ÜN‹TE IV - Abdullah Sivari

MATEMAT‹K 8

ÜN‹TE IV
A) DENKLEM S‹STEMLER‹
a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler
b) Do¤rusal Denklem Sistemleri
ALIfiTIRMALAR
ÖZET
TEST IV-I
B) ÜÇGENLERDE EfiL‹K ve BENZERL‹K
a) Üçgenlerde Efllik
b) Üçgenlerde Efllik fiartlar›
c) Üçgenlerde Benzerlik
d) Üçgenlerde Benzerlik fiartlar›
ALIfiTIRMALAR
ÖZET
TEST IV-II
C) GEOMETR‹K C‹S‹MLER
a) Üçgen Prizma
b) Üçgen Prizman›n Yüzey Alan› ve Hacmi
c) Piramit, Koni ve Küre
ALIfiTIRMALAR
ÖZET
TEST IV-III
149
MATEMAT‹K 8
☞
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI
Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;
Bir bilinmeyenli rasyonel denklemleri çözebilecek,
Do¤rusal denklem sistemlerini cebirsel yöntemlerle çözebilecek,
Üçgenlerde efllik flartlar›n› aç›klayabilecek,
Üçgenlerde benzerlik flartlar›n› aç›klayabilecek,
Üçgenlerde benzerlik flartlar›n› problemlerde uygulayabilecek,
Prizmay› infla edebilecek, temel elemanlar›n› belirleyebilecek ve yüzey aç›n›m›n›
çizebilecek,
Dik prizmalar›n yüzey alan›n›n ba¤›nt›lar›n› oluflturabilecek,
Dik prizmalar›n hacim ba¤›nt›lar›n› oluflturabilecek,
Piramidi infla edebilecek, temel elemanlar›n› belirleyebilecek ve yüzey aç›n›m›n›
çizebilecek,
Koninin temel elemanlar›n› belirleyebilecek, infla edebilecek ve yüzey aç›n›m›n›
çizebilecek,
Kürenin temel elemanlar›n› belirleyebilecek ve infla edebileceksiniz.
NASIL ÇALIfiMALIYIZ?
*
*
*
*
*
*
*
150
✍
Bu bölümü kavrayabilmek için;
Aç›klamalar› dikkatle okuyunuz.
Konuda verilen örnekleri çözerek çal›fl›n›z.
Uyar›lar› dikkate al›n›z.
Konuda verilen al›flt›rma ve problemleri yan›tlay›n›z.
Konu sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme testi sorular›n› cevaplay›n›z.
Tak›ld›¤›n›z yerde, ilgili konuyu tekrar gözden geçiriniz.
8. S›n›f matematik kaynak kitaplar›ndan faydalanarak çok say›da soru çözünüz.
Çözemedi¤iniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yard›m al›n›z.
MATEMAT‹K 8
ÜN‹TE IV
DENKLEM S‹STEMLER‹
ÖRNEK
5x -13 = 4 denklemini sa¤layan x de¤erini bulal›m.
3
Eflitli¤in her iki taraf›n› 3 ile çarpal›m. Böylece payday› ortadan kald›rm›fl oluruz.
3. 5x - 13 = 4 . 3
3
5x - 13 = 12
5x = 25 ⇒ x = 5 elde ederiz.
5
5
Buldu¤umuz de¤eri denklemde x yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol edelim.
5x - 13 = 4
3
x = 5 için
5. 5 - 13 =? 4
3
25 - 13 =? 4
3
?
12 =
4
3
4=4
Eflitlik sa¤land›¤›ndan buldu¤umuz de¤er do¤rudur.
ÖRNEK
x + 63 = 2 Denklemini sa¤layan x de¤erini bulal›m.
4x
151
MATEMAT‹K 8
ÖRNEK
Eflitli¤inin her iki taraf›n› 4x ile çarpal›m. Böylece
payday› ortadan kald›rm›fl oluruz.
x + 63 = 2
4x
4x . x + 63 =2.4x
4x
x + 63 = 8x
63 = 7x
x = 9 elde ederiz.
Buldu¤umuz de¤eri denklemde x yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol
edelim.
x + 63 = 2
4x
?
x = 9 için 9 + 63 = 2
4.9
72 =? 2
36
2=2
Eflitlik sa¤land›¤›ndan buldu¤umuz de¤er do¤rudur.
ÖRNEK
x - 3 + 3 = 1 Denklemini sa¤layan x de¤erini bulal›m.
3x + 2 7 2
ÇÖZÜM
x-3 +3 =1
3x + 2 7 2
ifllem kolayl›¤› sa¤lamak amac›yla bilinmeyen ifadelerle bilinen ifadeleri bir araya
getirelim.
x-3 +3 =1
3x + 2 7 2
x-3 =1 -3
3x + 2 2 7
x-3 =7-6
3x + 2
14
152
x - 3 = 1 içler d›fllar çarp›m› yapal›m.
3x + 2 14
MATEMAT‹K 8
14 x - 3 = 3x + 2
14x - 42 = 3x + 2
11x = 44
x = 4 elde ederiz.
Buldu¤umuz de¤eri denklemde yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol
edelim.
x-3 +3= 1
3x + 2 7 2
x = 4 için
4 - 3 + 3 =? 1
3.4+2 7 2
1 + 3 =? 1
14 7 2
1 + 6 =? 1
14 14 2
7 =? 1
14 2
1=1
2 2
Eflitlik sa¤land›¤›ndan buldu¤umuz x de¤eri do¤rudur.
ÖRNEK
8 + 1 = 5x - 2 denkleminin çözüm kümesini bulal›m.
x-2 2 x-2
ÇÖZÜM
8 + 1 = 5x - 2 eflitsizli¤inde ifllem kolayl›¤› sa¤lamak amac›yla
x-2 2 x-2
paydalar› eflit olan ifadeleri bir araya getirelim.
