Taban Aritmetiği - Matematik Fatihi.com

Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
a.
4.2 – Taban Aritmetiği
4.2.1 – Sayma Sistemleri
1296
216
36
6
1
625
125
25
5
1
Etkinlik – 4.44
a. 5256 gün; kaç yıl, kaç ay, kaç hafta, kaç gündür?
(1 yıl 365 gün, 1 ay 30 gün sayılacaktır.)
b. 57684 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir?
b.
c. 578 kg fındık önce 80 kg lık çuvallara, kalanı 8
kg lık torbalara konulacak; artanından da 1’er
kg lık paketler yapılacaktır.
Kaç çuval, kaç torba, kaç paket fındık olur.
Etkinlik – 4.45
453 tane fındık kutulara doldurulacaktır. Aşağıdaki kutu sütunlarının üzerindeki sayılar o sütundaki her bir kutunun kaç tane fındık aldığını göstermektedir. Doldurma işlemine en sol sütundaki
kutudan başlanacaktır. Dolan kutuların içine “X”
işareti konulacak, tam doldurulmayan kutuya hiç
fındık konulmadan sağ sütundaki kutulara geçilecektir. Fındıklar kutulara doldurulduktan sonra
her sütunun altına kaç kutunun dolu olduğu yazılacaktır.
Bu kurala göre, 453 tane fındık 10’un kuvvetleri
kadar fındık alan kutulara aşağıdaki gibi doldurulmuştur.
1000
100
10
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
(4
5
3)
10
Siz de aşağıdaki, 6’nın kuvvetleri kadar fındık
alan kutularla, 5’in kuvvetleri kadar fındık alan
kutuları bu 453 tane fındıkla doldurarak sonucu
(….)6 ve (….)5 biçiminde gösteriniz.
Sonsuz sayıdaki doğal sayıların her biri için yeni
bir sembol atamak mümkün değildir. Bu yüzden,
doğal sayıların belli sayıdaki sembollerle gösterildiği yazma sistemlerinin geliştirilmesi zorunlu
olmuştur. Bildiğiniz onluk yazma sistemi bu
zorunluluğun ürünlerinden biridir. Bu sistemde
her doğal sayı 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
sembolleri ile yazılabilmektedir.
Sayıların yazılmasında on rakamın kullanılması,
“on” sayısının diğer doğal sayılara bir üstünlüğünün sonucu değildir. “On” sayısına yakınlık, insanların sayma işlemine önce parmaklarıyla başlamasından kaynaklanır. Etkinlik – 4.31’de keşfettiğiniz gibi doğal sayılar beş rakamla da, altı
rakamla da, oniki rakamla da, … yazılabilir. Bu
yazma sistemlerinin her biri en az onluk yazma
sistemi kadar kullanışlıdır. Bununla birlikte; burada diğer yazma sistemlerinden söz etmemizdeki
amacımız, sayıların yazımı için başka seçenekler
sunmak değildir. Yazma sistemlerinin genel olarak incelenmesiyle, bunların temelindeki düşünce
ortaya konulacak, dolayısıyla onluk yazma sisteminin de daha iyi kavranması sağlanacaktır. Daha
da önemlisi; bilgisayar biliminde bilgilerin kaydedilmesi ve taşınması, doğal sayıların 0 ve 1
rakamları ile yazıldığı ikilik yazma sistemiyle
gerçekleştirilir. Bu bakımdan, ikilik yazma sistemi
bilgisayar diline başlangıç için bir temel oluşturacaktır.
 Bir yazma sistemi ya da sayma sistemi
kurmak için taban denilen 1’den büyük bir t doğal sayısı ile t tane işaret (rakam) seçmek gerekir. Bu t tane rakam, t’den küçük doğal sayıları
temsil eden işaretlerdir.
1
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
a0 , a1 , a2 , ..., an 1 , an rakamlardan oluşan
kat sayılar ve t taban olmak üzere; bir a doğal
sayısı,
a  an tn  an 1tn 1  ...  a2 t2  a1t  a0 
Sayının, örneğin 103 ler basamağındaki rakamın sayı değeri 6, basamak değeri 6  103  6000
dir.
a   anan 1...a2a1a0 t  biçiminde gösterilir.
 Bir yazma sisteminde taban “on” dan küçükse, rakamlar onluk yazma sisteminden tanıdığınız
işaretler olarak seçilir. Taban “on” dan büyükse
10, 11, 12, 13, … için özel işaretler atanır.
 ifadesine, t tabanında yazılmış a sayısının çözümlenmiş biçimi denir.
Biz, kolaylık sağlar düşüncesiyle 10 için A, 11
için B, 12 için C, … işaretlerini seçeceğiz.
olarak yazılabilir ve bu a sayısı
 ifadesinde, rakamların bulunduğu yerlere basamak; bir rakamın, bulunduğu basamaktaki değerine basamak değeri adı verilir.
(anan 1...a2a1a0)
6’lık sistemdeki rakamların kümesi
0,1,2,3, 4,5 ;
12’lik sistemdeki rakamların kümesi
t
t0 lar basamağı
0,1,2,3, 4,5, 6,7, 8, 9, A,B,C
t1 ler basamağı
Bir yazma sisteminde rakamlar belirlendikten
sonra, tüm sayılar bu rakamlarla yazılmalıdır.
t2 ler basamağı
tn 1 ler basamağı
tn ler basamağı
Örneğin, an rakamının basamak değeri antn ;
a2 rakamının basamak değeri a2t2 dir.
Bunları, bildiğiniz onluk yazma sistemindeki bir
sayı üzerinde gösterelim:
Örnek 4.12
20644310
Buna göre; örneğin,
olur.
Örneğin; on tabanında “on” sayısının ayrı bir
işaretle değil, “1” ve “0” rakamları ile yazıldığına
dikkat ediniz. Ancak; biz, sayıları çözümlerken
işlemlerde kolaylık sağlaması için, onluk yazma
sistemi dışın-daki sistemlerde tabana karşılık
gelen
sayıları
onluk
sistemdeki
biçimiyle
göstereceğiz. Örneğin; (23)sekiz sayısını (23)8
biçiminde
yazıp
biçiminde
283
çözümleyeceğiz.
Bir
doğal
sayının
tabanı
belirtilmemişse,
bu
sayıyı
on
tabanında
sayacağız.
sayısı onluk yazma sisteminde (on
tabanında) yazılmıştır.
(2 0 6 4 4 3)10
Örnek 4.13
100 lar basamağı
101 ler basamağı
102 ler basamağı
a. 20342 5
b. 1011012
c. B8A412
103 ler basamağı
Çözüm
104 ler basamağı
a. (2 0 3 4 2)5  2  54  0  53  3  52  4  51  2  50
105 ler basamağı
20644310
20644310
Aşağıda verilen sayıları çözümleyiniz.
54535 25 150
 2  54  3  52  4  51  2
sayısının çözümlenmiş biçimi,
54 3 2 1 0
b. (1 0 1 1 0 1)2
 2  105  0  104  6  103  4  102  3  100
 1  25  0  24  1  23  1  22  0  21  1  20
ya da
 1  25  1  23  1  22  1
20644310
tür.
 2  105  6  103  4  102  4  10  3
c. B8A4 12  B  123  8  122  A  121  4  120
A, “on” rakamını; B, “onbir” rakamını göstermektedir.
2
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Teorem –4.26

