C) –6
D) –7
E) –8
A) | 2x – 3 | < 2
B) | 3x – 7 | < 5
C) | 3x – 5 | < 7
D) | 4x – 5 | < 9
E) | 2x + 3 | < 5
10. f(x) = | 2x – 4 | + | 3x + 6 | fonksiyonunun en
küçük değeri nedir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
14. | 2x + 5y – 7 | + | x – 3y + 2 | = 0 olduğuna göre,
E) 18
x – y farkının eşiti nedir?
11.
1
> 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
x
A) c –
1 1
, m
5 5
C) 1
D) 3
E) 9
B) (–1, 5) – {0 }
D) c –
C) {–1, 2, 3, 4 }
E) R – ' –
B) 0
ESEN YAYINLARI
A) –1
1 1
, m – " 0,
5 5
15.
1 1
, 1
5 5
2 – 3x # 7
4 ise y nin en küçük değeri nedir?
y = 3x – 5
A) –10
B) –8
C) –5
D) 6
E) 8
12. x < –3 ise
x+
x 2 + 7x + 12 + x 2 + 6x + 9
ifadesinin eşiti nedir?
A) –x
B) –x + 1
D) 3
92
16.
x+y
x+y
ifadesinin en küçük değeri kaçtır?
C) –3
E) x
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
TEST -
1.
5
6
2
Mutlak Değer
5.
− 35 .
(− 9) 3 . (− 3) –4 işleminin sonucu aşa(− 3) 6
a b 2 − b a 2 + a.b + a 2 b 2 ifadesinin eşiti
nedir?
ğıdakilerden hangisidir?
A) 9
2.
B)
a < 0 ise
1
9
C)
a − a2
(− a) 2
a < 0 < b iken
1
27
D) –
1
27
A) 0
E) – 9
B) 4ab
D) 2ab
C) 3ab
E) – 4ab
aşağıdakilerden hangisine
6.
eşittir?
x 2 − 8x + 16 + x + 4 ifadesinin x < 4 için eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
B) – a
C) 0
D) 2
E) a
A) 0
B) 4
C) x
D) 2x
E) 8
ESEN YAYINLARI
A) –2
3.
| x + 2 | + 7 = 0 denkleminin çözüm kümesi kaç
elemanlıdır?
7.
A) 5
B) 4
C) 2
D) 1
E) 0
5x − 1
− 4x + 7
−3
1 − 5x
− 7 + 4x
A) –3
4.
B) –2
işleminin sonucu nedir?
C) 1
D) 2
E) 3
x < 0 ise | 3x + | x || – 3| x | + | 1 – 2x | ifadesinin
eşiti nedir?
A) 1 – x
D) 1 – 3x
8.
B) –7x + 1
E) 3x + 1
C) 3x – 1
| x – 2 | + | x + 2 | ifadesinin en küçük değeri
nedir?
A) –2
B) 0
C) 4
D) 6
E) 8
93
Mutlak Değer
9.
13. | 3x + 1 | > 4 eşitsizliğini sağlamayan kaç tane
| x + 4 | – | x – 5 | ifadesinin en büyük değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –9
B) –1
C) 2
tam sayı vardır?
D)
9
2
A) 1
E) 9
10. | 1 – 3x | < 7 ise y = 6x – 4 için aşağıdakilerden
8
3
C) 3
D) 4
E) 5
14. | 4x – 7 | < 5 ve y = 5x – 4 tür. x ve y birer tam
hangisi doğrudur?
A) –2 < y <
B) 2
sayı olmak üzere y nin en büyük değeri kaçtır?
B) y > –16
A) 7
B) 6
C) 4
D) 2
E) 1
E) 12 < y < 16
ESEN YAYINLARI
D) –16 < y < 12
C) y < 12
15. a < b için ; a + b +
a 2 − 2ab + b 2 = 0, 3 + 0, 6
ise b nedir?
11. | x – 4 | + | y + 5 | = 0 olduğuna göre x – y nin
değeri nedir?
A) –9
B) –1
A) 0
C) 0
D) 1
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
6
E) 1
E) 9
16. 5 ≤ | 2x – 3 | < 9 eşitsizliğinin çözüm kümesi
12. | –2x + 5 | < 3 ifadesinin tam sayılardaki çözüm
kümesi nedir?
A) {2, 3 }
B) {2 }
D) {1, 2, 3, 4 }
94
C) {3 }
E) {1, 2, 3 }
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [ 4, 6 ) ∪ ( –3, –1 ]
B) [ 4, 2 )
C) [ –2, 4 ) ∪ ( –3, 4 ]
D) ( – 4, –1 )
E) [ 2, 3 ) ∪ ( 4, 6 )
TEST 1.
5
Mutlak Değer
a > b ve a.c < b.c ise | a – b | + | b + c – a |
ifadesinin eşiti nedir?
5.
x > 0 olmak üzere,
x+2
$ 0 eşitsizliğinin
x − 3x
çözüm kümesi nedir?
A) c
B) – c
D) 2b – c
C) 2a – 2b – c
E) 2a + c
A) (– ∞, –2]
B) [–2, 0)
C) (0, ∞)
D) (– ∞, –2] ∪ (0, ∞)
E) Ø
2.
x 2 − 2x + 1 +
1 < x < 2 ise
işleminin sonucu nedir?
A) –3
x 2 − 4x + 4
| 4x – 3 | < 5 olmak üzere,
| 4x + 2 | + 3.| x – 2 | – x ifadesinin değeri aşağı-
B) 1
dakilerden hangisidir?
C) 2
E) 2x – 3
A) x – 4
3.
| 2x – 3 | < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı nedir?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
B) x + 8
D) – 4
ESEN YAYINLARI
D) –2x – 3
6.
7.
E) 8
C) x – 1
E) 8
| | 2x – 1| – 7 | ≤ 4
eşitsizliğinin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) [ –6, 5 ]
B) [ – 6, 1 ]
C) [ 1, 5 ]
D) [ –5, –1 ] ∪ [ 2, 6 ]
E) [ –6, –2 ] ∪ [ 2, 5 ]
4.
| x – 2 | ≥ 3 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı nedir?
A) 10
B) 5
C) –1
D) –5
E) –10
8.
|x + 2| + |x| + a = 0 eşitliğini sağlayan en büyük
a değeri kaçtır?
A) 0
B) –1
C) –2
D) –3
E) – 4
99
Mutlak Değer
9.
a ∈ R olmak üzere, | a2 – 6a + 6 | ifadesinin
alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 6
13. |1 – 2x| + |4x – 2| = 6 denkleminin toplamı kaçtır?
E) 9
A) –2
10. a2 < a ve | b | = b ise aşağıdakilerden hangisi
daima doğrudur?
A) b > 0
B)
a
>0
b
C) 0
D) 1
E) 2
x−1 −2
< 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tane
x+1 +3
x tam sayısı vardır?
C) 0 < a.b < 1
E) –1 < a < 1
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ESEN YAYINLARI
D) a.b ≥ 0
14.
B) –1
11. | x2 + x – 2 | > –2.| x – 1 | eşitsizliğinin çözüm
kümesi nedir?
A) R
B) (– 4, ∞)
D) R – {– 4 }
C) (– ∞, – 4)
E) R – {1 }
12. |2 x – 5 | + 4 ≤ 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
5
A) ' 1
2
alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 9
E) 10
16. a ∈ Z olmak üzere, | x – a | < 2 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 21 ise a kaç-
B) Ø
5
D) R – ' 1
2
100
15. a ∈ Z olmak üzere, | a2 + 2a – 9 | ifadesinin
C) R
E) ;0 ,
5
E
2
tır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
4.
–1 < x < 0 olmak üzere,
x 2 – 4x + 4 – | x | + | x + 1 | ifadesinin eşitini
| x + 3 | = 2x + 1 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
bulunuz.
2.
x < 1 olmak üzere,
4
(x
– 1) 4
+3
(x + 1) 3
5.
–
x2
|| x – 1 | – 2 | > 1
eşitsizliğini sağlamayan x
tam sayılarının toplamı kaçtır?
– 8x + 16
ESEN YAYINLARI
ifadesinin eşitini bulunuz.
3.
|| x + 1 | – 1 | = 3
eşitliğini sağlayan x değerle-
rinin toplamı kaçtır?
6.
| 2x + 1 | – | x + 3 | = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
101
Mutlak Değer
7.
–2 < | 6 – 2x | < 4 eşitsizliğini sağlayan x tam
9.
sayılarını bulunuz.
36
x –1 + x – 2 + x – 3
ifadesinin en büyük
8.
x–2
2–x
denkleminin çözüm kümesini
=
x+1
x+1
bulunuz.
102
ESEN YAYINLARI
değeri kaçtır?
10. | x + a | + | x – 2 | ≥ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi
R ise a doğal sayısının en küçük değeri kaçtır?
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1987 – ÖSS
5.
9 < | 2x – 7 | < 13 eşitsizliğinin çözüm kümesin-
için a hangi aralıkta bulunmalıdır?
deki tam sayıların toplamı kaçtır?
A) (–∞, –1)
A) 14
B) (–12, 5)
D) (0, 1)
2.
1989 – ÖYS
a < | a | < a2 eşitsizliğinin daima sağlanabilmesi
C) (–1, 0)
C) 12
D) 10
E) 7
E) (–2, ∞)
1987 – ÖYS
a = | a | ve b < | b | olduğuna göre aşağıdakiler-
6.
den hangisi doğrudur?
A) ab = 1
1992 – ÖYS
x ∈ R , | x | – 1 = | x – 1 | denkleminin çözüm
B) ab > 1
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
C) ab ≤ 0
E) 0 < ab < 1
A) (–∞, ∞)
B) (–∞, 0)
D) (0, ∞)
ESEN YAYINLARI
D) ab > 0
3.
B) 13
C) [1, ∞)
E) (0, 1]
1987 – ÖYS
| x2 + 1 | ≤ 3 ün çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) R
C) [–2, 2]
7.
B) R – [–2, 2]
| x | ≤ 3 olmak üzere, –x + y – 3 = 0 denklemini
D) R – [– v2, v2]
sağlayan y tam sayılarının toplamı kaçtır?
E) [– v2, v2]
4.
1993 – ÖSS
A) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
1988 – ÖYS
| x | > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A) (–∞, 1) ∪ (0, ∞)
B) (–∞, 0) ∪ (1, ∞)
C) (–∞, 0) ∪ (–1, ∞)
D) (– ∞, –1) ∪ (1, ∞)
E) (–∞, –1) ∪ (0, ∞)
8.
1994 – ÖYS
x ∈ R olmak üzere, | 4x – 10 | + | 2x + 5 |
ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 15
E) 20
103
Mutlak Değer
9.
1998 – ÖSS
13. 2000 – ÖSS
x<0
x + 2| x | – 4 = 0 denklemini sağlayan x gerçel
|x| ≤ 5
sayılarının toplamı kaçtır?
eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayıların çarpıA)
mı kaçtır?
A) –10
B) –12
D) –60
4
3
B)
5
4
C)
–16
3
D)
–8
3
E)
–4
5
C) –24
E) –120
14. 2001 – ÖSS
| x – 4 | + | x | = 8 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
10. 1998 – ÖYS
A) 2
|a – 2| + |b – 4| + |c – 6| = 0
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
olduğuna göre, a + 2b + 3c ifadesinin değeri
A) 28
B) 12
C) 0
D) –12
E) –28
15. 2001 – ÖSS
x < 0 < y olduğuna göre,
3. x – y
işleminin sonucu aşağıdakilerden hany+ x
11. 1999 – ÖSS
x < 0 olmak üzere ,
|x – |x – 8|| – 8
ifadesi
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 16
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
B) –2x
D) –2x + 16
gisidir?
A) –3x
B) –3y
D) –3
C) – 4x
C) 3(x + y)
E) 3
E) –4x + 16
16. 2002 – ÖSS
y < x < 0 olmak üzere,
12. 2000 – ÖSS
| x | ≤ 6 olduğuna göre x – 2y + 2 = 0 koşulunu
x 2 + 4xy + 4y 2 + y – x +
sağlayan kaç tane y tam sayısı vardır?
olduğuna göre, y kaçtır?
A) 7
A) –8
104
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
B) –7
C) –6
y
y2
=8
D) –5
E) –3
Mutlak Değer
17. 2002 – ÖSS
21. 2005 – ÖSS
| x – 2 |.| x + 5 | = x – 2 eşitliğini sağlayan x
Sıfırdan farklı a ve b tam sayıları için
değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
|b| < a
a
< –2
b
A) {– 4, –2 }
B) {– 4, 2 }
D) {2 }
C) {–2 }
E) {2, 4 }
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a < 0
B) b > 0
D) a + 2b < 0
C) a.b > 0
E) a + 2b > 0
18. 2003 – ÖSS
22. 2006 – ÖSS
f(x) = | x – 2 | – | x |
x = | v5 – 3 |
olduğuna göre, f(–1) + f(0) + f(1) toplamı kaçtır?
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
y = |x – 5|
E) 4
z = |y – 2|
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, z kaçtır?
A) v5
B) 2 + v5
D) 10 – v5
C) 4 + v5
E) 5 – v5
19. 2003 – ÖSS
| 9 – x2 | = | x – 3 |
olduğuna göre x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) –3
B) –2
23. 2008 – ÖSS
x < 0 olduğuna göre,
C) –1
D) 2
|x – 1| + |x| + 3
E) 4
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 2
D) 4 – 2x
B) 2x + 2
C) 2x – 2
E) 4
20. 2004 – ÖSS
x < 0 < y olmak üzere,
x 2 + 2 xy + y 2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
y–x
hangisidir?
A) x + y
D) –x – y
24. 2008 – ÖSS
Pozitif x gerçel sayıları için | x – 1 | < k olması,
| vx – 1 | < 0,1 olmasını gerektiriyorsa k nin
alabileceği en büyük değer kaçtır?
B) x – y
C) –x + y
E) xy
A) 0,11 B) 0,19 C) 0,25
D) 0,29
E) 0,31
105
Mutlak Değer
25. 2010 – LYS
28. 2012 – YGS
Verilen a, c pozitif ve b negatif gerçel sayıları için
a bir gerçel sayı olmak üzere, sayı doğrusu üze-
a2b > abc + c2
rinde a nın 1 e olan uzaklığı a + 4 birimdir.
eşitsizliği sağlandığına göre, aşağıdakilerden
Buna göre, |a| kaçtır?
hangisi kesinlikle doğrudur?
A)
A) a = | b |
B) a = c
D) a < c
C) c > | b |
3
2
B)
5
2
C)
7
2
D)
7
3
E)
8
3
E) c < a
29. 2012 – LYS
f(x) = |2x – 5|
| –1 – 3 | + | –2 + 4 |
işleminin sonucu kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 6
D) 4
E) 2
ESEN YAYINLARI
26. 2011 – YGS
g(x) = |x + 1|
fonksiyonları veriliyor.
Buna göre, ( g o f )(x) = 3 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 0
D) 2
E) 5
27. 2011 – YGS
x bir gerçel sayı ve | x | ≤ 4 olmak üzere,
2x + 3y = 1 eşitliğini sağlayan y tam sayı değer-
30. 2013 – YGS
x ve y gerçel sayıları için
y–x=1
lerinin toplamı kaçtır?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
y – |x – y| = 2
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 5
106
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
. ÜNİTE
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
ÜSLÜ İFADE VE DENKLEMLER
1. Kazanım : Bir gerçek sayının tam sayı kuvveti açıklar basit uygulamalarla hatırlatır.
2. Kazanım : Üslü ifadelerin çarpımı, bölümü ve kuvvetleri ile ilgili özellikler cebirsel olarak incelenir.
2. ÜNİT
ÜSLÜ SAYILAR
ÜSLÜ SAYILARIN SIRALAMASI
® a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere
® a > 1 olmak üzere,
an < am ise n < m dir.
a.a.a.....a = a n
1 44 2 44 3
n tan e
sayısına a nın n. kuvveti denir.
an ifadesinde a sayısına taban, n sayısına
® 0 < a < 1 olmak üzere,
an > am ise n < m dir.
üs ya da kuvvet denir.
® a ≠ 0 olmak üzere a0 = 1 dir. (00 belirsizdir.)
ÜSLÜ DENKLEMLER
® a ∈ R olmak üzere a1 = a dir.
® a ∉ {–1, 0, 1 } olmak üzere
an = am ise n = m dir.
® a ∈ R olmak üzere 1a = 1 dir.
® Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift
® a ∉ {–1, 0, 1 } ve b ∉ {–1, 0, 1 } olmak üzere
kuvvetleri pozitiftir.
an = bn denkleminde; n tek sayı ise a = b
Pozitif sayıların ise tüm kuvvetleri pozitiftir.
® a.an + b.an – c.an = (a + b – c).an
n çift sayı ise |a| = |b|
® an = 1 eşitliğinde,
x a ≠ 0 ve n = 0 dır.
n
m
n
n
n+m
® a .a = a
x a = 1 ve n ∈ R dir.
x a = –1 ve n çift sayıdır.
n
® a .b = (a.b)
® (an)m = an.m = (am)n ,
®
an
= an − m
am
®
an
a n
=b l
b
bn
®
a− n =
108
(an)m ≠ a(n
1
a n
b −n
, b l =c m
n
b
a
a
m)
®
an = bm
ax = by
3⇒
n m
=
x
y
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 1
REHBER SORU 2
işleminin sonucu nedir?
3 2 + (− 3) 3 − (− 5) 0
işleminin sonucu kaçtır?
(− 2) 4 – 1 4 + (−1) 5
Çözüm
Çözüm
(–a2)3.(–a)2.a4.(–a3)4
1.
(–a)5.(– a2).(– a)–4 işleminin sonucu nedir?
2.
(–a–2)2.(–a)–5 .(–a)6 işleminin sonucu nedir?
3.
1.
− 2 2 − ^− 2 h2
^−1h2 − ^−1h3
işleminin sonucu kaçtır?
22 : 20 + 2–1 işleminin sonucu kaçtır?
1 −2
(–2– 4 ). c − m .23 işleminin sonucu kaçtır?
2
3.
–15 + (–1)7 – (–1)3 – 14 işleminin sonucu kaçtır?
4.
(–1)2 + (–1)3 + (–1)4 + ..... + (–1)50 ifadesinin
4.
(− 2) 3 . (− 2) −4 . (− 5) −3
ifadesinin sonucu kaçtır?
25
5.
(–3)2.(–3–2).(–33) işleminin sonucu kaçtır?
5.
ESEN YAYINLARI
2.
sonucu kaçtır?
–2 3 + (–2) 2
işleminin sonucu kaçtır?
(–2) 0 – 2
109
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 3
REHBER SORU 4
2.2.2.2.2 + 2 + 2 + 2
işleminin sonucu kaçtır?
2 2 .2 3 .8
işleminin sonucu kaçtır?
^ 2 2h3
Çözüm
Çözüm
1.
6.62.63 işleminin sonucu kaçtır?
2.
33 + 33 + 33 + 33
işleminin sonucu kaçtır?
4
3.
9.27 2
işleminin sonucu kaçtır?
38
2.
3 −4 2 −5
işleminin sonucu kaçtır?
c m .c m
4
3
54 + 54 + 54
işleminin sonucu kaçtır?
5.5.5.5
3.
1 8
1 5
c − m : c − m işleminin sonucu kaçtır?
2
4
34 + 34 + 34
4.
ESEN YAYINLARI
1.
4.
5.
3 2 .3 2
işleminin sonucu kaçtır?
24 + 24 + 24 + 24
işleminin sonucu kaçtır?
23 + 23
110
5.
64^2 [email protected]
2
8^2 −2 h−2B
3
işleminin sonucu kaçtır?
1 4
c − m .^− 5 6h
5
^− 5 −1h−3
işleminin sonucu kaçtır?
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
3.2 4 + 6.2 4 – 2 4
işleminin sonucu kaçtır?
5.2 5 – 2 6 + 2 5
279 sayısının
Çözüm
Çözüm
1.
x = 2 için 5x + 1 – 3.5x + 2.5x – 1 ifadesinin sonucu
1
u kaçtır?
9
1.
44 sayısının yarısı kaçtır?
2.
28 – 27 – 26 ifadesinin yarısı kaçtır?
3.
4–2 + 4–2 + 4–2 + 4–2 toplamının 16 katı kaçtır?
4.
210 + 210 + 210 + 210 + 210 ifadesinin % 40 ı
kaçtır?
3.
4.
53 + 55 + 57
işleminin sonucu kaçtır?
54 + 56 + 58
42 + 42 + 42
32 + 32 + 32 + 32
a = 6 için
tır?
işleminin sonucu kaçtır?
aa + 2 + aa + 1
ifadesinin sonucu kaçaa + 1 + aa
ESEN YAYINLARI
2.
kaçtır?
5.
2 20 − 2 19 − 2 18
(− 2) 3 . (− 2 4) . (− 2) −8
işleminin sonucu kaçtır?
5.
81x – 2 sayısının
1
si kaçtır?
27
111
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 7
1 3
2 −2
c− m + c− m
2
3
6(− 4) [email protected] − 1
REHBER SORU 8
a = 2 ve b = –1 ise
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesinin sonucu
nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
3− 1 + 30 + 31
işleminin sonucu kaçtır?
3− 4 + 3− 3 + 3− 2
1.
2.
8 − 4 + 12 − 4 + 24 − 4
işleminin sonucu kaçtır?
24 − 4
2.
4.10 –2
3.
10 + 7 +
işleminin sonucu kaçtır?
4 + 2.10 –1 + 6.10 –2
4.
16 6 − 2 3
işleminin sonucu kaçtır?
4 11 − 2
5.
1 + 5 2 + 7 2 + 35 2
işleminin sonucu kaçtır?
7 + 73
a = –2 ve b = –1 ise ab – ba ifadesinin sonucu
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
x = 2 ve y = –2 ise yx – yx–y – y–y işleminin
sonucu kaçtır?
3.
a = –2 ve b = 2 ise
kaçtır?
4.
112
ba − a
ab + b
ab – ba
ifadesinin eşiti
b–a
x = –1 ve y = –2 olmak üzere,
yx – xx – y ifadesinin eşiti kaçtır?
5.
a = –2 ve b = – 4 olmak üzere,
a – ba – b ifadesinin eşiti kaçtır?
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 9
REHBER SORU 10
2x = a ve 5x = b ise 200x ifadesinin a ve b
252x–1 = 125 olduğuna göre x kaçtır?
türünden değeri nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
2x = a ise 4x – 1 ifadesinin eşiti nedir?
2x = 3 ise 8x + 2x + 2 ifadesinin sonucu kaçtır?
3.
2n = a, 3n = b, 5n = c ise 360n nin a, b ve c
8n + 1 = 4 ise n kaçtır?
2.
27x – 1 = 9x + 1 olduğuna göre, x kaçtır?
3.
a
1
b n
ve c m = 8 ise n kaçtır?
=
b 16
a
4.
8x + 8x + 8x + 8x =
5.
an = 12 ve an + 4 = 48 olduğuna göre,
ESEN YAYINLARI
2.
1.
türünden değeri nedir?
4.
x
x
12x
8 = a ve 9 = b ise 6
in a ve b türünden
8 2x
ise x kaçtır?
26
değeri nedir?
5.
x = 1 + 2a ve y = 1 – 2–a olduğuna göre, x in
y cinsinden eşiti nedir?
an + 6 kaçtır?
113
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 11
REHBER SORU 12
2x + 1 + 2x 3x − 3x − 1
işleminin sonucu nedir?
+
3.2 x − 1
3x − 2
253.123.25.53
Çözüm
Çözüm
sayısı kaç basamaklı bir sayıdır?
8 24 − 2 71
işleminin sonucu kaçtır?
2 73
1.
213.510 sayısı kaç basamaklıdır?
2.
2x – 2x + 1
işleminin sonucu kaçtır?
2x – 1 + 2x
2.
250.75.32.12 çarpımından elde edilecek sayı-
3.
2 6x − 1 − 4 3x
işleminin sonucu kaçtır?
8 2x − 2 + 2 6x − 4
4.
5.
ESEN YAYINLARI
1.
nın sonunda kaç sıfır bulunur?
3.
44.515 + 1015 sayısı kaç basamaklıdır?
4x + 4x + 1 + 4x + 2
işleminin sonucu kaçtır?
2x – 1 – 2x + 2x + 1
4.
102.83.59 sayısı kaç basamaklıdır?
3x + 2 + 3x + 4
işleminin sonucu kaçtır?
3x + 3 – 3x + 1
5.
55.1616.2525 çarpımından elde edilecek sayının
114
sonunda kaç sıfır bulunur?
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 13
REHBER SORU 14
a 2n – 1 = 2
4 ise n kaçt›r?
a 1– n = 8
Çözüm
Çözüm
1.
2a – 1 + 3.2a + 2a+1 = 44 ise a kaçtır?
2.
3x – 3x– 1 + 3x+2 = 29 ise x kaçtır?
3.
4.
5.
ESEN YAYINLARI
2x + 2x+ 1 – 2x – 1 = 10 ise x kaçtır?
1.
x2a = y3 ve xa = yb+1 ise b kaçtır?
2.
8n = 9 ve 3m = 16 ise 125n.m kaçtır?
3.
a = bx + y
3 ise x2 – y2 kaçtır?
b = ax – y
4.
5n = 16 ve 5m = 32 ise
4x + 1 – 22x–1 + 4x = 18 ise x kaçtır?
6n
3n + 3n + 3n
= 16 ise n kaçtır?
+ 6n + 6n + 6n + 6n
+ 6n
4
3
10
işleminin sonucu nedir?
+
+
5x 5x + 1 5x + 2
m2 + n2
kaçtır?
m.n
115
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 15
REHBER SORU 16
1
1
ifadesinin eşitini bulunuz.
+
2a – b – 1 2b – a – 1
(a + 1)4 = (3 – 2a)4 eşitliğini sağlayan a değerleri-
Çözüm
Çözüm
2.
3.
1.
1 − ax
ifadesinin eşiti nedir?
1 − a− x
2
ax − y + 1
+
2
ay − x + 1
ifadesinin sonucu nedir?
3
2
+
2.x a – b – 3 3.x b – a – 2
2.
9
9
ifadesinin eşiti kaçtır?
+
1 – 10 11 1 – 10 –11
5.
x
x
ifadesinin eşiti nedir?
+
xm – n + 1 – x xn – m + 1 – x
116
a2 – 4a + 4 = (3a + 1)2 ise a nın alabileceği
pozitif değer kaçtır?
3.
(2x – 1)6 = 64 ise x in alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
ifadesinin sonucu kaçtır?
4.
(x + 2)2 = (2x – 1)2 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
nin toplamı kaçtır?
4.
(a2 – 2a + 1)2 = (3 – 2a)4 eşitliğini sağlayan a
değerlerinin toplamı kaçtır?
5.
(a – 4)2008 = a2008 ise a kaçtır?
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 17
REHBER SORU 18
(2a – 1)5 = (a + 4)5 ise a kaçtır?
(a – 2)a
2
–4
= 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı a reel
sayısı vardır?
Çözüm
Çözüm
1.
(x – 1)3 = (2x + 3)3 ise x kaçtır?
1.
(a + 2)2a+4 = 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı a
2.
3.
c
x –1 3
m = 125 ise x kaçtır?
2
(2a – 1)15 = 275 ise a kaçtır?
ESEN YAYINLARI
tam sayısı vardır?
2.
(2x – 3)x–3 = 1 denklemini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
3.
2
(x – 4)x
–16
= 0
denkleminin çözüm kümesi
nedir?
4.
(x2 – x – 3)7 = (x2 – 2x + 4)7 denkleminin kökü
4.
kaçtır?
5.
6
c
1 x
m
x−1
2−1
= 1 eşitliğini sağlayan x reel sayı-
larının toplamı kaçtır?
2
3
(x – 2) = (x + x – 2)
ise x kaçtır?
5.