153
MATEMAT‹K 8
1 = 5x - 2 - 8
2 x-2 x-2
1 = 5x - 2 - 8
2
x-2
1 = 5x - 10 içler d›fllar çarp›m› yapal›m.
2
x-2
x - 2 = 10x - 20
9x = 18
x = 2 elde ederiz.
Buldu¤umuz de¤eri denklemde yerine yazarak çözümün do¤rulu¤unu kontrol edelim.
8 + 1 = 5x - 2
x-2 2 x-2
x = 2 için
8 +1 =5.2-2
2-2 2
2-2
8 +1 =8
0 2 0
x = 2 de¤eri payday› 0 yapmaktad›r. Bu nedenle 2 de¤eri denklemin çözümü
olamaz. O hâlde denklemin çözüm kümesi bofl kümedir.
ALIfiTIRMALAR
1. Afla¤›daki denklemleri çözünüz.
a)
3 +4 = 5 +1
2x + 3 5 2x + 1 5
b) x + x - 2x = 5
2 3
2.
c)
1
= 1
3x - 1 x - 3
d) x + 6 = x
5
7
Afla¤›daki problemlere uygun denklemler kurarak çözünüz.
a) 1 'i ile 1 'i aras›ndaki fark› 5 olan say› kaçt›r?
2
3
b) 3 'ünün 1 eksi¤i 20 olan say› kaçt›r?
5
c) 10 eksi¤inin 3 'ü 36 olan say› kaçt›r?
4
d) Hangi say›n›n 3 fazlas›n›n 5 kat› 75' tir?
154
MATEMAT‹K 8
DO⁄RUSAL DENKLEM S‹STEMLER‹
ÖRNEK
Ayfle, terziye 1 pantolon ve 1 etek diktirmifl ve 50 TL ödemifltir. Funda da ayn›
terziye 3 pantolon ve 2 etek diktirmifl ve 130 TL ödemifltir. Bu terzi 1 ete¤i kaç TL’ye
dikmifltir.
ÇÖZÜM
Problemde verilen durumlara uygun denklemleri yazal›m. Pantolonun fiyat› x,
ete¤in fiyat› y olsun.
x + y = 50
3x + 2y = 130 fleklinde iki bilinmeyenli iki denklem elde edilir.
Bu denklem sisteminde bilinmeyenleri bulmak için iki farkl› yol izleyebiliriz.
1. Yol (Yerine Koyma Yöntemi)
I. x + y = 50
II. 3x + 2y = 130
I. denklemden x = 50 - y eflitli¤ini yazabiliriz.
II. denklemde x yerine (50 - y) yazarak y de¤erini bulabiliriz.
3 (50 - y) + 2y = 130
150 - 3y + 2y = 130
150 - 130 = y
y = 20
x + y = 50 denkleminde y yerine 20 yazarak x’i bulabiliriz.
x + 20 = 50
x = 30 elde edilir.
Buldu¤umuz x ve y de¤erlerinin her iki denklemi de sa¤lamas› gerekmektedir.
?
x + y = 50
?
30 + 20 = 50
50 = 50
?
3x + 2y = 130
?
3 . 30 + 2. 20 = 130 3. 30 + 2. 20 = 130
130 = 130
155
MATEMAT‹K 8
2. Yol (Yok Etme Yöntemi)
Bu yöntemle çözüm yapabilmek için iki denklemde de bilinmeyenlerden birinin
kat say›lar› eflit olmal›d›r. Ayn› bilinmeyenin kat say›lar› eflit de¤ilse denklemlerden biri
veya her ikiside s›f›rdan farkl› bir say› ile çarp›larak kat say›lar› eflitlenir. ‹ki denklem
taraf tarafa toplanarak veya ç›kart›larak bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Elde
edilen bu bir bilinmeyenli denklem çözülerek bilinmeyen bulunur. Bulunan de¤er,
denklemlerden herhangi birinde yerine konularak di¤er bilinmeyen bulunur.
I. x + y = 50
II. 3x + 2y = 130
I. denklemi 3 ile çarpal›m. Böylece,
iki eflitli¤i taraf tarafa ç›kart›¤›m›zda x bilinmeyeni yok
edilmifl olur.
3x + 3y = 150
3x + 2y = 130
y = 20
x + y = 50 denkleminde y yerine 20 yazarak x’i bulal›m.
x + 20 = 50
x = 30 elde edilir.
➠
Ayn› de¤iflkenleri içeren iki do¤rusal denklem “do¤rusal denklem sistemi”
oluflturur. Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme
yöntemi kullan›l›r. Sistemin çözümü olan s›ral› ikili her iki denklemi sa¤lamal›d›r.
ÖRNEK
4x + 3y = 32
3x + 2y = 23
denklem sisteminin çözüm kümesini bulal›m.
ÇÖZÜM
Denklem sisteminin çözümünü yok etme metoduyla bulal›m.
3/ 4x + 3y = 32
4/ 3x + 2y = 23
x’lerin kat say›lar›n› eflitleyelim.
12x + 9y = 96
12x + 8y = 92
taraf tarafa ç›karal›m
y = 4 elde edilir.
4x + 3y = 32 denkleminde y yerine 4 yazarak x’i bulal›m.
4x + 3. 4 = 32
4x = 20
x = 5 elde edilir.
Ç. K = {(5, 4)} tür.
156
MATEMAT‹K 8
ALIfiTIRMALAR
1.
‹ki say›n›n toplam› 95, farklar› ise 45’tir. Bu say›lar› bulunuz.
2.
Bir kesrin pay ve paydas›ndan 1 ç›kart›rsak kesrin de¤eri 3 , pay ve paydas›na
4
1 eklersek kesrin de¤eri 5 oluyor. Bu kesri bulunuz.
6
3.
Bahar ile annesinin yafllar› fark› 28’dir. 4 y›l sonra annesinin yafl›, Bahar’›n yafl›n›n
3 kat› olacakt›r. Bahar ile Annesinin flimdiki yafllar›n› bulunuz.