Her a doğal sayısı bir t  N  1 tabanına göre,
a  a n t n  a n  1 t n  1  ...  a2 t 2  a1 t  a0
biçiminde ya da kısaca
5 tane fındık da 1’er fındık alan 5 kutuyu doldurur.
83 82 81 80
0
4
3
5
28510   4358 bulunur.
 4358 sayısı “sekiz tabanında dört, üç, beş”
a   a n a n  1 ...a 2a 1a 0 t
biçiminde yazılabilir.
diye okunur.
Teorem –4.26’ya göre; her a doğal sayısını,
istenilen her t tabanında (t, birden büyük doğal
sayıdır.) yazmak mümkündür.
2. yol
On tabanındaki 285 sayısının sekiz tabanındaki
basamakları, 285 sayısı art arda 8 ile bölünerek
daha kolay bulunur.
İşlemi inceleyiniz.
Teorem –4.27
Her a doğal sayısı bir t tabanında yalnız bir biçimde
yazılabilir.
Teorem –4.27’ye göre; örneğin,
a  75  2  73  3  7  4 ise, a sayısı 7’nin başka
kuvvetlerinin başka rakamlarla çarpımının toplamı olarak yazılamaz.
285
24
45
40
5
35 tane 81
8
35
32
8
4
3
4 tane 82
3 tane 81
5 tane 80
28510   4358
Dikkat ederseniz; en sağdaki bölüm en büyük
basamağı, sola doğru kalanlar, sırasıyla diğer basamakları vermektedir.
On Tabanında Yazılmış Bir Sayının
Başka Tabanda Yazılması
Örnek 4.14
Bir örnek üzerinde anlatalım.
17310
On tabanındaki 285 sayısını 8 tabanında yazalım:
1. yol
82
81
Etkinlik – 4.45’teki gibi düşünelim.
285 tane fındık 512 tane fındık alan kutuyu doldurmaz. Demek ki önce 64 fındık alan kutuları
dolduracağız.
285
256
29
29 tane fındık ile 8 tane
fındık alan 3 kutu dolar.
geriye 5 tane fındık kalır.
29
24
5
20  1, 21  2, 22  4, 23  8, 24  16, 25  32,
173 sayısının kaç tane 27 , kaç tane 26 , kaç tane 25 , …, kaç tane 20 ın toplamına eşit olduğunu
bulacağız.
80
64 tane fındık alan
kutulardan 4 tanesi
dolar. Geriye 29 tane
fındık kalır.
I. yol
26  64, 27  128 ’dir.
80  1, 81  8, 82  64, 83  512 dir.
83
sayısını 2 tabanında yazalım.
64
4
8
3
27
?
26
?
173
128
45
128
1
25
?
45
32
13
26
0
23
?
32
1
25
1
24
0
17310  101011012
22
?
13
8
5
1 tane 25
1 tane 27
27
1
24
?
23
1
8
1
21
?
5
4
1
20
?
4
1
1 tane 22
1 tane 23
1 tane 20
22
1
21
0
20
1
bulunur.
3
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Herhangi Bir Tabanda Yazılmış Sayının
On Tabanında Yazılması
II. yol
Aşağıdaki işlemi inceleyiniz.
173
2
86
1
86 tane 21
43 tane 22
2
21 tane 23
43
2
21
0
2
10
1
1
10 tane 24
2
5
0
5 tane 25
2 tane 26
2
2
2
1
1
0
1 tane 27
0 tane 26
1 tane 25
0 tane 24
1 tane 23
1 tane 22
0 tane 21
1 tane 20
Herhangi bir tabanda yazılmış bir sayıyı on tabanında yazmak için, sayının çözümlenmiş biçimi,
verilen tabanda yazılır. Çözümlenmiş biçimdeki
taban ve kat sayılar yerine onluk sistemdeki karşılıkları konulur. Bulunan değerler arasındaki işlemler onluk sistemde yapılır.
Örnek 4.16
60427
sayısını on tabanında yazalım:
60427
 6  73  4  71  2
 6  343  28  2
 2058  30
 2088 10
bulunur.
Örnek 4.17
Çember içine alınmış rakamların sağdan sola
doğru sıralaması soldan sağa doğru yazılırsa,
17310 sayısının 2 tabanındaki karşılığı elde edilir.
17310  101011012
bulunur.
 AB312
sayısını on tabanında yazalım:
A  10 10 ve B  1110 dur.
 AB312
 A  122  B  12  3
 10  144  11  12  3
 1575 10
Örnek 4.15
82710
bulunur.
sayısını 16 tabanında yazalım:
16 tabanında A  10 10 , B  1110 ,
C  12 10 , D  13 10 , E  14 10 , F  15 10 ,
olsun.
827
16
51
11
16
3
3 tane 162
On’dan Farklı Bir Tabandaki Bir Sayının
Başka Bir Tabanda Yazılması
Verilen sayı once on tabanında yazılır. Sonra, on
tabanındaki sayı istenilen tabana çevrilir.
3
Örnek 4.18
3 tane 161
11 tane 160
82710  33B 16
bulunur.
 40356
 40356
sayısını beş tabanında yazalım:
 4  63  3  6  5  887 10
887
5
177
2
Etkinlik – 4.46
5
35
2
Aşağıda verilen sayıları, istenilen tabanda yazınız.
a.
58710  ? 7
b. 2875 10  ? 12
c.
7910  ?2
d. 673 10  ? 3
5
7
0
5
1
2
88710  120225
  4035 6  12022 5
bulunur.
4
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
“a” Tabanındaki Bir Sayının “an”
Tabanında Yazılması
Örnek 4.20
8379
Bir örnek üzerinde anlatalım.
1101011012
sayısını 22   4  tabanında yaza-
lım:
Verilen sayıyı çözümleyip, 4’ün azalan kuvvetleri türünden yazacağız.
1101011012
9  32 olduğundan, Örnek-4.19’da yaptığımızın
tersini yapacağız.
Her rakamın yerine, o rakamın 3 tabanındaki
karşılığını yazacağız.
8 3 79  2210213
7
6
5
4
 1  28  1
 2
 0  2
 1
 2
 0  2