(x + 2)x
2
+x–2
= 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı x
reel sayısı vardır?
117
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 19
Çözüm
a. a = 345, b = 275, c = 530
sayıları arasındaki sıralama nedir?
b. 2a = 20, 3b = 50, 5c = 100 ise
a, b, c arasındaki sıralama nedir?
1.
a = 7 (5
2)
4.
, b = (7 5) 6 , c = (7 7) 3 ise
b = 5– 5 ,
c = 5– 6 sayıları arasındaki
sıralama nedir?
3.
2 −4
2 −5
2 −6
a=c m , b=c m , c=c m
3
3
3
sayıları arasındaki sıralama nedir?
118
ESEN YAYINLARI
a = 5– 4 ,
b = 536,
c = 324 sayıları arasındaki
sıralama nedir?
a, b, c arasındaki sıralama nedir?
2.
a = 248,
5.
a = (–2)25, b = (–3)15, c = (–25)5 ise
a, b, c sayıları arasındaki sıralama nedir?
6.
2a = 60, 3b = 120, 5c = 200 ise
a, b, c arasındaki sıralama nedir?
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 20
2a = 3b olduğuna göre,
REHBER SORU 21
a
4b
b
+ 3a
x ve y birer tam sayı olmak üzere,
ifadesinin eşiti kaçtır?
3x–2y+8 = 5x+y–1 ise xy kaçtır?
Çözüm
Çözüm
a
2a = 5b ise 4 b kaçtır?
2.
a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere,
a
b
3a = 2b ise 9 b .2 a
çarpımının sonucu kaçtır?
1.
2.
4.
3x = 5 ve 5y = 9 ise 4xy kaçtır?
5.
2a = 3 , 3b = 5 , 5c = 64 olduğuna göre, a.b.c
çarpımı kaçtır?
x ve y birer tam sayı olmak üzere,
3x − y + 1
= 1 ise yx kaçtır?
2x + y − 5
xx = y ve x2 = 2 olduğuna göre, yx kaçtır?
4.
x ve y birer tam sayı olmak üzere,
5x + y + 1 = 6x – 2y + 10 ise x.y kaçtır?
3.
3.
a, b ∈ Z olmak üzere,
3a–2 = 2b–a+3 ise b kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
x ve y birer tam sayı olmak üzere,
5x + 2 = 7|y + 1| + x denklemini sağlayan kaç farklı
y tam sayısı vardır?
5.
3n + 2n + 2 = 2n + 3n + 1 denklemini sağlayan kaç
tane n reel sayısı vardır?
119
Üslü İfade ve Denklemler
REHBER SORU 22
REHBER SORU 23
5 2x − 1
5 x+1
eşitsizliğini sağlayan x reel sayı<c m
c m
2
2
2 x−1
2 2x + 1
<c m
eşitsizliğini sağlayan en büyük x
c m
3
3
ları hangi aralıkta değer alır?
tam sayısı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
32x – 4 < 3x + 1 eşitsizliğini sağlayan en büyük x
1.
2.
3.
4 2x − 1 16
≤
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x
c m
3
9
doğal sayısı vardır?
(–5)
2x – 4
x+1
<5
eşitsizliğini sağlayan x doğal
2.
4.
5.
50
2
20
>x
120
x−1
3
3.
4.
ise x kaçtır?
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tam
sayısı vardır?
–
< (0, 2)3 olduğuna göre, x in en
(0,5)x – 4 ≥ (0,5)2 olduğuna göre, x hangi aralıkta değer alır?
sayılarının toplamı kaçtır?
2 2x + 3
27
=c m
c m
3
8
4
küçük tam sayı değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
tam sayısı kaçtır?
–
(0, 2)3x –
1 3x
1 2x + 5
eşitsizliğini sağlayan x doğal
c m >c m
3
3
sayılarının toplamı kaçtır?
(0,5)2n + 1 < 8n – 2 olduğuna göre, n nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
5.
3 4x + 6
4 −x
#c m
eşitsizliğini sağlayan kaç farklı
c m
2
9
x doğal sayısı vardır?
TEST -
1.
Üslü İfade ve Denklemler
5.
3x + 8
işleminin sonucu kaçtır?
3x + 5
A) 3
2.
1
B) 6
C) 9
D) 18
4.39 + 20.39 + 3.39 işleminin sonucu nedir?
A) 3–10
E) 27
B) 312
C) 94
D) 315
E) 320
a 7 .b − 3 .c 5 x − 7 .y 4 .z
işleminin sonucu aşağı$
x − 6 .y 6 .z 2 a 4 .b − 4 .c 0
dakilerden hangisidir?
A)
a2 b
xz 3
B)
6.
a 3 bc 5
xy 2 z
E)
abc
xyz
A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 18
a2 b
xyz
ESEN YAYINLARI
D) 1
C)
3x + 2 + 3x + 1 + 3x
ifadesinin değeri nedir?
3x + 1 + 3x − 1 + 3x
3.
1 −2
−2 − 2
H
>=c 2 m G
3
7.
işleminin sonucu aşağıdakiler-
=
−2
1
a
G = (64.n) olduğuna göre
a
(24.m)
n aşağıdakilerden hangisidir?
den hangisidir?
4
A)
9
4.
9
B)
4
4
C)
3
3
D)
4
2
E)
3
(− 2) 3 . (− 2 4) . (2 − 3)
işleminin sadeleşmiş şekli
(4 − 1) . (− 2) 3 . (− 4) – 2
B) –2–6 C) –27
8.
C) 3m
D) 6m
E) 9m
3x = 2 olduğuna göre 9x + 1 ifadesinin değeri
kaçtır?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 26
A) 9m2 B) 3m2
D) –28
E) 29
A) 27
B) 36
C) 45
D) 56
E) 63
121
Üslü İfade ve Denklemler
9.
3x – 2.3x + 3x + 2 = 72 eşitliğini sağlayan x ger-
13. 915.10–2 : (3,05.10–15) işleminin sonucu nedir?
çel sayısı kaçtır?
A)
1
4
B)
1
2
A) 5.10 –4
C) 1
D) 2
D) 3.10–13
E) 4
3a + 1 – 2b = 11
A) 135
ise a.b ifadesinin değeri kaçtır?
C) 4
D) 6
E) 7.1010
B) 146
C) 159
D) 160
E) 171
D) 5
E) 4
E) 8
ESEN YAYINLARI
B) –6
C) 3.1015
14. 6.107 + 15.106 + 45.105 = k.10n eşitliğini sağlak
nin değeri nedir?
yan
n
10. 3a – 2b + 1 = –23
A) –8
B) 6.10 –3
15.
7 a = 25
3 ise a.b kaçtır?
5 b = 343
A) 9
B) 8
C) 6
11. (0,2)3 – x = 25x + 1 olduğuna göre x in değeri
nedir?
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
16. 88 sayısının
1
katı için aşağıdakilerden kaç
44
tanesi doğrudur?
I. 2 tane 16 sayısının çarpımıdır.
12.
(− 0, 5) 3 . (5 − 2)
işleminin sonucu nedir?
(0, 05) 2 . (− 5 4) − 1
A) –250
D) 1250
122
B) –100
II. 4 tane 8 sayısının çarpımıdır.
III. 8 tane 4 sayısının çarpımıdır.
IV. 10 tane 2 sayısının çarpımıdır.
C) 625
E) 2500
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
TEST -
1.
=c –
1 −1
m G
4
2
Üslü İfade ve Denklemler
5.
3
ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıda-
6 – a ifadesinin eşiti nedir?
kilerden hangisidir?
4
A) –2
C) –4
3
3
D) 4
27
8
B) –
9
8
C)
9
8
D)
27
8
6.
B) –
1
2
C) 1
D)
15
16
E) 8
^− x 2h^− xh− 3
− 4 ^ −2 h− 1
x
^− xh
E)
7.
B) –x2
1
6
E) 216
3
1
B)
125
25
C)
3
5
D)
9
25
E)
27
125
(0,2)3 – x = 25y ve x = 1 – 2y olduğuna göre
x kaçtır?
A) 1
31
32
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
2 2x + 3 y − 2 4 x + y − 3
:
işleminin sonucu aşağıdaki9 x − 2y + 1 3 x − 4y + 2
lerden hangisidir?
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi
A)
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –x
D) –
5n = 3 olduğuna göre, (0,2)3 – n ifadesinin değe-
A)
8.
4.
C) – 6
ri nedir?
hangisidir?
1
4
1
36
E) 4
−1
^ − 2h3 − ^ − 2 2h
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
1
c m^ − 2 4h
2
A) –
B)
6
3 n + 1 − 2.3 n
işleminin sonucu nedir?
5.3 n – 3 + 3 n − 2
A) –
3.
B) 2
A) 36
ESEN YAYINLARI
2.
4
a gerçel sayı olmak üzere, 3a + 2 = 4a + 2 ise
C) 1
D) x2
E) x
8.2 y
3x
D)
B)
16.2 y
3x
2y + 4
3 2x
C)
E)
2y
3x
8.2 2y
3 2x
123
Üslü İfade ve Denklemler
9.
3.2x + 4 + 4.2x + 1 – 5.2x = 408 olduğuna göre,
x+1
13. 2a = x ise
ifadesinin sayısal değeri nedir?
3
2a − 1 + 2a
2− 2
ifadesinin x türünden
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
B) 9
C) 27
D) 30
E) 81
A) 2x
10. 82
– 3x
= (0,252
+ x 3
)
eşitliğindeki x in değeri
14.
nedir?
B) 4
C) 5
D) 6
D) 5x
E) 6x
2
2
+
işleminin sonucu nedir?
1 + 71 − x 1 + 7x − 1
A) –2
E) 7
C) 4x
B) –1
C) 0
D) 2
E) 7
ESEN YAYINLARI
A) 3
B) 3x
11.
1
3
1
–
işleminin sonucu aşağıda+
2a − 1 2a − 2 2a − 3
kilerden hangisidir?
A) 32a – b
B) 2 – a
A) 6
15. (3a – b – 3b – a) : (3a – b) işleminin sonucu nedir?
D) 6.2a
B) 1 + 32a – 2b
D) 32b – a
C) 1
C) 1 – 32b – 2a
E) 3a – 3b
E) 3.21 – a
16. ax + ax + 1 + ax + 2 = a3 – 1 olduğuna göre
12. (0,25)
A) 1
124
x–1
= (256)
B) 2
x–1
olduğuna göre x kaçtır?
C) 3
D) 4
E) 5
a – ax ifadesinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
TEST -
1.
5
Üslü İfade ve Denklemler
5.
1 3
c − m ^ − 2 4h
2
işleminin sonucu kaçtır?
^ − 2h2
A) −
1
8
B) −
1
2
C) 1
D)
1
8
x–x – yx – y – y –y – xy işleminin sonucu kaçtır?
E)
A) –20
1
2
6.
2.
5x · 25x – 1 = 1 ise x kaçtır?
2
3
B)
1
3
C)
1
2
D) 2
3.
3
–2
B) –16
C) –12
D) –8
E) – 4
3x–2 = a ve 5x–1 = b ise 15x–1 in eşiti nedir?
A) ab
B)
ab
3
C) 3ab
D) 6ab
E) 9ab
E) 3
ESEN YAYINLARI
A)
x = 2 ve y = –2 için,
(x – 1) .(1 – x)
işleminin sonucu nedir?
A) x – 1
B) 1 – x
7.
9 2a = 16
4 ise a ile b arasındaki bağıntı
27 b = 64
aşağıdakilerden hangisidir?
D) x
C) (x – 1)2
A) a = 2b
E) –1
B) b = 2a
D) a = b
4.
2a = 20 , 3b = 40 ve 5c = 100 olduğuna göre,
a, b, c arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
A) a < b < c
B) a < c < b
D) c < a < b
8.
C) a = 3b
E) a = 4b
5 1,1
9 0, 4
+ − 0,2 işleminin sonucu kaçtır?
−
0,3
(125)
3
C) b < c < a
E) c < b < a
A) 3
B) 5
C) 8
D) 25
E) 28
129
Üslü İfade ve Denklemler
9.
− a 7 . (− a) 3 . (− a) 2
işleminin sonucu kaçtır?
(2a 6) 2
A)
1
2a
B)
1
2
C)
1
4
D) 4a
13.
2 x .7 y = 56
3 ise x + y kaçtır?
7 x .2 y = 49
A) 1
E) 2a
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
14. a = 3 –1 ise
10. a2 < a ve a3b – 5 < ab + 2 olduğuna göre b nin
alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
_
a = 5 15 b
b
11. b = 3 30 ` olduğuna göre, a, b, c arasındaki
b
c = 2 45
a
sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
B) a < c < b
D) c < b < a
C) b < c < a
E) c < a < b
1 5
1 3
c m :c − m
2
2
12.
işleminin sonucu kaçtır?
1
1 1
c 1− m.c − m
2
4 5
A) –5
130
B) –10
C) –15
D) –20
E) –40
B) 3
C) 6
D)
11
3
E)
17
3
15. a ve b pozitif gerçel sayılardır.
b
hangi aralıkta değer alır?
4a = 3b ise
a
A)
A) a < b < c
1 + a− 1
ifadesinin değeri kaçtır?
1+a
A) 1
ESEN YAYINLARI
A) 3
a− 1 +
b
<0
a
B) 0 <
C) 1 <
b
<2
a
E) 2 <
b
<3
a
D)
b
<1
a
b
>2
a
16. a ∈ Z ve a1 – a = 4a – 1 ise 22 – a ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
(2 − 1) 2 (− 2 − 2) − 1 (− 4 − 2) 3
(8 2) − 3 (− 4 −1) 2 (− 2 − 2) − 1
işleminin
sonucu
4.
1 y
(0,2)x = 49 ve (0,04)x = c m ise y kaçtır?
7
5.
2a + 1 + 2a + 2 + 2a + 3
9 b
=c m
a
+
1
a
+
2
4
4.3
+3
nedir?
2.
27a = 64 ise 27.3a – 1 + 2.3a + 2
toplamının
sonucu kaçtır?
eşitliğini sağlayan
ESEN YAYINLARI
a + 2b kaçtır?
3.
36.3a–2 + 5.3a = 81 eşitliğini sağlayan a kaçtır?
6.
3 2x − 3
4 5 − 3x
>c m
c m
4
3
eşitsizliğini sağlayan en
küçük x tam sayısı kaçtır?
131
Üslü İfade ve Denklemler
7.
2– 4
(x – 2)x
9.
= 1 eşitliğini sağlayan x değerlerini
16x = 625 ve 5y = 8 ise x.y kaçtır?
8.
2a = x , 3a = y , 5a = z ise 360a ifadesinin eşitini
bulunuz.
132
ESEN YAYINLARI
bulunuz.
a
b
10. 5a = 7b ise 2.5 b − 7 a kaçtır?
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1988 – ÖSS
1992 – ÖYS
x – a = 2 olduğuna göre (x2a – 1) – 1 in x türünden
mü nedir?
değeri nedir?
A) 1
2.
5.
2x + 1 + 6.(2x) + 4.(2x – 1) = 80 denkleminin çözü-
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) x
1989 – ÖSS
–1
=c – 1 m G
2
6.
3
3
E) 2
1
9
B) –
1
3
C) –1
D) 3
E) 9
ESEN YAYINLARI
D) –2
3
E) 5x
a
b
= 3 , c m n = 27 olduğuna göre n kaçtır?
b
a
A) –
1
C) 6
2
D) 4x
1
ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıda-
1
B) 3
2
C) 3x
1992 – ÖSS
kilerden hangisidir?
1
A) – 3
2
B) 2x
7.
3.
1990 – ÖSS
2 3
n ve a sıfırdan farklı birer gerçel sayı ve
3 2
5
3(a ) – 2(a ) – a
ifadesinin kısaltılmış biçimi
1
aşağıdakilerden hangisidir?
B) a6
A) 0
D) a6 – 2a5
4.
1992 – ÖYS
C) a6 – a5
E) 2a6 – 3a5
n
12 n .n = f 2a.n n p
olduğuna göre a kaçtır?
A) 4
C) 6
B) 5
D) 7
E) 8
1992 – ÖSS
0, 9.10 – 3 + 0, 03.10 – 2
işleminin sonucu kaçtır?
1, 2.10 – 4
A) 10 –2
D) 10
B) 10 –1
C) 1
E) 10
2
8.
1993 – ÖSS
3 2 + (–2) 3
işleminin sonucu kaçtır?
(–1) 4 + 2 2
A) –
1
5
B) –1
C)
17
5
D)
1
5
E) 1
133
Üslü İfade ve Denklemler
9.
1993 – ÖSS
2 93
2 92
–
2 94
A)
1
4
13. 1994 – ÖYS
işleminin sonucu kaçtır?
B)
1
8
C)
1
16
D)
1
32
4x – y
= 16 olduğuna göre
4y – x
x2 – y2 = 15 ,
E)
x + y toplamı kaçtır?
1
64
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
10. 1993 – ÖSS
5x = 4 olduğuna göre (125)x + 5x+2 değeri kaç14. 1994 – ÖSS
tır?
6x+1 = 3x+2 olduğuna göre 2x+1 in değeri kaçtır?
A) 164
B) 116
C) 104
D) 84
E) 24
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) 1
11. 1994 – ÖSS
4.10 –3 + 3.10 – 4
işleminin sonucu kaçtır?
10 – 4
A) 0,43
B) 4,3
D) 430
C) 43
E) 4300
15. 1995 – ÖSS
5
(0, 027) 3 .10
5
işleminin sonucu aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3 –3
B) 35
D) 34.10
C) 33.10
E) 34.102
12. 1994 – ÖSS
m
1
m , n birer tam sayı ve c m = 8 olduğuna göre
n
m + n toplamı kaçtır?
A) –1
134
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
16. 1995 – ÖSS
99 sayısının
A) 319
1
ü aşağıdakilerden hangisidir?
3
B) 317
C) 36
D) 35
E) 33
Üslü İfade ve Denklemler
17. 1995 – ÖSS
2
a–1
21. 1996 – ÖYS
= 4 olduğuna göre 4
A) 8
B) 16
C) 32
a–1
4
x = (23)4 , y = 2(3 ) , z = (212)3 olduğuna göre
in değeri kaçtır?
D) 64
aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
E) 128
A) z < x < y
B) z < y < x
D) x < y < z
C) y < x < z
E) x < z < y
18. 1996 – ÖSS
d
0, 018 a + 1
= (27) 1– a olduğuna göre a kaçtır?
n
0, 006
B) –3
1
D)
3
(2 –1 + 20) –2.32 işleminin sonucu kaçtır?
1
E)
4
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ESEN YAYINLARI
A) –4
1
C)
2
22. 1997 – ÖSS
19. 1996 – ÖSS
2x = a ve 3x = b ise 72x in a ve b türünden
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) a3b3
B) a3b2
D) a2b2
C) a2b3
E) ab
23. 1997 – ÖSS
3n + 1 + 3n 2n – 2n – 1
işleminin sonucu kaçtır?
+
2.3 n – 2
2n – 2
A) 20
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
20. 1996 – ÖYS
2 4 .10 3
işleminin sonucu
6 + 3.2 – 4 + 5.2 – 4 + 3.2 –1
24. 1998 – ÖYS
14 a + 14 a
kaçtır?
7a + 7a + 7a + 7a
A) 1600
D) 4000
B) 2000
C) 2500
E) 8000
A) 1
B) 2
= 32 olduğuna göre a kaçtır?
C) 4
D) 5
E) 6
135
Üslü İfade ve Denklemler
25. 1999 – ÖSS
29. 2001 – ÖSS
b
ve ab = 224 olduğuna göre
3
a.b çarpımı kaçtır?
x > 0 ve a = 2x olduğuna göre
a=
A) 12
B) 24
C) 36
D) 48
4x + 1 – 4
ifadesinin a türünden eşiti aşağıda2x + 1 – 2
kilerden hangisidir?
E) 60
A) 2(a + 1)
B) 2a + 3
D) 3a – 2
C) 3(a – 2)
E) 3(a + 2)
26. 1999 – ÖSS
3.2x + 2 + 4.2x = 8 olduğuna göre x kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
30. 2002 – ÖSS
E) –2
a = 9x + 5 , b = 3 – 3x olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi a ya eşittir?
B) b2 – 3b
A) 3 – b
27. 2001 – ÖSS
–3
=c – 1 m G
2
A) –
E) b2 – 6b + 14
ESEN YAYINLARI
D) b2 – 6b + 7
C) b2 + 4
2
işleminin sonucu kaçtır?
31. 2003 – ÖSS
1
1
B) –
C) 16
32
16
D) 32
E) 64
4 – 4x + 3x.4x + 1 =
48
12 1 – x
olduğuna göre x kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
28. 2001 – ÖSS
3m = a
32. 2004 – ÖSS
7m = b olduğuna göre (147)m nin a ve b
türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1 2
a .b
3
D) ab2
136
C) a2b2
B) ab
E) a2b
c–
2
1 –3
sayısı aşağıdakilerden hangisine eşitm
8
tir?
A) 4
B) 2
C)
3
16
D) –
1
1
E) –
12
4
Üslü İfade ve Denklemler
33. 2004 – ÖSS
37. 2006 – ÖSS
x ≠ 1 olmak üzere,
4 2m – 1 > c
22x + y – 2x + y + 1 – 2x + 2 = 0 olduğuna göre,
1 m+7
m
16
eşitsizliğini sağlayan en küçük m tam sayısı kaç-
x ile y arasındaki bağıntı aşağıdakilerden han-
tır?
gisidir?
A) 2x + y = 0
B) 2x – y = 0
D) x – y = 0
A) – 4
C) x + 2y = 0
B) –3
C) –2
D) 1
E) 2
E) x + y = 0
38. 2007 – ÖSS
1 den farklı a ve b pozitif gerçel sayıları için
ab = ab
34. 2005 – ÖSS
a
= a2b
b
2 12 + 2 13
olduğuna göre, b kaçtır?
2 14 – 2 15
işleminin sonucu kaçtır?
4
B) –
3
3
C) –
2
2
D)
3
A)
3
E)
4
ESEN YAYINLARI
3
A) –
4
35. 2005 – ÖSS
a, b, c gerçel sayıları için
2
3
B)
3
4
C)
4
5
D)
5
6
E)
6
7
39. 2009 – ÖSS
3m = 2 olduğuna göre
32m + 1 ifadesinin değeri kaçtır?
2a = 3
A) 5
3b = 4
B) 9
C) 12
D) 15
E) 18
4c = 8
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
40. 2009 – ÖSS
x, y, z ve t sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak
üzere,
3x = 5y
3z = 5t
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğru-
36. 2006 – ÖSS
dur?
3 20 – 3 10
^ 3 5 + 1h^ 3 5 – 1h
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
B) 9
C) 35
D) 310
E) 315
A) x + y = z + t
B) x – y = z – t
C) x – z = t + y
D) xy = zt
E) xt = yz
137
Üslü İfade ve Denklemler
41. 2010 – YGS
(16)
3n
45. 2011 – LYS
3
– (0, 25) –2 işleminin sonucu kaçtır?
0, 2
5
=8
olduğuna göre, n kaçtır?
A)
3
2
B)
4
3
3
5
C)
D)
5
4
E)
A)
5
6
–2
5
B)
3
10
C)
1
15
D) –1
E) –3
46. 2012 – YGS
42. 2010 – YGS
6 –2 – 4.6 –3
1513 + 6.1513 + 8.1513
3 –2 – 2.3 –3
işleminin sonucu kaçtır?
15
işleminin sonucu kaçtır?
14
A) 15
13
B) 15
A)
E) 1613
ESEN YAYINLARI
D) 10.1613
C) 14.15
43. 2011 – YGS
1
2
3
C)
1
4
D)
2
9
E)
4
9
x ve y birer gerçel sayı olmak üzere,
1
2x – 2 – y(2x + y – 2)
–1
2
işleminin sonucu kaçtır?
B) 6
B)
47. 2012 – YGS
4 2 + (– 8) 3 – 1
A) 2
1
3
C) –1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) 0
E) –2
A) 2x + 1
B) 2y – x
D) 2 – 2y
C) 2 – y + 1
E) 22y – 1
48. 2012 – LYS
44. 2011 – YGS
12a = 2
3
6b = 3
2
olduğuna göre, 12(1 – a)2b ifadesinin değeri kaç-
x
2x
=
1
5
1
olduğuna göre, 5 x ifadesinin değeri kaçtır?
tır?
A) 15
138
B) 16
C) 9
D) 8
E) 4
A)
3
2
B)
4
3
C)
9
4
D)
9
5
E)
5
6
Üslü İfade ve Denklemler
49. 2013 – YGS
2 –2
4
–1
+ 1–1
m
= 13 –1
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
50. 2013 – YGS
2.(0,2)3 + (0,4)3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0,06
B) 0,08
E) 0,14
ESEN YAYINLARI
D) 0,12
C) 0,1
51. 2013 – YGS
x ve y gerçel sayıları için,
2x = 6x + y – 1
olduğuna göre, 3x in y türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 31–y
B) 61–y
D) 9 –y
C) 6y
E) 91+y
139
ESEN YAYINLARI
Üslü İfade ve Denklemler
140
. ÜNİTE
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
KÖKLÜ İFADELER
1. Kazanım : Kareköklü ifadeleri açıklar, özelliklerini belirtir ve uygulamalar yapar.
2. Kazanım : Bir gerçek sayının rasyonel sayı kuvvetini örneklerle açıklar, köklü ifadelere ait işlemlerin özelliklerini üslü ifadelerin özelliklerinden yararlanarak gösterir ve uygulamalar yapar.
2. ÜNİT
PAYDANIN RASYONEL YAPILMASI
KÖKLÜ SAYILAR
n > 1 ve n ∈ N olmak üzere, xn = a denklemini
sağlayan x sayısına a nın n. kuvvetten kökü denir.
x− y
x−y
1
=
x+ y
®
( x − y)
®
x n = a ise x = *
n
!
a
n
, n tek
a , a $ 0 ve n çift
®
n
n
1
=
xm
a n xn – m k
2
® n = 2 ise
xn − m
x
a = a olarak gösterilir.
ÖZEL KÖKLER
®
®
n
n
an = *
a
m
a , n tek
®
a , n çift
x+2 y =
.
.
( a + b)2 = a + b
x–2 y =
.
.
( a–
a+b
a.b
m
=an
®
a+b
® ^n a h = n am
b)2 =
a− b
a.b
m
®
a m = n.k a m.k , (k ∈ Z+)
®
n
®
a. n b = n a n .b , (n çift ise a > 0 olmalıdır.)
®
x. n a " y. n a = (x " y) . n a
®
n
x . n y = n x.y
,
(n çift ise x, y ∈ R+
®
®
®
®
n m
x = n.m x
n
x
m
n
x
n
n
x : n x : n x: ... = n + 1 x
y
x
p
n
z = n.m.p x m.p .y p .z
x... = n − 1 x
x. (x + 1) + x. (x + 1) + x. (x + 1) + ... = x + 1
olmalıdır.)
®
n
n
® x < y < z ise
n
x. (x + 1) −
x. (x + 1) − x. (x + 1) − ... = x
®
x + x + x + ... =
4x + 1 + 1
2
®
x−
4x + 1 − 1
2
x≤n y≤n z
Kök dereceleri eşit değil ise, eşitlenerek
sıralama yapılır.
142
®
x n x
, (n çift ise x, y ∈ R+ olmalıdır.)
=
y
y
x − x − ... =
Köklü İfadeler
REHBER SORU 1
x in hangi değeri için
REHBER SORU 2
x−1 +3 x−4 +4 3−x
2 8 – 3 18 + 4 50
toplamı bir reel sayı belirtir?
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
x+3 +4 5−x
12 –
1.
75 + 27
ifadesinin eşitini bulunuz.
ifadesini bir reel sayı yapan x tam sayılarının
toplamı kaçtır?
2.
2.
