Tek boyutlu

Heat and Mass Transfer: Fundamentals & Applications
Fourth Edition
Yunus A. Cengel, Afshin J. Ghajar
McGraw-Hill, 2011
Bölüm 2
Isı İletimi Denklemi
Copyright © 2011 The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display.
Türkçe sunumu hazırlayan Yrd.Doç.Dr. Nezaket Parlak
Bu bölümün amacı
• Isı transferinin çok boyutluluğunu, zamana bağımlılığını ve bir ısı
transfer problemine hangi şartlar altında tek boyutlu olarak
yaklaşılabildiğini anlamış olmak,
• Çeşitli koordinat sistemlerinde ısı iletimi diferansiyel denlmei
türetilebilmeli ve denklem sürekli tek boyutlu duruma
sadeleştirilebilmeli,
• Yüzeylerde ısıl şartlar belirlenebilmeli ve bunlar matematik sınır ve
başlangıç şartları olarak ifade edilebilmeli,
• Tek boyutlu ısı iletim problemleri çözülebilmeli ve bir ortamda sıcaklık
dağılımı ile ısı akısı elde edilebilmeli,
• Isı üretimi içeren katılarda tek boyutlu ısı iletimi çözümlenebilmeli,
• Katılarda ısıl iletkenliğinin sıcaklığa bağı olması durumunda ısı iletimi
hesaplanabilmelidir.
2
Giriş
•
•
•
•
•
Isı iletimi, ısıl enerjinin bir ortamdaki yüksek enerjili parçacıklardan
bitişiklerindeki daha az enerjili parçacıklara geçişidir.
Isı geçişi ve sıcaklık ilişkili kavramlar olmasına rağmen nitelikleri farklıdır.
Sıcaklık skaler bir büyüklüktür.
Isı geçişi hem büyüklüğe hem de bir yöne sahiptir. Vektörel bir büyüklüktür.
Eğer bir yüzeydeki ısı geçişi, iç tarafa doğru ise ısı kazancı, dışa doğru ise ısı
kaybı olarak adlandırılır.
Esas kural, ısı geçişi
koordinat düzleminin
pozitif yönüne doğru
ise pozitif, negatif
koordinat yönüne
doğru ise negatif
kabul edilir.
3
•
Isı geçişinin herhangi bir türü için itici güç sıcaklık farkıdır.
•
Sıcaklık farkı ne kadar büyük olursa ısı geçişi de o kadar büyük olur.
•
Isı transfer problemlerinde bazı kritik bölgelerde yerel ısı geçiş hızının
hesabı için bir ortam boyunca sıcaklık dağılımının belirlenmesi gerekir.
•
Bir ortamdaki bir noktadaki sıcaklığın tanımlanabilmesi için öncelikle bu
noktanın yeri tanımlanmalıdır.
•
Üç temel koordinat sistemi mevcuttur.
 Kartezyen T(x, y, z, t)
 Silindirik T(r, , z, t)
 Küresel T(r, , , t).
4
Sürekli ve Zamana Bağlı Isı Geçişi
• Sürekli (a) ortam içinde
herhangi bir noktada
zamanla değişimin
olmadığını gösterir.
• Zamana bağlı (geçici) (b)
zamanla değişimi , zamana
bağlılığı ifade eder.
• Bazı durumlarda zamana
göre değişimin olduğu,
fakat konuma göre
değişimin olmadığı ortamın
sıcaklığı üniform olarak
değişir. Bu sistemlere yığık
sistemler denilir. Örneğin;
bir ısıl çift (termokupl)
ölçme ucu.
5
Çok Boyutlu Isı Geçişi
•
Isı geçişi problemlerinin sınıflandırılması
 Tek boyutlu
 İki boyutlu
 Üç boyutlu
•
Bir ortamdaki ısı geçişi üç boyutludur, yani sıcaklık üç ana
doğrultuda değişir. Fakat, bazı problemler iki yada bir boyuta
indirgenebilir.
Tek boyutlu ısı geçişi; eğer sıcaklık
yalnız bir doğrultuda değişiyor,
dolayısıyla ısı bir doğrultuda
geçiyorsa, diğer doğrultulardaki
sıcaklık değişimleri ve ısı geçişi
ihmal edilebilir. Bu durumda ısı
transfer problemi tek boyutlu olarak
adlandırılır.
