Document

KAVRAMLAR
n
Olasılık Kuramı ve
Bazı Olasılık Dağılımları
n
n
n
OLASILIK
n
n
n
Sübjektif görüş: Bir olayın gerçekleşeceğine olan inanç,
olaylar hakkındaki bilgi derecesine bağlıdır.
Klasik görüş: bir olayın olasılığı, gözlem ve deneye
dayanmadan, teorik bir modelden elde edilen sonuçlarla
belirlenebilir.
Ampirik görüş: bir olayın olasılığı, bir veya birçok
gözlem ve deneyden elde edilen sonuçlardan
belirlenebilir.
Yani, A olayının n sayıdaki denemede x kere
gerçekleşmesi halinde olasılık
P(A)=x/n’dir
Deney: belirli koşullar altında tekrarlanabilen ve her
tekrarda farklı sonuçlar elde edilebilen işlemdir.
Örneklem uzayı: bir denemenin tüm olası sonuçlarını
gösteren S kümesine örneklem uzayı denir.
Örneklem noktaları: örneklem uzayının elemanları
örneklem noktalarıdır.
Olay: örneklem uzayının her alt kümesi bir olay olarak
tanımlanır (A, B).
Deney ve Örneklem Uzayı
Deney
Örnek Uzayı
Yazı-Tura atılır
2 Para Yazı-Tura atılır
Kart Seçildiğinde,
Kart Seçildiğinde
Kaliteye Bakılınca
Cinsiyete Bakılınca
Müsabaka Yapıldığında
Tura,Yazı
TT, YZ, TY, YY
2♥, 2♦, ..., A♠ (52)
Kırmızı, Siyah
Kalitesiz, Kaliteli
Erkek,Bayan
Kazanır, Kaybeder, Berabere
Basit ve Bileşik Olay
n
n
n
n
Olasılık Tablosu
Bir tek çıktısı olan ve kendisinden başka olaylara
ayrıştırılamayan olaylara basit olay; birden fazla
basit olaydan oluşan olaylara bileşik olay denir.
Ör. Bir zar atıldığında 3 gelmesi basit bir olayken
atılan zarın çift gelmesi bileşik bir olaydır.
Muhtemel olay: bir deneyden çıkabilecek her
basit olay.
Ayrık olay: arakesitleri boş olan olaylar
Bileşik ve Ayrık Olay
Ağaç Diyagramı
Olasılık
Olasılık- Temel Özelliği
nP
- olasılık.
- belirli bir olay.
n A, B, ve C
n P (A)
- A olayının oluşma olasılığı:
bir deneyin çok sayıda tekrarında, bir olayın
gözlenme oranına o olayın olasılığı denir
P(A) =
n
n
n
A olayına ait sonuçların sayısı
Muhtemel bütün sonuçların sayısı
Ör: Bir zarın atılması sonrasında 5 gelmesi
P(A)=1/6
Yazı-Tura Denemesi (T)
n
P(A)=1 kesin olay
P(A)=0 imkansız olay
Kesin ve imkansız olaylar
dışında kalan bütün
olayların olasılıkları
0 ile 1 arasındadır.
0<P(A)<1
ΣP(A)=1
Muhtemel tüm olay sayılarının hesabı
n
1900’lerde İngiliz istatistikçi Karl Pearson 24000 kez Yazı Tura
Atmış oyun sonunda 12012 kez Tura Gelmiştir. P(T)=0.5005
n
Permütasyon:
N birimin geliş sırası dikkate alınarak birbirinden
farklı düzenlemelerin elde ediliş sayısı. (yerine
koyarak örnekleme)
n!
nPr =
Kombinasyon:
(n - r)!
N birimin geliş sırası dikkate alınmadan
birbirinden farklı düzenlemelerin elde ediliş
sayısı. (yerine koymadan örnekleme)
nCr =
n!
(n - r )! r!