3
2
1
0
1
 2
 1  2
0
 2
 1  2





sayısını üç tabanında yazalım:
bulunur.
(21)3
(10)3
(22)3

 1  28  1  21  0  26  1  2  0   24


 
 
Etkinlik – 4.47
 1  2  1  22  0  21  1 20
 
 1  22
4
3
 
 2  22
2
 
 2  22
 3  22  1  22
0
Aşağıda verilen sayıları, istenilen tabanda yazınız.
 1  44  2  43  2  42  3  4  1
( A  10 10 , B  1110 , C  12 10 , D  13 10 ,
 122314
E  14 10 , F  15 10 alınacaktır.)
Yukarıdaki çözümleme ve işlemler incelenirse,
bundan aşağıdaki sonuç çıkarılabilir.
( 01
 01
 10
 10
 11
 )2
4
3
2
1
2
2
2
2
4
 
  012  22
3
 
 2 
 10 2  22
 112
c.
e.
0
2  2  2  2  2 
2
a.
2
1
  012
2
 
 2 
 10 2  22
2
g.
i.
0
k.
1201203  ? 10
258710  ? 8
231024  ? 7
110110112  ? 4
1258  ? 2
21304  ? 8
b.  A2B 13  ? 10
d. 673 10  ?12
f. 7632 8  ? 6
h. 1202102 3  ? 9
j. 387 9  ? 3
l. 357 8  ? 16
 1  44  2  43  2  42  3  4  1
 122314
“a” tabanında yazılmış bir sayıyı “ an ” tabanında
yazmak için, verilen sayının rakamları sağdan
başlanarak n’li gruplara ayrılır. Her grubun, verilen tabanda belirttiği sayı yerine bunun an tabanında belirttiği sayı yazılır.
Örnek 4.19
10101111012
Herhangi Bir Tabandaki Sayının
Tekliği; Çiftliği
 anan 1...a2a1a0 t
 antn  an 1tn 1  ...
a2t2  a1t  a0
sayısında t çift ise; a0 dışındaki toplam çift olacağından, sayının tek ya da çift olması a0 değerine bağlıdır.
Taban çift iken,
sayısını sekiz tabanında yaza-
a0 tek ise sayı tektir;
lım:
a0 çift ise sayı çifttir.
8  23 olduğundan, verilen sayıyı sağdan 3’lü
gruplara ayıracağız.
 anan 1...a2a1a0 t
001 010 111 1012  12758
(1)8 (2)8 (7)8 (5)8
bulunur.
 antn  an 1tn 1  ...
a2t2  a1t  a0
sayısında t tek ise toplamdaki her terimin tek ya
da çift olması an, an 1, ... kat sayılarının tek ya
da çift olmasına bağlıdır.
5
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Kat sayı tek ise terim tek; çift ise terim çift olur.
Toplama İşlemi
Taban tek iken,
Etkinlik – 4.48
an  an 1  ...  a2  a1  a0
toplamı tek ise sayı tektir; çift ise sayı
çifttir.
Örneğin,
3450236
sayısı tektir.
1356017
sayısı çifttir.
Bir çiftçi A tarlasından aldığı buğdayla
80 kg lık 4,
8 kg lık 7,
1 kg lık 6 teneke kabı;
B tarlasından aldığı buğdayla
80 kg lık 3,
8 kg lık 5,
1 kg lık 5 teneke kabı doldurmuştur.
( 1  3  5  6  1  16 çift olduğundan)
4.2.2 – Bir Sayma Sisteminde İşlemler
Her kap tam doldurulacağına göre, bu çiftçi
toplam ürününü en az kaç kaba yerleştirebilir?
20’ye kadar olan doğal sayıların değişik tabanlarda nasıl yazıldığını bilmeniz, -ya da zihinden
kolayca bulabilmeniz- işlemleri yaparken kolaylık
sağlayacaktır.
Toplama işleminin nasıl yapıldığını örneklerle
anlatalım:
Aşağıdaki tabloyu incelerseniz,
önemli ipuçları elde edebilirsiniz.
Örnek 4.21
10’luk
sistem
8’lik
sistem
5’lik
sistem
bu
konuda
2’lik
sistem
0 ……………… 0 ………………
0 ……………………0
1 ……………… 1 ………………
1 ……………………1
2 ……………… 2 ………………
2 ………………….10
3 ……………… 3 ………………
3 ………………… 11
4 ……………… 4 ………………
4 ……………… 100
5 ……………… 5 ……………… 10 ……………… 101
6 ……………… 6 ……………… 11 ……………… 110
7 ……………… 7 ……………… 12 ……………… 111
8 ……………… 10 ……………… 13 ……………. 1000
9 ……………… 11 ……………… 14 ……………. 1001
10 ……………… 12 ……………… 20 ……………. 1010
11 ……………… 13 ……………… 21 ……………. 1011
12 ……………… 14 ……………… 22 ……………. 1100
13 ……………… 15 ……………… 23 ……………. 1101
14 ……………… 16 ……………… 24 ……………. 1110
15 ……………… 17 ……………… 30 ……………. 1111
92810  3836 10
işlemini, sayıları çözümleye-
rek yapalım:
9  102  2  101  8
3
2
1
+ 3  10  8  10  3  10  6
3  103  9  8   102  2  3   101  8  6
 3  103  10  7   102  5  10  10  4
 3  103  103  7  102  6  10  4
 4  103  7  102  6  10  4
  4764 10
 Sayıları çözümlemeden, toplama işlemi şöyle
yapılır:
Sayılar, aynı adlı basamaklar alt alta gelecek biçimde yazılır. Birlikler toplanır. Birliklerin oluşturduğu 10’lukların sayısı 10’luklara eklenir; kalan 1’liklerin sayısı birler basamağına yazılır.
10’luklar toplanır. 10’lukların oluşturduğu 100’
lüklerin sayısı 100’lüklere eklenir; kalan 10’lukların sayısı 10’lar basamağına yazılır. 100’lükler
toplanır. 100’lüklerin oluşturduğu 1000’liklerin