4.
15 soruluk bir testte 5 ve 10 puanl›k sorular bulunmaktad›r. Sorular›n tamam›
do¤ru cevapland›r›ld›¤›nda 100 puan al›rd›¤›na göre testte 5 ve 10 puanl›k
sorulardan kaçar tane vard›r?
5.
Hülya, kilogram› 20 TL olan badem ile kilogram› 10 TL olan f›st›ktan 400 graml›k
bir kar›fl›m alarak 7 TL ödemifltir. Hülya’n›n ald›¤› kar›fl›mda kaç gram f›st›k
vard›r?
6.
Yeflim, kumbaras›na hergün 25 Kr veya 50 Kr at›yor. 30 gün sonra kumbaras›nda
12 TL birikti¤ine göre, Yeflim kumbaras›na kaç gün 50 Kr atm›flt›r?
4.
Afla¤›daki denklemleri çözünüz.
a) 3x - 2y = - 7
4x - 3y = 24
b) x + y = 33
x - y = 13
c) 3x + y = 5
4x + 2y = 12
d) 4x + 3y = 15
x-y=2
e) x + y = 5
2x - y = 10
f) 3x - 2y = 20
x + 2y = 2
157
MATEMAT‹K 8

158
ÖZET
Ayn› de¤iflkenleri içeren iki do¤rusal denklem “do¤rusal denklem sistemi”
oluflturur. Do¤rusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme
yöntemi kullan›l›r. Sistemin çözümü olan s›ral› ikili her iki denklemi sa¤lamal›d›r.
MATEMAT‹K 8
✎
TEST IV-I
1.
1 'inin 5 eksi¤inin yar›s›, 15 olan say› kaçt›r?
3
A)
B)
C)
D)
60
95
105
120
2.
x + x + x = x - 5 oldu¤una göre x kaçt›r?
3 2 9
A)
B)
C)
D)
20
30
90
180
3.
x - 1 + x + 4 = x - 2 oldu¤una göre x kaçt›r?
3
2
6
A)
B)
C)
D)
-4
-3
2
6
4.
1 -1 =0
a+2 a
A)
B)
C)
D)
-2
1
0
∅
5.
72 cm uzunlu¤undaki bir tel iki parçaya ayr›l›yor. Parçalardan birinin uzunlu¤u
di¤erinin 3 kat› oldu¤una göre, küçük parçan›n uzunlu¤u kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
9
18
36
54
denkleminin reel say›lardaki çözüm kümesi nedir?
159
MATEMAT‹K 8
6.
Bir pastanede bir günde sat›lan po¤aça ve böreklerin toplam say›s› 150 ve bu
sat›fltan elde edilen gelir 90 TL’dir. Pogaça 50 Kr, börek 75 Kr oldu¤una göre kaç
adet po¤aça sat›lm›flt›r?
A) 60
B) 70
C) 80
D) 90
7.
Ard›fl›k befl tek say›n›n toplam›n›n üç kat› 315’tir. Bu say›lardan en büyü¤ü kaçt›r?
A)
B)
C)
D)
23
25
46
51
8.
Toplamlar› 87, farklar› 11 olan iki say›dan büyük olan› kaçt›r?
A)
B)
C)
D)
57
50
49
38
9.
3x + y = 21
x + 2y = 17
A)
B)
C)
D)
A)
B)
C)
D)
160
(5, 6)
(6, 5)
(3, 7)
(7, 3)
x + y = 12
2 3
x + y = 10
4 3
10.
2
4
6
8
Denklem sisteminin çözümü olan s›ral› iki afla¤›dakilerden
hangisidir?
Denklem sistemini sa¤layan x de¤eri kaçt›r?
MATEMAT‹K 8
Üçgenlerde Efllik ve Benzerlik
ÖRNEK
DEF ve KLM
üçgenlerinin efl olduklar›n› gösterelim.
|DE| = |KL| = 20 cm
s E =s L
|EF| = |LM| = 9 cm
s F =s M
|DF| = |KM| = 15 cm s D = s K
oldu¤undan [EF] ile [LM], F ile M ve DF ile KM efltir.
Δ
Δ
Bu nedenle D E F ile KL M efl üçgenlerdir.
Δ
Δ
Bunu sembolle; D E F ≅ KL M fleklinde gösterebiliriz.
161
MATEMAT‹K 8
‹ki üçgenin karfl›l›kl› aç›lar›n›n ve karfl›l›kl› kenarlar›n›n ölçüleri eflit ise bu iki
üçgen eflittir denir.
Δ
AB = KL
s A = s K
BC = LM
s B = s L
AC = KM
s C = s M
Δ
A B C ≅ KL M ⇔
1. Kenar - Aç›- Kenar (K.A.K.) fiart›
‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›ld›¤›nda; bu üçgenlerin iki kenar› ve bu
kenarlar›n oluflturdu¤u aç›lar efl ise bu iki üçgen efltir.
ÖRNEK
162
MATEMAT‹K 8
AB = DE
AC = EF ve s A = s E
oldu¤u için bu iki üçgen K. A. K. flart›na göre efltir
Δ
Δ
ve ABC ≅ DEF olarak ifade edilir.
2. Aç›- Kenar- Aç› (A.K.A.) fiart›
‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›l›d¤›nda; bu üçgenlerin ikifler aç›s› efl ve bu
aç›larla ortak olan kenar efl ise bu iki üçgen efltir.
ÖRNEK
KL = PR
s K =s P
s L =s R
oldu¤u için bu iki üçgen A. K. A. flart›na göre efltir ve
Δ
Δ
KLM ≅ PRN olarak ifade edilir.
163
MATEMAT‹K 8
3. Kenar- Kenar - Kenar (K.K.K.) fiart›
‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›ld›¤›nda; bu iki üçgenin karfl›l›kl›
kenarlar›n›n uzunluklar› eflit ise bu iki üçgen efltir.
