İSTATİSTİKTE SİMÜLASYON Tahmin Edicilerin ve

11. Ders
ĐSTATĐSTĐKTE SĐMÜLASYON
Tahmin Edicilerin ve Test Đstatistiklerinin
Simülasyon ile Karşılaştırılması
Đstatistik, rasgelelik olgusu içeren olay, süreç ve
sistemlerin
modellenmesinde özellikle bu modellerden sonuç çıkarmada ve bu modellerin
geçerliliğini sınamada kullanılan bazı bilgi ve yöntemleri sağlayan bir bilim
dalıdır.
Đstatistikte simülasyon; eğitimde kavramların kavratılmasında,
örneklemin birer fonksiyonu olan istatistiklerin dağılımları ile ilgili analitik
olarak elde edilemeyen bazı özelliklerin irdelenmesinde, tahmin edicilerin iyilik
ölçütlerine göre karşılaştırılmasında, test fonksiyonlarının güç fonksiyonu
değerlendirmelerinde, son yıllarda çok kullanılan bootstrap gibi yeniden
örneklem tekniklerinde, beklenen değer yani integral hesabı yapılan Monte
Carlo integrasyonunda ve başka birçok konuda kullanılmaktadır. Ancak,
istatistikteki simülasyonun amacı olgu veya sistem simülasyonundaki
amaçlardan farklıdır. Örneğin bir benzin istasyonu ile ilgili kuyruk modeli
üzerinde yapılan simülasyonun amacı sistemdeki bekleme zamanını ve maliyeti
en küçük yapacak şekilde hizmet birimlerinin sayısını belirlemek olabilir.
Burada istatistik bilimi açısından bir amaç yoktur. Gamma dağılımı için
parametre tahmininde, momentler ve en-çok olabilirlik tahmin edicilerinden
hangisi hata kareleri ölçütüne göre daha iyidir, sorusunun cevabı simülasyon
yaparak verilmeye çalışıldığında, burada istatistiksel bir amaç söz konusudur.
Özellikle bu soruya analitik olarak cevap verilemiyorsa simülasyon önem
kazanmaktadır. Ancak, simülasyonun ispatın yerini tutacağı sanılmasın.
Simülasyon bir ispat yöntemi değildir. Simülasyona, örneklerle doğruyu yanlışı
tespit etme, bazı durumlarda analitik olarak çözülemeyen problemlere çözüm
yolu getirme, bazen de kendisinin en iyi çözüm yolunu sunduğu bir yöntem
olarak bakabiliriz.
Örneklem Đstatistikleri ve Dağılımları
Đstatistik eğitimindeki simülasyonun uçak pilotu eğitimindeki
simülasyondan ayırt edilmesi gerekmektedir. Pilot eğitiminde suni olarak
simülasyon ile yaratılan ortamlar içinde (Bunlarda rasgelelik de bulunabilir.)
pilota bir davranış biçimi kazandırılmak istenmekte veya kazandığı
davranışların sınanması yapılmaktadır. Đstatistik eğitiminde öğrencilere; gerçek
dünyadaki rasgelelik olgusunun sezdirilmesi, sezdirildikten sonra irdelenmesi,
irdelemenin önemli bir savhası olan rasgeleliğin ölçülmesi, yani olasılık ölçüsü
kavramının zihinlerde oluşturulması, rasgelelik ortamında hesap yapılması gibi
nitelikler kazandırılmak istenmektedir. Önceki bölümlerdeki örneklerden
görüldüğü gibi, simülasyon, istatistikte eğitim amaçlı da kullanılabilir.
Belli bir rasgelelik olgusunu modelleyen olasılık dağılımı F olsun.
X 1 , X 2 ,..., X n bağımsız ve aynı F dağılımlı rasgele değişkenler, yani F
dağılımından bir örneklem olmak üzere, bu kısaca
X 1 , X 2 ,..., X n
örneklem ( F )
biçiminde gösterilir. Örneklemin Borel ölçülebilir herhangi bir T ( X 1 , X 2 ,..., X n )
