8.1 İç Kuvvetler 229 8.2 Bir Noktada Kesit Tesirlerinin Hesabı 232

8.1
8.2
8.3
8.4
İç Kuvvetler
Bir Noktada Kesit Tesirlerinin Hesabı
 Örnekler
Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri: Kesim Yöntemi
 Örnekler
Doğru Eksenli Çubuklarda Kesit Tesirleri:
Diferansiyel Denge Denklemleri
8.5
Kesit Tesir Diyagramları
 Örnekler
PROBLEMLER
229
232
235
238
240
243
245
247
253
Ünlü İngiliz fizikçi enerjinin mekanik, elektriksel ve ısısal temelde aynı olduğunu ve
birbirlerine dönüştürülebileceğini gösterdi. Böylece enerjinin korunumu yasasına
katkıda bulundu. “Joule etkisi” olarak bilinen çalışmasıyla elektrik akımının bir telde
oluşturduğu ısının, telin direnci ile akımın karesinin çarpımına doğru orantılı
olduğunu tespit etti. Isının ısıtılan cismin niteliğinden bağımsız bir enerji biçimi
olduğunu ispatladı. 1982 de William Thomson (Lord Kelvin) ile birlikte daha sonra
soğutucu sanayinde kullanılacak büyük buluşu olan, dışarıya iş uygulamaksızın
genleşmeye bırakılan gazın sıcaklığının düştüğünü açıkladı. Isının mekanik
karşılığı olan iş birimi Joule kısaca J harfiyle gösterilir.
James Prescott JOULE (1818-1889)
8.1
İÇ KUVVETLER
Bir taşıyıcı sisteme etkiyen dış yükler, taşıyıcıyı oluşturan parçalar arasında paylaşılarak taşınır. Dış yüklerin etkisi altındaki tüm taşıyıcılar,
molekülleri arasındaki bağları kullanarak, yüke bir karşı direnç gösterirler. Bu direnç taşıyıcı, noktadan noktaya değişir. O nedenle bir taşıyıcı
elemanın her noktasında dış yükü karşılarken oluşacak iç direncin hesaplanabiliyor olması mühendisler için gereklidir. Böylece en çok zorlanan
noktalar daha sonra tasarım aşamasında titizlikle incelenecektir.
Statik kapsamında sadece taşıyıcının herhangi bir kesitinde dış etkilere
direnç olarak gelişecek iç tepkilerin ne tür kuvvetler ve/veya momentler
olduğunu belirlemek istiyoruz. Ayrıca çözeceğimiz taşıyıcı sistemlerde
statikçe belirli olacak. Hatırlatmak gerekirse, statik sadece yapısal denge
ile ilgilidir ve rijit cisimler mekaniği penceresinden bu konuyu bakmaktadır. O nedenle, iç direnç kuvvetlerinin kapasitesinin dış kuvvetleri taşımada yeterli olup olmadığı, ya da taşıyıcı dış yükleri aktarmakta yetersiz
kalıyorsa nasıl bir boyutlandırma ile onu yeterli hale getirebiliriz gibi
tasarıma dönük bakışlar bu dersin kapsamı dışındadır.
Dik Kesit: Şekil (8.1a) daki çubuğu, x eksenine dik bir hayali düşey düzlemlerle kestiğimizi varsayalım. Bu durumda, düşey düzlem ile çubuğun
arakesitini oluşturan enkesit eğer çubuk eksenine dikse, ona dik kesit
denir, aksi halde eğik kesit olur. Eğer hayali düşey düzlemle çubuğu
ikiye ayırdığımızı varsayarsak, o zaman da karşımız Şekil (8.1) deki gibi
iki çubuk parçası çıkar. Şimdi kesim yaptığımız yerde karşılıklı duran iki
dik kesitten sol parçanın sağındaki kesite sağ kesit denirken, sağ tarafta
kalan parçanın solundaki dik kesite de sol kesit denir.
230
STATİK
Çubuk Ekseni: Şekil (8.2) de görüldüğü gibi çubuğun her bir dik kesiti-
ne ait ağırlık merkezinden geçecek biçimde çizilecek eğriye çubuk ekseni
denir. Çubuk ekseni bir doğru olabileceği gibi, bir uzay eğrisi de olabilir.
İç Kuvvet (Gerilme): Bir taşıyıcının dış yüklere karşı geliştirdikleri iç
dirence iç kuvvet ya da gerilme deni. İç kuvvetler çubuğun x ekseni
boyunca her bir dik kesitinde farklı şiddetlerde ve doğrultularda karşımıza çıkar. Tanım gereği iç kuvvet çubuk kesiti üstünde yayılı dağılmış bir
büyüklük olup birim alana gelen kuvveti temsil eder. O nedenle iç kuvvetin birimi [kuvvet/alan] olur.
Kesit Tesirleri: Çizelge (8.1) de görüldüğü gibi, eğer bir dik kesitteki iç
kuvvetlerin bileşkelerini o kesitin ağılık merkezine taşırsak, bu noktada
yoğunlaşmış tekil kuvvet ve/veya moment büyüklükleri ile karşılaşırız.
Şu halde özetlemek gerekirse, doğrudan çubuk ağırlık merkezine indirgediğimiz kuvvet ve moment büyüklüklerine kesit tesiri adını veriyoruz.
Kuvvetler kendi içlerinde eksenel normal kuvvet ve kesme kuvveti,
momentler de eğilme momenti ve burulma momenti diye sınıflandırmaya
tabi tutulurlar.
Normal kuvvet
:
Kesme kuvveti
:
Eğilme momenti
:
Burulma momenti
:
Kesite dik etkiyen bir kuvvettir ve gösterimde N
harfi kullanılır.
Kesit düzlemi içinde bir kuvvettir ve gösterimde
T harfi kullanılır. Üç boyutlu bir problemde, bir
karışıklığa neden olmamak için, kesme kuvveti
kesit düzleminin içinde yer aldığı eksenlerden
hangisinin doğrultusunda ise o eksen alt indis
olarak kullanılır (Bakınız Şekil 8.3b).
Çubuğu, kendi eksenine dik doğrultuda döndüren
momenttir ve gösterimde kullanılacak M e harfi
alt indisli yazılır. Burada e alt indisi moment
vektörünün doğrultusunu işaret eder ve üç boyutlu problemlerde e harfi karışıklık olmaması için
çubuk eksenine dik eksenler ile değiştirilir (örneğin, eğer çubuk ekseni y ise, e harfi de x ya da
z olur – Bakınız Şekil 8.3b).
Çubuğu ekseni etrafında döndüren momenttir ve
gösterimde M b harfi kullanılır. Buradaki b alt
indisi üç boyutlu problemlerde karışıklık olmaması için çubuk ekseni ile de değiştirilir.
Denge: Çizelge (8.1) deki doğru eksenli çubuğu bir yerinden düşey doğ-
rultuda kesersek, çubuk iki parçaya ayrılmış olur. Her bir parçanın dengede durabilmesi için, kesilen yüzey alanındaki iç kuvvetler kesit yüzeylerine etki  tepki kuralına göre yerleştirilmelidir.
8. KESİT TESİRLERİ
ÇİZELGE (8.1): Kesim yapılmış bir düzlem çubuğun sağ ve sol kesitlerinde oluşacak kesit tesirleri
231
233
8. KESİT TESİRLERİ
Bölge Sayısı: Şekil (8.6) da görüldüğü gibi, çerçeve çubuğuna bağ kuv-
vetleri dışında etkiyen dış yüklerin onun üzerindeki yük dağılımını değiştireceği için, kesit tesirlerinin yükten öncesi ile yükten sonrasında değerleri ya da davranışları değişir. Şekil (8.7) de çeşitli çubuklarda bölge
sayısının nasıl tespit edildiği görülüyor.
KESİT TESİRLERİNİN HESABI: Şekil (8.6) daki iki bölgeli CE çubuğunu
hesap kolaylığı sağlayacağı için incelemeye alalım. Bölüm 6 da mafsal
noktalarındaki bağ kuvvetleri C x , C y , FBD ile E x , E y nin nasıl hesaplandığını görmüştük. Buna göre şimdi onları bildiğimiz varsayalım. .
Bölgede C noktasından x kadar ötedeki kesim noktasındaki kesit tesirlerini bulmak için, bu noktada denge denklemleri yazılırsa,
( N CE )1 = C x
Fx = 0