4– x +3 x –5
ifadesi bir reel sayı belirtiyorsa x in değer aralı-
3.
A=x–3+
6 − 3x +
3x − 6 ve A ∈ R ise
x ve y reel sayılar olmak üzere,
A=
x − 2y − 3 (x − 2y) 3 + 4xy
4 2y − x + y 2
5
75
27
48 –
75 –
27
12
işleminin sonucu kaçtır?
4.
x + y + 4 − (y − 3) 4 = 3 ise x kaçtır?
5.
.5
98 – 50
–
32 – 8
3.
A kaçtır?
4.
12
işleminin sonucu kaçtır?
ESEN YAYINLARI
ğını bulunuz.
5
3
120 +
22 +
11 − 4 16
işleminin sonucu kaçtır?
5.
9
3
+ 3−
16
4
işleminin sonucu kaçtır?
1+
olduğuna göre, A reel sayısı kaçtır?
143
Köklü İfadeler
REHBER SORU 3
(− 5) 2
9+
3
4
−8 −
REHBER SORU 4
2 0, 04 –
işleminin sonucu kaçtır?
16
işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
1.
(–2) 2 – 3 –8 + 4 (–2) 4
1.
(1 –
2.
2 ) 2 + ( 2 – 2) 2
ESEN YAYINLARI
ifadesinin eşiti kaçtır?
3.
4
81 + 5 − 32
3.
0, 04 + 0, 09
0, 25 – 0, 16
işleminin sonucunu bulunuz.
3
2
^5 − 3 h
3
4.
işleminin sonucu kaçtır?
^– 2h2 – 3 ^– 3h3
4
16 +
5
–1
işleminin sonucu kaçtır?
144
0, 0064 − 3 0, 000125
işleminin sonucu kaçtır?
^ 3 − 5h + ^5 − 3 h
2
5.
0, 49 + 0, 01
(− 2) 2 − 3 (− 3) 3
işleminin sonucu kaçtır?
4.
1, 21 –
işleminin sonucunu bulunuz.
ifadesinin eşiti kaçtır?
2.
0, 16 + 1, 44
0, 032 + 0, 008
0, 128
işleminin sonucu kaçtır?
5.
(– 0, 5) 2 + 3 – 0, 027
0, 4
işleminin sonucu kaçtır?
Köklü İfadeler
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
2
3
+
3
2
ifadesinin eşitini bulunuz.
a < 0 < b olmak üzere,
a2 + 3 b3 +
3
(a − b) 2
(a − b) 3
işleminin sonucu nedir?
Çözüm
Çözüm
1.
a < 0 < b için
a2
a
+
3
b3
b
+
4
(ab) 4
ab
5
–
2
1.
işleminin sonucu kaç-
2
5
ifadesinin eşitini bulunuz.
2.
x < y < 0 ise
(x + y ) 2 + 3 ( x − y ) 3 + 2 . 4 y 4
işleminin sonucu nedir?
3.
ESEN YAYINLARI
tır?
2.
2
1
–6
2
1
+ 12
3
ifadesinin eşitini bulunuz.
a < b < c olmak üzere,
(a − b) 2 − 3 (a − c) 3 + 4 (c − b) 4
ifadesinin eşiti nedir?
3.
0, 4 + 0, 9 –
0, 1
ifadesinin eşitini bulunuz.
4.
x 2 − 2xy + y 2 = y – x
y 2 − 2yz + z 2 = z – y olduğuna göre,
x, y, z arasındaki sıralama nedir?
4.
10 . ( 0, 4 –
1, 6 )
işleminin sonucu kaçtır?
5.
a < 0 < b olmak üzere,
a2 b – a2 b3
a b
ifadesinin eşiti nedir?
5.
15, 9 –
7, 1
işleminin sonucu kaçtır?
145
Köklü İfadeler
REHBER SORU 7
REHBER SORU 8
3
4 3
25
5 .6 5
2 2
ifadesinin eşiti kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
4
2 . 3
işleminin sonucu kaçtır?
2 4 3
1.
3
2. 3 2. 2
2.
3
16! . 27!
işleminin sonucu kaçtır?
15! . 3 26!
3.
4.
a > 0 olmak üzere,
3
5.
2 2 +2 2
ifadesinin eşiti nedir?
6
8
− a 6 . (− a) 2 . (− a) −2 çarpımının sonucu nedir?
1
= 4 a9
2
olduğuna göre, a kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
3
3.
3
4.
x=
2. 3 2. 4
146
2. 3 ifadesinin sonucu nedir?
5.
3
2
3
ifadesinin sonucu nedir?
4 =3 4
2.
1
8
5. 4 5 . 3 5
4
5. 6 5
–
x
+1
2
ve y =
ise x kaçtır?
6
2 ise
3
y
kaçtır?
x
işleminin sonucu kaçtır?
Köklü İfadeler
REHBER SORU 9
x=
4
8 , y=
3
REHBER SORU 10
6 , z=
3
+
6− 3
3
sayıları arasındaki sıralama nedir?
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
a=
3 , b=
3
4 , c=
6
24
1.
sayıları arasındaki sıralama nedir?
3
3 < 4 a eşitsizliğini sağlayan en küçük a tam
ESEN YAYINLARI
2.
sayısı kaçtır?
3.
x, y, z
arasındaki sıralama
2 , b=
3
4 , c=
3
2 3
sayıları arasındaki sıralama nedir?
5.
x=2
–
1
3
, y= 3
–
1
2
, z=5
–
1
6
sayıları arasındaki sıralama nedir?
1
işleminin sonucu kaçtır?
3+ 2
3
işleminin sonucu kaçtır?
3− 6
3.
2
2
işleminin sonucu kaçtır?
+
3+2 2 3−2 2
4.
5− 5 5+ 5
işleminin sonucu kaçtır?
+
5+ 5 5− 5
nedir?
a=
1
+
3− 2
2.
x–1 = 3 2 , y–1 = 2 3 , z–1 = 3 3
olduğuna göre,
4.
2
5
−
5+ 3
5
5.
4
2 + 1–
3
–
2 2
işleminin sonucu kaçtır?
3 –1
147
Köklü İfadeler
REHBER SORU 11
REHBER SORU 12
2 +1. 4 2 – 1. 4 2 +1
işleminin sonucu nedir?
işleminin eşiti nedir?
Çözüm
Çözüm
3–
1.
4+2 3 +
5 . 3+ 5
8 − 60
1.
9 – 2 18 ifadesinin eşitini bulunuz.
2.
14 – 6 5 ifadesinin eşitini bulunuz.
3.
2. 2–
4.
1+
2.
^ 2 3 − 7 . 2 3 + 7 − 1h .^ 5 + 5 h
işleminin sonucu kaçtır?
3 − 1 .3
3.
3 + 1 .6
3 +1
ESEN YAYINLARI
işleminin sonucu nedir?
3 işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu kaçtır?
4.
a=
5 – 1 olduğuna göre,
8 − 28
ifadesinin eşiti kaçtır?
a.(a + 1)(a + 2) çarpımının değeri kaçtır?
5.
^1 + 2 + 3 h. ^1 – 2 + 3 h. ^1 – 3 h
işleminin sonucu kaçtır?
148
5.
4 + 10 + 2 5 . 4 − 10 + 2 5 . ( 5 + 1)
işleminin sonucu kaçtır?
Köklü İfadeler
REHBER SORU 13
2–
3 –
REHBER SORU 14
2+ 3
a.
ifadesinin eşitini bulunuz.
a + 2 − a kaça eşittir?
3 +1
2 +1
ise y =
ifadesinin x cin2 –1
3 –1
sinden değerini bulunuz.
b. x =
Çözüm
Çözüm
1.
a + 2 + a = 6 ise
9 + 17 −
1.
9 − 17 işleminin sonucu kaçtır?
x + 2 + x + 1 = A olduğuna göre,
x + 2 − x + 1 ifadesinin A cinsinden eşiti ne-
2.
3–
5 –
3 + 5 ifadesinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
dir?
2.
3a + 1 − 3a − 1 = 5 ise
3a + 1 + 3a − 1
ifadesinin eşiti nedir?
3.
3+ x +
3–
x =
12
olduğuna göre, x kaçtır?
3.
4.
5 + 21 +
5–
x=
5 +1
ise
2 −1
2 +1
sayısının x türünden
5 −1
eşiti nedir?
21
toplamının sonucu kaçtır?
4.
5.
A=
2 +1 +
2 –1
olduğuna göre, A2 kaçtır?
x =
5− 3
2 −1
ise
5+ 3
2 +1
in x türünden
değeri nedir?
149
Köklü İfadeler
REHBER SORU 5
a.
Çözüm
3 2 – 6 –2 3
3– 3 – 6
ifadesinin eşitini bulunuz.
b.
3
3– 3
1– 6 3
ifadesinin eşitini bulunuz.
1.
14 + 2 – 7 – 1
2 –1
4.
2.
5 3 –3 5
5 – 15
işleminin sonucunu bulunuz.
3.
30 – 3 5 + 15
10 – 15 + 5
işleminin sonucunu bulunuz.
150
işleminin sonucunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
işleminin sonucunu bulunuz.
5 2 – 30 + 10
5 – 15 + 5
5.
6
2 –3 2
6
2 –1
işleminin sonucunu bulunuz.
6.
6
12
3 –1
3 +1
işleminin sonucunu bulunuz.
Köklü İfadeler
REHBER SORU 16
Çözüm
Aşağıdaki sonsuz köklerin eşitini bulunuz.
a.
12 + 12 + …
b.
6–
6–
…
c.
4
8
d.
3
81: 3 81: 3 …
2.
3.
8
4
…
6 + 6 + 6 + ....
x + x + x + ... = 5 ise x kaçtır?
a + a + a + .... = 6 ve
b−
6 6 6....
5.
ifadesinin eşiti kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1.
4
6.
3
7.
A =
16: 3 16: 3 16: ....
2 5 5 2 5 ....
ise A nın en küçük
b − b − .... = 6 ise a + b kaçtır?
3
5 20 +
5
ifadesinin eşiti kaçtır?
hangi pozitif tam sayı kuvveti rasyonel sayıdır?
8.
4.
ifadesinin eşiti kaçtır?
20 + 20 + ... – 4 20 –
olduğuna göre, x kaçtır?
20 –
20 – ... = x 2
3
16. 3 16. 3 16. .....
16 : 3 16 : 3 16 : .....
işleminin sonucu kaçtır?
151
Köklü İfadeler
REHBER SORU 17
REHBER SORU 18
1999.2003 + 4
a.
işleminin sonucu kaçtır?
(2x − 1) 4 = 5
denkleminin çözüm kümesi
nedir?
b.
Çözüm
1.
4
a – 1 + 4 b – 2 = 0 ise a + b kaçtır?
Çözüm
96.98 − 94.100 işleminin sonucu kaçtır?
1.
x 2 − 6x + 9 = 5
denkleminin çözüm kümesi
2.
99.105 + 9 işleminin sonucu kaçtır?
3.
13.14.15.16 + 1 işleminin sonucu kaçtır?
4.
517.418 − 417.518 işleminin sonucu kaçtır?
5.
1
1
1
işleminin sonucu kaçtır?
+
–
16 25 10
152
ESEN YAYINLARI
nedir?
2.
a 2 − 4a + 4 + b + 3 = 0 ise a.b kaçtır?
3.
4x + 4 + 25x + 25 = 14 ise x kaçtır?
4.
5 x − 1 = 3 (0, 2) 2 − x denkleminin kökü kaçtır?
5.
2x – y + 1 + y – 3 = 0 olduğuna göre,
x kaçtır?
TEST 1.
1
Köklü İfadeler
6 45 + 4 20 − 2 180 işleminin sonucu aşa-
5.
ğıdakilerden hangisidir?
A) 10 5
B) 12 5
D) 16 5
2.
12
7
+ 35
3
C) 14 5
32
C)
3
2–
C) 1
E)
3 + 3 54 –
3
2
27
3
+ 2 6 432
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4
21
B)
3
2
C) 2
D) 1
E)
1
2
E) 3 21
ESEN YAYINLARI
D) 2 21
B)
D) 2 2
6.
B) 1
2
A)
E) 18 5
3
− 3 189
7
A) 0
1
1
32
: 2 işleminin sonucu aşa8
64
ğıdakilerden hangisidir?
4
7.
3. ^ 28 − 63 + 175 h: 7 işleminin sonucu nedir?
A) 2
4.
B) 3
1
–
2 +1
C) 4
1
1 −1
+c m
3
2 –1
D) 5
işleminin
den hangisidir?
A) 2
E) 7
sonucu
8.
B) 3
2 = 1,4 ve
C) 4
D) 5
3 = 1,7 alındığında
E) 8
32 + 27
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisi olur?
nedir?
A) 0
16 − 4
işleminin sonucu aşağıdakiler1, 44 − 0, 64
B) 1
C) 2
D) 3
E)
2
A) 15
B) 13,2
C) 11
D) 8,3
E) 10,7
153
Köklü İfadeler
9.
^ 6. 4 25 . 6 125 h: 2 5
13. a =
işleminin sonucu aşağı-
B) 2 5
D) 5
C)
2 =m,
2 0, 25 8 = 2 n
A)
B) m2np
E) b < c < a
eşitliğinde n nin değeri
C) m2n2p2
3
8
B)
2
13
C)
3
14
D)
7
12
E)
5
12
E) mn2p
ESEN YAYINLARI
D) mnp2
C) a < c < b
nedir?
5 = p olduğuna göre,
90 aşağıdakilerden hangisidir?
A) mnp
3 sayıları için doğru
B) a < b < c
D) c < a < b
E) 10
3 =n,
6
2 , c=
A) c < b < a
5
14.
10.
5 , b=
sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
dakilerden hangisidir?
A) 3 5
3
15.
11. a =
4
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5
2+ 3 , B =
154
B)
2
3+
1
3−
1
3−
2 − 3 olduğuna göre,
A – B nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
C)
3
25 D)
3
5
E)
8
5
E) 4a
16.
12. A =
5
B)
C) a4 – 1
B) 2a + 1
D) 16a
5 işleminin sonucu aşağıda-
kilerden hangisidir?
8 m olduğuna göre 23m + 4 ifadesinin eşiti
A) (2a) 4
5 5 5 5 .8
C) 2
D)
3
E) 3
1
3
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
3
B)
2
3
C)
4
3
D)
5
3
E) 2 3
TEST 1.
2
Köklü İfadeler
^ 8 − 12 h .^ 10 + 15 h işleminin sonucu
5.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –3 5
2.
3
+6
5
10
5
0, 5 . 3 4 . 4 2 olduğuna göre x
24
5
ifade-
sinin değeri nedir?
B) –2 5
D)
x=
C) – 5
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64
E) 2 5
6.
5
− 135 işleminin sonucu aşağı3
4+
9−4 2
ifadesi a +
b şeklinde yazıl-
dığında a + b kaç olur?
dakilerden hangisidir?
A) 7
A)
15
B) 2 15
C) 11
D) 12
E) 13
C) 3 15
E) 5 15
ESEN YAYINLARI
D) 4 15
B) 9
2 2 2 2.... ifadesi aşağıdakilerden hangi-
7.
3.
sine eşittir?
169 + 25 − 361
işleminin sonucu aşağıda144 + 4 − 289
A) 2
kilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 1
D)
1
3
E)
a = 2 ve b =
3
3
olduğuna göre
3600
sayısının a ve b türünden ifadesi nedir?
A) 5ab3 B) 5ab
C) 5ab2
D) ab3
C) 8
D)
2
E) 2 2
2
3
8.
4.
B) 4
E) b2a
5+2 6 −
5 − 2 6 işleminin sonucu aşağı-
dakilerden hangisidir?
A)
2
B) 2
D) 3
C)
E) 2 2
155
3
Köklü İfadeler
42 + 42 + 42 + ...
9.
ifadesi aşağıdakilerden
13.
hangisine eşittir?
128 − 1
1
olduğuna göre x kaç=
4
3
2
−
(
,
0
6) x
( 27 ) . 9
tır?
A) 1
7
B)
D) 7
10.
7
C) 2 7
x 7 x 7 x... = 2 ise x kaçtır?
B) 22
A) 2
C) 23
7
2
A)
E) 49
D) 24
C) 1
6 + 6 + 6 + ...
14.
E) 25
B) 7
6−
:
6 − 6 − ...
3
D)
3
9
9
3
1
2
E)
9 ...
8: 8: 8: ...
2
7
işleminin
sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
2
9
ESEN YAYINLARI
A)
11. Aşağıda verilen ifadelerden hangisi en büyüktür?
6 ,b=
15. a =
12
A)
120
D)
B)
3
6
16
2
C)
E)
4
3
15 , c =
7
dir?
3
B) c < a < b
D) b < c < a
23 24 2
4
2 2
4
2
B)
D)
156
12
C) b < a < c
E) c < b < a
işleminin sonucu nedir?
16.
A)
10 sayılarının küçük-
ten büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisi-
A) a < c < b
12.
4
2
3
2
C)
E)
24
2
6
2
3
A)
3 3 3 3 = 243 x ise x kaçtır?
1
27
B)
1
9
C)
5
9
D) 5
E)
1
18
TEST 1.
6+ 2.
A) 1
5
Köklü İfadeler
6 − 2 işleminin sonucu kaçtır?
B) 2
C)
2
D) 2 2
5.
2 6 +2 3 −2 2 −2
ifadesinin eşiti nedir?
6− 2
E) 4
A) 2 +
2
D)
2.
3
C) 2 3
2
E) 4
x + 1 + 9 = 2 ise x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
4
3 9
ifadesinin sonucu kaçtır?
− +
25 5 16
6.
E) 6
A) –1
B) 2
9 − 9x 2 −
25 − 25x 2
ifadesinin sadeleştiril-
C)
7
20
E)
1
4
1
3
ESEN YAYINLARI
D)
3.
6
B)
miş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) –2 – 2x
C) 2 1 + x 2
B) –2 + 2x
D) 2 1 − x 2
7.
^ 2 − 3 h . 2 + 3 .^ 6 + 2 h
ifadesinin değeri kaçtır?
E) − 2 1 − x 2
A)
3
B) 2 3
D) 1
4.
4x + 8 + 9x + 18 = 10
8.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
–1 < a < 0 ise,
C) 2
E)
1−
2
1 − a2 . 1 +
1 − a2
işleminin sonucu nedir?
D) 5
E) 6
A) –a
B) a
C) a2
D) 2–a
E) 2a
161
Köklü İfadeler
9.
3a − 1 = x
x2 − y
4
ise
ifadesinin eşiti aşağı9a + 1 = y
9x 3 − y
13. x = 2 , y = 3 3 , z = 4 r ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
dakilerden hangisidir?
A) 9
B) x
64
10. d 3. 6
−
27
2
A)
1
9
C)
D)
1
x
E)
A) x < y < z
1
9x
D) z < y < x
14.
2
2
n işleminin sonucu nedir?
3− 2
B) 2 2
C) 2
D) 4
B) x < z < y
3
6
C) z < x < y
E) y < x < z
3− 3
işleminin sonucu aşağıdakilerden
3 −1
hangisidir?
C) – 3 3
B) – 3
A) –3
E) 8
E) – 6 3
ESEN YAYINLARI
D) – 4 3
15.
6 +2.
11.
3
6 −2.
6
A)
12.
2
B)
3
2
6 −2
C)
3
D)
2
B)
D) 2 2
162
2
C) 2
E) 3
A)
E) 2
103.102 − 104.101 işleminin sonucu kaçtır?
A) 1
2 katı aşağıdakilerden
7 + 4 3 sayısının
hangisidir?
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
6
4
3 +1
D)
B)
3 –1
2 +1
C) 2 +
3
E) 2
16. x ve y reel sayılar olmak üzere,
2x − x 2 − 1 + 2x − y = 4 eşitliğini sağlayan
y değeri kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
3
0, 008
.
0, 027
0, 04
. 0, 25
0, 0001
ifadesinin
eşiti
4.
15
+ 2 2 – x = 16 eşitliğini sağlayan x değeri
2x − 2
5.
3+2 2
6−2 5
:
6+2 5
ifadesinin sonucu nedir?
3−2 2
nedir?
2.
3
81: 3 81: 3 81: .... −
12 −
12 − 12 − ....
işleminin sonucu nedir?
ESEN YAYINLARI
kaçtır?
3.
3 − 4 + 2 3 . 2 + 3 ifadesinin sonucu
nedir?
6.
a=
14
128 , b =
12
81 ve c =
3
3
3
2
olmak üzere a, b, c arasındaki sıralamayı bulunuz.
163
Köklü İfadeler
7.
1+ 5
işleminin sonucu nedir?
1 + 3 + 5 + 15
9.
a–
a =
9
9
ise a –
2
2 a
ifadesinin eşitini
8.
5 + 15 = x ise
bulunuz.
164
12 nin x cinsinden eşitini
ESEN YAYINLARI
bulunuz.
10.
a
+
3
b
= 4 ve a.b = 25 ise
3
a
–
2
b
ifadesinin eşitini bulunuz.
2
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1983 – ÖSS
0, 25 –
5.
121 + 1, 44
işleminin
(0, 04) 2 + 0, 0009 işleminin sonucu aşağıdaki-
sonucu
lerden hangisidir?
nedir?
A) –11,7
B) –10,3
D) –9,2
2.
A) 83.10 –2
C) –9,3
6.
C) 32.10 –3
E) 316.10–4
1985 – ÖSS
1
3–
9 3x – 1
= 27 eşitliğini sağlayan y nin değeri
3 9x – 3y
2
–
2
2
ifadesinin kısaltılmış biçimi
aşağıdakilerden hangisidir?
kaçtır?
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
A)
2
B)
3
C)
3 2
2
2 3
3
D)
E) 0
ESEN YAYINLARI
A) 2
B) 162.10 –3
D) 19.10–3
E) –9,1
1983 – ÖYS
3
1985 – ÖSS
3.
1984 – ÖYS
75 –
12 +
1
A)
90
2
7.
27
işleminin sonucu nedir?
4
D) 3v2
4, 9 + 0, 9
E)
A) 1
9
3
2
2–
3 + 2+ 3
toplamı aşağıdakilerden
E) 10c10
1987 – ÖYS
2
2– 2
1984 – ÖYS
C) c10
B) 10
D) 5c10
8.
4.
toplamının sonucu aşağıdakiler-
den hangisidir?
1
C)
279
2
B) 2v3
1987 – ÖSS
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit-
tir?
hangisine eşittir?
A) v2
B) v3
C) v5
D) v6
E) v7
A) 4
B) – v2
D) 2 + v2
C) 2 – v2
E) 4 – v2
165
Köklü İfadeler
9.
1989 – ÖYS
13. 1991 – ÖSS
4
a2
2a .
2 +3 8
a = 2 + 2, b =
3 . 12
işleminin sonucu kaçtır?
0, 16 + 0, 36
olduğuna göre,
a – b kaçtır?
A) v2
B) 2
A) 0,6
C) 2v2
D) 2 – v2
B) 0,9
D) 9
E) 4
C) 6
E) 2v3
14. 1991 – ÖYS
10. 1990 – ÖSS
(– 4) 2 –
B) –16
C) –8
D) 0
A) 5
E) 8
5
2
B)
C)
5
3
D)
5
4
E)
ESEN YAYINLARI
A) –24
x 0, 4 = 1 olduğuna göre, x kaçtır?
4 2 – (–2) 3 işleminin sonucu kaçtır?
11. 1990 – ÖSS
1
1
+
3–2 2 3+2 2
işleminin sonucu aşağıda-
B) 3
D) 3 + v2
x+ x + x –
x = 2 olduğuna göre,
x kaçtır?
kilerden hangisidir?
A) 6
15. 1991 – ÖYS
C) 2
E) 3 – v2
A)
1
3
B)
4
3
C) 1
D) 2
E) v2
16. 1992 – ÖSS
a 2 = |a| şeklinde tanımlandığına göre,
12. 1990 – ÖYS
4+2 3 –
4–2 3
ifadesinin değeri kaç-
– (–3) 2 + 9 –
(–9) 2
(–3) 2
tır?
işleminin sonucu
kaçtır?
A) 2 – v2
B) v2
D) 1
166
C) v3
E) 2
A) –9
B) –3
C) –1
D) 3
E) 9
5
6
Köklü İfadeler
17. 1992 – ÖYS
a
b
+
= ab
b
a
21. 1995 – ÖYS
olduğuna göre,
b
nin
6 – 2 5 ve
a
türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
a
a –1
B)
D)
a
1– a
a –1
a +1
C)
E)
A) 6
a
a+1
22. 1996 – ÖSS
0,09 un karekökü kaçtır?
a b
+
b a
A) 0,0081
toplamı kaçtır?
C) 4
D)
14
5
E)
29
7
23. 1996 – ÖSS
0, 16 + 0, 04
işleminin sonucu kaçtır?
0, 36 – 0, 04
B)
C) 0,81
E) 0,03
ESEN YAYINLARI
B) 3
B) 0,081
D) 0,3
19. 1994 – ÖYS
3
2
C) v5
E) 6 + v6
a+1
a –1
a = v6 + 1, b = v6 – 1 olduğuna göre,
A)
sayılarının aritmetik
B) 12
D) v6
18. 1994 – ÖSS
A) 2
6+2 5
ortalaması kaçtır?
3
4
0, 48 – 0, 27
işleminin sonucu kaçtır?
1, 47
A)
C) 1
D) 2
E) 3
1
7
B)
2
7
C) 1
D) v3
E) 2v3
24. 1996 – ÖSS
20. 1995 – ÖSS
9 + ( – 4) 2 –
A) 0
B) 1
(–5) 2 işleminin sonucu kaçtır?
C) 2
D) 10
E) 11
3
3
işleminin sonucu kaçtır?
+
3+2 2 3–2 2
A) 6
B) 9
C) 12
D) 16
E) 18
167
Köklü İfadeler
25. 1997 – ÖSS
29. 1998 – ÖYS
40 . 18
işleminin sonucu kaçtır?
80
A) 3
B) 2
x < 0 olduğuna göre,
işleminin sonucu
kaçtır?
C) 1
D) 4v5
x2
x
A) –x
E) 2v5
B) –1
C) 0
D) 1
E) x
30. 1999 – ÖSS
26. 1997 – ÖSS
4
( – 4) 2 – 3 (–3) 3 + 25 işleminin sonucu kaç-
0, 0256 . 3 (0, 008) –1
işleminin sonucu kaç-
tır?
tır?
B) 2
C) 1
D) –1
A) –10
E) – 4
ESEN YAYINLARI
A) 4
c
3
1
m
27
A) –3
C) 10
(b – a) 2 –
ifadesinin değeri kaçtır?
(2a – b) 2 ifadesi aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
1
B) –
3
1
C)
3
1
D)
9
E) 3
A) 2a + 3b
B) 2b – 3a
1
–
5 –1
168
1
işleminin sonucu kaçtır?
5 +1
B)
C) 2b – a
E) –a
32. 2000 – ÖSS
28. 1998 – ÖSS
1
5
E) 14
31. 1999 – ÖSS
D) –2a
A)
D) 12
a > 0 , b < 0 olduğuna göre,
27. 1998 – ÖSS
–1
B) –2
5
2
C)
1
5
D)
1
2
E) 2
3
2 5 x = 3 2 . 5 3 olduğuna göre, x aşağıda-
kilerden hangisidir?
A) 33
B) 34
C) 36
D) 27
E) 28
Köklü İfadeler
33. 2001 – ÖSS
1
2
1
2+
2
37. 2005 – ÖSS
1
2–
A)
1
3
24 3 – 6 (24
işleminin sonucu kaçtır?
A)
B) v2
C) 2v2
D) 0
3
3
1
–1
3) + 9 3
B) 2. 3 3
işleminin sonucu kaçtır?
C) 3. 3 3
D) 3
E) 9
E) 1
38. 2007 – ÖSS
34. 2003 – ÖSS
3
–
1
2
. 27 işleminin sonucu kaçtır?
a = v2 + 1 olduğuna göre,
a(a – 1)(a – 2) çarpımının sonucu kaçtır?
