Akım Çizgisi (Streamline)

4.
FLOWING FLUIDS
and
PRESSURE VARIATION
Akışkan Kinematiği
Akışkan kinematiği, harekete neden olan
kuvvet ve momentleri dikkate almaksızın,
akışkan hareketinin tanımlanmasını konu alır.
Yapı üzerindeki hız dağılımlarının
hesaplanması yapıya etkiyen basınç ve
kuvvetlerin bulunmasında yardımcı olur.
olur
Euler ve Lagrance Bakışları
Akışkan hareketini tanımlamanın iki yolu vardır.
Bunlardan birincisi
birincisi, akışkan partikülü olarak
adlandırılan küçük akışkan kütlesini
tanımlamak ve akışkan partikülünün
hareketini zamanla belirlemektir. Bu tür
cisimlerin
i i l i h
hareketini
k ti i ttanımlamada
l
d N
Newton
t
yasaları kullanılır. Bu yöntemin akan bir
akışkana uygulanmasına akışın Lagrange
tanımlaması denir.
Akışkan Parçacığının Konumu
ve Hızı
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
dx
u=
dt
dy
v=
dt
V( t ) = ui + vj + wk
dr ( t )
d
V (t) =
= V (x , y, z, t)
dt
dz
w=
dt
Euler ve Lagrance Bakışları
Euler ve Lagrance Bakışları
Euler Tanımlaması
Euler tanımlamasında; akışkanın içerisinden
girip çıktığı akış bölgesi veya kontrol hacmi
adı verilen sonlu bir hacim tanımlanır. Bu
şekilde akışkan parçacıkların konum ve
hızlarının izlenmesine gerek kalmaz. Bunun
yerine kontrol hacmi konumun ve zamanın
fonksiyonu olan alan değişkenleri tanımlanır.
Örneğin basınç alanı için : P
P=P(x,y,z,t)
P(x y z t) ve
benzer şekilde V=V(x,y,z,t) gibi
Akışkanlar mekaniği uygulamalarında Euler
t
tanımlaması
l
d
daha
h uygundur.
d Ö
Örneğin
ği bi
bir rüzgar
ü
tünelind V(x,y,z,t) ve P(x,y,z,t) ölçen problar
genellikle sabit noktaya yerleştirilir.
Diğer
ğ taraftan her bir ayrı
y akışkan p
parçacığını
ğ izleyen
y
Lagrange tanımlamasında hareket denklemleri iyi
bilinmesine karşın( Newton’un ikinci yasası gibi..),
Euler tanımlamasında akışa ait hareket denklemleri
bu denli açık değildir ve dikkatli bir şekilde
türetilmeleri gerekir.
Akışkan hızını tanımlamanın diğer bir yolu da, bunu
akım çizgisi ve zaman açısından tanımlamaktır
tanımlamaktır.
V=V(s,t)
A steady, 2D velocity field is given by,
V=(0.5+0.8x)i + (1.5-0.8y)j
z
z
Stagnation point
P(2 3)
P(2,3)
Akım Çizgisi (Streamline)
Flow Pattern (Akış Deseni)
Akışın görselleştirilmesi
Ak
ö ll ti il
i akış
k alanı
l
özelliklerin belirlenmesinde faydalı
olur. Akım çizgisi, her noktasındaki
eğimi akış hızına paralel olan eğridir.
(her yerde anlık yerel hız vektörüne
teğet olan bir eğridir)
dy v
=
dx u
Ü bboyutlu
Üç
l akışta
k
iise
dx dyy dzz
=
=
u
v
w
Şekilde bir depodan olan su akışına ait akım çizgileri ve akış deseni
görülmektedir. Burada üç farklı nokta için hız vektörleri görülmektedir.
Akım çizgileri akışkan partiküllerinin izlediği yolu verir. Ancak bazen akım
çizgileri bir yüzey tarafından kesilebilir. Bu noktaya durgunluk
(stagnasyon) noktası denir.Durgunluk noktasında (V=0), akışkanın hızı
sıfırdır.
Steady, incompressible, 2D velocity field
V (0 5+0 8 )i + (1.5-0.8y)j
V=(0.5+0.8x)i
(1 5 0 8 )j
dy v 1.5 − 0.8 y
= =
dx u 0.5 + 0.8x
C
y=
+ 1.875
0.8(0.5 + 0.8x )
z
Uniform flow
∂∂V
=0
∂
∂s
z
Non niform flo
Nonuniform
flow
∂V
∂V
≠0
∂s
∂s
Daralan akışta akışkan partikülü
ivmelenir. V2>V1
Girdap (Vortex) akışında ise hız
değeri değişmez, ancak yönü
değişir.
z
z
Steady flow
∂V
=0
∂t
Unstead flo
Unsteady
flow
∂V
≠0
∂t
z
z
z
z
Laminer akış ─ akış
düzgün akım çizgileri
ve son derece
d
dü
düzgün
ü
hareketle karekterize
edilir.
Türbülanslı akış ─ akış
hız dalgalanmalarıyla
ve son derece
düzensiz hareketle
karekterize edilir.
laminerden türbülanslı
akıma geçiş aniden
olmaz.
16
z
Laminar flow
z
Turbulent flow
Akım Çizgisi (Streamline)
Flow Pattern (Akış Deseni)
Akışın görselleştirilmesi
Ak
ö ll ti il
i akış
k alanı
l
özelliklerin belirlenmesinde faydalı
olur. Akım çizgisi, her noktasındaki
eğimi akış hızına paralel olan eğridir.
