MATLAB ile Sembolik Analiz

MATLAB ile Sembolik
Analiz
LİMİT, TÜREV, İNTEGRAL
LİMİT
Fonksiyonların Limiti – limit komutu
Matematiksel İşlem
MATLAB Komutu
lim 𝑓 𝑥
limit(f)
lim 𝑓 𝑥
limit(f, x, a) veya limit(f, a)
lim 𝑓 𝑥
limit(f, x, a, 'left')
lim 𝑓 𝑥
limit(f, x, a, ‘right)
𝑥→0
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎−
𝑥→𝑎+
Örnekler
Limit
Matlab Komutu
𝑥2 − 1
lim
𝑥→1 𝑥 − 1
>> syms x
>> f=(x^2-1)/(x-1);
>> limit(f,x,1)
lim
𝑥→0
𝑥+1
𝑥 2 − 3𝑥 + 4
1
lim
𝑥→∞ 𝑥
>> f=sqrt(x+1)/sqrt(x^2-3*x+4)
>> limit(f,x,0)
veya limit(f)
>> f=1/x
>> limit(f,x,inf)
1
lim
𝑥→1+ 𝑥 − 1
>> f=1/(x-1)
1
lim
𝑥→1− 𝑥 − 1
>> f=1/(x-1)
>> limit(f,x,1,’right’)
>> limit(f,x,1,’left’)
heaviside fonksiyonu
heaviside(x)
1
0
1
ℎ𝑒𝑎𝑣𝑖𝑠𝑖𝑑𝑒 𝑥 = 1
2
𝑥<0
𝑥>0
0.8
ezplot(heaviside(x), [-2, 2])
0.6
𝑥=0
0.4
0.2
0
-2
heaviside(x - 1)
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
x 1/2 heaviside(x - 1) + exp(x) heaviside(1 - x)
heaviside(x) - heaviside(x - 1)
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
2.5
2
1.5
0.4
0.4
1
0.2
0.2
0.5
0
-2
0
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
0
-2
-1
0
1
x
2
3
Örnekler
Limit
Matlab Komutu
𝑒𝑥,
𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥≤1
𝑥>1
= 2𝑥𝐻 1 − 𝑥 + 𝑥 2 𝐻 𝑥 − 1
>> f=exp(x)*heaviside(1-x) +sqrt(x)*heaviside(x-1)
>> limit(f,x,1,’right’)
>> limit(f,x,1,’left’)
𝑥
𝑥
=? 𝑣𝑒 lim−
=?
𝑥→0 𝑥
𝑥
𝑥
lim
𝑥→0 𝑥
𝑥 𝑛
lim 1 +
=?
𝑥→∞
𝑛
lim+
𝑥→0
𝑓 𝑥 = cos 𝑥 + sin 𝑥 fonksiyonunun türevini tanım yardımıyla bulunuz.
Örnekler
Limit
𝑥 2,
𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥
𝑓 𝑥 = 2𝑥
3𝑥 3
Matlab Komutu
𝑥<4
ise lim 𝑓 𝑥
𝑥→4
𝑥≥4
𝑥<0
0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ise lim 𝑓 𝑥 ve lim 𝑓 𝑥
𝑥→0
𝑥→1
𝑥>1
f = heaviside(-x)*x + (heaviside(x)-heaviside(x-1))*2*x +
heaviside(x-1)*3*x^3
sin 𝑥
𝑥→0 𝑥
lim
>> syms x a
>> v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];
>> limit(v, x, inf)
Örnek
𝑥 2 −3𝑥+2
𝑥−1
𝑓 𝑥 =
fonksiyonu veriliyor. Aşağıdaki sayısal değerler için fonksiyon
değerlerini hesaplayarak 𝑥 = 2 de limit değerine yaklaştığını gösteriniz.