B) – v2
D) 3 + 2v2
C) 3 – 2v2
E) 1
C) v3
B) 9
3
E)
3
D) 3v3
ESEN YAYINLARI
A) v2
A) 3
39. 2007 – ÖSS
(v2 – v5)2 + 2c10 + 3 işleminin sonucu kaçtır?
35. 2003 – ÖSS
10 ^ 6, 4 + 0, 4 h işleminin sonucu kaçtır?
A) c10
B) 2v5
D) 10
A)
3, 8
B)
68
D) 8
C) 5v2
E) 13
C) 6
E) 10
40. 2008 – ÖSS
3v8 + 2v2 – (v8 + v2)
36. 2005 – ÖSS
işleminin sonucu kaçtır?
4, 44 + 9, 99
işleminin sonucu kaçtır?
111
A) 0,05 B) 0,1
C) 0,5
D) 1
E) 5
A) v2
B) 2v2
D) 4v2
C) 3v2
E) 5v2
169
Köklü İfadeler
41. 2009 – ÖSS
1
–
2 +1
45. 2011 – LYS
1
2 –1
v2 < x < v3 olduğuna göre, x aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
B) –1
A)
D) v2
C) 0
E) 2v2
1
2
B)
3
2
C)
4
3
D)
7
4
E)
6
5
42. 2010 – YGS
6
–
3
2
3 +1
46. 2012 – YGS
işleminin sonucu kaçtır?
A) v3
C) v3 – 1
B) 2v3
D) v3 + 1
a=
12 – 8
b=
27 + 18
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
E) 2v3 – 1
B) 3 3
A) 4 2
C) 4
43. 2010 – YGS
Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır?
A) v2 + 1
D)
B) 2v2 – 1
2
2 +1
E)
C)
1
2
2 2 –2
3 2 –3
ESEN YAYINLARI
D) 5
E) 6
47. 2012 – YGS
1
1
1
–
p=
x x2
2
x. f
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
3
2
B)
5
4
C)
9
4
D)
6
5
E)
7
5
44. 2011 – YGS
x=
3
4
y=
4
8
z=
5
16
48. 2012 – LYS
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
x=
4
5 olduğuna göre,
(x2 – 2)–1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) x < y < z
B) x < z < y
D) z < x < y
170
C) y < x < z
E) z < y < x
A) 1 +
4
5
D) 2 +
B) 2 +
5
4
5
C) 1 +
E) 1 + 2 5
5
Köklü İfadeler
49. 2012 – LYS
x bir gerçel sayı olmak üzere,
^ 7 + 3 hx = 4
olduğuna göre, ^ 7 –
3h
x
ifadesi aşağıdaki-
lerden hangisine eşittir?
A) 2 – x
B) 2 – x + 1
D) 4x – 1
C) 4x
E) 4x + 1
50. 2013 – YGS
A) 1
2
B) 3
2
C) 1
4
D) 1
9
E) 4
9
ESEN YAYINLARI
1+ a –
a
= 5
1– a
3
1– a
olduğuna göre, a kaçtır?
171
ESEN YAYINLARI
Köklü İfadeler
172
. ÜNİTE
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
ORAN ve ORANTI
1. Kazanım : Oran ve orantıyı açıklar.
2. Kazanım : Orantıya ait özellikleri gösterir ve günlük hayatla ilgili problemler çözer.
2. ÜNİT
ORAN
DOĞRU ORANTI
a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı
a ve b büyüklükleri herhangi bir şekilde birbir-
olmak üzere,
lerine bağlı olsun. Eğer a değiştirildiğinde a ve
a
ye a nın b ye oranı denir. Oranın birimi
b
yoktur.
Buradaki
a
oranı, iki tam sayının bölümü olmak
b
b deki değişim oranı aynı ise a ile b doğru
orantılıdır denir.
a, b ile doğru orantılı ise k ∈ R+ olmak üzere
a
= k veya a = b.k dır. ( k : orantı sabiti )
b
zorunda değildir.
Örneğin;
ORANTI
a
c
ve
b
d
a
c
=
b
d
2 , 5, 0,
3
7 8
5
birer orandır.
3
gibi iki oranın eşitliğine orantı denir.
TERS ORANTI
1
Eğer a,
ile doğru orantılı ise a ile b ters
b
orantılıdır denir.
k ∈ R+ olmak üzere; a ile b ters orantı ise
k
dır.
a.b = k veya a =
b
veya a : b = c : d şeklinde yazılabilir.
a
c
=
orantısında a ile d ye dışlar, b ile c
b
d
BİLEŞİK ORANTI
Bir orantının içinde hem doğru hem de ters orantı
ye içler denir.
varsa bu orantıya bileşik orantı denir.
a
c
=
= k orantısında k orantı sabitidir.
b
d
x ile y doğru orantılı, x ile z ters orantılı ise,
x.z
= k dır.
y
®
a
c
=
ise a.d = b.c
b
d
® n ≠ 0 ve
®
a
c
a.n
c
a: n
c
=
ise
= veya
=
b
d
b.n
d
b: n
d
®
a
c
m.a + n.c
=
= k ise
=k
b
d
m.b + n.d
a
c
a.c
=
= k ise
= k2
b
d
b.d
a
c
e
=
=
orantısı a : c : e = b : d : f bib
d
f
çiminde yazılabilir.
® a , b ve c sayıları ile dördüncü orantılı sayı
a
c
=
bağıntısındaki x sayısıdır.
b
x
174
gibi n tane reel sayının aritmetik ortalaması;
a + a 2 + .... + a n
dir.
A= 1
n
a
c
e
a+c+e
=
=
= k ise
=k
b
d
f
b+d+f
® m ≠ 0, n ≠ 0 ve
®
ARİTMETİK ORTALAMA
a1, a2, a3, ...., an
GEOMETRİK ORTALAMA
a1, a2, a3, ...... an
gibi n tane pozitif sayının geometrik ortalaması;
G = n a 1 .a 2 . .... a n dir.
®
x = a.b ifadesine a ile b nin geometrik ortası veya orta orantısı denir.
Oran ve Orantı
REHBER SORU 1
REHBER SORU 2
a b c
= = ve 2a – 2b + c = 84 olduğuna göre,
3 2 5
a + 2b
a 2
oranı kaçtır?
= olduğuna göre,
b − 2a
b 3
a kaçtır?
Çözüm
x2 + y2
x 3
olduğuna göre,
kaçtır?
=
x.y
y 4
2.
x+y 3
x
olduğuna göre,
oranı nedir?
=
x−y 5
y
3.
x−y 3
olduğuna göre,
=
x+y 2
b
4.
2a − b
= 2 olduğuna göre,
b
c
5.
x+y x−y
l.b
l ifadesi kaça eşittir?
x
x
x=
2.
a b c
ve a.b + b.c = 72 ise a2 + b2 + c2
= =
2 3 6
oranı nedir?
toplamı kaçtır?
3.
x y z
ve x.y.z = 320 ise x + y + z toplamı
= =
2 4 5
kaçtır?
4.
3x = 2y = 5z ve x + y + z = 62 olduğuna göre,
x – z kaçtır?
a2 + b2 a2 − b2
m.c
m ifadesi kaça eşittir?
ab
ab
2a − 3b 3
a
ise
oranı nedir?
=
a+b
2
b
x3 + y3 + z3
y z
ise
=
x.y.z
2 3
1.
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
5.
a b c
ve a + b = c + 6 ise a kaçtır?
= =
4 3 5
175
Oran ve Orantı
REHBER SORU 3
a−1 b+2 c
=
=
2
3
5
REHBER SORU 4
a+b
a 3
ve 3c = 2b olduğuna göre,
oranı
=
b−c
b 5
nedir?
ve a – b + c = 35
olduğuna göre, b kaçtır?
Çözüm
1.
Çözüm
a+1 b−1 c+2
ve a + b + c = 48 olduğu=
=
3
2
5
1.
x+y
x 4
ve 2z = 3y ise
oranı nedir?
=
y 5
z
na göre, a kaçtır?
x−2 y+1 z−1
ve x – y + z = 34 ise
=
=
3
2
4
x + y + z toplamı kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
2.
3.
3.
4.
5.
x+y x−y
x
ise
kaçtır?
=
8
4
y
5 2 3
olduğuna göre,
= =
a b c
a+c
oranı kaçtır?
a+b– c
a, b, c pozitif tam sayılar ve
a
c
f
= 2,
= 6,
= 4 olmak üzere,
b
d
e
a.c.e
ifadesinin eşiti kaçtır?
b.d.f
1 1 2
a + ab + b
ise
ifadesinin değeri
+ =
a b 3
ab
nedir?
4.
a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere, 4a = 5b
ve 3b = 2c ise a + b + c toplamının en küçük
değeri kaçtır?
5.
A, B, C maddelerinden oluşan 660 gramlık bir
A 3
B 5
ve
oranları olduğu=
=
B 2
C 4
a : b : c = 3 : 2 : 5 olduğuna göre,
karışımda,
a + b + c nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
na göre, A maddesi kaç gramdır?
176
Oran ve Orantı
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
x y z
= = = 6 , x – 2y + 3z = 12 ve a –2b = 3 ise
a b c
ax = by = cz = 3 ve a + b + c = 15 ise
1 1 1
kaçtır?
+ +
x y z
z kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
ax = by = cz = 6 ve a + b + c = 12 ise
1.
2 2 2
toplamı kaçtır?
+ +
x y z
2.
ax = by = cz = 4 ve
ise y kaçtır?
ESEN YAYINLARI
1 1 1
+ + = 24 olduğuna
x y z
2.
göre, a + b + c kaçtır?
3.
3.
4.
x y z 2
= = = , 2x – 3y + z = 6 ve 2a + c = 18
a b c 3
x y z
= = = 4 , 2x – y – z = 3 ve b + c = 2 ise
a b c
x kaçtır?
x 1 y 3
= ,
=
ve x + y + z = 57 olduğuna
y 2 z 5
a + b + c ≠ 0 olmak üzere,
a+b b+c a+c
=
=
=k
a
b
c
göre, x kaçtır?
olduğuna göre, k kaçtır?
ax = by = cz = 12 ve a + b – c = 8
olduğuna göre,
1 1 1
kaçtır?
+ –
x y z
4.
a=
b c
ve a2 + b2 + c2 = 56 olduğuna göre,
=
2 3
a nın pozitif değeri kaçtır?
177
Oran ve Orantı
REHBER SORU 7
REHBER SORU 8
x, y, z ve t sayıları sırasıyla 2 ve 3 ile doğru, 3
x z
2x − 3z
= = k ve
= k ise a nın t türünden
y t
2y + a
ve 4 ile ters orantılıdır.
değeri nedir?
x + y + z – t = 122 ise x kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
x z 9
x + 2z
ise
oranı nedir?
= =
y + 2t
y t 4
x = 3 iken y = 5 ise x = 4 iken y kaçtır?
2.
3.
x + a −x + a 4
=
= ve b – c = 6 ise x kaçtır?
b
c
3
a c e
a.c.e
a+c+e
ve
oranı
= =
= 27 ise
b d f
b.d.f
b+d+f
kaç derecedir?
3.
2x – 1 ile y + 1 ters orantılıdır.
3
x = 2 iken y = 5 ise x =
iken y kaçtır?
2
4.
144 sayısı 3 ve 4 ile doğru, 5 ile ters orantılı
nedir?
4.
5.
a c
= = k olmak üzere, a2 + c2 = 45
b d
a+c
oranı nedir?
ve b2 + d2 = 5 ise
b+d
k > 0 ve
a c e
12.a
b.c.e
= k 2 ve
= = =k ,
= k ise
b d f
b.d
9.a.f
c – d kaçtır?
178
Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri 3, 4, 5 sayıları
ile doğru orantılı ise en büyük dış açısının ölçüsü
ESEN YAYINLARI
2.
x + 2 ile y – 1 doğru orantılıdır.
olarak üç parçaya bölünüyor. En büyük parça
kaçtır?
5.
x, y, z sayıları sırasıyla 2 ve 3 ile doğru, 4
ile ters orantılıdır. 2x + 3y – z = 102 olduğuna
göre, x kaçtır?
Oran ve Orantı
REHBER SORU 9
REHBER SORU 10
a – 1 sayısı, b + 2 ile doğru, c + 1 ile ters oran-
2 işçi, 6 günde, 16 parça iş yapabildiğine göre,
tılıdır. a = 3, b = 1 iken c = 4 ise a = 2, b = 4
aynı nitelikte 6 işçi, 8 parça işi kaç günde yapar?
iken c kaçtır?
Çözüm
2.
Bir grup işçi bir işi 12 günde bitiriyor. İş miktarı
a = 6, b = 3 iken c = 2 ise a = 4, b = 3 iken
3 katına çıkarılıp, işçi sayısı yarıya indirilirse,
c kaçtır?
toplam iş kaç günde biter?
y sayısı 2x + 1 ile doğru, x – 1 ile ters orantılıdır. x = 2 için y = 12 ise y = 2 için x kaçtır?
3.
1.
a sayısı, b ile doğru, c ile ters orantılıdır.
x, y nin karesi ile doğru, z ile ters orantılıdır.
ESEN YAYINLARI
1.
Çözüm
2.
Bir havuzu eşit miktarda su akıtan 2 musluk 12
saatte dolduruyor ise bu musluklardan 3 tanesi
aynı havuzu kaç saatte doldurur?
3.
12 işçi bir işi günde 8 saat çalışarak 9 günde
x = 1 ve y = 2 iken z = 4 ise x.y.z arasındaki
bitiriyor. 6 işçi günde kaç saat çalışarak aynı işi
bağıntı nedir?
12 günde bitirir?
4.
Üç dişli çarkın dişlerinin sayısı 2, 3, 5 ile orantılıdır. Buna göre ortanca dişli 20 defa döndü-
4.
2x – 1, y + 1 ile doğru, y – 2 ile ters orantılıdır.
ğünde, küçük dişli büyük dişliden kaç defa fazla
x = 2 iken y = 3 ise y = 1 iken x kaçtır?
döner?
5.
5.
3x + 1 sayısı ile 2y – 1 sayısı ters orantılıdır.
x = 3 iken y = 2 ise y = 3 iken x kaçtır?
Bir fabrikada günlük çalışma süresi % 20 azaltılıyor. Bu fabrikada aynı üretim miktarının elde
edilebilmesi için işçi sayısı yüzde kaç artırılmalıdır?
179
Oran ve Orantı
REHBER SORU 11
REHBER SORU 12
8 sayının aritmetik ortalaması 30 dur. Toplamları
ması kaç olur?
a ve b sayılarının aritmetik ortalaması 12, geomet1 1
rik ortalaması 6 ise
kaçtır?
+
a b
Çözüm
Çözüm
1.
1.
30 olan 2 sayı çıkarılınca kalan sayıların ortala-
a ile b nin aritmetik ortalaması 12 dir. a, b, c
sayılarının aritmetik ortalaması 16 ise c kaç-
3.
2.
İki sınav ortalaması 40 olan bir öğrenci üçüncü
a ile b nin aritmetik ortalaması 6 ve geometrik
ortalaması 4 olduğuna göre, a2 + b2 toplamı
ESEN YAYINLARI
sınavdan kaç alırsa not ortalaması 50 olur?
6 + 2 5 sayılarının geometrik
ortalamaları kaçtır?
tır?
2.
6 − 2 5 ve
kaçtır?
6 tane sayının aritmetik ortalaması 15 tir. Bu
sayılardan 2 tanesinin toplamı 25 ise diğer 4
3.
3x = 2y ve 4z = 3y olmak üzere,
x ile z nin aritmetik ortalaması 17 ise
sayının toplamı kaçtır?
x ile y nin geometrik ortalaması kaçtır?
4.
Bir ayın ilk 10 gününde sıcaklık ortalaması 16°
ve geriye kalan 20 günün sıcaklık ortalaması
5.
4.
İki sayının geometrik ortalaması x, harmonik
25° olduğuna göre, bu ayın sıcaklık ortalaması
ortalaması y ise aritmetik ortalaması nedir?
kaç derecedir?
(a ve b nin harmonik ortalaması =
2ab
dir.)
a+b
a + 1 ile 2a + 3 sayılarının aritmetik ortalamaları
13
2
kaçtır?
180
olduğuna göre geometrik ortalamaları
5.
Aritmetik ortalaması 5 olan pozitif iki sayının
kareleri farkı 20 olduğuna göre, geometrik ortalaması kaçtır?
TEST -
1.
1
Oran ve Orantı
a 3
c 2
ve =
olduğuna göre,
=
b 5
b 3
5.
c
nın değeri nedir?
a
A)
2
3
B)
2
5
C)
A) 2
5
2
D)
9
10
E)
a
1
=
a+b 3
ise
a+b
nin eşiti aşağıdakilerden
b
x–
C)
2
3
D)
1
2
E)
1
4
E)
1
64
2x − y
1
1
= 3 ve y –
= 4 ise
ifadesinin
2y
2x
y−x
A) 1
3
2
D)
B) 2
C) 5
D) 8
E) 10
1
3
ESEN YAYINLARI
B)
C) 4
değeri kaçtır?
hangisidir?
A) 3
B) 3
10
9
6.
2.
a c e
a.c.f − 1
kaçtır?
= = = 4 ise c
m
b d f
b.d.e
3.
7.
a 5
b 4
ve
olduğuna göre
=
=
b 8
c 3
a değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a, b c sırasıyla hangi sayılarla orantılıdır?
A) 5, 8, 6
B) 8, 6, 5
D) 8, 6, 12
4.
3
4
B)
3
5
A) 60
C) 5, 8, 16
B) 150
C) 250
D) 300
E) 460
E) 3, 8, 6
a
4ab
= 6 ise 2
b
a + 6b 2
A)
a 2 b 3
= ,
=
ve a + b + c = 460 ise
b 5 c 5
C)
8.
3, 4, 5 ile doğru orantılı olan üç sayının toplamı
kesrinin değeri nedir?
2400 olduğuna göre büyük sayı kaçtır?
4
7
A) 1000
D)
5
7
E)
11
19
D) 1300
B) 1100
C) 1200
E) 1400
181
Oran ve Orantı
9.
13. a, b, c pozitif tam sayılardır.
7
5
a = $ b ve b = $ c olduğuna göre
3
2
a + b + c nin en küçük değeri kaçtır?
3 2 4
ve a + b + c = 36 olduğuna göre
= =
a b c
a nın değeri nedir?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A) 42
C) 7
D) 9
E) 56
dakilerden hangisi olamaz?
A) 40
E) 12
B) 48
C) 56
D) 60
E) 64
ESEN YAYINLARI
B) 4
D) 52
7 katıdır. Bu sınıftaki öğrencilerin sayısı aşağı-
263
olduğuna göre en küçük sayı kaçtır?
A) 3
C) 48
14. Bir sınıftaki kızların sayısı erkeklerin sayısının
10. a, b, c sayıları sırasıyla 4 ve 7 ile ters 9 ile
doğru orantılıdır. Bu üç sayının toplamı
B) 46
15. 720 sayısı 3 ve 4 ile doğru, 2 ile ters orantılı
olarak üç parçaya bölünürse en büyük sayı kaç
11. 3x = 2y ve 3y = 2z ve z > 0 olduğuna göre
olur?
aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) x > y > z
B) x > z > y
D) z > x > y
A) 246
C) y > z > x
kaçtır?
A) 9
A) 5
182
C) 15
D) 384
E) 406
a c
ka + 80
= k olduğuna göre c
= = k ve
b d
kb + 5d
a b c
ve 4a – 3b + 2c = 35 ise b kaçtır?
= =
2 3 4
B) 12
C) 364
E) z > y > x
16.
12.
B) 288
D) 18
E) 21
B) 8
C) 10
D) 15
E) 16
TEST 1.
Oran ve Orantı
5.
a ile b sayılarının aritmetik ortalaması geometrik
b a
ortalamasının 2 katı ise
+ kaçtır?
a b
A) 12
2.
3
B) 13
C) 14
D) 15
a, b, c sayıları sırasıyla 5, 3 ve 2 ile orantılıdır.
a2 + b2 − c2
= 30 ise a + b + c kaçtır?
a−b+c
E) 16
A) 100
10 kız ve 20 erkek öğrencinin bulunduğu bir
sınıfta kızların boy ortalaması 150 cm, erkeklerin
boy ortalaması 180 cm dir. Sınıfın boy ortalaması kaç cm dir?
6.
B) 90
C) 172
D) 174
E) 40
B) x 2 = y
E) 175
D) x = y
C) x = y2
E) x.y = 1
ESEN YAYINLARI
B) 170
D) 60
x ile y gerçel sayılarının aritmetik ortalaması
geometrik ortalamasına eşit ise x ile y arasındaki
bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) x < y
A) 165
C) 80
3.
a ile b nin geometrik ortalaması v2, b ile c nin
geometrik ortalaması 2, a ile c nin geometrik
ortalaması 2v2 ise a, b, c sayılarının geometrik
ortalaması kaçtır?
7.
12 işçi 8 km lik yola günde 5 saat çalışarak 7
günde asfalt döşüyor. Aynı nitelikteki 15 işçi 10
km lik yola günde 7 saat çalışarak kaç günde
asfalt döşer?
A) 5
A) 2
B) 4
C) 4v2
D) 8
8.
4.
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
E) 8v2
a+
ay
1
1
= 2x ve b + = 3y ise
kaçtır?
b
a
bx
Aritmetik ortalaması 10 olan 7 sayıya ardışık
üç sayı daha katılınca elde edilen 10 sayının
aritmetik ortalaması 8,5 oluyor. İlave edilen sayılardan en küçük olanı kaçtır?
A)
1
3
A) 2
B)
2
3
C) 1
D)
3
2
E) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
185
Oran ve Orantı
9.
13. 6 tane sayının aritmetik ortalaması 5 tir. Bu
A, B, C maddelerinden oluşan bir karışımda
A 3, B 5
=
= dır. B maddesi A maddesinden
B 4 C 6
sayılara 4 sayı daha katıldığında oluşan 10
15 gr fazla olduğuna göre karışımdaki C maddesi kaç gr dır?
sayının aritmetik ortalaması kaçtır?
sayının aritmetik ortalaması 7 oluyor. Katılan 4
A) 8
A) 68
B) 72
10. a.b = c.d = e.f =
C) 75
D) 78
B) 1
E) 12
D) 11
doğal sayı katılırsa oluşan 9 sayının aritmetik
ortalaması 10 oluyor. İlave edilen sayıların en
C)
3
2
küçüğü kaçtır?
D) 2
E) 4
A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
E) 11
ESEN YAYINLARI
1
2
C) 10
14. Aritmetik ortalaması 8 olan 6 sayıya ardışık 3
1
a.c.e
1
ve
ise
=
2
a.c + a.e + c.e 4
b + d + f kaçtır?
A)
B) 9
E) 80
11.
a ile
b nin aritmetik ortalaması, a ile –b nin
aritmetik ortalamasının yarısına eşittir.
tanesini çıkarırsak kalan sayıların aritmetik orta-
a ile – b nin aritmetik ortala-
Buna göre,
15. Aritmetik ortalaması 8 olan 20 sayıdan bir
laması 12 oluyor. Çıkarılan sayı kaçtır?
ması kaçtır?
A) –68 B) –66
A) 1
2
B)
C) 2
D) 2 2
D) –63
E) –60
E) 4
16. x
12.
C) –65
a c e
= = = 2 , 2a – e + 3c = 6 ve 2b = d ise
b d f
ile
y
sayılarının aritmetik ortalaması
sayılarının geometik ortalaması kaçtır?
4d – f kaçtır?
A)
186
1
3
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 3
4,
geometrik ortalaması 2 ise, x + 2 ile y + 2
A)
6
B) 2 2
D) 2 5
C) 2 3
E) 2 6
Yazılıya Hazırlık Soruları
1.
a+b 3
3a + 6b
ise
kaçtır?
=
b
2
5a − b
4.
a b
c
= =
8 4 12
ve 4a – 2b + 3c = 30 ise
b kaçtır?
b 4 1
4ac + 5ab
ise
kaçtır?
+ =
c 5 a
10c
3.
a+c.b+a.c+b
a 1, b 1
ise
=
=
c
b
c
b 3 c 4
5.
6.x = 5.y = 9.z ve
2x – y – 3z = –72 ise z kaçtır?
ESEN YAYINLARI
2.
6.
x+y
y−x
z
= z,
= 6 ise
kaçtır?
2
z
x
ifadesinin eşiti kaçtır?
187
Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler
9.
İki sayının farkları, toplamları ve çarpımları sıra-
8.
a ve b sayıları sırasıyla 3 ve 4 sayıları ile ters
sıyla 1, 9 ve 40 ile orantılı ise bu sayıların küçük
orantılıdır. a – b = 8 ise a ile b nin aritmetik
olanı kaçtır?
ortalaması kaçtır?
ESEN YAYINLARI
7.
dir. Bu sayılara 4 farklı doğal sayı daha ekle-
a c e 2
= = = , 2b + f = 4
b d f 3
nirse aritmetik ortalama
2a – 2c + e = 16 ise d kaçtır?
10 tane doğal sayının aritmetik ortalaması 18
25
oluyor. Eklenen
sayıların en büyüğü en çok kaçtır?
188
10.
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
1986 – ÖSS
4.
1988 – ÖSS
Üç arkadaşın paralarının birbirine oranı bi-
Yandaki tablo bir iş
Yafl
Kifli say›s›
linmektedir. Buna ek olarak aşağıdakilerden
yerinde
çalışanların
20
4
hangisi verildiğinde, her birinin kaç lirası olduğu
sayısı ile yaşlarını gös-
21
9
hesaplanamaz?
termektedir.
22
16
A) Herhangi ikisinin paraları farkı
Bu iş yerinden seçilen 16 kişinin yaş ortalaması
B) Herhangi ikisinin paraları toplamı
21 olduğuna göre, geriye kalanlardan kaçı 22
C) Paraların karelerinin birbirine oranı
yaşındadır?
D) İkisinin paraları toplamından üçüncünün farkı
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
2.
1988 – ÖSS
1 1
330 ceviz üç kişi arasında 1, ,
sayıları ile
2 3
orantılı olacak şekilde paylaştırılıyor. Payı en az
ESEN YAYINLARI
E) Üçünün paraları toplamı
5.
y 2
x 3
ve
=
=
y 4
z 3
olduğuna göre, x, y, z sırasıyla hangi sayılarla
olan kaç ceviz almıştır?
A) 40
B ) 45
D) 55
1989 – ÖSS
orantılıdır?
C) 50
A) 5, 6, 10
E ) 60
B) 4, 5, 6
D) 3, 4, 10
3.
C) 4, 6, 10
E) 3, 4, 6
1988 – ÖSS
a ile b sayılarının aritmetik ortalaması 15, a ile
c sayılarının aritmetik ortalaması 17, b ile c sayılarının aritmetik ortalaması 23 olduğuna göre,
c kaçtır?
A) 28
6.
1989 – ÖYS
2x = 3y = 4z ve
1 1 1
+ + =1
x y z
olduğuna göre, y kaçtır?
B ) 27
C ) 26
D ) 25
E) 24
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
189
Oran ve Orantı
7.
1989 – ÖYS
11. 1992 – ÖSS
a ile b nin aritmetik ortalaması 15 tir.
Bir öğrencinin matematik dersindeki üç sınav-
a ile geometrik ortalaması 6c30, b ile geometrik
dan aldığı puanların ortalaması 7 dir. Bu öğrenci
ortalaması 6c10 olan sayı nedir?
üçüncü sınavdan 8 puan aldığına göre, ilk iki
A) 27
B ) 30
C ) 33
D ) 36
sınavdan aldığı puanların ortalaması kaçtır?
E) 48
A) 5
8.