foksiyonuna istatistik denir. Đstatistikler birer rasgele değişkendir veya rasgele
vektördür. Birçok durumda istatistikler örneklemin karmaşık fonksiyonu
olduklarından dağılımlarının bulunması kolay olmamaktadır.
Örneklem istatistikleri arasında
n
X=
∑X
i =1
i
n
örneklem ortalamasının çok özel bir yeri vardır. Örneğin, örneklem N ( µ , σ 2 )
normal dağılımdan alındığında X ~ N ( µ , σ 2 / n) dır. N ( µ = 1, σ 2 = 1) dağılımının
olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği ve bu dağılımdan alınan n = 10,20,50
birimlik örneklemler için simülasyon ile gözlenen x1 , x 2 ,..., x100 örneklem
ortalamalarının histogramları aşağıdadır.
close all; clear all ;
subplot(2,3,2) ; fplot('1/sqrt(2*pi)*exp(-.5*(x-1)^2)',[-4 4],'k')
for i=1:100 ; x=randn(10,1)+1; xort(i)=mean(x); end
subplot(2,3,4) ; hist(xort) ; title('n=10')
for i=1:100 ; x=randn(20,1)+1; xort(i)=mean(x); end
subplot(2,3,5) ; hist(xort) ; title('n=20')
for i=1:100 ; x=randn(50,1)+1; xort(i)=mean(x); end
subplot(2,3,6) ; hist(xort): title('n=50')
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
n=10
-2
0
2
4
n=20
20
15
n=50
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
10
5
0
0
1
2
0
0
1
2
0
0.5
1
1.5
Örneklem α , β parametreli Γ(α , β ) Gamma dağılımından alındığında
X ~ Γ(nα , β / n) dır. Örneğin Γ(α = 2, β = 1 / 2) dağılımının olasılık yoğunluk
fonksiyonunun grafiği ve bu dağılımdan alınan n = 10,20,50 birimlik örneklemler
için simülasyon ile gözlenen x1 , x 2 ,..., x100 örneklem ortalamalarının histogramları
aşağıdaki gibidir.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
n=10
2
4
n=20
20
15
n=50
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
10
5
0
0
1
2
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
Örneklem, olasılık yoğunluk fonksiyonu
 2 (1 − bx ) , 0 < x < b
f ( x) =  b
, d . y.
0
olan dağılımdan alındığında X nin dağılımı nedir? b (b ∈ (0, ∞)) parametresinin
b = 3 olması durumunda olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği ve olasılık
yoğunluk fonksiyonu bu olan dağılımdan alınan
n = 10,20,50
birimlik
örneklemler için simülasyon ile gözlenen x1 , x 2 ,..., x100 örneklem ortalamalarının
histogramları aşağıdaki gibidir.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
n=10
2
4
n=20
20
15
n=50
25
25
20
20
15
15
10
10
5
5
10
5
0
0
1
0
0.5
2
1
0
0.5
1.5
1
1.5
Örneklem, olasılık fonksiyonu,
f ( x) =
1
, x = 1,2,3,4,5,6
6
olan dağılımdan alındığında X nin dağılımı nedir? Olasılık fonksiyonunun
grafiği ve n = 10,20,50 birimlik örneklemler için simülasyon ile gözlenen
x1 , x 2 ,..., x100 örneklem ortalamalarının histogramları aşağıdadır.
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
n=10
5
n=20
20
15
n=50
25
25
20
20
15
15
10
10
10
5
5
0
5
0
2
4
6
0
2
4
6
2
4
6
Dağılımdan bağımsız olarak, yani dağılım ne olursa olsun örneklem ortalaması ile
ilgili aşağıdaki iki teorem söz konusudur. Beklenen değeri µ ve varyansı σ 2 sonlu olan bir
dağılımdan alınan X 1 , X 2 ,..., X n örneklemi için
1- Zayıf Büyük Sayılar Kanunu
n
Xn =
∑X
i
i =1
n
p