lim 𝑓 𝑥
𝑥→2
𝑥 = 5.1
𝑥 = 4.9
𝑥 = 5.01
𝑥 = 4.99
𝑥 = 5.001
𝑥 = 4.999
𝑥 = 5.0001
𝑥 = 4.9999
𝑥 = 5.00001
𝑥 = 4.99999
𝑥 = 5.000001
𝑥 = 4.999999
syms x
writerObj = VideoWriter('animasyon.avi');
writerObj.FrameRate=1;
open(writerObj);
f=(x^2-3*x+2)/(x+1)
ezplot(f,[-5,10])
xr=10:-0.5:5;
xl=0:0.5:5;
hold on
for k=1:length(xr)
plot(xr(k),0,'r*')
plot(xr(k),subs(f,xr(k)),'bo')
plot(xl(k),0,'r*')
plot(xl(k),subs(f,xl(k)),'bo')
%
pause(0.5)
frame = getframe;
writeVideo(writerObj,frame);
end
plot(xr(k),0,'ro','MarkerFaceColor','r')
plot(xr(k),subs(f,xr(k)),'go','MarkerFaceColor','g')
frame=getframe;
writeVideo(writerObj,frame);
close(writerObj);
hold off
Limitler iç içe yazılabilir
𝑓 𝑥 = 2𝑥𝑦 − 𝑥 2 fonksiyonunun 𝑥, 2 ye ve 𝑦, 3 e yaklaşırken limiti ne olur?
>> syms x y
>> f=2*x*y-x^2
f =
- x^2 + 2*y*x
>> g=limit(f,x,2)
g =
4*y - 4
>> limit(g,y,3)
ans =
8
>> syms x y
>> f=2*x*y-x^2
f =
- x^2 + 2*y*x
>> limit(limit(f,x,2),y,3)
ans =
8
Örnek – Süreklilik İncelemesi
0, 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
𝑥𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
, 𝑥, 𝑦 = 0,0
𝑥2 + 𝑦2
Fonksiyonu (0,0) da sürekli midir?
Sürekli diyebilir
miyiz?
Dizilerin Limiti
TÜREV
Fonksiyonların Türevi
Sembolik bir fonksiyonun sembolik değişkenine göre türevi diff fonksiyonu yardımıyla hesaplanır.
Matematiksel İşlem
ADİ TÜREV
MATLAB Komutu
Örnek
diff(F)
>> syms x
>> f(x) = sin(x^2);
>> df = diff(f)
df(x) =
2*x*cos(x^2)
diff(F,var)
>> syms x t
>> diff(sin(x*t^2)) % veya
diff(sin(x*t^2),x)
ans =
t^2*cos(t^2*x)
>> diff(sin(x*t^2),t)
ans =
2*t*x*cos(t^2*x)
𝑓′ 𝑥
KISMİ TÜREV
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑥, 𝑡 ,
𝑥, 𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑡
Fonksiyonların Türevi
Sembolik bir fonksiyonun sembolik değişkenine göre türevi diff fonksiyonu yardımıyla hesaplanır.
Matematiksel İşlem
YÜKSEK MERTEBEDEN
TÜREVLER
𝑓
𝑛
𝑥
MATLAB Komutu
Örnek
diff(F,n)
>> syms
>> d4 =
d4 =
360*t^2
>> d5 =
d5 =
720*t
>> d6 =
d6 =
720
t
diff(t^6,4)
diff(t^6,5)
diff(t^6,6)
Fonksiyonların Türevi
Sembolik bir fonksiyonun sembolik değişkenine göre türevi diff fonksiyonu yardımıyla hesaplanır.