B) 5,5
C) 6
D) 6,5
E) 7
1990 – ÖYS
12. 1992 – ÖSS
a c e
= = =2
b d f
İki çocuğun ağırlıkları oranı
5
, farkı ise 12 kg
7
a.c.f
ifadesinin eşiti kaçtır?
olduğuna göre,
b.d.e
olduğuna göre, bu çocukların ağırlıkları toplamı
A) 2
kaç kg dır?
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
B) 48
C) 60
D) 64
E) 72
ESEN YAYINLARI
A) 36
9.
13. 1992 – ÖYS
1991 – ÖSS
K + L + M = 34 ve
K 1
=
ve
L 4
L 1
=
M 3
olduğuna göre, L kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
a.c. f
= 1,
b d k
olduğuna göre,
A)
1
2
B)
1
3
d
=2 ,
f
k
=3
a
b
ifadesinin eşiti kaçtır?
c
C)
1
6
D) 3
E) 6
14. 1993 – ÖSS
10. 1991 – ÖYS
a, b, c pozitif tam sayılar ve
a b c
= =
ve 3a – b + c = 8
4 2 6
olduğuna göre, a + b + c toplamının en küçük
olduğuna göre, c kaçtır?
A) 1
190
B) 2
C) 3
a
b 2
= 5,
=
c 3
b
değeri kaçtır?
D) 4
E) 5
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
E) 45
Oran ve Orantı
15. 1993 – ÖSS
19. 1994 – ÖSS
a sayısı b ile doğru, c ile ters orantılıdır.
x > 0, y > 0, z > 0 ve
x y z
= = , x 2 + y2 + z2 = 200
3 4 5
b = 5 , c = 16 ise a = 9 dur.
Buna göre, b = 25, c = 144 ise a kaçtır?
A) 20
B ) 15
C ) 12
D) 8
olduğuna göre, x + y + z toplamı kaçtır?
E) 5
A) 18
16. 1993 – ÖSS
D ) 18
E) 30
Bunlardan bir kısmının ortalaması 7, ötekilerin
% 20 azaltılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
C ) 17
D) 27
Toplamları 166 olan 28 sayma sayısı vardır.
tadır. Musluktan birim zamanda akan su miktarı
B ) 16
C) 24
20. 1994 – ÖYS
Bir musluk boş bir havuzu 12 saatte doldurmak-
A) 15
B) 21
ortalaması ise 5 tir.
E) 20
Buna göre, ortalaması 7 olan sayılar kaç tanedir?
17. 1993 – ÖYS
3 2
= , 2a + b = 24
a b
C) 15
D) 14
E) 13
21. 1995 – ÖSS
15 tane sayının ortalaması 25 tir. Bu sayılara
olduğuna göre, b kaçtır?
A) 14
B) 16
ESEN YAYINLARI
A) 17
B ) 12
C ) 10
D) 8
E) 6
toplamı 300 olan 10 sayı daha ekleniyor. Buna
göre, yeni ortalama kaçtır?
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 27
18. 1994 – ÖSS
Toplamları 24 olan x , y ve z sayıları sırasıyla
1, 3 ve 4 sayılarıyla orantılıdır. Buna göre,
x2 + z2
y2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
11
7
B)
17
9
C) 2
D) 3
E) 4
22. 1995 – ÖYS
a d 1
b+c
ifadesinin eşiti
= = olduğuna göre,
c
2
b
a+d
kaçtır?
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
191
Oran ve Orantı
23. 1995 – ÖYS
27. 1997 – ÖYS
Bir kitaplıktaki İngilizce kitap sayısının Türkçe
kitap sayısına oranı
5
dir. İngilizce kitap sayısı
11
Puan
1
2
3
4
5
Ö¤renci say›s›
1
5
10
13
3
400 den fazla olduğuna göre, bu kitaplıkta en az
Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerin ma-
kaç kitap vardır?
tematik sınavında aldığı puanların dağılımını
A) 1094
B ) 1195
D) 1296
göstermektedir. Buna göre, sınıfın bu sınavdaki
C) 1204
puanlarının ortalaması kaçtır?
E ) 1397
A) 3
B) 4
C)
29
6
D)
29
7
E)
27
8
24. 1996 – ÖYS
485 m2 lik bir arazi 9 ile doğru orantılı, 2 ve 5 ile
28. 1998 – ÖSS
ters orantılı olarak 3 parçaya ayrılmıştır. Buna
göre, en büyük parça kaç m2 dir?
B ) 400
D) 300
C ) 350
E ) 200
ESEN YAYINLARI
A ) 450
Bir miktar parayı K, L, M kişileri sırasıyla 2 ve 4
sayıları ile doğru, 6 ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
A) L, K nın iki katı para alır.
B) M, K nın üç katı para alır.
C) K, L nin iki katı para alır.
D) En çok parayı M alır.
25. 1997 – ÖSS
E) En az parayı K alır.
a c
= = 5 ve 2a + 4c = 100
b d
olduğuna göre, b + 2d işleminin sonucu kaçtır?
A) 30
B ) 20
C ) 15
D ) 10
E) 5
29. 1999 – ÖSS
Etiket numaraları 1, 2, 3, 4 olan dört kutuya etiket
numaralarının kareleriyle orantılı miktarda para
26. 1997 – ÖSS
7 sayının aritmetik ortalaması 19 dur. Bun-
konuyor. Kutulardaki toplam para 30.000.000
lardan, aritmetik ortalaması 15 olan 3 sayı çıkarı-
TL olduğuna göre 2 numaralı kutuya kaç TL
lıyor. Geriye kalan 4 sayının toplamı kaçtır?
konmuştur?
A) 66
A) 1.000.000
B) 68
C ) 76
D ) 78
E ) 88
B) 2.000.000
D) 4.000.000
192
C) 3.000.000
E) 9.000.000
Oran ve Orantı
30. 2000 – ÖSS
34. 2003 – ÖSS
k tane işçinin günde 12 saat çalışmasıyla 20
Bir sınıfta matematik sınavında aldığı puan 2, 3
günde bitirilebilen bir iş, işçi sayısı artırılarak ve
ve 4 olan öğrencilerden 8 kişilik bir grup oluştu-
günde 10 saat çalışarak 10 günde bitiriliyor. Bu-
rulmuştur. Grupta bu üç puandan her birini alan
na göre, k aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 11
B ) 10
C) 9
D) 8
en az bir öğrenci bulunmaktadır ve grubun puan
E) 7
25
dir. Bu grupta puanı 3 olan en
8
çok kaç öğrenci bulunabilir?
ortalaması
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
31. 2002 – ÖSS
a tanesi b TL den satılan kalemlerden c tane
35. 2005 – ÖSS
satın alınarak d TL ödeniyor. Buna göre, aşağı-
Birbirinden farklı üç pozitif tam sayının aritmetik
dakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) ab = cd
B ) ac = bd
2
2
2
E) a d = bc
Buna göre en küçük sayı kaçtır?
32. 2003 – ÖSS
Tek tür mal üreten bir atölyede makinelerden biri
a saatte b birim mal üretiyor. Aynı süre içinde
bu makinenin c katı mal üreten başka bir makia
b
B)
a
c
C)
b
c
D)
a.b
c
A) 24
B) 30
C) 35
D) 36
E) 40
36. 2008 – ÖSS
Terimleri birbirinden farklı birer doğal sayı ve
artan olan bir dizinin ilk yedi terimi 5, 6, 10, a,
ne, b birim malı kaç saatte üretir?
A)
ikisinin ortalamasından 15 eksiktir.
2
ESEN YAYINLARI
D) a b = cd
ortalaması 45 tir. Bu sayıların en küçüğü, diğer
C ) ad = bc
E)
b.c
a
12, b, c dir. Bu sayıların aritmetik ortalaması 11
olduğuna göre, a + b toplamının en büyük değeri
kaçtır?
A) 25
B) 27
C) 28
D) 32
E) 34
33. 2003 – ÖSS
Bir gruptaki kız sporcuların yaş ortalaması 15,
37. 2009 – ÖSS
erkek sporcuların yaş ortalaması 24 tür. Kızların
Bir grup işçi, bir işi 3 günde bitiriyor.
sayısı erkeklerin sayısının 2 katı olduğuna göre,
İşçi sayısı % 50 azaltılır, günlük çalışma süresi
bu grubun yaş ortalaması kaçtır?
% 20 artırılırsa aynı iş kaç günde biter?
A) 16
B ) 17
C ) 18
D ) 20
E) 22
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
193
Oran ve Orantı
38. 2012 – YGS
39. 2012 – YGS
Bir lokantaya giden Ahmet’in 40 TL si, Burak’ın
Bir yabancı dil kursunda A, B ve C sınıflarındaki
30 TL si ve Cenk’in 20 TL si vardır. Bu üç arka-
öğrencilerin yaş ortalaması sırasıyla 20, 26 ve
daş, gelen 63 TL lik hesabı paralarıyla doğru
29 dur. A ile B sınıflarındaki öğrencilerin birlikte
orantılı paylaşırsa Ahmet kaç TL öder?
yaş ortalaması 23, B ile C sınıflarındaki öğren-
A) 21
B ) 24
C ) 25
D ) 27
cilerin birlikte yaş ortalaması ise 28 dir. Buna
E) 28
göre, bu üç sınıftaki öğrencilerin tümünün yaş
ortalaması kaçtır?
ESEN YAYINLARI
A ) 25,5
194
B) 26
C) 26,5
D) 27
E) 27,5
. ÜNİTE
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
PROBLEMLER
1. Kazanım: Günlük hayat durumları ile ilgili aşağıda alt başlıklarla ifade edilmiş problemleri çözer ve
kurar.
® Sayı Problemleri
® Kesir Problemleri
® İşçi – Havuz Problemleri
® Yüzde, Faiz, Kâr – Zarar Problemleri
® Karışım Problemleri
® Hareket Problemleri
® Yaş Problemleri
2. ÜNİT
KARIŞIM PROBLEMLERİ
YAŞ PROBLEMLERİ
® Bir kişinin yaşı x ise;
Saf madde
Karışım oranı = ––––––––––––––
Toplam karışım
k yıl sonraki yaşı: x + k
k yıl önceki yaşı : x – k
® a tane kişinin yaşları toplamı A ise;
a lt
%x
k yıl sonraki yaşları toplamı: A + a.k
k yıl önceki yaşları toplamı : A – a.k
a.
® İki kişinin yaşları farkı x ise;
b lt
%y
+
=
(a + b) lt
%z
y
x
+ b.
100
100 = z
a+b
100
k yıl sonraki yaşları farkı : x
k yıl önceki yaşları farkı : x
İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ
® İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda
HAREKET PROBLEMLERİ
® Yol = Hız.Zaman
yapılan iş üzerinden işlem yapılır.
® Bir işçi işin tamamını x günde yapıyorsa bir
1
ini yapar.
günde işin
x
Yol = x , Hız = V , Zaman = t ise x = V.t
®
V1
A
® Bir işçi bir işi a günde, ikinci işçi b günde,
ikisi birlikte x günde yapıyorlar ise;
1 1 1
dir.
+ =
a b x
® Havuz problemlerinde dolduran muslukların
birim zamanda yaptıkları işin toplamından
®
V1
A
V2
B
Bağıl hız: VB = |V1 – V2|
V2
B
Bağıl hız: VB = V1 + V2
Toplam yol
® Ortalama Hız = ––––––––––––––
Toplam zaman
boşaltan muslukların birim zamanda yaptığı
® Akıntı problemlerinde;
iş çıkarılır.
Hareketlinin hızı VH , Akıntının hızı VA olsun.
YÜZDE, FAİZ, KÂR –ZARAR PROBLEMLERİ
® Bir A sayısının % x i
x
dir.
A.
100
Akıntı yönünde , hız = VH + VA
® Kâr = Satış fiyatı – Alış fiyatı
® Zarar = Alış fiyatı – Satış fiyatı
® A: Ana para , n: Faiz oranı , t: Zaman (yıl)
FAİZ = A.
n
.t
100
® Bileşik Faiz = A. b 1 +
196
Akıntıya zıt yönde , hız = VH – VA
n t
l –A
100
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 1
Ali’nin parası Barış’ın parasının
REHBER SORU 2
katıdır. Ali,
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişerli oturursa, 6
Barış’a 12 ¨ verirse paraları eşit oluyor. Buna göre,
öğrenci ayakta kalıyor. Üçerli oturursa, 6 sıra boş
Ali’nin başlangıçta kaç ¨ si vardır?
kalıyor. Buna göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözüm
Çözüm
1.
3
1.
Toplamları 56 olan iki sayıdan biri diğerinin 3
katı ise büyük sayı kaçtır?
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişer ikişer oturursa, 12 öğrenci ayakta kalıyor. Üçer üçer otururlarsa bir sıra boş kalıyor. Buna göre, sınıf
2.
Suat ile Seçkin’in paraları toplamı 400 ¨ dir.
Seçkin, Suat’tan 100 ¨ alırsa parası Suat’ın
ESEN YAYINLARI
mevcudu kaçtır?
2.
runca 12 kişi ayakta kalıyor. Eğer sıralara 3
parasından 60 ¨ fazla olacaktır. Buna göre,
er kişi otururlarsa 4 sıra boş kalıyor. Buna göre,
Seçkin’in parası kaç ¨ dir?
sınıftaki öğrenci sayısı kaçtır?
3.
3.
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2 şer kişi otu-
Bir top kumaş 15 eşit parçaya bölünüyor. Eğer
Bir toplulukta 40 erkek, 8 bayan vardır. Bu salo-
her parçanın boyu 10 cm daha uzun olsaydı 12
na kaç evli çift gelirse erkeklerin sayısı bayanla-
eşit parçaya bölünebilecekti. Buna göre, kuma-
rın sayısının üç katı olur?
şın tamamı kaç m dir?
4.
40 soruluk bir sınavda her doğru cevap için
5 puan verilmekte, her yanlış cevap için 2
4.
Ecem parasının tamamıyla 5 defter ve 6 kitap
puan silinmektedir. Bütün soruları cevaplayan
ya da 9 defter ve 5 kitap alabildiğine göre, aynı
bir öğrenci 88 puan aldığına göre, kaç soruya
parayla kaç tane defter alabilir?
yanlış cevap vermiştir?
197
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 3
REHBER SORU 4
Aybars’ın kumbarasındaki 5 ve 10 kuruştan oluşan
Bir bilet kuyruğunda Asiye baştan 14. Mehmet ise
27 tane madeni paranın tutarı 2 liradır. Buna göre,
sondan 16. dır. İkisinin arasında 3 kişi bulunmak-
Aybars’ın kumbarasındaki 5 kuruşluk madeni para-
tadır. Mehmet gişeye daha yakın olduğuna göre,
ların sayısı kaçtır?
kuyrukta kaç kişi vardır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
Bir kumbarada bulunan 50 adet madeni para 25
ve 50 kuruşluklardan oluşmuştur. Bu paraların
Ebru bir bilet kuyruğunda baştan 16. ve sondan
21. sırada ise bu kuyrukta kaç kişi vardır?
tutarı 20 ¨ olduğuna göre, kaç tanesi 25 kuruş-
2.
Bir işçi çalıştığı her gün 20 ¨ biriktirmekte, çalışmadığı her gün biriktirdiği pardadan 5 ¨ si eksilmektedir. 30 gün sonrasında 350 ¨ biriktirdiğine
ESEN YAYINLARI
luktur?
2.
yor. Eğer her çocuğa 2 bilye eksik verilseydi, bu
bilyeler 16 çocuğa eşit olarak paylaştırılabilecek-
göre kaç gün çalışmamıştır?
3.
ti. Buna göre, toplam bilye sayısı kaçtır?
Ali bir merdivenin basamaklarını üçer üçer inip,
ikişer ikişer çıkıyor. Çıkarken attığı adım sayısı,
inerken attığı adım sayısından 6 fazladır. Buna
3.
Bir telin ucundan 6 cm kesildiğinde orta noktası
kaç cm kayar?
göre, merdivendeki basamak sayısı kaçtır?
4.
Bir miktar bilye 12 çocuğa eşit olarak paylaştırılı-
Tavuk ve tavşanların bulunduğu bir kümeste
toplam 22 adet hayvan vardır. Bu hayvanların
4.
Bir toplulukta bulunan herkes birbirine vesikalık
ayaklarının sayısı 64 olduğuna göre, bu kümes-
fotoğrafını vermiştir. 156 fotoğraf el değiştirdiği-
te kaç tane tavşan vardır?
ne göre bu toplulukta kaç kişi vardır?
198
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 5
REHBER SORU 6
1
2
ü, sonra kalanın
i satı3
5
lıyor. Geriye 60 metre kumaş kaldığına göre, bir top
1
olan bir kesrin, payından 1 çıkarılır, pay3
2
a eşit oluyor.
dasına 3 eklenirse bu kesrin değeri
9
Buna göre, ilk kesrin payı ile paydasının toplamı
Bir top kumaşın önce
Değeri
kumaşın tamamı kaç metredir?
kaçtır?
Çözüm
1.
Çözüm
1.
1
ünü koşuyor.
3
Sonra, 60 m daha koşunca yolun yarısına geliBir koşucu, belli bir yolun
2.
1
ini sonra kalan borcu5
1
1
nun
ünü daha sonra da kalan borcunun
4
3
Gizem borcunun önce
ESEN YAYINLARI
yor. Buna göre, yolun uzunluğu kaç metredir?
kaçtır?
2.
4.
1
ü erkektir. Bu trene
3
15 bayan yolcu daha binince bayanların sayısı,
5
yolcuların
sı oluyor. Buna göre, başlangıçta
6
trende kaç yolcu vardır?
Bir trendeki yolcuların
3
tir. Bu gruba 4 kız daha katılırsa bu oran
5
2
olacağına göre, ilk durumda grupta kaç kişi
3
vardı?
yen kısmının kaç katıdır?
Su dolu bir bidonun ağırlığı 36 kg dır. Bu bidon1
ü kullanılınca ağırlığı 26 kg oldudaki suyun
3
ğuna göre, boş bidonun ağırlığı kaç kg dır?
Bir gruptaki kızların sayısının erkeklerin sayısına
oranı
ünü ödüyor. Borcunun ödenen kısmı ödenme-
3.
3
tür. Bu kesrin payından 2
4
2
çıkarılır, paydasına 1 eklenirse, değeri
oluyor.
3
Buna göre, ilk kesrin pay ile paydasının toplamı
Bir kesrin değeri
3.
Bir çubuğun
1
sı kesilince orta noktası 2 cm ka6
yıyor. Buna göre, çubuğun kesilen parçası kaç
cm dir?
4.
Tamamen su ile dolu bir kabın ağırlığı x kg dır.
2
ü kullanıldığında, kabın
Kabın içindeki suyun
3
ağırlığı y kg gelmektedir. Buna göre, boş kabın
ağırlığı kaç kg dır?
199
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 7
REHBER SORU 8
Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır. 5 yıl
Gizem ile Ecem’in yaşları toplamı 28 dir. İki yıl önce
sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olacağı-
Gizem’in yaşı Ecem’in yaşının 2 katı olduğuna göre,
na göre, babanın şimdiki yaşı kaçtır?
Ecem’in şimdiki yaşı kaçtır?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
3.
Bir babanın yaşı, kızının yaşının 4 katıdır. 6 yıl
olanın yaşı en küçüğün yaşının 2 katı ise ortan-
sonra babanın yaşı kızının yaşının 3 katı olaca-
ca kardeş kaç yaşındadır?
ğına göre, babanın bugünkü yaşı kaçtır?
Figen’in 3 yıl önceki yaşının, 7 yıl sonraki yaşına
3
olduğuna göre, Figen bugün kaç yaşınoranı
5
dadır?
Bir baba oğlundan 20 yaş büyüktür. 3 yıl sonra
ESEN YAYINLARI
2.
Dörder yıl arayla doğmuş üç kardeşten en büyük
2.
Burak ile Ceren’in yaşları 5 ve 6 ile orantılıdır.
6 yıl önce yaşları 7 ve 9 ile orantılı olduğuna
göre, bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
3.
Bir baba ile 2 çocuğunun yaşları toplamı 45 tir.
yaşları toplamı 46 olacağına göre, baba şimdi
3 yıl önce babanın yaşı, 2 çocuğunun yaşları
kaç yaşındadır?
toplamının 2 katından 3 fazla olduğuna göre,
baba şimdi kaç yaşındadır?
4.
ab ve ba iki basamaklı sayılar ve a > b olmak
üzere, Deniz’in yaşı ab, Suat’ın yaşı ba dır.
4.
Ali’nin 2 yıl önceki yaşı, Oya’nın 2 yıl sonraki
İkisinin yaşları farkı Suat’ın yaşının 3 eksiğine
yaşına eşittir. 3 yıl sonra ikisinin yaşları toplamı
eşit ise ikisinin yaşları toplamı kaçtır?
32 olacağına göre, Ali şimdi kaç yaşındadır?
200
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 9
REHBER SORU 10
Bir baba ile 2 çocuğunun yaşları toplamı 45 tir. 3 yıl
Ayşe 24 yaşındadır. Ayşe, kardeşinin bugünkü yaşın2
ü yaştaydı.
dayken, kardeşi bugünkü yaşının
3
Buna göre, Ayşe’nin kardeşinin bugünkü yaşı kaçtır?
önce babanın yaşı, 2 çocuğunun yaşları toplamının
2 katından 3 fazla olduğuna göre, baba şimdi kaç
yaşındadır?
Çözüm
1.
Çözüm
1.
Bir annenin yaşı 36, iki çocuğunun yaşları toplamı 8 dir. x yıl sonra annenin yaşı çocukların yaş3
katı olacağına göre, x kaçtır?
ları toplamının
2
Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamının 4 katıdır. 6 yıl sonra, babanın yaşı çocukla-
daydı. Barış, Ceren’in yaşındayken Aybars 24
yaşındadır. Buna göre, Ceren şimdi kaç yaşındadır?
ESEN YAYINLARI
2.
Aybars, Barış’ın yaşındayken Ceren 8 yaşın-
2.
Barış ile Buğra’nın yaşları toplamı 40 tır. Barış,
rının yaşları toplamının 2 katı olacağına göre,
Buğra’nın yaşındayken Barış’ın yaşı, Buğra’nın
babanın şimdiki yaşı kaçtır?
yaşının 3 katı olduğuna göre, Buğra şimdi kaç
yaşındadır?
3.
Bir annenin yaşı, üç çocuğunun yaşları toplamından 8 fazladır. Kaç yıl sonra annenin yaşı,
3.
çocuklarının yaşları toplamına eşit olur?
Annenin yaşı oğlunun yaşının 5 katıdır. Çocuk
annesinin yaşına geldiğinde annesi 45 yaşında
olacağına göre, çocuğun bugünkü yaşı kaçtır?
4.
Duygu’nun yaşı Figen ile Sibel’in yaşları toplamına eşittir. Duygu 10 yaşına geldiğinde Figen
4.
Aylin, Nurdan’ın yaşındayken Nurdan’ın doğma-
ile Sibel’in yaşları toplamı 16 olacağına göre,
sına 3 yıl vardır. Buna göre, Nurdan’ın şimdiki
Duygu’nun şimdiki yaşı kaçtır?
yaşı 21 ise Aylin’in yaşı kaçtır?
201
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 11
REHBER SORU 12
Ahmet bir işi 20 günde, Bülent aynı işi 12 günde
Hakan bir işi 8 saatte, Gökhan 16 saatte yapıyor.
bitirebiliyor. İkisi beraber 2 günde bu işin ne kadarını
İkisi birlikte 4 saatte çalıştıktan sonra Gökhan işi
bitirebilirler?
bırakıyor. Kalan işi Hakan kaç saatte bitirir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
Vedat bir işi tek başına 6, Faruk aynı işi tek başı-
İki işçi bir işi birlikte 15 günde bitirebilmektedir.
na 9 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte iki günde işin
İkisi birlikte 10 gün çalıştıktan sonra ikinci işçi işi
ne kadarını yaparlar?
bırakıyor. Birinci işçi geriye kalan işi 10 günde
2.
2
ünü 4 saatte, Ebru ise işin kalanını
3
4 saatte bitirebiliyor. İkisi birlikte işin tamamını
Elif bir işin
ESEN YAYINLARI
bitirdiğine göre, tek başına çalışarak işin tamamını kaç günde bitirebilir?
2.
Üç işçi bir işi sıra ile 4, 8, 16 saatte bitiriyor. Üçü
birlikte aynı nitelikteki bir işte 1 saat çalıştıktan
kaç saatte yaparlar?
sonra birinci ve ikinci işçi işten ayrılıyor. İşin
kalan kısmını üçüncü işçi kaç saatte bitirir?
3.
Havuza su akıtan üç musluğun birlikte 2 saatte
doldurduğu bir havuzu 1. musluk 4 saatte, 2.
3.
Boş bir havuzu A musluğu 30 saatte, B musluğu
musluk 6 saatte doldurabildiğine göre, 3. musluk
ise 20 saatte doldurabiliyor. B musluğu 5 saat
tek başına havuzu kaç saatte doldurur?
açık kaldıktan sonra A musluğu da açılıyor ve
havuzu beraber dolduruyorlar. Buna göre havuzun tamamı kaç saatte dolmuştur?
4.
Bir işi Aslan a günde, Neşe b günde, ikisi birlikte
8 günde bitirebilmektedir. b > a olduğuna göre,
4.
Aynı nitelikte 6 işçi bir işe başlıyor. Her gün bir
a nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaç-
işçi işten ayrılıyor ve iş 5 günde bitiyor. Aynı
tır?
nitelikte 5 işçi bu işi kaç günde bitirir?
202
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 13
REHBER SORU 14
A
Şekildeki havuzu A musluğu
8 saatte doldurabiliyor. B mus-
Cemil 5 parça işi 6 günde, Bülent 8 parça işi 10
B
günde yapabiliyor. İkisi birlikte 98 parça işi kaç
günde bitirebilir?
luğu ise boşaltabileceği kısmı
6 saatte boşaltıyor. Havuz boş-
Çözüm
ken A ve B birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?
1.
A
B
Şekildeki havuzu A musluğu tek başına 12 saatte, B musluğu tek başıh/2
C
na 6 saatte doldurabilmektedir. C musluğu ise
h/2
kendi seviyesine kadar
olan kısmı 3 saatte
boşaltabilmektedir. Havuz boşken 3 musluk bir-
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1.
Aynı kapasitedeki 3 makine bir işi birlikte 6 saat2
te yapabiliyorlar. Bu makinelerin ikisi aynı işin
3
ünü birlikte kaç saatte bitirebilir?
2.
A makinesi 2 saatte 45 ürün, B makinesi 3 saatte
likte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?
60 ürün çıkarabilmektedir. İki makine birlikte 170
ürünü kaç saatte çıkarır?
2.
3.
I. musluk boş havuzu; havuzun ortasındaki II.
musluk kapalı iken 6 saatte, açıkken 12 saatte
dolduruyor. Buna göre, havuz dolu iken II. musluk
havuzu kendi seviyesine kadar kaç saatte boşaltır?
3.
Aynı kapasitedeki 12 işçi bir işi 15 günde bitirebiliyor. İşe başladıktan 10 gün sonra 8 işçi işi
bırakıyor. Kalan işçiler işi kaç günde tamamlar?
Boş bir havuza A musluğu saf su, B musluğu
ise % 40 oranında tuz içeren tuzlu su akıtmaktadır. A musluğu havuzu 3, B musluğu ise 5
saatte doldurabilmektedir. İki musluk birlikte açılarak havuzu doldurduklarında havuzdaki suyun
yüzde kaçı tuz olur?
4.
Özlem ile Özge bir işi birlikte 6 günde bitiriyor.
2
i
Özlem 2 gün, Özge 3 gün çalışırsa işin
5
bitiyor. Buna göre, Özlem bu işin tamamını kaç
günde bitirebilir?