6
İki boyutlu ısı geçişi; eğer bir ortamdaki
sıcaklık iki esas doğrultuda değişebilir ve
üçüncü boyuttaki ısı geçişi ihmal edilebilir.
Bu durumda ısı geçişi problemi iki
boyutludur.
7
• Bir ortamda belirli bir doğrultuda (mesela x-doğrultusunda) iletimle
olan ısı transfer hızı, ortam içindeki sıcaklık farkı ve ısı geçişine dik
alan ile doğru orantılı , o doğrultudaki mesafe ile ters orantılıdır. Bu
durum; Fourier’in ısı iletimi denklemi ile aşağıdaki gibi ifade edilir.
Burada k, ısıl iletkenlik ve dT/dx , T-x
diyagramındaki sıcaklık eğrisinin
eğimi olan sıcaklık gradyenidir.
Malzemelerin ısıl iletkenlikleri
sıcaklığa göre değişir, fakat
hesaplamalarda ortalama sıcaklığa
göre alınarak hassas sonuçlar elde
edilebilir.
Denklemdeki negatif işaret, pozitif x
yönündeki ısı geçişinin pozitif bir
nicelik olmasını sağlar.
8
• Isı iletim denkleminin genel hali için
üç boyutlu bir problem ele alalım
(Şekil 2-8). Ortamın sabit sıcaklıklı
bir yüzeyinde P noktası olsun.
Yüzeyin normali n olmak üzere, ısı
geçişi yüzeyin normali yönünde
Fourier kanunu;
Kartezyen koordinatlarda, ısı iletimi
vektör bileşenleri cinsinden;
x,y ve z yönlerindeki ısı geçiş hızları;
9
Isı Üretimi
•
•
•
•
Örnekler:
 Elektrik enerjisinin, I2R oranında ısı enerjisine dönüşmesi
 Nükleer reaktörlerin yakıt elemanlarında fisyon ile ısı açığa çıkması,
 Ekzotermik kimyasal reaksiyon ortamında ısı açığa çıkması.
Isı üretimi hacimsel bir olaydır.
Birimi W/m3 yada Btu/h·ft3.
Bir ortamdaki ısı üretim hızı hem zamanla hem de konumla değişebilir.
10
Örnek; Isı Üretimi
11
TEK BOYUTLU ISI İLETİM DENKLEMİ
Tek camlı bir pencere, bir presli ütünün altındaki metal plaka, dökme demir
bir buhar borusu, silindirik bir nükleer yakıt elemanı, bir elektrik direnç teli,
temperlenen küresel bir tankın duvarı, bir evin düzlem duvarda ısı iletimi
göz önüne alınsın.
Bu örnekler gibi birçok geometrideki ısı iletimi tek boyutlu olarak ele
alınabilir. Çünkü ısı iletimi tek yönde daha etkin olup diğer yönlerdeki ısı
iletimleri ihmal edilebilir.
Kartezyen, silindirik, ve küresel koordinatlarda tek boyutlu ısı iletimi
denklemleri türetilecektir.
12
Geniş Bir Düzlem
Duvarda Isı İletimi
Denklemi
Geniş bir düzlem duvardaki bir
hacim elemanından tek
boyutlu ısı iletimi
(Volume element= hacim elemanı)
(Generation= Üretim)
13
Isı üretimi olmayan, sürekli ısı iletimi ve sabit
iletkenlik durumlarında düzlem bir duvarda tek
boyutlu ısı iletim denkleminin basitleştirilmesi
14
Uzun Bir
Silindirde Isı
İletim
Denklemi
15
İçerisinde ısı üretimi olmayan bir silindirde tek
boyutlu sürekli ısı iletimi için diferansiyel
denklemin iki eşdeğer durumu
16
Bir Kürede Isı İletim
Denklemi
17
Birleşik Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi
Düzlem duvar, silindir ve küre için, tek boyutlu, zamana bağlı ısı
iletim denkleminin her üç koordinat için genel hali;
n = 0 düzlem duvar için
n = 1 silindir için,
n = 2 küre için,
Düzlem duvar durumunda r değişkeni yerine alışılmış şekliyle x
alınır.
Bu denklem benzer şekilde, sürekli veya ısı üretimi olmayan
durumlar içinde basitleştirilebilir.
18
Örnek:
19
GENEL ISI İLETİMİ DENKLEMİ
Isı geçişi uygulamalarında çoğunlukla ısı iletimi tek boyutlu olarak
alınmakta, diğer boyutlardaki ısı iletimleri ihmal edilmektedir.