Matematiksel İşlem
YÜKSEK MERTEBEDEN KISMİ
TÜREVLER
𝜕𝑛𝑓
𝜕𝑛𝑓
𝑥, 𝑦 , 𝑛 𝑥, 𝑦
𝜕𝑥 𝑛
𝜕𝑦
KARIŞIK KISMİ TÜREVLER
𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑥𝑦𝑥 , 𝑓𝑦𝑦𝑥 , …
MATLAB Komutu
Örnek
diff(F,var,n)
veya
diff(F,n,var)
>> syms x y
>> diff(x*cos(x*y), y, 2) % f_yy
ans =
-x^3*cos(x*y)
diff(F,var1,var2,…,varN)
>> syms x y
>> diff(x*sin(x*y), x, y) % f_xy
ans =
2*x*cos(x*y) - x^2*y*sin(x*y)
>> diff(x*sin(x*y), x, x, x, y) % f_xxxy
ans =
x^2*y^3*sin(x*y) - 6*x*y^2*cos(x*y) 6*y*sin(x*y)
Jacobian - jacobian(f,v)
J = jacobian([r; t],[u; v])
syms x y z
f = [x*y*z; y; x + z];
v = [x, y, z];
R = jacobian(f, v)
b = jacobian(x + z, v)
>> det(ans)
ans =
y*z - x*y
% diff(f,v) ile aynı anlama gelir.
Örnek
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
Kutupsal koordinatları için Jakobiyeni hesaplayınız.
𝑥 =𝑢+𝑣
𝑦 =𝑢−𝑣
Koordinat dönüşümü için Jakobiyeni hesaplayınız.
𝑥 = 𝑟 cos 𝜙 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 cos 𝜙 sin 𝜃
𝑧 = 𝑟 sin 𝜙
Küresel koordinatları için Jakobiyeni hesaplayınız.
𝑥 = 𝑢2 − 𝑣 2
𝑦 = 𝑢2 + 𝑣 2
Koordinat dönüşümü için Jakobiyeni hesaplayınız.
Asimptot, Kritik Nokta, Ekstremumlar, Dönüm
Noktası
>> syms x
Yandaki fonksiyonu tanımlayalım.
Grafiğini çizelim.
ezplot(f)
>> pay = 3*x^2 + 6*x -1;
>> payda = x^2 + x - 3;
>> f = pay/payda
f =
(3*x^2 + 6*x - 1)/(x^2 + x - 3)
Asimptot, Kritik Nokta, Ekstremumlar, Dönüm
Noktası
Asimptotları Bulma
Yatay asimptotu bulmak için 𝑥 → ∞ ve 𝑥 → −∞ için
limit alalım.
>> limit(f, inf)
ans =
3
>> limit(f, -inf)
ans =
3
y = 3 yatay asimptottur.
Düşey asimptotu bulmak için
paydanın köklerini bulalım.
>> roots = solve(payda)
roots=
13^(1/2)/2 - 1/2
-13^(1/2)/2 – 1/2
x = 13^(1/2)/2 - 1/2
ve
x=-13^(1/2)/2 - 1/2
düşey asimptottur.
Asimptot, Kritik Nokta, Ekstremumlar, Dönüm
Noktası
Yatay ve düşey asimptotları çizelim
ezplot(f)
hold on
% Yatay asimptot
plot([-2*pi 2*pi], [3 3],'g')
% Düşey asimptot
plot(double(roots(1))*[1 1], [-5 10],'r')
plot(double(roots(2))*[1 1], [-5 10],'r')
title('Horizontal and Vertical Asymptotes')
hold off
Asimptot, Kritik Nokta, Ekstremumlar, Dönüm
Noktası
Maksimum ve minimum bulma
Grafikten, x = –2 ve x = 0 arasında bir noktada bir yerel maksimum, x = –6 ve x = –2 arasında bir yerde ise bir yerel minimum
olduğu görülüyor. Maksimum ve minimum noktalarını bulmak için fonksiyonun türevini alalım:
>> f1 = diff(f)
f1 =
(6*x + 6)/(x^2 + x - 3) - ((2*x +
1)*(3*x^2 + 6*x - 1))/(x^2 + x - 3)^2
>> f1 = simplify(f1)
f1 =
-(3*x^2 + 16*x + 17)/(x^2 + x - 3)^2
>> pretty(f1)
Kritik noktaları bulalım:
>> crit_pts = solve(f1)
crit_pts =
13^(1/2)/3 - 8/3
- 13^(1/2)/3 - 8/3
>> pretty(crit_pts)
Asimptot, Kritik Nokta, Ekstremumlar, Dönüm
Noktası
Maksimum ve minimum noktaları gösterelim:
>> ezplot(f)
>> hold on
>> plot(double(crit_pts), double(subs(f,crit_pts)),'ro')
>> title('Maximum and Minimum of f')
>> text(-5.5,3.2,'Local minimum')
>> text(-2.5,2,'Local maximum')
>> hold off
Asimptot, Kritik Nokta, Ekstremumlar, Dönüm
Noktası
Bu noktayı gösterelim:
Dönüm (büküm) noktasını bulalım. İkinci türevi sıfıra eşitleyelim.