203
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 15
REHBER SORU 16
Bir satıcı elindeki malın önce % 20 sini, daha sonra
Bir satıcı bir ürünü % 20 kârla satarken, satış fiyatı
da kalan malın % 20 sini satmıştır. Buna göre, baş-
üzerinden % 10 indirim yaparak 540 ¨ ye satıyor.
langıçtaki malın yüzde kaçı satılmıştır?
Buna göre, bu malın maliyeti kaç ¨ dir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
% 20 sinin 10 fazlası 40 olan sayının, % 50
si kaçtır?
Bir sınıfın % 40 ı kız öğrencidir. Kızların % 20 si,
erkeklerin % 60 ı gözlüklü olduğuna göre, sınıfın
yüzde kaçı gözlüklüdür?
zam yapılarak kaça satılırdı?
ESEN YAYINLARI
2.
2.
4.
% 20 zararla 400 liraya satılan bir mal % 40
kârla kaça satılır?
3.
3.
% 40 indirimle 420 liraya satılan bir mal % 20
Alış fiyatı x ¨ olan bir mal % 25 kârla
Bir sınıftaki 45 öğrenciden 18 i erkek ise bu
2x – 600 ¨ ye satılmıştır. Buna göre, bu malın
öğrencilerin yüzde kaçı kızdır?
alış fiyatı kaç ¨ dir?
A sayısı B sayısının % 20 si, B sayısı da C
4.
Bir malın
3
u % 40 zararla satılmıştır. Bu mal10
sayısının % 30 u ise A sayısı C sayısının yüzde
dan % 16 kâr elde edebilmek için malın geri
kaçıdır?
kalan kısmı yüzde kaç kârla satılmalıdır?
204
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 17
REHBER SORU 18
Bir manav 4 tanesini a ¨ ye aldığı limonların 3 tane-
960 lira, yıllık %10 faiz oranıyla 2 ayda kaç lira faiz
sini a ¨ ye satıyor. Manavın kârı yüzde kaçtır?
getirir?
Çözüm
Çözüm
2.
Bir manav, 3 tanesini 4 ¨ den aldığı limonların 5
para kaç ay sonra kendisinin % 20 si kadar faiz
kârı yüzde kaçtır?
getirir?
Bir manav elindeki 24 tane limonun 20 tanesini
satarak yüzde kaç kâr eder?
Bir manav, aldığı domateslerin
2.
8000 ¨ paranın bir kısmı yıllık %60 tan, geri
kalanı yıllık %40 tan 3 aylığına bankaya yatırıldığında eşit miktarda faiz elde edilmiştir. Buna
göre, %60 tan yatırılan para kaç liradır?
1
ini çürüdüğü
5
3.
için atıyor. Kalan domatesten % 20 kâr edebil-
% 4 zararla satılan bir maldan % 20 kâr elde
etmek için satış fiyatı yüzde kaç artırılmalıdır?
Yıllık %20 basit faizle bankaya yatırılan para 2
yıl sonunda 7000 lira olarak çekiliyor. Yatırılan
para kaç liradır?
mesi için yüzde kaç kârla satmalıdır?
4.
Yıllık %60 faiz oranı ile bankaya yatırılan bir
tanesini 10 ¨ den satıyor. Manavın bu satıştaki
satınca ödediği parayı elde ediyor. Diğerlerini de
3.
1.
ESEN YAYINLARI
1.
4.
Yıllık %20 bileşik faizle bankaya yatırılan 4 bin
lira 2 yıl sonunda kaç lira faiz getirir?
205
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 19
REHBER SORU 20
Tuz oranı % 20 olan 50 litre tuzlu su ile, tuz oranı
%20 si alkol olan 20 litrelik bir karışımın belli bir
% 30 olan x litre tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen
miktarı dökülerek dökülen miktar kadar su ilave
yeni karışımın tuz oranı % 26 olduğuna göre, x
edilirse, alkol oranı %15 e düşüyor. İlave edilen su
kaçtır?
kaç litredir?
Çözüm
Çözüm
1.
1.
Tuz oranı % 20 olan 40 litre tuzlu su ile tuz oranı
% 35 olan 60 litre tuzlu su karıştırılıyor. Elde
edilen yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
1
ü döküle3
rek yerine alkol oranı % 40 olan aynı miktarda
Alkol oranı % 10 olan bir karışımın
karışım ilave ediliyor. Elde edilen yeni karışımın
2.
Tuz oranı % 15 olan 120 gram tuzlu suya kaç
gram tuz ilave edilirse tuz oranı % 20 olur?
ESEN YAYINLARI
alkol oranı yüzde kaçtır?
2.
Şeker oranı %20 olan 40 gramlık bir karışımın
1
ü dökülerek yerine dökülen miktar kadar su
4
katılıyor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaç
olur?
3.
Şeker oranı % 30 olan kaç litre şekerli suya 40
3.
litre su ilave edilirse, şeker oranı % 20 olur?
% 20 si tahin olan 2 litre tahin ve pekmez karı1
litre daha tahin karıştırılarak yeni bir
şımına
2
karışım elde ediliyor. Yeni karışımın tahin oranı
% kaçtır?
4.
Şeker oranı % 25 olan 60 litre şekerli suyun kaç
litresi buharlaştırılırsa şeker oranı % 40 olur?
206
4.
Saf altın 24 ayardır. 20 gram ağırlığındaki 18
ayar altına, kaç gramlık saf altın katarsak karışımdan elde edilen altın 22 ayar olur?
Denklem Kurma Problemleri
REHBER SORU 21
REHBER SORU 22
Bir araç A dan B ye doğru saatte 40 km hızla gidip
A ve B noktalarında bulunan iki aracın hızları
hiç durmadan saatte 50 km hızla geri dönüyor. Gidiş
sırayla 60 km/h ve 40 km/h dir. Araçlar aynı anda
dönüş süresi 9 saat ise A ile B arası kaç km dir?
birbirlerine doğru hareket ederlerse 2 saat sonra
karşılaşıyorlar. Bu iki araç aynı anda, aynı yönde
Çözüm
hareket ederse A dan hareket eden B den hareket
edene kaç saat sonra yetişir?
Çözüm
1.
1.
Aralarında 280 km mesafe bulunan A ve B
Aralarında 100 km mesafe bulunan iki araçtan
kentlerinden aynı anda iki araç birbirlerine doğru
arkadakinin hızı öndekinden saatte 20 km daha
saatte 50 km ve saatte 90 km hızlarıyla harekete
fazladır. Bu iki araç aynı anda aynı yöne doğru
başlıyorlar. Kaç saat sonra karşılaşırlar?
harekete başlarsa, arkadaki öndekine kaç saat
2.
Hızları saatte 60 km ve 50 km olan iki araç A
kentinden B kentine doğru aynı anda harekete
başlıyorlar. Hızı fazla olan B kentine diğerinden
ESEN YAYINLARI
sonra yetişir?
2.
A ile B kentleri arası 180 km dir. İki araç A ve B
den aynı anda birbirine doğru harekete başlarsa, 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Bu araçlar aynı
yönde hareket etselerdi arkadaki araç öndekine
1 saat önce vardığına göre, A ile B kentleri arası
6 saat sonra yetişecekti. Buna göre, bu araçlar-
kaç km dir?
dan hızlı olanın hızı saatte kaç km dir?
3.
Hızları 60 km/h ve 80 km/h olan iki araç aynı
anda birbirlerine doğru hareket ediyorlar. Yolun
3.
ortasından 40 km uzakta karşılaştıklarına göre,
Bir araç A dan B ye 50 km/h hızla gidip durma-
yol kaç km dir?
dan 30 km/h hızla dönüyor. Gidiş-dönüş 8 saat
sürdüğüne göre, A ile B arası kaç km dir?
4.
A
60 km/saat
90 km/saat
C
B
Saatteki hızları 60 ve 90 km olan iki araç, A
kentinden B kentine doğru aynı anda yola çakı4.
360 km lik bir yolun bir kısmını saatte 60 km
yorlar. Hızlı giden B ye varıp geri döndüğünde
hızla, geri kalanını saatte 80 km hızla giden bir
diğer araçla C kentinde karşılaşıyor. İki araç yola
aracın yolculuğu 5 saat sürmüştür. Buna göre,
çıktıktan 3 saat sonra karşılaştıklarına göre, AB
araç 60 km/sa hızla kaç km yol almıştır?
arası kaç km dir?
207
Denklem Kurma Problemleri
1.
REHBER SORU 23
a. Bir araç, A dan B ye saatte 30 km hızla gidip,
Bir araç, A dan B ye saatte 40 km hızla gidip,
saatte 60 km hızla geri dönüyor. Gidiş dönüşteki
ortalama hızı saatte kaç km olur?
saatte 50 km hızla geri dönüyor. Bu aracın gidiş
dönüşteki ortalama hızı saatte kaç km dir?
2.
b. Bir tren 480 m uzunluğundaki bir tüneli
180 m/dakika hızla 3 dakikada geçiyor.
Buna göre, trenin boyu kaç metredir?
1
ünü 50 km/saat
4
hızla, yarısını 30 km/saat hızla gidiyor. Geriye
kalan yolu saatte kaç km hızla giderse yolun
tamamındaki ortalama hızı 40 km/saat olur?
Bir araç, gideceği bir yolun
c. Çevresi 180 m olan bir pistin A noktasından
hızları 12 m/dakika ve 24 m/dakika olan iki hareketli zıt yönde aynı anda harekete başlıyorlar.
Hareketlerinden kaç dakika sonra ilk kez karşı-
3.
Saatte 72 km hızla giden bir tren 400 m lik bir
tüneli 30 saniyede geçtiğine göre, trenin boyu
kaç metredir?
4.
Saatteki hızları 60 km ve 70 km olan iki trenin
boyları 200 m ve 190 m dir. Birbirlerine doğru
karşılıklı olarak farklı iki hattan gelen trenler karşılaştıktan kaç saniye sonra birbirlerini geçerler?
5.
Saatteki hızı 120 km olan, 200 m uzunluğundaki
bir tren, diğer hattan aynı yönde giden ve saatteki hızı 100 km olan 300 m uzunluğundaki bir trene yetiştiği andan itibaren kaç saniyede geçer?
6.
Çevresi 150 metre olan
V1=12
V2=18
çembersel bir pistin bir A
A
noktasından saniyedeki
hızları 12 m ve 18 m olan
iki hareketli aynı anda ters
yönlere doğru harekete başlıyorlar. Buna göre,
kaç saniye sonra 2. kez karşılaşırlar?
7.
V2 = 40
Çevresi 400 metre olan
çembersel bir pistin bir A
V1 = 20
A
noktasından saniyedeki
hızları 20 m ve 40 m olan
iki hareketli aynı anda aynı
yöne doğru harekete başlarsa hızlı olan diğerini
kaç saniye sonra yakalar?
laşırlar?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
208
TEST 1.
Denklem Kurma Problemleri
İki sayıdan biri diğerinin 2 katından 6 fazladır.
5.
Bir işletmenin kasasında 1200 adet 20 ¨ ve
Bu iki sayının, toplamının farkına oranı 2 oldu-
50 ¨ lik para vardır. Bu paraların toplam değeri
ğuna göre, büyük sayı kaçtır?
48 000 ¨ olduğuna göre, kaç tanesi 50 ¨ liktir?
A) 16
2.
1
B) 18
C) 20
D) 24
E) 28
A) 400
3 ceketle 2 pantolon 260 ¨, 3 pantolonla 2
6.
B) 500
C) 600
D) 700
E) 800
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişerli oturdukla-
ceket 280 ¨ olduğuna göre, 1 ceketle 1 pan-
rında 4 öğrenci ayakta kalıyor. Üçerli otursalar-
tolon kaç ¨ dir?
dı, 4 sıra boş kalacaktı. Buna göre, bu sınıfta
kaç öğrenci vardır?
A) 100
B) 104
C) 106
D) 108
E) 120
ESEN YAYINLARI
A) 20
3.
7.
B) 24
Bir kuruyemişçi
C) 28
50 kg
D) 30
E) 36
fındığın bir kısmının
Bir defter ile bir kitap 42 ¨ bir kalemle bir kitap
kilogramını 8 ¨ den, diğer kısmının kilogramı-
68 ¨, bir kalemle bir defter 56 ¨ olduğuna göre,
nı ise 11 ¨ den satıyor. Kuruyemişçi fındığın
bir kitap kaç ¨ dir?
tamamını sattığında eline 472 ¨ geçtiğine göre,
kaç kilogram fındığı 11 ¨ den satmıştır?
A) 15
B) 20
C) 27
D) 33
E) 41
A) 20
4.
1
4
ü boş iken ağırlığı b gram olduğuna göre, boş
Bir kabın tamamı dolu iken ağırlığı a gram,
kabın a ve b cinsinden ağırlığı nedir?
8.
B) 22
C) 24
D) 25
E) 28
Bir işçi çalıştığı her gün için 12 ¨ kazanıyor,
çalışmadığı her gün ise, 8 ¨ harcıyor. 30 gün
sonunda bu işçinin 120 ¨ birikmiş parası olduğuna göre, kaç gün çalışmıştır?
A) a – b
B) 2a – 3b
D) 4b – 3a
C) 3a – 4b
E) 3b – 2a
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
209
Denklem Kurma Problemleri
9.
Bir çiftçi parasının tamamıyla 40 koyun ile 30
13. Bir torbada 12 mavi, 14 kırmızı, 16 sarı ve
kuzu ya da 50 koyun ile 10 kuzu alabildiğine
20 tane de beyaz bilye vardır. Bu torbadan en
göre, aynı paranın tamamıyla kaç tane kuzu
az kaç tane bilye alalım ki kesinlikle 3 tanesi
alabilir?
kırmızı olsun?
A) 80
B) 90
C) 100
D) 110
E) 120
A) 12
B) 13
C) 36
D) 49
E) 51
10. Bir bilgi yarışmasında her doğru cevaba 8 puan
14. Ali fındıklarını 7 şer 7 şer sayarsa 2 fındık,
verilirken her yanlış cevaptan 5 puan siliniyor.
11 er 11 er sayarsa 10 fındık artıyor. Ali’nin en
20 soruya cevap veren bir ekip 82 puan aldığı-
az kaç fındığı vardır?
na göre, kaç soruya yanlış cevap vermiştir?
A) 54
B) 7
C) 6
D) 5
C) 65
D) 72
E) 79
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) 8
B) 58
11. 2 ¨, 3 ¨ ve 5 ¨ değerindeki üç cins kalemin her
15. Emre pozitif bir sayıyı
7
3
ile çarpıyor. Hande
birinden almak üzere, 50 ¨ nin tamamıyla 3 ¨
aynı sayının k katına sayının kendisini ekliyor.
lik en fazla kaç kalem alınabilir?
Her ikisinin sonuçta bulduğu sayılar eşit olduğuna göre, 3k nın değeri kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 11
D) 13
E) 16
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
12. Bir torbada 15 beyaz 10 kırmızı ve 13 tane
16. Bir oyun 2 kişi, 3 kişi veya 7 kişi ile oynanabil-
de mavi bilye vardır. Torbadan en az kaç bilye
mektedir. 19 kişiden herkesin oyuna katılması
alalım ki kesinlikle 4 tanesi aynı renkte olsun?
koşuluyla, en az kaç oyun oynanabilir?
A) 10
A) 6
210
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
TEST 1.
Denklem Kurma Problemleri
5.
Bir miktar para ile 7 gömlek, 2 pantolon ya da
Bir torbada 6 siyah, 5 mavi ve 7 kırmızı bilye
3 gömlek 4 pantolon alınabiliyor. Aynı para ile
vardır. Bu torbadan en az kaç bilye almalıyız ki
kaç tane gömlek alınabilir?
kesinlikle 2 tanesi kırmızı olsun?
A) 12
2.
2
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
A) 11
6.
Bir sınıfta öğrenciler sıralara 3 erli oturdukla-
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Bir kutuda 5 farklı renkte 7 şer tane kalem
rında 4 sıra boş kalıyor. 2 şerli oturduklarında
vardır. Bu kutudan en az kaç tane kalem alalım
6 öğrenci ayakta kaldığına göre, bu sınıfta kaç
ki iki tanesi aynı renkte olsun?
öğrenci vardır?
A) 5
B) 40
C) 42
D) 44
C) 7
D) 10
E) 14
E) 46
ESEN YAYINLARI
A) 38
B) 6
7.
4, 5 ve 6 ¨ değerinde üç cins kalemin her
birinden almak şartıyla 27 ¨ ye en çok kaç
3.
4 kg elma ile 7 kg portakal 33 ¨, 4 kg elma
kalem alınabilir?
ile 10 kg portakal 42 ¨ olduğuna göre, 1 kg
portakal kaç ¨ dir?
A) 1,5
B) 1,8
C) 2
A) 5
D) 2,6
C) 7
D) 8
E) 9
E) 3
8.
4.
B) 6
100 litre sirke 2, 5 ve 7 litrelik şişelere doldu-
25 ve 50 Kr luklardan oluşan 38 tane madeni
rulacaktır. Her cins şişeden en az bir tane kul-
paranın toplam değeri 17 ¨ dir. Kaç tane 50 Kr
lanıldığına göre, 5 litrelikten en fazla kaç tane
luk vardır?
kullanılabilir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 27
E) 30
A) 10
B) 13
C) 14
D) 17
E) 20
211
Denklem Kurma Problemleri
9.
5 anahtar ve 5 kapı bulunmaktadır. En az kaç
13. Uzunlukları aynı olan A, B, C mumları sırasıyla
denemede bu beş kapının doğru anahtarları
2, 3 ve 4 saatte yanıp tükenmektedir. Mumlar
bulunabilir?
aynı anda yakılıyor. A mumunun uzunluğunun
3
olduğunda C
B mumunun uzunluğuna oranı
4
mumunun tamamen yanmasına kaç saat vardır?
A) 120
B) 60
C) 24
D) 12
E) 10
A)
1
4
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 3
10. Bir kırtasiyecide, kalemin fiyatı 6 ¨, defterin fiyatı 8 ¨ ve silginin fiyatı 9 ¨ dir. Her birinden en
az bir tane almak isteyen birisi 200 ¨ lik alışveriş
14. Bir demir çubuk 8 eşit parçaya bölünmüştür.
yapıyor. Bu kişi en çok kaç tane kalem alabilir?
A) 27
B) 28
C) 29
D) 30
Eğer parçalar 4 cm daha kısa olsaydı 12 eşit
parçaya bölünebilecekti.
E) 31
boyu kaç cm dir?
para ile 1 takım elbise almaktadır. 7 ay çalı-
B) 88
C) 92
D) 96
E) 100
ESEN YAYINLARI
A) 84
11. Bir terzi kalfası, çalıştığı işyerinden yılda 7200 ¨
Buna göre çubuğun
şan kalfa 1 takım elbiseyle 4075 ¨ para alarak
15. Bir arkadaş grubunda herkes diğer tüm arkadaş-
ayrıldığına göre, 1 takım elbisenin değeri kaç ¨
larına hediye verecektir. Toplam 132 tane hedi-
dir?
ye alınacağına göre, bu grupta kaç kişi vardır?
A) 200
B) 250
C) 300
D) 450
E) 600
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
16. Bir çocuk babasından 16 metre öndedir. Çocuk
12. Bir traktörün arka tekerleğinin yarıçapı ön teker-
7 adım atınca babası 4 adım atabilmektedir.
leğinin yarıçapının 3 katıdır. 48 metrelik mesa-
Baba 2 adımda 160 cm yol almakta, çocuk
fede küçük tekerlek büyük tekerlekten 16 devir
ise 5 adımda 2 metre yol almaktadır. Baba ile
fazla yaptığına göre, küçük tekerleğin çevresi
çocuk aynı anda aynı yönde hareket ettiklerine
kaç metredir?
göre, baba kaç adımda çocuğuna yetişir?
A) 1,2
212
B) 1,6
C) 1,8
D) 2
E) 2,4
A) 40
B) 80
C) 120
D) 160
E) 200
TEST -
1.
Denklem Kurma Problemleri
2
sayısının % 35 i aşağıdakilerden hangisidir?
7
A)
2.
10
1
10
B)
1
5
C)
2
5
D)
3
7
E)
5.
kaç ¨ ye satılır?
5
14
A) 200
3
2
in % 75 i ile
in % 25 i arasındaki fark aşa5
5
6.
B)
1
10
C)
1
5
3.
D)
7
20
E)
7
10
A) 60
4.
7.
B) 50
A) 240
D) 72
E) 75
A nın % 20 si ile B nin % 30 u birbirine eşit oldu-
A)
2
3
B)
C)
5
6
D) 40
E) 30
8.
B) 250
C) 280
D) 300
E) 325
% 40 kâr ile satılan bir malda, % 25 indirim yapılırsa, yine de 10 ¨ kâr sağlanıyor. Bu malın mal
A
nedir?
B
3
2
C) 45
sonra 204 ¨ ye satılan bir malın indirimsiz fiyatı
A) 52
ğuna göre,
E) 120
Arka arkaya % 15 ve % 20 lik iki indirimden
kaç ¨ dir?
C) 64
D) 140
% 40 kâr ile satılan bir maldan 112 ¨ kâr edil-
2
5
sayısı
sayısının yüzde kaçıdır?
5
8
B) 54
C) 160
edilirdi?
ESEN YAYINLARI
1
20
B) 180
miştir. Bu mal 420 ¨ ye satılsaydı yüzde kaç kâr
ğıdakilerden hangisidir?
A)
% 20 kârla 240 ¨ ye satılan bir mal % 30 zararla
oluş fiyatı kaç ¨ dir?
D)
6
5
E)
8
9
A) 80
B) 100
C) 160
D) 180
E) 200
227
Denklem Kurma Problemleri
9.
13. Bir mal etiket fiyatı üzerinden % 40 indirimli
Etiket fiyatının % 10 eksiğine alınan bir mal, etiket fiyatının % 8 fazlasına satılıyor. Kâr yüzdesi
alınıp gene etiket fiyatı üzerinden % 10 indirimli
kaçtır?
satılırsa yüzde kaç kâr edilir?
A) 28
B) 20
C) 18
D) 15
E) 14
A) 30
B) 40
C) 50
D) 55
E) 60
14. % 15 kârla satılmakta olan bir elbisenin fiyatın10. % 30 kârla satılan bir mal % 20 indirim yapılarak
da 35 ¨ indirim yapıldığında kâr, satış fiyatının
208 ¨ ye satılıyor. Bu malın alış fiyatı kaç ¨ dir?
% 10 u kadar oluyor. Bu elbisenin alış fiyatı kaç
¨ dir?
A) 185
B) 200
C) 201
D) 202
E) 210
B) 700
C) 750
D) 900
E) 1000
ESEN YAYINLARI
A) 630
11. Bir malın x alış fiyatı ile y satış fiyatı arasında
15. Bir satıcı tanesini 20 kuruştan aldığı 40 yumur-
y = 4x – 3900 bağıntısı vardır. % 40 kârla satıla-
tanın taşıma sırasında % 25 ini kırıyor. Kalan
cak olan bu malın alış fiyatı nedir?
yumurtaların tanesini kaç kuruştan satmalıdır ki
satıştan % 20 kâr elde etsin?
A) 1200
B) 1500
D) 2300
C) 1800
E) 2600
A) 28
B) 30
C) 32
D) 35
E) 38
16. Bir mağazada gömlekler % 60, ceketler % 40
12. Bir bidonun % 80 i su ile doludur. Bidondaki
kârla satılmaktadır. Bir ceketin fiyatı bir gömlek
suyun % 25 i döküldüğünde bidonun yüzde kaçı
fiyatının 8 katı olduğuna göre, 2 gömlek ve bir
su ile dolu olur?
ceket satışından yüzde kaç kâr edilir?
A) 60
228
B) 55
C) 50
D) 45
E) 40
A) 42
B) 43
C) 44
D) 48
E) 50
TEST 1.
11
Denklem Kurma Problemleri
5.
Bir dikdörtgenin boyu % 20 kısaltılıp eni % 10
uzatıldığında kare oluştuğuna göre, dikdörtgenin
eninin boyuna oranı nedir?
A)
2.
2
5
B)
3
8
C)
5
9
4 katlı bir binanın her katında 4 işyeri vardır. Her
bir işyerinde çalışanların % 10 u doktordur.
Herhangi bir kattaki doktor sayısı tüm binadaki
D)
8
11
E)
çalışanların binde kaçıdır?
9
13
A) 25
B) 32,5
C) 47,5
D) 50
E) 75
Ali parasının % 20 sini Oya’ya verdiğinde Ali’nin
6.
parası Oya’nın parasının 2 katı oluyor. Buna
Bir sınıfın % 40 ının % 60 ı kız öğrencidir. Erkek
göre, Oya’nın parası, Ali’nin parasının yüzde
öğrencilerin sayısı kız öğrencilerin sayısından
kaçıdır?
13 fazla olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı
kaçtır?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
B) 10
C) 8
D) 12
E) 11
ESEN YAYINLARI
A) 6
3.
Bir mağaza bir elbiseyi % 20 kârla satarak 80
kâr etmiştir. Bu mağaza aynı elbiseyi 500
7.
ye
satılınca geriye 12 kg şeker kalıyor. Buna göre,
satarsa kârı yüzde kaç olur?
A) 25
4.
B) 30
C) 35
Bir torba şekerin önce % 40 ı sonra kalanın % 60 ı
torbada başlangıçta kaç kg şeker vardır?
D) 40
E) 45
400 kız, 600 erkek öğrencinin bulunduğu bir
A) 45
8.
B) 50
C) 60
D) 70
E) 75
Bir gömleği % 20 indirimli alan biri etiket fiyatına
okulun başarısı % 76 dır. Kızların başarısı % 70
göre 22 ¨ eksik ödemiş oluyor. Gömleğin etiket
olduğuna göre, erkeklerin başarısı yüzde kaçtır?
fiyatı kaç ¨ dir?
A) 72
A) 95
B) 75
C) 80
D) 85
E) 90
B) 100
C) 110
D) 120
E) 220
229
Denklem Kurma Problemleri
9.
13. Bir malın alış fiyatı x ile satış fiyatı y arasında
Ayşe bir kitabı her gün bir önceki gün okuduğunun 3 katı kadar okuyarak 4 günde bitirebiliyor.
y = x + 300 bağıntısı vardır. Bu mal alış fiyatına
Buna göre ikinci günün sonunda kitabın yüzde
satıldığında % 20 indirimli satılmış oluyor.
kaçını okumuştur?
Buna göre, malın alış fiyatı nedir?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
A) 1000
B) 1200
D) 1300
3
ini % 16 kalanını da
8
% 8 kârla satıyor. Tüccarın bu malın tamamın-
10. Bir tüccar aldığı malın
C) 1250
E) 1500
14. Bir satıcı 3 tanesini 2x ¨ ye aldığı limonların 5
tanesini 6x ¨ ye satıyor. Bu satıcının kârı yüzde
daki kârı yüzde kaçtır?
kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
11. Bir malın yarısı % 30 kârla, diğer yarısı da % 20
zararla satılmıştır. Bu malın satışındaki kâr-zarar
durumu nedir?
B) 30
C) 45
D) 75
E) 80
ESEN YAYINLARI
A) 25
15. Bankaya % 72 yıllık faiz ile 3 aylığına yatırılan
bir miktar para vade sonunda 472 ¨ olarak geri
A) % 10 kâr
B) % 10 zarar
C) % 5 zarar
D) % 5 kâr
çekiliyor. Bankaya kaç ¨ yatırılmıştır?
A) 390
E) Kâr-zarar yok
B) 400
D) 410
C) 402
E) 420
12. A liralık bir mal % 20 indirimle B liraya satılırken
B lira üzerinden % 20 indirim yapılarak C liraya
C
kaçtır?
satılıyor. Buna göre,
A
A)
230
4
25
B)
2
5
C)
12
15
D)
3
5
16. X ¨ nin yıllık % 40 tan 6 aylık faizi Y ¨ nin yıllık
% 60 tan 8 aylık faizine eşit ve X + Y = 3 ¨
olduğuna göre, X kaç ¨ dir?