ÖRNEK
NP = DE
NR = DF
PR = EF oldu¤u için bu iki üçgen
Δ
Δ
NPR ≅ DEF olarak ifade edilir.
164
K. K. K. flart›na göre efltir ve
MATEMAT‹K 8
4. Kenar - Aç› - Aç› (K.A.A.) fiart›
‹ki üçgen aras›nda birebir eflleme yap›ld›¤›nda; bu üçgenlerin ikifler aç›s› efl ve bu
aç›lardan birbirine efl olan herhangi bir aç›s›n›n karfl›s›ndaki kenarlar efl ise bu iki üçgen
efltir.
ÖRNEK
DF = LN
s D =s L
s E =s M
oldu¤u için bu iki üçgen K. A. A. flart›na göre efltir ve
Δ
Δ
DEF ≅ LMN olarak ifade edilir.
165
MATEMAT‹K 8
ALIfiTIRMA
Afla¤›da verilen üçgenlerin hangisi kurala göre efl olduklar›n› belirleyiniz.
166
MATEMAT‹K 8
ÖRNEK
Afla¤›da verilen üçgenlerin efl olduklar›n›, efllik flart›n› belirleyerek gösterelim.
a)
AE = ED = 4 cm
BE = EC = 5 cm
Δ
Δ
s AEB = s CED = 90° oldu¤undan K.A.K. efllik flart›na göre, A E B ≅ D E C dir.
b)
s N = s S = 90°
NR = RS = 8 cm
s MRN = s SRT (ters aç›) oldu¤undan A. K . A. efllik flart›na göre,
Δ
Δ
M N R ≅ TS R dir.
167
MATEMAT‹K 8
Üçgenlerde Benzerlik
Yukar›daki haritalar farkl› ölçeklerde çizilmifltir. Bu iki harita birbirine benzerdir.
Üçgenlerin benzerli¤i için ise baz› flartlar vard›r. fiimdi bunlar› inceleyelim.
ÖRNEK
Afla¤›da verilen üçgenlerin benzer olup olmad›klar›n› inceleyelim.
‹ki üçgenin karfl›l›kl› kenarlar›n› oranlayal›m.
AB 3 1
= =
KL 6 2
AC
= 5 =1
KM 10 2
BC 4 1
= =
LM 8 2
168
MATEMAT‹K 8
Δ
Δ
‹ki üçgenin karfl›l›kl› kenarlar›n›n oran› ayn› oldu¤undan ABC ve KLM benzer
Δ
Δ
üçgenlerdir. ABC’nin kenar uzunluklar›, KLM’nin kenar uzunluklar›n›n 1 oran›nda
2
1
küçültülmüflütür. Bu nedenle benzerlik oran› 2 ’dir.
Aç›- Aç›- Aç› (A.A.A.) Benzerlik Özelli¤i
‹ki aç›s› efl olarak verilen üçgenlerin, üçüncü aç›lar› da efltir. Dolayas›yla ikifler
aç›s› efl olarak verilen üçgenler benzer üçgenlerdir.
ÖRNEK
s B = s E = 50° ve s C = s F = 85° verilmifltir. Üçgenlerin iç aç›lar›n›n
ölçüleri toplam› 180° oldu¤undan, s A = s D = 45° dir.
Δ
Δ
ABC ve DEF üçgenleri A.A.A. flart›na göre benzerdir.
Δ
Δ
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.
169
MATEMAT‹K 8
ÖRNEK
Δ
Δ
Yukar›da verilen K L M ve N R P üçgenlerinde s L = s R , s M = s P
KL = 4 cm, NR = 6 cm ve PR = 15 cm oldu¤una göre, LM kaç santimetredir?
ÇÖZÜM
Δ
Δ
KL M ve N R P'ni karfl›laflt›ral›m.
s L = s R , s M = s P veriliyor.
Üçgenin iç aç›lar› toplam› 180° ve bu iki üçgenin ikifler aç›lar› efl oldu¤undan
üçüncü aç›lar› s K = s N olur.
Δ
Δ
KLM ve NRP üçgenleri A.A.A. flart›na göre benzerdir.
Δ
Δ
KLM ~ NRP oldu¤undan
KL LM KM
=
=
dir.
NR
RP
NP
KL LM
=
NR
PR
4 = LM
6
15
4. 15 = 6 LM
LM = 4. 15
6
LM = 10 cm bulunur.
170
MATEMAT‹K 8
Kenar - Kenar- Kenar (K.K.K.) Benzerlik Özelli¤i
Üçgenlerin bütün kenarlar› orant›l› ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.
ÖRNEK
BC
AC
AB
=
=
= 2 oldu¤undan
LM KM KL
orant›l› kenarlar›n karfl›s›ndaki aç›lar efl olaca¤› için;
Δ
Δ
ABC ve KLM üçgenleri K.K.K. flart›na göre benzerdir.
Kenar Aç›-Kenar (K.A.K.) Benzerlik Özelli¤i
Üçgenlerin ikifler kenarlar› orant›l› ve bu orant›l› kenarlar›n aras›nda kalan aç›lar›
efl ise bu üçgenler benzerdir.
171
MATEMAT‹K 8
AB
AC 1
=
= ve s A = s M dir.
MN MR 3
Δ
Δ
ABC ve MNR K.A. K. flart›na göre benzerdir.
ÖRNEK
Yukar›da verilen MNP ve RST verilenlere göre |MP| kaç santimetredir?
ÇÖZÜM
Δ
Δ
MNP ve RST üçgenlerinde, s N = s S ve eflit aç›lar›n kollar›n›n uzunluklar›
aras›ndaki orant› 3 = 9 oldu¤undan,
5 15
Δ
Δ
MNP ve RST üçgenleri K.A.K. flart›na göre benzerdir.
