3 VEKTÖRLER

3 VEKTÖRLER
3.1 Koordinat sistemleri
3.2 Kartezyen koordinatlar
3.3 Vektörler
3.4 Vektörlerin bileşenleri
3.5 Vektörlerin toplanması
3.6 Vektörlerin çıkarılması
3 7 Bi
i vektör
ktö
3.7
Birim
1
Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?
3 2 Kartezyen koordinat
3.2
2
3 2 Kartezyen koordinatlar
3.2
3
Saatin dönme yönünün tersi
4
Skaler nicelik
• Sadece miktar, adet veya sayısal bir değer veren
büyüklüğü olan niceliklere skaler denir.
kütle,
denir Örneğin kütle
enerji, sürat, bir yerdeki canlı sayısı vs.
• Yönü, doğrultusu ve büyüklüğü olan niceliklere vektör
denir Örneğin hız
denir.
hız, sıcaklık değişimi,
değişimi kuvvet vs
vs.
5
Yerdeğiştirme
6
Quick Quiz 3.1
31
Aşağıdakilerden hangileri vektör, hangileri skaler
niceliklerdir?
(a)
( ) Yaşınız
Y
(b) İvme
( ) Hız
H
(c)
(d) Sürat
( ) Kü
(e)
Kütle
l
7
3 5 Vektörlerin toplamı
3.5
• R-bileşke vektör,
• A ve B -R nin bileşenleri
8
Vektör toplamı
9
Vektörlerin toplamı
10
Quick Quiz 3
3.2
2
A ve B vektörleri A = 12 birim ve B = 8 birim şeklinde
verilmektedir. Bileşke vektör R = A + B şeklinde ise vektörlerle
yapılan işlemlere göre en büyük ve en küçük değer
aşağıdakilerden hangisidir?
(a) 14.4 birim, 4 birim
(b) 12 birim,
bi i 8 birim
bi i
(c) 20 birim, 4 birim
(d) Yukarıdakilerden
Y k d kil d hi
hiçbirisi.
bi i i
11
Quick Quiz 3
3.3
3
B vektörü A vektörüne eklenirse, hangi durumda bileşke vektör
A + B nin değeri A + B ye eşittir?
(a) A ve B paralel ve aynı doğrultlarda olunca,
(b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca,
(c) A ve B birbirine dik olunca.
12
Quick Quiz 3
3.4
4
B vektörü A vektörüne eklenirse hangi koşulda bileşke vektörü
sıfır olabilir?
(a) A ve B birbirine paralel ve aynı yönlerde olunca,
(b) A ve B paralel ve zıt yönlerde olunca,
(c) A ve B aynı büyüklükte olunca,
(d) A ve B birbirlerine dik olunca.
13
Özetle : Vektörlerin toplanması
• Uygun bir koordinat sistemi seçiniz. Bileşen sayısını azaltarak toplamı kolayca
yapılacak hale getiriniz.
• Problemdeki tanıma uygun bir şekil çiziniz.
H vektörün
ktö ü x ve y bileşenlerine
bil
l i ayırınız ve bileşenlerin
bil
l i cebirsel
bi l ttoplamını
l
• Her
x ve y
eksenleri boyunca yapınız.
• Bileşke vektörün büyüklüğünü Pisagor teoremini kullanarak bulunuz ve
eksenlerden ne kadar ayrıldığını da trigonometrik fonksiyonları kullanarak
hesaplayınız.
hesaplayınız
14
Vektörlerin toplanması
xy düzleminde bulunan A ve B vektörlerinin toplamını hesaplayınız.
(2 0i + 2.0j)
2 0j) m ve B = (2.0i
(2 0i - 4.0j)
4 0j) m
A = (2.0i
Çözüm Vektörleri bileşenleri cinsinden yazılabilir.
A = Ax i + Ay j, burada Ax = 2.0 m ve Ay = 2.0 m.
Benzer şekilde Bx = 2.0 m ve By = - 4.0 m. Bileşke vektör R aşağıdaki gibi olur,
R = A + B = (2.0 + 2.0)i m + (2.0 - 4.0)j m = (4.0i - 2.0j) m
Veya
Rx = 4.0 m
Ry = -2.0 m
15
Vektörlerin toplanması
Bir parçacık aşağıdaki gibi yerdeğiştirmeleri yapmıştır:
d1 = (15i + 30j + 12k) cm, d2 = (23i - 14j - 5.0k) cm ve d3 = (-13i + 15j) cm. Bileşke
yerdeğiştirmeyi ve büyüklüğünü bulunuz.
16
Bileşme özelliği
17
Quick Quiz 3
3.6
6
Bir vektörün bileşenlerinden biri pozitif değere sahipse, bu
vektör için aşağıdaki koşullardan hangisi doğrudur?