Fy = 0

(TCE )1 = - C y
(8.2)
M = 0

( M CE )1 = - xC y
(8.3)
(8.1)
241
8. KESİT TESİRLERİ
Kesit Tesirleri: Bölge içinde keyfi bir noktadan çubuğu kesersek, ankastre mesnet ile kesim noktası arasındaki sol parçanın SCD Şekil (P6.3) de
görüldüğü gibi çizilir. Sağ kesitte denge denklemlerini yazarsak,
Fy = 0
 TA - 4 = 0
M = 0

M +-(-3) - 4 x = 0

T = 4 kN 
(P6.1)

M = 4 x -3
(P6.2)
Şimdi kesitlerini bir de sağ parça üstünden hesaplayalım. Bu durumda
çubuğun SCD Şekil (P6.4) de görüldüğü gibi çizilir. Sol kesitteki kesit
tesirleri etki-tepki kuralına göre yerleştirilmiştir. Ayrıca eksen koordinatı
x de serbest uçtan başlayarak ankastre mesnede doğru yönelmiştir.
Şimdi sağ parçanın sol kesitinde denge denklemlerini yazalım.
Fy = 0
 TA - 4 = 0
M = 0


M + 4x = 0

T = 4 kN 
M = - 4x
(P6.3)
(P6.4)
Aynı olması gereken kesme kuvveti sonuçları (P6.1) ve (P6.3) tarafından
gerçeklenir. İlk anda (P6.2) ile (P6.4) sanki farklı sonuçlarmış gibi gelebilir, ama durum gerçekte böyle değil. Şöyle ki, C noktasından ölçülen
uzunluk koordinatı x yi A noktasından ölçülen x e çevirecek olursak
x = 34 - x yazılır. Daha sonra yapılması geren, bunu (P6.4) de yerleştirmektir. Böylece,
M = - 4 x = - 4 ( 34 - x) = 4 x - 3

(P6.2) º (P6.4) 
görülür.
Serbest uçtan 25 cm uzaktaki noktada kesit tesirleri: Kesme kuvveti
(P6.1) e göre çubuk ekseni boyunca sabit değerli ama (P6.2) de eğilme
momenti x in fonksiyonu. Şu halde (P6.2) de x = 0.5 m yerleştirilirse,
T = 4 kN
ve
M = 4´ 0.5 - 3 = -1 kN m
bulunur

:ÖRNEK 8.7: Şekil (P7.1) deki basit mesnetli kirişte kesit tesir fonksiyonları-
nı hesaplayınız. q = 2 kN/m , P = 21kN , a = 2 m , b = 1m .
ÇÖZÜM: Mesnet Tepkileri: Kirişin SCD Şekil (P7.2) de görüldüğü gibi
çizilir. Burada bilinmeyen bağ kuvvetlerini hesaplayabilmek için denge
denklemlerini yazarsak,
Fx = 0
M A = 0


Ax = 0
3By -1.5(3´ 2) - 2´ 21 = 0 
By = 17 kN 
Fy = 0

Ay + 17 - 3´ 2 - 21 = 0
Ay = 10 kN 