Ancak her zaman durum böyle değildir, diğer doğrultulardaki ısı
geçişinin de göz önüne alınması gerekmektedir.
Bu durumda ısı geçişi çok boyutlu olarak adlandırılmaktadır.
Tek boyutlu ısı geçişi denklemi kartezyen, silindirik ve küresel
koordinatlar için geliştirilmişti.
Bu bölümde her üç koordinat için çok boyutlu ana diferansiyel
denklemler türetilecektir.
20
Kartezyen koordinatlar
21
Değişken
iletkenlik
Sabit
iletkenlik
22
Sıcaklık yalnız bir
doğrultuda değiştiği
zaman, üç boyutlu ısı
iletim denklemi tek
boyutlu ısı iletim
denklemine indirgenir.
23
Silindirik Koordinatlar
Kartezyen ve silindirik koordinat sistemleri arasında aşağıdaki
ilişkiler kullanılarak dönüşüm yapılır;
24
Küresel Koordinatlar
Kartezyen ve küresel koordinat sistemleri arasında aşağıdaki
ilişkiler kullanılarak dönüşüm yapılır;
25
Ana Denklemlerdeki Isı Akıları
𝑸 = 𝑨 𝒒′′
′′
𝑸𝒓 = 𝑨𝒓 𝒒′′
𝒓 = 𝟐𝝅𝒓𝑳𝒒𝒓
𝟐 ′′
𝑸𝒓 = 𝑨𝒓 𝒒′′
𝒓 = 𝟒𝝅𝒓 𝒒𝒓
26
BAŞLANGIÇ VE SINIR ŞARTLARI
Bir ortamdaki ısı akısının ve sıcaklık dağılımının ortamı sınırlayan yüzeylerdeki şartlara
bağlıdır ve ısı geçişinin belirlenebilmesi için yüzeydeki ısıl şartlar tam olarak tarif edilmelidir.
Sınır Şartları: sınırlardaki ısıl şartların matematiksel ifadelerine denir.
Bir düzlem duvarda
herhangi bir noktada ve
andaki sıcaklık ısı
iletiminin başlangıcındaki
duvar şartına bağlıdır.
Genellikle t = 0 anında
tanımlı şart ortamın
başlangıçtaki sıcaklık
dağılımının
matematiksel ifadesidir
ve başlangıç şartı
olarak adlandırılır.
Burada f fonksiyonu t=0
anında ortam boyunca
sıcaklık dağılımını
gösterir.
Tipik bir diferansiyel denklemin
genel çözümü gelişigüzel
sabitler ve dolayısıyla sonsuz
sayıda çözüm içerir.
Bir ısı geçişi problemini
tanımlanması için, her bir ısı
geçişi doğrultusu için iki sınır
şartı verilmelidir.
27
Uygulamada En Çok Karşılaşılan
Sınır Şartları
• Tanımlı sıcaklık
• Tanımlı ısı akısı
• Taşınım
• Işınım sınır şartlarıdır.
28
1 Tanımlı sıcaklık sınır şartı
The temperature of an exposed surface
can usually be measured directly and
easily.
Therefore, one of the easiest ways to
specify the thermal conditions on a surface
is to specify the temperature.
For one-dimensional heat transfer through
a plane wall of thickness L, for example,
the specified temperature boundary
conditions can be expressed as
where T1 and T2 are the specified
temperatures at surfaces at x = 0 and
x = L, respectively.
The specified temperatures can be
constant, which is the case for steady
heat conduction, or may vary with time.
29
2 Tanımlı ısı akısı sınır şartı
The heat flux in the positive x-direction anywhere in the
medium, including the boundaries, can be expressed by
For a plate of thickness L subjected to heat
flux of 50 W/m2 into the medium from both
sides, for example, the specified heat flux
boundary conditions can be expressed as
30
Özel durum: Yalıtımlı Sınır
A well-insulated surface can be modeled
as a surface with a specified heat flux of
zero. Then the boundary condition on a
perfectly insulated surface (at x = 0, for
example) can be expressed as
On an insulated surface, the first
derivative of temperature with respect
to the space variable (the temperature
gradient) in the direction normal to the
insulated surface is zero.