(her yerde anlık yerel hız vektörüne
teğet olan bir eğridir)
dy v
=
dx u
Ü bboyutlu
Üç
l akışta
k
iise
dx dyy dzz
=
=
u
v
w
Yörünge Çizgisi (Pathline)
Bir akışkan parçacığının belirli bir süre boyunca
katettiği gerçek yol.
Çıkış çizgisi (Streakline)
Akış içerisindeki belirli bir noktadan daha önce art arda
geçmiş akışkan parçacıklarının geometrik yeri.
Akım çizgisi (Streamline), yörünge çizgisi (pathline) ve
çıkış çizgisi (streakline) kararlı akışta birbirine eşittir,
ancak
k kkararsız akışta
k t birbirinden
bi bi i d oldukça
ld k ffarklı
kl
olabilir.
Akım çizgisi
çizgisi, her yerde anlık yerel hız vektörüne
teğettir.
Yörünge çizgisi
çizgisi, tek bir akışkan parçacığının belirli bir
süre boyunca katettiği gerçek yoldur.
Çıkışş çizgisi
Ç
ç g ise,, akış
ş içerisinde
ç
belirli bir noktadan
daha önce art arda geçmiş akışkan parçaçıklarının
geometrik yeridir.
Steady, incompressible, 2D velocity field
V=(0.5+0.8x)i
V
(0 5+0 8 )i + (1.5+2.5Sin(ωt)-0.8y)j
(1 5+2 5Si ( t) 0 8 )j
ω=2π rad/s,, the period
p
of oscillation 1 s
(0.5,
(0
5 0.5)
0 5)
((0.5,, 2.5))
(0.5, 4.5)
Acceleration Field
r
r
r dV ⎛ dV ⎞ r
⎛ de t ⎞
=⎜
a=
⎟
⎟ e t + V⎜
dt ⎝ dt ⎠
⎝ dt ⎠
dV ⎛ ∂V ⎞⎛ ds ⎞ ∂V
=⎜
⎟⎜ ⎟ +
dt ⎝ ∂s ⎠⎝ dt ⎠ ∂t
2 ⎞
⎛
r ⎛ ∂V ∂V ⎞ r
V r
⎟en
a = ⎜V
+
⎟e t + ⎜⎜
⎟
∂
∂
s
t
r
⎝
⎠
⎝
⎠
r
de t V r
= en
dt
r
Acceleration Field
2 ⎞
⎛
r ⎛ ∂V ∂V ⎞ r
V r
⎟e n
a = ⎜V
+
⎟e t + ⎜⎜
⎟
∂
∂
s
t
r
⎝14
⎝123⎠
4244
3⎠
at
an
Acceleration Field
V = ui + vj + wk
du
ax =
dt
dv
dw
ay =
az =
dt
dt
r
r
r
r
a = a x i + a y j + a zk
∂u dx ∂u dy ∂u dz ∂u
+
+
+
ax =
∂x dt
d ∂y dt
d
∂z dt
d
∂t
∂u
∂u
∂u ∂u
ax = u
+v +w
+
∂x
∂y
∂z ∂t
İki boyutlu bir kanalda, tam gelişmiş akış için hız alanı:
⎡ ⎛ y ⎞2 ⎤
u = u0 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ h ⎠ ⎥⎦
U0 , kanal
k
l merkezindeki
k i d ki maksimum
k i
h
hız.
Kanal kalınlığı 2h
U0 = 1.5 m/s , h = 0.2 m
z
z
z
Bir akışkan parçacığının
parçacığının, bir akış alanında x
yönündeki hızı, u=2(x+2) m/s olarak
verilmiştir.
verilmiştir
Akışkan parçacığının x=2 ve x=4 m
konumlarındaki hızını ve ivmesini hesaplayın
hesaplayın.
Akışkan parçacığının x=2 m’den x=4 m’ye
kadar gelmesi için gerekli süreyi hesaplayın
hesaplayın.
4.19
⎛ r03 ⎞
u = − U 0 ⎜⎜1 − 3 ⎟⎟
⎝ x ⎠
du
∂u
∂u
∂u ∂u
ax =
=u
+v +w
+
∂x
∂y
∂z ∂t
dt
Euler’s
Euler
s Equation
∑ Fl = ma l
∂
− (p + γz ) = ρa l
∂l
3m
7m
The Bernoulli Equation along a Streamline
∂
− (p + γz ) = ρa t
∂s
2 ⎞
⎛
r ⎛ ∂V ∂V ⎞ r
V r
⎟e n
a = ⎜V
+
⎟e t + ⎜⎜
⎟
∂
s
∂
t
r
⎝
⎠
⎝
⎠
2
V
p + γz + ρ
=C
2
Problem 4.103 (p
(p. 138))
Problem 4.62 (p
(p. 132))
Aplication of the Bernoulli Equation
„
Stagnation tube
Aplication of the Bernoulli Equation
„
Pitot tube
Pitot tube
Pitot tube
Pitot tube
Dairesel kesitli bir kanal için pitot tüpü
ölçüm noktaları
E
R
D
C
B
A = 0.949R
B = 0.837R
C = 0.707R
D = 0.548R
E = 0.316R
A
Problem 4.52 (p
(p. 131))
Pressure coefficient
Problem 4.107 (p
(p. 139))
Limitations on the use of the
Bernoulli’s Equation
q
Steady flow
„ Frictionless flow
„ No shaft work
„ Incompressible flow
„ No heat transfer
„ Flow along a streamline
„
Pressure distribution around a cylinder
Figure 4.24 (p. 121)
P
Pressure
di
distribution
t ib ti on a cylinder—irrotational
li d
i t ti
l flflow.