>> f2 = diff(f1);
>> inflec_pt = solve(f2);
>> double(inflec_pt)
ans =
-5.2635
-1.3682 + 0.8511i
-1.3682 - 0.8511i
Görüldüğü gibi köklerden sadece biri reeldir ve tek dönüm
noktası da odur.
ezplot(f, [-9 6])
hold on
plot(double(inflec_pt),
double(subs(f,inflec_pt)),'ro')
title('Inflection Point of f')
text(-7,2,'Inflection point')
hold off
Örnek
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 29𝑥 + 30 fonksiyonunun eksenleri kesim noktalarını, yerel ekstremum noktalarını ve bu
noktalardaki ekstremum noktaların karakterini ve ayrıca büküm noktalarını belirleyerek grafiğini çizdirelim.
syms x;
f=x^3-2*x^2-29*x+30;
% x-eksenini kesim noktaları
solve(f)
% ans = 1 -5 6
% f nin grafiği
ezplot(f,[-7,7])
text(1,0,'+');
text(-5,0,'+');
text(6,0,'+');
% y-eksenini kesim noktası (0,f(0))
noktasıdır.
f0=subs(f,x,0)
% f0 = 30
fp=diff(f)
% fp = 3*x^2-4*x-29
% Kritik noktalar
xk=solve(fp)
% xk =
% 2/3+1/3*91^(1/2)
% 2/3-1/3*91^(1/2)
% Reel formatta kritik noktalar
x1=double(xk(1))
% x1 =3.8465
x2=double(xk(2))
% x2 = -2.5131
% Ekstremum noktalar
Ekst_1=[x1,subs(f,x,x1)]
% Ekst_1 = 3.8465 -54.2285
Ekst_2=[x2,subs(f,x,x2)]
% Ekst_2 = -2.5131 74.3766
Örnek
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 29𝑥 + 30 fonksiyonunun eksenleri kesim noktalarını, yerel ekstremum noktalarını ve bu
noktalardaki ekstremum noktaların karakterini ve ayrıca büküm noktalarını belirleyerek grafiğini çizdirelim.
% Ekstremum nokta tipleri(ikinci türev testi)
fpp=diff(f,2)
% fpp = 6*x-4
% subs(fpp,x,x1)
% ans = 19.0788>0
% Ekst_1 (3.8465 -54.2285) yerel minimum nokta,
%subs(fpp,x,x2) ans = -19.0788<0
% Ekst_2 (-2.5131 74.3766) yerel maksimum noktadır.
text(Ekst_2(1),Ekst_2(2),'Max')
text(Ekst_1(1),Ekst_1(2),'Min')
Örnek
Daha kompakt bir çözüm
syms x;
f=x^3-2*x^2-29*x+30
% x-eksenini kesim noktalarý bulalým
x0=solve(f)
% f nin grafiði
ezplot(f,[-7,7])
grid on;hold on
% x eksenin kestiði noktalarý
iþaretleyelim
for i=1:length(x0)
if imag(x0(i))==0
text(double(x0(i)),0,'o','color','r');
end
end
% y-eksenini kesim noktasý (0,f(0))
noktasýdýr.