→
µ
(ε > 0 için lim P( X
n →∞
n
)
− µ < ε) = 1
2- Merkezi Limit Teoremi
n
n
i =1
i =1
∑ X i − E (∑ X i )
n
Var (∑ X i )
=
X
n
−µ
σ/ n
d

→
Z ~ N (0,1)
i =1
dır.
Bu iki teoremin söylediklerini anlamak için n = 10,20,50 için çizilen yukarıdaki
histogramları yeniden gözden geçiriniz.
Düzgün bir tavla zarının atılması deneyini modelleyen
f ( x) =
1
, x = 1,2,3,4,5,6
6
dağılımından üretilen sayıların dizisi X 1 , X 2 ,..., X n ,... ve ortalamalar dizisi X 1 , X 2 ,..., X n ,...
olmak üzere simülasyon sonucu elde edilen yörüngeler aşağıdaki gibi olmuştur. Örneklem
hacmi n arttıkça örneklem ortalaması kitle ortalamasına daha yakın bir çevrede salınmaktadır.
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
6
4
2
0
Örneklem istatistikleri arasında X örneklem ortalamasının yanında
önemli olan ikinci bir istatistik,
n
S2 =
∑(X
i =1
i
−X ) 2
n −1
örneklem varyansıdır. Bilindiği gibi, örneklem
N (µ , σ 2 )
dağılımından
alındığında,
(n − 1) S 2
σ
2
~ χ (2n−1)
dır. Örneklem Γ(α , β ) dağılımından alındığında S 2 'nin dağılımı nedir?
Simülasyon yaparak S 2 'nin dağılımını irdelemeye çalışalım. Örneğin,
N ( µ = 1, σ 2 = 1) dağılımından alınan n = 10,20,50 birimlik örneklemler için
2
simülasyon ile gözlenen s12 , s 22 ,..., s300
örneklem varyanslarının histogramları
aşağıdaki gibidir.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
n=10
0
5
n=20
n=50
80
80
80
60
60
60
40
40
40
20
20
20
0
0
0
2
4
0
0
2
4
0
1
2
Γ(α = 2, β = 1 / 2)
dağılımından alınan n = 10,20,50 birimlik örneklemler için
2
simülasyon ile gözlenen s12 , s 22 ,..., s300
örneklem varyanslarının histogramları
aşağıdadır.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
n=10
4
n=20
150
150
100
100
50
50
n=50
80
60
40
20
0
0
0
2
4
0
0
1
2
0
1
2
Normal dağılımda X örneklem ortalaması ile S 2 örneklem varyansı
bağımsız istatistiklerdir. Gamma dağılımında durum nedir? X ile S 2 'nin
bağımsızlığı simülasyon yaparak irdelenebilir mi?
Histogram gibi frekans poligonu da bir istatistiktir (Bir rasgele
elemandır). Örneğin N ( µ = 1, σ 2 = 1) dağılımından alınan 60 birimlik
simülasyonla üretilen bir örneklem için histogram ile frekans poligonu
aşağıdaki gibidir.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
15
10
5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Histogram ile frekans poligonunun ortaya çıkardığı görsel etki,
N ( µ = 1, σ 2 = 1) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğinin biçimi
ile ilgilidir. Eğer düşey eksen frekans yerine, frekans bölü histogram alanı
olarak ölçeklendirilirse, frekans plogonu ile olasılık yoğunluk fonksiyonu
arasındaki uyum aynı grafik üzerinde görülebilir. Örneklem hacmi arttıkça bu
uyum daha iyi olmaktadır.
n=60
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
2
3
4
n=600
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2
-1
0
1