(a)
birii negatif
( ) Bileşenlerinden
Bil
l i d bi
tif işaretli
i
tli olamaz,
l
(b) Sıfır olamaz,
( ) Üç
Ü b
tl olamaz.
l
(c)
boyutlu
18
Quick Quiz 3
3.7
7
A + B = 0 olabilmesi için A ve B nin nasıl olması gerekir?
(a) eşit
(b) pozitif
(c) negatif
(d) Zıt işaretli.
19
Quick Quiz 3
3.8
8
Aşağıdakilerden
ğ
hangisinde bir vektör bileşenlerinden birine
eşittir?
(a)
( ) A = 2i +5j
(b) B = -3j
( ) C = +5k
5k
(c)
20
3 6 Vektörlerin çıkarılması
3.6
21
Örnek 3
3.1
1 Gezide alınan toplam yol
22
Vektörlerin çarpımı
A vektörünün y-doğrultusundan bakınca xekseni üzerindeki izdüşümü
23
Dönmüş koordinat eksenleri
24
3 7 Birim vektör
3.7
25
Vektör bileşenleri
26
Örnek 3
3.2
2
R=56 birim
A vektörünün büyüklüğü 20 birim
B vektörünün büyüklüğü
y
ğ 40 birim
29º
C vektörünün büyüklüğü 30 birim
a) R-bileşke
R bileşke vektör?
b) R-bileşke vektörün yönü?
cos45º=sin45º=0.71
27
Örnek 3
3.3
3
•
•
•
•
A+B ?
A-B ?
B-A
A-2B
cos30=0.87
cos30=0
87
sin30=0.50
28
Örnek 3
3.4
4
Aşağıda kutupsal koordinatları verilen noktaların konum vektörlerini yazınız:
(a) 12.8 m, 150°
(b) 3.30 cm, 60.0°
(c) 22.0 in., 215°.
29
Örnek 3
3.5
5
xy düzlemindeki bir yerdeğiştirme vektörünün büyüklüğü 50
50.0
0 m ve pozitif x ekseni
ile yaptığı açı 120° olarak verilmektedir. Bu vektörün dik bileşenini bulunuz (sonuç
y
için fareye tıklayınız).
50
50.0 m
Ry = 50 sin60 = 43.3
veya
Ry = 50 cos30 = 43.3
40
30
20
10
120°
x
-30 -20
-10
10
20
30
-10
-20
20
-30
30
Örnek 3
3.6
6
Kuzey
Bir mağaracı mağaranın
girişinden itibaren mağara içinde
50.0 m
önce 75.0 m kuzeye, 250 m
doğuya, 125 m kuzey-doğuya
200
100
(doğudan 30
30.0
0° yukarı
doğrultuda) ve son olarak 150 m
güneye doğru hareket ediyor
ediyor.
Doğu
-100
Mağaracının mağaranın girişine
100
200
-100
göre
ö yerdeğiştirmesini
d ği ti
i i
hesaplayınız.
Rx=358.3 m
Ry=-12.5 m
R=358.5 m
31
Örnek 3
3.7
7 Robot kolu
Bir robot kolu önce yukarı doğru ve sonra doğuya hareket ediyor. Sonra doğu-batı
boyunca düşey doğrultuda yarıçapı 4.80 cm olan çeyrek çember yayı üzerinde
hareket ediyor. Robot cismi alıp yukarı ve 3.70 cm lik yarıçapı olan çeyrek çember
yayı üzerinde
düşey doğrultuda
doğru
ü i d dü
d ğ lt d kkuzeye d
ğ taşırsa:
t
(a) toplam yerdeğiştirmenin büyüklüğünü hesaplayınız.
l
d ği ti
i dü
k
l
(b) T
Toplam
yerdeğiştirmenin
düşey eksenle
yapmış olduğu açıyı hesaplayınız.
32
Örnek 3
3.8
8 Radar kontrolörü
Bir hava kontrolörü iki uçağı radar ekranında görür. Birinci uçak yerden
800 m yükseklikte, yatay olarak 19.2 km ve 25.0° güney-batıda
bulunmaktadır. İkinci uçak ise yerden 1100 m yükseklikte, kuleden 17.6
km yatay doğrultuda 20.0° güney-batıda bulunmaktadır. İki uçak
arasındaki uzaklığı hesaplayınız. (x eksenini batı, y eksenini güney ve z
eksenini düşey
ş y doğrultu
ğ
olarak alınız).
)
Uçak1 için x1=19200sin25 = 8114.2 m, y1=19200cos25 =17401.1 m, z1=800 m
U k2 için
Uçak
i i x2=17600sin20
17600 i 20 = 6019.3
6019 3 m, y2=17600cos20
17600
20 = 16538
16538.6
6 m, z2=1100
1100 m
r = √((8114.2-6019.3)2+(17401.1-16538.6)2+(800-1100)2)
= √(2094.9
√(2094 92 + 862.5
862 52 + 3002) = 2285.3
2285 3
33