y0=subs(f,x,0)
text(0,double(y0),'o','color','r');
% Kritik noktalarý bulalým
fp=diff(f)
xk=double(solve(fp))
xk=xk((imag(xk)==0))
% Ekstremum noktalar
Ekst=double([xk,subs(f,x,xk)])
% Ekstremum nokta tipleri(ikinci türev testi)
fpp=diff(f,2)
for i=1:length(xk)
test=subs(fpp,x,xk(i));
if test<0
text(Ekst(:,1),Ekst(:,2),'Max')
elseif test==0
text(Ekst(:,1),Ekst(:,2),'Büküm')
else
text(Ekst(:,1),Ekst(:,2),'Min')
end
end
Örnek : Kısmi Türev ve Kritik Nokta Uygulaması
𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑦 2 − 6𝑥𝑦 − 3𝑥 + 2𝑦 fonksiyonunun kritik noktasını (gradyanın sıfıra eşit olduğu nokta)
belirleyerek, kritik noktanın karakterini belirleyeniz ve grafik üzerinde işaretleyiniz.
İNTEGRAL
İntegral
Belirsiz İntegral
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Örnek
f sembolik ifadesinin varsayılan
değişkene göre integrali
>> int(x^n) or int(x^n,x)
ans=
piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)])
f sembolik ifadesinin v değişkenine
göre integrali
>> syms a b t
>> g = cos(a*t + b)
>> int(g,t)
int(f)
𝑓 𝑣 𝑑𝑣
int(f,v)
Belirli İntegral
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
Örnek
f sembolik ifadesinin varsayılan
değişkene göre belirli integrali
>> syms x
>> f = x^7;
>> int(f,0,1)
f sembolik ifadesinin v değişkenine
göre belirli integrali
>> syms u
>> f = 1/u;
>> int(f,1,2)
int(f,a,b)
𝑏
𝑓 𝑣 𝑑𝑣
𝑎
int(f,v,a,b)
Örnekler
>> syms x
>> f = log(x)*sqrt(x);
>> a = 0;b = 1;
>> int(f, a, b)
ans =
-4/9
>> syms x
>> int(-2*x/(1 + x^2)^2)
ans =
1/(x^2 + 1)
>> syms x
>> f = exp(-x^2);
>> a = 0;b = inf;
>> int(f, a, b)
ans =
pi^(1/2)/2
>> syms x z
>> int(x/(1 + z^2), x)
ans =
x^2/(2*(z^2 + 1))
>> int(x/(1 + z^2), z)
ans =
x*atan(z)
>> syms x
>> f = exp(-x^2);
>> int(f)
ans =
(pi^(1/2)*erf(x))/2
>> syms x t
>> int(2*x, sin(t), 1)
ans =
cos(t)^2
>> syms a x t z
>> int([exp(t), exp(a*t);
sin(t), cos(t)])
ans =
[ exp(t), exp(a*t)/a]
[ -cos(t),
sin(t)]
Örnekler
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
syms x
a = sym(1/2);
f = exp(-a*x^2);
ezplot(f)
clear
syms x a
f = exp(-a*x^2);
int(f, x, -inf, inf)
ans =
piecewise([a < 0, Inf], [0 <= real(a) or (angle(a) in Dom::Interval(-pi/2, pi/2) or
angle(a) in {-pi/2, pi/2}) and a ~= 0, pi^(1/2)/a^(1/2)], [real(a) < 0 and not angle(a)
in Dom::Interval(-pi/2, pi/2) and not angle(a) in {-pi/2, pi/2} and not a < 0, int(exp(x^2*a), x == -Inf..Inf)])
a ya bir değer atanmaz ise
MATLAB a yı bir kompleks sayı
olarak alır ve bu yüzden integral
parçalı
fonksiyon
şeklinde
verilir.
∞
2
𝑒 −𝑎𝑥 𝑑𝑥 =?