Δ
Δ
MNP ~ RST
MN NP MP
=
=
dir.
RS
ST
RT
3 = 9 = MP
5 15
10
9 = MP
15 10
MP = 6 cm bulunur.
172
MATEMAT‹K 8
ÖRNEK
Yandaki flekilde s EDF = s EHD = 90° ve s DEH = 60° dir.
EHD, DHF, EDF üçgenlerinin benzerli¤ini, benzerlik flart›n› belirterek gösterelim.
ÇÖZÜM
Bir üçgenin iç aç›lar›n toplam› 180° oldu¤undan s EF D = s EDH = 30° dir.
Δ
Δ
Δ
A.A. benzerlik flart›ndan EHD ~ DHF ~ EDF dir.
173
MATEMAT‹K 8
ÖRNEK
Yukar›daki flekilde s KNP = s KML ,
|KN| = 5 cm, |KP| = 3 cm ve |NL| = 4 cm oldu¤una göre, |PM| kaç santimetredir?
ÇÖZÜM
Δ
Δ
KNP ile KML karfl›laflt›ral›m.
s LKM = s NKP ortak aç›,
s KML = s KNP verilmifl,
174
MATEMAT‹K 8
Δ
Δ
A. A benzerlik flart›ndan KNP ~ KML olur.
Benzerlik orant›s›ndan,
KN KP
=
KM KL
5 =3
KM 9
KM = 15 cm
PM = 15 - 3 = 12 cm olur.
ÖRNEK
fiekilde görüldü¤ü gibi bir ›fl›k kayna¤›ndan 20 cm uzakl›¤a, 15 cm boyunda bir
kalem yerlefltiriliyor. Kalemin gölgesi, kalemden 40 cm uzaktaki perde üzerinde
olufluyor.
Buna göre, gölgenin uzunlu¤u kaç santimetredir?
175
MATEMAT‹K 8
ÇÖZÜM
Sorunun çözümü için yukar›daki gibi bir model çizelim. Gölgenin uzunlu¤una x
diyelim.
A. A. benzerlik flart›ndan,
Δ
Δ
DBE ~ ABC
20 = 15
60 x
x = 45 cm.
Gölgenin uzunlu¤u 45 cm olur.
➠
Benzer üçgenlerin alanlar› oran› benzerlik oran›n›n karesine eflittir.
ÖRNEK
Benzer iki üçgenin kenarlar› oran› 3 ise alanlar› oran› kaçt›r?
5
ÇÖZÜM
2
Kenarlar›n›n oran›; 3 ise alanlar› oran›; 3 = 9 olur.
5
25
5
176
MATEMAT‹K 8
1.
2.
ALIfiTIRMALAR
Δ
Δ
DEF ile DGF’nin efl oldu¤unu gösteriniz ve efl aç›lar› yaz›n›z.
Δ
Δ
2
Afla¤›daki flekilde ABE’nin alan› 240 cm oldu¤una göre, ECD’nin alan›n›
bulunuz.
177
MATEMAT‹K 8
178
3.
Afla¤›da verilen flekilde [DE]//[BC], |AD| = 6cm, |DB| = 12 cm, |EC| = 9 cm ve
|BC| = 21 cm oldu¤una göre, |AE| ve |DE| kaç santimetredir?
4.
160 cm boyundaki Gülcan’›n gölgesi 90 cm’dir. Ayn› anda gölgesi 180 cm olan
dire¤inin uzunlu¤u kaç santimetredir?
MATEMAT‹K 8
5.
fiekilde verilenlere göre, |KM|, |PM| ve |MN| bulunuz.
6.
Afla¤›da verilen dikdörtgendeki efl üçgenleri yaz›n›z.
179
MATEMAT‹K 8

ÖZET
‹ki üçgenin karfl›l›kl› aç›lar›n›n ve karfl›l›kl› kenarlar›n›n ölçüleri eflit ise bu iki
üçgen efltir.
1.
2.
3.
4.
Üçgenlerde efllik flartlar›
Kenar-Aç›-Kenar (K.A.K.)
Aç›-Kenar-Aç› (A.K.A.)
Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.)
Kenar-Aç›- Aç› (K.A.A.)
‹ki üçgenin; ikifler aç›lar›n›n efl, karfl›l›kl› kenarlar›n›n orant›l›, karfl›l›kl› iki
kenar›n›n orant›l› ve dahil ettikleri aç›lar›n›n efl olmalar› durumunda bu üçgenler
benzerdir.
1.
2.
3.
Üçgenlerde benzerlik flartlar›
Aç›-Aç›-Aç› (A.A.A.)
Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.)
Kenar-Aç›-Kenar (K.A.K.) fleklinde adland›r›l›r.
Benzer üçgenlerin alanlar› oran› benzerlik oran›n›n karesine eflittir.
180
MATEMAT‹K 8
✎
TEST IV-II
Δ
Δ
1. Bir DEF üçgeninde |DE| = 8 m, |DF| = 12 cm ve |EF| = 16 cm’dir. DEF ~KLM ve
Δ
üçgenlerin benzerlik oran› 3 oldu¤una göre KLM’i afla¤›dakilerden hangisidir?
4
181
MATEMAT‹K 8
2.
Güneflli bir günde, boyu 160 cm olan Gülflen’in gölgesinin uzunlu¤u 180 cm dir.
Ayn› anda gölgesinin uzunlu¤u 450 cm olan a¤ac›n boyu kaç santimetredir?
182
A)
B)
C)
D)
300
350
400
450
3.
fiekilde [DE] // [BC] oldu¤una göre, |DE| kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
9
12
18
24
MATEMAT‹K 8
4.
Δ
Δ
Δ
ABC ~ KLM oldu¤una göre, s(KML) kaç derecedir?
A)
B)
C)
D)
60
70
120
140
5.
Δ
Δ
NMP ~ KLP oldu¤una göre, bu üçgenlerin benzerlik oran› nedir?