sayısı 1000’liklere eklenir; kalan yüzlüklerin sayısı
100’ler basamağına yazılır. 1000’likler toplanır…
16 ……………… 20 ……………… 31 ……………10000
17 ……………… 21 ……………… 32 ……………10001
18 ……………… 22 ……………… 33 ……………10010
19 ……………… 23 ……………… 34 ……………10011
20 ……………… 24 ……………… 40 ……………10100
8  6  1  10  4
1  2  3  10  6  10
9  8  102  10  7  102
 1  103  7  102
1  3  103
928
3836
+
4764
 4  103
6
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Çıkarma İşlemi
Örnek 4.22
3425  2345
işlemini yapalım:
115
Etkinlik – 4.50
52 5 1
Birliklerin toplamı altı’dır.
“Altı” sayısı beş tabanında
(3 4 2)5
olarak yazılır. Yani
(2 3 4)5
+
(1 1 3 1)5
“altı” tane birlik, 1 tane 5’lik
ve 1 tane 1’lik eder. 1’ler
basamağına 1 yazılır, 1 tane 5’lik ele alınır.
5’liklerin toplamı 1  4  35   sekiz 5 dir.
Bir çiftçi 80 kg lık 7, 8 kg lık 3, 1 kg lık 4 kap
dolusu buğdayının; 80 kg lık 2, 8 kg lık 5, 1 kg lık
6 kap dolusu kısmını satacaktır.
Her kap tam doldurulacağına göre; kalan buğdayını en az kaç kaba yerleştirebilir?
Çıkarma işlemini örneklerle anlatalım:
“Sekiz” sayısı 5 tabanında 135 olarak yazılır.
Yani, “sekiz” tane 5’lik, 1 tane 52 ve 3 tane 5’lik
2
eder. 5’ler basamağına 3 yazılır; 1 tane 5
alınır.
2
5 liklerin toplamı
sayısı beş tabanında
lik ele
1  3  2   altı5 dır. “Altı”
115 olarak yazılır. Yani “al-
Örnek 4.24
306510  87310
rek yapalım:
3  103  0  102  6  101  5
8  102  7  101  3
tı” tane 52 lik, 1 tane 53 lük ve 1 tane 52 lik eder.
52 ler basamağına 1, 53 ler basamağına 1 yazılır.
Örnek 4.23
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
23057
4564 7
+ 
102027
a.
b.
122103
22213
+
222013
5  47  127
1  6 7  107
1  3  57  127
1  2  4 7  10 7
0  13  13
1  23  103
1  2  23  123
1  2  23  123
1  13  23
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
+
c.
+
Birliklerden birlikleri, onluklardan onlukları, yüzlüklerden yüzlükleri, … çıkaracağız.
6 tane 10’luktan 7 tane 10’luk; 0 tane 100’lükten 8 tane 100’lük çıkarılamaz. Bu durumda,
1000’liklerin birini 100’lüklere ve 10’luklara çevireceğiz.
1  103  10  102  9  102  102
 9  102  10  10 olduğundan
3
2
3  10  0  10  6  101  5
 2  103  9  102  10  6   101  5
 2  103  9  102  16  101  5 olur.
Bu yeni kat sayılarla, işlem aşağıdaki gibi yapılır:
2  103  9  102  16  101  5
8  102  7  101  3
2  103  1  102  9  101  2  2192 10
Aynı yöntemi, sayıları çözümlemeden de uygulayabiliriz.
Etkinlik – 4.49
a.
işlemini, sayıları çözümleye-
23034
332 4
b. 1011012
374 8
5638
d. 3A4B 12
+
+
11102
BB6312
5 birlikten 3 birlik çıkarılırsa
2 birlik kalır. 2 sayısı 1’ler
basamağına yazılır.
2 9 (106)
3065
873
192
6 tane 10’luktan 7 tane 10’luk
çıkarılamaz. 102 likler 0 tane olduğundan, 3 tane 103 ün 1 tanesi 9 tane 102 ve 10 tane 101 e
çevrilir. 10  6  tane 10’luktan 7 tane 10’luk çıkarılırsa 9 tane 10’luk kalır. 10’lar basamağına 9
yazılır.
7
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
9 tane 102 den 8 tane 102 çıkarılırsa 1 tane
102 kalır. 102 ler basamağına 1 yazılır. 2 tane
103 ler basamağından çıkarılan olmadığı için 103
ler basamağına 2 yazılır.
Örnek 4.25
3012 5  14345
65048
 4736 8
d. 9A04 12
3BB7 12
Çarpma İşlemi
işlemini yapalım:
2 tane 1’den 4 tane 1 çıkmaz.
eksilenin 1 tane 5’liğini
1’liklere çeviririz.
beş  25   yedi5 tane
Bir Doğal Sayının, Tabanın Kuvveti ile Çarpımı
2 4 5
0 52
(3 0 1 2)5
(1 4 3 4)5
Teorem –4.28
(1 0 2 3)5
birlik olur.
“Yedi” tane 1’den, 4 tane 1 çıkarılırsa 3 tane
1’lik kalır. Birler basamağına 3 yazılır. 0 tane
5’ten 3 tane 5 çıkarılamaz. 3 tane 53 ten birini
52 lere çevirirsek, 5 tane 52 olur. Bunun da 1’ini
5’lere çevirirsek; 53 ’ler basamağı 2, 52 ’ler basamağı 4, 51 ler basamağı “beş” olur.
“Beş” tane 51 likten 3 tane 51 lik çıkarılırsa 2
tane 51 lik kalır. 51 ler basamağına 2 yazılır. 4 tane 52 likten 4 tane 52 lik çıkarılırsa 0 kalır. 52 ler
basamağına 0 yazılır.
3
c.
3
t tabanına göre yazılmış bir doğal sayının
t p p  N ile çarpımı olan doğal sayı, verilen sayının
sağına p tane sıfır konularak elde edilen sayıdır.