Ayrık olaylar
(Birbirini Engelleyen olaylar)
Birleşik Olaylar
İki olayın bileşimi: (A U B), (A veya B)
Zar atma deneyinde:
A: bir tek sayı gelmesi, A={1, 3, 5}
B: 2’den büyük bir sayı gelmesi, B={3, 4, 5, 6}
(A U B)={1, 3, 4, 5, 6}
n İki olayın kesişimi: (A ∩ B), (A ve B)
(A ∩ B) ={3, 5}
n
n
n P(A
Toplama Kuralı
n Ayrık olaylar
n P(A U B)=P(A)+P(B)
n Birleşik olaylar
n P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B)
U B)=P(A)+P(B)=0.2+0.3=0.5
Birleşik olaylar
(Bir Arada Oluşabilen Olaylar)
Olasılık Kuralları
n
Bir mağazaya giren müşteri 0.2 olasılıkla lacivert,
0.3 olasılıkla siyah bir takım elbise alacaktır. Bu
müşterinin mağazadan iki takımdan birisini alma
olasılığı nedir?
n
n
n
n
52’lik bir deste oyun kağıdından rasgele seçilen 2
kağıdın kupa veya as olma olasılığı nedir?
P(K)=13/52
P(A)=4/52
P(A ∩ K)=1/52
n P(A
U K)=P(A)+P(K)-P(A ∩ K)
=13/52+4/52-1/52=16/52=4/13
Bağımlı ve Bağımsız olaylar
Olasılık Kuralları
İki veya daha fazla olay meydana geldiğinde bir
olayın meydana gelmesi diğerinin meydana
gelmesini etkiliyor ise bağımlı, etkilemiyor ise
bağımsız olay olarak adlandırılır.
Tümleme:
P(A) + P(A) = 1
Koşullu Olasılık
Olasılık Kuralları
ve
P(B A) =
P(A ∩ B)
P(A)
n
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
B ={2}
A olayının olması durumunda
B olayının olması olasılığı
A ={2, 4, 6}
Bir zar deneyinde sonucun bir çift sayı
olduğu bilindiğine göre 2 olma olasılığı
nedir?
P(A)=3/6=1/2
A∩B={2}
P(A∩B)=1/6
P(B | A)=[1/6]/[3/6]
=1/3
Çarpma Kuralı
n Bağımlı olaylar
n P(A ∩ B)=P(A).P(B|A)
n Bağımsız olaylar
n P(A ∩ B)=P(A).P(B)
Bağımlı Olay
Bir makinenin üretmiş olduğu 50 parçadan 10 tanesinin
kusurlu olduğu bilinmektedir. Bu parçalardan rasgele 2
parça çekildiğinde (yerine koymaksızın) her ikisinin de
kusurlu olma olasılığı nedir?
P(A): çekilen birinci parça kusurlu =10/50
P(B): çekilen ikinci parça kusurlu
P(B|A)=9/49
n
n
n
n
n
Bayes Teoremi
Çeşitli sebeplerin aynı sonucu verebildiği durumlarda
bazen sonuç bilindiği halde bunun hangi sebepten ileri
gelmiş olduğu bilinmeyebilir. Sözkonusu sonucun
hangi olasılıkla hangi sebepten ortaya çıktığı
araştırılmak istendiğinde Bayes Teoremi kullanılır.
P(A ∩ B)=P(A) . P(B|A)
=10/50 . 9/49=0.0367
Bağımsız Olay
n
İki zarın birlikte havaya atıldığı bir deneyde her iki
zarında 4 gelme olasılığı nedir P (4, 4) ?
n P(A)=1/6
n P(B)=1/6
n P(A
∩ B)=P(A).P(B)=1/6 . 1/6=1/36
Bayes Teoremi
Bir günlük üretim
sonrasında bir ürün
seçilmiş ve bozuk
olduğu görülmüş.
Bu ürünün M3’te
üretilmiş olma
ihtimali nedir?