−∞
>> clear
>> syms x a
>> assume(a > 0);
>> f = exp(-a*x^2);
>> int(f, x, -inf, inf)
ans =
pi^(1/2)/a^(1/2)
Örnek
∞
𝑑𝑥
2
2
−∞ 𝑎 + 𝑥
integralini hesaplayınız. (a bir kompleks parametre)
>> syms a x
>> f = 1/(a^2 + x^2);
>> F = int(f, x, -inf, inf)
F =
(pi*signIm(i/a))/a
>> g = subs(F, 1 + i)
>> g =
pi*(1/2 - i/2)
>> double(g)
ans =
1.5708 - 1.5708i
Yaklaşık Belirsiz İntegral
Eğer f nin integrali kapalı formda hesaplanamaz ise integral çözülemeden aynen ekrana yazılır.
>> syms x
>> F = sin(sinh(x));
>> int(F, x)
ans =
int(sin(sinh(x)), x)
Bu durumda bir nokta civarında Taylor açılımı yapılarak, yaklaşık integral hesaplanabilir.
>> int(taylor(F, x, 'ExpansionPoint', 0, 'Order', 10), x)
ans =
x^10/56700 - x^8/720 - x^6/90 + x^2/2
Yaklaşık Belirli İntegral
>> syms x
>> F = int(cos(x)/sqrt(1 + x^2), x, 0, 10)
F =
int(cos(x)/(x^2 + 1)^(1/2), x == 0..10)
Bu durumda vpa komutu kullanılarak, nümerik (sayısal) olarak yaklaşık integral bulunabilir.
>> vpa(F, 5)
ans =
0.37571
Riemann Toplamı
rsums(f) VEYA rsums(f,a,b) VEYA rsums(f,[a,b])
rsums(f) : [0,1] aralığında f(x) in Riemann integralini interaktif olarak gösterir.
rsums(exp(-5*x^2))
Riemann Toplamı
rsums(f) VEYA rsums(f,a,b) VEYA rsums(f,[a,b])
rsums(f,a,b) veya rsums(f,[a,b]) : [a,b] aralığında f(x) in Riemann integralini interaktif olarak gösterir.
rsums(x*cos(x^2))
Örnek
𝑓 𝑥 = 𝑥 − cos 𝑥 , −4 ≤ 𝑥 ≤ 9 eğrisi altında kalan bölgenin alanını bulunuz.
x - cos(x)
>>
>>
>>
>>
f = x-cos(x);
ezplot(f, [-4,9])
a = int(abs(f), -4, 9)
disp('Area: '), disp(double(a));
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
x
>> t=-4:0.1:9;
>> hold on
>> area(t,t-cos(t))
6
8
SERİLER
Sembolik Toplama
symsum(f) VEYA symsum(f,var) VEYA syssum(f,,var,a,b)
symsum(f,var) : f ile tanımlanan bir serinin terimlerini, var isimli değişkene göre toplar. Değişken
değerleri 0 dan (var-1)’e değişir. Eğer var değişkeni belirtilmez ise varsayılan değişkene göre işlemler
yapılır.
Last Modified by GUIDE v2.5 12−May−2007 17:28:11
𝑘−1
𝑘=1
>> syms k
>> symsum(k) % VEYA symsum(k,k)
ans =
k^2/2 - k/2
1
𝑘2
>> syms k
>> symsum(1/k^2)
ans=
-psi(1, k)
𝑑
𝑝𝑠𝑖 𝑥 = 𝑑𝑖𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 𝑥 =
ln Γ 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
Γ 𝑥
𝑑𝑥
=
Γ 𝑥
psi(n,x): psi fonksiyonunun n-türevidir. psi(0,x) digamma
(poligamma), psi(1,x) trigamma, psi(2,x) tetragamma
fonksiyonudur.