A) 1
3
B) 1
2
C) 3
4
D) 2
183
MATEMAT‹K 8
6.
Afla¤›daki flekilde verilenlere göre |TR| kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
10
20
30
40
7.
Afla¤›daki flekilde [AB] // [CD] oldu¤una göre |CD| kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
6
10
12
24
8.
ABC ≅ DEF oldu¤una göre, afla¤›daki ifadelerden hangisi yanl›flt›r?
A) |DE| = |KN|
184
B) |AC| = |DF|
C) s BAC = s EDF
D) s CBA = s FED
MATEMAT‹K 8
9.
fiekildeki ABC üçgeninde [DE] // [BC] 3|AE| = |AC| ve |BC| = 24 cm oldu¤una
göre, |DE| kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
6
8
10
12
10. fiekilde görüldü¤ü gibi, bir ›fl›k kayna¤›ndan 20 cm uzakl›¤a, 12 cm boyunda bir
kalem yerlefltiriliyor. Kalemin gölgesi, kalemden 40 cm uzakl›ktaki perde üzerinde
olufluyor. Buna göre, gölgenin uzunlu¤u kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
24
30
36
48
185
MATEMAT‹K 8
11. Afla¤›daki AED üçgeninde verilenlere göre, |ED| kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
8
9
10
12
Δ
Δ
12. fiekilde KNP ~ KML ve üçgenlerin benzerlik oran›
|KP| = 6 cm ise |NL| + |PM| kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
186
9
12
15
18
1 'tür.
3
|KN| = 3 cm ve
MATEMAT‹K 8
13. Afla¤›daki ABC’inde [DE] // [BC] oldu¤una göre, |BC| kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
6
8
9
15
Δ
Δ
14. Yukar›daki ABC ve DEF üçgenlerinde verilenlere göre afla¤›daki ifadelerden
hangisi do¤rudur?
A)
B)
C)
D)
Δ
Δ
ABC ∼ DFE
Δ
Δ
ACB ∼ DEF
Δ
Δ
ACB ∼ DFE
Δ
Δ
ABC ∼ DEF
187
MATEMAT‹K 8
GEOMETR‹K C‹S‹MLER
Üçgen Prizma Olufltural›m
Renkli kartonlardan birbirine efl iki üçgen çizelim ve keselim.
Birer kanar uzunlu¤u bu üçgenlerin bu kenarlar›na eflit olan, di¤er kenar uzunluklar› ise kendi aralar›nda birbirine eflit olan üç tane dikdörtgensel bölgeyi yanyana çizelim ve keselim.
Kesti¤imiz üçgenleri kenar uzunluklar›na dikkat ederek yap›flt›ral›m.
188
MATEMAT‹K 8
fiekli katlayarak kapal› hale getirelim.
Oluflturdu¤umuz fleklin hangi geometrik flekillerden meydana geldi¤ini inceleyiniz, temel elemanlar›n›n neler olabilece¤ini düflününüz.
➠
Tabanlar› üçgen, yan yüzleri dikdörtgen olan prizmaya üçgen dik prizma denir.
Karfl›l›kl› iki yüzde paralel ve efl olan üçgenler, üçgen prizman›n “tabanlar›”, dikdörtgensel bölgenin birlefltirilmesiyle elde edilen yüzey ise “yanal yüzey” dir. Üçgen prizman›n temel elemanlar› taban, yan yüz, ayr›t, köfle ve yüksekliktir.
❂
Yanal ayr›tlar› tabanlara dik olan üçgen prizmalara “üçgen dik prizma”, denir.
189
MATEMAT‹K 8
Hat›rlatma
Bir flekil kendi merkezi etraf›nda döndürüldü¤ünde 360°den küçük aç›l› dönmelerde en az bir defa kendisi ile çak›fl›yorsa bu flekil dönme simetrisine sahiptir.
➠
190
Eflkenar üçgen prizmada tabanlar›n merkezinden geçen do¤ru “eksen”dir.
MATEMAT‹K 8
ÖRNEK
Afla¤›da verilen eflkenar üçgen prizman›n dönme simetrisine sahip olup olmad›¤›n›
belirleyelim.
Prizmam›z› ekseni etraf›nda iki kez 60° lik aç› ile afla¤›daki gibi döndürelim.
Eflkenar üçgen prizma ekseni etraf›nda 60° lik dönmelerde dönme simetrisine
sahiptir.
Eflkenar üçgen prizma ekseni etraf›nda 120°lik dönmelerde dönme simetrisine
sahiptir.
191
MATEMAT‹K 8
ALIfiTIRMALAR
192
1.
Afla¤›da verilen üçgen prizmalar›n aç›n›mlar›n› çiziniz?
2.
Taban ayr›tlar›n›n uzunluklar› 26 cm, 24 cm ve 10 cm, yüksekli¤i 10 cm olan bir
üçgen prizma çiziniz.
3.
Afla¤›da verilen üçgen prizman›n aç›n›m›n› çiziniz?
MATEMAT‹K 8
4.
Afla¤›da verilen dikdörtgenler prizmas›ndan ve beflgen prizmadan üçgen prizma
elde ediniz.
193
MATEMAT‹K 8
Üçgen Prizman›n Yüzey Alan› ve Hacmi
ÖRNEK
Afla¤›da verilen üçgen prizman›n yüzey alan›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
Bunun için önce üçgen prizman›n aç›n›m›n› çizelim.
Aç›n›mda tabanlar üçgensel bölge yanal yüz ise dikdörtgensel bölge fleklindedir.
Yüzey alan›n› bulmak için iki üçgensel bölgenin alan› ile dikdörtgensel bölgenin
alan›n› hesaplay›p bu alanlar› toplayal›m.
Üçgensel bölgenin alan›: 5.12 = 30 cm2
2
194
MATEMAT‹K 8
Dikdörtgensel bölgenin alan› : Üçgenin çevresi x yükseklik
= (5 + 12 + 13) x 15
= 450 cm2
Prizman›n yüzey alan›
: 2.30 + 450 = 510 cm2 olur.