P ( M3 B) =
P ( M3 B) =
P ( M3 B) =
Makine
Üretimdeki %
payı
Bozuk Üretim Oranı
%
M1
0.20
0.02
M2
0.30
0.03
M3
0.50
0.04
P ( M 3). P ( B M 3 )
P ( B)
P ( M 3). P ( B M 3 )
P ( M 1). P ( B M 1) + P ( M 2). P ( B M 2 ) + P ( M 3). P ( B M 3 )
0.50 ⋅ 0.04
0.02
=
= 0.606
0.20 ⋅ 0.02 + 0.30 ⋅ 0.03 + 0.50 ⋅ 0.04 0.033
Rastlantı Değişkenin
Beklenen Değeri ve Varyansı
Rastsal Değişken
nHangi
değeri alacağı önceden bilinmeyen ve belli
olasılıklarla çeşitli değerler alabilen değişkene rastlantı
(rastsal) değişken adı verilir.
n
E ( X ) = ∑ xi P ( x )
i =1
nOlasılık fonksiyonu:
bir rastlantı değişkenin alabileceği
değerlerle, bu değerleri alabilmesi olasılıkları arasındaki
ilişkiyi gösteren bir fonksiyondur.
f ( x ) ≥ 0 ve
+∞
∫
n
V ( X ) = σ = ∑ xi2 P ( x ) − [ E ( X )]
2
2
i =1
f ( x ) ⋅dx = 1
−∞
koşulunu sağlayan f(x) fonksiyonuna x’in olasılık yoğunluk
fonksiyonu denir
RASTSAL DEĞİŞKEN TÜRÜ
- Kesikli rastsal değişken sonlu sayıda değer alan bir değişken olabileceği gibi,
sonsuz sayıda değer de alabilir.
Sonlu değer alan bir kesikli rastsal değişken:
x =' 1 günde satılan TV sayısı' olsun ve x 5 farklı değer alabilirse
(örneğin : 0, 1, 2, 3, 4)
Sonsuz değer alabilen bir kesikli rastsal değişken:
x = '1 günde gelen müşteri sayısı' ve 0, 1, 2, . . . Değerlerini alabilir
Gelen müşteri sayısını sayabiliriz, ama gelebilecek müşteri sayısı için bir üst
limit saptayamayız.
n
n
Bir kitabın sayfalarındaki yanlış sayısını gösteren x’in (0,
1, 2) olasılık fonksiyonu P(X=x), (0.8, 0.4, 0.02) sırası ile
verilmiştir.
Sayfa başına ortalama yanlış sayısını ve varyansını
hesaplayınız.
n
E ( X ) = ∑ xi P ( x ) = 0(0.8) + 1(0.18) + 2(0.02) = 0.22
i =1
n
V ( X ) = σ = ∑ xi2 P ( x ) − [ E ( X )]
2
Sürekli rastsal değişken
- Sürekli rastsal değişken sınırlı ya da sınırsız belli bir aralıktaki bütün değerleri
alabilen rastsal değişkendir. Sürekli bir değişkenin alabileceği değerler sayılamaz.
2
i =1
= 0 (0.8) + 12 (0.18) + 2 2 (0.02) − (0.22) 2 = 0.216
2
Olasılık Dağılımları
Rastsal bir değişken için Olasılık dağılımı değişkenin
değerleri için olasılıkların nasıl dağıldıklarını tanımlar.
KESİKLİ, OLASILIK DAĞILIMLARI
- Binom Olasılık Dağılımı
- Poisson Olasılık Dağılımı
- Hipergeometrik Olasılık Dağılımı
Binom Dağılımı
n
Birbirinden bağımsız ve iki sonuçlu olaylar binom dağılımı
gösterir
n
birbirinden bağımsız deneme sayısı.
x
p
n denemede istenilen olayın gelme sayısı
istenilen olayın ortaya çıkma olasılığı.
q
istenmeyen olayın ortaya çıkma olasılığı
P(x)
n denemede x sayıda istenilen olayın ortaya
çıkma olasılığı
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI
- Dikdörtgen (UNIFORM) Olasılık Dağılımı
- NORMAL DAĞILIM
- ÜSTEL DAĞILIM
P(S) = p
(p = başarılı olma olasılığı)
P(F) = 1 – p = q (q = başarısız olma olasılığı)
Binom Dağılımı
KESİKLİ OLASILIK DAĞILIMI
n
n
n
n
Her deneme için p sabittir
Denemeler bağımsızdır
Her deneme için iki sonuç vardır
Deneme sayısı n sonlu bir değere varır
 n  x n − x
x = 0,1, 2 ....., n
  p q
p( x , n, p) =  x 
0
diğer x ' ler için

Binom Dağılımı
x = 0, 1, 2, . . ., n
P(x) =
n!