Histogramların ilgili dağılımların biçimleri hakkında fikir verdiklerini
görmek için, N ( µ = 1, σ 2 = 1) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu, n = 100
birimlik örneklem için histogramı ve n = 100 için üretilen 100 adet X örneklem
ortalaması için üst üste çizilen aşağıdaki histogramları gözden geçiriniz.
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
30
20
10
0
-4
Parametre Tahmini
Rasgelelik olgusunu modelleyen olasılık dağılımının biçiminin bilinmesi,
yani model olarak kullanılabilecek dağılımlar ailesinin bilinmesi ve bu ailenin
bir parametre ile modellenmiş olması durumunda problem bu parametrenin
belirlenmesine indirgenmektedir. Parametre kümesi Θ ve
X 1 , X 2 ,..., X n örneklem F (⋅ ;θ ) , θ ∈ Θ
olmak üzere, θ parametresini tahmin etmek için kullanılacak bir T ( X 1 , X 2 ,..., X n )
istatistiğinin (tahmin edicisinin) belirlenmesi gerekmektedir. Burada birbiri ile
ilgili iki sorun söz konusudur. Bunlardan birisi, tahmin edicilerde aranan
özellikler neler olmalı ve diğeri de tahmin edicileri bulma yöntemidir. Örneğin
N ( µ , σ 2 ) dağılımının parametrelerinin ençok olabilirlik tahmin edicileri, µ için
n
X =
∑X
i =1
i
n
ve σ 2 için
n
S2 =
∑(X
i =1
i
−X ) 2
n
dır. X yansız ve S 2 yansız değildir. Her ikisi de olasılıkta tutarlı, yani
p
X
→
µ
p
S2 
→
σ2
dır. µ parametresi aynı zamanda kitle medyanı olduğundan örneklem medyanı
M de µ için bir tahmin edici olarak düşünülebilir. M örneklem medyanı µ
için yansız bir tahmin edici midir? Hata Kareleri Ortalaması (MSE) ölçütüne
göre hangisi daha iyidir? Bu soruların cevabı kolay görünmemektedir.
MSE ( X ) = E ( X − µ ) = Var ( X ) =
2
ve
σ2
n
MSE ( M ) = E ( M − µ ) 2
olmak üzere, N ( µ = 1, σ 2 = 1) dağılımında n = 10 için 100 kez simülasyon ile
gözlenen,
x1 , x 2 ,..., x100
m1 , m 2 ,..., m100
değerleri için,
100
Mˆ SE ( X ) =
∑ (x
i =1
i
− µ)2
100
100
Mˆ SE ( M ) =
∑ (m
i =1
i
= 0.0966
− µ)2
100
olarak elde edilmiştir. Mˆ SE ( X ) değerinin
çıkması gerekmektedir.
= 0.1697
σ2
n
Mˆ SE ( M ) değerinin
değerine, yani 1/10 sayısına yakın
hangi sayıya yakın çıkması
gerekmektedir. Bunu bilmiyoruz. 100 değil de 500, 1000, 1500,…,15000 kez
n = 10 için M örneklem medyanı gözlenip, Mˆ SE ( M ) hesaplandığında Şekil4.13'deki gibi bir durum ortaya çıkmaktadır. Şekilden görüldüğü gibi
Mˆ SE ( M ) değerleri 0.138 gibi bir sayı etrafında salınmaktadır. MSE ( X ) < MSE ( M )
olduğu söylenebilir mi? Evet. MSE ölçütüne göre örneklem ortalaması,
örneklem medyanından daha iyi bir tahmin edicidir. Bunun simülasyon ile
söylendiği unutulmamalıdır. Simülasyon sadece N ( µ = 1, σ 2 = 1) dağılımı
üzerinde yapılmıştır. Acaba diğer normal dağılımlarda durum nedir?
0.144
0.142
0.14
0.138
0.136
0.134
0.132
0
5000
10000
15000
Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu,
 1 −θx
, x>0
 e
f ( x) = θ
0
, d . y.