31
Özel durum: Isıl Simetri
Some heat transfer problems possess thermal
symmetry as a result of the symmetry in imposed
thermal conditions.
For example, the two surfaces of a large hot plate
of thickness L suspended vertically in air is
subjected to the same thermal conditions, and thus
the temperature distribution in one half of the plate
is the same as that in the other half.
That is, the heat transfer problem in this plate
possesses thermal symmetry about the center
plane at x = L/2.
Therefore, the center plane can be viewed as an
insulated surface, and the thermal condition at this
plane of symmetry can be expressed as
which resembles the insulation or zero heat
flux boundary condition.
32
3 Taşınım sınır şartı
For one-dimensional heat transfer in the x-direction
in a plate of thickness L, the convection boundary
conditions on both surfaces:
33
4 Işınım sınır şartı
Radiation boundary condition on a surface:
For one-dimensional heat transfer in the
x-direction in a plate of thickness L, the
radiation boundary conditions on both
surfaces can be expressed as
34
5 Arayüzey sınır şartı
The boundary conditions at an interface
are based on the requirements that
(1) two bodies in contact must have the
same temperature at the area of contact
and
(2) an interface (which is a surface)
cannot store any energy, and thus the
heat flux on the two sides of an interface
must be the same.
The boundary conditions at the interface
of two bodies A and B in perfect contact at
x = x0 can be expressed as
35
6 Genelleşmiş sınır şartı
In general, however, a surface may involve convection,
radiation, and specified heat flux simultaneously.
The boundary condition in such cases is again obtained
from a surface energy balance, expressed as
36
SÜREKLİ TEK BOYUTLU ISI İLETİM
PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ
In this section we will solve a wide range of heat
conduction problems in rectangular, cylindrical,
and spherical geometries.
We will limit our attention to problems that result
in ordinary differential equations such as the
steady one-dimensional heat conduction
problems. We will also assume constant thermal
conductivity.
The solution procedure for solving heat
conduction problems can be summarized as
(1) formulate the problem by obtaining the
applicable differential equation in its simplest
form and specifying the boundary conditions,
(2) Obtain the general solution of the differential
equation, and
(3) apply the boundary conditions and determine
the arbitrary constants in the general solution.
37
38
39
40
41
42
43
44
45
KATILARDA ISI ÜRETİMİ
Many practical heat transfer applications
involve the conversion of some form of energy
into thermal energy in the medium.
Such mediums are said to involve internal heat
generation, which manifests itself as a rise in
temperature throughout the medium.
Some examples of heat generation are
- resistance heating in wires,
- exothermic chemical reactions in a solid, and
- nuclear reactions in nuclear fuel rods
where electrical, chemical, and nuclear
energies are converted to heat, respectively.
Heat generation in an electrical wire of outer
radius ro and length L can be expressed as
46
The quantities of major interest in a medium with
heat generation are the surface temperature Ts
and the maximum temperature Tmax that occurs
in the medium in steady operation.
47
48
DEĞİŞKEN ISIL İLETKENLİK, k(T)
When the variation of thermal conductivity with
temperature in a specified temperature interval is
large, it may be necessary to account for this
variation to minimize the error.
When the variation of thermal conductivity with
temperature k(T) is known, the average value of
the thermal conductivity in the temperature range
between T1 and T2 can be determined from
49
The variation in thermal conductivity of a material with
temperature in the temperature range of interest can often be
approximated as a linear function and expressed as
 temperature coefficient
of thermal conductivity.
The average value of thermal conductivity
in the temperature range T1 to T2 in this
case can be determined from
The average thermal conductivity in this
case is equal to the thermal conductivity
value at the average temperature.
50
ÖZET
• Giriş
 Sürekli ve geçici rejimde ısı geçişi
 Çok Boyutlu Isı Geçişi
 Isı Üretimi
• Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi




Geniş Bir Düzlemde Isı İletim Denklemi
Uzun Bir Silindirde Isı İletim Denklemi
Bir Kürede Isı İletim Denklemi
Birleşik Tek Boyutlu Isı İletim Denklemi
• Genel Isı İletim Denklemi
 Kartezyen Koordinatlar
 Silindirik Koordinatlar
 Küresel Koordinatlar
•
•
•
•
Başlangıç ve Sınır Şartları
Tek Boyutlu Isı İletim Problemlerinin Çözümü
Katılarda Isı Üretimi
Değişken Isıl İletkenlik k (T )
51