Sembolik Toplama
symsum(f) VEYA symsum(f,var) VEYA syssum(f,,var,a,b)
symsum(f,var,a,b) : f ile tanımlanan bir serinin terimlerini, var isimli değişkene göre toplar. Değişken
değerleri a dan b’ye değişir. Eğer var değişkeni belirtilmez ise varsayılan değişkene göre işlemler yapılır.
∞
10
𝑘
𝑘=1
𝑘=0
>> syms k
>> symsum(k^2, 0, 10)
ans =
385
∞
𝑥𝑘
𝑘=0
1
𝑘2
>> syms k
>> symsum(1/k^2,0,inf)
ans=
pi^2/6
∞
𝑘=0
𝑥𝑘
𝑘!
>> syms k x
>> symsum(x^k/sym('k!'), k, 0, Inf)
ans =
exp(x)
>> syms k x
>> s2 = symsum(x^k, k, 0, inf)
s2 =
piecewise([1 <= x, Inf], [abs(x) < 1, -1/(x - 1)])
Taylor Serisi
taylor(f)
f yi , 5. dereceye kadar Maclaurine
serisine açar.
taylor(f,v)
f nin, v ye göre Maclaurine seri açılımı
taylor(f,v,a)
f nin, v ye göre a noktasındaki Taylor seri
açılımı
>> syms x
>> taylor(exp(x))
ans =
x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1
>> syms x
>> taylor(sin(x))
ans =
x^5/120 - x^3/6 + x
>> syms x
>> taylor(cos(x))
ans =
x^4/24 - x^2/2 + 1
Taylor Serisi
taylor(f,özellik_1,değer_1,özellik_2,değer_2,…,özellik_n,değer_n)
>> syms x
>> taylor(log(x), x, 'ExpansionPoint', 1) % VEYA taylor(log(x),x,1)
ans=
x - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + (x - 1)^5/5 - 1
>> syms x
>> f = sin(x)/x;
>> t6 = taylor(f)
t6=
x^4/120 - x^2/6 + 1
>> t8 = taylor(f, 'Order', 8)
t8 =
- x^6/5040 + x^4/120 - x^2/6 + 1
>> t10 = taylor(f, 'Order', 10)
t10 =
- x^8/362880 - x^6/5040 + x^4/120 - x^2/6 + 1
Örnek
plotT6 = ezplot(t6, [-4, 4]);
hold on
set(plotT6,'Color','red')
sin(x)/x için Taylor Seri Açılımları
1
0.8
plotT8 = ezplot(t8, [-4, 4]);
set(plotT8,'Color','magenta')
plotT10 = ezplot(t10, [-4, 4]);
set(plotT10,'Color','cyan')
plotF = ezplot(f, [-4, 4]);
set(plotF,'Color','blue','LineWidth', 2)
title(‘sin(x)/x için Taylor Seri
Açılımları')
hold off
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
Örnek
>> syms x y z
>> f = sin(x) + cos(y) + exp(z);
>> taylor(f)
ans =
x^5/120 - x^3/6 + x + cos(y) + exp(z)
>> taylor(f, [x, y, z])
ans =
x^5/120 - x^3/6 + x + y^4/24 - y^2/2 + z^5/120 +
z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 2
Örnek
Taylor Yaklaşımı ve Gerçek Fonksiyon
Taylor
Fonksiyon
6
>> syms x
>> g = exp(x*sin(x));
>> t = taylor(g, 'ExpansionPoint', 2, 'Order', 12);
>> xd = 1:0.05:3; yd = subs(g,x,xd);
>> ezplot(t, [1, 3]); hold on;
>> plot(xd, yd, 'r-.')
>> title('Taylor Yaklaşımı ve Gerçek Fonksiyon');
>> legend('Taylor',‘Fonksiyon')
5
4
3
2
1
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Taylortool
taylortool veya taylortool(f)
Taylor Series Approximation
20
10
0
-10
-20
-10
-5
0
5
10
TN(x) = x - x 3/2 + x 5/24 - x 7/720 +...- x 23/1124000727777607680000
taylortool('sin(tan(x)) - tan(sin(x))')