ve
beklenen
değeri
θ,
varyansı
θ2
medyanı
θ ln(2)
olmak
üzere
θ (θ ∈ (0, ∞)) parametresi için
T1 = X
T2 = S 2
T3 =
M
ln(2)
tahmin edicileri düşünülsün. Hangisinin Hata Kareleri Ortalaması ölçütüne göre
daha iyi olduğunu simülasyon yaparak gözleyiniz (Aşağıdaki matlab programını
kullanabilirsiniz).
clc
close all
clear all
teta=1; n=10; N=100;
for i=1:N
x=-teta*log(rand(n,1));
T1(i)=mean(x);
T2(i)=std(x);
T3(i)=median(x)/log(2);
end
MSET1=sum((T1-teta).^2)/100
MSET2=sum((T2-teta).^2)/100
MSET3=sum((T3-teta).^2)/100
Bilindiği gibi Poisson dağılımında beklenen değer ile varyans birbirine
eşittir ve bu değer dağılımın parametresi olan λ 'dır. λ parametresi için yansız
birer tahmin edici olan,
n
Xn =
∑X
i =1
i
n
ile
n
S n2−1 =
∑(X
i =1
i
−X ) 2
n −1
tahmin edicilerinden hangisi daha küçük varyanslıdır? Teorik, yani analitik
olarak bu soruya cevap vermek biraz zordur. Simülasyon ile bu kolayca
görülebilir.
Simülasyon, tahmin edicilerin belli ölçütlere (özelliklere) göre
karşılaştırılmasında çok kullanılan bir araçtır. Önceki kısımda geniş bir şekilde
üzerinde durulduğu gibi simülasyon yaparak tahmin edicilerin diğer özellikleri
de incelenebilir.
Hipotez Testi
Đstatistiksel hipotez, dağılım hakkında bir önermedir. Örneğin, bir
rasgelelik olgusunu modelleyen dağılımın üstel olduğunun söylenmesi (iddia
edilmesi) bir hipotezdir. Bir dağılımla ilgili, örneğin, varyansının belli bir
sayıdan küçük olduğunun söylenmesi, iki değişkenli bir dağılımda
değişkenlerin bağımsız olduğunun söylenmesi birer hipotezdir.
Parametrelerle ilgili hipotezlerde, Θ parametre kümesi olmak üzere,
parametrenin bir Θ 0 ⊂ Θ kümesinde bulunmasına veya kısaca Θ 0 'a hipotez
denir ve H0 ile gösterilir. Θ1 = Θ \ Θ 0 'ya da karşıt (alternatif) hipotez denir ve
H1 (veya H A ) ile gösterilir.
Hipotezler,
H 0 :θ ∈ Θ 0
H 1 : θ ∈ Θ1
F (.;θ ),θ ∈ Θ = Θ 0 ∪ Θ olmak üzere,
ve X 1 , X 2 ... X n örneklem
ϕ :
Rn
→
[ 0, 1]
( X1, X 2 ... X n ) 
→ ϕ ( X1, X 2 ... X n )
istatistiğinin aldığı değer y = φ ( X 1 , X 2 ... X n ) olduğunda: “ b(1, p = y ) Bernoulli