E)
16
25
A) 1
B) 1,2
C) 1,5
D) 2
E) 2,3
Yazılıya Hazırlık Soruları – 1
1.
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2 şer oturursa 1
kişi ayakta kalıyor. 3 er oturursa 8 kişilik boş yer
kalıyor. Buna göre, sınıfta kaç sıra vardır?
2.
Su dolu bir bidonun ağırlığı 48 kg dır. Bidonun
boş ağırlığı suyun ağırlığının
4.
Bir çubuk 5 eşit parçaya 20 dakikada ayrılabiliyorsa 8 eşit parçaya kaç dakikada ayrılabilir?
5.
A, B, C, üç kişinin isimleridir. B’nin yaşı C’nin yaşından ve C’nin yaşı A’nın yaşından 5 fazladır. 7
yıl sonra A ile C’nin yaşları toplamı B’nin yaşının
1
i ise, bidonda
5
3
katı olacağına göre, C nin şimdiki yaşı kaçtır?
2
ESEN YAYINLARI
kaç kg su vardır?
3.
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 3 er 3 er oturunca
14 öğrenci ayakta kalmaktadır. Eğer 4 er 4 er
otururlarsa 3 sıra boş kalmaktadır. Buna göre,
sınıfta kaç öğrenci vardır?
6.
İki musluktan birincisinin akış hızı, ikincisinin akış
hızının 3 katıdır. İki musluk birlikte boş bir havuzu 4 saatte doldurduğuna göre, ikinci musluk
aynı havuzu yalnız başına kaç saatte doldurur?
231
Denklem Kurma Problemleri
%20 zararla satılan bir maldan %20 kâr elde
etmek için malın satış fiyatı yüzde kaç arttırılmalıdır?
8.
%20 kârla satılan bir mal, indirimli satışlarda
satış fiyatı üzerinden %10 indirimle 216 liraya
satılıyor. Bu malın alış fiyatı nedir?
232
9.
ESEN YAYINLARI
7.
12 bin liranın yıllık %50 den 5 aylık faizi kaç bin
liradır?
10. A ve B kentleri arası 450 km dir. Hızı 50 km/h
olan Bir kamyon B den A ya hareket ediyor. Bir
süre sonra hızı 75 km/h olan bir otobüs A dan
B ye haraket ediyor ve 3 saat sonra kamyonla
karşılaşıyorlar. Kamyon kaç saat önce yola çıkmıştır?
Yazılıya Hazırlık Soruları – 2
1.
Bir kumbarada 10 Kr ve 25 Kr liralıklardan oluşan
4.
Bir depo 2 litre, 5 litre ve 7 litrelik kovalarla doldurulabilmektedir. Her kova en az bir kez kullanılmak üzere, 124 litrelik bu depo en az kaç kova
su ile doldurulabilir?
5.
İki kardeşin yaşları farkı 2 dir. Babanın yaşı
bunların yaşları toplamının 3 katıdır. 4 yıl sonra
babanın yaşı, iki kardeşin yaşları toplamının 2
katına eşit olduğuna göre, küçük kardeş 2 yaşında iken baba kaç yaşındaydı?
6.
Hacimleri aynı olan iki dolu havuzdan biri 4
saatte, diğeri 5 saatte tamamen boşalmaktadır.
Bu iki dolu havuz aynı anda boşaltılmaya başlandıktan kaç saat sonra, birindeki su diğerinin 2
katı olur?
35 tane para vardır. Paraların toplamı 6,5 ¨ olduğuna göre, kaç tane 10 Kr vardır?
2.
1
ü doludur.
4
1
ünün
Depoya 5 litre daha benzin konduğunda
3
Bir otomobilin yakıt deposunun
ESEN YAYINLARI
dolu olduğu görülüyor. Depo kaç litre benzin alır?
3.
40 soruluk bir sınavda her doğru cevap için
5 puan veriliyor. Her yanlış cevap için 2 puan
siliniyor. Bir öğrenci soruların hepsini cevapladığında 144 puan aldığına göre, kaç soruyu yanlış
cevaplamıştır?
233
Denklem Kurma Problemleri
Ali, a lirasını %20 den, b lirasını %30 dan faize
veriyor. Eğer a lirayı %30 dan b lirayı %20 den
faize verseydi bir yılın sonunda 2400 lira fazla
faiz alacaktı. a = 2b olduğuna göre, a + b kaç
bin liradır?
8.
Bir satıcı x liraya aldığı bir malı %20 kârla y liraya, y liraya aldığı bir malı %15 zararla z liraya
satıyor. Buna göre x, y, z arasındaki sıralama
nedir?
234
9.
ESEN YAYINLARI
7.
Bir otomobil a km lik bir yolu 75 km/h hızla gidip,
50 km/h hızla geri dönüyor. Bu otomobilin gidiş
dönüşteki ortalama hızı kaç km/h dir?
10. İki şehirden aynı anda birbirlerine doğru yola
çıkan iki araç karşılaştıktan sonra kalan yollarını
4 ve 9 saatte tamamlıyorlar. Hızlı giden araç tüm
yolu kaç saatte almıştır?
Üniversiteye Giriş Sınav Soruları
1.
2000 – ÖSS
5.
1
tür.
3
3
5 yıl sonra bu oran
olacağına göre, Murat ile
7
annesinin bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
Su ile dolu bir sürahinin ağırlığı a gramdır. Su1
ü boşaltılınca, sürahinin ağırlığı b gram
yun
3
olmaktadır. Buna göre, boş sürahinin ağırlığı kaç
Murat ve annesinin bugünkü yaşları oranı
gramdır?
A) a – 2b
B ) 2a – b
D) 3b – 2a
2.
A) 60
C ) 2b – a
6.
E) 40
A) 8
C ) 22
D ) 24
E) 26
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
ESEN YAYINLARI
cevap veren bir yarışmacı 300 puan kazandığına
göre, doğru cevapların sayısı kaçtır?
2000 – ÖSS
nın yüzde kaçıdır?
yanlış cevaptan 50 puan kaybediyor. 30 soruya
7.
2000 – ÖSS
2000 – ÖSS
Bir gezi grubundaki bayanların sayısı erkeklerin
Ali bir bilet kuyruğunda baştan n. sırada, sondan
sayısının % 40 ıdır. Bu grupta bulunan bayanla-
( 2n – 2 ). sıradadır. Kuyrukta 81 kişi olduğuna
rın sayısı 20 den fazla olduğuna göre, erkeklerin
göre, Ali baştan kaçıncı kişidir?
sayısı en az kaçtır?
A) 28
4.
D) 45
yısının % 25 idir. Buna göre, a sayısı c sayısı-
cılar her doğru cevaptan 40 puan kazanıyor, her
3.
C) 50
a sayısı b sayısının % 16 sı, b sayısı da c sa-
Bir bilgi yarışmasında, kurallara göre, yarışma-
B ) 20
B) 55
E ) 3b – a
2000 – ÖSS
A) 18
2000 – ÖSS
B ) 30
C ) 32
D ) 33
E) 34
A) 55
B) 54
C) 50
D) 44
E) 33
2000 – ÖSS
Uzunlukları aynı olan iki mum aynı anda yanmaya başladığında, biri 2 saatte, diğeri 3 saatte
8.
2000 – ÖSS
Ağırlıkça % 70 i şeker olan un-şeker karışımın-
tamamıyla yanarak bitmektedir. Bu iki mum aynı
dan x kg, % 45 i şeker olan başka bir un-şeker
anda yakıldıktan kaç saat sonra, birinin boyu
karışımından ise y kg alınarak % 65 i şeker olan
diğerinin boyunun
A)
1
7
B)
6
7
yeni bir karışım elde ediliyor. Buna göre x , y nin
1
ü olur?
3
C)
10
7
kaç katıdır?
D)
12
7
E)
13
7
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
235
Denklem Kurma Problemleri
9.
2000 – ÖSS
13. 2001 – ÖSS
1
i su ile
5
doluyken b gramdır. Bu kabın tamamı su ile do-
Bir araç K kentinden M kentine saatte 42 km
Bir kabın ağırlığı boşken a gram,
hızla gitmiş ve saatte V km hızla dönmüştür. Bu
gidiş dönüşte aracın ortalama hızı saatte 48 km
luyken ağırlığı kaç gramdır?
olduğuna göre, V kaçtır?
A) 48
B ) 50
C ) 52
A) 5b – 4a
D ) 54
E) 56
B) 5b – a
D) 5a + b
C) 4a – b
E) 4a + 5b
10. 2001 – ÖSS
14. 2001 – ÖSS
60 yolcusu olan bir otobüsten 2 bayan 3 erkek
5
inince bayanların sayısı erkeklerin sayısının
6
sı oluyor. Buna göre, ilk durumda otobüsteki ba-
herbiri S TL ye satılmaktadır. 4 kırmızı ve 2 mavi
yan sayısı kaçtır?
topa ödenen toplam para 5 siyah topa ödenen
A) 22
B ) 25
C ) 27
D ) 35
Bir satıcıdaki kırmızı topların her biri K TL ye,
mavi topların her biri M TL ye, siyah topların
paraya eşit; 2 siyah ve 2 mavi topa ödenen top-
E) 37
ESEN YAYINLARI
lam para 3 kırmızı topa ödenen paraya eşittir.
11. 2001 – ÖSS
Buna göre, 1 kırmızı ve 4 mavi topa ödenen toplam para kaç siyah topa ödenen paraya eşittir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
Bir benzin tankının içinde bir miktar benzin
vardır. Tanka 300 litre benzin ilave edilirse tan5
kın
u doluyor. Oysa tanka benzin konmayıp
9
1
tanktan 100 litre benzin boşaltılırsa tankın
u
9
dolu olarak kalıyor. Buna göre, tankın tamamı
kaç litre benzin alır?
A) 500
B ) 600
C ) 700
15. 2001 – ÖSS
Bir annenin bugünkü yaşı, kızının yaşının 6
katıdır. Kızı annenin bugünkü yaşına geldiğinde
ikisinin yaşları toplamı 85 olacağına göre, annenin bugünkü yaşı kaçtır?
D ) 800
E) 900
A) 24
B) 30
C) 36
D) 42
E) 48
16. 2001 – ÖSS
12. 2001 – ÖSS
365 günlük bir yıldaki Cumartesi ve Pazar günle-
Çayın kilogramı a TL dir. Çaya % 20 zam yapıldı-
ri sayısının toplamı en çok kaçtır?
ğında a TL ye kaç kilogram çay alınabilir?
A) 102
236
B ) 103
C ) 104
D ) 105
E) 106
A)
4
5
B)
5
6
C)
2a
5
D)
5a
6
E)
6a
7
Denklem Kurma Problemleri
17. 2001 – ÖSS
20. 2001 – ÖSS
x > 0 olmak üzere bir malın etiket fiyatı x +
dur. İndirimli fiyatı
x
10
Sabit hızla giden A ve B hareketlilerinin yol – zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
33x
olduğuna göre, etiket fi50
Yol (metre)
yatı üzerinden yapılan indirim yüzde kaçtır?
A) 22
B ) 33
C ) 38
D ) 40
A
B
60
E) 44
30
2
3
Zaman (dakika)
Bu iki hareketli, çevre uzunluğu 30 metre olan
dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı anda ve
aynı yönde, grafikteki hızlarıyla hareket etseler
hareketlerinden kaç dakika sonra ilk kez yan
yana gelirler?
18. 2001 – ÖSS
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
A kg şeker, B kg un ile karıştırılıyor. Bu karışımın
A)
100
A+B
B)
D)
A.B
A+B
100.A
A+B
C)
E)
100.B
A+B
A+B
100
ESEN YAYINLARI
ağırlıkça yüzde kaçı şekerdir?
21. 2002 – ÖSS
A
x
B
C
19. 2001 – ÖSS
1
ünde onarım
3
yapılmaktadır. Yolun düzgün kısmında saatte
130
A ve B kentleri arasındaki yolun
V km hızla giden bir araç, onarım olan kısmında
saatte
V
km hızla gitmiştir. Bu koşullarda A ile
4
B kentleri arasındaki yolun tamamını 12 saatte
170
D
90
y
E
Şekildeki satır ve sütunların kesişiminde verilen
sayılar, bulundukları satır ve sütunun belirttiği iki
kent arasındaki yolun km cinsinden uzunluğunu
göstermektedir. Örneğin, A ile D kentleri arasındaki yol 130 km dir. A, B, C, D, E kentleri aynı
giden bu araç, onarım yapılan kısmı kaç saatte
yol üzerinde ve yazılan sırada olduğuna göre,
gitmiştir?
x + y kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
A) 90
B) 100
C) 120
D) 130
E) 140
237
Denklem Kurma Problemleri
22. 2002 – ÖSS
26. 2002 – ÖSS
Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top, yere
62 kalem, 5 lik, 6 lık ve 8 lik gruplara ayrılarak
vuruşundan sonra bir önceki düşüş yüksekliğinin
2
u kadar yükselmektedir. Top yere üçüncü
9
paketlenmiştir. Toplam paket sayısı 11 olduğuna
göre, içinde 5 kalem olan paket sayısı en çok
kaçtır?
vuruşundan sonra 8 cm yükseldiğine göre, baş-
A) 6
langıçta kaç cm den bırakılmıştır?
A) 621
B ) 628
C ) 720
D ) 729
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 738
23. 2002 – ÖSS
Bir kültürdeki bakteri sayısı her 1 saatlik süre
sonunda iki katına çıkmaktadır. Başlangıçta 128
27. 2002 – ÖSS
tane bakterinin bulunduğu bu kültürde 12 saatin
y (litre)
sonunda kaç bakteri olur?
B ) 219
60
C ) 218
D ) 215
E) 212
24. 2002 – ÖSS
400 üyeli bir parlamento 3 partiye mensup millet-
50
45
40
ESEN YAYINLARI
A) 220
K
0
L
1
x (saat)
vekillerinden oluşmuştur ve her partinin milletvekili sayısı birbirinden farklıdır. Bu parlamentoda
güvenoyu için en az 201 oy gerekmektedir.
Güvenoyu için herhangi iki partinin milletvekili
sayıları toplamı yeterli olduğuna göre, parlamentodaki en küçük partinin milletvekili sayısı en az
araçlarının yolda geçen süreye göre depolarında
kalan benzin miktarını göstermektedir.
Hareketlerinden kaç saat sonra, bu araçların
depolarında kalan benzin miktarı eşit olur?
A) 2
kaç olabilir?
A) 1
Yukarıdaki grafik sabit hızla hareket eden K ve L
B) 2
C) 3
D) 4
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 5
25. 2002 – ÖSS
a tanesi b TL den satılan kalemlerden c tane
satın alınarak d TL ödeniyor. Buna göre, aşağı-
28. 2002 – ÖSS
Ahmet ile Hasan’ın bugünkü yaşları toplamı 54
dakilerden hangisi her zaman doğrudur?
tür. Ahmet, Hasan’ın bugünkü yaşındayken
A) ab = cd
Hasan 18 yaşında olduğuna göre, Ahmet bugün
B ) ac = bd
2
2
D) a b = cd
C ) ad = bc
2
E ) a d = bc2
kaç yaşındadır?
A) 28
238
B) 29
C) 30
D) 32
E) 34
Denklem Kurma Problemleri
29. 2002 – ÖSS
32. 2003 – ÖSS
a TL ye alınan bir mal alış fiyatı üzerinden % 20
A
kârla b TL ye, etiket fiyatı b TL olan bir mal da
C
B
% 20 indirimle c TL ye satılıyor. Buna göre, a, b,
c arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
A) c < a < b
B) c < b < a
D) a = b < c
Hızları saatte 80 km ve 120 km olan iki araç A
C) a < b < c
kentinden B kentine doğru aynı anda hareket
ediyor. Hızlı olan araç B ye varıp hiç durmadan
E) a = c < b
geri dönüyor ve C noktasında diğer araçla karşılaşıyor. Buna göre,
A)
1
2
B)
1
3
BC
AC
C)
oranı kaçtır?
2
3
D)
1
4
E)
3
4
Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına
3
oranı dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına
7
göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm
sınıfın % kaçıdır?
A) 16
B ) 18
C ) 20
D ) 22
E) 24
ESEN YAYINLARI
30. 2002 – ÖSS
33. 2003 – ÖSS
Taşımacılık yapan bir firma 300 milyar TL ödeyerek fiyatları 15 milyar, 25 milyar ve 30 milyar
TL olan araçlardan toplam 12 adet satın alıyor.
Fiyatı 15 milyar ve 25 milyar TL olan araçlardan
eşit sayıda alındığına göre, fiyatı 30 milyar TL
olan araçtan kaç tane alınmıştır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
31. 2002 – ÖSS
Uzunlukları sırasıyla 1 km ve 900 m olan iki
tünelden, birincinin bitiş noktasıyla ikincinin başlangıç noktası arasındaki uzaklık 14 km dir.
Uzunluğu 100 m, saatteki hızı 80 km olan bir
tren, birinci tünele girdiği andan kaç dakika sonra
ikinci tünelden tamamen çıkar?
A) 12
B ) 15
C ) 16
D ) 18
E) 20
34. 2003 – ÖSS
Oya 12 yaşında, Gül x yaşındadır.
Gül 3 x + 10 yaşına geldiğinde, Oya kaç yaşında olur?
A) x + 10
B) x + 14
D) 2x + 10
C) x + 24
E) 2x + 22
239
Denklem Kurma Problemleri
35. 2003 – ÖSS
39. 2004 – ÖSS
Ali ile Burak, birlikte çalışarak 10 saatte bitirebi-
Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının % 48 i,
2
üne eşittir. Bu
3
sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
lecekleri bir işi yapmaya başlıyorlar. İkisi birlikte
erkek öğrencilerin sayısının
4 saat çalıştıktan sonra Ali işi bırakıyor. Geriye
kalan işi Burak 9 saatte bitirdiğine göre, bu işin
A) 42
tümünü Ali tek başına kaç saatte bitirebilirdi?
A) 30
B ) 26
C ) 25
D ) 24
B) 43
C) 45
D) 48
E) 60
E) 18
40. 2004 – ÖSS
80 koltuklu bir tiyatro salonunun a sayıda koltu36. 2003 – ÖSS
ğuna oturulduğunda boş kalan koltukların sayısı
5
Bir malın alış fiyatının 3 katı, satış fiyatının
2
sine eşittir. Bu mal, % kaç kârla satılmaktadır?
B ) 25
C ) 30
D ) 35
kalan koltukların sayısı a + 14 tür. Buna göre, b
kaçtır?
E) 40
A) 24
ESEN YAYINLARI
A) 20
a + 4 , b sayıda koltuğuna oturulduğunda ise boş
37. 2003 – ÖSS
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
41. 2004 – ÖSS
Bir bakkal kilogramını 600 000 TL den aldığı yaş
A torbasındaki topların % 64 ü, B torbasındaki
sabunları kurutarak kuru sabunların kilogramını
topların da % 36 sı beyazdır. Bu iki torbadaki
1 200 000 TL den satıyor. Bakkal bu satıştan
topların tümünün % 48 i beyaz olduğuna göre,
% 60 kâr elde ettiğine göre, 1 kilogram yaş sa-
A torbasındaki top sayısının, B torbasındaki top
bun kuruyunca kaç gram olmuştur?
sayısına oranı kaçtır?
1
A)
2
1
B)
4
3
C)
4
4
D)
5
5
E)
6
A) 800
B) 820
C) 850
D) 880
E) 900
42. 2004 – ÖSS
Aralarındaki yol 450 km olan A ve B kentlerinden
aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket
38. 2003 – ÖSS
eden iki araç 2,5 saat sonra karşılaşıyor. Bu iki
% 30 u su olan a litrelik bir karışıma 20 litre daha
araçtan birinin hızı değiştirilmediğine göre, diğe-
su ilave ediliyor. Elde edilen yeni karışımın % 50
rinin saatteki hızı kaç km artırılırsa karşılaşma,
si su olduğuna göre, a kaçtır?
hareketten 2 saat sonra gerçekleşir?
A) 20
240
B ) 25
C ) 40
D ) 50
E) 55
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
Denklem Kurma Problemleri
43. 2004 – ÖSS
47. 2004 – ÖSS
Bir alıcı, bir kumaşın satış fiyatından % 10
Bir fabrika % 72 kapasiteyle ve günde 15 saat
çalıştırıldığında 10 günde ürettiği miktardaki
indirim yapıldığında elindeki parayla indirimsiz
ürünü, % 90 kapasiteyle ve günde 12 saat çalış-
fiyattan alabileceği kumaştan 20 cm daha fazla
tırılırsa kaç günde üretir?
kumaş alabiliyor. Bu alıcının elindeki parayla
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
indirimli fiyattan alabileceği kumaş kaç cm dir?
E) 10
A) 200
B) 210
C) 220
D) 250
E) 280
44. 2004 – ÖSS
200 metrelik bir koşuda birinci gelen atlet koşuyu
ikinciden 10 metre, üçüncüden de 29 metre önde
48. 2004 – ÖSS
bitirmiştir. Buna göre, ikinci gelen atlet koşuyu
Aslı, Hakan ve Tolga’nın bugünkü yaşları
üçüncüden kaç metre önde bitirecektir?
toplamı 72 dir. Aslı, Hakan’ın bugünkü yaşına
( Atletlerin sabit hızla koştukları varsayılacaktır.)
A) 19,5
B ) 20
C ) 20,5
D ) 21
geldiğinde, Tolga’nın yaşı da Hakan’ın yaşının
E) 21,5
iki katı olacaktır. Buna göre, Hakan’ın bugünkü
yaşı kaçtır?
45. 2004 – ÖSS
Ahmet ve Barış bir işi birlikte 6 saatte bitiriyor.
Barış aynı işi tek başına Ahmet’in tek başına bitirebileceğinden 5 saat erken bitiriyor. Buna göre,
Barış bu işi tek başına kaç saatte bitirir?
A) 10
B ) 13
C ) 16
D ) 18
ESEN YAYINLARI
A) 12
B) 16
C) 18
D) 24
E) 32
49. 2005 – ÖSS
1977 yılında doğan bir matematikçi, yaşını soran
E) 20
bir arkadaşına, “ B ugünkü yaşım doğum yılımın
rakamlarının toplamına eşit.” yanıtını veriyor.
Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır?
A) 2000
46. 2004 – ÖSS
B) 2001
D) 2003
C) 2002
E) 2004
Bir belediye, abonelerinden kullandıkları ilk
10 m3 suyun her bir m3 ü için sabit bir ücret,
10 m3 ten sonraki her bir m3 ü için ise
öncekinden farklı ve yine sabit bir ücret
50. 2005 – ÖSS
almaktadır. Buna göre, 18 m3 su kullandığında
Bir araç A kenti ile B kenti arasındaki yolu orta-
28 000 000 TL, 24 m3 su kullandığında ise
lama v km / saat hızla giderek 16 saatte alıyor.
3
Bu araç aynı yolun yarısını ortalama 2v km / saat
40 000 000 TL ödeyen bir abone, yalnızca 1 m
su kullandığında kaç TL öder?
A) 800 000
B) 1 000 000
C) 1 200 000
D) 1 300 000
E) 1 400 000
hızla aldıktan sonra, tüm yolu yine 16 saatte tamamlamak için yolun kalan kısmını ortalama kaç
km/saat hızla gitmelidir?
A)
v
4
B)
3v
4
C)
v
3
D)
2v
3
E)
v
2
241
Denklem Kurma Problemleri
51. 2005 – ÖSS
54. 2005 – ÖSS
Üretim miktarının, işçi sayısı ve günlük çalışma
Aşağıdaki daire grafiğinde, A , B , C ve D olmak
süresiyle doğru orantılı olduğu bir fabrikada gün-
üzere dört fakültesi bulunan bir üniversitedeki
lük çalışma süresi % 20 azaltılıyor. Bu fabrikada
öğretim elemanlarının fakültelere dağılımı göste-
aynı üretim miktarının elde edilebilmesi için işçi
rilmiştir.
sayısı % kaç artırılmalıdır?
A ) 20
B ) 22,5 C ) 25
B
D ) 27,5
E) 40
A
45°
C
D
B fakültesindeki öğretim elamanı sayısı A dakinden 90, C fakültesindeki de B dekinden 45 fazladır. D fakültesindeki öğretim elemanı sayısıysa
A dakinin iki katıdır. Buna göre, A fakültesindeki
öğretim elamanı sayısı kaçtır?
52. 2005 – ÖSS
Canan, önce günde 10 sayfa okuyarak bir ki2
tabın
ini, sonra da günde 12 sayfa okuyarak
5
kalan kısmını bitiriyor. Canan kitabın tamamını
36 günde okuduğuna göre, kitap kaç sayfadır?
A ) 360
B ) 400
C ) 420
D ) 435
E) 450
ESEN YAYINLARI
A) 55
B) 60
C) 65
D) 70
E) 75
55. 2005 – ÖSS
Kahve fiyatının çay fiyatından % 50 daha fazla
olduğu bir pastanedeki iki masada sadece çay
ve kahve içilmiştir. Bu masalardan birincisinde
x tane çay, y tane kahve; ikincisinde ise y tane
çay, x tane kahve içilmiştir. İkinci masa birinci
x
masadan % 25 fazla ödeme yaptığına göre,
y
oranı kaçtır?
A)
53. 2005 – ÖSS
7
2
B)
5
2
C)
3
2
D) 2
E) 3
56. 2006 – ÖSS
Bir tüccarın, aldığı iki maldan A ya ödediği para
B ye ödediği paranın yarısı kadardır. Bu tüccar A
malını % 10 zararla, B malını % 50 kârla satıyor.
Aynı evde oturan bir grup arkadaş ev kirasını eşit
olarak paylaşıyor. Eve yeni bir arkadaş gelince
kira için kişi başına düşen para % 20 azaldığına
Tüccarın bu satıştan elde ettiği kâr % kaçtır?
göre, yeni arkadaşın gelmesiyle evde oturan kişi
A ) 15
sayısı kaç olmuştur?
B ) 25
C ) 30
D ) 45
E) 55
A) 3
242
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
Denklem Kurma Problemleri
57. 2006 – ÖSS
60. 2006 – ÖSS
2
ü aynı sayının 5
Hangi sayının 3 eksiğinin
3
eksiğine eşittir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Bir mağazada pantolon p, kazak k, tişört t TL den
satılmaktadır. Aşağıdaki tablodan Defne, Engin
ve Mutlu’nun bu mağazadan aldıkları pantolon,
E) 12
kazak, tişört sayıları gösterilmiştir.
Ald›¤› Giysi Say›s›
Pantolon
Kazak
Tiflört
Defne
2
1
1
Engin
1
1
2
Mutlu
1
2
1
Aldıkları giyisiler için en az parayı Engin, en çok
parayı Mutlu ödediğine göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) p < t < k
B) k < t < p
D) t < p < k
58. 2006 – ÖSS
C) k < p < t
E) t < k < p
2
ü ile 3 gömlek ve 2 kravat,
3
kalan parasıyla da 1 gömlek ve 3 kravat alabiliyor. Buna göre, bir gömleğin fiyatı bir kravatın
fiyatının kaç katıdır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ESEN YAYINLARI
Ahmet parasının
61. 2007 – ÖSS
Dört kardeş 114 TL yi paylaşıyor. Bu paylaşmada birinci kardeş ikinciden 1 TL, ikinci üçüncüden
2 TL, üçüncü döndürcüden 3 TL fazla alıyor.
Buna göre, en fazla para alan kaç TL almıştır?
A) 27
B) 28
C) 29
D) 31
E) 38
62. 2007 – ÖSS
Bir müşteri aldığı tişört için kasiyere bir miktar
para vermiştir. Kasiyer, tişört fiyatındaki TL ve
59. 2006 – ÖSS
Bir araç, iki kent arasındaki yolu saatte ortalama
60 km hızla gidip, hiç mola vermeden saatte
ortalama 80 km hızla dönerek yolculuğu 7 saatte
tamamlıyor. Bu iki kent arasındaki uzaklık kaç
km dir?