•
(n – x )!x!
px •
2
σ
x = 0,1, 2....., 6
diğer x ' ler için
 6
0
6−0
6!
p( x = 0) =   ( 0.05 ) ( 0.95 ) =
(0.95)6 = 0.7351
(6 − 0)!0!
 x
b) 1’nin kusurlu çıkma ihtimali
 6
6!
1
6−1
p( x = 1) =   ( 0.05 ) ( 0.95 ) =
(0.05)(0.95)6 = 0.2321
−
x
(6
1)!1!
 
c) En az ikisinin kusurlu çıkma olasılığı
p( x ≥ 2) = 1 − [ p( x = 0) + p( x = 1)] = 0.0328
= n•p•q
Standart sapma
( 0.95)
a)Hiç birinin kusursuz olma ihtimali
ortalama µ = n • p
Varyans σ
  ( 0.05 )
p( x , 6, 0.05) =  x 

0

qn-x
x adet başarılı
sonuç elde etme
olasılığı
n denemede
tam x adet
başarılı sonuç
sayısı
Örnek:
n Bir makinenin ürettiği parçaların %5’nin kusurlu olduğu
bilinmektedir. Bu makinenin ürettiği parçalardan 6 tanesi
incelenmiştir.
 6 
x
6− x
=
n•p•q
Binom Dağılımı
Poisson Dağılımı (ender olaylar dağılımı)
n
X rastlantı değişkeninin belli bir zaman aralığında veya belli bir
mekanda çok az tekrarlanan olayları göstermesi durumunda
ortaya çıkan olasılık dağılımı
• Eşit uzunluktaki zaman dilimlerinde ilgili olduğumuz olayın
gerçekleşme olasılıkları aynıdır
• Olayın herhangi bir zaman diliminde gerçekleşmesi ya da
gerçekleşmemesi,başka bir zaman diliminde gerçekleşmesi ya da
gerçekleşmemesinden bağımsızdır.
0<p<0.5 : sağa yatık
P=0.5 : simetrik
0.5<p<1 : sola yatık
P(x) =
λx • e-λ
x!
e ≈ 2.71828
p(x ) : Bir birimlik bir zaman diliminde olayın x kez gerçekleşme olasılığı
λ : Bir birimlik bir zaman diliminde olayın ortalama gerçekleşme sayısı
E(X)= λ =n.p ve σ 2 = λ
Poisson Dağılımı (ender olaylar dağılımı)
Poisson Dağılımı (ender olaylar dağılımı)
Aşağıda belirtilen koşullar sağlandığında binom dağılımı
poisson’a yaklaşır ve binom yerine poisson dağılımı kullanılabilir
v
v
n ≥ 100
np ≤ 10
Poisson dağılımında ortalama tahmininde binom dağılımı kullanılabilir
λ =µ = n • p
Poisson dağılımı deney sayısının çok fazla, fakat meydana gelme
olasılıkları çok düşük olan olaylarla ilgili problemlerde çok uygun
sonuçlar vermektedir. Ör. Bir ülkedeki doğal afetlerin, bir iş yerindeki
iş kazalarının vs. dağılımı. (p≤0.01 ve λ=np ≤5)
Poisson Dağılımı (ender olaylar dağılımı)
Örnek:
n Günde 1500 parça üreten bir makinenin kusurlu parça
üretim oranı %0.01 dir. Her saat başında üretim hattından
alınan 100 parçanın incelenmesi sonucu 2’den fazla bozuk
bulunduğu durumda üretim durdurulacaktır. Üretimin
durdurulma ihtimali nedir?