Dik üçgen prizman›n yüzey alan›, yanal yüz ile alt ve üst taban alanlar›n›n
toplam›na eflittir.
Üçgen prizman›n yüzey alan› = Üçgenin çeve uzunlu¤u x yükseklik + 2. üçgenin alan›
Not:
Kare prizma, küp ve dikdörtgenler prizmas›n›n yüzey alanlar›n› hesaplamay›
hat›rlayal›m.
195
MATEMAT‹K 8
ÖRNEK
Taban ayr›tlar›ndan biri 6 cm ve yüksekli¤i 10 cm olan düzgün alt›gen dik prizma
n›n yüzey alan›n› hesaplayal›m.
Yüzey alan› = (2 taban alan›) + (Alt›genin çevresi x yükseklik)
Taban› oluflturan düzgün alt›genin alan›, 6 tane eflkenar üçgenin alan›na eflittir.
Not:
2
Eflkenar üçgenin alan›n›n a 3 oldu¤unu hat›rlayal›m.
4
196
MATEMAT‹K 8
2
Düzgün alt›genin alan› = 6 . 6 3
4
= 54 3cm2
Yüzey alan› = 2 . 54 3 + 6. 6 .10
= 108 3 + 360 cm2 bulunur.
Dik Prizmalar›n Hacmi
ÖRNEK
fiekilde verilen üçgen dik prizma fleklindeki kutunun taban alan› 20 cm2, yüksekli¤i
15 cm’dir. Bu prizman›n hacmini hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM
Üçgen dik prizma fleklindeki kutunun hacmini bulal›m.
Hacim = V = Taban alan› x yükseklik
= 20 x 15
= 300 cm3 bulunur.
197
MATEMAT‹K 8
➠
Üçgen prizman›n hacmi üçgensel bölgenin alan› ile üçgen prizman›n yüksekli¤inin
çarp›m›d›r.
Hacim = taban alan› x yükseklik
V= a.h .y
2
ÖRNEK
Dik üçgen dik prizma fleklindeki bir deterjan kutusunun taban›n›n dik
kenarlar›ndan biri 12 cm, di¤eri 9 cm dir. Yüksekli¤i 25 cm olan bu kutunun hacmini
hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM
198
MATEMAT‹K 8
Hacim = V = Taban alan› x yükseklik
= 54 x 25
= 1350 cm3
➠
Bütün prizmalarda hacim, prizman›n taban alan› ile yüksekli¤inin çarp›m›na eflittir.
ÖRNEK
Taban ayr›tlar›ndan birinin uzunlu¤u 4 cm ve yüksekli¤i 10 cm olan düzgün alt›gen
prizma fleklindeki çikolata kutusunun hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM
Hacim = V = Taban alan› x yükseklik
2
= 6 . 4 3 . 10
4
= 240 3 cm3 tür.
ÖRNEK
Taban alan› 30 cm2, yüksekli¤i 12 cm olan düzgün beflgen prizman›n hacmini
hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM
Hacim = V = Taban alan› x Yükseklik
= 30 . 12
= 360 cm3 tür.
199
MATEMAT‹K 8
Piramit, Koni ve Küre
Piramit- Koni - Küre
200
MATEMAT‹K 8
Piramit ve Özellikleri
Afla¤›daki piramidin temel elemanlar›n› belirleyelim.
➠
Piramidin temel elemanlar› tepe noktas›, taban›, yan yüzleri, ayr›lar› ve yüksekli¤idir.
201
MATEMAT‹K 8
Piramitler, tabanlar›ndaki çokgenlerin çeflitlerine göre adland›r›l›r. Üçgen piramit,
kare piramit, beflgen piramit v.b
❂
❂
Piramitlerde, tepe noktas›n› taban merkezine (a¤›rl›k merkezi) birlefliren do¤ru
parças› tabana dik ise piramite “dik piramit” e¤ik ise “e¤ik piramit” denir.
Koni ve Özellikleri
Bir dairenin bütün noktalar›n›, daire düzlemi d›fl›nda al›nan bir A noktas› ile
birlefltiren do¤ru parças›n›n oluflturdu¤u cisme “koni denir.
Afla¤›da verilen koninin taban›n›, yanal yüzeyini, tepe noktas›n› ve eksenini belirle yip aç›n›m›n› çizelim.
202
MATEMAT‹K 8
➠
Koninin temel elemanlar›, bir dairesel bölge olan “taban”, taban›n d›fl›nda bir
“tepe noktas›”, tepe noktas›n› taban merkezine birlefltiren do¤ru parças› olan “eksen”
tepeden geçen ve taban›n kenar› olan çembere dayanan “ana do¤ru” ve bu do¤runun
süpürdü¤ü “yanal yüzey” dir.
➠
Ekseni tabana dik olan koni “dik koni” veya “dönel koni”, e¤ik olan ise “e¤ik
koni” olarak adland›r›l›r. Dik koniler, eksen etraf›ndaki dönmelerde dönme simetresine
sahiptir.
❂
K ü re ve Özellikleri
Bir dairenin, herhangi bir çap› etraf›nda 180° döndürülmesiyle elde edilen
geometrik cisme “küre”denir.
Kürenin temel elemanlar›; merkezi, yar›çap› ve yüzeyidir.
Yukar›daki küre, E düzlemi taraf›ndan kesilmifltir. E düzlemi kürenin merkezinden
geçmektedir. Bu durumda elde edilen daire kürenin en büyük dairesidir. Bu flekilde
oluflan dairenin çap› ise kürenin çap›d›r.
203
MATEMAT‹K 8
ALIfiTIRMALAR
1.
204
Afla¤›da verilen üçgen prizmalar›n yüzey alanlar›n› ve hacimlerini bulunuz.