Teorem –4.28’e göre; örneğin;
231Dört  Dört 3  231000 Dört
2314  1043  2310004
ya da
dır.
Etkinlik – 4.52
3
2 tane 5 ten 1 tane 5 çıkarılırsa, 1 tane 5
kalır. 53 ler basamağına 1 yazılır.
Teorem-4.28’i ispatlayınız.
Bir Doğal Sayının Bir Rakam ile Çarpımı
Örnek 4.26
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
Örnek 4.27
3 (72)
2 (75)
a. (4 3 5 6)7
(2 5 6 4)7
(1 4
6 2)7
9 (147)
7 (1411)
0 2
0 2
0 2
0 2
b. (1 1 0 1 1 0)2
(1 1
0 1 1) 2
(0 1 1 0 1 1)2
 452 10   4 10
leyerek yapalım:
 452 10   4 10


 4  102  5  101  2  4
4 (62)
2 5 (64)
c. (A 8 B)14
d. (5 3 0 4)6
(9 C C)14
(4 3 5)6
(0 9 D)14
(4 4 2 5)6
 4  4  102  4  5  101  4  2
 103  6  102  2  102  8
(TB)
2
 1  10  8  10  8
 1808 10
Etkinlik – 4.51
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
2102 3
2113
(D)
 10  6   102  2  10   101  8 (Toplama ve
çarpma t.)
3
a.
işlemini,  452 10 sayısını çözüm-
b. 3122 4
23314
Yukarıdaki yöntemi, çözümleme yapmadan uygulayalım:
(452)10
4  2  8 dir.
(4)10
x
Birler basamağına 8 yazılır.
(1808)10
4  5 tane 10’luk, 2  10 tane
8
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Örnek 4.30
10’luk eder. Bu da 2 tane
100’lük, sıfır tane 10’luktur.
10’lar basamağına 0 yazılır; 2 tane 100’lük ele
alınır.
4  4 tane 100’lük, 10  6  tane 100’lük eder.
Eldeki 2 tane 100’lük eklenirse 10  8  tane
100’lük olur. Bu da 1 tane 1000’lik, 8 tane
100’lük demektir.
100’ler basamağına 8; 1000’ler basamağına 1 yazılır.
234  3004
işlemini yapalım:
234  3004
 23 4  3  100 4
 23 4  3 4 100 4
2
 2014  100 4  2014 10 4
 20100 4
bulunur.
234  3004 çarpımını bulmak için, 234 ile
34 çarpılır, çarpımın sağına iki tane 0 konulur.
Örnek 4.28
2314  34
3  14  34
işlemini yapalım:
dir.
Birler basamağına
3 yazılır.
(231)4
(3)4
x
(2013)4
3  14  34
3  34  214
3  2  2 4  204
3  3 tane 4’lük 214
tane 4’lük eder. Bu da, 2 tane 42 ve 1 tane 4
tür. 4’ler basamağına 1 yazılır; 2 tane 42 ele
alınır. 3  2 tane 42 lik 124 tane 42 eder. Eldeki
2 tane 42 eklenirse 204 tane 42 elde edilir. Bu
da 2 tane 43 ve sıfır tane 42 demektir. 42 ler
basamağına 0 ve 43 ler basamağına 2 yazılır.
İki Doğal Sayının Çarpımı
Örnek 4.31
 47 10  56 10
çarpımını yapalım:
 4710  56 10
  47 10  50 10   6 10 
  47 10  50 10   47 10   6 10
 2350 10  282 10
 2632 10
bulunur.
Yukarıdaki işlemi, çarpanları alt alta yazarak
yapabiliriz.
Örnek 4.29
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
(47)10
Önce 47’yi 6 ile,
sonra 47’yi 50 ile
a.
2345
4
x  5
21015
 4  45  315
 4  3  35  305
 4  2  35  215
307 8
6
x  8
2452 8
6  78  528
6  0  58  58
6  38  24 8
çarparak, çarpımları
alt alta yazıp toplarız.

(2632)10
47’yi 50 ile çarpmak
b.
(56)10
x
(282)10
(2350)10
(47)10
yerine 5 ile çarpıp
sonucu diğer çarpanın
altına, bir basamak
sola kaydırarak yazmak
daha pratik olur.

(56)10
x
(282)10
(235)10
(2632)10
9
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Örnek 4.32
Etkinlik – 4.53
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
a.
(45)6
(34)6

x
(312)6
(223)6
(2542)6
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
3020 4
210 4
x 
b.  43000 7
64009
350 9
d.  AB30 12
a.
 4  56  326 

 4  4  36  316 
  46   45 6  312 6
3  56  236 

3  4  26  226 
c.
x
x
x
2400 7
BA012
 36   45 6  2236
Bölme İşlemi
b.

(214)5
(43)5
x
(1202)5
(1421)5
(20412)5
3  45  225 

3  1  25  105 

3  2  15  125 
Bir Doğal Sayının, Tabanın Kuvveti ile Bölümü
Teorem –4.29
 35  214 5  1202 5
 4  45  3  15 

 4  1  35  125 

 4  2  15  145 
  45  214 5  14215
t tabanına gore yazılmış bir doğal sayının
t p p  N ile bölünmesinde bölüm, verilen sayının
sağdan p tane rakamının atılmasıyla elde edilen
sayıdır.


Verilen sayının sağındaki p tane rakamın gösterdiği
sayı da kalandır.
Teorem –4.29’e göre; örneğin; 23786’nın 102
ile bölünmesinde bölüm 237 ve kalan 86 olur.
Örnek 4.33
234005  24000 5
Etkinlik – 4.54
işlemini yapalım:
234005  240005
 234 5  100 5  24 5  1000 5
2
5
5
5
3
5
 234 5  24 5  10   10 
 234 5  24 5  10 
5
 123315  10 5
 1233100000 5 bulunur.
Teorem-4.29’u ispatlayınız.
Örnek 4.34
(234)5
(24)5
x
(2101)5
(1023)
5

(12331)5
234013Beş
bölüm 234 5
3
sayısının Beş 
ile bölünmesinde,
ve kalan 135 tir.
Örnek 4.35
1011101111012
sayısının 43 ile bölünmesin-
deki bölüm ve kalanı bulalım:
 Sağ basamakları sıfır olan doğal sayıların çarpımını bulmak için; sıfırlar atılarak işlem yapılır.
Elde edilen çarpımın sağına, atılan sayıda sıfır konulur.
Örneğin;
26000 8  5008  156000008
olur.
3
 
43  22
6
 26  10 2 olduğundan;
sayının sağdan altı basamağını ayırırsak,
1011101111012
bölümün 101110 2
ve kalanın 1111012 olduğu
görülür.
10
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Bölümün Basamak Sayısını Bulmak
c. 111010112 in 1012 ile bölünmesinde;
10100000 2  111010112  101000000 2
Örnek 4.36
5
2748’in 24 ile bölünmesinde, bölümün basamak
sayısını bulalım:
6
 1012  10 2  111010112  1012  10 2
olduğundan, bölüm 6 basamaklıdır.
Bölme özdeşliğine göre;
r, kN; 2748  24  k  r ; r  24 tür.
Buna göre,
Bölümün Soldan İlk Rakamını Bulmak
24  k  2748  24 k  1  olur.
24’ün, tabanın kuvvetleriyle çarpımları;
Örnek 4.38
24, 240, 2400, 24000, … olup
3475’in 32 ile bölünmesinde, bölümün soldan ilk
rakamını bulalım:
24  102  2748  24  103 tür.
Diğer taraftan, ’e göre, 24’ün 2748’den küçük
olan en büyük katı 24  k ; 2748’den büyük olan
en küçük katı da 24 k  1 dir.
Öyleyse;
3200<3475<32000
 32  102  3475  32  103
3 basamaklıdır.
olduğundan, bölüm
24  102  24  k ve 24 k  1  24  103
Bölüme xyz dersek,
 102  k ve k  1  103
3475  32   xyz   r, r  32
 102  k ve k  103  1
 3475  32 x  102  y  10  z  r
 102  k  103  1

olur.