P(x) =
λx • e-λ
x!
E(X)= λ = σ 2 =n.p=100 .0.01=1
p( x > 2) = 1 − p( x ≤ 2) = 1 − [ p( x = 0) + p( x = 1) + p( x = 2)]
 e −1 ( 1) 0 e −1 ( 1) 1 e −1 ( 1) 2 
 = 0.0803
= 1− 
+
+
0!
1!
2!


DİKDÖRTGEN OLASILIK
DAĞILIMI
SÜREKLİ OLASILIK
DAĞILIMLARI
Bir sürekli değişkenin herhangi bir aralıkta değerler
alma olasılığı konu edilen aralığın genişliği ile
orantılı ise bu değişkenin dağılımı dikdörtgen
dağılımdır denir.
- Uniform olasılık yoğunluk fonksiyonu
X 'in ortalaması
μ=E(x) = (a + b)/2
X 'in varyansı:
σ2 = Var(x) = (b - a)2/12
a = X 'in en küçük değeri
b = X 'in en büyük değeri
SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek: Salata Açık Büfesi
-- Sürekli bir değişkenin özel bir değeri için olasılık
değeri sıfırdır, yani P(X=xi)=0 dır.
- Sürekli bir değişkenin (a,b) gibi bir ararlıkta
herhangi bir değer alması olasılığı pozitiftir.
- P(a<X<b) olasılığı X değişkeninin olasılık
yoğunluk fonksiyonunun belirlediği eğrinin
altında kalan ve x=a ile x=b doğruları ile
sınırlanan alandır.
Bir otel işletmesi , salata büfesi müşterilerinin
tabağına aldığı salata miktarının dağılımının
tekdüze olduğunu, tabağa konan salat miktarının
150 gram ile 250 gram arasında değişen değerler
aldığını saptanmıştır.
Bir müşterinin tabağına aldığı salata miktarının 220
gram ile 250 gram arasında olması olasılığı nedir?
Normal Dağılım (Gaus)
n
n
n
n
n
n
Olasılık yoğunlu fonksiyonu:
f (x ) = 1/100 , 150 < x < 250
= 0 diğer x değerleri için
x = tabaktaki salatanın ağırlığı
Normal Dağılım (Gaus)
n
Normal dağılım, belirli bir değişkene ilişkin gözlemleri iki uç
değer arasında sıralayan dizilerin gösterdiği varsayılan bir
dağılımdır. Bu dağılım, diziyi oluşturan gözlem veya değerlerin,
çoğunluğunun ortalama çevresinde toplanması ve uç değerlere
doğru giderek azalması biçiminde belirir.
f ( x ) = N ( x, µ , σ ) =
e = 2.718, π = 3.14
1
σ 2π
e
−
( x − µ )2
2σ 2
Normal dağılım eğrisi çan eğrisi olarak da bilinir.
Eğrinin tepe noktası ortalamaya karşılık gelir. Bu dağılımda
ortalama, medyan (ortanca) ve mod (Tepe değer) aynıdır.
Normal dağılım eğrisi ortalamaya göre simetriktir.
Standart sapma eğrinin genişliğini belirler, yani standart sapma
büyüdükçe değişkenin alacağı en küçük değer ile en büyük değer
arasındaki açıklık büyür.
Eğrinin altında kalan alanın tamamı 1 birimdir.
Normal dağılıma ilişkin olasılıklar normal dağılım yoğunluk
fonksiyonunun belirlediği eğrinin altında kalan alanlar olarak
hesaplanır.
Normal dağılıma sahip bir seride
n
Ampirik (68-95-99.7) kuralı
Standart Normal Dağılım
n
n
Standart Normal Dağılım
Ortalaması sıfır ve standart sapması 1 olan
normal dağılıma sahip bir değişkenin dağılımına
standart normal dağılım denir.
Standart Normal dağılıma sahip değişkenler Z ile
gösterilir.