MATEMAT‹K 8
2.
Hacmi 720 cm3 olan üçgen prizma fleklindeki kutunun taban alan› 60 cm2 dir. Bu
prizman›n yüksekli¤ini bulunuz.
3.
Afla¤›da verilen prizmalar›n yüzey alan›n› ve hacimlerini hesaplay›n›z.
205
MATEMAT‹K 8
206
4.
Afla¤›da verilen kare prizma fleklindeki tahta taban›n›n köflegeni boyunca ikiye
ayr›larak yeflil ile boyal› cisim elde ediliyor. Bu cismin yüzey alan›n› ve hacmini
hesaplay›n›z.
5.
Taban› beflgen fleklinde olan bir piramidin köfle, ayr›t ve yüz say›s›n› bulunuz.
6.
Afla¤›da verilen geometrik cisimlerin yüksekliklerini çizerek hangilerinin dik
hangilerinin e¤ik oldu¤unu belirleyiniz.
MATEMAT‹K 8

ÖZET
Tabanlar› üçgen, yan yüzleri dikdörtgen olan prizmaya üçgen dik prizma denir.
Üçgen prizman›n temel elemanlar› taban, yan yüz, ayr›t, köfle ve yüksekliktir.
Eflkenar üçgen prizmada tabanlar›n merkezinden geçen do¤ru “eksen”dir.
Üçgen prizman›n yüzey alan› = Üçgenin çevre uzunlu¤u x yükseklik + 2 üçgenin alan›
üçgen prizman›n hacmi, üçgensel bölgenin alan› ile üçgen prizman›n yüksekli¤inin
çarp›m›d›r.
Hacim = taban alan› x yükseklik
V=
a.h1
.h2
2
Bütün prizmalarda hacim, prizman›n taban alan› ile yüksekli¤in çarp›m›na eflittir.
Piramidin temel elemanlar› tepe noktas›, taban›, yan yüzleri, ayr›tlar› ve yüksekli¤idir.
Piramitler, tabanlar›ndaki çokgenlerin çeflitlerine göre adland›r›l›r. Üçgen piramit,
kare piramit, beflgen piramit v.b
Piramitlerde, tepe noktas›n› taban merkezine (a¤›rl›k merkezi) birlefltiren do¤ru
parças› tabana dik ise piramide “dik piramit” e¤ik ise “e¤ik piramit” denir.
Bir dairenin bütün noktalar›n›, daire düzlemi d›fl›nda al›nan bir A noktas› ile
birlefltiren do¤ru parças›n›n oluflturdu¤u cisme “koni” denir.
Koninin temel elemanlar›, bir dairesel bölge olan “taban”, taban›n d›fl›nda bir “tepe
noktas›”, tepe noktas›n› taban merkezine birlefltiren do¤ru parças› olan “eksen” tepeden
geçen ve taban›n kenar› olan çembere dayanan “ana do¤ru” ve bu do¤runun süpürdü¤ü
yanal yüzey”dir.
207
MATEMAT‹K 8
Ekseni tabana dik olan koni “dik koni” veya “dönel koni” e¤ik olan ise “e¤ik koni”
olarak adland›r›l›r.
Bir dairenin, herhangi çap› etraf›nda 180° döndürülmesiyle elde edilen geometrik
cisme “küre” denir.
208
MATEMAT‹K 8
✎
TEST IV-III
1.
Üçgen prizman›n kaç ayr›t› vard›r?
A)
B)
C)
D)
6
9
12
16
2.
Yanal alan› 210 cm2 ve taban çevresi 30 cm olan bir üçgen prizman›n yüksekli¤i
kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
21
15
10
7
3.
fiekilde verilen dik üçgen dik prizman›n yüzey alan› kaç santimetrekaredir?
A)
B)
C)
D)
360
408
456
720
209
MATEMAT‹K 8
4.
Afla¤›da verilen üçgen dik prizman›n hacmi kaç metreküptür?
A)
B)
C)
D)
48
24
12
6
5.
Taban çevresinin uzunlu¤u 26 cm olan üçgen dik prizman›n yüksekli¤i 10 cm
oldu¤una göre, prizman›n yanal alan› kaç santimetrekaredir?
A)
B)
C)
D)
65
130
195
260
6.
Düzgün alt›gen piramidin kaç yüzü vard›r?
A)
B)
C)
D)
5
6
7
8
7.
Bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 12 cm ve yüksekli¤i 20 cm olan düzgün alt›gen
piramitin hacmi kaç santimetreküptür?
A) 1440 3
210
B) 2160 3
C) 4320 3
D) 6480 3
MATEMAT‹K 8
8.
a, b, c, d ve h ayr›t uzunluklar›n› göstermek üzere, yukar›da bir üçgen dik prizma
n›n aç›k flekli çizilmifltir.
Bu çizim yap›l›rken afla¤›dakilerden hangisinde verilen eflitlikler kesinlikle
do¤rudur?
A)
B)
C)
D)
a = d ve a = h
c = b ve a = d
a = b ve d = c
h = b ve h = d
9.
Afla¤›daki üçgen prizmalardan hangisi dönme simetrisine sahiptir?
211
MATEMAT‹K 8
10.
Yukar›daki cisim hangi cisimlerin birlefltirilmesinden oluflmufltur?
A)
B)
C)
D)
Küre - Koni
Silindir- Piramit
Koni- Silindir
Küre- Silindir
11. Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u 4 cm, yüksekli¤i 15 cm olan dik silindirin yanal alan›
kaç santimetrekaredir? (π’yi 3 al›n›z.)
A)
B)
C)
D)
180
360
540
720
12. Beflgen piramidin kaç köflesi vard›r?
A)
B)
C)
D)
5
6
7
8
13. Alan› 150 cm2 olan küpün tüm ayr›tlar›n›n uzunluklar› toplam› kaç santimetredir?
A)
B)
C)
D)
212
20
40
60
70