2
 3475  32  10  x  32
 10y
 32  z r olur.


O hâlde; bölüm üç basamaklıdır.
32  10y  32  z  r ifadesinin en büyük değeri
 Dikkat edilirse; a  2748, b  24 ve t  10
olmak üzere, b  t2  a  b  t3 iken bölümün basamak sayısı 3 olmuştur.
Bu sonucu, bölümün basamak sayısını bulma kuralı olarak genelleştirebiliriz :
t tabanında yazılmış a ve b doğal sayıları
için a  b  tp eşitsizliğini sağlayan en küçük
p sayısı; a’nın b’ye bölünmesinden elde
edilen bölümün basamak sayısını verir.
a. 28785’in 46 ile bölünmesinde;
46  102  28785  46  103 olduğundan, bölüm
3 basamaklıdır.
b.  432410 5 in 324 5 ile bölünmesinde;
3240005   432410 5  3240005
4
 324 5  10 5   432410 5  324 5  10 5
olduğundan, bölüm 4 basamaklıdır.
O hâlde; 320  y  32z  r  r1 toplamı 3475’in
32  102 ile bölünmesindeki kalandır.
Bu durumda, 3475  32  102  x  r1 eşitliğinde x
rakamı 3475’in 3200’e ya da 34’ün 32’ye bölünmesindeki bölüm olur.
Burada, x rakamı 1’dir.
 Dikkat edilirse; a  3475, b  32 ve t  10
iken bölüm 3 basamaklı olup bölümün soldan ilk
rakamı a’nın b  t3 1 ile bölümündeki bölüm olmuştur.
Örnek 4.37
3
320  9  32  9  31 olup 32  102 den küçüktür.
Bu sonucu, bölümün soldan ilk rakamını
bulma kuralı olarak genelleştiriyoruz:
t tabanında yazılmış a ve b doğal
sayılarından, a’nın b’ye bölünmesindeki
bölüm p basamaklı ise; bölümün soldan ilk
rakamı, a’nın
b  tp 1
ile bölümündeki
bölümdür.
11
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Örnek 4.39
Bölünen, bölen ve
bölümü yandaki
çizelgede gösterildiği
gibi yerleştirelim.
a. 386427’nin 56 ile bölünmesinde;
56000  386427  560000  56  104
olduğundan, bölüm 4 basamaklıdır.
Bölümün soldan ilk basamağı, 386427’nin
56  103  56000 ’e ya da 386’nın 56’ya bölümündeki bölüm olup 6’dır.
b. 340215 in 145 ile bölünmesinde;
140005  340215  140000 5  14 5  10 54
olduğundan, bölüm 4 basamaklıdır.
Bölümün soldan ilk basamağı,
340215 in 145  1053  140005 ile ya da
345 in 145 ile bölümündeki bölümdür.
345  1910 ve 145   910 olduğundan,
Bölünen Bölen
Bölüm
4273
“4273’ü 35 ile bölme”nin, “4273’ün içinde kaç
tane 35 bulunduğunu bulma” demek olduğunu
biliyorsunuz.
Bölüm 3 basamaklı ve yüzler basamağı 1 olduğuna göre, 4273’ün içinde en az 100 tane 35
vardır.
Bu 100 tane 35’i
4273’ten çıkarırsak
geriye 773 kalır.
Aynı yöntemle, 773’ün
içinde en az 20 tane
35 olduğu bulunur.
Bu 20 tane 35’i de
773’ten çıkarırsak
geriye 73 kalır.
bölümün ilk basamağı 2 olur.
c. 875604 9 ün 239 ile bölünmesinde;
230000 9   875604 9  23000009
5
 23 9  10 9
35
1…
73’ün içinde de 2 tane 35
vardır. 2 tane 35’i 73’ten
çıkarırsak, geriye 3 kalır
4273
3500
773
35
1..
773
35
2.
773
700
35
2.
73
73
70
3
35
2
olduğundan bölüm 5 basamaklıdır.
O hâlde; 4073’ün 35 ile bölümündeki bölüm
Bölümün soldan ilk basamağı,
100  20  2  122 , kalan 3’tür.
8756049 ün 239  1094  2300009 ile
ya da 879 nin 23 9 ile bölümündeki bölümdür.
87 9  7910
ve 239  2110 olduğundan,
bölümün ilk basamağı 3 olur.
Bölümün ve Kalanın Bulunması
Bölme işlemi üzerine yukarıda verdiğimiz bilgilerle, artık; yıllardır yaptığınız bölme işleminin neden öyle yapıldığını açıklayabilecek durumdayız.
Örnek 4.40
4273’ün 35 ile bölünmesindeki bölüm ve kalanı
bulalım:
3500  4273  35000  35  103 olduğundan bölüm 3 basamaklıdır. 4273’ün 35  102 ile ya da
42’nin 35 ile bölümündeki bölüm, bölümün soldan
ilk basamağı olup 1’dir.
 4273’ün 35 ile bölünmesinde; bölümün
100’ler, 10’lar ve 1’ler basamaklarını bulduğumuz
işlemleri,
4273 35
3500 122
yandaki gibi
773
aynı çizelgede
770
gösterebiliriz.
73
70
3
Yukarıdaki çizelgedeki, üstü çizili sayılara dikkat
ediniz!
42’de 35 aranmış, yüzler basamağına 1 yazılmış; 77’de 35 aranmış, onlar basamağına 2 yazılmış; 73’te 35 aranmış, birler basamağına 2 yazılmıştır.
4273 35
Buna göre;
35
122
işlemler
77
yandaki gibi
70
73
daha kısa
70
yapılabilir.
3
12
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
 İşlemlerin yukarıdaki son biçimi bizi –sizin de
bildiğiniz– bölmenin pratik tekniğine götürür. Artık; bölümün kaç basamaklı olduğunu ve soldan
ilk rakamının ne olduğunu ayrıca araştırmamıza
gerek yoktur.
Bu tekniği, 4273’ü 35’e bölerek hatırlatalım:
Bölünenin, soldan en az kaç
basamağının oluşturduğu
sayının bölenden büyük
olduğu aranır. 42, 35’ten
büyüktür. 42’de 35, 1 kere
vardır. Bölümün soldan ilk
basamağına 1 yazılır.
4273 35
35
122
77
70
73
70
3
1  35  35 sayısı 42’den çıkarılır. Kalan 7’nin yanına, bölünenin soldan 3. basamağındaki 7 getirilir. 77’de 35, 2 kere vardır. Bölümün soldan 2.
basamağına 2 yazılır. 2  35  70 sayısı 77’den çıkarılır. Kalan 7’nin yanına, bölünenin soldan 4.
basamağındaki 3 getirilir. 73’te 35, 2 kere vardır.
Bölümün soldan 3. basamağına 2 yazılır.
Örnek 4.42
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
a. 3151260 63
315
50020
000126
126
0000
c.
b.
(346005)7 (43)7
311
(5560)7
350
311
360
354
1111111 11
11
101010
0011
11
0011
11
001
346 7  181
 437  31
(35)7
d.
2  35  70 sayısı 73’ten çıkarılır. Kalan 3 ve 3<35
olduğundan bölme işlemi tamamlanmıştır.
Bölüm 122; kalan 3 tür.
(2223333)4
222
00033
32
133
130
(32)4
(30102)4
2224  42
324  14
1334  31
(3)4
Örnek 4.41
Etkinlik – 4.55
 43025
nin  445 ile bölünmesindeki bölüm ve
kalanı bulalım:
 435   445 ve
 430 5   445
olduğundan
(4302)5 (44)5
(341)5 (44)5
(342)5
(341)5
 4305 da  445 aranır.
1
 430 5  11510 ve  44 5  24 10 olduğundan;
 4305 da  445 , 4 kere vardır. Bölümün soldan
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
1011012 112
c.
670358 234 8
b. 53404 6
d. 3409 12
 456
5B12
 Taban aritmetiği üzerine örnekler ve etkinliklerle devam edelim:
ilk basamağına 4 yazılır.
 4 5   445  3415 sayısı  4305 dan çıkarılır.
Kalan 345 in yanına bölünenin 4. basamağındaki 2 getirilir. 342 5 de  445 , 4 kere vardır. Bölümün soldan 2. basamağına 4 yazılır.
 4 5   445  3415 sayısı 3425
Bölüm  445 ve kalan 15 olur.
den çıkarılır.
Etkinlik – 4.56
Aşağıda verilen toplamları onluk yazma sisteminde yazınız.
a. 23  107  12  106  43  104  246