A ) 240
Kr bölümlerini karıştırmış ( örneğin tişört 16,05
TL ise kasiyer, fiyatı 5,16 TL olarak görmüş )
ve müşteriye 4,80 TL yerine yanlışlıkla 19,65
TL para üstü vermiştir. Tişörtün gerçek fiyatıyla
kasiyerin gördüğü fiyatın toplamı 55,55 TL olduğuna göre, müşteri kasiyere kaç TL vermiştir?
B ) 280
C ) 300
D ) 320
E) 360
A) 60
B) 55
C) 50
D) 45
E) 40
243
Denklem Kurma Problemleri
63. 2007 – ÖSS
66. 2007 – ÖSS
Bir tüccar, tanesi 45 TL den belirli sayıda gömlek
Badem, çekirdek, fıstık ve leblebi karıştırılarak
satın alıyor. Kendisine verilen faturada, ödenen
bir kuruyemiş paketi hazırlanmıştır. Aşağıdaki
miktarın ilk ve son rakamları silik çıktığı için bu
tabloda bu paketteki çekirdek, fıstık ve leblebinin
tutarın yalnızca •92• biçiminde dört basamaklı
bir sayı olduğu okunabiliyor. Tüccarın tek sayıda
ağırlıklarıyla çekirdeğin ağırlıkça yüzde oranı
verilmiştir.
gömlek aldığı bilindiğine göre, silik çıkan iki raka-
A¤›rl›¤›
(g)
Yüzde oran›
(%)
Çekirdek
500
40
F›st›k
300
Leblebi
250
mın toplamı kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Badem
Bu paketteki bademin ağırlıkça yüzde oranı kaçtır?
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 24
Sabit bir hızla yürüyen İrem, evden okula
1
giderken yolun
ünü yürüdüğünde matematik
3
defterini yanına almadığını fark ediyor. İrem
yoluna devam ederse dersin başlamasından
4 dakika önce, eve dönerek defterini alıp tekrar
yola çıkarsa dersin başlamasından 4 dakika
sonra okula varacağına göre, ev ile okul arasını
kaç dakikada almaktadır? ( Dönüşlerdeki zaman
kayıpları önemsenmeyecektir.)
A ) 10
B ) 12
C ) 14
D ) 15
E) 16
ESEN YAYINLARI
64. 2007 – ÖSS
67. 2007 – ÖSS
Dört yüzlü bir yazar kasa
1
2
çekmecesinin 1 ve 2
numaralı
gözlerindeki
8 TL
15 TL
paraların tutarı birbirine
eşittir; 3 ve 4 numaralı
gözlerindeki
paraların
3
5 TL
4
? TL
tutarı da birbirine eşittir.
Bu çekmecenin 1 ve 3 numaralı gözlerinin her
birine a TL, 2 ve 4 numaralı gözlerinin her birine
de b TL tutarında para konulunca şekilde belirtilen tutarlar elde ediliyor. Buna göre, 4 numaralı
gözde son durumda kaç TL vardır?
A) 7
B) 10
C) 12
D) 13
E) 14
65. 2007 – ÖSS
Bir aracın duruş mesafesi, frene basıldığı an-
68. 2008 – ÖSS
daki hızının karesiyle doğru orantılıdır. Bu araç
Bir poliklinikte bir doktora 50 hasta, bir hemşi-
saatte 60 km hızla giderken duruş mesafesi
reye de 25 hasta düşmektedir. Bu poliklinikteki
20 m olduğuna göre, saatte 90 km hızla giderken
doktor, hemşire ve hasta sayılarının toplamı 318
duruş mesafesi kaç m dir?
olduğuna göre, doktor sayısı kaçtır?
A) 30
244
B ) 45
C ) 50
D ) 60
E) 72
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Denklem Kurma Problemleri
69. 2008 – ÖSS
72. 2008 – ÖSS
1
ü ikinci
4
kamyona aktarılıyor. İkinci kamyonun bu yükü al1
dıktan sonraki yükünün ü de üçüncü kamyona
3
aktarılıyor. Son durumda, kamyonların üçünde
Bilge, otobüse binerek okuluna gitmek istiyor.
Üç kamyondan birincisinin yükünün
Bilge’nin 1. durağa olan uzaklığının, 2. durağa
2
tür.
olan uzaklığına oranı
3
de 6 ton yük olduğuna göre, başlangıçta üçüncü
V=30km/h
1. durak
Bilge
kamyondaki yük kaç tondur?
2. durak
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Otobüsün geldiğini gören Bilge, duraklardan
hangisine doğru yürürse yürüsün, saatteki hızı
30 km olan otobüsle aynı anda o durakta bulunduğuna göre, Bilge’nin yürüme hızı saatte kaç
km dir? ( Bilge 2. durağa doğru yürüdüğünde,
otobüsün 1. durakta durmadığı varsayılacaktır.)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
73. 2008 – ÖSS
E) 8
Bir yarısı ince diğer yarısı kalın olan 20 metre
ESEN YAYINLARI
uzunluğundaki bir ip her iki ucundan aynı anda
yakılıyor.
Ateşin ilerleme hızı ipin ince tarafında saniyede
2 metre, kalın tarafında ise 1 metre olduğuna
70. 2008 – ÖSS
göre, ipin tamamının yanması kaç saniye sürer?
1 defter ve 1 kalemin fiyatı 5 TL, 3 defter ve 2
kalemin fiyatı 14 TL olduğuna göre, bir defterin
A) 8
B) 7
C)
19
3
D)
17
2
E)
15
2
fiyatı kaç TL dir?
A) 2
B ) 2,5
C) 3
D ) 3,5
E) 4
74. 2008 – ÖSS
Mehmet’in elinde yeterli sayıda 1 TL, 10 TL ve
71. 2008 – ÖSS
100 TL lik banknotlar vardır. Mehmet 299 TL
Bir satıcı bir malı % 15 zararla 4250 TL ye sat-
tutarındaki bir ödemeyi, bu banknotlardan her
mıştır. Satıcı, aynı malı 6250 TL ye satsaydı %
birini en az bir kez kullanmak şartıyla kaç farklı
kaç kâr elde ederdi?
biçimde yapabilir?
A) 15
B ) 20
C ) 25
D ) 30
E) 35
A) 28
B) 29
C) 30
D) 42
E) 43
245
Denklem Kurma Problemleri
75. 2009 – ÖSS
78. 2009 – ÖSS
20
|AB| = 20 km
25
A
B
C
Alan(m2)
|BC| = 25 km
Boya(kg)
80
48
A kentinden hareket eden bir araç, saatte ortalama 60 km hızla giderek a dakikada C kentine
18
varıyor. Bu araç, B kentine kadar saatte ortala-
saat
3
ma 40 km hızla gitseydi yine toplam a dakikada
3
I. grafik
C kentine varmak için B ile C arasındaki yolu
saat
II. grafik
saatte ortalama kaç km hızla gitmeliydi?
Yukarıdaki doğrusal grafiklerden birincisi zama-
A) 75
na bağlı olarak bir boya ustasının boyadığı duvar
B ) 80
C ) 90
D ) 100
E) 105
alanını, ikincisi ise yine zamana bağlı olarak
ustanın boya kutusunda kalan boya miktarını
göstermektedir. Bu boya ustası, 48 kg boyanın
tümüyle kaç m2 lik duvar boyayabilir?
76. 2009 – ÖSS
Bir çobanın koyunları ya iki ya da üç kuzu doğurmuştur. İki kuzulu doğumlarda kuzuların % 75 i,
üç kuzulu doğumlardaysa kuzuların % 50 si
ESEN YAYINLARI
A) 94
B) 106
C) 108
D) 114
79. 2009 – ÖSS
k ≥ 4 olmak üzere, x TL para, k kişi yerine k – 3
kişiye eşit olarak dağıtılırsa her kişiye kaç TL
yaşamıştır. Bu çobanın doğum yapan 28 koyunu
fazla para düşer?
olduğuna göre, toplam kaç kuzusu yaşamıştır?
A)
x
k (k + 3)
B)
2k
k (k + 3)
C)
x
k (k – 3)
D)
2x
k (k – 3)
E)
3x
k (k – 3)
A) 35
B ) 36
C ) 39
D ) 42
E) 45
77. 2009 – ÖSS
80. 2010 – YGS
Bir pantolonu 50 TL, bir gömleği ise 30 TL ye
satan bir mağaza her bir pantolon ya da gömlek
alana bir adet mendil hediye etmektedir. Buna
göre, toplam 310 TL lik pantolon ve gömlek alan
bir müşteri en fazla kaç hediye mendil alabilir?
A) 7
246
B) 8
E) 128
C) 9
D ) 10
E) 11
Bir manav, limonları, her birinde 12 limon bulunan filelerle almış ve üçer üçer satmıştır. Manav
bir file limonu 5 TL ye almış ve 3 adet limonu 2 TL
ye satmıştır. Bu manav 4 file limonun satışından
kaç TL kâr elde etmiştir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Denklem Kurma Problemleri
81. 2010 – YGS
84. 2010 – YGS
Bir otomobil lastiği satıcısı, lastiklerde % 25
Bir mağaza sahibi, tüm ürünlerde etiket fiyatı
mevsim sonu indirimi uyguladığında bir günde
üzerinden % 20 indirim yapıyor. Aynı üründen
satılan lastik sayısının % 40 arttığını görüyor.
5 in üzerinde alınan her adet için ayrıca indirimli
Buna göre, satıcının kasasına bir günde giren
fiyat üzerinden % 25 lik bir indirim daha yapıyor.
(İkinci indirimi ilk 5 ürüne uygulamıyor.)
para yüzde kaç artmıştır?
A) 5
B ) 10
C ) 15
D ) 20
Bu mağazadan etiket fiyatı 15 TL olan bir ürün-
E) 25
den 8 adet alan bir müşteri kaç TL öder?
A) 81
B) 83
C) 84
D) 85
E) 87
85. 2010 – YGS
82. 2010 – YGS
Tecrübeli bir aşçı bir pastanın kıvamında olabil-
Bir çiftçi 5, 9, 12, 15, 23 ve 45 litrelik altı bido-
mesi için un ve şekerin aşağıdaki doğrusal gra-
nun beş tanesini ayçiçeği yağı ve zeytinyağı ile
fikte verilen miktarlarda kullanılması gerektiğini
doldurmuştur. Bidonlara koyduğu ayçiçeği yağı
belirtmiştir.
miktarı zeytinyağı miktarının 4 katıdır. Buna gö-
Un (kg)
re, boş kalan bidon kaç litreliktir?
B) 9
C ) 12
D ) 15
E) 23
8
ESEN YAYINLARI
A) 5
10
6
4
1
2
3
fieker (kg)
4
Buna göre, un ve şekerin toplam miktarının 23
kilogram olduğu kıvamlı bir pastada kaç kilogram
83. 2010 – YGS
Bir güreş müsabakasına katılan dört sporcunun
ağırlıkları bir hafta aralıkla ölçülmüştür. Sporcu-
şeker vardır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
ların ikinci ölçümdeki ağırlıklarının birinci ölçüme
göre değişimi aşağıdaki grafikte verilmiştir.
86. 2010 – YGS
De¤iflim (kg)
Sat›fl fiyat› (TL)
2,5
c
1
b
Sporcu
a
– 3,5
–4
5
Sporcuların ağırlıklarının ortalaması ilk ölçümde
56 kilogram olduğuna göre, ikinci ölçümde kaç
kilogramdır?
A) 53
B ) 54
C ) 55
D ) 57
E) 58
20
50
Birim
Bir malın miktarlara bağlı olarak değişen birim
satış fiyatı yukarıdaki doğrusal grafikte gösterilmiştir. c – a = 24 olduğuna göre, c – b kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 14
E) 16
247
Denklem Kurma Problemleri
87. 2011 – YGS
90. 2011 – YGS
Bir işi 5 kadın işçi 20 günde, 5 erkek işçi ise 30
Bir yatırımcı, hesabındaki z TL nin bir kısmıyla
günde bitiriyor. Buna göre, 2 kadın ve 2 erkek
altın, kalan kısmıyla da döviz alıyor. Yatırımcı bir
işçi aynı işi birlikte kaç günde bitirir?
süre sonra altınlarını % 20 kâr elde ederek x TL
A) 50
ye, dövizlerini % 20 zarar ederek y TL ye satıyor.
B ) 30
C ) 45
D ) 40
E) 20
Buna göre, x , y ve z arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
88. 2011 – YGS
A) 3z = 6 x + 4y
B) 5z = 4x + 6y
C) 4z = 9 x + 12y
D) 6z = 5x + 8y
E) 12z = 10 x + 15y
İsmail, kumbarasına 1. gün 5 Kr, 10 Kr, 25 Kr,
50 Kr ve 1 TL madenî paralarının her birinden
bir adet, 2. gün her birinden iki adet ve benzer
biçimde devam ederek n. gün her birinden n adet
atmıştır. İsmail kumbarasında 104,5 TL biriktirdiğine göre, n kaçtır?
A) 10
B) 11
C ) 12
D ) 13
91. 2011 – YGS
E ) 14
Beş öğrencinin aday olduğu sınıf başkanlığı
ESEN YAYINLARI
seçiminde adayların aldıkları oy sayıları olan A,
B, C, D, E arasında
A = B = 2C = 3D = 6E
eşitliği vardır.
Seçim sonucu dairesel grafikte gösterildiğinde
C tane oy alan adaya ait daire diliminin merkez
89. 2011 – YGS
Bir fabrikada üretilen iş makinelerinin sayısı gün
sonunda kayıt altına alınıyor. Tutulan kayıtlar
açısı kaç derece olur?
A) 180
B) 60
C) 45
D) 90
E) 120
o günle birlikte o günden önce üretilmiş olan iş
makinelerinin toplam sayısıdır. Beş iş gününde
tutulan kayıtlar aşağıda verilmiştir.
Pazartesi ve öncesi
: 20
Salı ve öncesi
: x
Çarşamba ve öncesi
: 90
Perşembe ve öncesi
: 140
Cuma ve öncesi
: y
92. 2011 – YGS
Alanı 12 metre kare olan bir duvar, kısa kenarı
10 cm, uzun kenarı 20 cm olan dikdörtgen
biçimindeki fayanslarla kaplanmak isteniyor. Bu
Cuma ve öncesinde üretilen iş makinelerinin sa-
işi yapacak usta, fayansların kısa kenar uzun-
yısı, salı ve öncesinde üretilenlerin dört katıdır.
luğunu yanlış anlıyor ve kaplama işi için kullan-
Ayrıca cuma günü üretilenlerin sayısı, salı günü
ması gerekenden 100 adet az fayans kullanarak
üretilenlerin iki katıdır. Buna göre, çarşamba
duvarı kaplıyor. Buna göre, ustanın kullandığı
günü üretilen iş makinelerinin sayısı kaçtır?
fayansların kısa kenarı kaç cm dir?
A) 60
A) 12
248
B) 40
C ) 30
D ) 45
E ) 55
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
Denklem Kurma Problemleri
93. 2011 – YGS
96. 2011 – YGS
Aşağıdaki doğrusal grafiklerden birincisinde
Bir ildeki anaokullarının tüm okullar içindeki payı
kabuklu fındıktan elde edilen iç fındık miktarı,
2000 yılında % 10, 2010 yılında ise % 15 tir. Bu
ikincisinde ise iç fındıktan elde edilen fındık yağı
ilde 2000-2010 yılları arasında açılan 50 okulun
miktarı gösterilmiştir.
20 si anaokuludur. Buna göre, bu ilde 2000 yılın-
iç f›nd›k (kg)
da kaç anaokulu vardır?
f›nd›k ya¤› (litre)
A) 30
4
3
5
kabuklu
f›nd›k (kg)
6
B) 40
C) 20
D) 25
E) 35
iç f›nd›k
(kg)
Buna göre, 5 kg kabuklu fındıktan kaç litre fındık
yağı elde edilir?
A) 2,5
B) 3
C) 2
D ) 1,5
E) 1
97. 2012 – YGS
Bir çay fabrikası, kilogramı 12 TL olan 15 ton A
94. 2011 – YGS
Bir depoda bulunan portakal ve mandalinaların
miktarı toplam 50 tondur. Portakalların % 7 si,
mandalinaların ise % 8 i çürümüştür. Çürüyen
ESEN YAYINLARI
türü çay ile kilogramı 9 TL olan 20 ton B türü çayı
karıştırmış ve elde ettiği harman çayın kilogramını 11 TL ye satmıştır. Buna göre, harman çayın
satışından elde edilen gelir, çayların ayrı ayrı satılmasıyla elde edilecek gelirden kaç TL fazladır?
A) 24 000
portakal ve mandalina miktarı toplam 3,8 tondur.
B) 25 000
D) 30 000
C) 28 000
E) 36 000
Buna göre, depoda kaç ton sağlam portakal
vardır?
A) 17,5
B ) 17,6
C ) 18
D ) 17
E ) 18,6
98. 2012 – YGS
Bir miktar kalem, bir grup öğrenciye paylaştırıla-
95. 2011 – YGS
2
Bir otobüse 3 kadın binerse yolcuların ü kadın
3
oluyor. Eğer otobüsten 4 erkek inseydi yolcuların
caktır. Bu kalemlerden 6 tane fazla veya 7 tane
eksik olsaydı kalemler hiç artmayacak biçimde
eşit olarak paylaştırılabilecekti. Buna göre, 112
1
ü erkek olacaktı. Buna göre, otobüsteki yolcu
4
sayısı kaçtır?
az kaç olabilir?
A) 32
A) 115
B) 24
C ) 21
D ) 28
E ) 30
den fazla olduğu bilinen bu kalemlerin sayısı en
B) 124
C) 126
D) 130
E) 137
249
Denklem Kurma Problemleri
99. 2012 – YGS
102. 2012 – YGS
Bir markette sabunlar üçerli ve ikişerli paketler
Bir mandırada bulunan 130 litre süt, peynir
halinde satılmaktadır. Üçlü paket içindeki sabun-
yapmak için kullanıldığında kalan süt ve üretilen
ların birim fiyatı, ikili paket içindeki sabunların bi-
peynir miktarları arasındaki doğrusal bağıntının
rim fiyatından % 10 ucuzdur. Bu marketteki üç-
grafiği aşağıdaki gibi olmaktadır.
lü paketin satış fiyatı, ikili paketin satış fiyatından
Kalan süt (litre)
3,5 TL fazla olduğuna göre, ikili paketin satış fi130
yatı kaç TL dir?
A) 7
B) 8
C ) 10
D ) 12
E) 14
25
Üretilen peynir (kg)
15
Buna göre, bu mandırada 10 kg peynir üretildi-
100. 2012 – YGS
ğinde kalan süt miktarı kaç litredir?
Aysel Hanım, pazartesi günü 45 gram, salı günü
A) 50
30 gram altın bozdurmuştur. Eğer pazartesi gü-
B) 60
C) 65
D) 75
E) 80
nü 30 gram, salı günü 45 gram altın bozdursaydı
göre altının salı günkü gram fiyatı pazartesi günküne göre kaç TL düşmüştür?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 9
E ) 15
ESEN YAYINLARI
ilk duruma göre eline 60 TL az geçecekti. Buna
103. 2012 – YGS
10 adet kutu, iki yarım çember ve iki paralel doğru parçasından oluşan ve ok yönünde hareket
eden bir palet üzerine şekildeki gibi eşit aralıklar-
101. 2012 – YGS
Bir otomotiv fabrikasında üretilen araç çeşitleri
aşağıdaki şemada gösterilmiştir.
la konulmuştur.
K
J
H
G
F
A
B
C
D
E
Araç
(120)
Binek
Ticari
Buna göre, A ve E noktalarındaki kutular ilk kez
Dizel
(15)
Benzinli Elektrikli
(12)
Dizel
Benzinli
dikey olarak aynı hizaya geldiklerinde K noktasındaki kutu nerede olur?
Bu fabrikada bir günde toplam 120 adet araç
A) A ile B noktaları arasında
üretilmektedir. Binek araçların 15 adedi dizel
B) B noktasında
ve 12 adedi elektriklidir. Bu fabrikada bir günde
C) B ile C noktaları arasında
üretilen toplam dizel araç sayısı, toplam benzinli
araç sayısının 2 katı olduğuna göre, kaç adet ticari dizel araç üretilmektedir?
A ) 50
250
B ) 52
C ) 55
D ) 57
E) 60
D) C noktasında
E) C ile D noktaları arasında
Denklem Kurma Problemleri
104. 2013 – YGS
107. 2013 – YGS
Ahmet’in maaşına Deniz’in maaşının yarısı
Bir sınıftaki öğrencilere kırtasiye malzemesi
kadar zam yapılırsa ikisinin maaşları toplamı,
dağıtılmak isteniyor. Bu sınıftaki 36 öğrencinin
Ahmet’in başlangıçtaki maaşının 2 katı oluyor.
her birine birer adet kurşun kalem, kalemtıraş
Ahmet’in maaşı A TL, Deniz’in maaşı D TL oldu-
ve silgi düşecek kadar malzeme sınıfa getiriliyor.
ğuna göre, A ile D arasındaki ilişki nedir?
A) 5A = 8D
B) 5A = 6D
D) 3A = 4D
Ancak, dağıtım günü öğrencilerin bir kısmı sınıfta
C) 4A = 5D
olmadığından sınıfta bulunan her bir öğrenciye
E) 2A = 3D
3 kurşun kalem, 2 kalemtıraş ve 1 silgi veriliyor.
Dağıtım sonunda bu malzemelerden toplam 42
adet arttığına göre, artan kalemtıraş sayısı kaçtır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
105. 2013 – YGS
Bir şirketin 2009, 2010 ve 2011 yıllarında elde
ettiği kârların ortalaması 4 milyon TL dir. Bu
şirket 2012 yılında 2011 yılına göre % 25 daha
Buna göre, şirket 2011 yılında kaç milyon TL kâr
elde etmiştir?
A) 4,8
B) 5
C) 5,2
D) 5,4
E) 5,6
ESEN YAYINLARI
fazla kâr elde etmiş ve bu dört yılda elde edilen
kârların ortalaması 4,5 milyon TL olmuştur.
108. 2013 – YGS
Eski bir uygarlığa ait takvimde,
1 ayda 36 gün
1 yılda 10 ay
bulunmaktadır.
Bu uygarlıkta, gün - ay - yıl sırasında verilen
AB-CD-ABCD biçimindeki tarihlere “simetrik
gün” ismi veriliyor.
Bu takvime göre, 20-08-2008 tarihinden en az
kaç gün sonra yine bir simetrik gün olur?
106. 2013 – YGS
Bir laboratuvarda erkek ve dişi kobay fareler
A) 360
B) 396
C) 480
D) 720
E) 756
üzerinde yapılan bir ilaç deneyi ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•
Erkek farelere her 12 saatte, dişi farelere ise
her 8 saatte bir 1 adet tablet ilaç verilmiştir.
•
Erkek farelere 0,5 gramlık, dişi farelere ise
1 gramlık tabletler verilmiştir.
•
Bu farelere bir günde toplam 85 gram ilaç,
95 tablet hâlinde verilmiştir.
Buna göre, deneyde toplam kaç fare kullanılmıştır?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
251
Denklem Kurma Problemleri
109. 2013 – YGS
Aşağıda bir ikizkenar dik üçgenden ve bu üçgenin hipotenüsünü çap kabul eden yarım çemberden oluşan bir koşu parkı gösterilmiştir. Bu
parkta üç koşu yolu bulunmaktadır. Başlangıç
noktasından aynı anda koşmaya başlayan Ayça
A, Barış B, Cem ise C yolunu kullanarak bitiş
noktasına varıyor.
Bafllangݍ
C
B
A
Bitifl
1.
–––––
A) Ayça
2.
–––––
Barış
3.
–––––
Cem
B)
Ayça
Cem
Barış
C)
Barış
Cem
Ayça
D)
Barış
Ayça
Cem
E)
Cem
Ayça
Barış
252
ESEN YAYINLARI
Ayça, Barış ve Cem’in saatteki hızları sırasıyla
4 km, 2 km ve 3 km olduğuna göre, bitiş noktasına varış sırası aşağıdakilerden hangisidir?
ESEN YAYINLARI
Denklem Kurma Problemleri
253
I.
II.
Sol sütunda x için tanımlanmış aralıkların x2 için karşılıklarını sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
1<x<3
1.
0 ≤ x2 < 9
b.
–3 < x < 0
2.
0 < x2 < 9
c.
–1 < x < 3
3.
1 < x2 < 9
Sol sütunda sayı doğrusu üzerinde verilen aralıkların karşılığını sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
a
b
1.
(a, b]
a
b
2.
[a, b]
c.
a
b
3.
[a, b)
d.
a
b
4.
(a, b)
b.
III.
Sol sütunda verilen sayıların doğru sıralanışlarını sağ sütunda bulup eşleştiriniz.
a.
b.
c.
d.
254
x=
76
83
93
, y=
, z=
77
84
94
x = 0, 233 , y = 0, 23 , z = 0, 23
x=
29
37
49
, y=
, z=
28
36
48
x = 522 , y = 244 , z = 333
1.
y<z<x
2.
y<x<z
3.
x<y<z
4.
z<y<x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SOLDAN SAĞA
2. İki niceliğin eşitliğini gösteren bağıntı
4. Bir dizi elemanı, belirli bir özelliğe göre sıraya
dizme işlemi
7. İki tam sayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılar
8. Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların
YUKARIDAN AŞAĞIYA
1. Bir değişkenin bir başka değişkenden daha az
veya eşit olması
2. Negatif olmayan tam sayılar kümesi
3. Matematikte niceliklerin birbirine göre büyüklüğü
5. Sayıları yazmak için kullanılan semboller
tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan ifade
10. 2 ile bölünebilen tam sayılar
6. Belli bir kurala göre art arda sıralanan sayılar
9. Matematikte “
” sembolü
11. Matematiğin toplama, çıkarma, çarpma ve
bölme işlemleri ve bu işlemlerin özellikleriyle
ilgilenen dalı
255
Aşağıdaki soruların her birinde noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz.
1.
En az biri sıfırdan farklı iki ya da daha fazla doğal sayıyı bölen en büyük doğal sayıya bu sayıların
.......................................... denir.
2.
Hepsi sıfırdan farklı olan iki ya da daha fazla doğal sayının katı olan en küçük doğal sayıya bu sayıların
.......................................... denir.
3.
Mutlak değerce payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere .......................................... denir.
4.
Paydası 10 un pozitif tam kuvvetleri olan rasyonel sayılara .......................................... denir.
5.
Bir denklemi sağlayan x değerine denklemin .......................................... denir.
6.
Sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının
.......................................... denir.
7.
Birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne .......................................... denir.
8.
İki veya daha fazla .......................................... eşitliğine orantı denir.
9.
1 den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif .......................................... olmayan sayılara asal sayılar
denir.
10. A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özellikleri varsa β bağıntısına
.......................................... denir.
256
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için kutucuklara D, yanlış olanlar için Y yazınız.
1.
Mutlak değerce payı paydasından küçük olan kesirlere basit kesir denir.
2.
Bir ondalık sayının virgülden önceki kısmına kesir kısmı denir.
3.
Her x, y ∈ R için ax + by = 0 ise a = 0 ve b = 0 olmalıdır.
4.
Her a, b, c ∈ R için a < b ⇒ a.c < b.c dir.
5.
|a – b| = –|b – a|
6.
1011 sayısı 11 basamaklı bir sayıdır.
7.
^ n x m hk = n.k x m.k
8.
Ters orantılı iki büyüklükten biri arttıkça diğeri de artar.
9.
1 den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
10.
Bir doğal sayının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
257
258
Download

Denklem ve Eşitsizlikler