denemesi başarı ile sonuçlandığında H 0 reddedilsin, aksi halde H0 kabul
edilsin”,
biçiminde
bir
karara
götüren
φ ( X 1 , X 2 ... X n )
istatistiğine,
rasgeleleştirilmiş test fonksiyonu (kısaca test fonksiyonu) denir.
Eğer φ nin görüntü kümesi {0,1} yani
1 , ( X1, X 2 ... X n ) ∈ B ⊂ R n
φ ( X1, X 2 ... X n ) = 
0 , ( X1, X 2 ... X n ) ∈ B
biçiminde ise φ ye rasgeleleştirilmemiş test fonksiyonu, B kümesine H0
hipotezi için red bölgesi, B kümesine de H0 hipotezi için kabul bölgesi denir.
Bir φ test fonksiyonu ile ilgili güç fonksiyonu,
π : Θ 0 ∪ Θ1 
→[0, 1]
θ
→π (θ ) = Pθ ,φ ( H 0 ın reddedilmesi)
olmak üzere,
α = sup{π (θ ) :θ ∈ Θ 0 }
değerine, testin anlam düzeyi denir. Anlam düzeyi, H0 doğru iken H0 'ın
reddedilmesi yani I. tip hata yapma olasılığı için üst sınırdır.
Anlam düzeyi α olan test fonksiyonları arasında tüm θ ∈ Θ1 için β (θ )
değerleri en büyük olan φ testine, düzgün en güçlü test denir. Genel olarak
böyle φ testlerini bulmak mümkün olmamakla birlikte bazı durumlar, örneğin
basit hipotezler için düzgün en güçlü test bulunabilmektedir.
Örnek:
N ( µ , σ 2 = 1) dağılımı için H 0 : µ = 1 , H 1 : µ ≠ 1 hipotezi ile ilgili,
1 , X − 1 > 0.2
φ=
0 , X − 1 < 0.2
test fonksiyonu önerilsin. n = 100 birimlik örneklem için
α = P ( X − 1 > 0.2 / H 0 do ğ ru ) = P ( Z > 2) = 0.0436
dır. π güç fonksiyonunun grafiği aşağıdadır.
fplot('1-normcdf(10*(1.2-x))+normcdf(10*(.8-x))',[-2 3])
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Güç fonksiyonu simülasyon yaparak da çizdirilebilir.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
% güç fonksiyonu grafiğini simülasyon yaparak çizdirmek
clc : close all:clear all
s=0;
for mu=-1:.05:3
say=0;
s=s+1;
for i=1:200
x=randn(100,1)+mu;
ort(i)=mean(x);
if (ort(i)>0.8)
if (ort(i)<1.2)
say=say+1;
end
end
end
olas=1-say/200;
guc(s)=olas;
end
mu=-1:.05:3
plot(mu,guc,'k')
2
2.5
3
Örnek: Bernoulli dağılımı ( b(1, p), p ∈ Θ = (0,1) ) ile ilgili,
H 0 : p ≥ 0.70 (Θ 0 = [0.70 , 1))
H 1 : p < 0.70 (Θ1 = (0 , 0.70))
hipotezini test etmek amacıyla,
X 1 , X 2 ... X 10
örneklem b(1, p )
alınması durumu için