b. 57  106  105  35  103  27  102  49
13
Taban Aritmetiği
Etkinlik – 4.57
Muharrem Şahin
Çözüm
On tabanında, A  0,2, 4,6,7,8 kümesinin elemanları ile yazılabilecek, beş basamaklı ve rakamları farklı
 abc   2 2ab   14
 10  ab   c  2  200   ab    14
 10  ab   c  400  2  ab   14
 8  ab   c  414
a. en büyük sayı kaçtır?
b. en küçük sayı kaçtır?
Bu son eşitlik, 414 ün 8 ile bölünmesinde bölümün (ab), kalanın c olduğunu gösterir.
Buna göre,
Etkinlik – 4.58
On tabanında rakamlarının sayı değerlerinin
toplamı 19 olan, beş basamaklı
a. en büyük sayı kaçtır?
Etkinlik – 4.59
b. en küçük sayı kaçtır?
c. rakamları farklı en büyük sayı kaçtır?
d. rakamları farklı en küçük sayı kaçtır?
Aşağıdaki eşitliklerde harflerle verilen sayılar on
tabanında doğal sayılardır.
Bilinmeyen sayıları bulunuz.
a.
Örnek 4.43
414 8
51
6
 ab  51 ve c  6
olup  abc   516 dır.
b.
On tabanında, rakamlarının sayı değerlerinin
toplamının 4 katının 6 fazlasına eşit olan iki basamaklı sayıları bulunuz.
 xyz    xy   380
 abc  4  bc   8
Etkinlik – 4.60
Çözüm
On tabanında, iki basamaklı (ab) sayısı
10  a  b ye eşittir.
 ab   4  a  b   6
 10  a  b  4a  4b  6
On tabanında (abc) üç basamaklı, (bc) iki basamaklı doğal sayılardır.
 abc  6   ab   167 olduğuna göre, (abc) kaçtır?
 4a  6a  b  4a  3b  6  b
 6a  3b  6
 2a  b  2
b
b
b
b




0
2
4
6
ise
ise
ise
ise
Etkinlik – 4.61
olur.
a1
a2
a3
a4
Aşağıdaki işlemlerde harfler birer rakamı göstermektedir.
Sayılar on tabanında yazıldığına göre, harflerin
karşılık geldiği rakamları bulunuz.
b  8 ise a  5
olup istenen sayılar; 10, 22, 34, 46, 58 dir.
a.
Örnek 4.44
(abc) ve (2ab), on tabanında üçer basamaklı iki
doğal sayıdır.
 abc  2  2ab   14
sı kaçtır?
olduğuna göre  abc 10 sayı-
c.
2a3
a2a
+ 67b
13a2
b.
24a
x b3
c3d
e
+ fk
mnp78
d.
aba
3ac
162
abc
ac
8
21
14
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
Etkinlik – 4.62
Alıştırmalar ve Problemler – 4.2
Aşağıdaki işlemlerde harflere karşılık gelen rakamları bulunuz.
a.
c.
(2a3)5
(a2a)5
+ (32b)5
(20a3)5
b.
(23a)4
x (b3)4
d.
1.
(aba)6
(3ac)6
Her kutu tam olarak doldurulacağına göre,
en az kaç teneke kutuya gereksinim vardır?
(141)6
(cd2e)4
558 kg buğday; 80 kg lık, 8 kg lık ve 1 kg lık
teneke kutulara konulacaktır.
(abc)8 (ac)8
(7)8
2.
5250 gün; kaç yıl, kaç ay, kaç gündür?
(1 yıl 365 gün, 1 ay 30 gündür.)
(60)8
+ (fghk)4
(mnp22)4
3.
57680 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir?
4.
Bir koşucu koşacağı mesafenin ilk yarısını 56
dak. 35 sn de koşmuştur. İkinci yarıyı da aynı sürede koştuğuna göre, koşucu koşusunu
kaç sa, kaç dak, kaç sn de tamamlamıştır?
5.
Aşağıdaki işlemlerde verilenlere göre, istenenleri bulunuz.
Etkinlik – 4.63
Yandaki bölme
işleminde, bölünenin
alabileceği değerleri
bulunuz. (a, bN)
2b4
5
a6
3b
Etkinlik – 4.64
Yandaki işlemde bölüm
ve kalanın alabileceği
değerleri bulunuz.
354
(ab)
13
r
a. 2ab
+ 4ba
7c4
ab  c  ?
d.
Etkinlik – 4.65
x, y, z N olmak üzere,
x  y  z ve 2x  3y  z  122 koşullarını sağlayan x, y, z için;
a. x’in en büyük değeri kaçtır?
b. y’nin en büyük değeri kaçtır?
c. z’nin en büyük değeri kaçtır?
b. aaa
bb
+ cd
baa
ab2
a7c
+ 3bc
1308
g.
2x  y   z  144
değeri kaçtır?
olduğuna göre, x’in en küçük
f.
 a,b   ?
a78a
- 2a95
bcd9
 a,b, c, d  ?
i. 6ab
ab
x b4
c4
8
4
1056
j. 5ab
x, y, z ikişer basamaklı doğal sayılardır.
 a,b, c   ?
+
 a,b, c   ?
Etkinlik – 4.66
a5a
- 3ab
2bb
h.
a36
x 4b
1c80
+ 9
cdc2
ab  c  d  ?
e.
 a,b, c   ?
c. 6a5
+ 76b
23
42
c3
 a,b   ?
k. abcde
216
2mn
2de
 a,b, c   ?
l. 6a6 3b
18
4
9
 a,b, c   ?  a,b, c, d, e,m,n  ?
 a,b   ?
15
Taban Aritmetiği
6.
Muharrem Şahin
Aşağıdaki işlemlerde verilenlere göre, istenenleri bulunuz.
a.
A
b.
x5
9
A’nın en büyük
değeri ile en küçük
değeri kaçtır?
rakamları bulunuz.
a.
24ab 23
?
12
3x8
12. Aşağıdaki eşitliklerde, harflere karşılık gelen
b.
c.
a  b nin en büyük
değeri kaçtır?
d.
e.
f.
c. A
8
11
?
B
d.
7
6
?
B
7
A
B
4
A  B nin en küçük
değeri kaçtır?
C
4
6
A’nın en küçük
değeri kaçtır?
 abc  bc   386
 abc   ac   462
 ab4   ab   490
2a7b   90  cd  16
 abcd  2abc   1723
2abc    abab  2
(a  b  c)
(b  a  c)
13. Rakamlarının sayı değerlerinin toplamının 5
katının 6 fazlasına eşit olan iki basamaklı sayıları bulunuz.
14. İki basamaklı (ab) sayısı, rakamlarının topla7.
8.
Aşağıdaki işlemlerde bölüm ve kalanları bulunuz.
a. 220222
22
b. xyz0xyz4 xyz
c. ababab3
ab0
d. abab0ab0 ab0
15. İki basamaklı bir sayının rakamlarının yer
değiştirilmesiyle elde edilen iki basamaklı sayı ilkinden 63 eksiktir.
Bu koşula uyan kaç değişik sayı vardır?
Aşağıda verilen toplamları onluk yazma sisteminde yazınız.
7
4
2
a. 2  10  3  10  10
b. 35  106  3  105  33  104  3
93  103  2
9.
10
7
 