1
f (z) =
e
σ 2π
( z )2
−
2
Standart Normal Dağılıma Dönüşüm
n
z değeri normal dağılmış bir X değişkeninin aldığı bir
özel x değerinin kendi ortalaması μ 'den uzaklığının
standart sapma cinsinden ölçüsüdür.
x−µ
z=
σ
Standart Normal Dağılım
P(140<x<211)=?
µ = 143
σ = 29
z = 211 – 143 = 2.34
29
z = 140 – 143 = - 0.10
29
P( –0.10 < z < 2.34 ) = 0.9904 – 0.4602 = 0.5302
Kadınların %53.02 ‘sinin 140-211 lb arasında olması beklenir
P(x<38.8)=?
µ = 36
σ = 1.4
z =
38.8 – 36.0
= 2.00
1.4
Örnek: Süper tamirci
Süper tamirci oto tamiratının yanı sıra oto parçaları,ve
motor yağı da satan bir işyeridir. Motor yağı stokları 20
kutuya inmesi halinde yeni bir parti yağ siparişi
verilmesi gerektiği işletme tarafından saptanmıştır.
İşletme sipariş edilen yağlar gelinceye kadar bazı
müşterilerin ihtiyacının karşılanamaması durumu ile yüz
yüze kalınacağı ve sonuç olarak da bazı muhtemel yağ
satışlarının kaybedileceği düşüncesindedir. Sipariş
bekleme süresindeki talep dağılımının ortalaması 15
kutu ve standart sapmasının 6 kutu olan bir normal
dağılım olduğu saptanmışsa, gelen bir müşteriyi
kaybetme olasılığı yani, P(x > 20) nedir?
Standart normal dağılım tablosu
-∞ ile z arası alan (z=1.23)
Çözüm
z = (x - μ)/σ
= (20 - 15)/6 = .83
Standart normal dağılım tablosundan
z = 0 ile z = .83 arasında kalan alanı . 2967 olarak vermektedir.
Bizim ilgili olduğumuz alan yukarıdaki grafikte gösterilen yeşil alan olup bu da
0.5 - 0.2967 =0.2033. Olarak hesaplanır. Bu da aranan olasılık değeridir.
Standart normal dağılım tablosu
kullanımı (Z=0.83)
z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,0
,0000 ,0040 ,0080 ,0120 ,0160 ,0199 ,0239 ,0279 ,0319 ,0359
,1
,0398 ,0438 ,0478 ,0517 ,0557 ,0596 ,0636 ,0675 ,0714 ,0753
,2
,0793 ,0832 ,0871 ,0910 ,0948 ,0987 ,1026 ,1064 ,1103 ,1141
,3
,1179 ,1217 ,1255 ,1293 ,1331 ,1368 ,1406 ,1443 ,1480 ,1517
,4
,1554 ,1591 ,1628 ,1664 ,1700 ,1736 ,1772 ,1808 ,1844 ,1879
,5
,1915 ,1950 ,1985 ,2019 ,2054 ,2088 ,2123 ,2157 ,2190 ,2224
,6
,2257 ,2291 ,2324 ,2357 ,2389 ,2422 ,2454 ,2486 ,2518 ,2549
,7
,2580 ,2612 ,2642 ,2673 ,2704 ,2734 ,2764 ,2794 ,2823 ,2852
,8
,2881 ,2910 ,2939 ,2967 ,2995 ,3023 ,3051 ,3078 ,3106 ,3133
,9
,3159 ,3186 ,3212 ,3238 ,3264 ,3289 ,3315 ,3340 ,3365 ,3389
P (–2.00 < z < 1.50) =?
,09
P (z < –2.00) = 0.0228
P (z < 1.50) = 0.9332
P (–2.00 < z < 1.50) =
0.9332 – 0.0228 = 0.9104
P(z)=0.95→z=1.6+0.045=1.645
P (z > –1.23) = 0.8907
P(Z) Verildiğinde z’nin bulunması
(Tek yanlı)
5% or 0.05
1.645
P(Z) Verildiğinde z’nin bulunması
(Çift yanlı)