1 ,
a) φ ( X 1 , X 2 ... X 10 ) = 
0 ,

10
∑X
i =1
10
∑X
i
≥7
i
≤7
i =1

1 ,
b) φ ( X 1 , X 2 ... X 10 ) = 
0 ,

∑X

1 ,


c) φ ( X 1 , X 2 ... X 10 ) = 0.5 ,

0 ,


∑X
≤6
i
10
i =1
10
∑X
i
i =1
10
i =1
10
≥8
≤6
i
∑X
i
=7
∑X
i
≥8
i =1
10
i =1
test fonksiyonları önerilsin. Bu test fonksiyonlarından, a ile b şıkkındakiler
rasgeleleştirlmemiş, c şıkkındaki test fonksiyonu rasgeleleştirilmiş bir test
fonksiyonlarının grafikleri aşağıda
fonksiyonudur. Bunlar için π güç
verilmiştir.
%guc fonksiyonu (teorik)
clc ;close all ;clear all
s=0;
for p=0.01:.05:.99
s=s+1;
guca(s)=binocdf(6,10,p);
end
s=0;
for p=0.01:.05:.99
s=s+1;
gucb(s)=binocdf(7,10,p);
end
s=0;
for p=0.01:.05:.99
s=s+1;
gucc(s)=binocdf(6,10,p)+0.5*binopdf(7,10,p);
end
p=0.01:.05:.99
plot(p,guca,'k',p,gucb,'k--',p,gucc,'k-.')
legend('a','b','c')
1
a
b
c
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Güç fonksiyonlarının simülasyon yapılarak çizdirilen grafikleri aşağıda verilmiştir.
%güç fonksiyonu (simülasyon)
clc: close all: clear all:s=0;
for p=0.01:.05:.99
s=s+1;
guca(s)=sum(sum(rand(10,1000)<p)<=6)/1000;
end
s=0;
for p=0.01:.05:.99
s=s+1;
gucb(s)=sum(sum(rand(10,1000)<p)<=7)/1000;
end
s=0;
for p=0.01:.05:.99
s=s+1;
m=sum(rand(10,1000)<p);
m7=sum(m==7);
red=sum(rand(m7,1)<0.5);
gucc(s)=(sum(sum(rand(10,1000)<p)<=6)+red)/1000;
end
p=0.01:.05:.99
plot(p,guca,'k',p,gucb,'k--',p,gucc,'k-.')
legend('a','b','c')
1
a
b
c
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P-Değeri
N ( µ , σ 2 ) dağılımı ile ilgili ( σ 2 bilindiğinde)
H 0 : µ = µ0
H 1 : µ = µ1
( µ1 > µ 0 )
hipotezleri α anlam düzeyinde test edilmek istensin. Basit hipotezler için
Neyman-Pearson Lemması yardımıyla elde edilen düzgün en güçlü test
fonksiyonu
1
, X>c
0
, X<c
φ ( X 1 , X 2 ... X n ) = 
biçimindedir. c sabiti,
Pµ0 ( X > c) = α
P(
X - µ0
σ/ n
P(Z >
>
c - µ0
σ/ n
c - µ0
σ/ n
) =α
) =α ⇒
c - µ0
σ/ n
= Z 1−α
c = Z1−α σ/ n + µ 0
olarak bulunur. φ test fonksiyonu alışılagelmiş olarak

X - µ0
> Z 1−α
1 ,
/
n
σ
φ ( X 1 , X 2 ... X n ) = 
0 , X - µ 0 < Z1−α

σ/ n
biçiminde yazılır. Hesaplanan,
Zh =
X - µ0
σ/ n
değeri normal dağılım tablosundan okunan Z tablo = Z 1−α değerinden büyük
olduğunda H0 reddedilir. Bu hipotez için p-değeri,
p = P( Z > Z h ) =
∞
∫
Zh
1
2π
dır. Küçük p değerlerinde H0 reddedilir.
e
−
z2
2
dz
P-değeri Z h istatistiğinin (rasgele değişkeninin) bir fonksiyonu
olduğundan kendisi de bir rasgele değişkendir. Bu rasgele değişken PZ ile
gösterilsin. PZ rasgele değişkeninin dağılımı nedir? Sıfır hipotezi doğru iken
PZ rasgele değişkeninin dağılımını simülasyon ile görmeye çalışalım. Örneğin,
N ( µ , σ 2 = 9) dağılımında
h
h
h
H0 :µ = 0
H1 : µ = 1
için, n = 16 olduğunda 1000 kez simülasyon yaparak bulunan PZ değerlerinin
h
histogramı, sıfır hipotezi altında ve karşıt hipotez altında sırasıyla aşağıdaki
gibidir.
%Sıfır hipotezi altında
clc;close all;clear all
zh=(mean(3*randn(16,1000))-0)/(3/sqrt(16));
p=1-normcdf(zh,0,1);hist(p,10)
Karsit hipotez altinda
Sifir hipotezi altinda
600
120
500
100
400
80
300
60
200
40
100
20
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Gerçekte sıfır hipotezi doğru olduğunda p değerinin olasılık dağılımı
düzgün dağılımdır. Dolayısıyla p değeri ile ilgili yorumlamalar-da, p değerinin
büyük olması sıfır hipotezinin kabul edilmesi anlamına gelip p değerinin
büyüklüğünün bir anlamı yoktur.
Simülasyonun Tasarlanması
ve
Sonuçların Değerlendirilmesi