 
 7  104  105  103  104  247

A  0,1, 2,3, 4,5,6 kümesinin elemanları ile
yazılabilecek, altı basamaklı ve rakamları
farklı,
a. en büyük sayı kaçtır?
b. en küçük sayı kaçtır?
10. Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 21
olan, dört basamaklı
a.
b.
c.
d.
16. (abc), (cba) ve (29d) sayıları üçer basamaklıdır.
 abc   cba  29d eşitliğini sağlayan kaç
(abc) sayısı vardır?
17. Yandaki bölme
c. 247  107  83  106  106  104
d.
mının x katına; (ba) sayısı rakamlarının toplamının y katına eşittir. x  y kaçtır?
en büyük sayı kaçtır?
en küçük sayı kaçtır?
rakamları farklı en büyük sayı kaçtır?
rakamları farklı en küçük sayı kaçtır?
11. 10. alıştırmada istenilen “dört basamaklı” sayılar yerine, aynı koşullardaki,
a. altı basamaklı sayıları yazınız.
b. yedi basamaklı sayıları yazınız.
3023 abc
işleminde abc
29
üç basamaklı
r
bir doğal sayıdır.
İşlemde verilen koşullara uyan tüm (abc, r)
ikililerini yazınız.
18. (ab), (cd), (ba), (dc) iki basamaklı ve
rakamları farklı doğal sayılardır.
 ab   cd   dc  dir.
 ab   cd  ba   dc  eşitliği sağlandığına
göre a, b, c, d rakamları arasındaki bağıntıyı
bulunuz. Eşitliğe örnekler veriniz.
19. (abcd) ve (cdab) dört basamaklı sayılardır.
67   abcd  34   cdab  eşitliğini sağlayan rakamları farklı en büyük (abcd) sayısını bulunuz.
20. Aşağıda verilen sayıları istenilen tabanda yazınız.
a. 1232 4  ? 10
b. 24010 5  ? 10
c.  AB4 12  ? 10
d. 829 10   ?6
16
Taban Aritmetiği
Muharrem Şahin
e. 1276 10  ? 16
f. 186 10  ? 2
g. 2510 6  ? 5
h. 3102 4  ? 7
i. 1010110110 2  ? 8 j. 2314  ? 2
k. 2316  ? 8
l.  426 8  ? 4
27.  46 7  x  647 koşulunu sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır?
28. Aşağıdaki toplamları istenilen tabanlarda
yazınız.
a. 3  45  2  44  5  42  12  ? 8
21. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
b. 5  85  7  84  5  83  82  2  ? 4
a.
(3232)5
+ (2323)5
b.
(12012)3
+ (2212)3
c.
(6785)9
+ (234)9
d.
(2AB4)13
+ (BC5B)13
29. Aşağıdaki ifadeleri,

c.
(1001010)2
(111011)2
b.
(40716)9
(6878)9

d.
b.  a  22  ? a 1
c.  a  12  ?a  2
(40123)5
(2334)5


(42A5)13
(2BC8)13
c.
(11010)2
x (1110)2
(6700)8
x (450)8
30. t  2 olduğuna göre, 1022 t2 sayısını t
tabanında yazınız.
31. 1010201t sayısını t2 tabanında yazınız.
23. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
tabanlarda
a.  a  13  ? a
22. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
istenilen
yazınız.
b.
(12100)3
x (1220)3
d.
(2AB0)13
x (B40)13
 aa   xyz   6985 olduğuna
basamaklı  xyz  sayısı kaçtır?
32.
33.
göre,
üç
abcd
+e f g b
efcbh
24. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. (21220) (12)
3
3
b. (45032) (53)
6
6
c. (73060) (68)
9
9
d. (4035)
13
(AB)13
işleminde her harf farklı bir rakamı göstermektedir. Bu rakamları bulunuz.
34. 16! sayısı 8! tabanında yazıldığında kaç
basamaklı olur.
25.  aaa3   aat olduğuna göre, t kaçtır?
26. Aşağıdaki eşitliklerde bilinmeyenleri bulunuz.
a. 340 6  204 t
b. 234 a  2a16  bcd8
c. 13a45   a40 7
d.  40316   31303 t
17